Taylor 公式

谁指向它（入边）

推出 1

• Rolle 中值定理、Cauchy 中值定理 ⟹ 本页推出
  Rolle / Cauchy 中值定理 $\implies$ Taylor 公式

  固定 $x \ne x_0$，记多项式部分为

  $$P(t) := \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(t - x_0)^{k}$$

  待定的常数 $M$ 由方程 $f(x) = P(x) + M (x - x_0)^{n+1}$ 确定，即 $M := \dfrac{f(x) - P(x)}{(x - x_0)^{n+1}}$。要证的就是 $M = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$ 对某个介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$ 成立。

  令辅助函数

  $$\Phi(t) := f(t) - P(t) - M (t - x_0)^{n+1}$$

  则 $\Phi$ 有 $n+1$ 阶导数，且 $\Phi^{(k)}(x_0) = 0$（$k = 0, 1, \ldots, n$，因为 $P$ 逐项消掉了 $f$ 在 $x_0$ 的各阶导数），而 $\Phi(x) = 0$（$M$ 的定义）。

  于是 $\Phi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间有 $n+2$ 个零点（$x_0$ 处按重数算 $n+1$ 阶）。反复用 Rolle 定理 $n+1$ 次：$\Phi'$ 有 $n+1$ 个零点，$\Phi''$ 有 $n$ 个……最后 $\Phi^{(n+1)}$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间有零点 $\xi$。

  而 $\Phi^{(n+1)}(t) = f^{(n+1)}(t) - M\,(n+1)!$（$P$ 是 $n$ 次多项式，$n+1$ 阶导数为零），故 $0 = \Phi^{(n+1)}(\xi) = f^{(n+1)}(\xi) - M(n+1)!$，即 $M = f^{(n+1)}(\xi)/(n+1)!$。代回 $M$ 的定义即得结论。∎

  $n = 0$ 时这一串退化成 $f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x - x_0)$，正是 Lagrange 中值定理。

  「$\Phi^{(n+1)}$ 有零点」这一步用的是 Rolle 定理被反复套用的形式：一个函数若有 $m$ 个零点，它的导函数在相邻零点之间各有一个零点 —— 每套一次零点数减一。