闭区间套定理

引理：闭区间套定理（Nested Interval Theorem）

引理
依赖深度 layer 15
分析学
实数完备性的等价刻画

lem.nested-intervals · 引理 · 完备性

陈述

设 $I_n = [a_n, b_n]$ 是一列闭区间，满足

$I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots$ （嵌套），
$b_n - a_n \to 0$ （长度趋于零）。

则 $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n$ 恰含一个点。

说明

⭐ 这是「二分法」的正式形态：把它用于有界数列，就得到 Bolzano–Weierstrass 定理；用于证明中「不断把区间砍一半」的每一步，都是它。

⚠ 两个条件都不能松：闭—— $\bigcap_{n} (0, 1/n] = \emptyset$ ；长度趋于零—— $\bigcap_{n} [n, +\infty) = \emptyset$ 而长度不趋于零。若只要求嵌套不要求长度趋于零，结论要弱化成「交集非空」（此时交集是一个点或一个闭区间）。

它指向谁（出边）

推出 2

本页 ⟹ Bolzano–Weierstrass推出

闭区间套定理 $\implies$ Bolzano–Weierstrass
设 $\{x_n\}$ 有界，取 $M > 0$ 使一切 $x_n \in [-M, M]$ 。二分法：令 $I_0 = [-M, M]$ 。
归纳地，设 $I_k$ 已作出且其中含有 $\{x_n\}$ 的无穷多项。把 $I_k$ 从中间二等分，两个半区间里至少有一个仍含无穷多项（否则 $I_k$ 里只有有限多项），取它为 $I_{k+1}$ 。于是
- $I_0 \supseteq I_1 \supseteq \cdots$ ，每个都闭，长度为 $2M / 2^{k} \to 0$ 。
由闭区间套定理， $\bigcap_k I_k$ 恰含一点 $x$ 。
现在构造子列：对每个 $k$ ，因为 $I_k$ 含无穷多项，可以取 $n_k > n_{k-1}$ 使 $x_{n_k} \in I_k$ （这一步只用到「无穷多项」可以在选完前一项之后继续往下选）。于是 $x_{n_k}$ 与 $x$ 同属 $I_k$ ，而 $|I_k| = 2M/2^{k} \to 0$ ，故 $|x_{n_k} - x| \le 2M / 2^{k} \to 0$ ，即 $x_{n_k} \to x$ 。∎
「每个有界无限子集都有聚点」是同一句话的集合版本：把子集排成一个各项互异的数列即可。
$\mathbb{R}^{n}$ 的情形逐坐标使用本定理：一个有界列的第 $i$ 个坐标是有界实数列，先取一个收敛的子列，再在其上对下一个坐标取子列，依次进行 $n$ 次。
本页 ⟹ 完备性的六条等价推出

六条（强连通块）
记六条为 (1)–(6)。已有四条箭头：
- (1) $\implies$ (2)：见「确界原理 $\implies$ 单调有界定理」；
- (2) $\implies$ (3)：见「单调有界定理 $\implies$ 闭区间套定理」；
- (3) $\implies$ (4)：见「闭区间套定理 $\implies$ Bolzano–Weierstrass」；
- (4) $\implies$ (5)：见「Bolzano–Weierstrass $\implies$ Cauchy 收敛准则」；
- (5) $\implies$ (6)：见「Cauchy 准则 $\implies$ $\mathbb{R}$ 完备」。
还差最后一条：
(6) $\implies$ (1)：设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空、有上界，要证 $\sup S$ 存在。取 $a_0 \in S$ 与 $S$ 的一个上界 $b_0$ ，令 $I_0 = [a_0, b_0]$ 。归纳地，设 $I_n = [a_n, b_n]$ 已作出，其中 $a_n$ 是 $S$ 的下界方向上的一个点、 $b_n$ 是 $S$ 的上界。取中点 $m_n = (a_n + b_n) / 2$ ：若 $m_n$ 是 $S$ 的上界则令 $I_{n+1} = [a_n, m_n]$ ，否则（此时可取出 $a_{n+1} \in S$ 且 $a_{n+1} > m_n$ ）令 $I_{n+1} = [m_n, b_n]$ 。于是 $b_n - a_n = (b_0 - a_0)/2^{n} \to 0$ ，且 $a_n$ 递增有上界 —— 由 (2)（已由 (1) 推出，但这里可直接用 (6) 的完备性） $a_n$ 收敛，记极限为 $s$ 。
1. $s$ 是 $S$ 的上界：若存在 $t \in S$ 且 $t > s$ ，取 $n$ 使 $b_n - a_n < t - s$ ；由 $b_n$ 也是上界得 $t \le b_n$ ，于是 $b_n \ge t > s > a_n$ 且 $b_n - a_n \ge t - a_n > t - s$ （因为 $a_n \le s$ ），矛盾。
2. $s$ 是最小上界：任取上界 $u$ ，恒有 $a_n \le u$ （ $a_n$ 附近有 $S$ 的点），令 $n \to \infty$ 得 $s \le u$ 。
故 $s = \sup S$ ，即 (1)。六条首尾相接，故彼此等价。∎
这正是「强连通块」的含义：任取一条作公理，其余五条都是定理。所以要问的不是「哪条对」，而是「哪一种说法在当前语境里最方便」—— 后来在一般完备度量空间里只剩 (6)，在完备格（如 $\overline{\mathbb{R}}$ ）里只剩 (1)。

谁指向它（入边）

推出 1

单调有界定理 ⟹ 本页推出

单调有界定理 $\implies$ 闭区间套定理
设 $I_n = [a_n, b_n]$ 嵌套且 $b_n - a_n \to 0$ 。
1. 由 $I_{n+1} \subseteq I_n$ 得 $a_1 \le a_2 \le \cdots$ 且 $b_1 \ge b_2 \ge \cdots$ 。于是 $\{a_n\}$ 递增且有上界 $b_1$ ， $\{b_n\}$ 递减且有下界 $a_1$ 。
2. 由单调有界定理， $a_n \to a$ 、 $b_n \to b$ ，其中 $a = \sup_n a_n$ 、 $b = \inf_n b_n$ 。
3. $b - a = \lim (b_n - a_n) = 0$ ，故 $a = b$ ，记这个公共值为 $x$ 。
4. 对每个 $n$ 有 $a_n \le x \le b_n$ （ $x$ 是 $\{a_n\}$ 的上界、又是 $\{b_n\}$ 的下界），所以 $x \in \bigcap_n I_n$ 。
5. 若 $y \in \bigcap_n I_n$ ，则 $a_n \le y \le b_n$ 对一切 $n$ 成立，令 $n \to \infty$ 得 $y = x$ 。故交集恰含一点。∎
注意第 3 步用的是「长度趋于零」这个前提，第 4、5 步用的是「闭」。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

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