Lagrange 中值定理

「$\Longleftarrow$」平凡：常数函数的导数为零。

「$\implies$」设 $f' = 0$ 在区间 $I$ 上处处成立。任取 $x < y \in I$，对 $[x, y]$ 用 Lagrange 中值定理：存在 $\xi \in (x, y)$ 使

故 $f(y) = f(x)$。由 $x, y$ 任意，$f$ 在 $I$ 上是常数。∎

设 $f' \ge 0$ 在区间 $I$ 上处处成立。取 $x < y \in I$，由中值定理存在 $\xi \in (x, y)$ 使

故 $f(x) \le f(y)$，即 $f$ 递增。$f' \le 0$ 的情形同法。

若 $f' > 0$ 处处成立，则上式严格为正，于是 $f$ 严格递增。

反之设 $f$ 递增且可导。对 $h > 0$，$\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \ge 0$，取极限得 $f'(x) \ge 0$。∎

记 $R(x, y) := \dfrac{f(x) - f(y)}{x - y}$（$x \ne y$）。凸性的定义等价于：$R(x, y)$ 关于 $x$ 递增（固定 $y$）。

(i) 凸 $\implies f'$ 递增。 由中值定理，对 $x < z$ 存在 $\xi \in (x, z)$ 使 $f' (\xi) = R(z, x)$；把上式里的 $y$ 分别取成 $x$ 与 $z$ 并比较，可得

（左不等式对 $h \to 0^{+}$ 取极限即得；右不等式同理。）故 $f'$ 递增。

(ii) $f'$ 递增 $\implies$ 凸。 给定 $x < z$ 与 $t \in [0, 1]$，记 $w := (1 - t)x + tz$。对 $[x, w]$ 与 $[w, z]$ 各用一次中值定理，得两点 $\xi_1 < \xi_2$，于是 $f'(\xi_1) \le f'(\xi_2)$，展开整理即得凸性不等式。

(iii) $f'' \ge 0 \iff f'$ 递增：这正是「导数符号 $\implies$ 单调性」用在 $f'$ 上。∎

设 $f_n' \rightrightarrows g$ 且 $f_n(x_0)$ 收敛。

1. $\{f_n\}$ 一致收敛：对 $x \in [a, b]$，由中值定理存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间使 $f_n(x) - f_n(x_0) = f_n'(\xi)(x - x_0)$，于是

右端与 $x$ 无关且（由 $f_n(x_0)$ 收敛与 $f_n'$ 一致 Cauchy）可以任意小，故 $\{f_n\}$ 一致 Cauchy，因而一致收敛到某个 $f$；再由上一条 $f$ 连续。

1. 求导：固定 $x$，对 $h \ne 0$ 定义 $\varphi_n(h) := \frac{f_n(x + h) - f_n(x)}{h}$。由中值定理 $\varphi_n(h) = f_n'(\xi_n)$ 对某个 $\xi_n$；又对 $n \to \infty$，$\varphi_n(h) \to \frac{f(x+h) - f(x)}{h} =: \varphi(h)$。

1. 在 $n \to \infty$ 之后再令 $h \to 0$：$\varphi(h) = \lim_n \varphi_n(h) = \lim_n f_n'(\xi_n(h))$，而 $f_n' \rightrightarrows g$ 给出 $\varphi(h) \to g(x)$。两个极限交换的合法性来自 $f_n'$ 的一致收敛（同第 1 步的估计）。故 $f'(x) = g(x)$。∎

令

即把 $f$ 减去那条弦。$g$ 在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 内可导（差一个线性函数），且

故 $g(a) = g(b)$。由 Rolle 定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $g'(\xi) = 0$，即

整理即得 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$。∎