单侧极限

左极限与右极限（One-Sided Limits）

def.function-limit-onesided · 定义 · 极限

陈述

左极限 $\lim_{x \to x_0^{-}} f(x) = L$ 指

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 :\ x_0 - \delta < x < x_0 \implies |f(x) - L| < \varepsilon

右极限 $\lim_{x \to x_0^{+}} f(x) = L$ 把条件换成 $x_0 < x < x_0 + \delta$ 。

于是得到极限存在的判别法：极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，当且仅当左右极限都存在且相等，即

\lim_{x \to x_0^{-}} f(x) = \lim_{x \to x_0^{+}} f(x)

⭐ 单侧极限在图上出现在三处：分段函数接缝处的连续性、单调函数的跳跃（BV 那一团用 $F(x+) - F(x-)$ 定义跳跃）、区间端点上的连续性。

⭐ 单调函数在每一点的两个单侧极限都存在（不必相等、不必连续）—— 这是「单调函数的不连续点可数」的第一步。

⚠ 记号里 $x \to x_0^{-}$ 的短横是「从左边靠近」，不是减号。

函数极限 → 本页定义引用

单侧极限就是把 $0 < |x - x_0| < \delta$ 换成半边： $x_0 - \delta < x < x_0$ 或 $x_0 < x < x_0 + \delta$ 。