Bolzano–Weierstrass

「$\implies$」：设 $x_n \to x$。给定 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 使 $n \ge N$ 时 $|x_n - x| < \varepsilon / 2$。则 $m, n \ge N$ 时

故 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 列。

「$\Longleftarrow$」：设 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 列。

1. 先证有界：取 $\varepsilon = 1$ 得 $N_0$，使 $m, n \ge N_0$ 时 $|x_m - x_n| < 1$。于是 $n \ge N_0$ 时 $|x_n| \le |x_{N_0}| + 1$，而前 $N_0 - 1$ 项有限，故 $\{x_n\}$ 有界。
2. 由 Bolzano–Weierstrass，存在子列 $x_{n_k} \to x$。
3. 证原列也收敛到 $x$：给定 $\varepsilon > 0$，取 $N_1$ 使 $m, n \ge N_1$ 时 $|x_m - x_n| < \varepsilon / 2$（Cauchy 性），再取 $k$ 使 $n_k \ge N_1$ 且 $|x_{n_k} - x| < \varepsilon / 2$。则 $n \ge N_1$ 时

注意第 3 步里 $n_k \ge N_1$ 是关键 —— 它保证 $|x_n - x_{n_k}|$ 可以按 Cauchy 性来估。∎

记六条为 (1)–(6)。已有四条箭头：

• (1) $\implies$ (2)：见「确界原理 $\implies$ 单调有界定理」；
• (2) $\implies$ (3)：见「单调有界定理 $\implies$ 闭区间套定理」；
• (3) $\implies$ (4)：见「闭区间套定理 $\implies$ Bolzano–Weierstrass」；
• (4) $\implies$ (5)：见「Bolzano–Weierstrass $\implies$ Cauchy 收敛准则」；
• (5) $\implies$ (6)：见「Cauchy 准则 $\implies$ $\mathbb{R}$ 完备」。

还差最后一条：

(6) $\implies$ (1)：设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空、有上界，要证 $\sup S$ 存在。取 $a_0 \in S$ 与 $S$ 的一个上界 $b_0$，令 $I_0 = [a_0, b_0]$。归纳地，设 $I_n = [a_n, b_n]$ 已作出，其中 $a_n$ 是 $S$ 的下界方向上的一个点、$b_n$ 是 $S$ 的上界。取中点 $m_n = (a_n + b_n) / 2$：若 $m_n$ 是 $S$ 的上界则令 $I_{n+1} = [a_n, m_n]$，否则（此时可取出 $a_{n+1} \in S$ 且 $a_{n+1} > m_n$）令 $I_{n+1} = [m_n, b_n]$。于是 $b_n - a_n = (b_0 - a_0)/2^{n} \to 0$，且 $a_n$ 递增有上界 —— 由 (2)（已由 (1) 推出，但这里可直接用 (6) 的完备性）$a_n$ 收敛，记极限为 $s$。

1. $s$ 是 $S$ 的上界：若存在 $t \in S$ 且 $t > s$，取 $n$ 使 $b_n - a_n < t - s$；由 $b_n$ 也是上界得 $t \le b_n$，于是 $b_n \ge t > s > a_n$ 且 $b_n - a_n \ge t - a_n > t - s$（因为 $a_n \le s$），矛盾。
2. $s$ 是最小上界：任取上界 $u$，恒有 $a_n \le u$（$a_n$ 附近有 $S$ 的点），令 $n \to \infty$ 得 $s \le u$。

故 $s = \sup S$，即 (1)。六条首尾相接，故彼此等价。∎

按「序列紧」来用「紧的三个等价刻画」：在度量空间里 $K$ 紧 $\iff K$ 列紧。

($\Longleftarrow$) 设 $K \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 有界且闭。取 $K$ 中任一数列 $\{x_k\}$。它作为 $\mathbb{R}^{n}$ 中的数列有界，由 Bolzano–Weierstrass 的 $\mathbb{R}^{n}$ 版本有子列收敛到某点 $x$。$K$ 闭，故 $x \in K$。于是 $K$ 列紧，从而紧。

($\implies$) 设 $K$ 紧。紧集在度量空间里总是闭的（见「紧子集是闭的」）。若有界性不成立，则对每个 $k$ 可取 $x_k \in K \setminus B(0, k)$，这样的数列没有任何收敛子列（$|x_k| \to \infty$），与列紧矛盾。故 $K$ 有界。∎

反证。设 $f$ 在紧度量空间 $X$ 上连续但不一致连续。则存在 $\varepsilon_0 > 0$，使对每个 $\delta > 0$ 都能找到两点距离小于 $\delta$、函数值却相差至少 $\varepsilon_0$：

即：对每个 $n$ 都能在 $X$ 中取到两点，同时满足下面两个条件 ——

1. $X$ 紧 $\implies$ 列紧，故 $\{x_n\}$ 有子列 $x_{n_k} \to x^{*} \in X$。
2. 由 $d(x_{n_k}, x_{n_k}') < 1/n_k \to 0$ 与三角不等式，$x_{n_k}' \to x^{*}$ 也成立。
3. $f$ 在 $x^{$}x∗ 连续，所以 $f(x_{n_k}) \to f(x^{$}) 且 $f(x_{n_k}') \to f(x^{*})$。
4. 于是 $|f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}')| \le |f(x_{n_k}) - f(x^{$})| + |f(x^{}) - f(x_{n_k}')| \to 0，与它恒 $\ge \varepsilon_0$ 矛盾。∎

设 $\{x_n\}$ 有界，取 $M > 0$ 使一切 $x_n \in [-M, M]$。二分法：令 $I_0 = [-M, M]$。

归纳地，设 $I_k$ 已作出且其中含有 $\{x_n\}$ 的无穷多项。把 $I_k$ 从中间二等分，两个半区间里至少有一个仍含无穷多项（否则 $I_k$ 里只有有限多项），取它为 $I_{k+1}$。于是

• $I_0 \supseteq I_1 \supseteq \cdots$，每个都闭，长度为 $2M / 2^{k} \to 0$。

由闭区间套定理，$\bigcap_k I_k$ 恰含一点 $x$。

现在构造子列：对每个 $k$，因为 $I_k$ 含无穷多项，可以取 $n_k > n_{k-1}$ 使 $x_{n_k} \in I_k$（这一步只用到「无穷多项」可以在选完前一项之后继续往下选）。于是 $x_{n_k}$ 与 $x$ 同属 $I_k$，而 $|I_k| = 2M/2^{k} \to 0$，故 $|x_{n_k} - x| \le 2M / 2^{k} \to 0$，即 $x_{n_k} \to x$。∎

「每个有界无限子集都有聚点」是同一句话的集合版本：把子集排成一个各项互异的数列即可。