极限的四则运算与保序性

谁指向它（入边）

推出 1

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  极限的定义 $\implies$ 四则运算与保序性

  以函数版为例（数列版把 $\delta$ 换成 $N$ 即可），记 $A = \lim_{x \to x_0} f(x)$，$B = \lim_{x \to x_0} g(x)$，给定 $\varepsilon > 0$。

  (i) 加法。 取 $\delta_1, \delta_2$ 分别使 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时 $|f(x) - A| < \varepsilon / 2$、$0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时 $|g(x) - B| < \varepsilon / 2$。取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则

  $$|(f + g)(x) - (A + B)| \le |f(x) - A| + |g(x) - B| < \varepsilon$$

  (ii) 乘法。 先注意 $f$ 在 $x_0$ 附近有界：存在 $\delta_0$ 与 $M$ 使 $|f(x)| \le M$。于是

  $$|f(x)g(x) - AB| \le |f(x)|\,|g(x) - B| + |B|\,|f(x) - A| \le M\,|g(x) - B| + |B|\,|f(x) - A|$$

  右边两项各自可小于 $\varepsilon / 2$，取相应的 $\delta$ 之小者即可。

  (iii) 倒数。 由 $B \ne 0$，取 $\delta_0$ 使 $0 < |x - x_0| < \delta_0$ 时 $|g(x) - B| < |B| / 2$，于是 $|g(x)| > |B| / 2$，从而

  $$\Bigl| \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{B} \Bigr| = \frac{|g(x) - B|}{|g(x)|\,|B|} \le \frac{2}{|B|^{2}}\,|g(x) - B|$$

  (iv) 保序性。 设 $f(x) \le g(x)$ 在去心邻域上成立而 $A > B$。取 $\varepsilon = (A - B) / 2$，则充分靠近 $x_0$ 时 $f(x) > A - \varepsilon > B + \varepsilon > g(x)$，与 $f \le g$ 矛盾。故 $A \le B$。∎

  (v) 绝对值。 由 $|\,|f(x)| - |A|\,| \le |f(x) - A|$（三角不等式的变形）直接得到。

  「保序性」之所以结论是 $\le$ 而不是 $<$，看证明的最后一步就明白了：反证法只排除了 $A > B$。