# 积分有限的后果　`prop.finite-integral-consequences`
命题：$\int f < \infty$ 时，f 几乎处处有限、支撑 σ-有限
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设 $f \in L^+$ 且 $\int f < \infty$。则

- $\{x : f(x) = \infty\}$ 是零集；
- $\{x : f(x) > 0\}$ 是 **$\sigma$有限**的（即它是可数个有限测度集之并）。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`def.lplus`](../nodes/def.lplus.md) L⁺：用到了定义 L⁺　[proofs/def-link.lplus-finite-integral.md](../proofs/def-link.lplus-finite-integral.md)

- …另有入边，续页见 [nodes/prop.finite-integral-consequences.2.md](./prop.finite-integral-consequences.2.md)

refs: Folland, Real Analysis, Prop. 2.20

> 说明见 `notes/prop.finite-integral-consequences.md`

引用：`prop.finite-integral-consequences`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)