导数符号 ⟹ 单调性

命题：导数符号与单调性

命题
依赖深度 layer 22
分析学
微分中值定理与 Taylor

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陈述

设 $f$ 在区间 $I$ 上可导。

$f' \ge 0$ 在 $I$ 上处处成立 $\implies$ $f$ 在 $I$ 上递增；
$f' \le 0$ 处处成立 $\implies$ $f$ 递减；
$f' > 0$ 处处成立 $\implies$ $f$ 严格递增。

反之：若 $f$ 递增且可导，则 $f' \ge 0$ 。

说明

⭐ 「 $f' > 0 \implies$ 严格递增」的反命题不成立： $f(x) = x^{3}$ 严格递增而 $f'(0) = 0$ 。要得到严格单调，只能用 Lagrange 中值定理逐段验证（每一段上导数不恒为零即可），不能指望点点为正。

⚠ 「 $f' \ge 0$ 处处成立」也推不出严格递增（常数函数）；反之那一半（递增 $\implies f' \ge 0$ ）是差商的极限，与中值定理无关。

⭐ 这是微积分里第一个「局部信息（导数）决定整体形状（单调）」的定理，也是求最值那套流程的理论依据。

谁指向它（入边）

推出 1

Lagrange 中值定理 ⟹ 本页推出

Lagrange 中值定理 $\implies$ 导数符号 $\implies$ 单调性

设 $f' \ge 0$ 在区间 $I$ 上处处成立。取 $x < y \in I$ ，由中值定理存在 $\xi \in (x, y)$ 使
$f(y) - f(x) = f'(\xi)\,(y - x) \ge 0$
故 $f(x) \le f(y)$ ，即 $f$ 递增。 $f' \le 0$ 的情形同法。
若 $f' > 0$ 处处成立，则上式严格为正，于是 $f$ 严格递增。
反之设 $f$ 递增且可导。对 $h > 0$ ， $\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \ge 0$ ，取极限得 $f'(x) \ge 0$ 。∎

「严格递增」那一半只用到 $f' > 0$ 的处处成立；若只知道「导数非负且不恒为零」，要严格单调得逐段用中值定理，不能用现在这个论证。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 5

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