# 置换群与对称群　`def.permutation-group`
对称群 $S_n$、置换与循环分解
layer 10 · 定义 · 群作用与置换 · 抽象代数
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$n$ 元集合（不妨取 $\{1, 2, \ldots, n\}$）的全体双射在**复合**下构成群，记 $S_n$，叫 **$n$ 次对称群**；它的元素叫**置换**，$|S_n| = n!$。$S_n$ 的子群统称**置换群**。

**循环分解**：每个 $\sigma \in S_n$ 可以唯一地（在循环的书写顺序与循环之间的次序不计的意义下）写成**互不相交**的循环之积

$$\sigma = (a_1\ a_2\ \cdots\ a_{k_1})(b_1\ \cdots\ b_{k_2}) \cdots$$
> 陈述续见 [nodes/def.permutation-group.2.md](./def.permutation-group.2.md)


## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/def.permutation-group.3.md](./def.permutation-group.3.md)

## 它能推出什么 / 谁在用它
- …另有出边，续页见 [nodes/def.permutation-group.4.md](./def.permutation-group.4.md)

refs: Lang, Algebra, Ch. I §5；Dummit–Foote, Abstract Algebra, §3.1

> 说明见 `notes/def.permutation-group.md`

引用：`def.permutation-group`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)