Fermat 引理

Fermat 引理：内点极值 $\implies$ 导数为零

定理
依赖深度 layer 17
分析学
微分中值定理与 Taylor

thm.fermat · 定理 · 导数

陈述

设 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域上有定义、在 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 是 $f$ 的内点局部极值点。则

f'(x_0) = 0

说明

⭐ 这是整个微分学的第一推动：它把「极值」这个纯序的概念翻译成了「导数取零」这个纯代数的条件，于是求极值变成了解方程 $f' = 0$ 。

⚠ 三个前提一个都不能少：可导性（ $|x|$ 在 $0$ 处是内点极小但不可导）、内点性（ $f(x) = x$ 在 $[0, 1]$ 的端点 $0$ 处取最小值而 $f'(0) = 1 \ne 0$ ）、极值性。

⚠ 逆命题不成立： $f'(x_0) = 0$ 不保证极值（ $f(x) = x^{3}$ 在 $0$ 处）。满足 $f' = 0$ 的点叫驻点，驻点要与不可导点、端点一起排队检查。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Rolle 中值定理推出

Fermat 引理 + 最值定理 $\implies$ Rolle 中值定理
设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 内可导、 $f(a) = f(b)$ 。
1. 由最值定理， $f$ 在 $[a, b]$ 上取到最大值 $M$ 与最小值 $m$ 。
2. 若 $M = m$ ，则 $f$ 是常数，于是 $(a, b)$ 内任取 $\xi$ 都有 $f'(\xi) = 0$ 。
3. 否则 $M > m$ 。因为 $f(a) = f(b)$ ，两个数 $M, m$ 中至少有一个不等于 $f(a)$ ，所以它在 $(a, b)$ 内的某点 $\xi$ 处被取到 —— 这个 $\xi$ 是内点极值点。
4. 由 Fermat 引理， $f'(\xi) = 0$ 。∎
第 3 步是全部技巧所在：「两端相等」保证最值不能在两个端点同时取到，于是必有一个最值被内点取到 —— 紧性（由最值定理提供）与可导性（由 Fermat 引理使用）就在这一点上汇合。

谁指向它（入边）

推出 1

局部极值、导数 ⟹ 本页推出

导数与局部极值的定义 $\implies$ Fermat 引理

设 $x_0$ 是内点局部极大值点（极小同理，把不等号反向）。由定义存在 $\delta > 0$ ，使 $|x - x_0| < \delta$ 时 $f(x) \le f(x_0)$ 。
对 $0 < h < \delta$ 有 $f(x_0 + h) - f(x_0) \le 0$ ，故差商 $\le 0$ ；对 $-\delta < h < 0$ 差商的分子 $\le 0$ 而分母 $< 0$ ，故差商 $\ge 0$ 。
于是
$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \le 0, \qquad \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \ge 0$
而 $f$ 在 $x_0$ 可导，两个单侧极限都等于 $f'(x_0)$ ，故 $f'(x_0) \le 0$ 且 $f'(x_0) \ge 0$ ，即 $f'(x_0) = 0$ 。∎

「内点」用在了 $h$ 可以取正负两侧 —— 若 $x_0$ 是端点，只有一侧的差商可谈，结论就不成立（ $f(x) = x$ 在 $[0, 1]$ 的端点）。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 5

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