# 一致收敛保连续　`thm.uniform-limit-continuous`
定理：一致收敛的连续函数列的极限连续
layer 16 · 定理 · 函数列、幂级数与初等函数 · 分析学
[在星图里打开](../#n=thm.uniform-limit-continuous)　·　[节点索引](../index.md)

设 $f_n : X \to \mathbb{R}$ 都连续，且 $f_n \rightrightarrows f$。则 $f$ 连续。

特别地：**一致收敛把 $C^{0}(X)$ 变成封闭的**（在这个意义下 $(C^{0}, \|\cdot\|_{\infty})$ 是完备的）。

## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`thm.uniform-limit-derivative`](../nodes/thm.uniform-limit-derivative.md) 导数与极限交换

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.uniform-limit-continuous.2.md](./thm.uniform-limit-continuous.2.md)

refs: Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 7

> 说明见 `notes/thm.uniform-limit-continuous.md`

引用：`thm.uniform-limit-continuous`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)