函数极限

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 夹逼定理推出
  数列/函数极限的定义 $\implies$ 夹逼定理

  数列版。 设 $a_n \to L$、$b_n \to L$，且 $n \ge N_0$ 时 $a_n \le x_n \le b_n$。给定 $\varepsilon > 0$。

  1. 由 $a_n \to L$，存在 $N_1$，使得 $n \ge N_1$ 时 $|a_n - L| < \varepsilon$，特别地 $a_n > L - \varepsilon$。
  2. 由 $b_n \to L$，存在 $N_2$，使得 $n \ge N_2$ 时 $b_n < L + \varepsilon$。
  3. 取 $N = \max\{N_0, N_1, N_2\}$。当 $n \ge N$ 时

  $$L - \varepsilon < a_n \le x_n \le b_n < L + \varepsilon$$

  即 $|x_n - L| < \varepsilon$。故 $x_n \to L$。

  函数版。 把上面第 1、2 步里的「存在 $N_1$」换成「存在 $\delta_1 > 0$」，第 3 步取 $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1, \delta_2\}$，逐字照搬即可。∎

  夹逼定理没有任何「存在性」内容：它的两个前提本身已经给出了极限 $L$，所以只用定义就够了 —— 这也是它为什么在实数的任何完备化里都成立的原因。

• 本页 ⟹ 极限的四则运算与保序性推出
  极限的定义 $\implies$ 四则运算与保序性

  以函数版为例（数列版把 $\delta$ 换成 $N$ 即可），记 $A = \lim_{x \to x_0} f(x)$，$B = \lim_{x \to x_0} g(x)$，给定 $\varepsilon > 0$。

  (i) 加法。 取 $\delta_1, \delta_2$ 分别使 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时 $|f(x) - A| < \varepsilon / 2$、$0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时 $|g(x) - B| < \varepsilon / 2$。取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则

  $$|(f + g)(x) - (A + B)| \le |f(x) - A| + |g(x) - B| < \varepsilon$$

  (ii) 乘法。 先注意 $f$ 在 $x_0$ 附近有界：存在 $\delta_0$ 与 $M$ 使 $|f(x)| \le M$。于是

  $$|f(x)g(x) - AB| \le |f(x)|\,|g(x) - B| + |B|\,|f(x) - A| \le M\,|g(x) - B| + |B|\,|f(x) - A|$$

  右边两项各自可小于 $\varepsilon / 2$，取相应的 $\delta$ 之小者即可。

  (iii) 倒数。 由 $B \ne 0$，取 $\delta_0$ 使 $0 < |x - x_0| < \delta_0$ 时 $|g(x) - B| < |B| / 2$，于是 $|g(x)| > |B| / 2$，从而

  $$\Bigl| \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{B} \Bigr| = \frac{|g(x) - B|}{|g(x)|\,|B|} \le \frac{2}{|B|^{2}}\,|g(x) - B|$$

  (iv) 保序性。 设 $f(x) \le g(x)$ 在去心邻域上成立而 $A > B$。取 $\varepsilon = (A - B) / 2$，则充分靠近 $x_0$ 时 $f(x) > A - \varepsilon > B + \varepsilon > g(x)$，与 $f \le g$ 矛盾。故 $A \le B$。∎

  (v) 绝对值。 由 $|\,|f(x)| - |A|\,| \le |f(x) - A|$（三角不等式的变形）直接得到。

  「保序性」之所以结论是 $\le$ 而不是 $<$，看证明的最后一步就明白了：反证法只排除了 $A > B$。

定义引用 1

• 单侧极限 用到 本页定义引用

  单侧极限就是把 $0 < |x - x_0| < \delta$ 换成半边：$x_0 - \delta < x < x_0$ 或 $x_0 < x < x_0 + \delta$。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 数列极限 → 本页定义引用

  两者用的是同一套 $\varepsilon$ 语言；函数版多一层 $\delta$ 来管住自变量靠近的程度，Heine 刻画则把函数版还原成数列版。