# 完备性的六条等价　`thm.completeness-equivalent`
定理：下列六条彼此等价（TFAE）
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在 $\mathbb{R}$ 上，下列六条**彼此等价**：

**(1) 确界原理**：$\mathbb{R}$ 的每个非空有上界的子集都有上确界。

**(2) 单调有界定理**：递增有上界的数列收敛。

**(3) 闭区间套定理**：嵌套的闭区间若长度趋于零，交集恰含一个点。
> 陈述续见 [nodes/thm.completeness-equivalent.2.md](./thm.completeness-equivalent.2.md)


## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.completeness-equivalent.3.md](./thm.completeness-equivalent.3.md)

refs: Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3；Tao, Analysis I, Ch. 6

> 说明见 `notes/thm.completeness-equivalent.md`

引用：`thm.completeness-equivalent`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)