Rolle 中值定理

令

即把 $f$ 减去那条弦。$g$ 在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 内可导（差一个线性函数），且

故 $g(a) = g(b)$。由 Rolle 定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $g'(\xi) = 0$，即

整理即得 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$。∎

先注意 $g(b) \ne g(a)$：若 $g(b) = g(a)$，由 Rolle 定理存在内点使 $g' = 0$，与 $g' \ne 0$ 矛盾。于是下面的分母不为零。

令

$h$ 在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 内可导，且

两式相减得 $h(b) - h(a) = (f(b) - f(a))(g(b) - g(a)) - (g(b) - g(a))(f(b) - f(a)) = 0$。由 Rolle 定理存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $h'(\xi) = 0$，即

两边同除 $g'(\xi)\,(g(b) - g(a))$（都不为零）即得结论。∎

固定 $x \ne x_0$，记多项式部分为

待定的常数 $M$ 由方程 $f(x) = P(x) + M (x - x_0)^{n+1}$ 确定，即 $M := \dfrac{f(x) - P(x)}{(x - x_0)^{n+1}}$。要证的就是 $M = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$ 对某个介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$ 成立。

令辅助函数

则 $\Phi$ 有 $n+1$ 阶导数，且 $\Phi^{(k)}(x_0) = 0$（$k = 0, 1, \ldots, n$，因为 $P$ 逐项消掉了 $f$ 在 $x_0$ 的各阶导数），而 $\Phi(x) = 0$（$M$ 的定义）。

于是 $\Phi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间有 $n+2$ 个零点（$x_0$ 处按重数算 $n+1$ 阶）。反复用 Rolle 定理 $n+1$ 次：$\Phi'$ 有 $n+1$ 个零点，$\Phi''$ 有 $n$ 个……最后 $\Phi^{(n+1)}$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间有零点 $\xi$。

而 $\Phi^{(n+1)}(t) = f^{(n+1)}(t) - M\,(n+1)!$（$P$ 是 $n$ 次多项式，$n+1$ 阶导数为零），故 $0 = \Phi^{(n+1)}(\xi) = f^{(n+1)}(\xi) - M(n+1)!$，即 $M = f^{(n+1)}(\xi)/(n+1)!$。代回 $M$ 的定义即得结论。∎

$n = 0$ 时这一串退化成 $f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x - x_0)$，正是 Lagrange 中值定理。

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 内可导、$f(a) = f(b)$。

1. 由最值定理，$f$ 在 $[a, b]$ 上取到最大值 $M$ 与最小值 $m$。
2. 若 $M = m$，则 $f$ 是常数，于是 $(a, b)$ 内任取 $\xi$ 都有 $f'(\xi) = 0$。
3. 否则 $M > m$。因为 $f(a) = f(b)$，两个数 $M, m$ 中至少有一个不等于 $f(a)$，所以它在 $(a, b)$ 内的某点 $\xi$ 处被取到 —— 这个 $\xi$ 是内点极值点。
4. 由 Fermat 引理，$f'(\xi) = 0$。∎