# 轨道–稳定子定理　`thm.orbit-stabilizer`
定理（轨道–稳定子）：$|\operatorname{Orb} x| = [G : \operatorname{Stab} x]$
layer 10 · 定理 · 群作用与置换 · 抽象代数
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设有限群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，$x \in X$。则 $\operatorname{Stab}(x) \le G$ 且

$$\bigl| \operatorname{Orb}(x) \bigr| = [G : \operatorname{Stab}(x)] = \frac{|G|}{|\operatorname{Stab}(x)|}$$

特别地 $|\operatorname{Orb}(x)|$ 整除 $|G|$，且
> 陈述续见 [nodes/thm.orbit-stabilizer.2.md](./thm.orbit-stabilizer.2.md)


## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`thm.class-equation`](../nodes/thm.class-equation.md) 类方程
- ⇒ [`thm.sylow`](../nodes/thm.sylow.md) Sylow 定理

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.orbit-stabilizer.3.md](./thm.orbit-stabilizer.3.md)

refs: Lang, Algebra, Ch. I §5；Dummit–Foote, Abstract Algebra, §4.1

> 说明见 `notes/thm.orbit-stabilizer.md`

引用：`thm.orbit-stabilizer`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)