夹逼定理

谁指向它（入边）

推出 1

• 数列极限、函数极限 ⟹ 本页推出
  数列/函数极限的定义 $\implies$ 夹逼定理

  数列版。 设 $a_n \to L$、$b_n \to L$，且 $n \ge N_0$ 时 $a_n \le x_n \le b_n$。给定 $\varepsilon > 0$。

  1. 由 $a_n \to L$，存在 $N_1$，使得 $n \ge N_1$ 时 $|a_n - L| < \varepsilon$，特别地 $a_n > L - \varepsilon$。
  2. 由 $b_n \to L$，存在 $N_2$，使得 $n \ge N_2$ 时 $b_n < L + \varepsilon$。
  3. 取 $N = \max\{N_0, N_1, N_2\}$。当 $n \ge N$ 时

  $$L - \varepsilon < a_n \le x_n \le b_n < L + \varepsilon$$

  即 $|x_n - L| < \varepsilon$。故 $x_n \to L$。

  函数版。 把上面第 1、2 步里的「存在 $N_1$」换成「存在 $\delta_1 > 0$」，第 3 步取 $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1, \delta_2\}$，逐字照搬即可。∎

  夹逼定理没有任何「存在性」内容：它的两个前提本身已经给出了极限 $L$，所以只用定义就够了 —— 这也是它为什么在实数的任何完备化里都成立的原因。