导数为零 ⟺ 常函数

推论：区间上导数恒为零 $\iff$ 函数为常数

推论
依赖深度 layer 22
分析学
微分中值定理与 Taylor

cor.constant-iff-zero-derivative · 推论 · 导数

陈述

设 $f$ 在区间 $I$ 上可导。则 $f$ 在 $I$ 上恒为常数，当且仅当对一切 $x \in I$ 有

f'(x) = 0

说明

⭐ 这条推论的含义比它看起来大：「求导」在区间上丢失的信息只有一个常数。所以「求原函数」这件事才有意义、才只差一个常数（微积分基本定理的另一半）。

⚠ 定义域必须是区间：在 $(0, 1) \cup (2, 3)$ 上导数处处为零的函数可以在两段上分别取不同的常数。

⭐ 在测度论里它的地位被改写： $f' = 0$ a.e. 而 $f$ 不必是常数（Cantor 函数）—— 「几乎处处」不足以锁住函数，那正是绝对连续要补的那一刀。

谁指向它（入边）

推出 1

Lagrange 中值定理 ⟹ 本页推出

Lagrange 中值定理 $\implies$ 导数为零 $\implies$ 常函数

「 $\Longleftarrow$ 」平凡：常数函数的导数为零。
「 $\implies$ 」设 $f' = 0$ 在区间 $I$ 上处处成立。任取 $x < y \in I$ ，对 $[x, y]$ 用 Lagrange 中值定理：存在 $\xi \in (x, y)$ 使
$f(y) - f(x) = f'(\xi)\,(y - x) = 0$
故 $f(y) = f(x)$ 。由 $x, y$ 任意， $f$ 在 $I$ 上是常数。∎

$I$ 必须是区间（任意两点之间都落在 $I$ 里）—— 这正是证明里要能对 $[x, y]$ 用中值定理的原因。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 5

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