一致连续

一致连续（Uniform Continuity）

定义
依赖深度 layer 15
分析学
拓扑学
连续与紧性

def.uniform-continuity · 定义 · 连续

陈述

设 $X \subseteq \mathbb{R}$ ， $f : X \to \mathbb{R}$ 。称 $f$ 一致连续，当且仅当

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, x' \in X :\ |x - x'| < \delta \implies |f(x) - f(x')| < \varepsilon

与「连续」的唯一差别是量词的顺序：这里 $\delta$ 出现在 $\forall x$ 之前，所以同一个 $\delta$ 要对 $X$ 上所有点同时管用。

说明

⭐ 一句话：连续是「每一点各自有一个 $\delta$ 」，一致连续是「有一个 $\delta$ 通吃全 $X$ 」。

⚠ 两者不等价： $f(x) = x^{2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，但取 $x = n$ 、 $x' = n + 1/n$ 就有 $|f(x) - f(x')| = 2 + 1/n^{2} > 2$ ，无论 $\delta$ 多小都能撞上 —— 所以它不一致连续。 $f(x) = 1/x$ 在 $(0, 1)$ 上同理。

⭐ 紧集上两者重合（Cantor 定理）—— 这就是为什么初等微积分里可以只谈连续却随手用一致连续的性质。

⭐ 一致连续是后面一切「把极限搬进积分 / 导数」的通行证：一致收敛的函数列才保连续、保积分。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 紧集上连续 ⟹ 一致连续推出

列紧性 + 一致连续的定义 $\implies$ Cantor 定理
反证。设 $f$ 在紧度量空间 $X$ 上连续但不一致连续。则存在 $\varepsilon_0 > 0$ ，使对每个 $\delta > 0$ 都能找到两点距离小于 $\delta$ 、函数值却相差至少 $\varepsilon_0$ ：
即：对每个 $n$ 都能在 $X$ 中取到两点，同时满足下面两个条件 ——
$d(x_n, x_n') < \frac{1}{n}, \qquad |f(x_n) - f(x_n')| \ge \varepsilon_0$
1. $X$ 紧 $\implies$ 列紧，故 $\{x_n\}$ 有子列 $x_{n_k} \to x^{*} \in X$ 。
2. 由 $d(x_{n_k}, x_{n_k}') < 1/n_k \to 0$ 与三角不等式， $x_{n_k}' \to x^{*}$ 也成立。
3. $f$ 在 $x^{$ 连续，所以 $f(x_{n_k}) \to f(x^{$ }) $f (x_{n_{k}}) \to f (x^{*})$ 且 $f(x_{n_k}') \to f(x^{*})$ 。
4. 于是 $|f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}')| \le |f(x_{n_k}) - f(x^{$ ，与它恒 $\ge \varepsilon_0$ 矛盾。∎
这个证明的骨架是「把一致性失败翻译成两列点」，这正是紧性最擅长处理的形式 —— 同样的套路在「紧集上连续函数取到最值」「紧算子」里反复出现。

谁指向它（入边）

定义引用 1

连续 → 本页定义引用

把连续的定义里 $\delta$ 的位置挪到 $\forall x$ 前面，就得到一致连续 —— 两个定义用同一套 $\varepsilon$ - $\delta$ 语言。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 4

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