# 紧集上连续 ⟹ 有界　`prop.continuous-bounded-on-compact`
命题：紧空间上的连续实值函数有界
layer 18 · 命题 · 连续与紧性 · 分析学+拓扑学
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设 $X$ 是紧度量空间（例如 $\mathbb{R}$ 中的闭区间 $[a, b]$），$f : X \to \mathbb{R}$ 连续。则 $f$ 在 $X$ 上有界：存在 $M$ 使 $|f(x)| \le M$ 对一切 $x \in X$ 成立。

## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`thm.evt`](../nodes/thm.evt.md) 最值定理

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/prop.continuous-bounded-on-compact.2.md](./prop.continuous-bounded-on-compact.2.md)

refs: Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 4

> 说明见 `notes/prop.continuous-bounded-on-compact.md`

引用：`prop.continuous-bounded-on-compact`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)