零点定理

推论：零点定理（Bolzano 定理）

推论
依赖深度 layer 16
分析学
连续与紧性

cor.zero-point · 推论 · 连续

陈述

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（ $f(a) f(b) < 0$ ）。则存在 $\xi \in (a, b)$ 使

f(\xi) = 0

说明

⭐ 它是介值定理取 $c = 0$ 的特例，之所以单独立一条，是因为它用得太频繁（数值分析里的二分法就是它的算法化）。

⚠ 条件是异号，不是「不取零」： $f(a) = 0$ 时结论平凡但取不到 $(a, b)$ 内。

⚠ 反过来不成立：零点不必异号（ $f(x) = x^{2}$ 在 $[-1, 1]$ 上）。

谁指向它（入边）

推出 1

介值定理 ⟹ 本页推出

介值定理 $\implies$ 零点定理

设 $f(a) f(b) < 0$ 。不妨设 $f(a) < 0 < f(b)$ —— 于是 $c = 0$ 介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间。由介值定理，存在 $\xi \in [a, b]$ 使 $f(\xi) = 0$ 。
再把 $\xi$ 取到端点之内：若 $f(a) f(b) < 0$ 则 $f(a) \ne 0$ 、 $f(b) \ne 0$ ，所以 $\xi \ne a$ 、 $\xi \ne b$ ，即 $\xi \in (a, b)$ 。∎

「取到端点之内」这一步正是零点定理比介值定理多出来的那一点内容。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 4

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