# 扩张的唯一性　`thm.caratheodory-uniqueness`
定理：Carathéodory 扩张是最大的，σ-有限时唯一
layer 18 · 定理 · 测度的构造 · 分析学
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设 $\mu _{0}$ 是代数 $\mathfrak{A}$ 上的预测度，$\mu := \mu^{*}|_\mathcal{M}$ 是它经 Carathéodory 得到的扩张。若 $\nu$ 是 $\mathcal{M}(\mathfrak{A})$ 上**另一个**扩张 $\mu _{0}$ 的测度，则

$$\nu(E) \le \mu(E)\quad  \forall E \in \mathcal{M}(\mathfrak{A})$$
> 陈述续见 [nodes/thm.caratheodory-uniqueness.2.md](./thm.caratheodory-uniqueness.2.md)


## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`thm.ls-exists`](../nodes/thm.ls-exists.md) F ↔ Borel 测度

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.caratheodory-uniqueness.3.md](./thm.caratheodory-uniqueness.3.md)

refs: Halmos, Measure Theory, §13；Folland, Real Analysis, Theorem 1.14

> 说明见 `notes/thm.caratheodory-uniqueness.md`

引用：`thm.caratheodory-uniqueness`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)