# 紧生成空间　`def.compactly-generated`
紧生成空间 / $k$-空间（Compactly Generated Space）
layer 16 · 定义 · 紧生成空间与弱 Hausdorff · 拓扑学
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拓扑空间 $X$ 叫**紧生成的**（也叫 **$k$-空间**），如果它是紧 Hausdorff 空间的余极限。

等价地：$X$ 的拓扑由「从紧 Hausdorff 空间进来的连续映射」完全决定 —— $Y \subseteq X$ 是开（闭）集 $\iff$ 对每个紧 Hausdorff 空间 $S$ 与每个连续映射 $f : S \to X$，$f^{-1}(Y)$ 在 $S$ 中开（闭）。

## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`thm.top-cond-adjoint`](../nodes/thm.top-cond-adjoint.md) Top 与 Cond 的伴随

- …另有出边，续页见 [nodes/def.compactly-generated.3.md](./def.compactly-generated.3.md)

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/def.compactly-generated.2.md](./def.compactly-generated.2.md)

refs: Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3

> 说明见 `notes/def.compactly-generated.md`

引用：`def.compactly-generated`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)