Cauchy 中值定理

先讲 $0/0$ 型在 $x \to x_0^{+}$ 的情形。把 $f, g$ 在 $x_0$ 处补充定义为 $f(x_0) = g(x_0) = 0$，则它们在 $[x_0, x]$ 上连续、在 $(x_0, x)$ 内可导。对区间 $[x_0, x]$ 用 Cauchy 中值定理：存在 $\xi \in (x_0, x)$ 使

当 $x \to x_0^{+}$ 时 $\xi \to x_0^{+}$，故右端的极限就是 $\lim_{x \to x_0^{+}} f'(x) / g'(x)$。左邻域与双侧的情形同法。

$\infty/\infty$ 型要多一步：对给定的 $\varepsilon > 0$，先用 $g$ 在 $x_0$ 附近的单调性挑一个 $x_1$，把 $|g|$ 压得足够大，再用 Cauchy 中值定理处理 $[x_1, x]$，最后让 $x_1 \to x_0$。∎

固定 $x \ne x_0$，记多项式部分为

待定的常数 $M$ 由方程 $f(x) = P(x) + M (x - x_0)^{n+1}$ 确定，即 $M := \dfrac{f(x) - P(x)}{(x - x_0)^{n+1}}$。要证的就是 $M = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$ 对某个介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$ 成立。

令辅助函数

则 $\Phi$ 有 $n+1$ 阶导数，且 $\Phi^{(k)}(x_0) = 0$（$k = 0, 1, \ldots, n$，因为 $P$ 逐项消掉了 $f$ 在 $x_0$ 的各阶导数），而 $\Phi(x) = 0$（$M$ 的定义）。

于是 $\Phi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间有 $n+2$ 个零点（$x_0$ 处按重数算 $n+1$ 阶）。反复用 Rolle 定理 $n+1$ 次：$\Phi'$ 有 $n+1$ 个零点，$\Phi''$ 有 $n$ 个……最后 $\Phi^{(n+1)}$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间有零点 $\xi$。

而 $\Phi^{(n+1)}(t) = f^{(n+1)}(t) - M\,(n+1)!$（$P$ 是 $n$ 次多项式，$n+1$ 阶导数为零），故 $0 = \Phi^{(n+1)}(\xi) = f^{(n+1)}(\xi) - M(n+1)!$，即 $M = f^{(n+1)}(\xi)/(n+1)!$。代回 $M$ 的定义即得结论。∎

$n = 0$ 时这一串退化成 $f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x - x_0)$，正是 Lagrange 中值定理。

先注意 $g(b) \ne g(a)$：若 $g(b) = g(a)$，由 Rolle 定理存在内点使 $g' = 0$，与 $g' \ne 0$ 矛盾。于是下面的分母不为零。

令

$h$ 在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 内可导，且

两式相减得 $h(b) - h(a) = (f(b) - f(a))(g(b) - g(a)) - (g(b) - g(a))(f(b) - f(a)) = 0$。由 Rolle 定理存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $h'(\xi) = 0$，即

两边同除 $g'(\xi)\,(g(b) - g(a))$（都不为零）即得结论。∎