L'Hôpital 法则

L'Hôpital 法则（不定式极限）

定理
依赖深度 layer 22
分析学
微分中值定理与 Taylor

thm.lhopital · 定理 · 导数 · 极限

陈述

设 $f, g$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内可导、 $g' \ne 0$ ，且

\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0

（或两者都趋于 $\pm\infty$ ）。若 $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（允许 $\pm\infty$ ），则

\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}

说明

⭐ 它把「两个都趋于零的东西之比」换成了「导数之比」—— 唯一的依据就是 Cauchy 中值定理，而且是逆命题式的使用习惯：先算出导数之比好算，再宣布原比值相等。

⚠ 三个前提不要漏：不定式（ $0/0$ 或 $\infty/\infty$ ； $\dfrac{0}{\infty}$ 之类直接是 $0$ ，用不上它）、 $g' \ne 0$ 、右边那个极限存在。最后一个最要命： $\lim f'/g'$ 不存在时，右边不等于左边 —— 除了不能说，什么都不能说（典型： $f = x + \sin x$ 、 $g = x$ ）。

⚠ 「 $\infty/\infty$ 型」的证明比 $0/0$ 型麻烦一些（要先用 $g$ 的单调性做截断），但结论一样。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Taylor 公式（Peano 余项）推出

L'Hôpital 法则 $\implies$ Peano 余项

记 $R(x) := f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^{k}$ 。要证 $R(x) = o((x - x_0)^{n})$ ，即
$\lim_{x \to x_0} \frac{R(x)}{(x - x_0)^{n}} = 0$
对分子分母反复用 L'Hôpital 法则 $n$ 次：每次求导后分母降一阶、分子把多项式部分再消掉一项。 $n$ 次之后
$\frac{R^{(n)}(x)}{n!} = \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(x_0)}{n!}$
由 $f^{(n)}$ 在 $x_0$ 连续，这个商当 $x \to x_0$ 时趋于 $0$ 。∎

所以「Peano 余项」这件事的代价是第 $n$ 阶导数在 $x_0$ 连续（否则 L'Hôpital 的头几步代价太大）；而 Lagrange 余项要求的是 $n+1$ 阶可导，两者是不同方向的条件。

谁指向它（入边）

推出 1

Cauchy 中值定理 ⟹ 本页推出

Cauchy 中值定理 $\implies$ L'Hôpital 法则

先讲 $0/0$ 型在 $x \to x_0^{+}$ 的情形。把 $f, g$ 在 $x_0$ 处补充定义为 $f(x_0) = g(x_0) = 0$ ，则它们在 $[x_0, x]$ 上连续、在 $(x_0, x)$ 内可导。对区间 $[x_0, x]$ 用 Cauchy 中值定理：存在 $\xi \in (x_0, x)$ 使
$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
当 $x \to x_0^{+}$ 时 $\xi \to x_0^{+}$ ，故右端的极限就是 $\lim_{x \to x_0^{+}} f'(x) / g'(x)$ 。左邻域与双侧的情形同法。
$\infty/\infty$ 型要多一步：对给定的 $\varepsilon > 0$ ，先用 $g$ 在 $x_0$ 附近的单调性挑一个 $x_1$ ，把 $|g|$ 压得足够大，再用 Cauchy 中值定理处理 $[x_1, x]$ ，最后让 $x_1 \to x_0$ 。∎

注意证明里 $\xi$ 依赖于 $x$ —— 但这不妨碍取极限，因为 $x \to x_0$ 时 $\xi$ 被夹在 $x_0$ 与 $x$ 之间，必然也趋于 $x_0$ 。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 5

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