循环群

循环群（Cyclic Group）

def.cyclic-group · 定义 · 代数 · 群 · 循环群

陈述

设 GG 是群、g∈Gg \in G。集合

⟨g⟩:={ gk:k∈Z }⊆  G\langle g \rangle := \{\, g^{k} : k \in \mathbb{Z} \,\} \quad \subseteq\; G

（约定 g0=eg^{0} = e、g−k=(g−1)kg^{-k} = (g^{-1})^{k}）是 GG 的最小子群，叫 gg 生成的循环群。若 G=⟨g⟩G = \langle g\rangle 对某个 gg 成立，称 GG 为循环群，gg 叫生成元。

同构意义下只有两种：

说明

⭐ 循环群是同阶唯一的群（同阶的循环群必同构）—— 这在群论里是罕见的干净情形。

⭐ 子群全循环、且结构完全清楚：Z/n\mathbb{Z}/n 的每个子群都是 ⟨gd⟩\langle g^{d}\rangle 的形状，其中 d∣nd \mid n；对应地 Z/n\mathbb{Z}/n 的子群与 nn 的正因子一一对应（d↔d \leftrightarrow 由 n/dn/d 生成的子群）。

⭐ Z/n\mathbb{Z}/n 的生成元个数是 Euler 函数 φ(n)\varphi(n)（与 nn 互素的那些 kk 对应的 gkg^{k}）。

⭐ Z/p\mathbb{Z}/p（pp 素）是素域 Fp\mathbb{F}_p 的加法群，也是它唯一的真子群来源 —— 这是 def.characteristic 与有限域那条线的起点。

⚠ 「循环」不是「gg 的幂总是循环排列」这种字面意思；它的意思是「一个元素就能生成整个群」（cyclic = 由单个生成元生成的）。

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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