# 上极限与下极限　`def.limsup-liminf`
上极限与下极限 $\limsup$ / $\liminf$（Limit Superior and Inferior）
layer 7 · 定义 · 实数与极限 · 分析学
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对实数列 $\{x_n\}$，令

$$\limsup_{n \to \infty} x_n := \lim_{n \to \infty} \Bigl( \sup_{k \ge n} x_k \Bigr), \qquad \liminf_{n \to \infty} x_n := \lim_{n \to \infty} \Bigl( \inf_{k \ge n} x_k \Bigr)$$

（$n \mapsto \sup_{k \ge n} x_k$ 单调递减、$n \mapsto \inf_{k \ge n} x_k$ 单调递增，所以在 $\overline{\mathbb{R}}$ 里的这两个极限**总是存在**。）
> 陈述续见 [nodes/def.limsup-liminf.2.md](./def.limsup-liminf.2.md)


## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/def.limsup-liminf.3.md](./def.limsup-liminf.3.md)

refs: Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

> 说明见 `notes/def.limsup-liminf.md`

引用：`def.limsup-liminf`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)