# Cauchy 收敛准则　`thm.cauchy-criterion`
定理：收敛 $\iff$ Cauchy（Cauchy Criterion）
layer 17 · 定理 · 实数完备性的等价刻画 · 分析学
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实数列 $\{x_n\}$ 收敛（到某个实数），当且仅当它是 Cauchy 列。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`thm.bolzano-weierstrass`](../nodes/thm.bolzano-weierstrass.md) Bolzano–Weierstrass：Bolzano–Weierstrass $\implies$ Cauchy 收敛准则　[proofs/imp.bw-cauchy.md](../proofs/imp.bw-cauchy.md)

- …另有入边，续页见 [nodes/thm.cauchy-criterion.2.md](./thm.cauchy-criterion.2.md)

## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`thm.real-complete-metric`](../nodes/thm.real-complete-metric.md) ℝ 是完备度量空间

- …另有出边，续页见 [nodes/thm.cauchy-criterion.3.md](./thm.cauchy-criterion.3.md)

refs: Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

> 说明见 `notes/thm.cauchy-criterion.md`

引用：`thm.cauchy-criterion`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)