Sylow 定理

谁指向它（入边）

推出 1

• 类方程、群作用、轨道–稳定子定理 ⟹ 本页推出
  类方程 + 让 Sylow 子群作用 $\implies$ Sylow 三条

  记 $|G| = p^{a} m$、$p \nmid m$。

  （1）存在性：对 $|G|$ 归纳。 $a = 0$ 时取平凡子群。设 $a \ge 1$。

  • 情形 A：$p \mid |Z(G)|$。 取 $z \in Z(G)$，$\operatorname{ord}(z) = p$（Cauchy 引理，由类方差的推论加上对阶归纳可得）。令 $\overline G := G/\langle z\rangle$，则 $|\overline G| = p^{a-1}m$。由归纳假设 $\overline G$ 有 $p^{a-1}$ 阶子群 $\overline P$；取 $\pi^{-1}(\overline P) \le G$（$\pi : G \to \overline G$ 是自然满同态），其阶为 $|\overline P| \cdot |\langle z\rangle| = p^{a}$。
  • 情形 B：$p \nmid |Z(G)|$。 由类方程（thm.class-equation）$|G| = |Z(G)| + \sum_i [G : C_G(x_i)]$。左端被 $p$ 整除、$|Z(G)|$ 不被 $p$ 整除，故存在某个 $i$ 使 $p \nmid [G : C_G(x_i)]$。由 $|G| = [G : C_G(x_i)]\cdot|C_G(x_i)|$ 与 $p^{a} \mid |G|$ 得 $p^{a} \mid |C_G(x_i)|$；又 $x_i$ 非中心故 $C_G(x_i) \ne G$，于是 $|C_G(x_i)| < |G|$。对 $C_G(x_i)$ 用归纳假设得 $p^{a}$ 阶子群，它也是 $G$ 的。

  （$p^{i}$ 阶子群（$i < a$）由对 $p^{a}$ 阶子群再用一次「$p$-群有 $p^{i}$ 阶子群」的归纳得到。）

  （2）共轭性。 设 $P, Q$ 是 Sylow $p$-子群，考虑 $P$ 在左陪集集合 $X := G/Q$ 上的作用 $g \cdot (hQ) := (gh)Q$。

  $$|X| = [G : Q] = m, \qquad p \nmid m.$$

  由轨道分解 $|X| = \sum |\text{轨道}|$，每个轨道长 $= [P : P_{hQ}]$ 是 $p$ 的幂。若没有不动点，则每个轨道长都被 $p$ 整除，于是 $p \mid |X| = m$，矛盾。故有不动点 $hQ$：对一切 $g \in P$ 有 $ghQ = hQ$，即 $h^{-1}Ph \le Q$。两端阶相同（都是 $p^{a}$），故 $h^{-1}Ph = Q$：$P$ 与 $Q$ 共轭。

  把上面论证中的 $P$ 换成任一 $p$-子群 $R$，同样得到 $h^{-1}Rh \le Q$：任何 $p$-子群都含在某个 Sylow 子群中。

  （3）计数。 设 $\mathcal{S}$ 是全体 Sylow $p$-子群的集合。$G$ 共轭作用在 $\mathcal{S}$ 上（由 (2) 传递）；$P$ 的稳定子是 $N_G(P)$，故

  $$n_p = |\mathcal{S}| = [G : N_G(P)].$$

  再由 $P \le N_G(P)$ 得 $n_p \mid [G : P] = m$。最后让 $P$ 共轭作用在 $\mathcal{S}$ 上：轨道长是 $p$ 的幂，而 $P$ 的不动点只有 $P$ 自己（若 $P$ 固定 $Q$，则 $P \le N_G(Q)$，于是 $P$ 与 $Q$ 都是 $N_G(Q)$ 的 Sylow 子群，由 (2) 在 $N_G(Q)$ 中共轭；但 $Q \trianglelefteq N_G(Q)$ 故只能 $P = Q$）。于是

  $$n_p = 1 + \sum (\text{长度 } \ge 2 \text{ 的轨道长}) \equiv 1 \pmod p$$

  ∎

  ⭐ 第二步的论证是整条定理的模板，值得单独记住：让 $p$-群作用在一个「基数不被 $p$ 整除」的集合上，必有不共点 —— 因为轨道长都是 $p$ 的幂，若都 $\ge p$ 就整除不了总和。这个「不动点论证」在表示论与代数拓扑里反复出现。

定义引用 1

• 群作用 → 本页定义引用

  Sylow 的三条（尤其共轭性与计数）全靠让 Sylow 子群作用在陪集或 Sylow 集合上。