Jordan–Hölder 定理

谁指向它（入边）

推出 1

• 合成列 ⟹ 本页推出
  Zassenhaus（蝴蝶）引理 + Schreier 加细 $\implies$ Jordan–Hölder

  引理 1（Zassenhaus / 蝴蝶引理）：设 $A \trianglelefteq A^{\ast}$、$B \trianglelefteq B^{\ast}$ 都是群 $G$ 的子群。则

  $$A(A^{\ast}\cap B^{\ast}) \trianglelefteq A(A^{\ast} \cap B), \qquad B(A^{\ast}\cap B^{\ast}) \trianglelefteq B(A^{\ast}\cap B),$$

  且两个商同构：

  $$\frac{A(A^{\ast}\cap B)}{A(A^{\ast}\cap B^{\ast})} \;\cong\; \frac{B(A^{\ast}\cap B)}{B(A^{\ast}\cap B^{\ast})}.$$

  证明：考虑映射 $\varphi : A(A^{\ast}\cap B) \to \dfrac{B(A^{\ast}\cap B)}{B(A^{\ast}\cap B^{\ast})}$。由 $A \trianglelefteq A^{\ast}$、$B \trianglelefteq B^{\ast}$ 可逐项验证 $\varphi$ 是同态，其核恰为 $A(A^{\ast}\cap B^{\ast})$、其像恰为整个商（任取 $b \in B$，$b$ 的像由 $A$ 部分承担）。于是由第一同构定理（thm.first-iso）得同构。对称地做另一边即得引理。∎

  引理 2（Schreier）：任意两条正规链都有等价的加细（两条加细的因子多重集相同）。

  证明：只需证一条链与任一链能通过反复插入中间项互相加细到等价。设链为 $\cdots \trianglelefteq G_i \trianglelefteq G_{i+1} \trianglelefteq \cdots$，插入 $H_j$ 时在区间 $[G_i, G_{i+1}]$ 上插入

  $$G_i(H_j \cap G_{i+1}) \ \text{与}\ G_i(H_{j+1}\cap G_{i+1})$$

  由引理 1，这两步的商在「对 $i$ 加细」与「对 $j$ 加细」两种看法下同构 —— 于是把双边所有小区间用蝴蝶引理配成对，得到两条等价加细。∎

  回到定理：设两条合成列为 $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2$。由引理 2 存在等价加细 $\mathcal{C}_1^{\prime}, \mathcal{C}_2^{\prime}$。但合成列已无法再加细：其每步商是单群，而单群没有非平凡正规子群，插不进任何中间项。故 $\mathcal{C}_1^{\prime} = \mathcal{C}_1$、$\mathcal{C}_2^{\prime} = \mathcal{C}_2$，于是两条合成列本身等价：长度相同、因子多重集相同。∎

  ⚠ 引理 1 的验证（同态性、核、像）是纯机械的逐项检查，这里略去了细节；它的几何形象是「蝴蝶」——四个子群围成的平行四边形两组对边等长。⭐ 结构上这条定理是「加细 + 最细即唯一」，与整数分解里「不断除以素因子直到商为 1」是同一个逻辑。

定义引用 1

• 合成列 → 本页定义引用

  Jordan–Hölder 说的就是两条合成列之间的关系。