# 可解性对子群与商群封闭　`thm.solvable-quotients`
定理：可解性在子群、商群与扩张下的行为
layer 10 · 定理 · 合成列与可解群 · 抽象代数
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设 $G$ 是群。

**（a）子群**：若 $G$ 可解、$H \le G$，则 $H$ 可解。

**（b）商群**：若 $G$ 可解、$N \trianglelefteq G$，则 $G/N$ 可解。

**（c）扩张**：若 $N \trianglelefteq G$，$N$ 可解且 $G/N$ 可解，则 $G$ 可解。

（(a)(b) 说的是「可解性向下传」，(c) 说的是「可解性沿正规扩张向上传」。）

## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`prop.sn-solvable`](../nodes/prop.sn-solvable.md) 对称群的可解性

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.solvable-quotients.2.md](./thm.solvable-quotients.2.md)

refs: Lang, Algebra, Ch. I §5；Dummit–Foote, Abstract Algebra, §3.4

> 说明见 `notes/thm.solvable-quotients.md`

引用：`thm.solvable-quotients`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)