置换群与对称群

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Cayley 定理推出
  左乘作用是自由作用 $\implies$ Cayley 定理

  第一步：左乘是作用。 $\rho : G \times G \to G$，$\rho(g)(h) := gh$。则 $e h = h$、$(g_1g_2)h = g_1(g_2 h)$，故它是 $G$ 在自身上的作用。于是（def.group-action 的等价说法）它对应同态

  $$\rho : G \to \operatorname{Sym}(G), \qquad g \mapsto (h \mapsto gh).$$

  第二步：每个 $\rho(g)$ 是双射。 逆是 $h \mapsto g^{-1}h$。

  第三步：作用自由，故同态单。 若 $\rho(g) = \mathrm{id}$，则对一切 $h$ 有 $gh = h$；取 $h = e$ 得 $g = e$。故 $\ker\rho = \{e\}$，$\rho$ 单射。

  第四步：$|G| = n$ 时认出 $S_n$。 $\operatorname{Sym}(G) \cong S_n$（把 $G$ 的元素随意编号），于是 $G \cong \rho(G) \le S_n$。∎

  ⭐ 第三步「取 $h = e$」这一步是全部内容：自由性（稳定子平凡）就是单性。任何自由作用都会给出一个单同态，Cayley 只是取作用为左乘。

定义引用 1

• 符号与交错群 用到 本页定义引用

  符号定义在 $S_n$ 的元素上，交错群是它的核。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 群 → 本页定义引用

  $S_n$ 是「双射在复合下成群」这个构造的实例，先要有群的定义。

• 群作用 → 本页定义引用

  $S_n$ 对 $\{1,\ldots,n\}$ 的作用是群作用最重要的例子；反过来 Cayley 定理把每个群塞进某个 $\operatorname{Sym}(X)$。