聚点

聚点 / 极限点（Limit Point）

def.limit-point · 定义 · 完备性

陈述

设 $S \subseteq \mathbb{R}$ ， $x \in \mathbb{R}$ 。称 $x$ 是 $S$ 的聚点（也叫极限点），当且仅当 $x$ 的每个去心邻域都与 $S$ 相交：

\forall \varepsilon > 0,\ \exists s \in S :\ 0 < |s - x| < \varepsilon

等价的序列说法：存在 $S \setminus \{x\}$ 中的数列 $s_n \to x$ 。

把 $S$ 换成一个数列的项集，就得到「 $x$ 是 $\{x_n\}$ 的聚点」=「 $\{x_n\}$ 有子列收敛到 $x$ 」。

⭐ 「有界数列必有聚点」就是 Bolzano–Weierstrass 定理 —— 它是实数完备性的六副面孔之一。

⚠ 聚点不必属于 $S$ ：全体有理数构成的集合 $\mathbb{Q}$ 的聚点集是整个 $\mathbb{R}$ （这正是 $\mathbb{Q}$ 不完备的样子）。

⚠ 别与上确界混： $\sup S$ 面向「 $S$ 的上界」，聚点面向「 $S$ 的点任意接近谁」； $\sup\{1, 1/2, 1/3, \ldots\} = 1$ 同时也是那个集合唯一的聚点，而 $\sup\{1\} = 1$ 却不是聚点。

区间 → 本页定义引用

聚点是用「每个 $\varepsilon$ 邻域」说的，而邻域就是开区间 $(x - \varepsilon, x + \varepsilon)$ 。