群作用

它指向谁（出边）

推出 4

• 本页 ⟹ 轨道–稳定子定理推出
  构造双射 $G/G_x \to Gx$ $\implies$ 轨道–稳定子

  第一步：$G_x$ 是子群。 $e \in G_x$；若 $g, h \in G_x$，则 $(gh)\cdot x = g\cdot(h\cdot x) = g \cdot x = x$，故 $gh \in G_x$；又 $g \cdot x = x$ 两边作用 $g^{-1}$ 得 $x = g^{-1}\cdot x$，故 $g^{-1} \in G_x$。

  第二步：映射 $\varphi : G/G_x \to Gx$，$g G_x \mapsto g \cdot x$ 良定义。 若 $g' \in gG_x$，写 $g' = g h$（$h \in G_x$），则 $g'\cdot x = g\cdot(h\cdot x) = g \cdot x$ —— 与代表元无关。

  第三步：$\varphi$ 是双射。 满：$Gx$ 的元素按定义就是 $g\cdot x$。单：若 $g\cdot x = g'\cdot x$，则 $(g^{-1}g')\cdot x = g^{-1}\cdot(g'\cdot x) = g^{-1}\cdot(g\cdot x) = x$，故 $g^{-1}g' \in G_x$，即 $g' \in gG_x$，两个陪集相同。

  第四步：取基数。 由第三步与 Lagrange（thm.lagrange），

  $$|\operatorname{Orb}(x)| = |G/G_x| = [G : G_x] = \frac{|G|}{|G_x|}$$

  ∎

  ⭐ 这个双射值得单独记住：「轨道里的点」与「稳定子的陪集」是一回事。它把几何（点集）翻译成了代数（陪集），后面所有轨道计数都是这一句的算术化。

• 本页 ⟹ 类方程推出
  共轭作用的轨道分解 + 轨道–稳定子 $\implies$ 类方程

  第一步：共轭是一个作用。 令 $g \cdot x := g x g^{-1}$。则 $e\cdot x = x$，且

  $$(gh)\cdot x = (gh)\,x\,(gh)^{-1} = g\,(h x h^{-1})\,g^{-1} = g \cdot (h \cdot x).$$

  第二步：轨道与稳定子各是什么。 轨道 $G\cdot x = \{\,gxg^{-1}\,\}$ 就是共轭类；稳定子

  $$G_x = \{\, g : gxg^{-1} = x \,\} = \{\, g : gx = xg \,\} = C_G(x)$$

  正是中心化子。而 $|\text{轨道}| = 1 \iff Gx = \{x\} \iff x \in Z(G)$（与一切元素交换）。

  第三步：分解。 由第一步，$X = G$ 被共轭类划分。把长度 $1$ 的类（即 $Z(G)$ 的元素）单独拎出，其余类按代表元 $x_1, \ldots, x_r$ 计数，得

  $$|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{r} |\text{$x_i$ 的共轭类}| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{r} [G : C_G(x_i)],$$

  最后一步用了轨道–稳定子（thm.orbit-stabilizer）。

  第四步：$p$-群那一档。 若 $|G| = p^{n}$，则每项 $[G : C_G(x_i)] = p^{k_i}$（$k_i \ge 1$，因为 $x_i$ 非中心故 $C_G(x_i) \ne G$）。于是右端除 $|Z(G)|$ 外都被 $p$ 整除，左端也被 $p$ 整除，故 $p \mid |Z(G)|$；又 $Z(G) \ne \emptyset$ 含 $e$，故 $|Z(G)| \ge p$，特别地 $Z(G) \ne \{e\}$。∎

  ⭐ 第三步的「把长度 1 的类拎出来」不是技巧，而是必须：中心化子等于 $G$ 时 $[G : C_G(x)] = 1$，直接写求和会让中心被重复计入 $|Z(G)|$ 次。

• 本页 ⟹ Cayley 定理推出
  左乘作用是自由作用 $\implies$ Cayley 定理

  第一步：左乘是作用。 $\rho : G \times G \to G$，$\rho(g)(h) := gh$。则 $e h = h$、$(g_1g_2)h = g_1(g_2 h)$，故它是 $G$ 在自身上的作用。于是（def.group-action 的等价说法）它对应同态

  $$\rho : G \to \operatorname{Sym}(G), \qquad g \mapsto (h \mapsto gh).$$

  第二步：每个 $\rho(g)$ 是双射。 逆是 $h \mapsto g^{-1}h$。

  第三步：作用自由，故同态单。 若 $\rho(g) = \mathrm{id}$，则对一切 $h$ 有 $gh = h$；取 $h = e$ 得 $g = e$。故 $\ker\rho = \{e\}$，$\rho$ 单射。

  第四步：$|G| = n$ 时认出 $S_n$。 $\operatorname{Sym}(G) \cong S_n$（把 $G$ 的元素随意编号），于是 $G \cong \rho(G) \le S_n$。∎

  ⭐ 第三步「取 $h = e$」这一步是全部内容：自由性（稳定子平凡）就是单性。任何自由作用都会给出一个单同态，Cayley 只是取作用为左乘。

• 本页 ⟹ Sylow 定理推出
  类方程 + 让 Sylow 子群作用 $\implies$ Sylow 三条

  记 $|G| = p^{a} m$、$p \nmid m$。

  （1）存在性：对 $|G|$ 归纳。 $a = 0$ 时取平凡子群。设 $a \ge 1$。

  • 情形 A：$p \mid |Z(G)|$。 取 $z \in Z(G)$，$\operatorname{ord}(z) = p$（Cauchy 引理，由类方差的推论加上对阶归纳可得）。令 $\overline G := G/\langle z\rangle$，则 $|\overline G| = p^{a-1}m$。由归纳假设 $\overline G$ 有 $p^{a-1}$ 阶子群 $\overline P$；取 $\pi^{-1}(\overline P) \le G$（$\pi : G \to \overline G$ 是自然满同态），其阶为 $|\overline P| \cdot |\langle z\rangle| = p^{a}$。
  • 情形 B：$p \nmid |Z(G)|$。 由类方程（thm.class-equation）$|G| = |Z(G)| + \sum_i [G : C_G(x_i)]$。左端被 $p$ 整除、$|Z(G)|$ 不被 $p$ 整除，故存在某个 $i$ 使 $p \nmid [G : C_G(x_i)]$。由 $|G| = [G : C_G(x_i)]\cdot|C_G(x_i)|$ 与 $p^{a} \mid |G|$ 得 $p^{a} \mid |C_G(x_i)|$；又 $x_i$ 非中心故 $C_G(x_i) \ne G$，于是 $|C_G(x_i)| < |G|$。对 $C_G(x_i)$ 用归纳假设得 $p^{a}$ 阶子群，它也是 $G$ 的。

  （$p^{i}$ 阶子群（$i < a$）由对 $p^{a}$ 阶子群再用一次「$p$-群有 $p^{i}$ 阶子群」的归纳得到。）

  （2）共轭性。 设 $P, Q$ 是 Sylow $p$-子群，考虑 $P$ 在左陪集集合 $X := G/Q$ 上的作用 $g \cdot (hQ) := (gh)Q$。

  $$|X| = [G : Q] = m, \qquad p \nmid m.$$

  由轨道分解 $|X| = \sum |\text{轨道}|$，每个轨道长 $= [P : P_{hQ}]$ 是 $p$ 的幂。若没有不动点，则每个轨道长都被 $p$ 整除，于是 $p \mid |X| = m$，矛盾。故有不动点 $hQ$：对一切 $g \in P$ 有 $ghQ = hQ$，即 $h^{-1}Ph \le Q$。两端阶相同（都是 $p^{a}$），故 $h^{-1}Ph = Q$：$P$ 与 $Q$ 共轭。

  把上面论证中的 $P$ 换成任一 $p$-子群 $R$，同样得到 $h^{-1}Rh \le Q$：任何 $p$-子群都含在某个 Sylow 子群中。

  （3）计数。 设 $\mathcal{S}$ 是全体 Sylow $p$-子群的集合。$G$ 共轭作用在 $\mathcal{S}$ 上（由 (2) 传递）；$P$ 的稳定子是 $N_G(P)$，故

  $$n_p = |\mathcal{S}| = [G : N_G(P)].$$

  再由 $P \le N_G(P)$ 得 $n_p \mid [G : P] = m$。最后让 $P$ 共轭作用在 $\mathcal{S}$ 上：轨道长是 $p$ 的幂，而 $P$ 的不动点只有 $P$ 自己（若 $P$ 固定 $Q$，则 $P \le N_G(Q)$，于是 $P$ 与 $Q$ 都是 $N_G(Q)$ 的 Sylow 子群，由 (2) 在 $N_G(Q)$ 中共轭；但 $Q \trianglelefteq N_G(Q)$ 故只能 $P = Q$）。于是

  $$n_p = 1 + \sum (\text{长度 } \ge 2 \text{ 的轨道长}) \equiv 1 \pmod p$$

  ∎

  ⭐ 第二步的论证是整条定理的模板，值得单独记住：让 $p$-群作用在一个「基数不被 $p$ 整除」的集合上，必有不共点 —— 因为轨道长都是 $p$ 的幂，若都 $\ge p$ 就整除不了总和。这个「不动点论证」在表示论与代数拓扑里反复出现。

定义引用 5

• 置换群与对称群 用到 本页定义引用

  $S_n$ 对 $\{1,\ldots,n\}$ 的作用是群作用最重要的例子；反过来 Cayley 定理把每个群塞进某个 $\operatorname{Sym}(X)$。

• 轨道–稳定子定理 用到 本页定义引用

  轨道与稳定子都是群作用这一条定义里带出来的对象。

• 类方程 用到 本页定义引用

  类方程是共轭作用的轨道分解，所以先用群作用这套语言。

• Cayley 定理 用到 本页定义引用

  Cayley 定理就是「左乘作用」这个具体作用给出的结论。

• Sylow 定理 用到 本页定义引用

  Sylow 的三条（尤其共轭性与计数）全靠让 Sylow 子群作用在陪集或 Sylow 集合上。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 群 → 本页定义引用

  作用是一族由群元素指标化的双射，先要有群。

• 子群 → 本页定义引用

  稳定子 $G_x$ 是 $G$ 的子群（定义里就要说清它落在哪个概念下）。

• 群同态、核与像 → 本页定义引用

  ⭐ 作用的等价说法是同态 $G \to \operatorname{Sym}(X)$ —— 整团的技巧都从这条等价里来。