# 依测度 Cauchy ⟹ 收敛　`thm.cauchy-in-measure`
定理：依测度 Cauchy 列必有依测度极限，且有一子列 a.e. 收敛
layer 17 · 定理 · 可测函数与收敛 · 分析学
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若 $\{f_n\}$ 依测度 Cauchy，则存在可测函数 $f$ 使

$$f_n \to f\text{ 依测度}, $$

并且存在**子列** $\{f_{n_j}\}$ 使

$$f_{n_j} \to f\quad  \text{a.e.}$$

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`def.cauchy-in-measure`](../nodes/def.cauchy-in-measure.md) 依测度 Cauchy：依测度 Cauchy $\implies$ 依测度收敛且有一子列 a.e. 收敛　[proofs/imp.cauchy-in-measure.md](../proofs/imp.cauchy-in-measure.md)

- …另有入边，续页见 [nodes/thm.cauchy-in-measure.2.md](./thm.cauchy-in-measure.2.md)

refs: Folland, Real Analysis, Theorem 2.30

> 说明见 `notes/thm.cauchy-in-measure.md`

引用：`thm.cauchy-in-measure`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)