一致收敛

它指向谁（出边）

推出 4

• 本页 ⟹ 一致收敛保连续推出
  一致收敛 + 连续 $\implies$ 极限连续

  设 $x_0 \in X$，给定 $\varepsilon > 0$。

  1. 由一致收敛，存在 $n$，使对一切 $x$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon / 3$。
  2. 由 $f_n$ 在 $x_0$ 连续，存在 $\delta > 0$，使 $d(x, x_0) < \delta$ 时 $|f_n(x) - f_n(x_0)| < \varepsilon / 3$。
  3. 对这样的 $x$，三角不等式给出

  $$|f(x) - f(x_0)| \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$

  故 $f$ 在 $x_0$ 连续。由 $x_0$ 任意，$f$ 连续。∎

  第 1 步之所以能用一个 $n$ 同时管住 $x$ 与 $x_0$，正是一致收敛的全部内容 —— 换成逐点收敛，第 1 步会给出两个不同的 $n$，证明立刻断裂。

• 本页 ⟹ 积分与极限交换推出
  一致收敛 + 积分的绝对值估计 $\implies$ 极限与积分交换

  记 $\varepsilon_n := \sup_{x \in [a, b]} |f_n(x) - f(x)|$。

  1. 可积性：$f = f_n + (f - f_n)$，其中 $f_n$ 可积、而 $f - f_n$ 被常数 $\varepsilon_n$ 控制；用振幅判据，$\omega(f - f_n) \le 2\varepsilon_n$ 逐段成立，故 $f - f_n$ 可积，从而 $f$ 可积。（也可以直接对 $f$ 用振幅判据与 $f_n$ 的振幅比较。）
  2. 估计：由积分的绝对值不等式与基本估计，

  $$\Bigl| \int_a^b f_n - \int_a^b f \Bigr| = \Bigl| \int_a^b (f_n - f) \Bigr| \le \int_a^b |f_n - f| \le (b - a)\,\varepsilon_n$$

  1. 由一致收敛 $\varepsilon_n \to 0$，右端趋于零，故极限与积分可交换。∎

  整个证明里没有一次提到具体是哪个 $x$ —— 误差被一个与 $x$ 无关的常数 $\varepsilon_n$ 统一控制，这就是一致收敛的力量。

• 本页 ⟹ 导数与极限交换推出
  中值定理 + 一致收敛 $\implies$ 导数与极限可交换

  设 $f_n' \rightrightarrows g$ 且 $f_n(x_0)$ 收敛。

  1. $\{f_n\}$ 一致收敛：对 $x \in [a, b]$，由中值定理存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间使 $f_n(x) - f_n(x_0) = f_n'(\xi)(x - x_0)$，于是

  $$|f_m(x) - f_n(x)| \le |f_m(x_0) - f_n(x_0)| + |x - x_0| \cdot \sup_{t}|f_m'(t) - f_n'(t)| \le |f_m(x_0) - f_n(x_0)| + (b - a)\|f_m' - f_n'\|_{\infty}$$

  右端与 $x$ 无关且（由 $f_n(x_0)$ 收敛与 $f_n'$ 一致 Cauchy）可以任意小，故 $\{f_n\}$ 一致 Cauchy，因而一致收敛到某个 $f$；再由上一条 $f$ 连续。

  1. 求导：固定 $x$，对 $h \ne 0$ 定义 $\varphi_n(h) := \frac{f_n(x + h) - f_n(x)}{h}$。由中值定理 $\varphi_n(h) = f_n'(\xi_n)$ 对某个 $\xi_n$；又对 $n \to \infty$，$\varphi_n(h) \to \frac{f(x+h) - f(x)}{h} =: \varphi(h)$。

  1. 在 $n \to \infty$ 之后再令 $h \to 0$：$\varphi(h) = \lim_n \varphi_n(h) = \lim_n f_n'(\xi_n(h))$，而 $f_n' \rightrightarrows g$ 给出 $\varphi(h) \to g(x)$。两个极限交换的合法性来自 $f_n'$ 的一致收敛（同第 1 步的估计）。故 $f'(x) = g(x)$。∎

  第 1 步是关键的准备：假设 $f_n'$ 一致收敛，就能白送 $f_n$ 的一致收敛。这也说明了为什么这条定理比积分那条「贵」—— 需要额外的一个收敛点 $x_0$ 来定住那个自由常数。

• 本页 ⟹ Dini 定理推出
  紧性 + 单调 + 连续性 $\implies$ Dini 定理

  以 $f_n \uparrow f$ 为例（$f_n \downarrow f$ 时对 $-f_n$ 用同样的论证）。给定 $\varepsilon > 0$。

  1. 对每个 $x \in X$，由逐点单调收敛存在 $n_x$ 使 $0 \le f(x) - f_{n_x}(x) < \varepsilon$（这里用到了「$f_n(x)$ 单调递增地收敛到 $f(x)$」）。
  2. 由 $f$ 与 $f_{n_x}$ 都连续，存在 $x$ 的邻域 $U_x$ 使 $y \in U_x$ 时 $|f(y) - f(x)| < \varepsilon$ 且 $|f_{n_x}(y) - f_{n_x}(x)| < \varepsilon$。合并：$y \in U_x$ 时 $f(y) - f_{n_x}(y) < 3\varepsilon$。
  3. $\{U_x\}_{x \in X}$ 是紧空间 $X$ 的开覆盖，取出有限子覆盖 $U_{x_1}, \ldots, U_{x_k}$，令 $N := \max\{n_{x_1}, \ldots, n_{x_k}\}$。
  4. 对任意 $y \in X$，$y$ 落在某个 $U_{x_j}$ 里；由单调性 $n \ge N \ge n_{x_j}$ 时 $f_{n}(y) \ge f_{n_{x_j}}(y)$，于是 $f(y) - f_n(y) \le f(y) - f_{n_{x_j}}(y) < 3\varepsilon$。

  故 $\sup_y |f(y) - f_n(y)| \le 3\varepsilon$ 对一切 $n \ge N$ 成立，即 $f_n \rightrightarrows f$。∎

  第 4 步是单调性唯一出场的地方：它把「$n = n_{x_j}$ 时误差小」升级成「一切 $n \ge N$ 时误差小」。没有单调性，有限覆盖给出的只是一列互不相干的点。

定义引用 1

• 一致 Cauchy 列 用到 本页定义引用

  一致 Cauchy 是把一致收敛的定义里「与 $f$ 比较」换成「$f_m$ 与 $f_n$ 互相比较」，量词形状不变。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 逐点收敛 → 本页定义引用

  两个定义用的是同一套 $\varepsilon$-$N$ 语言，差别只在 $\exists N$ 与 $\forall x$ 的先后顺序。