完备性的六条等价

谁指向它（入边）

推出 1

• ℝ 是完备有序域、单调有界定理、闭区间套定理、Bolzano–Weierstrass、Cauchy 收敛准则、ℝ 是完备度量空间 ⟹ 本页推出
  六条（强连通块）

  记六条为 (1)–(6)。已有四条箭头：

  • (1) $\implies$ (2)：见「确界原理 $\implies$ 单调有界定理」；
  • (2) $\implies$ (3)：见「单调有界定理 $\implies$ 闭区间套定理」；
  • (3) $\implies$ (4)：见「闭区间套定理 $\implies$ Bolzano–Weierstrass」；
  • (4) $\implies$ (5)：见「Bolzano–Weierstrass $\implies$ Cauchy 收敛准则」；
  • (5) $\implies$ (6)：见「Cauchy 准则 $\implies$ $\mathbb{R}$ 完备」。

  还差最后一条：

  (6) $\implies$ (1)：设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空、有上界，要证 $\sup S$ 存在。取 $a_0 \in S$ 与 $S$ 的一个上界 $b_0$，令 $I_0 = [a_0, b_0]$。归纳地，设 $I_n = [a_n, b_n]$ 已作出，其中 $a_n$ 是 $S$ 的下界方向上的一个点、$b_n$ 是 $S$ 的上界。取中点 $m_n = (a_n + b_n) / 2$：若 $m_n$ 是 $S$ 的上界则令 $I_{n+1} = [a_n, m_n]$，否则（此时可取出 $a_{n+1} \in S$ 且 $a_{n+1} > m_n$）令 $I_{n+1} = [m_n, b_n]$。于是 $b_n - a_n = (b_0 - a_0)/2^{n} \to 0$，且 $a_n$ 递增有上界 —— 由 (2)（已由 (1) 推出，但这里可直接用 (6) 的完备性）$a_n$ 收敛，记极限为 $s$。

  1. $s$ 是 $S$ 的上界：若存在 $t \in S$ 且 $t > s$，取 $n$ 使 $b_n - a_n < t - s$；由 $b_n$ 也是上界得 $t \le b_n$，于是 $b_n \ge t > s > a_n$ 且 $b_n - a_n \ge t - a_n > t - s$（因为 $a_n \le s$），矛盾。
  2. $s$ 是最小上界：任取上界 $u$，恒有 $a_n \le u$（$a_n$ 附近有 $S$ 的点），令 $n \to \infty$ 得 $s \le u$。

  故 $s = \sup S$，即 (1)。六条首尾相接，故彼此等价。∎

  这正是「强连通块」的含义：任取一条作公理，其余五条都是定理。所以要问的不是「哪条对」，而是「哪一种说法在当前语境里最方便」—— 后来在一般完备度量空间里只剩 (6)，在完备格（如 $\overline{\mathbb{R}}$）里只剩 (1)。