# 梯度　`def.gradient`
梯度（Gradient）
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设 $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 开，$f : U \to \mathbb{R}$ 在 $a$ 可微。则 $Df(a)$ 是 $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ 的线性映射，即对偶空间 $(\mathbb{R}^{n})^{\ast}$ 中的元素。由 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准内积与 Riesz 表示，存在**唯一**的 $\nabla f(a) \in \mathbb{R}^{n}$ 使

$$Df(a)(v) = \langle \nabla f(a),\ v \rangle \qquad (v \in \mathbb{R}^{n})$$

它叫 $f$ 在 $a$ 的**梯度**。在标准内积与标准基下
> 陈述续见 [nodes/def.gradient.2.md](./def.gradient.2.md)


## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/def.gradient.3.md](./def.gradient.3.md)

refs: Spivak, Calculus on Manifolds, Ch. 2；Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 9

> 说明见 `notes/def.gradient.md`

引用：`def.gradient`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)