# ℝ 是完备度量空间　`thm.real-complete-metric`
定理：$(\mathbb{R}, |x - y|)$ 是完备度量空间
layer 18 · 定理 · 实数完备性的等价刻画 · 分析学
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在 $\mathbb{R}$ 上取距离 $d(x, y) := |x - y|$。则 $(\mathbb{R}, d)$ 是**完备**度量空间：其中每个 Cauchy 列都收敛。

这正是 Cauchy 收敛准则用距离空间的语言重写一遍 —— 一句话：$\mathbb{R}$ 是完备的。

## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`thm.completeness-equivalent`](../nodes/thm.completeness-equivalent.md) 完备性的六条等价

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.real-complete-metric.2.md](./thm.real-complete-metric.2.md)

refs: Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3；Munkres, Topology, Ch. 43

> 说明见 `notes/thm.real-complete-metric.md`

引用：`thm.real-complete-metric`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)