# 子对象构成有界格　`prop.subobject-lattice`
预拓扑斯中子对象构成有界格
layer 15 · 命题 · 拓扑斯 · 范畴论
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设 $\mathcal{C}$ 是预拓扑斯，$X \in \mathcal{C}$。则子对象全体 $\{X' : X' \rightarrowtail X\}$ 构成一个**有界格**：

$$X_{1} \cup X_{2} := \operatorname{im}\bigl(X_{1} \coprod X_{2} \to X\bigr)$$

而且**拉回是格之间的同态**（保交、保并、保上界）。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`def.subobject`](../nodes/def.subobject.md) 子对象：用到了定义 子对象　[proofs/def-dep.subobject-lattice.md](../proofs/def-dep.subobject-lattice.md)

- …另有入边，续页见 [nodes/prop.subobject-lattice.2.md](./prop.subobject-lattice.2.md)

refs: Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3

> 说明见 `notes/prop.subobject-lattice.md`

引用：`prop.subobject-lattice`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)