数学星图 · 怎么读这张图MathGalaxy · How to read this map

数据见 index.md。

三层尺度

星系（数学领域）→ 星团（一套自足的装置）→ 节点（定理 / 定义 / 引理）。 星团 = 为了造出某个「能用的东西」而存在的一整套结果，不按课程分。星团的 hub 是中心天体：装置被造出来就是为了得到它。

边的四种 kind

implication（sources → target，带证明）、equivalence（a ⟺ b，双向证明）、 definition（定义 → 用到它的结论）—— 这三类是 strong 边，逻辑骨架。
analogy 是 weak 边：思想相通，没有逻辑蕴含，只用来找远房灵感。用了必须对用户明说「以下是弱边联想，不是逻辑结论」。⚠️ 弱边不参与分层。

layer（依赖深度）

从最底层的 ZF 公理与集合概念算起，沿「前置 → 依赖它的」最长路径数出来的层号，可以当学习顺序用；等价的命题算同一层。 ⚠️ 它是依赖深度，不是课程顺序。

字段与引用

id type label title region cluster layer statement notes refs；节点用 id 引用，深链 #n=<节点id>。

引用见 LICENSE.txt。

记号见 notation.md。

⚠️ English version: draft · Chinese source is authoritative · machine-drafted, pending author review.

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Data starts at index.md.

Three scales

Galaxy (a field of mathematics) → cluster (one self-contained apparatus) → node (a theorem / definition / lemma). A cluster is the whole set of results that exists in order to produce one usable thing. Clusters are not divided by course or by source. A cluster's hub is its central body — the thing the apparatus was built to give you.

The four edge kinds

implication (sources → target, carries a proof), equivalence (a ⟺ b, proofs in both directions), definition (definition → a result whose statement uses it): these three are strong edges — the logical skeleton.
analogy is a weak edge: the ideas resonate, but nothing is implied; it is only for far-away inspiration. If you use one, say so out loud ("weak analogy, not a logical consequence"). ⚠️ Weak edges do not take part in layering.

layer (dependency depth)

Counted from the bottom-most ZF axioms and set-theoretic notions along the longest path of "premise → what depends on it"; equivalent statements share a layer. Read it as a study order. ⚠️ It is dependency depth, not curriculum order.

Fields and citation

id type label title label_en title_en region cluster layer statement notes refs. Cite a node by its id; deep link #n=<node-id>.

Licence: LICENSE.txt. Notation: notation.md.

数学星图 · 记号对照表MathGalaxy · Notation

全图数学记号的写法。同一星团内一个符号只有一个含义；跨星团同名不同义在表里注明。

逻辑与集合

\forall ∀　全称量词
\exists ∃　存在量词
\exists! ∃!　唯一存在
\neg ¬　否定（对象语言）
\wedge ∧　合取（对象语言）
\vee ∨　析取（对象语言）
\to →　蕴含（对象语言）/ 趋于 / 映射
\leftrightarrow ↔　等价（对象语言） — 只用于公理 / 公式内部
\implies ⟹　推出（元语言） — 范畴论里同一字形也当自然变换用（$F \implies G$）：夹在两个函子之间就是变换，不是推出。
\iff ⟺　当且仅当（元语言）
\Longleftarrow ⟸　反向证明的方向标记（配 $(\implies)$ ）
\langle \mathbb{N}, \le \rangle ⟨ℕ,≤⟩　「集合 + 结构」的配对写法
\models ⊨　满足
\vdash ⊢　可证明
\in ∈　属于
\notin ∉　不属于
\subseteq ⊆　包含（允许相等）
\subset ⊂　真包含（不含相等）
\supseteq ⊇　反向包含（允许相等）
\supset ⊃　反向真包含
\cup ∪　二元并
\cap ∩　二元交
\setminus ∖　差集
A^{c} Aᶜ　补集（相对全集 $X$）
\bigcup ⋃　族的并
\bigcap ⋂　族的交
\bigsqcup ⨆　可数不交并
\emptyset ∅　空集
\mathcal{P}(X) 𝒫(X)　幂集 — 2^{X} 只用于基数幂 / 函数集
\{ a, b \} {a,b}　集合
(a, b) (a,b)　有序对
A / \sim A/~　商集
[a] [a]　等价类
\sim ∼　等价关系 / 等价
\times ×　笛卡尔积 / 乘积
\{ x : \ldots \}　集合描述
\rightrightarrows ⇉　一致收敛
\hookrightarrow ↪　单射 / 嵌入 — 两种意思都在用：集合论里读「单射」，范畴论里读「嵌入」（子范畴进大范畴、Yoneda 嵌入、切片范畴的嵌入）。
\upharpoonright ↾　限制 $f \upharpoonright A$

序、基数与序数

\preceq ⪯　一般偏序关系（抽象偏序集上的） — 抽象偏序集上的序
\sqsubseteq ⊑　第二个偏序集上的序 — 只在对举两个偏序集时用
\prec ≺　严格关系
\le ≤　序 / 大小
\ge ≥　反向序
\ne ≠　不等
\sup S sup S　上确界
\inf S inf S　下确界
(P, \preceq)　偏序集
(W, \preceq)　良序集
(\alpha, \in)　序数（用属于关系排序）
\mathrm{On} On　序数全体
\operatorname{ot}(W) ot(W)　良序集的序型
\omega ω　最小无限序数
V_{\alpha} V_α　累积层级
\aleph(X) ℵ(X)　Hartogs 数（$X$ 的） — 与 $\aleph_0$ 同族，靠有没有参数区分
\aleph_0 ℵ₀　可数无穷的基数
|A| |A|　基数

数系与分析基础

\mathbb{N} ℕ　自然数
\mathbb{Z} ℤ　整数
\mathbb{Q} ℚ　有理数
\mathbb{R} ℝ　实数
\mathbb{C} ℂ　复数
\overline{\mathbb{R}} ℝ̄　扩充实数 $[ -\infty, +\infty ]$
\mathbb{R}^{n} ℝⁿ　n 维欧氏空间
(a, b]　半开区间（左开右闭）
\varepsilon ε　正数 / ε–δ 里的 ε
\delta δ　小量 / 增量
|x| |x|　绝对值
\|f\|_p ‖f‖ₚ　L^p 范数
\lim_{n \to \infty}　数列极限
\liminf lim inf　下极限
\limsup lim sup　上极限
\sum_{j=1}^{\infty} Σ　级数
\prod ∏　乘积
\mapsto ↦　映射到（$x \mapsto f(x)$）
\cdot ·　乘法点
\operatorname{Re} Re　实部
\operatorname{Im} Im　虚部
\bar{z} z̄　共轭
f_n \uparrow f ↑　单调递增地趋于 — 集列同理：$E_n \uparrow X$；递减写 $\downarrow$
\nearrow, \searrow ↗ ↘　（集列 / 函数列）单调递增 / 递减
\nrightarrow ↛　不趋于（$\int f_n = 1 \nrightarrow 0$）
C \leftarrow C \cup \{ v \} ←　赋值：把左边更新成右边（＝「令…为…」）

拓扑与度量

\mathcal{T} 𝒯　拓扑
\mathcal{B} ℬ　拓扑的一组基
\mathcal{S} 𝒮　子基
d(x, y)　距离
B(x, \varepsilon)　开球
\mathfrak{B}_X 𝔅_X　Borel σ-代数

测度与 σ-代数

\mu μ　测度
\nu ν　第二个测度 / 待比较的测度 — 符号测度那一支里专指符号测度
\mu^{*} μ*　外测度
\mu_{0} μ₀　预测度
\rho ρ　预备函数 $\rho : \mathcal{E} \to [0, +\infty]$，$\rho(\emptyset) = 0$ — $\mathcal{E}$ 上用来定义外测度的预备函数
\mathcal{M} ℳ　σ-代数 / 可测集全体
\mathcal{M}(\mathcal{E}) ℳ(ℰ)　由 $\mathcal{E}$ 生成的 σ-代数
\mathfrak{m}(\mathcal{E}) 𝔪(ℰ)　由 $\mathcal{E}$ 生成的单调类 — 与 $\mathcal{M}(\mathcal{E})$ 成对
\mathcal{A} 𝒜　代数 / 集合族
\mathfrak{A} 𝔄　代数 / 基本类 — 测度论里是代数 / 基本类；一阶逻辑里是一阶结构
\mathcal{E} ℰ　生成元集合族（「设 $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$」）
\mathcal{N} 𝒩　零集族或第二个空间的 σ-代数 — 测度的构造里是零集族；可测函数 / 乘积测度里是第二个空间的 $\sigma$ 代数
\mathcal{L} ℒ　Lebesgue σ-代数或一阶语言 — 分析里是 Lebesgue $\sigma$ 代数；一阶逻辑里是一阶语言
\mathcal{M} \otimes \mathcal{N} ℳ⊗𝒩　积 σ-代数
\bigotimes_{j} \mathfrak{B}_{X_{j}} ⨂　可数积的 σ-代数（各坐标 σ-代数之积） — 与 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ 是同一个东西，$\bigotimes$ 用于多指标
\mu \times \nu μ×ν　乘积测度
m m　$\mathbb{R}$ 上的 Lebesgue 测度
\mu_{G} μ_G　单调函数 $G$ 诱导的 Borel 测度
\text{a.e.} a.e.　几乎处处
\nu^{+}, \nu^{-}, |\nu|　符号测度的正 / 负 / 全变差部分
\lambda, \rho λ, ρ　RN 分解 $\nu = \lambda + \rho$ — RN 分解的两部分：$\lambda$ 奇异、$\rho$ 绝对连续
\ll ≪　绝对连续
\perp ⊥　奇异 / 互相垂直
\sigma σ　前缀：σ-环 / σ-代数 / σ-有限 — title 里作为术语前缀时保留 Unicode（σ-代数）
\mathfrak{B} 𝔅　Borel σ-代数

积分与函数空间

\chi_{E} χ_E　特征函数
L^{+} L⁺　非负可测函数全体
\varphi φ　简单函数（$\varphi = \sum a_j \chi_{E_j}$） — 一阶逻辑里是一阶公式
\psi ψ　与 $\varphi$ 配对的第二个函数
\int \varphi \, d\mu ∫　积分
L^{1} L¹　可积函数空间
L^{p}, L^{q}　L^p 空间（$p, q$ 共轭指数）
Hf Hf　极大函数
d\nu / d\mu　Radon–Nikodym 导数
\Phi Φ　连续线性泛函 $\Phi \in (L^{p})^{*}$；范畴论里作伴随的双射 $\Phi_{X,Y}$
\Sigma Σ　有限支集简单函数全体（analysis.lp 局部）
\partial f / \partial t　偏导

排版与箭头

\bigl( \bigr) （）　按内容伸缩的括号 — 成对写，别只写左边。
\Bigl( \Bigr) （）　按内容伸缩的括号（大一号） — 里外两层时，外层用 \Bigl \Bigr、内层用 \bigl \bigr。
\scriptstyle　缩小一号 — 只用在交换图的 $\begin{array}$ 里给边注（如 $\downarrow\scriptstyle{f}$）压字号，正文里不用。
\xrightarrow{f}, \xleftarrow{g} →f／←g　带标签的箭头 — 交换图里把态射名字写在箭头上 / 下。
\bullet •　复形的编号（右上角） — 复形一律写成 $K^{\bullet}$（而不是 $K^{\cdot}$）：那个 $\bullet$ 表示「这里有一族指标」。
\trianglelefteq ⊴　正规子群 $H \trianglelefteq G$ — 子群写 $H \le G$；正规子群写 $H \trianglelefteq G$（三角形 = normal）。
\mapsto, \longmapsto ↦ ／ ⟼　元素映射 — 写明「把元素送到哪儿」用 $\mapsto$；定义一条长链条（比如预层的取值）用 $\longmapsto$。
\downarrow, \uparrow ↓ ↑　竖直箭头 — 交换图里竖边的方向。
\varinjlim, \varprojlim lim→／lim←　余极限 / 极限 — 带指标的极限写作 $\varinjlim_{(X,s)} h_{X}$；不带指标时可以用 $\lim$、$\operatorname{colim}$。
\dashv ⊣　左伴随 $F \dashv G$ — 写 $F \dashv G$ 表示 $F$ 是 $G$ 的左伴随。箭头朝右也朝下，别写成 $\vdash$（那是有穷逻辑的可推导）。
\checkmark ✓　证毕时的对勾 — 证明里「这一步已经验完」的记号，写在公式内部要写 $\checkmark$，⛔ 别把 $✓$ 直接塞进 $\text{…}$ 或数学模式（KaTeX 在文本模式下没有它的字形）。整句叙述里的 $✓$ 是装饰符，可以照写。
\coprod, \bigoplus, \sqcup ∐ ∐ ⊔　余积 / 直和 / 不交并 — 集合的余积写 $\coprod$，加法群的余积写 $\bigoplus$，两个空间的不交并写 $\sqcup$。
\underline{E} E̲　常预层 / 强调 — 常预层 $\underline{E}$ 取常值 $E$。

范畴与同调

\check{H}^{n} Čech 上同调 Ĥⁿ　Čech 上同调 — 加帽子的 $H$：$\check{H}^{n}(X, M)$ 是 Čech 上同调，与层上同调 $H^{n}(X,M)$ 相区别。
\mathcal{C} 𝒞　一般的范畴；预层范畴写 $\widehat{\mathcal{C}}$，拓扑斯写 $\mathcal{T}$
\widehat{\mathcal{C}} Ĉ　预层范畴 $\operatorname{Hom}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set})$
\mathcal{T} 𝒯　拓扑斯
h^{X}, h_{X} h^X／h_X　可表示函子 / 可表示预层 — 上标记协变 $h^{X} = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -)$；下标记预层 $h_{X} = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, X)$。米田引理用上标，米田嵌入用下标。
h : \mathcal{C} \to \widehat{\mathcal{C}} h　米田嵌入 $X \mapsto h_{X}$
\mathcal{C}/T 𝒞/T　预层 $T$ 的切片范畴；遗忘函子写 $j_{T}$
h_{X} \downarrow T　逗号范畴（切片范畴就是它）
\sharp ♯　层化 $T \mapsto T^{\sharp}$ — 写在右上角：$T^{\sharp}$ 是 $T$ 的层化。
\mathbf{K}(\mathcal{C}) K(C)　复形的同伦范畴 — 上加 $+$ / $-$ / $b$ 表示下有界 / 上有界 / 有界。
M(f) M(f)　态射 $f$ 的映射锥
K[k] K[k]　复形的 $k$-位移
F^{n}M,\ \operatorname{Gr}^{n}M F^n／Gr^n　过滤与关联分次
E^{p,q}_{r} E^{p,q}_{r}　谱序列的第 $r$ 页 — 上下都是多重指标：$E^{p,q}_{r}$ 读作「第 $r$ 页的 $(p,q)$ 项」。
\mathrm{Cond},\ \mathrm{CondAb} Cond／CondAb　凝聚态集 / 凝聚态阿贝尔群
\bar{\mathbb{N}} ℕ̄　$\mathbb{N}$ 的一点紧化 — 从 $\bar{\mathbb{N}}$ 到 $X$ 的连续映射 = 「收敛序列连同指定的极限」。
\mathrm{AB1} \cdots \mathrm{AB6} AB1–AB6　Grothendieck 的正合性等级 — AB1 预阿贝尔 · AB2 阿贝尔 · AB3 有余极限 · AB4 余积正合 · AB5 滤过余极限正合 · AB6 滤过余极限与积交换。带星号的是对偶。
\rightleftarrows ⇄　拓扑斯态射的一对方向（顺像 / 逆像） — 写 $f : \mathcal{E} \rightleftarrows \mathcal{F}$ 时，箭头反着的那个方向是顺像 $f_{*}$，正着的是逆像 $f^{*}$ —— 与几何方向相反是常态。
\widetilde{X} X̃　多字母上划线（层化 / 常层 / 层范畴） — $\widetilde{E}$ 是常层、$\widetilde{\mathcal{C}}$ 是 site 上的层范畴、$\widetilde{T}$ 是预层的层化 —— 多字母一律用 \widetilde（不然杠会只盖住第一个字符）。
\tilde{g} g̃　单字母上的撇（如 $\tilde f$、$\tilde g$） — 单字母用 \tilde、多字母用 \widetilde —— 两者都对，各管各的宽度。
k\backslash\mathcal{C},\ \mathcal{C}/X k∖𝒞, 𝒞/X　余切片与切片范畴 — 斜杠在前是切片（$\mathcal{C}/X$）、反斜杠在前是余切片（$k\backslash\mathbf{Rng}$）—— 方向别写反。

字母约定

\iota ι　逆映射 — 群对象里的「取逆」态射 $\iota : G \to G$。手写体里 $\iota$ 与 $i$ 极像 —— 凡是在「取逆」的位置上看到 $i$，先怀疑是 $\iota$。
\alpha α　序数 / 指标 — 局部义：微分里是阈值，积分里是复相位
\beta β　序数（配 $\alpha$）
\gamma γ　序数（配 $\alpha$、$\beta$）/ 一般函数
\eta η　自然变换 / 自然同构（范畴论）
\pi π　投影 $\pi_{\alpha}$
\theta θ　角度
\tau τ　停时 / 一般函数（罕见）
\zeta ζ　（罕见）
\mathcal{C} 𝒞　证明内局部：Cauchy 列全体 / 递升集合族；范畴论里作范畴
\mathcal{F} ℱ　证明内局部：部分选择函数全体 / 生成元族
\mathcal{U}, \mathcal{V}　证明内局部：开覆盖 / 有限子覆盖
\mathcal{D} 𝒟　证明内局部：链的族；范畴论里作范畴
\mathcal{K} 𝒦　证明内局部：单调类定理里的试探集族
\Delta Δ　分析里作对称差 / 增量（局部）；范畴论里作单纯形范畴、常图函子 $\Delta X$
\rightarrowtail ↣　单态射 / 嵌入（范畴论）
h^{X}, h_{X} h^X／h_X　可表示函子 / 可表示预层（范畴论） — 上标记协变 $h^{X} = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -)$；下标记预层 $h_{X} = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, X)$。米田引理用上标，米田嵌入用下标。
\Theta Θ　证明内局部：余极限到 $T$ 的那一个态射
\Psi Ψ　证明内局部：与 $\Phi$ 配对的那个映射（米田引理里的逆）
\Gamma(F, M) Γ(F,M)　截面（凝聚态里） — 凝聚态集或凝聚态阿贝尔群 $M$ 在紧 Hausdorff 空间 $F$ 处的截面，就是 $M(F)$。
\mathrm{ZFC} ZFC　公理系统名（名词 → \mathrm{}）

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One symbol, one meaning per cluster; clashes between clusters are listed below.

Rulings

$A^{c}$ complement · $\subseteq$ inclusion · $\subset$ strict inclusion — never \subsetneq (banned).

Table

Each group is one page under notation/; entry names are Chinese, the symbols are not. Whole table: notation-full.md.

notation/set.md Logic and sets 39
notation/order.md Order, cardinals, ordinals 18
notation/num.md Number systems and real analysis 26
notation/topo.md Topology and metrics 6
notation/measure.md Measure and σ-algebras 25
notation/integral.md Integration and function spaces 12
notation/layout.md Typesetting and arrows 13
notation/cat.md Categories and homology 21
notation/letters.md Letter conventions 21

数学星图 MathGalaxy

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MathGalaxy: a searchable knowledge graph of mathematics. 709 nodes / 1398 edges · 9 galaxies / 45 clusters · content v0.9.0. Chinese is the source; 290 nodes have English pages. 9 星系 / 45 星团 / 709 节点 / 1398 连线。数据根 = 本文件所在目录。线上：https://bingyingzizz.github.io/mathgalaxy/

检索协议

alias.md 大白话 / 英文名 → 节点 id。
index.md 星系 → index/<星系id>.md 星团 → index/<星团id>.md 节点清单。
nodes/<节点id>.md 陈述 + 出入边（每条带证明路径）；说明在 notes/<节点id>.md，边的正文在 proofs/<边id>.md。
英文：有英文名/摘要的节点另有 nodes/<节点id>.en.md （英文名 + 摘要；陈述与证明仍以中文页为准）。文档英文版是 *.en.md。 ⛔ 没有英文版的就按中文页读，别猜。

顺着 id 继续读就是沿图走。

⚠ 单次抓取约 1000 词元（还会转义 # * [ ] ` _ ~）；放不下的分页成 <路径>.2.md，首页永远是 <路径>.md。graph.json / graph.md 只下载，别用来检索。

其它

reading.md 结构 · policy.md 准则 · hubs.md 枢纽 · notation.md 记号表。LaTeX 走 KaTeX；label 等字段是纯文本。

数学星图 · 内容准则MathGalaxy · Content policy

一、每一层都由上一层构造出来

新对象必须由已经有的东西造出来（子集、幂集、笛卡尔积、商集、函数空间……）。

⛔ 禁止用「满足某组性质的对象（同构意义下唯一）」引入新东西 —— 那是 公理刻画，悄悄假设了存在性。判据：这句话在定义新对象，还是在陈述已有对象的性质？
⛔ 性质是定理，不是定义：造出来之后，再把性质作为带证明的定理挂上去。
⭐ 唯一豁免：一阶语言与公式（def.first-order-language、def.formula）是元层对象，比 ZFC 更原始。
自查抓手：「用到了却没节点 / 没连边」都违规。

二、同一结论只收一份

重复的定理已合并。判据：A 能一句话说成 B（或特例）就不是两个节点。

三、只保留最通用的版本

条件最弱、结论最强的那个；特例写在 notes 里。

四、星团按「装置」分，不按课程分

星团 = 为了造出某个「能用的东西」而存在的一整套结果；一个团别超 40 点。

五、记号

见 notation.md；新内容先按它转写再进 packs/。

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1. Every layer is constructed from the layer below

A new object must be built out of things that already exist (subsets, power sets, Cartesian products, quotient sets, function spaces, …).

⛔ It is forbidden to introduce something as "an object satisfying the following properties (unique up to isomorphism)" — that is an axiomatic characterisation, and it quietly assumes existence. The test: does the sentence define a new object, or does it *state a property of an object that already exists*?
⛔ Properties are theorems, not definitions: build the object first, then attach its properties as theorems with proofs.
⭐ The single exemption: the first-order language and its formulas (def.first-order-language, def.formula) are meta-level objects, more primitive than ZFC itself.
Quick self-check: "used, but has no node / no edge" is a violation.

2. One statement is recorded once

Duplicates have been merged. Test: if A can be said in one sentence as B (or as a special case of B), they are not two nodes.

3. Only the most general version is kept

Weakest hypotheses, strongest conclusion; special cases go into notes.

4. Clusters are divided by apparatus, not by course

A cluster is the whole set of results that exists to produce one usable thing; keep a cluster under 40 nodes.

5. Notation

See notation.md; transcribe new content according to it before it enters packs/.

数学星图 · 枢纽定理榜MathGalaxy · Hub theorems

按入边数排序：有多少条强边指向它。回答一个问题 —— 哪些东西是真正的地基，值得优先学熟。（弱边不计入。）数据根 ./：每项都能顺着读 nodes/<id>.md。

6lem.zorn 佐恩引理layer 9选择原理
5thm.first-iso 第一同构定理（Noether）layer 9代数结构
5def.cauchy-null Cauchy 列与零列layer 11数系的构造
5def.representable 表示函子layer 12预层与米田
5def.abelian-category 加法 / 阿贝尔范畴layer 16加法与阿贝尔范畴
5def.product-measure 乘积测度layer 17乘积测度与 Fubini
5prop.cg-coreflective 紧生成空间是余反射子范畴layer 18紧生成空间与弱 Hausdorff
5thm.topos-abelian-grothendieck 拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴layer 19阿贝尔层
5prop.nbv-derivative NBV 函数的导数与测度的关系layer 20有界变差与绝对连续

（709 个节点里 702 个带强边入边，列了前 9 个；完整清单见 graph.json。）

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Ranked by in-degree: how many strong edges point at it. It answers one question — which things are the real foundation and worth learning first. (Weak edges do not count.) Data root ./: every entry can be followed to nodes/<id>.md.

6lem.zorn Zorn's lemmalayer 9选择原理
5thm.first-iso Noetherlayer 9代数结构
5def.cauchy-null Cauchy 列与零列layer 11数系的构造
5def.representable representable functorlayer 12预层与米田
5def.abelian-category 加法 / 阿贝尔范畴layer 16加法与阿贝尔范畴

5def.product-measure product measurelayer 17乘积测度与 Fubini
5prop.cg-coreflective kificationlayer 18紧生成空间与弱 Hausdorff
5thm.topos-abelian-grothendieck 拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴layer 19阿贝尔层
5prop.nbv-derivative NBV 函数的导数与测度的关系layer 20有界变差与绝对连续
4thm.ring-monotone-sigma 环 → σ-环的判据layer 5集合族与 σ-代数

4thm.monotone-class monotone class theoremlayer 6集合族与 σ-代数
4def.section 截口layer 6乘积测度与 Fubini
4prop.section-measurable 截口可测layer 7乘积测度与 Fubini
4thm.quotient-product quotient map productlayer 7紧生成空间与弱 Hausdorff
4def.int integerslayer 8数系的构造

4thm.wellordering 良序定理layer 9选择原理
4thm.hausdorff Hausdorff 极大原理layer 9选择原理
4thm.cardinal-comparable 基数可比定理layer 10基数与等势
4prop.adjoint-full-faithful 全忠实与单位layer 11伴随与反射
4ex.kan-extension Kan 延拓的两个例子layer 12伴随与反射

4def.metric-space metric spacelayer 13度量空间
4thm.saft special adjoint functor theoremlayer 13伴随与反射
4def.outer-measure outer measurelayer 14测度的构造
4thm.real-uncountable ℝ 不可数layer 14数系的构造
4prop.yoneda-embedding Yoneda embeddinglayer 14预层与米田

4thm.metric-compact-equiv 紧的三个等价刻画layer 15度量空间
4def.shrinks-nicely shrinkinglayer 15微分定理
4def.complex-measure complex measurelayer 16符号测度与分解
4def.essential-sup 本性上界与 L^∞layer 16L^p 空间
4prop.chaus-reflective 紧 Haus 是反射子范畴layer 16紧 Hausdorff 空间

(702 of 709 nodes have at least one strong in-edge; the top 30 are listed; the full ranking is in graph.json.)

许可与引用

⚠️ No English version of this document yet — the Chinese text below is authoritative.

MathGalaxy · 数学星图 —— 许可与引用

一、图的内容（节点、边、证明、笔记，以及导出的 graph.json / graph.md / nodes/ 等产物）

可以自由阅读、检索、链接，也可以在自己的文章、讲义、笔记、论文里引用或复述其中的命题与证明 —— 条件是 ⭐ 引用必须标注节点：

写明这条内容在图里的节点 id（例如 thm.cantor），并给出内容版本号（产物里都写着，见 llms.txt 的「内容 vX.Y.Z」）。

例：

参见 MathGalaxy 节点 thm.cantor（内容 v0.9.0）。

为什么这么要求：这张图是逐条笔记整理出来的，节点 id 是读者唯一能追回原始陈述与完整证明的线索。标了 id，别人才能自己去看全貌，而不是只看到被摘走的一句。

不允许：整份转载、镜像、改名再分发，或把内容并进别的知识库之后抹掉节点 id。

二、代码（src/ 、tools/ 、site/ 下的源码）

MIT License

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三、第三方

数学定理本身没有版权，图里的数学内容取自教科书与笔记，整理方式与文字归作者。 KaTeX（src/ui/katex.min.js 与 src/ui/katex.min.css）为 MIT 许可。

这几份东西同时也是 AI 的检索入口：原件就在 mathgalaxy/ 下（.md / .txt），可以直接把 URL 丢给 AI，不需要打开这个页面。
最近更新：2026-10-15 These documents are also the entry point for AI: the originals live under mathgalaxy/ (.md / .txt) — hand the URL to an agent, no need to open this page. English versions (*.en.md) are build-generated and pending author review.
Last updated: 2026-10-15