上极限与下极限

上极限与下极限 lim sup⁡\limsup / lim inf⁡\liminf（Limit Superior and Inferior）

def.limsup-liminf · 定义 · 极限

陈述

对实数列 {xn}\{x_n\}，令

lim sup⁡n→∞xn:=lim⁡n→∞(sup⁡k≥nxk),lim inf⁡n→∞xn:=lim⁡n→∞(inf⁡k≥nxk)\limsup_{n \to \infty} x_n := \lim_{n \to \infty} \Bigl( \sup_{k \ge n} x_k \Bigr), \qquad \liminf_{n \to \infty} x_n := \lim_{n \to \infty} \Bigl( \inf_{k \ge n} x_k \Bigr)

（n↦sup⁡k≥nxkn \mapsto \sup_{k \ge n} x_k 单调递减、n↦inf⁡k≥nxkn \mapsto \inf_{k \ge n} x_k 单调递增，所以在 R‾\overline{\mathbb{R}} 里的这两个极限总是存在。）

并且数列的极限存在（允许取值 ±∞\pm\infty），当且仅当上下极限相等，即

lim inf⁡n→∞xn=lim sup⁡n→∞xn\liminf_{n \to \infty} x_n = \limsup_{n \to \infty} x_n

说明

⭐ 上极限就是「所有收敛子列的极限之中最大的那个」（把 ±∞\pm \infty 也算进来）—— 于是每个实数列都有上下极限，而只有收敛的数列才有极限：上下极限是极限的放宽版。

⭐ 测度论里它们的出场方式很关键：Fatou 引理就是 ∫lim inf⁡fn≤lim inf⁡∫fn\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n —— 那里用不了「极限」，因为 fnf_n 未必收敛。

⚠ lim sup⁡\limsup 与 sup⁡\sup 不是一回事：sup⁡nxn\sup_n x_n 是全体项的上确界，lim sup⁡nxn\limsup_n x_n 只看尾部，所以对 xn=(−1)nx_n = (-1)^{n} 有 sup⁡xn=1\sup x_n = 1 而 lim sup⁡xn=1\limsup x_n = 1、lim inf⁡xn=−1\liminf x_n = -1。

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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