# AB5 与 AB3*/AB4* 的关系　`prop.ab5-implications`
AB 公理之间的蕴含关系
layer 19 · 命题 · 加法与阿贝尔范畴 · 同调代数
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1. **Grothendieck 范畴自动满足 AB3\***（有所有极限）—— 即 AB5 加上生成元，就免费得到 AB3\*；
2. 除零范畴 $\{0\}$ 外，**没有范畴能同时满足 AB5 与 AB5\***；
3. 拓扑斯上的 $\mathbf{Ab}(\mathcal{T})$ 满足 **AB5 与 AB3\***，但**一般并不满足 AB6 或 AB4\***。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/prop.ab5-implications.2.md](./prop.ab5-implications.2.md)

refs: Le Stum, Proposition 5.2.7；Freyd, Abelian Categories；Roos, Derived functors of inverse limits (AB5 与 AB5\* 互斥)

> 说明见 `notes/prop.ab5-implications.md`

引用：`prop.ab5-implications`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)