# Bolzano–Weierstrass　`thm.bolzano-weierstrass`
Bolzano–Weierstrass 定理（有界列必有收敛子列）
layer 16 · 定理 · 实数完备性的等价刻画 · 分析学
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每个有界实数列都有收敛子列。等价地：$\mathbb{R}$ 的每个有界无限子集都有聚点。

在 $\mathbb{R}^{n}$ 里逐坐标使用它，得到：$\mathbb{R}^{n}$ 的有界列必有收敛子列。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`lem.nested-intervals`](../nodes/lem.nested-intervals.md) 闭区间套定理：闭区间套定理 $\implies$ Bolzano–Weierstrass　[proofs/imp.nested-bw.md](../proofs/imp.nested-bw.md)

## 它能推出什么 / 谁在用它
- …另有出边，续页见 [nodes/thm.bolzano-weierstrass.2.md](./thm.bolzano-weierstrass.2.md)

refs: Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

> 说明见 `notes/thm.bolzano-weierstrass.md`

引用：`thm.bolzano-weierstrass`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)