局部极值

局部极大与局部极小（Local Extremum）

定义
依赖深度 layer 16
分析学
微分中值定理与 Taylor

def.local-extremum · 定义 · 导数

陈述

设 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域上有定义。称 $x_0$ 是 $f$ 的

局部极大值点：存在 $\delta > 0$ ，使 $|x - x_0| < \delta$ 时 $f(x) \le f(x_0)$ ；
局部极小值点：存在 $\delta > 0$ ，使 $|x - x_0| < \delta$ 时 $f(x) \ge f(x_0)$ 。

两者统称局部极值点。把 $\le$ 、 $\ge$ 换成 $<$ 、 $>$ （对 $x \ne x_0$ ）就得到严格局部极值。

若 $x_0$ 在定义域内部且是局部极值点，则称它是内点极值点。

说明

⭐ 「局部」二字是全部要害：定义只比较 $x_0$ 附近的值，与远处的值无关。所以局部极值点可以有很多个（ $\sin x$ 有无穷多个），而整体最值（最值定理给的那个）最多两个。

⚠ 端点不算内点极值点 —— 这一点是 Fermat 引理的前提，因为端点处导数的单侧性会毁掉论证。

⚠ 局部极大不必是整体最大： $f(x) = x^{3} - x$ 在 $x = -1$ 附近局部极大，但全局无界。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Fermat 引理推出

导数与局部极值的定义 $\implies$ Fermat 引理

设 $x_0$ 是内点局部极大值点（极小同理，把不等号反向）。由定义存在 $\delta > 0$ ，使 $|x - x_0| < \delta$ 时 $f(x) \le f(x_0)$ 。
对 $0 < h < \delta$ 有 $f(x_0 + h) - f(x_0) \le 0$ ，故差商 $\le 0$ ；对 $-\delta < h < 0$ 差商的分子 $\le 0$ 而分母 $< 0$ ，故差商 $\ge 0$ 。
于是
$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \le 0, \qquad \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \ge 0$
而 $f$ 在 $x_0$ 可导，两个单侧极限都等于 $f'(x_0)$ ，故 $f'(x_0) \le 0$ 且 $f'(x_0) \ge 0$ ，即 $f'(x_0) = 0$ 。∎

「内点」用在了 $h$ 可以取正负两侧 —— 若 $x_0$ 是端点，只有一侧的差商可谈，结论就不成立（ $f(x) = x$ 在 $[0, 1]$ 的端点）。

谁指向它（入边）

定义引用 1

导数 → 本页定义引用

局部极值只在 $x_0$ 的邻域里比较函数值，是纯序的概念；但它与导数的联系（Fermat 引理）才是整个微分学的起点。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 5
Spivak, Calculus, Ch. 11

同一星团的其他概念 13 个

继续

在星图里打开「局部极值」　·　全部 870 个概念　·　 Markdown 原文　·　读图指南与记号表