Lagrange 定理

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 轨道–稳定子定理推出
  构造双射 $G/G_x \to Gx$ $\implies$ 轨道–稳定子

  第一步：$G_x$ 是子群。 $e \in G_x$；若 $g, h \in G_x$，则 $(gh)\cdot x = g\cdot(h\cdot x) = g \cdot x = x$，故 $gh \in G_x$；又 $g \cdot x = x$ 两边作用 $g^{-1}$ 得 $x = g^{-1}\cdot x$，故 $g^{-1} \in G_x$。

  第二步：映射 $\varphi : G/G_x \to Gx$，$g G_x \mapsto g \cdot x$ 良定义。 若 $g' \in gG_x$，写 $g' = g h$（$h \in G_x$），则 $g'\cdot x = g\cdot(h\cdot x) = g \cdot x$ —— 与代表元无关。

  第三步：$\varphi$ 是双射。 满：$Gx$ 的元素按定义就是 $g\cdot x$。单：若 $g\cdot x = g'\cdot x$，则 $(g^{-1}g')\cdot x = g^{-1}\cdot(g'\cdot x) = g^{-1}\cdot(g\cdot x) = x$，故 $g^{-1}g' \in G_x$，即 $g' \in gG_x$，两个陪集相同。

  第四步：取基数。 由第三步与 Lagrange（thm.lagrange），

  $$|\operatorname{Orb}(x)| = |G/G_x| = [G : G_x] = \frac{|G|}{|G_x|}$$

  ∎

  ⭐ 这个双射值得单独记住：「轨道里的点」与「稳定子的陪集」是一回事。它把几何（点集）翻译成了代数（陪集），后面所有轨道计数都是这一句的算术化。

谁指向它（入边）

推出 1

• 子群 ⟹ 本页推出
  陪集构成划分 + 平移是双射 $\implies$ Lagrange

  第一步：左陪集是等价类。 在 $G$ 上定义关系 $g_1 \sim g_2 :\iff g_1^{-1} g_2 \in H$。它自反（$g^{-1}g = e \in H$）、对称（$g_1^{-1}g_2 \in H \implies (g_1^{-1}g_2)^{-1} = g_2^{-1}g_1 \in H$）、传递（相乘仍属 $H$），故是等价关系。而

  $$g_1 \sim g_2 \iff g_1^{-1} g_2 \in H \iff g_2 \in g_1 H,$$

  所以等价类正是左陪集。等价类构成划分，故左陪集两两不交且覆盖 $G$。

  第二步：每个左陪集与 $H$ 等势。 映射 $\varphi : H \to gH$，$h \mapsto gh$，有逆 $gh \mapsto h$（良定义：$gh_1 = gh_2 \implies h_1 = h_2$）。故 $|gH| = |H|$。

  第三步：数个数。 设不同左陪集为 $g_1H, \ldots, g_k H$。由第一步 $G = \bigsqcup_{i} g_i H$，两边取基数并用第二步：

  $$|G| = \sum_{i=1}^{k} |g_i H| = k \, |H|,$$

  故 $|H| \mid |G|$ 且 $k = |G|/|H| = [G : H]$。∎

  ⭐ 整个证明没有用到任何关于群结构的东西 —— 只用了「$H$ 对乘法封闭且含逆」这两个子群条件。所以 Lagrange 是一条纯计数定理。

定义引用 1

• 子群 → 本页定义引用

  Lagrange 定理讲的是子群 $H$ 的阶与群的阶的关系。