高阶导数与 C^k

高阶导数与 CkC^{k} 类（Higher Derivatives）

def.higher-derivative · 定义 · 导数

陈述

若 f′f' 在 x0x_0 处可导，记

f′′(x0):=(f′)′(x0),f(n+1)(x0):=(f(n))′(x0)f''(x_0) := (f')'(x_0), \qquad f^{(n+1)}(x_0) := \bigl( f^{(n)} \bigr)'(x_0)

称 f(n)f^{(n)} 为 ff 的 nn 阶导数。约定 f(0):=ff^{(0)} := f。

连续可导类：f∈C0(I)f \in C^{0}(I) 表示 ff 在 II 上连续；递归地，f∈Ck(I)f \in C^{k}(I) 表示 ff 可导且 f′∈Ck−1(I)f' \in C^{k-1}(I)；f∈C∞(I)f \in C^{\infty}(I) 表示对一切 kk 都有 f∈Ck(I)f \in C^{k}(I)（称光滑）。

说明

⭐ 记号上的坑：f(n)f^{(n)} 用的是括号上标，因为 fnf^{n} 已经被「ff 的 nn 次幂」占用了。

⭐ C2C^{2} 是凸性判据的入场券（要谈 f′′f'' 就得先有二阶导数），CnC^{n} 是 Taylor 公式的入场券。

⚠ CkC^{k} 是严格递减的一串（本图的真包含写 ⊂\subset）：C∞⊂Ck⊂⋯⊂C1⊂C0C^{\infty} \subset C^{k} \subset \cdots \subset C^{1} \subset C^{0}。反例：f(x)=x2sin⁡(1/x)f(x) = x^{2} \sin(1/x)（补 f(0)=0f(0) = 0）在 00 处可导但导数不连续，所以 f∈C0∖C1f \in C^{0} \setminus C^{1}。

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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