凸函数

凸函数与 Jensen 不等式（Convex Function）

def.convex-function · 定义 · 导数 · 凸性

陈述

设 $I$ 是区间， $f : I \to \mathbb{R}$ 。称 $f$ 凸，当且仅当对一切 $x, y \in I$ 与一切 $t \in [0, 1]$ ，

f\bigl( (1 - t) x + t y \bigr) \le (1 - t) f(x) + t f(y)

即图像总在弦的下方。把 $\le$ 换成 $\ge$ 得凹函数（concave）。

由此归纳得到 Jensen 不等式：若 $\lambda_i \ge 0$ 、 $\sum_i \lambda_i = 1$ ，则

f\Bigl( \sum_i \lambda_i x_i \Bigr) \le \sum_i \lambda_i f(x_i)

⭐ 凸性是序与几何的性质（两点之间的值受两端值约束），不需要可导就能定义 —— 这一点很重要： $|x|$ 、 $e^{x}$ 、 $x^{2}$ 都凸，但 $|x|$ 在 $0$ 处不可导。

⭐ Jensen 不等式是概率论与分析里大量不等式的统一来源（AM–GM、Hölder、 $e^{\mathbb{E}} \le \mathbb{E} e^{\cdot}$ ）。

⚠ 别把「凸」与「严格凸」混：严格凸要 $t \in (0, 1)$ 、 $x \ne y$ 时不等号严格。

区间 → 本页定义引用

凸性的定义要求 $(1 - t)x + ty$ 仍落在定义域内 —— 这正是「定义域必须是区间」的原因，换成一般的集合这个定义根本写不出来。