{ "meta": { "name": "数学星图 MathGalaxy", "schema": "mathgalaxy/v1", "version": "v0.9.0", "generated": "2026-10-15T10:31:16.274Z", "counts": { "regions": 9, "clusters": 45, "nodes": 709, "edges": 1398, "strong": 1389, "weak": 9, "en_pages": 290 }, "readingGuide": { "layers": "星系(region) → 星团(cluster) → 恒星(node)", "clusterMeaning": "星团 = 为了造出某个「能用的东西」而存在的一整套结果，内部关系密、对外整块连接", "contentPolicy": { "constructive": "每一层都由上一层**构造**出来（子集/幂集/笛卡尔积/商集/函数空间……），用到的概念都要在更低的层里有节点；禁止用「满足某组性质的对象（在同构意义下唯一）」引入新东西 —— 那是公理刻画，性质必须作为**定理**从构造里推出来。（例：ℝ 是「有理 Cauchy 列模去零列」造出来的，域/序/确界原理是定理，不是定义。）", "dedupe": "同一结论只录一次 —— 内容来自多门课程的笔记，重复的定理已合并成一个节点", "mostGeneral": "只保留最通用的版本（条件最弱、结论最强）；特例写在 notes 里，除非它有独立用途", "preferGeneral": "同一个结论有多种证法时，保留推广程度最高的那条路径" }, "edgeKind": { "implication": "推出（有向，sources → target）", "equivalence": "等价（无向，proofs 是两个方向的证明）", "definition": "定义引用（无向，某结论的陈述里用到了某定义）", "analogy": "类比（无向，思想相通但不是逻辑蕴含）" }, "edgeStrength": { "strong": "标准逻辑关系 —— 查证明、做推理时只走这些", "weak": "类比/思想相通 —— 只在「卡住了、想找远房关系」时探索用" } } }, "regions": [ { "id": "logic", "name": "数理逻辑", "en": "Mathematical Logic", "desc": "一阶语言、公式与满足关系 —— ZFC 的公理就写在这门语言里。", "color": "#8A63E8", "nodeCount": 4 }, { "id": "set-theory", "name": "集合论", "en": "Set Theory", "desc": "ZFC 公理系统、序数、基数与选择原理。", "color": "#4F7CF5", "nodeCount": 55 }, { "id": "order-theory", "name": "序理论", "en": "Order Theory", "desc": "偏序、格、链与完备性；佐恩引理一类「极大原理」的舞台。", "color": "#2FA96B", "nodeCount": 13 }, { "id": "topology", "name": "拓扑学", "en": "Topology", "desc": "开集、连续、紧致与连通；再往上是紧 Hausdorff、Stone 空间与紧生成空间。", "color": "#D9649F", "nodeCount": 95 }, { "id": "algebra", "name": "抽象代数", "en": "Abstract Algebra", "desc": "群、环、域、模与线性代数；佐恩引理的经典应用场。", "color": "#E08A3C", "nodeCount": 25 }, { "id": "analysis", "name": "分析学", "en": "Analysis", "desc": "极限、测度、泛函分析；Hahn–Banach 等定理也依赖选择原理。", "color": "#3AA8D8", "nodeCount": 164 }, { "id": "category", "name": "范畴论", "en": "Category Theory", "desc": "范畴、函子、自然变换、极限与伴随；再往上走到层论与拓扑斯。", "color": "#B03A5B", "nodeCount": 201 }, { "id": "homology", "name": "同调代数", "en": "Homological Algebra", "desc": "加法与阿贝尔范畴、复形与导出三角、同调与长正合列、谱序列。", "color": "#C89A2B", "nodeCount": 141 }, { "id": "condensed", "name": "凝聚态数学", "en": "Condensed Mathematics", "desc": "把拓扑空间换成「紧 Hausdorff 空间上的层」：凝聚态集、凝聚态阿贝尔群。", "color": "#1F8A70", "nodeCount": 87 } ], "clusters": [ { "id": "logic.fol", "name": "一阶语言与公式", "parent": "logic", "desc": "造出「公理写在哪门语言里」这件事本身：符号表 → 项与公式 → 代入 → 满足关系。ZFC 的两条公理模式用的就是它。", "nodeCount": 4, "nodes": [ "def.first-order-language", "def.formula", "def.substitution", "def.satisfaction" ] }, { "id": "set.zfc", "name": "ZFC 公理系统", "parent": "set-theory", "desc": "造出「集合」这套语言本身：九条公理定下什么叫集合、怎么造集合。", "nodeCount": 9, "nodes": [ "ax.ext", "ax.sep", "ax.pair", "ax.union", "ax.power", "ax.inf", "ax.repl", "ax.found", "thm.noself" ] }, { "id": "set.construct", "name": "集合的构造", "parent": "set-theory", "desc": "造出日常要用的零件：空集、子集、并交差补、幂集、有序对、笛卡尔积。", "nodeCount": 9, "nodes": [ "def.subset", "def.pair", "thm.empty", "thm.binunion", 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"def.locally-compact", "thm.tykhonov", "prop.closed-map-neighborhood-basis", "prop.paracompact-partition-unity", "prop.hausdorff-reflective", "prop.normal-locally-closed", "prop.compact-basic-operations", "prop.quotient-of-compact", "prop.connected-image-closure" ] }, { "id": "topology.metric", "name": "度量空间", "parent": "topology", "desc": "造出「用距离算出来的拓扑」：完备、全有界、列紧，以及紧性的几种等价刻画。", "nodeCount": 8, "nodes": [ "def.metric-space", "def.complete", "def.totally-bounded", "def.sequentially-compact", "def.compact", "thm.metric-compact-equiv", "prop.compact-subset-closed", "prop.subset-compact-equiv" ] }, { "id": "topo.chaus", "name": "紧 Hausdorff 空间", "parent": "topology", "desc": "造出「紧 Hausdorff 这套范畴」：Stone–Čech 紧化 → 自由对象 → 投射对象 → 自由表示。它是一切「紧块」的来源。", "nodeCount": 11, "nodes": [ "def.chaus", "prop.chaus-reflective", "lem.minimal-closed-surjection", "def.free-compact-hausdorff", "prop.chaus-quotient-of-free", "def.projective-object", "prop.free-projective", "def.free-presentation", "cor.chaus-free-presentation", "prop.coproduct-chaus", "prop.chaus-quotient-equiv" ] }, { "id": "topo.stone", "name": "Stone 与 Stonean", "parent": "topology", "desc": "造出「不连通的那一半紧 Hausdorff 空间」：全不连通 → Stone 空间 = 投射有限空间 → 极不连通的 Stonean 空间 → Gleason 定理与布尔环表示。", "nodeCount": 15, "nodes": [ "prop.component-clopen", "def.stone-space", "prop.stonean-basic", "prop.td-reflective", "prop.stone-reflective", "def.profinite", "thm.stone-profinite", "thm.gleason", "cor.stonean-retract", "def.totally-disconnected", "def.boolean-ring", "thm.boolean-stone", "prop.stone-clopen-refinement", "prop.totally-disconnected-subspace", "prop.profinite-sets-spaces" ] }, { "id": "topo.cg", "name": "紧生成空间与弱 Hausdorff", "parent": "topology", "desc": "造出「乘积好用的拓扑空间范畴」：紧生成空间（$k$-空间）→ $k$-拓扑与 $k$-化 → 商映射与积 → 紧开拓扑 → 弱 Hausdorff → $\\mathrm{CGWH}$ 是反射子范畴。", "nodeCount": 23, "nodes": [ "def.compactly-generated", "ex.cg-examples", "prop.cg-equivalent-conditions", "def.k-topology", "prop.ktx-colimit", "prop.cg-coreflective", "thm.quotient-product", "cor.cg-product", "prop.k-product", "def.compact-open-topology", "prop.compact-open-discrete", "def.weak-hausdorff", "prop.weak-hausdorff-basic", "prop.cgwh-fiber-product", "prop.cg-kclosed-quotient", "thm.cgwh-reflective", "prop.cgwh-closed", "prop.cg-function-space", "prop.cg-cartesian-closed", "cor.cg-exponential-adjoint", "prop.closed-inclusion-filtered-limit", "prop.continuous-map-space-metric", "prop.weak-hausdorff-k-closed" ] }, { "id": "analysis.real", "name": "实数与极限", "parent": "analysis", "desc": "在造好的 ℝ 上搭起分析的语言：区间 → 数列极限与级数 → 连续 → 导数。**确界原理**（ℝ 是完备有序域）也在这里 —— 它是分析学的引擎。（ℝ 与 ℂ 本身的构造在「数系的构造」里。）", "nodeCount": 7, "nodes": [ "def.extended-real", "def.interval", "def.sequence-limit", "def.series", "def.continuous", "def.derivative", "thm.real-ordered-field" ] }, { "id": "analysis.setclass", "name": "集合族与 σ-代数", "parent": "analysis", "desc": "造出「能承载测度的集合族」：环 → σ-环 → σ-代数 → 生成、Borel、单调类判据。测度本身在下一个团里。", "nodeCount": 10, "nodes": [ "def.fundamental-class", "def.set-ring", "def.sigma-ring", "def.sigma-algebra", "def.monotone-class", "prop.set-class-properties", "thm.ring-monotone-sigma", "def.generated-sigma", "thm.monotone-class", "def.borel" ] }, { "id": "analysis.measure", "name": "测度的构造", "parent": "analysis", "desc": "造出「测度」这个对象本身：预测度 → 外测度 → Carathéodory 扩张 → 完备化与唯一性 → Lebesgue–Stieltjes 测度。", "nodeCount": 18, "nodes": [ "def.measure", "def.premeasure", "def.finitely-additive", "def.measure-space", "prop.measure-basic", "def.null-set", "thm.completion", "def.semifinite-part", "def.outer-measure", "prop.outer-measure-induced", "def.caratheodory-measurable", "thm.caratheodory", "prop.caratheodory-extension", "thm.caratheodory-uniqueness", "prop.ls-premeasure", "thm.ls-exists", "def.lebesgue-stieltjes", "def.ae" ] }, { "id": "analysis.measurable", "name": "可测函数与收敛", "parent": "analysis", "desc": "造出「可测」这套语言：可测函数 → 简单函数逼近 → 五种收敛 → Egorov / Lusin。有了它才能谈积分。", "nodeCount": 17, "nodes": [ "def.measurable-function", "prop.measurable-criterion", "cor.continuous-measurable", "def.lebesgue-measurable", "prop.measurable-product-and-realimag", "prop.measurable-closure", "def.simple-function", "thm.simple-approximation", "prop.complete-measurable", "prop.completion-measurable-function", "def.convergence-modes", "prop.convergence-counterexamples", "def.cauchy-in-measure", "thm.cauchy-in-measure", "prop.L1-implies-measure", "thm.egorov", "cor.lusin" ] }, { "id": "analysis.integral", "name": "积分", "parent": "analysis", "desc": "造出 Lebesgue 积分与 L¹：简单函数的加权和 → 非负函数的 sup → 单调收敛 / Fatou / 控制收敛三大定理 → 可积函数。", "nodeCount": 21, "nodes": [ "def.lplus", "def.integral-simple", "prop.simple-integral-props", "def.integral-nonneg", "thm.mct", "thm.termwise-integration", "prop.integral-zero-iff", "cor.mct-ae", "lem.fatou", "cor.fatou", "prop.finite-integral-consequences", "def.integral-complex", "def.integrable", "prop.L1-vector-space", "prop.integral-abs-ineq", "prop.L1-support-sigma-finite", "prop.integrals-equal-iff", "thm.dct", "thm.termwise-L1", "thm.approximation-L1", "thm.differentiate-under-integral" ] }, { "id": "analysis.product", "name": "乘积测度与 Fubini", "parent": "analysis", "desc": "造出「一块块算」的办法：积 σ-代数 → 截口 → 乘积测度 → Fubini–Tonelli。", "nodeCount": 11, "nodes": [ "def.product-sigma", "prop.product-sigma-base", "prop.product-sigma-generated", "cor.borel-product", "def.product-measure", "def.section", "prop.section-measurable", "thm.product-measure-sections", "thm.fubini-tonelli", "thm.fubini-complete", "prop.product-incomplete" ] }, { "id": "analysis.signed", "name": "符号测度与分解", "parent": "analysis", "desc": "造出「带符号的测度」及其结构定理：Hahn 分解 → Jordan 分解 → 全变差 → Radon–Nikodym。", "nodeCount": 19, "nodes": [ "def.signed-measure", "def.positive-negative-null", "prop.positive-set-closure", "thm.hahn-decomposition", "def.mutually-singular", "thm.jordan-decomposition", "def.absolute-continuity", "prop.ac-and-variations", "thm.ac-epsilon-delta", "prop.integral-gives-ac", "cor.ac-integral-continuity", "lem.singular-or-lower-bound", "thm.lebesgue-radon-nikodym", "def.rn-derivative", "prop.rn-chain-rule", "cor.rn-inverse", "def.complex-measure", "thm.rn-complex", "prop.total-variation-basics" ] }, { "id": "analysis.differentiation", "name": "微分定理", "parent": "analysis", "desc": "造出「逐点求导」这套工具：覆盖引理 → 极大函数 → Lebesgue 微分定理 → RN 导数的点态公式。", "nodeCount": 14, "nodes": [ "prop.L1-signed", "lem.covering", "def.locally-integrable", "def.average-operator", "lem.average-continuous", "def.maximal-function", "thm.maximal-theorem", "thm.lebesgue-differentiation", "def.lebesgue-set", "thm.lebesgue-set-full", "def.shrinks-nicely", "thm.differentiation-general", "def.regular-measure", "thm.rn-pointwise" ] }, { "id": "analysis.bv", "name": "有界变差与绝对连续", "parent": "analysis", "desc": "造出「测度 ↔ 函数」的字典：全变差 → BV 的 Jordan 分解 → NBV 与 Borel 测度一一对应 → 微积分基本定理。", "nodeCount": 16, "nodes": [ "thm.monotone-differentiable", "def.bounded-variation", "prop.bv-examples", "lem.variation-monotone", "thm.bv-jordan", "prop.bv-regularity", "def.nbv", "lem.nbv-variation", "prop.monotone-integral-derivative", "thm.borel-measure-nbv", "prop.nbv-derivative", "def.ac-function", "prop.ac-iff-measure-ac", "cor.integral-is-ac-nbv", "lem.ac-subset-bv", "thm.ftc-lebesgue" ] }, { "id": "analysis.lp", "name": "L^p 空间", "parent": "analysis", "desc": "造出函数空间本身：Hölder / Minkowski → Banach 完备 → 空间之间的包含 → 对偶 (L^p)* ≅ L^q。", "nodeCount": 18, "nodes": [ "def.lp-norm", "lem.young-inequality", "thm.holder", "thm.minkowski", "thm.lp-banach", "prop.dense-simple-compact-support", "def.essential-sup", "thm.linf-properties", "prop.lq-in-lp-plus-lr", "prop.lp-inter-lr-in-lq", "prop.ell-p-inclusion", "prop.lp-inclusion-finite", "def.conjugate-exponents", "def.duality-map", "prop.duality-isometry", "prop.bounded-functional-gives-lq", "thm.riesz-representation-lp", "cor.lp-reflexive" ] }, { "id": "cat.basic", "name": "范畴与图", "parent": "category", "desc": "造出「范畴」这个概念本身：先有图 $(V, E, s, t)$，再配上复合与单位，得到一个六元组。", "nodeCount": 17, "nodes": [ "def.universe", "def.graph", "def.graph-morphism", "def.category", "def.section-retraction", "def.localization", "prop.calculus-of-fractions", "prop.localization-hom-colim", "def.subcategory", "prop.iso-unique-section", "prop.preorder-as-category", "prop.projective-universal-epi", "prop.functor-preserves-sections", "def.mor-domain-codomain", "prop.matrix-category", "prop.cat-final-initial-products", "prop.localization-functor-exact" ] }, { "id": "cat.functor", "name": "函子与自然变换", "parent": "category", "desc": "造出「范畴之间的翻译」：函子 → 忠实 / 满 / 全忠实 → 自然变换 → 范畴等价。", "nodeCount": 13, "nodes": [ "def.functor", "def.natural-transformation", "def.ff-faithful", "def.essentially-surjective", "def.cat-equivalence", "def.preserves-limit", "def.exact-functor", "prop.preserves-products-kernels", "prop.preserves-fibered-products-mono", "thm.equivalence-criterion", "prop.fully-faithful-injective", "prop.forgetful-faithful-not-full", "prop.nat-iso-invariants" ] }, { "id": "cat.limit", "name": "图与极限", "parent": "category", "desc": "造出「在图上取值」这件事：交换图 → 锥 → 极限（泛锥）→ 积 / 纤维积 / 等化子。", "nodeCount": 22, "nodes": [ "def.commutative-diagram", "def.simplicial", "def.cone", "def.limit", "def.final-initial", "def.product", "def.fibered-product", "def.equalizer", "thm.lim-functor", "def.connected-category", "def.cofinal-functor", "thm.cofinal-colimit", "def.filtered-category", "prop.filtered-directed", "prop.limit-construction", "def.simplex-category", "def.ind-object", "def.zero-object", "prop.poset-limit-join", "prop.ind-reflective", "prop.filtered-finite-colimits", "prop.set-top-ab-complete" ] }, { "id": "cat.structure", "name": "单满、子对象与像", "parent": "category", "desc": "造出「用箭头替代元素」这套语言：可消性（单 / 满）→ 子对象 → 像与余像 → 泛元素。", "nodeCount": 6, "nodes": [ "def.mono", "def.subobject", "def.image", "def.elements-category", "def.strict-morphism", "prop.slice-fully-faithful-mono" ] }, { "id": "cat.algebra", "name": "范畴里的代数结构", "parent": "category", "desc": "把「集合 + 运算 + 公理」搬到任意有有限积的范畴里：幺半群对象 → 群对象 → 阿贝尔群对象。⭐ $\\mathrm{Ab}(\\mathbf{Set})=\\mathbf{Ab}$、$\\mathrm{Ab}(\\mathbf{Top})$ = 拓扑阿贝尔群、$\\mathrm{Ab}(\\mathrm{Cond})=\\mathrm{CondAb}$ —— 代数那条线与凝聚态那条线在这里接上。", "nodeCount": 10, "nodes": [ "def.monoid-object", "def.group-object", "ex.ab-of-categories", "prop.functor-preserves-monoid-objects", "prop.free-objects-examples", "prop.op-category-is-modules", "prop.algebra-categories-limits", "prop.bialgebra-examples", "prop.forgetful-preserves-limits", "prop.forgetful-exactness" ] }, { "id": "cat.yoneda", "name": "预层与米田", "parent": "category", "desc": "造出「表示」这套语言：预层范畴是落点，米田引理说自然变换集与 $F(X)$ 一一对应，稠密性定理说每个预层都是可表示预层的余极限。", "nodeCount": 17, "nodes": [ "def.presheaf", "def.presheaf-cat", "def.representable", "lem.yoneda", "thm.represented-criterion", "prop.yoneda-embedding", "def.slice-category", "prop.slice-cartesian", "thm.density", "lem.presheaf-mono-pointwise", "prop.representable-preserves-limits", "def.finitely-presented", "thm.presheaf-limits-colimits", "prop.ind-representable-iff-left-exact", "prop.forgetful-representable", "prop.solution-functor-representable", "prop.universal-unique-iso" ] }, { "id": "cat.adjoint", "name": "伴随与反射", "parent": "category", "desc": "造出「两个方向之间的最佳翻译」：伴随 → 单位与余单位 → 保极限 → 伴随函子定理 → 反射子范畴 → Kan 延拓。", "nodeCount": 27, "nodes": [ "def.adjoint", "def.adjunction-unit", "thm.right-adjoint-criterion", "prop.adjoint-full-faithful", "prop.limit-adjoint", "thm.right-adjoint-preserves-limits", "thm.saft", "def.comma-category", "def.reflective-subcategory", "prop.reflective-limits", "def.kan-extension", "ex.kan-extension", "prop.filtered-exact", "prop.left-adjoint-unique", "prop.counit-epi-iff-faithful", "prop.kan-extension-adjoint", "prop.kan-extension-exists", "prop.adjunction-extends-to-diagrams", "prop.kan-extension-fully-faithful", "prop.adjunction-composition", "prop.adjunction-naturality", "prop.forgetful-adjoints-examples", "prop.currying", "prop.unit-counit-examples", "prop.copowers-give-adjoint", "prop.reflection-criterion", "prop.coreflective-monoids-full" ] }, { "id": "cat.sheaf", "name": "层与拓扑", "parent": "category", "desc": "造出「覆盖」这套语言：筛 → 预拓扑 / Grothendieck 拓扑 → 层（下降条件）→ Čech 函子与层化 → site 的层范畴的好性质。", "nodeCount": 37, "nodes": [ "def.sieve", "def.pretopology", "def.grothendieck-topology", "def.sheaf", "thm.sheaf-descent", "def.cech-functor", "prop.cech-properties", "thm.sheafification", "def.regular-epi", "def.universal-colimit", "prop.site-properties", "prop.sheaf-mono-epi-iso", "prop.sheaf-epi-criterion", "def.effective-equivalence", "prop.sheafify-equivalence", "def.canonical-topology", "prop.covering-sieve-epi", "prop.disjoint-universal", "prop.sieve-covering-equivalent", "def.section-functor", "def.topologically-generating", "prop.constant-sheaf-preserves-limits", "prop.stalk-separated", "def.associated-sheaf", "prop.covering-sieves-filter", "prop.site-covering-families-pretopology", "prop.sheafification-image", "prop.sheafification-slice-colimit", "prop.sheaf-hom-computed-in-presheaves", "prop.inverse-image-constant-sheaf", "prop.stalk-of-sheafification", "prop.sieve-generated-by-family", "prop.topology-alternative-axiom", "prop.constant-sheaf-adjunction", "prop.constant-sheaf-top", "def.crystalline-sheaf", "prop.crystalline-sheaf-equiv" ] }, { "id": "cat.topos", "name": "拓扑斯", "parent": "category", "desc": "造出「几何的代数替身」：预拓扑斯 → 预标准拓扑 → 生成元 → 拓扑斯 → Giraud 定理 → 拟紧拟分离 → 拓扑斯的态射。", "nodeCount": 36, "nodes": [ "def.pretopos", "prop.pretopos-factorization", "prop.subobject-lattice", "def.precanonical-topology", "prop.precanonical-sheaf", "prop.precanonical-preserves", "prop.precanonical-mono-epi", "def.generator", "def.topos", "thm.giraud", "lem.representable-quotient", "prop.topos-covering-epi", "prop.topos-sheaf-limits", "def.quasi-compact", "prop.quasi-compact-properties", "def.quasi-separated", "thm.pretopos-qcqs", "def.topos-morphism", "def.continuous-functor", "def.morphism-of-sites", "def.cocontinuous-functor", "def.induced-topology", "thm.induced-topos-morphism", "prop.topos-morphism-abelian-adjunction", "prop.inverse-image-tensor", "prop.abelian-slice-adjunction", "prop.slice-shriek-z", "prop.cohomology-slice-identification", "prop.internal-hom-slice-value", "prop.slice-shriek-projection", "prop.topos-morphism-from-object", "prop.topos-morphism-final-map", "prop.topos-morphism-point", "prop.slice-topos", "prop.qc-sheaf-etale", "prop.slice-covering-sieve" ] }, { "id": "hom.ab", "name": "加法与阿贝尔范畴", "parent": "homology", "desc": "造出做同调代数的场地：预加法 / 加法范畴 → 预阿贝尔 → 阿贝尔范畴 → AB 公理 → Grothendieck 范畴。", "nodeCount": 28, "nodes": [ "def.ab-axioms", "def.grothendieck-category", "def.abelian-category", "thm.freyd-mitchell", "thm.snake-lemma", "thm.five-lemma", "def.additive-functor", "def.split-exact", "def.enough-projectives", "prop.projective-coproduct", "prop.ab-limits-forgetful", "prop.ab6", "def.exact-sequence", "prop.grothendieck-enough-injectives", "prop.ab5-implications", "prop.ab-axioms-examples", "def.kernel-cokernel", "prop.zero-object-final-criterion", "prop.biproduct-is-product", "prop.hom-enrichment-unique", "prop.additive-iff-preserves-biproduct", "prop.adjoint-additive", "prop.exact-sequence-subcategory", "prop.left-exact-criterion", "prop.image-kernel-cokernel", "prop.exact-at-points", "prop.subcat-additive", "prop.generator-coproduct-epi" ] }, { "id": "hom.complex", "name": "复形与导出三角", "parent": "homology", "desc": "造出「两两复合为零」的机器：复形 → 同伦 → 同伦范畴 → 映射锥 → 导出三角，以及三角的旋转与延拓。", "nodeCount": 34, "nodes": [ "def.cochain-complex", "prop.complex-additive", "def.homotopy", "def.homotopy-category", "def.mapping-cone", "def.distinguished-triangle", "prop.triangle-rotation", "lem.triangle-morphism", "prop.k-calculus-fractions", "def.derived-category", "prop.exact-to-triangle", "prop.hom-k-eq-hom-d", "thm.k-plus-injectives", "def.right-derived-functor", "thm.derived-long-exact", "def.ext", "prop.ext-is-rhom", "def.f-acyclic", "prop.leray-acyclicity", "prop.simplicial-to-chain", "prop.category-into-complexes", "prop.homotopy-equivalence-criterion", "prop.additive-functor-preserves-triangles", "prop.complexes-abelian", "prop.cohomology-short-exact", "prop.injective-complex-homotopy", "prop.injective-resolution-lift", "prop.ext-abelian-groups", "prop.ext-projective-vanishes", "prop.injective-iff-acyclic", "prop.left-exact-iff-R0", "prop.additive-complex-construction", "prop.total-complex-injective-resolution", "prop.derived-functor-kan-extension" ] }, { "id": "hom.cohomology", "name": "同调与正合列", "parent": "homology", "desc": "造出「把复形读成不变量」这件事：同调 → 上同调函子 → 长正合列 → 拟同构与零调 → 内射对象。", "nodeCount": 7, "nodes": [ "def.cohomology", "prop.cohomology-exact-sequence", "def.cohomological-functor", "thm.long-exact", "def.quasi-iso", "prop.injective-criterion", "def.resolution" ] }, { "id": "hom.spectral", "name": "过滤与谱序列", "parent": "homology", "desc": "造出「逐层逼近同调」的工具：带过滤的对象 → 关联分次 → 谱序列从 $E_{r}$ 页逐页算到 $E_{\\infty}$。", "nodeCount": 11, "nodes": [ "def.filtration", "def.spectral-sequence", "thm.filtered-complex-spectral", "def.bicomplex", "cor.grothendieck-spectral", "prop.bicomplex-spectral", "prop.spectral-degenerate-row", "prop.five-term-spectral-sequence", "prop.filtered-first-page", "prop.derived-functor-exact-factor", "prop.spectral-sequence-page-picture" ] }, { "id": "hom.sheafcoh", "name": "层上同调", "parent": "homology", "desc": "把导出函子开到层上：$H^{n}(X, M) = R^{n}\\Gamma(X, M)$ → Čech 上同调（便宜的算法）→ Cartan–Leray 谱序列把它们接起来 → 无环层 → 拓扑斯态射的导出函子。", "nodeCount": 30, "nodes": [ "def.sheaf-cohomology", "def.cech-cohomology", "prop.cech-as-colim", "thm.cartan-leray", "def.acyclic-sheaf", "prop.acyclic-iff-cech", "prop.chaus-cech-eq-h", "prop.filtered-limit-cohomology", "prop.stone-acyclic", "prop.topos-morphism-derived", "cor.homotopy-invariant-cohomology", "method.simplicial-cohomology", "lem.cartan-eilenberg", "prop.cech-section-vanishing", "prop.cohomology-of-coproduct", "prop.cohomology-as-ext", "prop.presheaf-representable-acyclic", "lem.covering-free-acyclic", "cor.cech-cohomology-spectral", "prop.cech-cochain-formula", "prop.higher-cohomology-presheaf-zero", "prop.cech-higher-cohomology-presheaf", "prop.cech-interval-vanishing", "prop.cech-h1-equals-h1", "prop.acyclic-equivalent-conditions", "prop.cohomology-functoriality", "prop.derived-pushforward-composition", "thm.leray-spectral-sequence", "prop.cohomology-via-associated-sheaf", "prop.cohomology-presheaf-H" ] }, { "id": "hom.sheaf", "name": "阿贝尔层", "parent": "homology", "desc": "造出「拓扑斯里的阿贝尔群」：取值一般的层 → 阿贝尔层 → 拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴 → 内 Hom → 张量积 → 平坦性。", "nodeCount": 13, "nodes": [ "def.presheaf-valued", "def.abelian-sheaf", "thm.topos-abelian-grothendieck", "def.internal-hom", "def.tensor-abelian-sheaf", "def.flat-abelian-sheaf", "prop.tensor-rhom-natural-map", "def.free-abelian-sheaf", "thm.abelian-sheaf-equiv", "prop.presheaf-free-projective", "prop.generators-abelian-sheaves", "prop.free-sheaf-tensor", "prop.flat-tensor-acyclic" ] }, { "id": "cond.set", "name": "凝聚态集", "parent": "condensed", "desc": "造出主角：紧 Hausdorff 空间上的层就是凝聚态集；换到自由对象上，层条件退化成「保有限积」。", "nodeCount": 29, "nodes": [ "def.chaus-pretopos", "def.condensed-set", "prop.condensed-criterion", "thm.cond-topos", "prop.fchaus-pretopology", "prop.fchaus-sheaf", "thm.cond-equiv-fchaus", "prop.cond-epi", "prop.cond-projectives", "def.underlying-topological-space", "thm.top-cond-adjoint", "prop.cond-internal-hom", "thm.qcqs-chaus-equiv", "lem.weak-hausdorff-qseparated", "lem.qseparated-ind-inclusions", "lem.qseparated-underlying-weak-hausdorff", "prop.cg-wh-iff-qseparated", "prop.cond-limits-colimits", "prop.cond-epi-regular", "prop.cond-equivalence-effective", "cor.cond-ktop-finite-products", "prop.projection-formula-cond", "prop.cond-epi-open-surjective", "prop.open-covering-covering", "prop.hom-presheaf-sheaf", "prop.countable-colimit-qseparated", "prop.qseparated-mono", "prop.discrete-iff-constant", "prop.underlying-preserves-coproduct" ] }, { "id": "cond.ab", "name": "凝聚态阿贝尔群", "parent": "condensed", "desc": "在凝聚态集上做代数：阿贝尔群值层 → 截面函子 → 足够多投射对象 → 张量与内 Hom。", "nodeCount": 7, "nodes": [ "def.condensed-abelian-group", "prop.condab-section", "thm.condab-ab", "lem.stonean-projective", "prop.condab-generated", "prop.discrete-functor-coproduct", "prop.cond-quotient-topological" ] }, { "id": "cond.topo", "name": "拓扑阿贝尔群", "parent": "condensed", "desc": "造出「拓扑阿贝尔群 → 凝聚态阿贝尔群」这条通道：关联凝聚态群（保所有极限）→ 连续同态即内部 Hom → 正合列的搬运 → Pontryagin 对偶 → 局部紧阿贝尔群不是阿贝尔范畴。", "nodeCount": 13, "nodes": [ "def.topo-ab-group", "prop.abtop-to-abcond", "prop.continuous-hom-condensed", "prop.exact-sequence-topo-ab", "prop.lc-ab-preabelian", "def.pontryagin-dual", "thm.pontryagin-van-kampen", "thm.lc-structure", "prop.pontryagin-discrete-compact-duality", "prop.pontryagin-torsion-stone", "prop.abhaus-strict-exact", "prop.chaus-two-term-resolution", "prop.pontryagin-finite-dim-banach" ] }, { "id": "cond.cohomology", "name": "凝聚态上同调", "parent": "condensed", "desc": "造出「哪些空间的上同调会自动消失」：Stonean 上零调 → Stone 上常系数零调 → 局部紧上等于层上同调 → 半范数 / Banach 阿贝尔群与 $K$-有界正合 → 实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调 → Breen–Deligne 分解 → $\\operatorname{RHom}$ 的逐类计算 → 局部紧阿贝尔群只剩 $\\operatorname{Ext}^{0}, \\operatorname{Ext}^{1}$。", "nodeCount": 38, "nodes": [ "prop.cond-slice-topos-morphism", "prop.stonean-cond-acyclic", "lem.stone-constant-acyclic", "thm.dyckhoff", "def.semi-normed-ab-group", "def.banach-ab-group", "def.k-bounded-exact", "lem.k-bounded-completion", "prop.k-bounded-implies-exact", "cor.k-acyclic-acyclic", "lem.stone-cech-1-bounded", "prop.banach-stone-acyclic", "thm.tietze-banach", "thm.real-banach-chaus-acyclic", "lem.ext-stonean-section", "thm.breen-deligne", "lem.breen-deligne-scalar-homotopy", "prop.breen-deligne-ss-stonean", "prop.rhom-banach-discrete-zero", "prop.rhom-chaus-banach-zero", "prop.rhom-dual-tensor", "prop.dual-rhom-characterization", "thm.lc-ext-vanishing", "table.rhom-zrt", "ex.finite-banach-rhom", "ex.chaus-banach-rhom", "ex.bd-ss", "ex.connected-lc-ext", "ex.nonlc-rhom", "lem.cech-finite-disjoint-acyclic", "prop.condab-discrete-acyclic", "prop.condab-quotient-r-disc", "cor.ext-cond-set-section", "prop.rhom-zs-sections", "prop.rhom-ze-powers", "prop.discrete-cond-rhom-constant", "prop.k-bounded-exact-filtered-colimit", "prop.continuous-functions-normed" ] } ], "nodes": [ { "id": "ax.ext", "type": "axiom", "label": "外延公理", "title": "外延公理（Axiom of Extensionality）", "label_en": "extensionality", "title_en": "Axiom of Extensionality", "en_page": "nodes/ax.ext.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.zfc", "layer": 0, "tags": [ "ZFC", "集合相等" ], "statement": "集合由它的元素唯一决定：\n\n$$\\forall A \\forall B [ \\forall x ( x \\in A \\leftrightarrow x \\in B ) \\to A = B ]$$\n\n反方向（$A = B \\to$ 元素完全相同）由等词逻辑自动成立，所以常写成 $\\leftrightarrow$。\n这条公理保证了「用条件刻画集合」时结果是唯一的，因此 $\\{ x \\in A : \\varphi (x) \\}$ 这种写法不会产生歧义。", "notes": "它是「集合」这个名字的全部含义：一个集合 $=$ 一个外延（一堆元素），与「怎么描述它」无关。\n\n去掉它，就可以有元素完全相同却彼此不同的对象（例如带原子 ur-element 的集合论）。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.2", "Jech, Set Theory, 1.2" ] }, { "id": "ax.sep", "type": "axiom", "label": "分离公理模式", "title": "分离公理模式（Axiom Schema of Separation）", "label_en": "separation", "title_en": "separation", "en_page": "nodes/ax.sep.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.zfc", "layer": 4, "tags": [ "ZFC", "子集", "公理模式" ], "statement": "对每个公式 $\\varphi (x, p)$（其中 $B$ 不出现），下面是一条公理：\n\n$$\\forall p \\forall A \\exists B \\forall x [ x \\in B \\leftrightarrow ( x \\in A \\wedge \\varphi(x, p) ) ]$$\n\n由外延公理，这样的 $B$ 唯一，记作 $B = \\{ x \\in A : \\varphi (x, p) \\}$。俗称「子集公理」。", "notes": "它是**公理模式**而不是单条公理：每取一个公式 $\\varphi$ 就得到一条公理，ZFC 因此有无穷多条公理。\n\n限制 `$x \\in A$` 是关键——不能写成 $\\{ x : x \\notin x \\}$，否则就是罗素悖论。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.4" ] }, { "id": "ax.pair", "type": "axiom", "label": "配对公理", "title": "配对公理（Axiom of Pairing）", "label_en": "pairing", "title_en": "Axiom of Pairing", "en_page": "nodes/ax.pair.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.zfc", "layer": 0, "tags": [ "ZFC" ], "statement": "任给两个集合，可以打包成「只含这两个元素的集合」：\n\n$$\\forall a \\forall b \\exists A \\forall x [ x \\in A \\leftrightarrow ( x = a \\vee x = b ) ]$$\n\n由外延公理 $A$ 唯一，记作 { a, b }（无序对）。取 $a = b$ 即得单点集 { a }。", "notes": "有了配对公理，「{a, b}」才是集合；它也是构造有序对 $(a,b) = \\{\\{a\\},\\{a,b\\}\\}$ 的第一步。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.3" ] }, { "id": "ax.union", "type": "axiom", "label": "并集公理", "title": "并集公理（Axiom of Union）", "label_en": "union", "title_en": "Axiom of Union", "en_page": "nodes/ax.union.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.zfc", "layer": 0, "tags": [ "ZFC" ], "statement": "一个集合族的所有成员的元素，仍然构成一个集合：\n\n$$\\forall F \\exists A \\forall x [ x \\in A \\leftrightarrow \\exists Y ( Y \\in F \\wedge x \\in Y ) ]$$\n\n记作 $\\bigcup F$。配合配对公理可得二元并 $a \\cup b = \\bigcup \\{ a, b \\}$。", "notes": "注意 $\\bigcup F$ 是「$F$ 中元素的元素」，不是 $F$ 自身；$\\bigcup \\{a,b\\} = a \\cup b$ 正是我们要的二元并。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.3" ] }, { "id": "ax.power", "type": "axiom", "label": "幂集公理", "title": "幂集公理（Axiom of Power Set）", "label_en": "power set", "title_en": "Axiom of Power Set", "en_page": "nodes/ax.power.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.zfc", "layer": 2, "tags": [ "ZFC", "子集" ], "statement": "一个集合的所有子集构成一个集合：\n\n$$\\forall A \\exists P \\forall x [ x \\in P \\leftrightarrow x \\subseteq A ]$$\n\n记作 $\\mathcal{P}(A)$（或 P(A)）。它把「$A$ 的所有子集」这件事本身变成一个集合 —— 幂集是「造更大的集合」的基本手段。", "notes": "它是笛卡尔积 $A \\times B$ 存在性的关键：{{a},{a,b}} 落在 $\\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A \\cup B))$ 里。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.3" ] }, { "id": "ax.inf", "type": "axiom", "label": "无穷公理", "title": "无穷公理（Axiom of Infinity）", "label_en": "infinity", "title_en": "Axiom of Infinity", "en_page": "nodes/ax.inf.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.zfc", "layer": 0, "tags": [ "ZFC", "归纳集", "自然数" ], "statement": "存在一个「归纳集」——含有 $\\emptyset$ 且对后继封闭的集合：\n\n$$\\exists I [ \\emptyset \\in I \\wedge \\forall x ( x \\in I \\to x \\cup \\{ x \\} \\in I ) ]$$\n\n公理本身只要求 $I$ **非空**且对后继封闭；写成 $\\emptyset \\in I$ 只是为了好看，$\\emptyset$ 是原始对象（见「空集」）。\n这条公理宣告了无穷集合的存在，是从中构造自然数集 $\\omega$ 的唯一来源。", "notes": "没有它，$V_\\omega$ 就是一个模型，所有集合都有限，算术只能在有界范围内进行。\n\n记号方面：$x \\cup \\{x\\}$ 由配对公理与并集公理写出来，它们与这条公理、以及 $\\emptyset$，都在同一层地基上 —— 地基内部的相互引用不画成依赖边。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "ax.repl", "type": "axiom", "label": "替换公理模式", "title": "替换公理模式（Axiom Schema of Replacement）", "label_en": "replacement", "title_en": "Axiom Schema of Replacement", "en_page": "nodes/ax.repl.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.zfc", "layer": 3, "tags": [ "ZFC", "公理模式", "函数" ], "statement": "若一个公式定义了「函数关系」，则任一集合的像仍是集合。对每个公式 $\\varphi (x, y, p)$（其中 $B$ 不出现）：\n\n$$\\forall p [ \\forall x\\forall y\\forall z ( \\varphi(x,y,p) \\wedge \\varphi(x,z,p) \\to y = z ) \\to \\forall A \\exists B \\forall y ( y \\in B \\leftrightarrow \\exists x \\in A, \\varphi(x,y,p) ) ]$$\n\n它保证了「替换」不会跑出集合论宇宙：像 $B$ 也是集合。", "notes": "替换公理模式是 $Z$ 与 ZF 的分水岭。由它（加上任取一个集合 $A$）可以推出分离公理模式。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.6" ] }, { "id": "ax.found", "type": "axiom", "label": "正则公理", "title": "正则公理 / 基础公理（Axiom of Foundation）", "label_en": "foundation", "title_en": "foundation", "en_page": "nodes/ax.found.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.zfc", "layer": 0, "tags": [ "ZFC", "良基", "∈-链" ], "statement": "每个非空集合都有「$\\in$极小元」：\n\n$$\\forall A [ A \\ne \\emptyset \\to \\exists x ( x \\in A \\wedge x \\cap A = \\emptyset ) ]$$\n\n等价说法：$\\in$ 是良基关系，不存在无穷递减链\n\n$$x_0 \\ni x_1 \\ni x_2 \\ni \\cdots$$", "notes": "它排除了 $A \\in A$ 这类循环集合，也排除了「集合的无穷下降」。\n\n正则公理等价于「集合论宇宙 $V$ 是累积层级 $\\bigcup_{\\alpha} V_\\alpha$」，这条公理让 $\\in$归纳法成为合法的证明方法。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.9" ] }, { "id": "ax.choice", "type": "axiom", "label": "选择公理", "title": "选择公理（Axiom of Choice, AC）", "label_en": "axiom of choice", "title_en": "axiom of choice", "en_page": "nodes/ax.choice.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "order.choice", "layer": 9, "tags": [ "ZFC", "选择", "等价命题" ], "statement": "任意一族非空集合都可以「同时」各挑出一个元素。写成选择函数的形式：\n\n$$\\forall F [ ( \\forall X \\in F, X \\ne \\emptyset ) \\to \\exists f ( f\\text{ 是函数} \\wedge \\operatorname{dom} f = F \\wedge \\forall X \\in F, f(X) \\in X ) ]$$\n\n另一种常见形式（两两不交形式）：若 $F$ 是两两不交的非空集合族，则存在集合 $C$，使对每个 $X \\in F$ 都有 $|C \\cap X| = 1$。\n\n选择函数 $f$ 就是「同时挑元素」的工具；AC 断言这种同时挑选永远做得到。", "notes": "AC 与 ZF 独立：Gödel (1938) 证明 $Con(ZF) \\to Con(ZF + AC)$，Cohen (1963) 证明 $Con(ZF) \\to Con(ZF + \\neg AC)$。\n\n它是本星系里大量命题的枢纽——佐恩引理、良序定理、Hausdorff 极大原理、Tukey 引理都与它等价。\n\n有限个非空集合可以逐个挑选，这正是 AC 只在无穷情形才显出力量的原因。", "refs": [ "Jech, The Axiom of Choice", "Kunen, Set Theory, I.12" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/axiom+of+choice" } }, { "id": "def.subset", "type": "definition", "label": "子集", "title": "子集 / 真子集（Subset）", "label_en": "subset", "title_en": "subset", "en_page": "nodes/def.subset.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.construct", "layer": 1, "tags": [ "定义", "包含关系" ], "statement": "设 $A$、$B$ 是集合。\n\n- **$A$ 是 $B$ 的子集**（记 $A \\subseteq B$）：$\\forall x ( x \\in A \\to x \\in B )$\n- **$A$ 是 $B$ 的真子集**（记 $A \\subset B$）：$A \\subseteq B$ 且 $A \\ne B$。\n\n基本性质：$\\subseteq$ 自反、传递；并且由外延公理，\n\n$$A = B \\iff A \\subseteq B \\wedge B \\subseteq A$$\n\n这是证明两个集合相等最常用的套路：**两边互包**。", "notes": "$\\emptyset \\subseteq A$ 对一切 $A$ 成立（空泛真）。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.2" ] }, { "id": "def.pair", "type": "definition", "label": "有序对", "title": "有序对（Ordered Pair, Kuratowski）", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.construct", "layer": 3, "tags": [ "定义", "Kuratowski" ], "statement": "Kuratowski 定义：\n\n$$(a, b) := \\{ \\{a\\}, \\{a, b\\} \\}$$\n\n它由配对公理与幂集公理保证是集合。\n\n**特征性质**（这才是「有序」的全部含义）：\n\n$$(a, b) = (c, d) \\iff a = c \\wedge b = d$$\n\n$n$ 元组递归定义为 $(a_{1}$ …$a_{n}) = ( (a_{1}$ …$a_{n-1}), a_{n} )$。", "notes": "用集合「编码」有序对之后，关系、函数、序型等等才都能在 ZFC 内部说清楚。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.rel", "type": "definition", "label": "关系", "title": "关系（Relation）", "label_en": "binary relation", "title_en": "Relation", "en_page": "nodes/def.rel.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.rel", "layer": 4, "tags": [ "定义", "关系" ], "statement": "设 $A$、$B$ 是集合。\n\n**关系** $R$ 由有序对组成；$R \\subseteq A \\times B$ 表示 $R$ 是 $A$ 到 $B$ 的关系。\n\n- **定义域** $\\operatorname{dom} R = \\{ a : \\exists b (a, b) \\in R \\}$；\n- **值域** $\\operatorname{ran} R = \\{ b : \\exists a (a, b) \\in R \\}$；\n- **逆** $R^{-1} = \\{ (b, a) : (a, b) \\in R \\}$。", "notes": "在 ZFC 里关系就是一个集合（由有序对组成），没有额外的原始概念 —— 所以「$\\preceq$ 是 $A$ 上的关系」这句话本身是有内容的：它说的是一族有序对。\n\n常见的两类关系：**等价关系**（自反、对称、传递）与**偏序**（自反、反对称、传递）——后者另开一条节点。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.function", "type": "definition", "label": "映射", "title": "映射（Mapping）", "label_en": "mapping", "title_en": "Mapping", "en_page": "nodes/def.function.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.rel", "layer": 5, "tags": [ "定义", "映射", "对应" ], "statement": "设 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的关系。$f$ 是一个**映射**（记 $f : A \\to B$），当且仅当对每个输入恰有一个输出：\n\n$$\\forall a \\in A, \\exists! b \\in B, (a, b) \\in f$$\n\n唯一性使 $f(a) = b$ 这个记号不会歧义；此时 $\\operatorname{dom} f = A$，$f$ 的**像**是 $f(A) = \\{ f(a) : a \\in A \\}$。\n\n单射 / 满射 / 双射见另一条节点；取值落在数集里的映射另有一个名字，叫**函数**。", "notes": "在 ZFC 里「映射就是一种特殊的关系」：它只多了一条要求 —— 每个输入的输出**唯一**。\n\n⚠ 两个容易混的地方：\n- 「$f$ 是映射」不要求 $A$ 上处处有定义；要求了才写 $f : A \\to B$（即 $\\operatorname{dom} f = A$）。\n- 像 $f(A)$ 一般只是 $B$ 的子集，满射才要求 $f(A) = B$。\n\n⭐ **「映射」是最一般的说法**（集合到集合），不管是几何体之间的、群之间的、还是函子之间的。中文书里常把它和「函数」混着用，本图把两者分开：**取值在数集的才叫函数**。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.number-function", "type": "definition", "label": "函数", "title": "函数（Function）", "label_en": "function", "title_en": "Function", "en_page": "nodes/def.number-function.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory", "analysis" ], "cluster": "set.rel", "layer": 13, "tags": [ "定义", "函数", "数集" ], "statement": "设 $f : X \\to Y$ 是**映射**。若它的取值落在**数集**里 —— 即 $Y \\subseteq \\mathbb{R}$ 或 $Y \\subseteq \\mathbb{C}$ —— 就叫 $f$ 是一个**函数**。\n\n按中学课本的说法是「数集到数集的映射」；本图把**定义域**那一边放宽：$X$ 可以是任意集合（测度空间、拓扑空间、甚至另一个函数空间）。", "notes": "⭐ **为什么要和「映射」分开**：「映射」是集合层面最一般的说法（几何体之间、群之间、函子之间都用它）；「函数」专指**取值在数集**的那些 —— 只有输出是数，才谈得上加减乘、大小、取极限、求导、求积分。图里出现「函数」的地方几乎都在用这些结构。\n\n**常用叫法**：$Y = \\mathbb{R}$ 的叫**实值函数**，$Y = \\mathbb{C}$ 的叫**复值函数**，$\\mathbb{R}^{n} \\to \\mathbb{R}$ 的叫**多元函数**。\n\n⚠️ 中学课本的定义是「数集到数集的映射」。本图只要求**陪域**是数集：$f : X \\to \\mathbb{R}$ 里 $X$ 完全可以是一般的集合 —— 否则「可测函数」「连续函数」「$L^{p}$ 里的函数」都得另起名字，反而更绕。定义域也要求是数集的话，那些全都不是函数了。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis" ] }, { "id": "def.choicefn", "type": "definition", "label": "选择函数", "title": "选择函数（Choice Function）", "label_en": "choice function", "title_en": "Choice Function", "en_page": "nodes/def.choicefn.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "order.choice", "layer": 6, "tags": [ "定义", "选择" ], "statement": "设 $F$ 是一个集合族，且 $\\emptyset \\notin F$。\n\n$f$ 是 $F$ 的**选择函数**，当且仅当\n\n$f$ 是函数，$\\operatorname{dom} f = F$；\n$\\forall X \\in F, f(X) \\in X$。\n\n即：$f$ 从 $F$ 的每一个成员里各挑出一个元素。\n\n于是选择公理可以简洁地写成：**每个满足 $\\emptyset \\notin F$ 的集合族 $F$ 都有选择函数**。", "notes": "若 $F$ 有限，逐个挑选即可，无需 AC。难点只在无穷族，尤其是不可数族。", "refs": [ "Jech, The Axiom of Choice" ] }, { "id": "thm.empty", "type": "theorem", "label": "空集存在", "title": "空集存在且唯一", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.construct", "layer": 5, "tags": [ "定理" ], "statement": "存在一个不含任何元素的集合：\n\n$$\\exists B \\forall x ( x \\notin B )$$\n\n由外延公理，这样的 $B$ 唯一，记作 $\\emptyset$。", "notes": "$\\emptyset$ 是 $\\in$ 关系的最小元，也是 $\\subseteq$ 关系的最小元：$\\emptyset \\subseteq A$ 对一切 $A$ 成立。\n\n⭐ 这条定理的意义：**不把 $\\emptyset$ 当原始对象**，只用分离公理模式（对任一集合 $A$ 取 $\\{x \\in A : x \\ne x\\}$）也能把它造出来 —— 所以「空集」在 ZF 里不是一条额外的假设。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.4" ] }, { "id": "thm.noself", "type": "theorem", "label": "无自属集合", "title": "任何集合都不属于自身", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.zfc", "layer": 1, "tags": [ "定理", "正则公理" ], "statement": "$$\\forall A ( A \\notin A )$$\n\n更一般地，正则公理排除了任何有限的 $\\in$循环：\n\n$$A_0 \\ni A_1 \\ni \\cdots \\ni A_n = A_0$$", "notes": "这条定理说明罗素悖论里的「集合 $R = \\{ x : x \\notin x \\}$」不可能存在——否则 $R \\in R$ 与 $R \\notin R$ 同时成立。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.9" ] }, { "id": "thm.omega", "type": "theorem", "label": "自然数集存在", "title": "自然数集 $\\omega$ 存在", "label_en": "natural numbers", "title_en": "natural numbers", "en_page": "nodes/thm.omega.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 5, "tags": [ "定理", "自然数", "序数" ], "statement": "存在**最小归纳集** $\\omega$：它含有 $\\emptyset$，对 $x \\mapsto x \\cup \\{x\\}$ 封闭，且含于一切归纳集之中：\n\n$$\\omega = \\{ \\emptyset, \\{\\emptyset\\}, \\{\\emptyset, \\{\\emptyset\\}\\}, \\{\\emptyset, \\{\\emptyset\\}, \\{\\emptyset, \\{\\emptyset\\}\\}\\}, \\ldots \\}$$\n\n把 $\\in$ 读作 $<$，$\\langle \\omega , \\in \\rangle$ 就是自然数系 $\\langle \\mathbb{N}, <\\rangle$。", "notes": "$\\omega$ 同时也是最小的极限序数。构造它需要无穷公理 + 幂集公理 + 分离公理模式三者合力。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "thm.binunion", "type": "theorem", "label": "二元并存在", "title": "二元并 $a \\cup b$ 存在", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.construct", "layer": 1, "tags": [ "定理" ], "statement": "任给两个集合，它们的并仍是集合：\n\n$$\\forall a \\forall b \\exists A \\forall x [ x \\in A \\leftrightarrow ( x \\in a \\vee x \\in b ) ]$$\n\n记作 $a \\cup b$。", "notes": "$a \\cup b$ 是包含 $a$ 与 $b$ 的最小集合（$\\subseteq$意义下）。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.3" ] }, { "id": "thm.product", "type": "theorem", "label": "笛卡尔积存在", "title": "笛卡尔积 $A \\times B$ 存在", "label_en": "Cartesian product", "title_en": "Cartesian product", "en_page": "nodes/thm.product.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.construct", "layer": 5, "tags": [ "定理", "有序对" ], "statement": "任给两个集合，全体有序对构成一个集合：\n\n$$\\forall A \\forall B \\exists C \\forall z [ z \\in C \\leftrightarrow \\exists a \\in A, \\exists b \\in B, z = (a, b) ]$$\n\n记作 $A \\times B = \\{ (a, b) : a \\in A, b \\in B \\}$。", "notes": "它是「关系」「函数」得以定义为集合的前提：没有 $A \\times B$，就没有 $R \\subseteq A \\times B$ 这个说法。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.poset", "type": "definition", "label": "偏序集", "title": "偏序集 / 全序集（Partially Ordered Set）", "region": "order-theory", "regions": [ "order-theory" ], "cluster": "order.structure", "layer": 5, "tags": [ "定义", "序" ], "statement": "设 $\\preceq$ 是集合 $A$ 上的二元关系。$\\preceq$ 是 **$A$ 上的偏序**，当且仅当：\n\n- **自反**：$\\forall x \\in A, x \\preceq x$；\n- **反对称**：$\\forall x, y \\in A ( x \\preceq y \\wedge y \\preceq x \\to x = y )$；\n- **传递**：$\\forall x, y, z \\in A ( x \\preceq y \\wedge y \\preceq z \\to x \\preceq z )$。\n\n若还满足 **可比性** $\\forall x, y \\in A ( x \\preceq y \\vee y \\preceq x )$，则 $\\preceq$ 称为 **$A$ 上的全序**（线性序），$(A, \\preceq )$ 称为全序集。\n\n称 $(A, \\preceq )$ 为**偏序集**。由 $\\preceq$ 定义**严格序**：$x \\prec y :\\iff x \\preceq y \\wedge x \\ne y$", "notes": "典型例子：$\\langle \\mathcal{P}(S), \\subseteq \\rangle$ 是偏序集但不是全序集；$\\langle \\mathbb{R}, \\le \\rangle$ 是全序集。\n\n反对称性是说：只允许「相等」这一种互相 $\\le$ 的方式，所以偏序可以看成「$\\le$ 的抽象」。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.11", "Davey & Priestley, Introduction to Lattices and Order" ] }, { "id": "def.chain", "type": "definition", "label": "链", "title": "链 / 反链（Chain / Antichain）", "label_en": "chain", "title_en": "Chain / Antichain", "en_page": "nodes/def.chain.en.md", "region": "order-theory", "regions": [ "order-theory" ], "cluster": "order.structure", "layer": 6, "tags": [ "定义", "链" ], "statement": "设 $(P, \\preceq )$ 是偏序集，$C \\subseteq P$。\n\n**$C$ 是链**（也叫全序子集），当且仅当 $C$ 中任意两个元素都可比：\n\n$$\\forall x, y \\in C ( x \\preceq y \\vee y \\preceq x )$$\n\n**$C$ 是反链**，当且仅当 $C$ 中任意两个不同元素都不可比。\n\n约定：$\\emptyset$ 与单点集都算链。", "notes": "「链」这个词是佐恩引理、Hausdorff 极大原理的中心概念——它们说的都是「链能长到多大」。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.11" ] }, { "id": "def.bound", "type": "definition", "label": "界与确界", "title": "上界 / 下界 / 确界 / 极大元（Bounds, Suprema & Extremal Elements）", "label_en": "least upper bound", "title_en": "least upper bound", "en_page": "nodes/def.bound.en.md", "region": "order-theory", "regions": [ "order-theory" ], "cluster": "order.structure", "layer": 6, "tags": [ "定义", "上界", "下界", "上确界", "极大元" ], "statement": "设 $(P, \\preceq )$ 是偏序集，$S \\subseteq P$，$u, l, m \\in P$。\n\n- **$u$ 是 $S$ 的上界**：$\\forall s \\in S, s \\preceq u$。\n- **$l$ 是 $S$ 的下界**：$\\forall s \\in S, l \\preceq s$。\n- **$u$ 是 $S$ 的上确界**（记 $\\sup S$）：$u$ 是上界，且 $u \\preceq$ 每一个上界 —— 即**最小**的上界。\n- **$l$ 是 $S$ 的下确界**（记 $\\inf S$）：$l$ 是下界，且每一个下界 $\\preceq l$ —— 即**最大**的下界。\n- **$m$ 是 $P$ 的极大元**：$\\forall x \\in P ( m \\preceq x \\to x = m )$，即没有比 $m$ 更大的元素。\n- **$m$ 是 $P$ 的最大元**：$\\forall x \\in P, x \\preceq m$，即 $m$ 比所有元素都大。\n\n把 $\\preceq$ 换成 $\\succeq$，前四条里的「上 / 大 / 极大」就变成「下 / 小 / 极小」。\n\n⚠ **极大元 $\\ne$ 最大元**；**$\\sup S$ 不必属于 $S$**（$\\sup (0, 1) = 1$）—— 这是两组容易混的东西。\n\n偏序集里一般不保证 $\\sup$ 存在；$\\mathbb{R}$ 的特别之处正是**保证它存在**，那就是**确界原理**（见「$\\mathbb{R}$ 是完备有序域」）。", "notes": "例子：$P = \\{ \\{1\\}, \\{2\\} \\}$ 按 $\\subseteq$ 排序。两个元素都是极大元（谁也包不住谁），但没有最大元。\n\n在**全序**集里两者才重合。偏序集里「极大」只要求「上面没有别人」，不要求「下面有所有人」。\n\n佐恩引理保证的是极大元，而不是最大元——这一点在应用时最容易出错。\n\n在 $\\mathbb{R}$ 上 $u = \\sup S$ 有一个只用序的等价说法：$\\forall \\varepsilon > 0, \\exists s \\in S : s > u - \\varepsilon$（任意近地逼近，但不必取到）。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.11", "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "def.wellorder", "type": "definition", "label": "良序集", "title": "良序集（Well-Ordered Set）", "region": "order-theory", "regions": [ "order-theory" ], "cluster": "order.structure", "layer": 6, "tags": [ "定义", "良序", "超限归纳" ], "statement": "全序集 $(W, \\preceq )$ 是**良序的**，当且仅当 $W$ 的每个非空子集都有最小元：\n\n$$\\forall S \\subseteq W ( S \\ne \\emptyset \\to \\exists m \\in S, \\forall s \\in S, m \\preceq s )$$\n\n等价于：不存在无穷严格递减链 $w_{0} \\succ w_{1} \\succ w_{2} \\succ \\cdots$。", "notes": "⭐ **良序的用处只有一个：让「下一步」有定义。** 每一步之前的部分有头有尾，于是可以做**超限归纳**（证明）与**超限递归**（构造）—— 见「良序集上的递归定理」。\n\n⭐ 每个良序集都**序同构于唯一的一个序数**（见「良序集的序型」），那个序数就是它的「长度」。于是「两个良序集谁更长」变成「两个序数谁大」，而序数的大小就是 $\\in$。\n\n$\\langle \\mathbb{N}, \\le \\rangle$ 是良序的；$\\langle \\mathbb{Z}, \\le \\rangle$、$\\langle \\mathbb{R}, \\le \\rangle$ 不是（$\\mathbb{R}$ 的某些非空子集没有最小元）。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.11" ] }, { "id": "def.finchar", "type": "definition", "label": "有限特征", "title": "有限特征族（Family of Finite Character）", "label_en": "finite character", "title_en": "Family of Finite Character", "en_page": "nodes/def.finchar.en.md", "region": "order-theory", "regions": [ "order-theory" ], "cluster": "order.structure", "layer": 7, "tags": [ "定义", "有限特征", "Tukey" ], "statement": "集合族 $\\mathcal{A}$ 具有**有限特征**，当且仅当对任意集合 $X$：\n\n$$X \\in \\mathcal{A} \\iff X\\text{ 的每个有限子集都属于} \\mathcal{A}$$\n\n也就是说：「局部地看起来像 $\\mathcal{A}$ 的成员」$\\implies$「整体就是 $\\mathcal{A}$ 的成员」。", "notes": "典型例子：\n\n- 偏序集 $P$ 的**链族**（$X$ 是链 $\\iff X$ 的每个二元子集可比）；\n- 向量空间的**线性无关子集族**；\n- 某个滤子之上的**滤子族**。\n\n\n\n有限特征是 Tukey 引理的用武之地：只要目标族具有有限特征，极大元就自动存在（在 AC 之下）。", "refs": [ "Jech, The Axiom of Choice, Ch. 2" ] }, { "id": "thm.wellordering", "type": "theorem", "label": "良序定理", "title": "良序定理 / 良序原理（Well-Ordering Theorem, Zermelo 1904）", "abstract_en": "Every set can be well ordered: $\\forall X\\, \\exists \\preceq$ a well-ordering of $X$, equivalently every set is equinumerous with an ordinal. Zermelo introduced the axiom of choice in 1904 precisely to prove this, and over ZF the statement is equivalent to AC. Immediate consequence: any two cardinals are comparable, and $\\mathbb{R}$ carries a well-ordering that cannot be written down explicitly.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/thm.wellordering.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory", "order-theory" ], "cluster": "order.choice", "layer": 9, "tags": [ "ZFC", "等价命题", "选择" ], "statement": "每个集合都能被赋予一个良序：\n\n$$\\forall X \\exists\\preceq ( \\preceq\\text{ 是} X\\text{ 上的良序关系} )$$\n\n换句话说：任何集合 $X$ 都与某个序数等势。\n\n特别地，每个集合都有基数；实数集上存在良序（但这个良序无法被显式写出）。", "notes": "Zermelo 1904 年为证明「每个集合可良序」而明确提出了选择公理，这也是 AC 第一次登场。\n\n由良序定理可立刻得到**基数可比定理**：任意两个集合的基数都可比较大小。\n\n在 ZF 中不能证明它；但由它和 ZF 可推出 AC，所以两者等价。", "refs": [ "Zermelo (1904)", "Kunen, Set Theory, I.12" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem" } }, { "id": "lem.zorn", "type": "lemma", "label": "佐恩引理", "title": "佐恩引理（Zorn's Lemma）", "label_en": "Zorn's lemma", "title_en": "Zorn's Lemma", "abstract_en": "Let $(P, \\preceq)$ be a non-empty poset in which every chain has an upper bound in $P$. Then $P$ has a maximal element. Both hypotheses are needed: the empty poset has none, and an upper bound for every chain yields maximality only, never a greatest element. It is the standard engine of existence proofs — bases, maximal ideals, compactness, Hahn–Banach — and it is non-constructive: an element is produced without telling you which one.", "statement_en": "Let $(P, \\preceq)$ be a **non-empty** poset. If every chain in $P$ has an upper bound in $P$, then $P$ has a **maximal element**.\n\n$$P \\ne \\emptyset \\wedge ( \\forall C \\subseteq P, C\\text{ is a chain} \\to \\exists u \\in P, u\\text{ is an upper bound of } C ) \\implies \\exists m \\in P, m\\text{ is maximal}$$", "notes_en": "Neither hypothesis can be dropped: the empty poset has no maximal element, and \"every chain has an upper bound\" does not give a *greatest* element — only a maximal one.\n\nIt is \"the universal engine of existence proofs\": every vector space has a basis, every ring has a maximal ideal, the compactness theorem, Hahn–Banach — all of them rely on it.\n\nThe name is a historical accident: Zorn popularised the statement in the 1940s, while Kuratowski had already proved an equivalent form in 1922, so it is also called the Kuratowski–Zorn lemma.\n\n⚠ Non-constructive: what one obtains is \"there exists a maximal element\", and usually one cannot say which.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "statement", "notes", "name" ] } }, "en_page": "nodes/lem.zorn.en.md", "region": "order-theory", "regions": [ "order-theory", "set-theory" ], "cluster": "order.choice", "layer": 9, "tags": [ "ZFC", "等价命题", "极大原理" ], "statement": "设 $(P, \\preceq )$ 是**非空**偏序集。若 $P$ 的每个链在 $P$ 中都有上界，则 $P$ 有**极大元**。\n\n$$P \\ne \\emptyset \\wedge ( \\forall C \\subseteq P, C\\text{ 是链} \\to \\exists u \\in P, u\\text{ 是} C\\text{ 的上界} ) \\implies \\exists m \\in P, m\\text{ 是极大元}$$", "notes": "两个条件都不可省：空偏序集没有极大元；\"每个链有上界\"保证不了「最大元」——只能保证极大元。\n\n它是「存在性证明的万能发动机」：向量空间有基、环有极大理想、紧致性定理、Hahn–Banach 定理……全都靠它。\n\n名字有历史偶然性：Zorn 1940 年代把它推广开来，Kuratowski 1922 年已证过等价形式，所以也叫 Kuratowski–Zorn 引理。\n\n⚠ 非构造性：得到的是「存在一个极大元」，通常无法给出具体是哪一个。", "refs": [ "Zorn (1935)", "Kunen, Set Theory, I.12" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Zorn%27s+lemma", "mathlib": "https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Order/Zorn.html" } }, { "id": "thm.hausdorff", "type": "theorem", "label": "Hausdorff 极大原理", "title": "Hausdorff 极大原理 / 极大公理（Hausdorff Maximal Principle, 1914）", "abstract_en": "Every chain in a poset extends to a maximal one: for a chain $C_0 \\subseteq P$ there is a maximal chain $M$ with $C_0 \\subseteq M$, maximal under inclusion. Taking $C_0 = \\emptyset$ gives that every non-empty poset has a maximal chain. The statement predates Zorn's lemma (Hausdorff, 1914) and is equivalent to it, and it is the precise form of \"keep adding elements until you cannot add any more\".", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/thm.hausdorff.en.md", "region": "order-theory", "regions": [ "order-theory" ], "cluster": "order.choice", "layer": 9, "tags": [ "ZFC", "等价命题", "极大原理", "链" ], "statement": "设 $(P, \\preceq )$ 是偏序集，$C_{0} \\subseteq P$ 是链。则存在 $P$ 的**极大链** $M$ 使 $C_{0} \\subseteq M$。\n\n其中「极大链」指在包含关系 $\\subseteq$ 下极大的链：若 $M \\subseteq M' \\subseteq P$ 且 $M'$ 也是链，则 $M' = M$。\n\n取 $C_{0} = \\emptyset$ 即得：**每个非空偏序集都有极大链。**", "notes": "形式上它比佐恩引理更早（Hausdorff, 1914），并且与佐恩引理等价。\n\n极大链的存在性正是「从下往上一点点加元素直到加不动」这一直觉的严格化。", "refs": [ "Hausdorff (1914)", "Kunen, Set Theory, I.12" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_maximal_principle", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Hausdorff+maximal+principle" } }, { "id": "lem.tukey", "type": "lemma", "label": "Tukey 引理", "title": "Tukey 引理（Tukey's Lemma / Teichmüller–Tukey）", "label_en": "Tukey", "title_en": "Tukey's Lemma / Teichmüller–Tukey", "en_page": "nodes/lem.tukey.en.md", "region": "order-theory", "regions": [ "order-theory" ], "cluster": "order.choice", "layer": 9, "tags": [ "ZFC", "等价命题", "有限特征" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是**具有有限特征的非空集合族**，则 $(\\mathcal{A}, \\subseteq )$ 有极大元。\n\n即：存在 $A \\in \\mathcal{A}$，使得不存在 $B \\in \\mathcal{A}$ 满足 $A \\subset B$。", "notes": "Tukey 引理的好处是「免验证」：只要目标族具有有限特征，就可以跳过「每个链都有上界」这一繁琐检查。\n\n例：线性无关集族具有有限特征（$X$ 线性无关 $\\iff X$ 的每个有限子集线性无关），所以「线性无关集可扩充为极大线性无关集」自动成立。\n\n等价形式：Teichmüller (1939) 与 Tukey (1940) 都独立陈述过它。", "refs": [ "Tukey (1940)", "Jech, The Axiom of Choice, Ch. 2" ] }, { "id": "thm.hartogs", "type": "theorem", "label": "Hartogs 定理", "title": "Hartogs 定理（Hartogs' Theorem, 1915）—— ZF 中即可证明", "label_en": "Hartogs", "title_en": "Hartogs' Theorem, 1915", "en_page": "nodes/thm.hartogs.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.cardinal", "layer": 8, "tags": [ "ZF", "序数", "基数", "不需要选择公理" ], "statement": "对任意集合 $X$，都存在一个**不能单射进 $X$** 的序数；取其中最小的那个，记作 $\\aleph (X)$，叫做 $X$ 的 **Hartogs 数**（Hartogs 序数）。\n\n$$\\forall X \\exists\\alpha ( \\alpha \\hookrightarrow X\\text{ 不成立} ),\\text{ 且} \\alpha = \\aleph(X)\\text{ 时}: \\forall\\beta < \\alpha, \\beta \\hookrightarrow X\\text{ 成立}$$", "notes": "⭐⭐ **它在 ZF 里就能证，不需要选择公理。** 这是它最要紧的性质 —— 正因为不依赖 AC，它才能安全地用在「$AC \\implies$ 良序定理」「$AC \\implies$ 佐恩引理」这类证明里，用来说明超限递归**必定停下来**，而不至于循环论证。\n\n**证明思路**（全在 ZF 内）：设 $\\mathcal{W}$ 为 $X$ 的各个子集上的良序关系全体 —— 它是集合，因为 $\\mathcal{W} \\subseteq \\mathcal{P}(X \\times X)$。任意两个这样的良序，较短者必同构于较长者的一个初始段，故按「序型」它们两两可比；由替换公理，这些序型构成一个集合 $A$。$A$ 在 $\\in$ 下是传递的良序集，于是 **$A$ 本身就是一个序数 $\\alpha$**。若 $\\alpha$ 能单射进 $X$，把这个单射搬过去，就得到 $X$ 某个子集上的一个良序、其序型恰为 $\\alpha$，即 $\\alpha \\in A = \\alpha$ —— 与序数不能自属矛盾。故 $\\alpha$ 不能单射进 $X$。\n\n**它怎样让递归「停」**：超限递归每走一步就吐出 $X$ 的一个新元素。若一直走下去，就会得到 $\\aleph (X) \\to X$ 的单射，与 $\\aleph (X)$ 的定义直接冲突。所以递归必在某个 $\\alpha < \\aleph (X)$ 处停止。\n\n**一个立刻的推论**：序数全体不构成集合（Burali–Forti 悖论）。在 Hartogs 定理里取 $X =$ 全体序数即可 —— 每个序数都通过恒等映射单射进它。", "refs": [ "Hartogs (1915)", "Kunen, Set Theory, I.11", "Jech, The Axiom of Choice, Ch. 2" ] }, { "id": "def.vs", "type": "definition", "label": "向量空间的基", "title": "向量空间 / 线性无关 / 基", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.vectorspace", "layer": 8, "tags": [ "定义", "线性代数" ], "statement": "设 $K$ 是域，$V$ 是 $K$ 上的向量空间，$S \\subseteq V$。\n\n- **$S$ 线性无关**：$S$ 的每个有限子集都线性无关，即不存在不全为零的 $c_{1}$…$c_{n} \\in K$ 使 $c_{1}v_{1} + \\cdots + c_{n}v_{n} = 0$。\n- **$S$ 生成 $V$**：$V$ 中每个向量都是 $S$ 中有限多个向量的线性组合。\n- **$S$ 是 $V$ 的基**：$S$ 既线性无关又生成 $V$。\n\n注意线性无关性是**逐有限子集**定义的性质——这正是它「具有有限特征」的原因。", "notes": "等价说法：$S$ 是基 $\\iff V$ 中每个向量都能唯一地写成 $S$ 的有限线性组合。", "refs": [ "Lang, Linear Algebra" ] }, { "id": "thm.vsbasis", "type": "theorem", "label": "每个向量空间有基", "title": "每个向量空间都有基（Zorn 引理的经典应用）", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.vectorspace", "layer": 10, "tags": [ "定理", "应用", "Zorn" ], "statement": "设 $V$ 是域 $K$ 上的向量空间。则\n\n$V$ 有基；\n- 更精确地：$V$ 的任一线性无关子集都能扩充成 $V$ 的一个基，任一生成集都含有一个基。", "notes": "在 ZF 中此命题与 AC 等价——去掉 AC，可以构造出没有基的向量空间。\n\n这是「序理论的结论在代数里落地」的标准范例，也是本星图上跨板块连线的一个实例。", "refs": [ "Lang, Linear Algebra", "Brunner, The Axiom of Choice in Topology" ] }, { "id": "def.metric-space", "type": "definition", "label": "距离空间", "title": "距离空间 / 度量空间（Metric Space）", "label_en": "metric space", "title_en": "Metric Space", "abstract_en": "A metric space is a pair $(X, d)$ with $d : X \\times X \\to [0, +\\infty)$ satisfying $d(x,y) = 0 \\iff x = y$, symmetry and the triangle inequality; open balls $B(x,r) = \\{y : d(x,y) < r\\}$ generate a topology, and they form a base for it. The point of the definition here is the split that follows: compactness and closedness use only the open sets, while completeness and total boundedness use $d$. Completeness is genuinely not topological — $\\mathbb{R}$ and $(0,1)$ are homeomorphic but only the first is complete.", "statement_en": "A **metric space** is a pair $(X, d)$: $X$ is a set and $d : X \\times X \\to [0, +\\infty)$ is a **metric** on $X$, satisfying\n\n- **non-degeneracy**: $d(x, y) = 0 \\iff x = y$\n- **symmetry**: $d(x, y) = d(y, x)$\n- **triangle inequality**: $d(x, z) \\le d(x, y) + d(y, z)$\n\nFrom $d$ one defines the **open balls** $B(x, r) = \\{ y \\in X : d(x, y) < r \\}$, and declares $U \\subseteq X$ to be open $\\iff U$ is a union of open balls. This puts a topology on $X$.\n\nGiven $\\varepsilon > 0$, a set $D \\subseteq X$ is called an **$\\varepsilon$-net** if $\\forall x \\in X, \\exists y \\in D : d(x, y) < \\varepsilon$.", "notes_en": "The open balls form a **base** for this topology. Every metric space is first countable and normal (hence Hausdorff).\n\nThe properties that follow fall into two classes: **compactness / closedness** depend only on the open sets and are **topological**; **completeness / total boundedness** use $d$ and are **metric**. This dividing line is the point of the whole cluster.\n\n⚠ Completeness is **not** a topological property: $\\mathbb{R}$ and the open interval $(0, 1)$ are homeomorphic, yet only the first is complete.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "statement", "notes", "name" ] } }, "en_page": "nodes/def.metric-space.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.metric", "layer": 13, "tags": [ "定义", "度量", "开球" ], "statement": "**距离空间**是一对 (X, d)：$X$ 是集合，$d : X \\times X \\to [0, +\\infty )$ 是 $X$ 上的**距离**，满足\n\n- **非退化**：$d(x, y) = 0 \\iff x = y$\n- **对称**：$d(x, y) = d(y, x)$\n- **三角不等式**：$d(x, z) \\le d(x, y) + d(y, z)$\n\n由 $d$ 定义**开球** $B(x, r) = \\{ y \\in X : d(x, y) < r \\}$，并规定 $U \\subseteq X$ 是开集 $\\iff U$ 是若干开球之并。这样 $X$ 上就有了一个拓扑。\n\n给定 $\\varepsilon > 0$，称 $D \\subseteq X$ 是一个 **$\\varepsilon$网**，若 $\\forall x \\in X, \\exists y \\in D : d(x, y) < \\varepsilon$", "notes": "开球全体构成这个拓扑的一组**基**。度量空间自动是第一可数、正规（因而 Hausdorff）的。\n\n下面几条性质分两类：**紧性 / 闭**只依赖开集，是**拓扑**性质；**完备 / 全有界**要用到 $d$，是**度量**性质。这条分界线是整段的重点。\n\n⚠ 完备性**不是**拓扑性质：$\\mathbb{R}$ 与开区间 (0, 1) 同胚，前者完备、后者不完备。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 2", "Munkres, Topology, §20" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/metric+space", "mathlib": "https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.html" } }, { "id": "def.complete", "type": "definition", "label": "完备", "title": "完备距离空间（Complete Metric Space）", "label_en": "complete", "title_en": "Complete Metric Space", "en_page": "nodes/def.complete.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.metric", "layer": 14, "tags": [ "定义", "完备", "Cauchy 列" ], "statement": "序列 $\\{x_{n}\\}$ 是 **Cauchy 列**，当且仅当\n\n$$\\forall\\varepsilon > 0, \\exists N : m, n \\ge N \\implies d(x_m, x_n) < \\varepsilon$$\n\n距离空间 (X, d) **完备**，当且仅当 $X$ 中每个 Cauchy 列都在 $X$ 中收敛：\n\n$$\\{x_n\\}\\text{ 是} Cauchy\\text{ 列} \\implies \\exists x \\in X : x_n \\to x$$", "notes": "「收敛 $\\implies Cauchy$」永远成立；**「$Cauchy \\implies$ 收敛」才是完备性的内容**。\n\n例子：$\\mathbb{R}^{n}$、$\\mathbb{C}^{n}$、任何 Banach 空间都完备；$\\mathbb{Q}$ 不完备（3, 3.1, 3.14, …, 一个收敛到 $\\sqrt 2$ 的 Cauchy 列在 $\\mathbb{Q}$ 中不收敛）。\n\n**闭子集继承完备**：$X$ 完备时，$A \\subseteq X$ 作为子空间完备 $\\iff A$ 在 $X$ 中闭。这条在下面「子集的紧性刻画」里要用。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3" ] }, { "id": "def.totally-bounded", "type": "definition", "label": "全有界", "title": "全有界 / 预紧（Totally Bounded）", "label_en": "totally bounded", "title_en": "Totally Bounded", "en_page": "nodes/def.totally-bounded.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.metric", "layer": 14, "tags": [ "定义", "全有界", "ε-网" ], "statement": "距离空间 (X, d) **全有界**（也叫**预紧**），当且仅当对每个 $\\varepsilon > 0$ 都存在**有限的 $\\varepsilon$网**：\n\n$$\\forall\\varepsilon > 0, \\exists n\\text{ 与} x_1, \\ldots , x_n \\in X : X = \\bigcup_{i=1}^{n} B(x_i, \\varepsilon)$$\n\n等价说法：对每个 $\\varepsilon > 0$，$X$ 都能被**有限个**半径 $\\varepsilon$ 的开球盖住。", "notes": "关键词是**有限**。它只要求「存在」一组有限的球，不要求你写得出来。\n\n**全有界 $\\implies$ 有界**（取 $\\varepsilon = 1$，$X$ 就被有限个单位球盖住），但反之不然：无限维 Banach 空间的单位球有界而不全有界。\n\n全有界被**一致连续**映射保持，但不被连续映射保持 —— 又一次说明它是度量性质而非拓扑性质。", "refs": [ "Munkres, Topology, §43" ] }, { "id": "def.sequentially-compact", "type": "definition", "label": "列紧", "title": "列紧 / 序列紧（Sequentially Compact）", "label_en": "sequentially compact", "title_en": "Sequentially Compact", "en_page": "nodes/def.sequentially-compact.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.metric", "layer": 14, "tags": [ "定义", "列紧", "子列" ], "statement": "距离空间 (X, d) **列紧**（序列紧），当且仅当 $X$ 中每个序列都有收敛到 $X$ 中的子列：\n\n$$\\forall\\{x_n\\} \\subseteq X, \\exists\\{x_{n_k}\\}\\text{ 与} \\exists x \\in X : x_{n_k} \\to x$$", "notes": "在度量空间里「列紧 $\\iff$ 紧」（见下面的箭头），但在一般拓扑空间里**不等价** —— 列紧严格更强。度量空间好用的地方正是这里。$n$$n$注意子列收敛到的是 $X$ 中的点：列紧是内蕴性质，不看外面那个空间。", "refs": [ "Munkres, Topology, §28" ] }, { "id": "def.compact", "type": "definition", "label": "紧", "title": "紧空间（Compact Space）", "label_en": "compact", "title_en": "Compact Space", "en_page": "nodes/def.compact.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.metric", "layer": 14, "tags": [ "定义", "紧", "开覆盖" ], "statement": "距离空间 (X, d) **紧**，当且仅当 $X$ 的每个**开覆盖**都有有限子覆盖：\n\n$$\\forall\\{U_i\\}_{i \\in I} (\\text{ 每个} U_i\\text{ 开且} X = \\bigcup_{i \\in I} U_i ) \\implies \\exists i_1, \\ldots , i_n : X = \\bigcup_{k=1}^{n} U_{i_k}$$", "notes": "紧性是**拓扑**性质，只依赖开集，跟 $d$ 的具体取值无关。\n\n例子：$\\mathbb{R}$ 中的闭区间 [a, b] 紧（Heine–Borel）；$\\mathbb{R}$ 本身不紧（{(-n, n)} 没有有限子覆盖）；(0, 1] 不紧。\n\n紧性的一个常用等价形式：**有限交性质** —— 若一族闭集的任意有限子族都有交，则整族的交非空。", "refs": [ "Munkres, Topology, §26" ] }, { "id": "thm.metric-compact-equiv", "type": "theorem", "label": "紧的三个等价刻画", "title": "度量空间中：紧 $\\iff$ 列紧 $\\iff$ 完备 + 全有界", "abstract_en": "In a metric space the following are equivalent: compact, sequentially compact, and complete together with totally bounded. The skeleton lives in the implications: compact implies sequentially compact; sequentially compact implies totally bounded (the one place dependent choice is used) and complete; sequentially compact implies compact by the \"bad ball\" argument; complete and totally bounded implies sequentially compact by diagonalisation. In general topological spaces only the first implication survives — sequential compactness is a metric-space luxury.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/thm.metric-compact-equiv.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.metric", "layer": 15, "tags": [ "定理", "紧", "列紧", "完备", "全有界" ], "statement": "设 (X, d) 是距离空间。则下列三条**彼此等价**：\n\n$$X\\text{ 紧} \\iff X\\text{ 列紧} \\iff X\\text{ 完备且全有界}$$", "notes": "逻辑骨架全在箭头里（点箭头看证明）：\n\n\n\n- 紧 $\\implies$ 列紧\n- 列紧 $\\implies$ 全有界　（整段里**唯一**实质用到选择原理的一步，用的是 DC）\n- 列紧 $\\implies$ 完备\n- 列紧 $\\implies$ 紧　（「坏球」法，只用到全有界，不动选择公理）\n- 紧 $\\implies$ 完备、紧 $\\implies$ 全有界\n- 完备 + 全有界 $\\implies$ 列紧　（对角线法，也不动选择公理）\n\n\n\n于是「列紧 $\\implies$ 全有界 $\\implies$ 紧」与「紧 $\\implies$ 列紧」闭合，三个概念打通。\n\n⚠ 在一般拓扑空间里只有「紧 $\\implies$ 列紧」成立、**反向不成立** —— 列紧是度量空间特有的好运气。", "refs": [ "Munkres, Topology, §28 与 §43" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Sequentially_compact_space", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/compact+space" } }, { "id": "prop.compact-subset-closed", "type": "proposition", "label": "紧子集是闭的", "title": "命题：紧子集在 X 中是闭集", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.metric", "layer": 15, "tags": [ "命题", "紧", "闭集" ], "statement": "设 $A$ 是距离空间 $X$ 的子集（按子空间度量）。则\n\n$$A\\text{ 紧} \\implies A\\text{ 是} X\\text{ 中的闭集}$$", "notes": "其实只要 $X$ 是 Hausdorff 空间，紧子集就是闭的；距离空间自然 Hausdorff。\n\n把它和「$X$ 完备」放在一起，正是为了下面那条**子集**的紧性刻画做准备：那条要用「$A$ 紧 $\\implies A$ 闭」和「$A$ 闭 $X$ 完备 $\\implies A$ 完备」。\n\n**证明。** 设 $A$ 紧，取 $x \\in X\\setminus A$ 要证它是内点。\n- 对每个 $a \\in A$，由 Hausdorff 性取 $a$ 的开邻域 $U_{a}$ 与 $x$ 的开邻域 $V_{a}$ 使 $U_{a}\\cap V_{a} = \\emptyset$（距离空间里取 $U_{a} = B(a, r/2)$、$V_{a} = B(x, r/2)$，$r = d(a,x)$）；\n- $\\{U_{a}\\}_{a\\in A}$ 是 $A$ 的开覆盖，由**紧性**取有限子覆盖 $U_{a_{1}}, \\ldots, U_{a_{n}}$；\n- $V := \\bigcap_{i=1}^{n} V_{a_{i}}$ 是 $x$ 的开邻域，且 $V\\cap U_{a_{i}} = \\emptyset$ 对每个 $i$ 成立，故 $V \\cap A = \\emptyset$，即 $V \\subseteq X\\setminus A$ ✓。\n于是 $X\\setminus A$ 开，$A$ 闭。∎", "refs": [ "Munkres, Topology, §26" ] }, { "id": "prop.subset-compact-equiv", "type": "proposition", "label": "子集的紧性刻画", "title": "命题：X 完备时，A 紧 $\\iff A$ 闭且全有界", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.metric", "layer": 15, "tags": [ "命题", "紧", "闭", "全有界" ], "statement": "设 (X, d) 是**完备**的距离空间，$A \\subseteq X$。则\n\n$$A\\text{ 紧} \\iff A\\text{ 闭}\\text{ 且} A\\text{ 全有界}$$\n\n（「$A$ 全有界」按子空间度量 d|A 理解。）", "notes": "⚠ **「$X$ 完备」这个前提不能省。** 理由是中间那一步：$A$ 作为子空间完备 $\\iff A$ 在 $X$ 中闭 —— 这一步要用 $X$ 完备。少了它，$A$ 闭 $A$ 全有界推不出 $A$ 紧。\n\n这也是 **Heine–Borel** 的推广：$\\mathbb{R}^{n}$ 完备，而在 $\\mathbb{R}^{n}$ 中 $A$ 有界 $\\iff A$ 全有界，于是「有界闭集紧」正是它的特例。\n\n**证明。**\n- **$\\implies$**：$A$ 紧 $\\implies$ $A$ 在 $X$ 中闭（上一条）。全有界：任给 $\\varepsilon > 0$，$\\{B(a,\\varepsilon)\\cap A\\}_{a\\in A}$ 是 $A$（带子空间度量）的开覆盖，紧性给有限子覆盖，那有限个中心就是 $\\varepsilon$-网 ✓。\n- **$\\Longleftarrow$**：设 $A$ 闭、全有界。先看**完备性**：$X$ 完备、$A$ 闭，则 $A$ 里的 Cauchy 列在 $X$ 里收敛到某点，极限落在闭的 $A$ 里，故 $A$ 作为子空间完备 ✓。再证**紧**：全有界给可数稠密子集，于是 $A$ 里的任意序列可以用「逐层取 $2^{-n}$-网 + 抽屉原理」抽出 Cauchy 子列；完备性让这个子列收敛 ✓。所以 $A$ **列紧**；而在**度量空间**里列紧 $\\iff$ 紧 ✓。∎\n⚠️ 「$X$ 完备 $\\implies$ $A$ 完备」那一步正是标题里那个前提的用处（见上一条说明）。", "refs": [ "Munkres, Topology, §28", "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 2" ] }, { "id": "def.fundamental-class", "type": "definition", "label": "基本类", "title": "基本类（Fundamental Class）", "label_en": "fundamental class", "title_en": "Fundamental Class", "en_page": "nodes/def.fundamental-class.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis", "set-theory" ], "cluster": "analysis.setclass", "layer": 14, "tags": [ "定义", "集合族", "测度论" ], "statement": "设 $X$ 是集合，$\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$。$\\mathfrak{A}$ 是 $X$ 上的一个**基本类**，当且仅当\n\n- 对**交**封闭：$A, B \\in \\mathfrak{A} \\implies A \\cap B \\in \\mathfrak{A}$\n- 差可以拆开：$A, B \\in \\mathfrak{A} \\implies A \\setminus B\\text{ 是} \\mathfrak{A}\\text{ 中有限多个两两不交集合之并}$", "notes": "它比「环」弱一档：只要求对**交**封闭（不是并），而差只要求「能拆成不交并」。\n\n基本类的作用是当**砖块**：把它的元素做成有限不交并，就得到一个环 —— 这正是下面那条性质 (5)。\n\n典型例子：半开区间族 $\\{ (a, b] : a < b \\}$ 是 $\\mathbb{R}$ 上的基本类；由它做有限不交并得到的，正是构造 Lebesgue–Stieltjes 测度时要用的那个代数。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §4" ] }, { "id": "def.set-ring", "type": "definition", "label": "环与代数", "title": "环与代数（Ring, Algebra）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.setclass", "layer": 2, "tags": [ "定义", "环", "代数" ], "statement": "设 $\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一族子集。\n\n$\\mathfrak{A}$ 是**环**（ring），当且仅当它对有限并封闭、且对差封闭：\n\n$$A, B \\in \\mathfrak{A} \\implies A \\cup B \\in \\mathfrak{A}, \\quad A \\setminus B \\in \\mathfrak{A}$$\n\n$\\mathfrak{A}$ 是**代数**（algebra），当且仅当 $\\mathfrak{A}$ 是环、且含全集：\n\n$$X \\in \\mathfrak{A}$$\n\n**代数 $=$ 环 $X \\in \\mathfrak{A}$**。「把整个 $X$ 放进去」是唯一的差别。", "notes": "环加上 $X \\in \\mathfrak{A}$ 之后，差就自动升级成补：$A^c = X \\setminus A \\in \\mathfrak{A}$。所以**代数**也等价于「对有限并、对补封闭」。\n\n⚠ 这里的「环」是**集合环**（ring of sets），和抽象代数里的 ring 只是同名，毫无关系。\n\n把「有限」都升级成「可数」，就得到 **$\\sigma$环** 与 **$\\sigma$代数** —— 另开两条节点写。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §4", "Folland, Real Analysis, §1.2" ] }, { "id": "def.sigma-ring", "type": "definition", "label": "σ-环", "title": "σ-环（σ-Ring）", "label_en": "sigma-ring", "title_en": "sigma-ring", "en_page": "nodes/def.sigma-ring.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.setclass", "layer": 3, "tags": [ "定义", "σ-环", "集合族" ], "statement": "$\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 上的一个 **$\\sigma$环**，当且仅当把「有限」都换成「可数」之后仍封闭：\n\n- 对**可数并**封闭：$A_1, A_2, \\ldots \\in \\mathfrak{A} \\implies \\bigcup_{n=1}^{\\infty} A_n \\in \\mathfrak{A}$\n- 对**差**封闭：$A, B \\in \\mathfrak{A} \\implies A \\setminus B \\in \\mathfrak{A}$\n\n**$\\sigma$环 $=$ 环 + 可数并**。它**不要求**含 $X$ —— 这正是它与 $\\sigma$代数的唯一差别。", "notes": "不含 $X$ 的后果是实质的：$\\sigma$环里集合的并可能仍是一个真子集，补运算也落不到里面。\n\n典型例子：$X = \\mathbb{R}$ 上「全体可数集」是 $\\sigma$环，不是 $\\sigma$代数 —— 它的元素之并（如 $\\mathbb{R} \\setminus \\mathbb{Q}$）不在里面。\n\n由差 + 可数并，**可数交**自动可用：$\\bigcap_n A_n = A_1 \\setminus \\bigcup_{n \\ge 2} (A_1 \\setminus A_n)$。\n\n与单调类的关系：**环是 $\\sigma$环 $\\iff$ 它是单调类 $\\iff$ 它对可数不交并封闭**。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §4" ] }, { "id": "def.sigma-algebra", "type": "definition", "label": "σ-代数", "title": "σ-代数（σ-Algebra）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.setclass", "layer": 4, "tags": [ "定义", "σ-代数", "可测空间", "测度论" ], "statement": "设 $X$ 是集合，$\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$。$\\mathfrak{A}$ 是 $X$ 上的一个 **$\\sigma$代数**，当且仅当它同时满足三条：\n\n1. **含全集**：$X \\in \\mathfrak{A}$\n2. **对补封闭**：$A \\in \\mathfrak{A} \\implies A^c := X \\setminus A \\in \\mathfrak{A}$\n3. **对可数并封闭**：$A_1, A_2, \\ldots \\in \\mathfrak{A} \\implies \\bigcup_{n=1}^{\\infty} A_n \\in \\mathfrak{A}$\n\n二元组 $(X, \\mathfrak{A})$ 称为**可测空间**（measurable space），$\\mathfrak{A}$ 的元素称为**可测集**（measurable set）。", "notes": "三条是配套的，缺一不可：只留 (2)(3) 就是**$\\sigma$环**；把 (3) 降成「有限并」就是**代数**。\n\n由 (2)(3) 用 De Morgan 立得对**可数交**封闭：$\\Big( \\bigcap_n A_n \\Big)^c = \\bigcup_n A_n^c \\in \\mathfrak{A}$。于是有限并、有限交、差、对称差全都可用 —— 真正超出「代数」的，只有**可数**这一件事。\n\n⚠ 方向不能反：$\\sigma$代数一定是代数，代数不一定是 $\\sigma$代数。反例：$X = \\mathbb{R}$ 上「有限集与余有限集」全体是代数，而 $\\mathbb{N} = \\{1\\} \\cup \\{2\\} \\cup \\{3\\} \\cup \\cdots$ 是其中可数多个元素的并、本身既非有限也非余有限，所以那个代数不封闭于可数并。\n\n记号里的「$\\sigma$」表示**可数**（取自德文 Summe / 法文 somme 的首字母），和标准差那个 $\\sigma$ 无关。\n\n为什么非要有它：测度的可数可加性 $\\mu (\\bigcup A_{n}) = \\sum \\mu (A_{n})$ 需要一个对**可数**运算封闭的定义域，否则等式两边根本不在同一个集合族里。整条测度构造就是从这里起步的。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §4", "Folland, Real Analysis, §1.2", "Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "def.monotone-class", "type": "definition", "label": "单调类", "title": "单调类（Monotone Class）", "label_en": "monotone class", "title_en": "Monotone Class", "en_page": "nodes/def.monotone-class.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.setclass", "layer": 2, "tags": [ "定义", "单调类" ], "statement": "$\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$ 是**单调类**，当且仅当它对两种单调极限都封闭：\n\n$$\\{E_j\\}_{j=1}^{\\infty} \\nearrow \\implies \\bigcup_{j=1}^{\\infty} E_j \\in \\mathfrak{A}$$\n$$\\{E_j\\}_{j=1}^{\\infty} \\searrow \\implies \\bigcap_{j=1}^{\\infty} E_j \\in \\mathfrak{A}$$", "notes": "单调类只关心「递增取并、递减取交」这两种极限，**不**要求对有限并、差、补封闭 —— 所以它比 $\\sigma$代数弱得多。\n\n它的用处全在单调类定理：一个 $\\sigma$代数等价于「一个对两种极限都封闭的环」。证明「某性质对所有可测集成立」时，通常先验证它在一个单调类上成立，再交给单调类定理。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §6" ] }, { "id": "prop.set-class-properties", "type": "proposition", "label": "集合族的基本性质", "title": "命题：基本类 / 环 / σ-代数的几条基本性质", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.setclass", "layer": 15, "tags": [ "命题", "基本类", "代数", "封闭性" ], "statement": "(1) 基本类包含 $\\emptyset$。\n\n(2) 代数与 $\\sigma$代数对**有限交**、**可数交**封闭。\n\n$(3) \\mathfrak{A}$ 是 $\\sigma$代数 $\\iff \\mathfrak{A}$ 对**可数并**与**取补**都封闭。\n\n(5) 若 $\\mathcal{E}$ 是**基本类**，则\n\n$$\\mathfrak{A} = \\{ \\mathcal{E}\\text{ 中有限多个两两不交集合之并} \\}$$\n\n是一个**环**。\n\n（第 (4) 条因为本身是一条定理，单独列在「环 $\\implies \\sigma$环 的判据」里。）", "notes": "**证明。**\n(1) 取 $A \\in \\mathfrak{A}$，则 $A \\setminus A = \\emptyset \\in \\mathfrak{A}$（基本类对差封闭），故空集可写成空的不交并 ✓。\n(2) 代数：$A_{1}, \\ldots, A_{n} \\in \\mathfrak{A}$ 时 $A_{1}\\cap\\cdots\\cap A_{n} = X \\setminus \\bigl(\\bigcup_{i}(X\\setminus A_{i})\\bigr) \\in \\mathfrak{A}$（补 + 有限并）✓；可数交由 $\\sigma$代数的定义直接给出，可数交再用一次 De Morgan ✓。（只含「对不交并封闭」的环上，把「补」换成**相对补** $A \\setminus \\bigcup B_{j}$ 即可。）\n(3) $\\sigma$代数 = 对可数并封闭的代数，而对可数并封闭 + 对补封闭 $\\implies$ 对可数交封闭（De Morgan），反之亦然 —— 两条说法等价 ✓。\n(5) 设 $\\mathcal{E}$ 是基本类，$\\mathfrak{A} := \\{ \\mathcal{E} \\text{ 中有限多个两两不交的集合之并} \\}$。\n- **对有限并封闭**：把两个有限不交并摆在一起，相交的块用 $A = (A\\cap B)\\sqcup(A\\setminus B)$ 逐块拆开（基本类对差封闭），仍写成有限不交并 ✓；\n- **对差封闭**：$A \\setminus B$ 逐块做差，同样拆成有限不交并 ✓；\n- 含 $\\emptyset$（空并）✓。于是 $\\mathfrak{A}$ 是一个**环** ✓。∎\n\n(1)：取 $A \\in \\mathfrak{A}$，则 $A \\setminus A = \\emptyset$ 要能被拆成不交并，只能是空并。\n\n(2)：有限交直接由 De Morgan；可数交由 (3) 的补 + 可数并得到。若 $\\mathfrak{A}$ 只是环而不含 $X$，「补」要小心，通常用 **$A \\setminus \\bigcup B_{j}$** 这种相对补。\n\n(5)：这是把基本类升级成环的标准操作 —— 先做不交并保证「差」好算，再验证有限并仍是有限不交并。\n\n这几条性质的实际用途：**验证一个族是 $\\sigma$代数时，只需查「含 $X$」「对补」「对可数并」三条**，其余全部免费。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §4" ] }, { "id": "thm.ring-monotone-sigma", "type": "theorem", "label": "环 → σ-环 的判据", "title": "定理：环是 σ-环 $\\iff$ 它是单调类 $\\iff$ 它对可数不交并封闭", "abstract_en": "For a ring $\\mathfrak{A}$ of sets, the following are equivalent: $\\mathfrak{A}$ is a $\\sigma$-ring, $\\mathfrak{A}$ is a monotone class, and $\\mathfrak{A}$ is closed under countable disjoint unions. The hypothesis that $\\mathfrak{A}$ is a ring cannot be dropped: a monotone class need not be closed under finite unions. This equivalence is the technical core of the monotone class theorem, since it reduces \"true for the $\\sigma$-algebra\" to \"check a ring, then take monotone limits\".", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/thm.ring-monotone-sigma.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.setclass", "layer": 5, "tags": [ "定理", "环", "单调类", "σ-环" ], "statement": "设 $\\mathfrak{A}$ 是一个**环**。则下列三条等价：\n\n$$\\mathfrak{A}\\text{ 是} \\sigma-\\text{环} \\iff \\mathfrak{A}\\text{ 是单调类} \\iff \\mathfrak{A}\\text{ 对可列不交并封闭}$$", "notes": "注意前提「$\\mathfrak{A}$ 是环」不可省 —— 单调类一般不封闭于有限并，所以单调类本身推不出 $\\sigma$环。\n\n这条定理是单调类定理的技术核心：正是因为它，才能把「对 $\\sigma$代数成立」化归为「先验证一个环，再看单调极限」。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §6" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Sigma-ring" } }, { "id": "def.generated-sigma", "type": "definition", "label": "生成的 σ-代数", "title": "由 $\\mathcal{E}$ 生成的 σ-代数 / 单调类：$\\mathcal{M}(\\mathcal{E})$ 与 $\\mathfrak{m}(\\mathcal{E})$", "label_en": "generated sigma-algebra", "title_en": "generated sigma-algebra", "en_page": "nodes/def.generated-sigma.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.setclass", "layer": 5, "tags": [ "定义", "生成", "σ-代数", "单调类" ], "statement": "设 $\\mathcal{E} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$。定义\n\n$$\\mathcal{M}(\\mathcal{E}) := \\bigcap \\{ \\mathfrak{A} : \\mathfrak{A}\\text{ 是包含} \\mathcal{E}\\text{ 的} \\sigma-\\text{代数} \\}$$\n$$\\mathfrak{m}(\\mathcal{E}) := \\bigcap \\{ \\mathfrak{A} : \\mathfrak{A}\\text{ 是包含} \\mathcal{E}\\text{ 的单调类} \\}$$\n\n$\\mathcal{M}(\\mathcal{E})$ 称为**由 $\\mathcal{E}$ 生成的 $\\sigma$代数**，$\\mathfrak{m}(\\mathcal{E})$ 称为由 $\\mathcal{E}$ 生成的单调类。", "notes": "为什么这样定义是合法的：这个交非空（$\\mathcal{P}(X)$ 总是一个含 $\\mathcal{E}$ 的 $\\sigma$代数），而且**任意多个 $\\sigma$代数之交仍是 $\\sigma$代数**（单调类也一样），所以交出来的是最小的那一个。\n\n「生成」是整段里最常用的手法：你给我一族好用的集合（基本类、开集、柱集），我把它补成最小的 $\\sigma$代数，再在上面做测度。Borel、积 $\\sigma$代数都是这么来的。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §6", "Folland, Real Analysis, §1.2" ] }, { "id": "thm.monotone-class", "type": "theorem", "label": "单调类定理", "title": "单调类定理（Monotone Class Theorem）", "label_en": "monotone class theorem", "title_en": "Monotone Class Theorem", "abstract_en": "For $\\mathcal{E} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$, the $\\sigma$-algebra generated by $\\mathcal{E}$ equals the monotone class generated by $\\mathcal{E}$ if complements of members of $\\mathcal{E}$ and unions of two members of $\\mathcal{E}$ lie in that monotone class. With \"$\\mathcal{E}$ is an algebra\" this is the standard monotone class theorem; the form above weakens that hypothesis to the two closure conditions, and the proof is the same two-step argument with the monotone class as the running object.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/thm.monotone-class.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.setclass", "layer": 6, "tags": [ "定理", "单调类", "生成" ], "statement": "设 $\\mathcal{E} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$。则\n\n$$\\mathcal{M}(\\mathcal{E}) = \\mathfrak{m}(\\mathcal{E}) \\iff \\forall A \\in \\mathcal{E} : A^c \\in \\mathfrak{m}(\\mathcal{E})\\text{ 且} \\forall A, B \\in \\mathcal{E} : A \\cup B \\in \\mathfrak{m}(\\mathcal{E})$$", "notes": "**这一条是「标准版 + 加强版」合起来的那一个版本。**\n\n**标准版**（Halmos §6 / Folland 2.37）：$\\mathcal{A}$ 是**代数** $\\implies \\mathfrak{m}(\\mathcal{A}) = \\mathcal{M}(\\mathcal{A})$。\n\n上面陈述的是**加强版**：把「$\\mathcal{E}$ 是代数」换成两条更弱的条件——$\\mathcal{E}$ 中集合的**补**与**并**落进 $\\mathfrak{m}(\\mathcal{E})$ 就行。证明仍是单调类定理那三步：\n\n**①** 令 $\\mathcal{K}_{1} = \\{A \\in \\mathfrak{m} : A^{c} \\in \\mathfrak{m}\\}$。它含 $\\mathcal{E}$（第一条条件），且本身是单调类（$\\mathfrak{m}$ 单调 $\\implies$ 极限仍在 $\\mathfrak{m}$；补用一次递减极限）$\\implies \\mathcal{K}_{1} = \\mathfrak{m}$，即 $\\mathfrak{m}$ 对**补**封闭。\n\n**②** 固定 $A \\in \\mathcal{E}$，令 $\\mathcal{K}_{2} = \\{B \\in \\mathfrak{m} : A \\cup B \\in \\mathfrak{m}\\}$。由第二条条件 $\\mathcal{K}_{2} \\supseteq \\mathcal{E} \\implies \\mathcal{K}_{2} = \\mathfrak{m}$。\n\n**③** 固定 $B \\in \\mathfrak{m}$，令 $\\mathcal{K}_{3} = \\{A \\in \\mathfrak{m} : A \\cup B \\in \\mathfrak{m}\\}$。由 ② 知 $\\mathcal{K}_{3} \\supseteq \\mathcal{E} \\implies \\mathcal{K}_{3} = \\mathfrak{m}$，即 $\\mathfrak{m}$ 对**并**封闭。\n\n于是 $\\mathfrak{m}$ 对 $\\cup$ 与补封闭、又是单调类 $\\implies \\mathfrak{m}$ 是一个 $\\sigma$代数 $\\implies \\mathcal{M}(\\mathcal{E}) \\subseteq \\mathfrak{m}(\\mathcal{E})$；反向恒成立，两边相等。（需 $\\mathcal{E} \\ne \\emptyset$，否则 $\\mathfrak{m}(\\mathcal{E}) = \\{\\emptyset \\}$。）\n\n⚠ 把 $\\cup$ 换成 $\\cap$ 或 $\\setminus$ 结论同样成立 —— 有了补封闭，几种封闭性互相推得出来，所以这一处的符号并不影响定理对不对。\n\n**用法**（不论哪个版本都一样）：要证某个性质对 $\\mathcal{M}(\\mathcal{E})$ 中所有集合成立，只需（$i$）证明它对 $\\mathcal{E}$ 成立，（ii）证明「成立」这件事被递增并、递减交保持 —— 于是成立的集合构成一个含 $\\mathcal{E}$ 的单调类，它 $\\supseteq \\mathfrak{m}(\\mathcal{E}) = \\mathcal{M}(\\mathcal{E})$。测度扩张的唯一性、乘积测度的截口公式、可测函数的逼近，用的都是这个模式。\n\n⚠ 与「环 $\\to \\sigma$环 的判据」是姊妹结果：那条说环 $+$ 单调 $\\implies \\sigma$环，这条说代数 $\\implies$ 单调类与 $\\sigma$代数重合。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §6", "Folland, Real Analysis, Theorem 2.37" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_class_theorem" } }, { "id": "def.borel", "type": "definition", "label": "Borel σ-代数", "title": "Borel σ-代数（Borel σ-Algebra $\\mathfrak{B}_X$）", "label_en": "Borel", "title_en": "Borel", "en_page": "nodes/def.borel.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis", "topology" ], "cluster": "analysis.setclass", "layer": 6, "tags": [ "定义", "Borel", "拓扑" ], "statement": "设 $X$ 是拓扑空间。$X$ 上的 **$Borel \\sigma$代数**是由全体开集生成的 $\\sigma$代数：\n\n$$\\mathfrak{B}_X := \\mathcal{M}(\\{ U \\subseteq X : U\\text{ 是开集} \\})$$\n\n$\\mathfrak{B}_X$ 中的集合称为 **Borel 集**：开集、闭集、可数个开集之交（$G_\\delta$）、可数个闭集之并（$F_\\sigma$）等都属于 $\\mathfrak{B}_X$。", "notes": "开集族本身一般只是拓扑，不是 $\\sigma$代数 —— 取它生成的 $\\sigma$代数才得到 Borel 集全体。\n\n$\\mathbb{R}$ 上 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$ 也可以由半开区间 $\\{ (a, b] : a < b \\}$ 生成（或 { [a, b) }）。这些形式在构造测度时更好用，因为半开区间的「不交并」算起来干净。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §1.2" ] }, { "id": "def.product-sigma", "type": "definition", "label": "积 σ-代数", "title": "积 σ-代数（Product σ-Algebra）", "label_en": "product sigma-algebra", "title_en": "product sigma-algebra", "en_page": "nodes/def.product-sigma.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis", "topology" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 6, "tags": [ "定义", "积", "柱集" ], "statement": "设 $\\{ (X_\\alpha , \\mathcal{M}_\\alpha ) \\}_\\{\\alpha \\in A\\}$ 是一族可测空间，$X = \\prod_{\\alpha \\in A} X_\\alpha$，投影 $\\pi _\\alpha : X \\to X_\\alpha$。**积 $\\sigma$代数**定义为\n\n$$\\otimes _{\\alpha \\in A} \\mathcal{M}_\\alpha := \\mathcal{M}(\\{ \\pi _\\alpha^{-1}(E_\\alpha) : E_\\alpha \\in \\mathcal{M}_\\alpha, \\alpha \\in A \\})$$", "notes": "即由全体**柱集**生成的 $\\sigma$代数。柱集 $\\pi _\\alpha ^{-1}(E_\\alpha )$ 就是「只对第 $\\alpha$ 个坐标提要求」的集合。\n\n⚠ 一般**不能**定义成「$\\prod E_\\alpha$ 的全体生成的 $\\sigma$代数」—— 那只在**可数**指标集时等价（见下一条）。\n\n这样定义的原因：投影 $\\pi _\\alpha$ 应当是可测的，而 $\\sigma$代数要对逆像封闭 —— 取最小的那一个就够了。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.1" ] }, { "id": "prop.product-sigma-base", "type": "proposition", "label": "积 σ-代数的生成基", "title": "命题：把各坐标的 σ-代数换成生成元，积 σ-代数不变", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 7, "tags": [ "命题", "积", "生成" ], "statement": "设每个 $\\mathcal{M}_\\alpha = \\mathcal{M}(\\mathcal{E}_\\alpha )$（即 $\\mathcal{M}_\\alpha$ 由 $\\mathcal{E}_\\alpha$ 生成）。令\n\n$$\\mathcal{F} = \\{ \\pi _\\alpha^{-1}(E_\\alpha) : E_\\alpha \\in \\mathcal{E}_\\alpha, \\alpha \\in A \\}$$\n\n则\n\n$$\\otimes _{\\alpha \\in A} \\mathcal{M}_\\alpha = \\mathcal{M}(\\mathcal{F})$$", "notes": "意义：算积 $\\sigma$代数时，**每一维只需要拿一个生成元族就够了**，不必把整个 $\\mathcal{M}_\\alpha$ 搬进来。\n\n典型用法：$\\mathbb{R}$ 上取 $\\mathcal{E} =$ 半开区间 { (a, b] }（它生成 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$），于是 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R} \\otimes \\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$ 已经由形如 $(a, b] \\times (c, d]$ 的矩形生成 —— 这正是后面 Fubini 定理要用的事实。\n\n证明是「生成」的通用套路：两边都等于「包含 $\\mathcal{F}$ 的最小 $\\sigma$代数」，各自验证 $\\mathcal{F} \\subseteq$ 一边、另一边 $\\subseteq \\mathcal{F}$。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.1" ] }, { "id": "prop.product-sigma-generated", "type": "proposition", "label": "可数积的生成集", "title": "命题：指标集可数时，积 σ-代数由「矩形」生成", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 7, "tags": [ "命题", "积", "可数" ], "statement": "若指标集 $A$ **可数**，则\n\n$$\\otimes _{\\alpha \\in A} \\mathcal{M}_\\alpha = \\mathcal{M}(\\{ \\prod_{\\alpha \\in A} E_\\alpha : E_\\alpha \\in \\mathcal{M}_\\alpha \\})$$\n\n即：可数积的 $\\sigma$代数，恰好是由全体「矩形」生成的 $\\sigma$代数。", "notes": "**证明。** 记 $\\mathcal{R} := \\{\\, \\prod_{\\alpha \\in A} E_{\\alpha} : E_{\\alpha} \\in \\mathcal{M}_{\\alpha} \\,\\}$（矩形全体），$\\mathcal{M} := \\bigotimes_{\\alpha \\in A} \\mathcal{M}_{\\alpha}$（柱集生成的 $\\sigma$代数）。\n- **$\\mathcal{M} \\subseteq \\mathcal{M}(\\mathcal{R})$**：柱集 $\\pi_{\\alpha}^{-1}(E_{\\alpha})$ 就是矩形（其余坐标取全空间 $X_{\\beta}$）✓；\n- **$\\mathcal{R} \\subseteq \\mathcal{M}$**：$A$ **可数**时，每个矩形是可数多个柱集之交\n$$\\prod_{\\alpha \\in A} E_{\\alpha} = \\bigcap_{\\alpha \\in A} \\pi_{\\alpha}^{-1}(E_{\\alpha}),$$\n而 $\\mathcal{M}$ 对可数交封闭 ✓；\n- 两边互包，故 $\\mathcal{M}(\\mathcal{R}) = \\mathcal{M}$ ✓。∎\n⚠️ **「$A$ 可数」不能省**：不可数时「矩形＝柱集之交」需要不可数交，而 $\\sigma$代数只保证可数交 —— 结论对不可数积一般不成立。\n\n这条确实 obvious：$A$ 可数时每个矩形都是**可数多个柱集之交**，\n\n\n\n$$\\prod_{\\alpha \\in A} E_\\alpha = \\bigcap_{\\alpha \\in A} \\pi _\\alpha^{-1}(E_\\alpha)$$\n\n\n\n而柱集本来就已经在 $\\sigma$代数里了，矩形自然也就在里面；反过来柱集是矩形（其余坐标取全空间）的特例。\n\n⚠ 该结论对**不可数**的 $A$ **不成立** —— 这就是为什么定义必须用柱集而不是矩形。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.1" ] }, { "id": "cor.borel-product", "type": "corollary", "label": "可数积的 Borel 代数", "title": "推论：可数积距离空间的 Borel σ-代数（可分时相等）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis", "topology" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 14, "tags": [ "推论", "Borel", "积", "可分" ], "statement": "设 $X_{1}, X_{2}$ … 是距离空间，$X = \\prod_{j=1}^{\\infty} X_j$ 配以积度量。则\n\n$$\\otimes _{j=1}^{\\infty} \\mathfrak{B}_{X_j} \\subseteq \\mathfrak{B}_X$$\n\n且当每个 $X_{j}$ **可分**时，等号成立：\n\n$$X_j\\text{ 都可分} \\implies \\otimes _{j=1}^{\\infty} \\mathfrak{B}_{X_j} = \\mathfrak{B}_X$$", "notes": "**证明。**\n- **$\\subseteq$**：投影 $\\pi_{j}$ 连续，故 $\\pi_{j}^{-1}(\\text{开集})$ 是 $X$ 的开集（柱集），即每个 $\\pi_{j}^{-1}(U_{j}) \\in \\mathfrak{B}_{X}$；于是生成它们的 $\\sigma$代数 $\\bigotimes_{j}\\mathfrak{B}_{X_{j}} \\subseteq \\mathfrak{B}_{X}$ ✓。\n- **$\\supseteq$（需要可分）**：每个 $X_{j}$ **可分**，取可数稠密集 $C_{j}$，则 $\\{ B(c, r) : c \\in C_{j},\\ r \\in \\mathbb{Q}_{>0} \\}$ 是 $X_{j}$ 的**可数基** ✓。\n $X$ 的基本开集形如 $\\bigcap_{j \\in F}\\pi_{j}^{-1}(U_{j})$（$F$ 有限、$U_{j}$ 取基元素）；每个 $\\pi_{j}^{-1}(U_{j}) \\in \\bigotimes_{j}\\mathfrak{B}_{X_{j}}$，有限交仍在其中，而**开集是基本开集之并**、基又可数 $\\implies$ 一切开集属于 $\\bigotimes_{j}\\mathfrak{B}_{X_{j}}$ $\\implies$ $\\mathfrak{B}_{X} \\subseteq \\bigotimes_{j}\\mathfrak{B}_{X_{j}}$ ✓。\n两边互包即得等号。∎\n⚠️ **可分性不能省**：$\\mathbb{R}^{\\mathbb{R}}$（不可数积）上，积 $\\sigma$代数**真包含于** Borel $\\sigma$代数 —— 那些「只看可数多个坐标」的集合撑不满 Borel 结构。\n\n$\\subseteq$ 的原因很直接：投影 $\\pi _{j}$ 连续，所以 $\\pi _{j}^{-1}($开集) 是开集，那些柱集都在 $\\mathfrak{B}_X$ 里。\n\n反方向登场的又是「可分」：$X_{j}$ 可分时取可数稠密集 $C_{j}$，则\n\n\n\n$$\\{ B(c, r) : c \\in C_j, r \\in \\mathbb{Q} \\}$$\n\n\n\n是 $X_{j}$ 的**可数**拓扑基，它已经生成 $\\mathfrak{B}_\\{X_{j}\\}$。于是 $X$ 的拓扑基由这些基的有限积组成，仍然可数，从而 $\\mathfrak{B}_X \\subseteq \\otimes\\mathfrak{B}_\\{X_{j}\\}$。\n\n⚠ 可分性不能省：$\\mathbb{R}^\\mathbb{R}$（不可数积）上，积 $\\sigma$代数真包含于 $Borel \\sigma$代数。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.1" ] }, { "id": "def.measure", "type": "definition", "label": "测度", "title": "测度（Measure）", "label_en": "measure", "title_en": "Measure", "en_page": "nodes/def.measure.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 14, "tags": [ "定义", "测度", "可数可加" ], "statement": "设 $\\mathcal{M}$ 是 $X$ 上的 $\\sigma$代数。函数 $\\mu : \\mathcal{M} \\to [0, +\\infty]$ 是一个**测度**，当且仅当\n\n- **(i)**　$\\mu(\\emptyset) = 0$\n- **(ii) 可数可加**：若 $\\{E_{j}\\}$ 是 $\\mathcal{M}$ 中两两不交的集合列，则\n\n$$\\mu( \\bigcup_{j=1}^{\\infty} E_j ) = \\sum_{j=1}^{\\infty} \\mu(E_j)$$\n\n$(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 称为**测度空间**。", "notes": "(i) 看起来多余（由 (ii) 取 $E_{j} = \\emptyset$ 立刻得到），写出来是为了排除「恒取 $\\infty$」这种没有意义的解，同时保证 (ii) 中的级数不是 $\\infty - \\infty$。\n\n**可数可加是本定义唯一有实质内容的要求**：它把「大小」从有限可加提升到可数可加，代价是允许取值为 $\\infty$。\n\n⚠ 允许 $\\mu (E) = +\\infty$ 是必要的：$\\mathbb{R}$ 的 Lebesgue 测度就是 $\\infty$。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §9", "Folland, Real Analysis, §1.2" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)" } }, { "id": "def.premeasure", "type": "definition", "label": "预测度", "title": "预测度（Premeasure）—— 定义在环上的「测度」", "label_en": "premeasure", "title_en": "Premeasure", "en_page": "nodes/def.premeasure.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 15, "tags": [ "定义", "预测度", "环" ], "statement": "若 $\\mathcal{M}$ 只是一个**环**（不必是 $\\sigma$代数），而 $\\mu : \\mathcal{M} \\to [0, +\\infty]$ 仍满足测度的两条：\n\n$$\\mu(\\emptyset) = 0, \\quad \\{E_j\\}\\text{ 两两不交} \\implies \\mu(\\bigcup E_j) = \\sum \\mu(E_j)$$\n\n则称 $\\mu$ 是 $\\mathcal{M}$ 上的**预测度**。", "notes": "为什么要有这个中间概念：$\\mathbb{R}$ 上半开区间 (a, b] 的全体只是一个基本类，它的有限不交并构成一个环，还不是 $\\sigma$代数 —— 但这时已经能定义长度了，那就是预测度。\n\nCarathéodory 扩张定理的作用就是把预测度从环一路提升到生成的 $\\sigma$代数上。所以「**先造预测度，再扩张**」是构造测度的标准两步走。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §9", "Folland, Real Analysis, §1.4" ] }, { "id": "def.finitely-additive", "type": "definition", "label": "有限可加测度", "title": "有限可加测度（Finitely Additive Measure）", "label_en": "finitely additive", "title_en": "Finitely Additive Measure", "en_page": "nodes/def.finitely-additive.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 15, "tags": [ "定义", "有限可加" ], "statement": "若 $\\mu$ 只满足 (i) 与**有限**可加性：\n\n$$A, B \\in \\mathcal{M}\\text{ 两两不交} \\implies \\mu(A \\cup B) = \\mu(A) + \\mu(B)$$\n（由归纳，可推到任意有限多个不交集合），\n\n则 $\\mu$ 称为**有限可加测度**。", "notes": "它比预测度还弱：预测度是可数可加的（只是定义域是环），有限可加测度只要求有限可加。\n\n⚠ 有限可加 $\\ne$ 可数可加：在 $\\mathbb{N}$ 上定义 $\\mu (E) = 0$（$E$ 有限）、$\\mu (E) = +\\infty$（$E$ 无限），它是有限可加的，但对 $\\bigcup _{n} \\{n\\} = \\mathbb{N}$ 不满足可数可加。历史上（Banach–Tarski 时代）确实认真考虑过只用有限可加性的「测度」，但那样连「长度」都构造不出来。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §9" ] }, { "id": "def.measure-space", "type": "definition", "label": "有限 / σ-有限 / 半有限", "title": "测度空间的几种「大小」：有限、σ-有限、半有限", "label_en": "sigma-finite", "title_en": "sigma-finite", "en_page": "nodes/def.measure-space.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 15, "tags": [ "定义", "σ-有限", "半有限" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 是测度空间。\n\n- **有限**：$\\mu(X) < \\infty$\n- **$\\sigma$有限**：$X$ 能写成可数个测度有限的集合之并：$X = \\bigcup_{j=1}^{\\infty} E_j, \\quad \\mu(E_j) < \\infty$\n- **半有限**：每个无穷测度的集合里都藏着正有限测度的子集：\n\n$$\\forall E \\in \\mathcal{M}, \\mu(E) = \\infty \\implies \\exists F \\subseteq E, F \\in \\mathcal{M}, 0 < \\mu(F) < \\infty$$", "notes": "$\\text{有限} \\implies \\sigma-\\text{有限} \\implies\\text{ 半有限}$，两个箭头都不可逆。\n\n$\\sigma$有限是**最常用的技术假设**：$\\mathbb{R}$ 上的 Lebesgue 测度 $\\sigma$有限（$\\mathbb{R} = \\bigcup _{n} [-n, n]$），而计数测度在 $\\mathbb{R}$ 上不是 $\\sigma$有限的。很多定理（Fubini、Radon–Nikodym、Carathéodory 扩张的唯一性）都要 $\\sigma$有限。\n\n半有限比 $\\sigma$有限弱得多：可以造出「每个可测集要么零测度、要么无穷测度」的测度，它就是半有限的极端反例。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §1.2" ] }, { "id": "prop.measure-basic", "type": "proposition", "label": "测度的基本性质", "title": "命题：测度的单调性、次可加性与两种连续性", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 15, "tags": [ "命题", "单调性", "次可加", "连续性" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 是测度空间，以下集合都取自 $\\mathcal{M}$。\n\n- **(a) 单调**：$E \\subseteq F \\implies \\mu(E) \\le \\mu(F)$\n- **(b) 次可加**：$\\mu( \\bigcup_j E_j ) \\le \\sum_j \\mu(E_j)$（不要求不交）\n- **(c) 下连续**：$E_1 \\subseteq E_2 \\subseteq \\cdots \\implies \\mu( \\bigcup_j E_j ) = \\lim_{j\\to\\infty} \\mu(E_j)$\n- **(d) 上连续**：$\\mu(E_1) < \\infty, \\quad E_1 \\supseteq E_2 \\supseteq \\cdots \\implies \\mu( \\bigcap_j E_j ) = \\lim_{j\\to\\infty} \\mu(E_j)$", "notes": "(a)：把 $F$ 拆成 $F = E \\cup (F \\setminus E)$ 用可数可加（把余下的位置补 $\\emptyset$）。\n\n(b)：把 $\\bigcup E_{j}$ 改成不交并：$F_{j} = E_{j} \\setminus (E_{1} \\cup \\cdots \\cup E_\\{j-1\\})$，则 $\\mu (\\bigcup E_{j}) = \\sum \\mu (F_{j}) \\le \\sum \\mu (E_{j})$。\n\n(c)：令 $A_{j} = E_{j} \\setminus E_\\{j-1\\}$（$E_{0} = \\emptyset$），则 $\\bigcup E_{j}$ 是 $A_{j}$ 的不交并，而 $\\mu (E_{n}) = \\sum _\\{j\\le n\\} \\mu (A_{j})$ —— 两边取极限即可。\n\n(d)：**「$\\mu (E_{1}) < \\infty$」不能省。** 反例：$X = \\mathbb{N}$，$\\mu =$ 计数测度，$E_{j} = \\{j, j+1$ …}，则每个 $\\mu (E_{j}) = \\infty$ 但交集为 $\\emptyset$、$\\mu (\\emptyset ) = 0$。\n\n(c) 与 (d) 合起来说明：测度在集合的**单调极限**下连续 —— 这正与「单调类」这个词呼应。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §9", "Folland, Real Analysis, Prop. 1.3" ] }, { "id": "def.null-set", "type": "definition", "label": "零集与完备", "title": "μ-零集 / 完备测度空间（Null Set & Complete Measure Space）", "label_en": "null set", "title_en": "Null Set & Complete Measure Space", "en_page": "nodes/def.null-set.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 15, "tags": [ "定义", "零集", "完备" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 是测度空间，$E \\in \\mathcal{M}$。\n\n若 $\\mu(E) = 0$，则称 $E$ 是 **$\\mu$零集**（$\\mu -null set$）。\n\n若**零集的每个子集都可测**：\n\n$$\\forall E \\in \\mathcal{M}, \\forall F \\subseteq E : \\mu(E) = 0 \\implies F \\in \\mathcal{M}$$\n\n则称 $\\mu$（或这个测度空间）**完备**。", "notes": "完备性说的是「零集的子集也是可测集」。这条**不是**自动成立的：$Borel \\sigma$代数配上 Lebesgue 测度就不完备 —— Cantor 集是 Borel 集且测度为 0，它的某些子集不是 Borel 集。\n\n所以常见做法是先把 Borel 测度**完备化**（见下一条定理），得到 $Lebesgue \\sigma$代数。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §11" ] }, { "id": "thm.completion", "type": "theorem", "label": "完备化定理", "title": "定理：任何测度空间都能完备化", "label_en": "completion", "title_en": "completion", "en_page": "nodes/thm.completion.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 16, "tags": [ "定理", "完备化", "零集" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 是测度空间。令\n\n$$\\mathcal{N} = \\{ N \\in \\mathcal{M} : \\mu(N) = 0 \\}$$\n\n$$\\bar{\\mathcal{M}} = \\{ E \\cup F : E \\in \\mathcal{M},\\ F \\subseteq N,\\ N \\in \\mathcal{N} \\}$$\n\n则\n\n1. $\\bar{\\mathcal{M}}$ 是一个 $\\sigma$代数，且 $\\mathcal{M} \\subseteq \\bar{\\mathcal{M}}$；\n2. 令 $\\bar{\\mu}(E \\cup F) := \\mu(E)$，它是 $\\bar{\\mathcal{M}}$ 上良定义的测度；\n3. $(X, \\bar{\\mathcal{M}}, \\bar{\\mu})$ 是**完备**测度空间，称为 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 的**完备化**。", "notes": "$\\bar{\\mathcal{M}}$ 的直观：在原来的可测集上「撒一点零集的小碎片」。\n\n**良定义是要检查的**：$E \\cup F$ 的写法不唯一，若 $E_{1} \\cup F_{1} = E_{2} \\cup F_{2}$，要证明 $\\mu (E_{1}) = \\mu (E_{2})$。做法是用 $E_{1} \\subseteq E_{2} \\cup N_{2}$（$N_{2}$ 零集）得 $\\mu (E_{1}) \\le \\mu (E_{2})$，反向同理。\n\n⚠ 完备化是「把零集的子集塞进来」，代价是 $\\sigma$代数变大、测度不变。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §13", "Folland, Real Analysis, Prop. 1.6" ] }, { "id": "def.semifinite-part", "type": "definition", "label": "半有限部分", "title": "半有限部分（Semifinite Part of a Measure）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 16, "tags": [ "定义", "半有限" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 是测度空间。定义\n\n$$\\mu_0(E) := \\sup \\{ \\mu(F) : F \\subseteq E, F \\in \\mathcal{M}, \\mu(F) < \\infty \\}$$\n\n则 $\\mu _{0}$ 称为 $\\mu$ 的**半有限部分**，它是一个半有限测度，且 $\\mu _{0} \\le \\mu$。", "notes": "它的作用：把一个「可能有很坏的无穷值」的测度修成半有限的，同时尽量保留原来的有限部分。\n\n若 $\\mu$ 本身半有限，则 $\\mu _{0} = \\mu$ —— 所以这是「半有限化」操作。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §1.2" ] }, { "id": "def.outer-measure", "type": "definition", "label": "外测度", "title": "外测度（Outer Measure）", "label_en": "outer measure", "title_en": "Outer Measure", "abstract_en": "An outer measure on a non-empty set $X$ is a function $\\mu^* : \\mathcal{P}(X) \\to [0, +\\infty]$ with $\\mu^*(\\emptyset) = 0$ that is monotone and countably subadditive. It is defined on every subset, and the price is exactly that subadditivity: it is not a measure. Carathéodory's idea is to single out the sets on which $\\mu^*$ is additive, and there it becomes a genuine measure. Lebesgue's original construction, $\\mu^*(A) = \\inf \\sum (b_n - a_n)$ over countable interval covers, is the prototypical example.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/def.outer-measure.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 14, "tags": [ "定义", "外测度", "次可加" ], "statement": "设 $X$ 是非空集合。函数 $\\mu^* : \\mathcal{P}(X) \\to [0, +\\infty]$ 是一个**外测度**，当且仅当\n\n- $\\mu^*(\\emptyset) = 0$\n- **单调**：$A \\subseteq B \\implies \\mu^*(A) \\le \\mu^*(B)$\n- **可数次可加**：$\\mu^*( \\bigcup_{j=1}^{\\infty} A_j ) \\le \\sum_{j=1}^{\\infty} \\mu^*(A_j)$", "notes": "外测度定义在**全体**子集上（$\\mathcal{P}(X)$，不是某个 $\\sigma$代数），代价是它只有**次**可加性。\n\n所以外测度不是测度 —— 它太大了，连 $\\mathcal{P}(X)$ 上都没有可加性。Carathéodory 的想法是在其中挑出一批「表现良好」的集合（下一条定义），外测度在它们上面才变成真正的测度。\n\nLebesgue 最初构造的就是外测度：$\\mu^{*}(A) = \\inf\\{ \\sum (b_{n} - a_{n}) : A \\subseteq \\bigcup (a_{n}, b_{n}) \\}$。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §11", "Folland, Real Analysis, §1.4" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_measure", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/outer+measure" } }, { "id": "prop.outer-measure-induced", "type": "proposition", "label": "由预测度诱导外测度", "title": "命题：从 $\\mathcal{E}$ 上的 $\\rho$ 诱导出一个外测度", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 16, "tags": [ "命题", "外测度", "覆盖" ], "statement": "设 $\\mathcal{E} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$，$\\emptyset \\in \\mathcal{E}$，$X \\in \\mathcal{E}$，$\\rho : \\mathcal{E} \\to [0, +\\infty ]$ 满足 $\\rho (\\emptyset ) = 0$。对 $A \\subseteq X$ 定义\n\n$$\\mu^*(A) := \\inf \\{ \\sum_{j=1}^{\\infty} \\rho(E_j) : E_j \\in \\mathcal{E}, A \\subseteq \\bigcup_{j=1}^{\\infty} E_j \\}$$\n\n（用 $\\mathcal{E}$ 中可数个集合覆盖 $A$，取下确界。）则 $\\mu^{*}$ 是 $X$ 上的一个**外测度**。", "notes": "这个公式就是「用已知面积的砖块去盖住 $A$，取最省的盖法」—— Lebesgue 外测度正是它的特例（$\\mathcal{E}$ 取开区间，$\\rho$ 取长度）。\n\n为什么要求 $X \\in \\mathcal{E}$：保证 $A \\subseteq X$ 总有覆盖，inf 不是对空集取。\n\n⚠ 这一步只用到 $\\rho (\\emptyset ) = 0$，**没用到可加性** —— 所以 $\\mu^{*}$ 一般并不还原成 $\\rho$。要还原，就得靠 Carathéodory。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §11", "Folland, Real Analysis, §1.4" ] }, { "id": "def.caratheodory-measurable", "type": "definition", "label": "μ*-可测集", "title": "Carathéodory 可测性（$\\mu^{*}$-Measurable Set）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 15, "tags": [ "定义", "Carathéodory", "可测" ], "statement": "设 $\\mu^{*}$ 是 $X$ 上的外测度。$A \\subseteq X$ 称为 **$\\mu^{*}$-可测的**，当且仅当 $A$ 把每个集合都「干净地切成两块」：\n\n$$\\mu^*(E) = \\mu^*(E \\cap A) + \\mu^*(E \\cap A^c)\\quad \\forall E \\subseteq X$$", "notes": "因为 $\\mu^{*}$ 只有次可加性，永远有 $\\mu^*(E) \\le \\mu^*(E \\cap A) + \\mu^*(E \\cap A^c)$。所以这个定义实际上只要求**反向的不等式**：$A$ 不「吃掉」任何东西。\n\n这个定义初看很怪（为什么不用开集、闭集之类的直观条件？）—— 它的妙处是**完全内蕴**：只需要 $\\mu^{*}$ 一个对象，不需要任何拓扑。所以它对任意外测度都能用。\n\n直观：$A$ 是「可以随便切」的集合。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §11", "Folland, Real Analysis, Theorem 1.11" ] }, { "id": "thm.caratheodory", "type": "theorem", "label": "Carathéodory 定理", "title": "Carathéodory 定理：$\\mu^{*}$-可测集构成 σ-代数，$\\mu^{*}$ 在其上是完备测度", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 16, "tags": [ "定理", "Carathéodory", "σ-代数", "完备" ], "statement": "设 $\\mu^{*}$ 是 $X$ 上的外测度，$\\mathcal{M}$ 是全体 $\\mu^{*}$-可测集。则\n\n1. **$\\mathcal{M}$ 是一个 $\\sigma$代数**；\n2. **$\\mu^*|_\\mathcal{M}$ 是 $(X, \\mathcal{M})$ 上的一个测度**（即 $\\mu^{*}$ 在 $\\mathcal{M}$ 上真的可加）；\n3. 这个测度是**完备**的。", "notes": "这是整个测度论构造的枢纽：**外测度不必可加，但它的「可切集合」上就可加了**。\n\n1 的证明是一个冗长的验证：对有限并、补、可数不交并逐一验算。\n\n3 的完备性来自定义本身：若 $\\mu^{*}(A) = 0$ 且 $B \\subseteq A$，则对任意 $E$ 有 $\\mu^{*}(E \\cap B) \\le \\mu^{*}(B) = 0$ 且 $\\mu^{*}(E \\cap B^{c}) \\le \\mu^{*}$(E)，两边一夹就得到 $B$ 满足可测性条件。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §11", "Folland, Real Analysis, Theorem 1.11" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory%27s_extension_theorem" } }, { "id": "prop.caratheodory-extension", "type": "proposition", "label": "预测度还原", "title": "命题：从预测度出发做 Carathéodory，原代数上的值不变", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 17, "tags": [ "命题", "Carathéodory", "扩张" ], "statement": "设 $\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$ 是**代数**，$\\mu _{0}$ 是 $\\mathfrak{A}$ 上的**预测度**，$\\mu^{*}$ 是由 $\\mu _{0}$ 诱导的外测度（按上一条命题，取 $\\mathcal{E} = \\mathfrak{A}$、$\\rho = \\mu _{0}$）。则\n\n1. $\\mu^*|_\\mathfrak{A} = \\mu_0$\n2. **$\\mathfrak{A}$ 中每个集合都是 $\\mu^{*}$-可测的**，因此\n\n$$\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathcal{M}(\\mathfrak{A}) \\subseteq \\mathcal{M}$$\n\n（$\\mathcal{M}$ 是全体 $\\mu^{*}$-可测集），于是 $\\mu^{*}|_\\mathcal{M}$ 是 $\\mu _{0}$ 在 $\\sigma$代数 $\\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$ 上的扩张。", "notes": "这就是「预测度 $\\to$ 外测度 $\\to$ 测度」三步走的收官：**预测度在 $\\sigma$代数的扩张上被完整还原**。\n\n1 的两个方向：$\\mu^*(A) \\le \\mu_0(A)$ 是直接的（$A$ 自己被 $A$ 覆盖）；反向要用 $\\mu _{0}$ 的可数可加性。\n\n2 是技术核心，要在 $\\mathfrak{A}$ 上验证 Carathéodory 的可切性条件。\n\n不仅 $\\mathfrak{A}$ 本身，连它做可数并、可数交（以及反复做）得到的 $\\mathfrak{A}_\\sigma$、$\\mathfrak{A}_\\delta$、$\\mathfrak{A}_\\sigma \\delta$、$\\mathfrak{A}_\\delta \\sigma$ 里的集合也都 $\\mu^{*}$-可测 —— 因为 $\\mathcal{M}$ 是 $\\sigma$代数，对这些操作封闭。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §12", "Folland, Real Analysis, Theorem 1.14" ] }, { "id": "thm.caratheodory-uniqueness", "type": "theorem", "label": "扩张的唯一性", "title": "定理：Carathéodory 扩张是最大的，σ-有限时唯一", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 18, "tags": [ "定理", "唯一性", "扩张" ], "statement": "设 $\\mu _{0}$ 是代数 $\\mathfrak{A}$ 上的预测度，$\\mu := \\mu^{*}|_\\mathcal{M}$ 是它经 Carathéodory 得到的扩张。若 $\\nu$ 是 $\\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$ 上**另一个**扩张 $\\mu _{0}$ 的测度，则\n\n$$\\nu(E) \\le \\mu(E)\\quad \\forall E \\in \\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$$\n\n且当 $\\mu(E) < \\infty$ 时等号成立；进而，若 $\\mu$ 是 $\\sigma$有限的，则 $\\nu = \\mu$。", "notes": "要点：**Carathéodory 扩张是「最大」的那一个**。原因藏在 $\\mu^{*}$ 的定义里 —— 它是用「覆盖取下确界」造的，而任何扩张 $\\nu$ 都要满足次可加性，于是 $\\nu (A) \\le \\sum \\nu (E_{j}) = \\sum \\mu _{0}(E_{j})$，对所有覆盖取下确界就得到 $\\nu \\le \\mu^{*}$。\n\n⚠ 不 $\\sigma$有限时唯一性会**失效**：$\\mathbb{R}$ 上取 $\\mathfrak{A} =$ 有限并的半开区间，$\\mu _{0} = Lebesgue$ 长度限制在 $\\mathfrak{A}$ 上，则「Lebesgue 测度」与「Lebesgue 测度 + 集中在某个非 Lebesgue 可测集上的无穷值」都是扩张。$\\sigma$有限性正是用来堵住这种漏洞的。\n\n构造测度的标准收尾就是这一条：**先造预测度（好造），再扩张（Carathéodory 保证存在），最后用 $\\sigma$有限保证唯一**。", "refs": [ "Halmos, Measure Theory, §13", "Folland, Real Analysis, Theorem 1.14" ] }, { "id": "prop.ls-premeasure", "type": "proposition", "label": "F 给出的预测度", "title": "命题：单调右连续的 F 给出半开区间上的预测度", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 16, "tags": [ "命题", "Lebesgue–Stieltjes", "预测度" ], "statement": "设 $F : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ 是**递增**且**右连续**的函数。在半开区间的全体上定义\n\n$$\\mu_0( (a, b] ) = F(b) - F(a)$$\n\n（并规定 $\\mu _{0}(\\emptyset ) = 0$，扩充到由这些区间做有限不交并得到的代数 $\\mathfrak{A}$ 上。）则 $\\mu _{0}$ 是 $\\mathfrak{A}$ 上的一个**预测度**。", "notes": "**证明。** 记 $\\mathfrak{A}$ 为有限不交并 $\\bigsqcup_{j=1}^{n}(a_{j}, b_{j}]$ 全体，$\\mu_{0}\\bigl(\\bigsqcup_{j}(a_{j},b_{j}]\\bigr) := \\sum_{j}\\bigl(F(b_{j})-F(a_{j})\\bigr)$。\n- **良定义**：半开区间的不交并分解，本质上就是把端点排成一串 $a_{1} < b_{1} \\le a_{2} < \\cdots$；把两种分解细化到公共细分，用 $F$ 的值在端点上的 telescoping 求和即可看出 $\\mu_{0}$ 与分解无关 ✓；空并给 $\\mu_{0}(\\emptyset) = 0$ ✓。\n- **有限可加**：把两个不交并拼起来直接相加 ✓。\n- **可数可加（右连续在这里上场）**：设 $(a, b] = \\bigsqcup_{j \\ge 1}(a_{j}, b_{j}]$。\n **$\\ge$**：对每个 $n$ 有 $(a,b] \\supseteq \\bigsqcup_{j \\le n}(a_{j},b_{j}]$，由递增性 $F(b)-F(a) \\ge \\sum_{j \\le n}\\bigl(F(b_{j})-F(a_{j})\\bigr)$，令 $n \\to \\infty$ ✓；\n **$\\le$**：给 $\\varepsilon > 0$。**右连续**给每个 $j$ 一个 $c_{j} > b_{j}$ 使 $F(c_{j}) < F(b_{j}) + \\varepsilon 2^{-j}$；再用右连续取 $\\delta > 0$ 使 $F(a+\\delta) < F(a) + \\varepsilon$。开区间族 $\\{(a_{j}, c_{j})\\}$ 覆盖紧集 $[a+\\delta, b]$，抽有限子覆盖并按端点排序相加，得\n$$F(b) - F(a) \\le 2\\varepsilon + \\sum_{j}\\bigl(F(b_{j}) - F(a_{j})\\bigr),$$\n令 $\\varepsilon \\to 0$ 即得 ✓。∎\n⭐ 取 $F(x) = x$ 就回到长度 $\\mu_{0}((a,b]) = b-a$ —— 这正是 Lebesgue 测度的出发点。\n\n**右连续正是用来保证可数可加性的**：若 (a, b] 是 $(a_{j}, b_{j}]$ 的不交并，把 $b_{j}$ 从左边逼近 $b_{j}$ 就能得到单调性的不等式。\n\n取 $F(x) = x$ 就回到长度 $\\mu _{0}((a, b]) = b - a$ —— 也就是 Lebesgue 测度的出发点。\n\n⚠ 半开区间 (a, b] 比开区间好用：它们做不交并时端点不重叠，$\\mu _{0}$ 的加法好验。用 [a, b) 也一样，只是右连续要换成左连续。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 1.16" ] }, { "id": "thm.ls-exists", "type": "theorem", "label": "F ↔ Borel 测度", "title": "定理：每个单调右连续的 F 对应一个 Borel 测度（差常数意义下）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 19, "tags": [ "定理", "Lebesgue–Stieltjes", "Borel" ], "statement": "对每个递增右连续的 $F : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$，存在 $\\mathbb{R}$ 上的一个 Borel 测度 $\\mu _F$ 使\n\n$$\\mu_F( (a, b] ) = F(b) - F(a)\\quad \\forall a < b$$\n\n且这样的 $\\mu _F$ 与 $F$ 的对应在**相差一个常数**的意义下是一一的。", "notes": "证明就是把前两条接起来：$F \\mapsto$ 预测度 $\\mu _{0}$（上一条命题）$\\to$ 由 Carathéodory 扩张到 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$（前面两条定理）。\n\n「差常数」是因为 $\\mu _F$ 只看增量 $F(b) - F(a)$：把 $F$ 换成 F + c，增量不变，测度也不变。所以严格的对应是「递增右连续函数模掉常数」$\\leftrightarrow$「$\\mathbb{R}$ 上局部有限的 Borel 测度」。\n\n⚠ 「局部有限」这个限制是必要的：$\\mu _F((-n, n]) = F(n) - F(-n)$ 必须有限，才能由递增实值函数给出。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 1.16" ] }, { "id": "def.lebesgue-stieltjes", "type": "definition", "label": "Lebesgue–Stieltjes 测度", "title": "Lebesgue–Stieltjes 测度（Lebesgue–Stieltjes Measure $\\mu_F$）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 15, "tags": [ "定义", "Lebesgue–Stieltjes", "Lebesgue 测度" ], "statement": "由递增右连续函数 $F$ 按上一条定理得到的 Borel 测度 $\\mu_F$ 称为 **$F$ 的 Lebesgue–Stieltjes 测度**。\n\n特别地，取 $F(x) = x$，得到的 $\\mu _F$ 就是 $\\mathbb{R}$ 上的 **Lebesgue 测度** $m$：\n\n$$m( (a, b] ) = b - a$$", "notes": "若改用左连续的 $F$ 配区间 [a, b)，得到的是同一族测度 —— 只是把「右连续」换成了「左连续」。\n\n$\\mu _F$ 的**分布函数**视角：若 $F$ 还满足 $F(-\\infty ) = 0$、$F(+\\infty ) = 1$，那 $F$ 就是一个概率分布的分布函数，$\\mu _F$ 就是对应的概率测度。\n\n这条把「测度」和「函数」这两类对象接了起来：$\\mathbb{R}$ 上（局部有限的）测度 $\\leftrightarrow$ 递增右连续函数（模常数）。后面 Radon–Nikodym 会把「绝对连续」精确地实现为「$F$ 是可积函数的积分」。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 1.16" ] }, { "id": "def.measurable-function", "type": "definition", "label": "可测函数", "title": "可测函数（Measurable Function）", "label_en": "measurable function", "title_en": "Measurable Function", "en_page": "nodes/def.measurable-function.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 6, "tags": [ "定义", "可测函数" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M})$ 与 $(Y, \\mathcal{N})$ 是可测空间。函数 $f : X \\to Y$ 是 **$(\\mathcal{M}, \\mathcal{N})$可测的**，当且仅当每个可测集的原像可测：\n\n$$f^{-1}(E) \\in \\mathcal{M}\\quad \\forall E \\in \\mathcal{N}$$", "notes": "为什么用「原像」而不是「像」：原像对交、并、补全部保持（$f^{-1}(\\bigcup E_i) = \\bigcup f^{-1}(E_i)$ 等），像是没有这些好性质的。所以可测性是「拉回」过去的条件。\n\n等价说法（当 $Y$ 是拓扑空间、$\\mathcal{N} = \\mathfrak{B}_Y$ 时）：$f$ 可测 $\\iff$ 每个开集的原像可测。\n\n⚠ 「在 $E$ 上可测」是相对说法：$f$ 在 $E$ 上可测 $\\iff$ $f|_E$ 关于子空间 $\\sigma$代数 $\\mathcal{M}_E$ 可测。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.1", "Halmos, Measure Theory, §18" ] }, { "id": "prop.measurable-criterion", "type": "proposition", "label": "可测性的两条判定准则", "title": "命题：复合保持可测；只需在生成元上验证", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 7, "tags": [ "命题", "可测", "生成元", "复合" ], "statement": "**(1) 复合**：若 $f : X \\to Y$ 是 $(\\mathcal{M}, \\mathcal{N})$可测、$g : Y \\to Z$ 是 $(\\mathcal{N}, \\mathcal{O})$可测，则 $g \\circ f$ 是 $(\\mathcal{M}, \\mathcal{O})$可测。\n\n**(2) 只需验证生成元**：若 $\\mathcal{N} = \\mathcal{M}(\\mathcal{E})$，则\n\n$$f : X \\to Y\\text{ 可测} \\iff f^{-1}(E) \\in \\mathcal{M}\\quad \\forall E \\in \\mathcal{E}$$", "notes": "**证明。**\n**(1) 复合**：对 $E \\in \\mathcal{O}$ 有 $(g \\circ f)^{-1}(E) = f^{-1}\\bigl(g^{-1}(E)\\bigr)$；由 $g$ 可测得 $g^{-1}(E) \\in \\mathcal{N}$，再由 $f$ 可测得 $f^{-1}(\\cdot) \\in \\mathcal{M}$ ✓。\n**(2) 只需验证生成元**：\n- **$(\\Longleftarrow)$** 令 $\\mathcal{C} := \\{\\, E \\subseteq Y : f^{-1}(E) \\in \\mathcal{M} \\,\\}$。原像保持并、交、补（$f^{-1}(E^{c}) = X \\setminus f^{-1}(E)$），故 $\\mathcal{C}$ 是 $Y$ 上的 **$\\sigma$代数** ✓；由假设 $\\mathcal{E} \\subseteq \\mathcal{C}$，取生成的 $\\sigma$代数得 $\\mathcal{N} = \\mathcal{M}(\\mathcal{E}) \\subseteq \\mathcal{C}$，即一切 $E \\in \\mathcal{N}$ 的原像都可测 ✓。\n- **$(\\implies)$** 按可测的定义即得 ✓。\n同一论证可用于任何「生成它的族」：拓扑空间上只需开集（或闭集、或基元素）；$\\mathbb{R}$ 上只需 $(-\\infty, a]$ 这类射线 ✓。∎\n\n(1)：对 $E \\in \\mathcal{O}$ 有 $(g\\circ f)^{-1}(E) = f^{-1}(g^{-1}(E))$，两层都可测。\n\n(2) 的 $(\\Longleftarrow )$：令 $\\mathcal{C} = \\{ E \\subseteq Y : f^{-1}(E) \\in \\mathcal{M} \\}$。因为原像保持并、交、补，**$\\mathcal{C}$ 是一个 $\\sigma$代数**；题设说 $\\mathcal{E} \\subseteq \\mathcal{C}$，于是 $\\mathcal{M}(\\mathcal{E}) \\subseteq \\mathcal{C}$，即所有可测集的原像都可测。\n\n(2) 是整段里最常用的判定工具：要证 $f$ 可测，只需在一小族生成元上验证 —— 比如 $\\mathbb{R}$ 值函数只需验证 $f^{-1}((a, \\infty))$ 可测。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.1" ] }, { "id": "cor.continuous-measurable", "type": "corollary", "label": "连续 ⟹ Borel 可测", "title": "推论：连续函数是 Borel 可测的", "region": "analysis", "regions": [ "analysis", "topology" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 15, "tags": [ "推论", "连续", "Borel" ], "statement": "设 X, Y 是拓扑空间，各配 $Borel \\sigma$代数 $\\mathfrak{B}_X, \\mathfrak{B}_Y$。则\n\n$$f : X \\to Y\\text{ 连续} \\implies f\\text{ 是} (\\mathfrak{B}_X, \\mathfrak{B}_Y)-\\text{可测的}$$", "notes": "连续的定义就是「开集的原像开」；而开集生成 $\\mathfrak{B}_Y$，用上一条的判定准则 (2) 立刻得到。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.1", "Halmos, Measure Theory, §18" ] }, { "id": "def.lebesgue-measurable", "type": "definition", "label": "Lebesgue 可测", "title": "Lebesgue 可测 / Borel 可测（$\\mathbb{R} \\to \\mathbb{C}$ 的情形）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 7, "tags": [ "定义", "Lebesgue 可测", "Borel" ], "statement": "对 $f : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{C}$：\n\n- 若 $f$ 是 $(\\mathcal{L}, \\mathfrak{B}_\\mathbb{C})$-可测，称 $f$ **Lebesgue 可测**（$\\mathcal{L}$ 是 $Lebesgue \\sigma$代数）；\n- 若 $f$ 是 $(\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}, \\mathfrak{B}_\\mathbb{C})$-可测，称 $f$ **Borel 可测**。", "notes": "⚠ **注意这里有个坑：两个 Lebesgue 可测函数的复合不一定 Lebesgue 可测。**\n\n\n\n原因：复合要跑通 (1) 需要中间那个 $\\sigma$代数配合，而 $\\mathcal{L}$ 严格大于 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$。取 $f : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R} Lebesgue$ 可测、$g : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R} Lebesgue$ 可测，则 $g\\circ f$ 关于 $\\mathcal{L}$ 未必可测 —— 因为 $g^{-1}$ 只能保证把 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$ 里的集合拉回 $\\mathcal{L}$，而 $f^{-1}$ 需要在 $\\mathbb{R}$ 里取一个**非 Borel 的 Lebesgue 可测集**才能出问题。\n\n标准修法：让中间那个函数 Borel 可测。若 $g$ 是 Borel 可测、$f$ 是 Lebesgue 可测，则 $g\\circ f$ 是 Lebesgue 可测的。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.1" ] }, { "id": "prop.measurable-product-and-realimag", "type": "proposition", "label": "积空间与实虚部", "title": "命题：可测函数到积空间；f 可测 $\\iff$ 实部虚部可测", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 7, "tags": [ "命题", "积空间", "实部虚部" ], "statement": "**(1)** 设 $(X, \\mathcal{M})$、$(Y_\\alpha , \\mathcal{N}_\\alpha ) (\\alpha \\in A)$ 是可测空间，$Y = \\prod_{\\alpha} Y_\\alpha$，$\\mathcal{N} = \\otimes _{\\alpha} \\mathcal{N}_\\alpha$，$\\pi _\\alpha : Y \\to Y_\\alpha$ 是投影。则\n\n$$f : X \\to Y\\text{ 可测} \\iff f_\\alpha = \\pi _\\alpha \\circ f\\text{ 可测}(\\forall\\alpha \\in A)$$\n\n**(2)** 特别地，$f : X \\to \\mathbb{C}$ 可测 $\\iff$ $\\operatorname{Re} f$ 与 $\\operatorname{Im} f$ 都可测。", "notes": "(1) 的 $(\\implies )$：投影 $\\pi _\\alpha$ 本身可测（$\\pi _\\alpha ^{-1}(E_\\alpha )$ 是柱集），用复合保持。\n\n(1) 的 $(\\Longleftarrow )$：只要证柱集的原像可测 —— 而 $f^{-1}(\\pi _\\alpha^{-1}(E_\\alpha)) = f_\\alpha^{-1}(E_\\alpha)$ 可测 —— 再由积 $\\sigma$代数由柱集生成、用判定准则 (2)。\n\n(2) 的证明用了一个干净的事实：**$\\mathbb{C}$ 的 $Borel \\sigma$代数与 $\\mathbb{R}^{2}$ 的 $Borel \\sigma$代数是同一个**：\n\n\n\n$$\\mathfrak{B}_\\mathbb{C} = \\mathfrak{B}_{\\mathbb{R}^2} = \\mathfrak{B}_\\mathbb{R} \\otimes \\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$$\n\n\n\n于是 (2) 就是 (1) 在 $A = \\{1, 2\\}$ 时的特例。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.3" ] }, { "id": "prop.measurable-closure", "type": "proposition", "label": "可测函数的封闭性", "title": "命题：可测函数对和、积、sup、max、极限封闭", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 15, "tags": [ "命题", "封闭性", "sup", "极限" ], "statement": "以下都设函数取值在 $\\overline{\\mathbb{R}} = [-\\infty , +\\infty ]$ 或 $\\mathbb{C}$ 中，且可测。\n\n- **和与积**：$f + g$、$fg$ 可测；\n- **逐点上确界**：$\\{f_j\\}$ 可测 $\\implies$ $\\sup_j f_j$ 可测；\n- **有限个取大**：$f, g$ 可测 $\\implies$ $\\max_{f, g}$ 可测；\n- **极限**：若 $\\lim_j f_j$ 逐点存在，则它是可测的。", "notes": "$\\sup_j f_j$ 的关键：$(\\sup_j f_j)^{-1}((a, +\\infty]) = \\bigcup_j f_j^{-1}((a, +\\infty])$ 是可数并，故可测。（取 $(a, +\\infty]$ 这族生成元就够了。）\n\nmax 是 sup 的有限特例（把不够的地方补成 $-\\infty$）。\n\n极限：$\\liminf_j f_j = \\sup_n \\inf_{j\\ge n} f_j$，而 inf 可以由 sup 取负得到（$\\inf f_j = -\\sup_{-f_j}$），所以极限是可测函数经过可数次 sup/inf 得到的。\n\n和与积：把 $\\sup_j f_j$ 的做法搬到 $\\{f+g > a\\}$ 上（用有理数把 $f > q > a - g$ 拆开），或先对简单函数验证再逼近。\n\n⭐ 这条命题是**整个积分理论的地基**：它保证「可测函数取极限之后仍然可测」，而后面 MCT / Fatou / DCT 全都是在取极限。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.7" ] }, { "id": "def.simple-function", "type": "definition", "label": "简单函数", "title": "简单函数（Simple Function）", "label_en": "simple function", "title_en": "Simple Function", "en_page": "nodes/def.simple-function.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 7, "tags": [ "定义", "简单函数" ], "statement": "可测函数 $\\varphi : X \\to \\mathbb{C}$ 是**简单函数**，当且仅当它只取**有限多个值**。等价地，它可以写成\n\n$$\\varphi = \\sum_{j=1}^{n} a_j \\chi_{E_j}$$\n\n其中 $a_j \\in \\mathbb{C}$，$E_j = \\varphi^{-1}(\\{a_j\\}) \\in \\mathcal{M}$ 两两不交。", "notes": "简单函数就是可测版本的「阶梯函数」—— 有限个「台阶」。\n\n它是整个积分理论的**起点**：先给简单函数定义积分（就是加权和），再用「简单函数从下面逼近」把积分推广到一切非负可测函数。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.2" ] }, { "id": "thm.simple-approximation", "type": "theorem", "label": "简单函数逼近", "title": "定理：可测函数都是简单函数列的极限", "title_en": "approximation by simple functions", "en_page": "nodes/thm.simple-approximation.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 8, "tags": [ "定理", "简单函数", "逼近" ], "statement": "**(a)** 若 $f : X \\to [0, +\\infty]$ 可测，则存在简单函数列 $\\{\\varphi_n\\}$ 使\n\n$$0 \\le \\varphi_1 \\le \\varphi_2 \\le \\cdots \\le f, \\quad \\varphi_n \\to f\\text{ 逐点}, $$\n\n并且**在 $f$ 有界的集合上还是一致收敛**。\n\n**(b)** 一般地（$f : X \\to \\mathbb{C}$ 可测），可取 $\\{\\varphi_n\\}$ 简单使\n\n$$0 \\le |\\varphi_1| \\le |\\varphi_2| \\le \\cdots \\le |f|, \\quad \\varphi_n \\to f\\text{ 逐点}$$", "notes": "**证明。**\n**(a)** 对 $n \\ge 1$、$k = 0, 1, \\ldots, 2^{n}n - 1$ 令\n$$E_{n,k} := f^{-1}\\bigl((k2^{-n}, (k+1)2^{-n}]\\bigr), \\qquad F_{n} := f^{-1}\\bigl((n, +\\infty]\\bigr),$$\n$$\\varphi_{n} := \\sum_{k} k\\,2^{-n}\\,\\chi_{E_{n,k}} \\;+\\; n\\,\\chi_{F_{n}} \\;+\\; 0\\cdot\\chi_{f^{-1}(\\{0\\})}.$$\n- **简单**：每个 $E_{n,k}$、$F_{n}$ 可测（$f$ 可测 + 区间是 Borel 集），只有有限多个取值 ✓；\n- **$0 \\le \\varphi_{n} \\le f$**：在 $E_{n,k}$ 上 $k2^{-n} < f \\le (k+1)2^{-n}$ ✓；在 $F_{n}$ 上 $n < f$ ✓；其余为零 ✓；\n- **单调**：$n \\to n+1$ 时区间按 $2^{-(n+1)}$ 加细、上限从 $n$ 升到 $n+1$，逐点算一遍即知 $\\varphi_{n} \\le \\varphi_{n+1}$ ✓；\n- **逐点收敛**：若 $f(x) < \\infty$，取 $n > f(x)$ 后 $0 \\le f(x)-\\varphi_{n}(x) \\le 2^{-n} \\to 0$；若 $f(x) = +\\infty$ 则 $\\varphi_{n}(x) = n \\to \\infty$ ✓；\n- **在有界集上一致**：$f \\le M$ 时取 $n > M$，同样得 $|f-\\varphi_{n}| \\le 2^{-n}$，与 $x$ 无关 ✓。\n**(b)** 一般可测 $f$：写成 $f = (f_{1}^{+} - f_{1}^{-}) + i(f_{2}^{+} - f_{2}^{-})$，对四个非负可测部分各用 (a) 得单调列，再把实部虚部、正部负部线性组合起来；由于每一步都满足 $|\\varphi_{n}| \\le |f|$、逐点收敛，结论成立 ✓。∎\n\n(a) 的构造就是「切蛋糕」：把值域在 [0, n) 上按 $2^{-n}$ 切碎，超过 $n$ 的部分一律抹成 $n$ ——\n\n\n\n$$\\varphi_n = \\sum_{k=0}^{2^n\\cdot n-1} k\\cdot2^{-n}\\cdot\\chi_{E_n^k} + n\\cdot\\chi_{F_n}, $$\n\n$$E_n^k = f^{-1}((k\\cdot2^{-n}, (k+1)\\cdot2^{-n}]), \\quad F_n = f^{-1}((n, +\\infty])$$\n\n\n\n每一层都是可测集的原像，所以 $\\varphi _{n}$ 是简单函数；$n$ 越大格子越细、天花板越高，于是单调递增地爬到 $f$。\n\n(b) 把 $f = g + ih$ 拆成 $g = g^+ - g^-$、$h = h^+ - h^-$，对四个非负部分用 (a)：\n\n\n\n$$\\varphi_n = \\psi_n^+ - \\psi_n^- + i(\\zeta _n^+ - \\zeta _n^-)$$", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.10" ] }, { "id": "prop.complete-measurable", "type": "proposition", "label": "完备性 ⟺ 不破坏可测性", "title": "命题：$\\mu$ 完备 $\\iff$ 几乎处处相等 / 几乎处处收敛不破坏可测性", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 17, "tags": [ "命题", "完备", "几乎处处" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 是测度空间。则 $\\mu$ **完备**当且仅当下面两条都成立：\n\n**(a)** $f$ 可测且 $f = g$ $\\mu -\\text{a.e.} \\implies$ $g$ 可测；\n\n**(b)** 每个 $f_n$ 可测且 $f_n \\to f$ $\\mu -\\text{a.e.} \\implies$ $f$ 可测。", "notes": "**证明。**\n**$(\\implies)$** 设 $\\mu$ 完备。记 $N := \\{f \\ne g\\}$、$\\mu(N) = 0$。对任意可测集 $B$，\n$$g^{-1}(B) = \\bigl(f^{-1}(B) \\cap N^{c}\\bigr) \\cup \\bigl(g^{-1}(B) \\cap N\\bigr),$$\n第一块可测（$f$ 可测）；第二块是**零集的子集**，由完备性可测 ✓。故 $g$ 可测。(b) 同理：$f_{n} \\to f$ a.e. 时把 $f$ 在不收敛的零集上改写成 $\\limsup_{n} f_{n}$，可测性不变，而它与 $f$ 只差一个零集 ✓。\n**$(\\Longleftarrow)$** 设 (a) 成立。取零集 $E$（$\\mu(E) = 0$）与任意 $F \\subseteq E$，令 $f \\equiv 0$、$g := \\chi_{F}$。则 $f$ 可测，且 $\\{f \\ne g\\} \\subseteq E$ 是零集，即 $f = g$ a.e.；由 (a)，$g$ 可测；于是 $F = g^{-1}(\\{1\\})$ 可测 ✓。故每个零集的子集都可测，**$\\mu$ 完备** ✓。（用 (b) 也一样：取常列 $f_{n} \\equiv 0$、$f := \\chi_{F}$，$f_{n} \\to f$ a.e.，由 (b) 得 $\\chi_{F}$ 可测。）∎\n⭐ 这条说明**完备性恰好就是「重新定义零集上的值不破坏可测性」所需的全部条件**。\n\n$(\\implies )$ 是完备性的直接好处：重新定义零集上的值不改变可测性。\n\n$(\\Longleftarrow )$ 是这条命题有意思的地方 —— 它说明**完备性恰好是「不破坏可测性」所需的全部**。构造：取零集 $E$（$\\mu (E) = 0$）里一个不可测的子集 $F$（若 $\\mu$ 不完备，这样的 $F$ 存在），令\n\n\n\n$$f \\equiv 0, \\quad g = \\chi_F$$\n\n\n\n则 $f$ 可测、$f = g$ 在 $E$ 外处处成立（即 a.e.），但\n\n\n\n$$\\{f \\ne g\\} = F$$\n\n\n\n不可测，所以 $g^{-1}((0, +\\infty]) = F$ 不可测，$g$ 不可测。(a) 失败 $\\implies \\mu$ 不完备。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.11" ] }, { "id": "prop.completion-measurable-function", "type": "proposition", "label": "完备化后可改在零集上", "title": "命题：完备化空间上的可测函数，几乎处处等于一个原空间可测函数", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 17, "tags": [ "命题", "完备化", "可测函数" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 是测度空间，$(X, \\bar{\\mathcal{M}}, \\bar{\\mu})$ 是它的完备化（见「完备化定理」）。若 $f$ 是 $\\bar{\\mathcal{M}}$-可测的函数，则存在 **$\\mathcal{M}$可测**的函数 $g$ 使\n\n$$f = g\\quad \\bar{\\mu}-\\text{a.e.}$$", "notes": "直观：完备化只多加了零集的子集，所以 $\\bar{\\mathcal{M}}$可测函数与 $\\mathcal{M}$可测函数只差在零集上的取值。\n\n证明思路：先看 $f = \\chi_E$ 的情形（此时 $E = E' \\cup F$，$E' \\in \\mathcal{M}$、$F$ 含于零集，取 $g = \\chi_{E'}$）；对 $\\mathcal{M}$可测的简单函数显然；一般情形取简单函数列 $\\{\\varphi_n\\} \\to f$，每个 $\\varphi_n$ 在某个 $\\bar{\\mathcal{M}}$零集 $E_n$ 外等于一个 $\\mathcal{M}$可测的 $\\psi_n$。把零集并起来得 $N \\in \\mathcal{M}$，$\\mu(N) = 0$，$N \\supseteq \\bigcup E_n$，令\n\n\n\n$$g = \\lim_n \\chi_{N^c} \\cdot \\varphi_n$$\n\n\n\n则 $g = f$ 在 $N^c$ 上成立，且 $g$ 是 $\\mathcal{M}$可测的。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.12" ] }, { "id": "def.lplus", "type": "definition", "label": "L⁺", "title": "$L^{+}$：非负可测函数全体", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 15, "tags": [ "定义", "L⁺" ], "statement": "固定测度空间 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$。记\n\n$$L^+ := \\{ f : X \\to [0, +\\infty] : f\\text{ 可测} \\}$$\n\n即取值在**扩充**非负实数里的可测函数全体。", "notes": "⚠ 取值允许是 $\\infty$，这是刻意的：先把积分对 $[0, +\\infty ]$ 值的函数定义好，收敛定理（sup / 极限）在整个 $L^{+}$ 里封闭，不必反复讨论「积分是不是有限」。\n\n「可积」（积分有限）是之后单独加的条件，见 $L^{1}$ 的定义。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.2" ] }, { "id": "def.integral-simple", "type": "definition", "label": "简单函数的积分", "title": "简单函数的积分：加权和", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 16, "tags": [ "定义", "积分", "简单函数" ], "statement": "设 $\\varphi \\in L^+$ 是简单函数，写成标准形式\n\n$$\\varphi = \\sum_{j=1}^{n} a_j \\chi_{E_j}, \\quad a_j \\ge 0, E_j \\in \\mathcal{M}\\text{ 两两不交}$$\n\n则定义\n\n$$\\int \\varphi d\\mu := \\sum_{j=1}^{n} a_j \\mu(E_j)$$", "notes": "这就是「面积 $=$ 各层高度 $\\times$ 各层测度」—— 完全照着 Riemann 和的样子写，只是把区间换成了可测集。\n\n要检查**良定义**：同一个 $\\varphi$ 可以写成不同的标准形式（比如把某个 $E_{j}$ 再拆开），但由 $\\mu$ 的有限可加性，结果一样。\n\n约定 $0 \\cdot \\infty = 0$：这一步很关键 —— 它让「在无穷测度集上取 0 的函数」积分为 0，符合直觉。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.2" ] }, { "id": "prop.simple-integral-props", "type": "proposition", "label": "简单函数积分的性质", "title": "命题：简单函数积分的四条基本性质", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 17, "tags": [ "命题", "积分", "线性", "单调" ], "statement": "设 $\\varphi, \\psi$ 是简单函数。\n\n- **(a)** $c > 0 \\implies \\int c\\varphi = c\\int \\varphi$\n- **(b)** $\\int (\\varphi + \\psi) = \\int \\varphi + \\int \\psi$\n- **(c)** $\\varphi \\le \\psi \\implies \\int \\varphi \\le \\int \\psi$\n- **(d)** $A \\mapsto \\int_A \\varphi d\\mu$ 是 $\\mathcal{M}$ 上的**测度**。", "notes": "(d) 是这一组里最有用的：它把「对简单函数积分」变成了「一个测度」，于是可数可加性、单调连续性（关于 $A$）全部免费。\n\n\n\n⚠ 后面 MCT 的证明正是**靠 (d)**：证明里要断言 $\\lim_n \\int_{E_n} \\varphi = \\int \\varphi$，用的就是「$A \\mapsto \\int _A \\varphi$ 是测度」加上测度的下连续性（$E_n \\uparrow X$）。\n\n(a) 里 $c > 0$ 而不是 $c \\ge 0$：因为约定 $0\\cdot \\infty = 0$，$c = 0$ 时左边也自动成立，写成 $c > 0$ 只是为了不啰嗦。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.13" ] }, { "id": "def.integral-nonneg", "type": "definition", "label": "非负函数的积分", "title": "非负可测函数的积分：从下面取上确界", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 17, "tags": [ "定义", "积分", "sup" ], "statement": "设 $f \\in L^+$。定义\n\n$$\\int f d\\mu := \\sup \\{ \\int \\varphi d\\mu : 0 \\le \\varphi \\le f, \\varphi\\text{ 是简单函数} \\}$$", "notes": "直观：用简单函数从**下面**去顶 $f$，取这些面积的**上确界**。这与 Jordan 测度「从外面盖、从里面填」的做法不同 —— 这里只从里面填。\n\n为什么不再要求「外面的盖」：因为测度已经在对偶的那一侧（$\\mu$ 本身是从外面用外测度定义的），简单函数的下确界只会把积分定义偏小。\n\n⚠ 这个定义只对非负函数管用。对一般实值函数，先拆成正负部再相减（见「复函数的积分」）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.2" ] }, { "id": "thm.mct", "type": "theorem", "label": "单调收敛定理", "title": "单调收敛定理（MCT, Monotone Convergence Theorem）", "label_en": "monotone convergence theorem", "title_en": "MCT, Monotone Convergence Theorem", "en_page": "nodes/thm.mct.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 18, "tags": [ "定理", "MCT", "收敛" ], "statement": "设 $\\{f_n\\} \\subseteq L^+$ 满足\n\n$$f_1 \\le f_2 \\le \\cdots, \\quad f_n \\uparrow f\\text{ 逐点}, $$\n\n则\n\n$$\\int f = \\lim_{n\\to\\infty} \\int f_n$$", "notes": "⭐ 这是整个 Lebesgue 积分理论的**发动机**：后面的逐项积分、Fatou、DCT 全都是它的推论。\n\n对比 Riemann 积分：那里「积分与极限交换」需要一致收敛这样强的条件；这里只要**单调**就够了 —— 这就是 Lebesgue 积分的全部好处。\n\n⚠ 两者都可能是 $\\infty$，等式在扩充意义下理解。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.14" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" } }, { "id": "thm.termwise-integration", "type": "theorem", "label": "逐项积分", "title": "定理：非负函数级数可以逐项积分", "label_en": "term-by-term integration", "title_en": "term-by-term integration", "en_page": "nodes/thm.termwise-integration.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 19, "tags": [ "定理", "逐项积分", "级数" ], "statement": "设 $\\{f_n\\} \\subseteq L^+$，则\n\n$$\\int \\sum_{n=1}^{\\infty} f_n = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\int f_n$$", "notes": "（现在 $f_n \\ge 0$，所以两边都可能是 $\\infty$；结论等价于：不可能出现「逐项积分发散而整体积分有限」的怪事。）\n\n用法上这就是**无条件地交换 $\\int$ 和 $\\sum$**，不需要控制函数 —— 代价是要求非负。有正有负时必须换 DCT。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.15" ] }, { "id": "prop.integral-zero-iff", "type": "proposition", "label": "积分为零 ⟺ 几乎处处为零", "title": "命题：$\\int f = 0 \\iff f = 0 \\text{a.e.}$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 17, "tags": [ "命题", "零集", "几乎处处" ], "statement": "设 $f \\in L^+$。则\n\n$$\\int f d\\mu = 0 \\iff f = 0 \\mu-\\text{a.e.}$$", "notes": "**证明。**\n**$(\\Longleftarrow)$** 若 $f = 0$ a.e.，则任何简单函数 $\\varphi \\le f$ 也 a.e. 为零（在 $f = 0$ 处 $\\varphi = 0$），故 $\\int \\varphi = 0$；对全体这样的 $\\varphi$ 取上确界得 $\\int f = 0$ ✓。\n**$(\\implies)$** 设 $\\int f = 0$。对每个 $n \\ge 1$ 记 $A_{n} := \\{f > 1/n\\}$（可测）。由 $\\frac1n\\chi_{A_{n}} \\le f$ 得\n$$\\frac1n\\,\\mu(A_{n}) \\le \\int f\\,\\mathrm{d}\\mu = 0 \\implies \\mu(A_{n}) = 0 .$$\n而 $\\{f > 0\\} = \\bigcup_{n \\ge 1} A_{n}$ 是可数并零集，故 $\\mu(\\{f>0\\}) = 0$，即 $f = 0$ a.e. ✓。∎\n附带地：$\\{f = +\\infty\\} \\subseteq \\{f>0\\}$ 也一起被处理掉了。\n\n$(\\Longleftarrow )$ 只要 $f$ 在零集外为零，下确界里的每个简单函数 $\\varphi \\le f$ 也几乎处处为零，从而 $\\int \\varphi = 0$。\n\n$(\\implies )$ 记 $A_n = \\{f > 1/n\\}$，则 $(1/n)\\cdot\\mu(A_n) \\le \\int f = 0$，故 $\\mu (A_{n}) = 0$；而 $\\{f > 0\\} = \\bigcup_n A_n$ 是零测的。\n\n⭐ 这条把「积分」与「几乎处处」这两个概念绑在一起了 —— 它是 $L^{1}$ 里「$f = g$」按 a.e. 理解的原因。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.16" ] }, { "id": "cor.mct-ae", "type": "corollary", "label": "MCT（a.e. 版本）", "title": "推论：单调收敛定理的几乎处处版本", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 17, "tags": [ "推论", "MCT", "几乎处处" ], "statement": "设 $\\{f_n\\} \\subseteq L^+$，$f \\in L^+$。若对**几乎处处的** $x$ 有\n\n$$f_n(x) \\uparrow f(x), $$\n\n则\n\n$$\\int f = \\lim_{n\\to\\infty} \\int f_n$$", "notes": "**证明。** 设例外集 $N$（$\\mu(N) = 0$）使 $f_{n}(x) \\uparrow f(x)$ 对一切 $x \\in N^{c}$ 成立。令 $g_{n} := f_{n}\\,\\chi_{N^{c}}$、$g := f\\,\\chi_{N^{c}}$。\n- $g_{n} \\uparrow g$ **处处**成立（在 $N$ 上两边都是 $0$）✓；\n- 被改动的只是零集 $N$ 上的值，而由「积分为零 $\\iff$ 几乎处处为零」，在零集上改值不影响积分：$\\int g_{n} = \\int f_{n}$、$\\int g = \\int f$ ✓；\n- 对处处收敛的情形用单调收敛定理：$\\int g = \\lim_{n} \\int g_{n}$ ✓。\n两式合起来就是 $\\int f = \\lim_{n}\\int f_{n}$。∎\n\n把例外集 $N$（$\\mu (N) = 0$）上的值全部改掉不影响任何一边的积分：左边用「积分为零 $\\iff$ 几乎处处为零」，右边用「零集不改变简单函数的积分」。所以收敛只在 a.e. 上成立就够。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.2", "Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "lem.fatou", "type": "lemma", "label": "Fatou 引理", "title": "Fatou 引理（Fatou's Lemma）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 19, "tags": [ "引理", "Fatou", "liminf" ], "statement": "设 $\\{f_n\\} \\subseteq L^+$，则\n\n$$\\int \\liminf_{n\\to\\infty} f_n \\le \\liminf_{n\\to\\infty} \\int f_n$$", "notes": "⚠ 注意不等号方向：**下面的**极限在积分外面，得到的**不大于**积分的下极限。也就是说「取极限」会让积分**变小**，不会变大。\n\n这是 MCT 去掉单调性后剩下的东西 —— 单调性一旦丢掉，等号就退化成不等式。\n\n反向的例子：$f_n = \\chi_{[n, n+1]}$（在 $\\mathbb{R}$ 上），则每个 $\\int f_{n} = 1$ 但 $\\int \\liminf f_{n} = 0$。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.18" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Fatou%27s_lemma" } }, { "id": "cor.fatou", "type": "corollary", "label": "Fatou 的推论", "title": "推论：$f_{n} \\to f \\text{a.e.} \\implies \\int f \\le \\lim \\int f_{n}$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 20, "tags": [ "推论", "Fatou", "几乎处处" ], "statement": "设 $\\{f_n\\} \\subseteq L^+$，$f \\in L^+$，且 $f_n \\to f$ a.e.。则\n\n$$\\int f \\le \\liminf_{n\\to\\infty} \\int f_n$$", "notes": "a.e. 收敛时 $\\liminf f_n = f$，直接套 Fatou 引理即可。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.2", "Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "prop.finite-integral-consequences", "type": "proposition", "label": "积分有限的后果", "title": "命题：$\\int f < \\infty$ 时，f 几乎处处有限、支撑 σ-有限", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 16, "tags": [ "命题", "σ-有限", "零集" ], "statement": "设 $f \\in L^+$ 且 $\\int f < \\infty$。则\n\n- $\\{x : f(x) = \\infty\\}$ 是零集；\n- $\\{x : f(x) > 0\\}$ 是 **$\\sigma$有限**的（即它是可数个有限测度集之并）。", "notes": "**证明。** 设 $f \\in L^{+}$、$\\int f < \\infty$。\n- **$\\{f = +\\infty\\}$ 是零集**：若 $\\mu(\\{f = \\infty\\}) > 0$，则对每个 $n$ 有 $n\\,\\chi_{\\{f=\\infty\\}} \\le f$，故 $\\int f \\ge n\\,\\mu(\\{f=\\infty\\}) \\to \\infty$，与 $\\int f < \\infty$ 矛盾 ✓。\n- **$\\{f > 0\\}$ 是 $\\sigma$ 有限**：\n$$\\{f > 0\\} = \\bigcup_{n \\ge 1}\\bigl\\{f > \\tfrac1n\\bigr\\},$$\n而由 $\\frac1n\\chi_{\\{f>1/n\\}} \\le f$ 得 $\\mu(\\{f > 1/n\\}) \\le n\\int f < \\infty$，所以这是一族可数多个**有限测度**集之并，即 $\\sigma$ 有限 ✓。∎\n\n第一条：若 $\\mu(\\{f = \\infty\\}) > 0$，则对每个 $n$ 有 $\\int f \\ge n\\cdot\\mu(\\{f=\\infty\\})$，让 $n \\to \\infty$ 得 $\\int f = \\infty$。\n\n第二条：$\\{f > 0\\} = \\bigcup_n \\{f > 1/n\\}$，而 $\\mu(\\{f > 1/n\\}) \\le n\\int f < \\infty$ —— 所以是**可数**个有限测度集之并。\n\n⭐ 这条解释了为什么「$L^{1}$ 里的函数几乎处处有限」是免费的，也预告了 Lp 空间里的 $\\sigma$有限假设。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.20" ] }, { "id": "def.integral-complex", "type": "definition", "label": "复函数的积分", "title": "复值函数的积分：正负部相减", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 18, "tags": [ "定义", "积分", "复值" ], "statement": "设 $f : X \\to \\overline{\\mathbb{R}}$ 可测，记正部与负部\n\n$$f^+ = \\max_{f, 0}, \\quad f^- = \\max_{-f, 0}$$\n\n（两者都属于 $L^{+}$，且 $f = f^+ - f^-$、$|f| = f^+ + f^-$。）若 $\\int f^+$ 与 $\\int f^-$ 中**至少一个有限**，定义\n\n$$\\int f := \\int f^+ - \\int f^-$$\n\n对复值函数，拆实部虚部：$\\int f := \\int \\operatorname{Re} f + i \\int \\operatorname{Im} f$（要求两个积分都有意义）。", "notes": "⚠ 「至少一个有限」是为了避免 $\\infty - \\infty$：那是不定式，必须排除。\n\n若两个都有限，就说 $f$ **可积**（见下一条）。\n\n对复值函数，$\\operatorname{Re} f$ 与 $\\operatorname{Im} f$ 可积 $\\iff f$ 可积，因为 $|\\operatorname{Re} f|, |\\operatorname{Im} f| \\le |f| \\le |\\operatorname{Re} f| + |\\operatorname{Im} f|$。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.3" ] }, { "id": "def.integrable", "type": "definition", "label": "可积 / L¹", "title": "可积函数与 $L^{1}$ 空间", "label_en": "integrable", "title_en": "integrable", "en_page": "nodes/def.integrable.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 19, "tags": [ "定义", "L¹", "可积" ], "statement": "实值可测 $f$ **可积**，当且仅当 $\\int f^+ < \\infty$ 且 $\\int f^- < \\infty$。等价地：\n\n$$f\\text{ 可积} \\iff \\int |f| d\\mu < \\infty$$\n\n复值可测 $f$ 可积，当且仅当 $\\int |f| d\\mu < \\infty$。可积函数全体记作\n\n$$L^1(\\mu) = L^1(X, \\mathcal{M}, \\mu) = L^1(X, \\mu)$$", "notes": "⭐ **可积 $\\iff$ 绝对值可积**：这是 Lebesgue 积分（终于）真正好用的地方 —— 因为 $|f| \\in L^{+}$，一切非负情形的定理都能直接套用。\n\n（对比 Riemann 反常积分：那里 $\\int f$ 收敛而 $\\int|f|$ 发散是可能的，叫条件收敛。）\n\n⚠ 严格说 $L^{1}$ 的元素是**函数的等价类**（a.e. 相等视为同一个），所以「$\\int |f| = 0 \\implies f = 0$」要在 a.e. 意义下读。这是后面 Lp 空间成为赋范空间的关键一步。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.3" ] }, { "id": "prop.L1-vector-space", "type": "proposition", "label": "L¹ 是向量空间", "title": "命题：可积函数全体是向量空间，$\\int$ 线性", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 20, "tags": [ "命题", "L¹", "线性" ], "statement": "$X$ 上可积的（实值）函数全体构成一个**实向量空间**，并且\n\n$$\\int (af + bg) = a\\int f + b\\int g\\quad \\forall a, b \\in \\mathbb{R}$$\n\n即 $f \\mapsto \\int f$ 是线性的。", "notes": "**证明。**\n- **非负函数的可加性**：$f, g \\in L^{+}$ 时，$\\int(f+g) = \\int f + \\int g$ —— 对简单函数逐条验证（线性性），再用简单函数逼近 + 单调收敛定理取极限 ✓；**齐次性** $\\int cf = c\\int f$（$c \\ge 0$）同理 ✓。\n- **一般实值**：$f = f^{+} - f^{-}$、$g = g^{+} - g^{-}$，展开 $(af+bg)^{\\pm}$ 并把上面的线性性逐项用上，得 $\\int(af+bg) = a\\int f + b\\int g$ ✓（复值再对实部虚部各做一次）。\n- **是向量空间**：$f, g \\in L^{1}$、$a, b \\in \\mathbb{R}$ 时\n$$\\int|af+bg| \\le |a|\\int|f| + |b|\\int|g| < \\infty,$$\n故 $af+bg \\in L^{1}$ ✓；元素的加法与数乘按 **a.e.** 意义定义（两个 a.e. 相等的可积函数视为同一元素），$\\int$ 在这个商下良定义 ✓。∎\n\n「是向量空间」要在 a.e. 意义下理解（两个 a.e. 相等的可积函数看作同一个元素）。\n\n线性来自正负部分解后对简单函数的 (a)(b) 逐条验证 —— 这条本身不深，但它是 $L^{1}$ 成为**赋范空间**的第一步，后面 Lp 空间整套理论都从这儿开始。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.21" ] }, { "id": "prop.integral-abs-ineq", "type": "proposition", "label": "积分绝对值不等式", "title": "命题：$|\\int f| \\le \\int |f|$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 20, "tags": [ "命题", "三角不等式" ], "statement": "设 $f \\in L^1(\\mu)$，则\n\n$$| \\int f d\\mu | \\le \\int |f| d\\mu$$", "notes": "**证明。** 若 $\\int f\\,\\mathrm{d}\\mu = 0$ 则两边都是 $0$。否则——\n- **实值**：取 $\\alpha := \\operatorname{sgn}\\bigl(\\int f\\,\\mathrm{d}\\mu\\bigr) \\in \\{\\pm1\\}$，则 $\\alpha\\int f = \\bigl|\\int f\\bigr|$，于是\n$$\\Bigl|\\int f\\,\\mathrm{d}\\mu\\Bigr| = \\alpha\\int f\\,\\mathrm{d}\\mu = \\int \\alpha f\\,\\mathrm{d}\\mu \\le \\int |f|\\,\\mathrm{d}\\mu;$$\n- **复值**：取 $\\alpha := e^{-i\\theta}$，$\\theta := \\arg\\int f\\,\\mathrm{d}\\mu$。则 $\\alpha\\int f = \\bigl|\\int f\\bigr|$ 是实数，而\n$$\\Bigl|\\int f\\,\\mathrm{d}\\mu\\Bigr| = \\int \\alpha f\\,\\mathrm{d}\\mu = \\int \\operatorname{Re}(\\alpha f)\\,\\mathrm{d}\\mu \\le \\int |\\alpha f|\\,\\mathrm{d}\\mu = \\int|f|\\,\\mathrm{d}\\mu,$$\n中间那步用的是「$u \\le v$ 逐点 $\\implies \\int u \\le \\int v$」（实值情形）以及 $\\operatorname{Re}(z) \\le |z|$ ✓。∎\n\n复情形：取 $\\alpha = e^{-i\\theta}$ 使 $\\alpha\\int f$ 是实数且等于 $|\\int f|$，则 $|\\int f| = \\int \\alpha f = \\int \\operatorname{Re}(\\alpha f) \\le \\int|\\alpha f| = \\int|f|$。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.22" ] }, { "id": "prop.L1-support-sigma-finite", "type": "proposition", "label": "L¹ 函数的支撑 σ-有限", "title": "命题：$f \\in L^{1} \\implies \\{f \\ne 0\\}$ 是 σ-有限的", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 20, "tags": [ "命题", "σ-有限", "支撑" ], "statement": "若 $f \\in L^1(\\mu)$，则\n\n$$\\{x : f(x) \\ne 0\\}$$\n\n是 $\\sigma$有限的。", "notes": "**证明。** 令 $g := |f| \\in L^{+}$。则 $\\int g\\,\\mathrm{d}\\mu = \\int|f|\\,\\mathrm{d}\\mu < \\infty$（$f \\in L^{1}$ 的定义），于是由「积分有限的后果」，$\\{g > 0\\}$ 是 $\\sigma$ 有限的；而\n$$\\{x : f(x) \\ne 0\\} = \\{x : |f(x)| > 0\\} = \\{g > 0\\},$$\n故 $\\{f \\ne 0\\}$ 是 $\\sigma$ 有限的 ✓。∎\n⭐ 这条常被用来把 $L^{1}$ 函数化归到 $\\sigma$ 有限的情形（先除掉零集、再逐块处理）。\n\n把「积分有限的后果」分别用到 |f| 上即可：$\\{f \\ne 0\\} = \\{|f| > 0\\}$。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.3" ] }, { "id": "prop.integrals-equal-iff", "type": "proposition", "label": "何时两个函数积分处处相同", "title": "命题：$\\int_E f = \\int_E g$ 对一切 $E \\iff f = g \\text{a.e.}$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 20, "tags": [ "命题", "几乎处处", "可测集" ], "statement": "设 $f, g \\in L^1(\\mu)$。则下列三条等价：\n\n$$\\int_E f d\\mu = \\int_E g d\\mu\\quad \\forall E \\in \\mathcal{M}; $$\n$$\\int |f - g| d\\mu = 0; $$\n$$f = g\\quad \\mu-\\text{a.e.}$$", "notes": "作用：这类命题就是「用对一切可测集的积分来**识别**函数」。\n\n后面 Radon–Nikodym 定理的**唯一性**部分正是用的这一条 —— 两个密度给出同一个测度，就必须 a.e. 相等。\n\n（$E$ 取遍 $\\mathcal{M}$ 而不是只取 $X$，是关键：只对 $X$ 相等是不够的。）", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Cor. 2.23" ] }, { "id": "thm.dct", "type": "theorem", "label": "控制收敛定理", "title": "控制收敛定理（DCT, Dominated Convergence Theorem）", "label_en": "dominated convergence", "title_en": "DCT, Dominated Convergence Theorem", "en_page": "nodes/thm.dct.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 20, "tags": [ "定理", "DCT", "控制函数" ], "statement": "设 $\\{f_n\\} \\subseteq L^1$，$f_n \\to f$ a.e.，且存在**控制函数** $g \\in L^1$ 使\n\n$$|f_n| \\le g\\quad \\text{a.e.}\\quad \\forall n$$\n\n则 $f \\in L^1$ 且\n\n$$\\int f = \\lim_{n\\to\\infty} \\int f_n$$", "notes": "⭐ 这是实际计算里**用得最多**的收敛定理。三个条件缺一不可：\n\n\n\n$\\cdot \\text{a.e.}$ 收敛 —— 不能去掉（$\\chi_{[n,n+1]}$ 反例）；\n\n$\\cdot$ 控制函数 $g \\in L^{1}$ —— 不能去掉（$n\\chi_{[0,1/n]}$ 在 [0,1] 上每点趋于 0，但积分为 1）；\n\n$\\cdot$ 必须是**可积**的 $g$，光是「有界」不够（在无穷测度空间上）。\n\n\n\n为什么叫「控制」：$g$ 把所有 $f_{n}$ 关在一间可积的笼子里，所以质量无处可逃，极限过程不会漏掉面积。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.24" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem", "mathlib": "https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.html" } }, { "id": "thm.termwise-L1", "type": "theorem", "label": "L¹ 的逐项积分", "title": "定理：$\\sum\\int|f_{j}| < \\infty \\implies \\sum f_{j}$ 几乎处处收敛且可逐项积分", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 20, "tags": [ "定理", "逐项积分", "L¹" ], "statement": "设 $\\{f_j\\} \\subseteq L^1$ 满足\n\n$$\\sum_{j=1}^{\\infty} \\int |f_j| d\\mu < \\infty$$\n\n则 $\\sum_j f_j$ 几乎处处收敛到一个 $L^1$ 中的函数，并且可以逐项积分：\n\n$$\\int \\sum_{j=1}^{\\infty} f_j = \\sum_{j=1}^{\\infty} \\int f_j$$", "notes": "与「非负函数逐项积分」的区别：那里不需要任何收敛性假设（非负性保证了没有抵消），这里**需要** $\\sum \\int |f_{j}| < \\infty$ —— 用可积性换来「允许有正有负」。\n\n这是 Fubini–Tonelli 定理证明里的关键工具。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.25" ] }, { "id": "thm.approximation-L1", "type": "theorem", "label": "L¹ 里的逼近", "title": "定理：$L^{1}$ 中可用简单函数 / 连续函数逼近", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 20, "tags": [ "定理", "逼近", "简单函数", "连续函数" ], "statement": "设 $f \\in L^1(\\mu)$。则对任意 $\\varepsilon > 0$，存在简单函数 $\\varphi = \\sum_j a_j \\chi_{E_j}$ 使\n\n$$\\int |f - \\varphi| d\\mu < \\varepsilon$$\n\n进一步，若 $\\mu$ 是 **$\\mathbb{R}$ 上的 Lebesgue–Stieltjes 测度**，还可以要求 $E_{j}$ 是开区间的有限并；甚至可以取一个**连续函数** $g$（在某个有界区间外恒为 0）使\n\n$$\\int |f - g| d\\mu < \\varepsilon$$", "notes": "意义：**简单函数与连续函数在 $L^{1}$ 里是稠密的**。所以很多命题只要对这两类函数验证就够了，再取极限。\n\n证明思路：先把 $f$ 拆成 $\\operatorname{Re} f^{+}$、$\\operatorname{Re} f^{-}$、$\\operatorname{Im} f^{+}$、$\\operatorname{Im} f^{-}$ 四个非负部分，各自用简单函数逼近（简单函数逼近定理）；$\\mathbb{R}$ 的情形再把定义域切成有界块，用连续函数去顶半开区间的指示函数。\n\n⚠ 连续函数那一句**依赖 $\\mu$ 是 Lebesgue–Stieltjes 测度**：换一个任意测度，简单函数的逼近照旧，连续函数的说法就不成立了。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.26" ] }, { "id": "thm.differentiate-under-integral", "type": "theorem", "label": "交换极限/导数与积分", "title": "定理：在积分号下取极限与求导", "title_en": "differentiation under the integral sign", "en_page": "nodes/thm.differentiate-under-integral.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.integral", "layer": 21, "tags": [ "定理", "DCT", "求导", "带参变量积分" ], "statement": "设 $f : X \\times [a, b] \\to \\mathbb{C}$（$-\\infty < a < b < \\infty$），$f(\\cdot, t)$ 对每个 $t \\in [a, b]$ 都可积。记\n\n$$F(t) := \\int_X f(x, t) d\\mu(x)$$\n\n**(a) 连续性**：若存在 $g \\in L^1(\\mu)$ 使 $|f(x, t)| \\le g(x)$ 对一切 $x, t$ 成立，且对每个 $x$ 有 $\\lim_{t\\to t_0} f(x, t) = f(x, t_0)$，则\n\n$$\\lim_{t\\to t_0} F(t) = F(t_0)$$\n\n**(b) 求导**：若 $\\partial f / \\partial t$ 处处存在，且存在 $g \\in L^1(\\mu)$ 使 $| \\partial f / \\partial t(x, t) | \\le g(x)$ 对一切 $x, t$ 成立，则 $F$ 可微，且\n\n$$F'(t) = \\int_X \\partial f / \\partial t(x, t) d\\mu(x)$$", "notes": "两个控制条件都是「用同一个 $g$ 控制一整族函数」—— 这正是 DCT 的标准用法。\n\n⚠ $g$ 必须属于 $L^{1}$（不能只是「局部有界」）。\n\n这是「带参变量积分」的两个基本定理：连续性可以交换极限与积分，可导性可以交换导数与积分。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.27" ] }, { "id": "def.convergence-modes", "type": "definition", "label": "五种收敛", "title": "收敛的类型：一致 / 近一致 / a.e. / 依测度 / $L^{1}$", "label_en": "modes of convergence", "title_en": "modes of convergence", "en_page": "nodes/def.convergence-modes.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 20, "tags": [ "定义", "收敛", "依测度" ], "statement": "设 $f_n, f : X \\to \\mathbb{C}$ 可测，$X$ 带测度 $\\mu$。\n\n- **一致收敛** $f_n \\rightrightarrows f$：$\\forall\\varepsilon > 0, \\exists N > 0, \\forall x \\in X, n > N \\implies |f_n(x) - f(x)| < \\varepsilon$\n- **几乎处处收敛** $f_n \\to f$ a.e.：存在零集 $E$ 使 $f_n(x) \\to f(x)$ 对一切 $x \\in X \\setminus E$ 成立\n- **依测度收敛** $f_n \\to f$ 依测度：$\\forall\\varepsilon > 0, \\forall\\delta > 0, \\exists N, \\forall n > N : \\mu(\\{x : |f_n(x) - f(x)| > \\delta\\}) < \\varepsilon$\n- **$L^{1}$ 收敛**：$\\int |f_n - f| d\\mu \\to 0$\n- **近一致收敛**：$\\forall\\varepsilon > 0$，存在 $E$ 使 $\\mu(E) < \\varepsilon$ 且 $f_n \\rightrightarrows f$ 在 $E^c$ 上一致", "notes": "强弱关系（都能画成箭头）：\n\n\n\n$$\\text{一致} \\implies\\text{ 近一致} \\implies \\text{a.e.}$$\n\n$$\\text{一致} \\implies\\text{ 近一致} \\implies\\text{ 依测度}$$\n\n$$L^1 \\implies\\text{ 依测度}$$\n\n\n\n⚠ 「依测度收敛」是最温和的一个：它不要求任何一处真的收敛，只要求「收敛失败的区域」越来越小。\n\n⚠ **a.e. 收敛与依测度收敛互不包含**：$\\text{a.e.} \\implies$ 依测度在**有限测度**空间上成立（Egorov 的推论），反过来依测度 $\\nRightarrow$ a.e.（见反例 iv）。\n\n⚠ $L^{1}$ 收敛 $\\nRightarrow$ a.e. 收敛，a.e. 收敛 + 控制函数 $\\implies L^{1}$ 收敛（这就是 DCT）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.4" ] }, { "id": "prop.convergence-counterexamples", "type": "proposition", "label": "四个标准反例", "title": "命题：四个标准反例（把各种收敛区分开）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 21, "tags": [ "反例", "收敛", "依测度" ], "statement": "在 $\\mathbb{R}$（或 [0, 1]）上取 Lebesgue 测度。\n\n- **(i)** $f_n = n^{-1} \\chi_{(0, n)}$：$f_n \\rightrightarrows 0$ **一致**收敛。\n- **(ii)** $f_n = \\chi_{(n, n+1)}$：$f_n \\to 0$ **逐点**（因而 a.e.），但**不一致**（$\\sup_x |f_n| = 1$），也不 $L^{1}$ 收敛（$\\int f_n = 1 \\nrightarrow 0$）。\n- **(iii)** $f_n = n \\chi_{[0, 1/n]}$：$f_n \\to 0$ a.e.（也依测度收敛，因为 $\\mu(\\{|f_n| > \\delta\\}) = 1/n \\to 0$），但**不 $L^{1}$ 收敛**（$\\int f_n = 1$ 对一切 $n$）。\n- **(iv) 二进制填充**：把右下角越来越小的区间排成一列 ——\n\n$$f_1 = \\chi_{[0,1]}, f_2 = \\chi_{[0,1/2]}, f_3 = \\chi_{[1/2,1]}, f_4 = \\chi_{[0,1/4]}, \\cdots$$\n即 $f_n = \\chi_{[j/2^k, (j+1)/2^k]}$（$n = 2^k + j$）：它**依测度**收敛到 0，但对**任何** $x \\in [0,1]$ 都**不**收敛。", "notes": "**四个例子逐条验证。**\n- **(i) 一致但不 $L^{1}$**：$f_{n} = \\frac1n\\chi_{(0,n)}$，$\\sup_{x}|f_{n}(x)| = \\frac1n \\to 0$，故**一致收敛** ✓；但 $\\int f_{n}\\,\\mathrm{d}m = 1 \\not\\to 0$，所以**不 $L^{1}$ 收敛** ✓（质量往外跑，越来越扁越来越长）。\n- **(ii) 逐点但不一致、不 $L^{1}$**：$f_{n} = \\chi_{(n, n+1)}$，对每个固定的 $x$，$n > x$ 之后 $f_{n}(x) = 0$，故**逐点（因而 a.e.）收敛到 $0$** ✓；但 $\\sup_{x}|f_{n}| = 1$ 不趋于 $0$ $\\implies$ **不一致收敛** ✓，且 $\\int f_{n} = 1 \\not\\to 0$ $\\implies$ 不 $L^{1}$ 收敛 ✓。\n- **(iii) a.e. 但不 $L^{1}$、也不被可积函数控制**：$f_{n} = n\\,\\chi_{(0, 1/n)}$，逐点收敛到 $0$ ✓，但 $\\int f_{n} = 1$；任何可积控制函数 $g$ 都要满足 $g \\ge n\\chi_{(0,1/n)}$ 无穷多次，从而 $\\int g = \\infty$ $\\implies$ **控制收敛定理里的控制函数不能省** ✓。\n- **(iv) 依测度但不 a.e.**：把 $[0,1]$ 按 $2^{-m}$ 等分（$m = 1, 2, \\ldots$），第 $m$ 层依次取各单位区间的特征函数排成一列 $f_{1}, f_{2}, \\ldots$。$m(E_{n}) = 2^{-m} \\to 0$ $\\implies$ **依测度收敛** ✓；但每个点都被无穷多次盖住、也被无穷多次漏掉，故 $f_{n}(x)$ 对每个 $x$ **都不收敛** ✓。∎\n⭐ 机制：**区间越来越窄，但位置不停地搬家** —— 质量在每一处只停留一瞬，所以处处不收敛，而出错集合的测度趋于零。\n\n(iii) 是「a.e. 收敛 $\\nRightarrow L^{1}$ 收敛」的标准反例 —— 也是 DCT 里「控制函数不能省」的根据。\n\n(iv) 是「依测度收敛 $\\nRightarrow$ a.e. 收敛」的标准反例。它的机制很值得记住：**每次取一个越来越窄的区间，但位置不停地搬家** —— 质量在每一处都只停留一瞬间，所以每点都不收敛，但「出错集合」的测度趋于 0。\n\n⭐ 这四个例子基本覆盖了所有反方向的护栏：一致最强、依测度最弱、a.e. 与 $L^{1}$ 各自独立。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.4" ] }, { "id": "def.cauchy-in-measure", "type": "definition", "label": "依测度 Cauchy", "title": "依测度 Cauchy 序列", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 15, "tags": [ "定义", "Cauchy", "依测度" ], "statement": "可测函数列 $\\{f_n\\}$ 是**依测度 Cauchy 的**，当且仅当\n\n$$\\forall\\varepsilon > 0, \\mu(\\{x : |f_n(x) - f_m(x)| \\ge \\varepsilon\\}) \\to 0\\quad (m, n \\to \\infty)$$\n\n即：在测度意义下，下标够大之后各项彼此越来越近。", "notes": "**依测度 $Cauchy \\iff$ 依测度收敛**：两个方向都能证（收敛 $\\implies Cauchy$ 由三角不等式；$Cauchy \\implies$ 收敛就是下一条定理）。\n\n这是「依测度」这个拓扑的一个好处：它**完备**。相比之下 a.e. 收敛既不强也不完备，$L^{1}$ 收敛则完备（Riesz–Fischer）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.4" ] }, { "id": "thm.cauchy-in-measure", "type": "theorem", "label": "依测度 Cauchy ⟹ 收敛", "title": "定理：依测度 Cauchy 列必有依测度极限，且有一子列 a.e. 收敛", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 17, "tags": [ "定理", "依测度", "子列", "Borel–Cantelli" ], "statement": "若 $\\{f_n\\}$ 依测度 Cauchy，则存在可测函数 $f$ 使\n\n$$f_n \\to f\\text{ 依测度}, $$\n\n并且存在**子列** $\\{f_{n_j}\\}$ 使\n\n$$f_{n_j} \\to f\\quad \\text{a.e.}$$", "notes": "⭐ 这是「依测度收敛」最有用的性质：**收敛本身不保证任何一处真的收敛，但总能抽出一列几乎处处收敛的子列**。\n\n证明的工具是 Borel–Cantelli 型的推理：造出 $\\sum_k \\mu(E_k) < \\infty$ 的一族「坏集合」，则几乎每个点只落进有限多个坏集合。\n\n这也是 Riesz 定理（a.e. 收敛 $\\iff$ 依测度收敛 + 子列）的那一半。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.30" ] }, { "id": "prop.L1-implies-measure", "type": "proposition", "label": "L¹ 收敛 ⟹ 依测度收敛", "title": "命题：$L^{1}$ 收敛蕴含依测度收敛（Markov 不等式）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 21, "tags": [ "命题", "L¹", "依测度", "Markov" ], "statement": "若 $f_n \\to f$ 于 $L^1$，则 $f_n \\to f$ 依测度：\n\n$$\\int |f_n - f| \\to 0 \\implies f_n \\to f\\text{ 依测度}$$", "notes": "工具是 **Markov（Chebyshev）不等式**：$\n\\mu(\\{|g| \\ge \\varepsilon\\}) \\le (1/\\varepsilon)\\cdot\\int |g| d\\mu$\n\n（因为 $\\varepsilon \\chi_{\\{|g| \\ge \\varepsilon\\}} \\le |g|$，两边积分即可。）取 $g = f_n - f$ 就得到结论。\n\n⚠ 反方向不成立：反例 (iii) 就是依测度收敛但不 $L^{1}$ 收敛。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.29" ] }, { "id": "thm.egorov", "type": "theorem", "label": "Egorov 定理", "title": "Egorov 定理：a.e. 收敛 $\\implies$ 近一致", "label_en": "Egorov", "title_en": "Egorov", "en_page": "nodes/thm.egorov.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 21, "tags": [ "定理", "Egorov", "近一致", "有限测度" ], "statement": "设 $\\mu(X) < \\infty$，且 $f_n \\to f$ a.e.。则 $f_n \\to f$ **近一致**：\n\n$$\\forall\\varepsilon > 0, \\exists E \\subseteq X : \\mu(E) < \\varepsilon,\\text{ 且} f_n \\rightrightarrows f\\text{ 在} X \\setminus E\\text{ 上一致}$$", "notes": "⭐ 「几乎处处收敛」听起来很弱，但 Egorov 说：只要空间**有限测度**，它其实差一点就是**一致收敛** —— 代价只是丢掉一个任意小的集合。\n\n⚠ **「$\\mu(X) < \\infty$」不能省。** 反例：$f_n = \\chi_{(n, n+1)}$ 在 $\\mathbb{R}$ 上，a.e. 收敛到 0，但丢掉任何有限测度的集合后，剩下的部分仍有 $\\sup = 1$，无法一致收敛。\n\n这是「丢掉小集合换取好性质」这一类结论的模板（Lusin 定理也是这个模式）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.33" ] }, { "id": "cor.lusin", "type": "corollary", "label": "Lusin 定理", "title": "Lusin 定理：可测函数几乎处处连续", "label_en": "Lusin", "title_en": "Lusin", "en_page": "nodes/cor.lusin.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measurable", "layer": 22, "tags": [ "推论", "Lusin", "连续", "紧集" ], "statement": "设 $f : [a, b] \\to \\mathbb{C}$ 是 Lebesgue 可测的。则对任意 $\\varepsilon > 0$，存在**紧集** $E \\subseteq [a, b]$ 使\n\n$$\\mu(E^c) < \\varepsilon,\\text{ 且} f|_E\\text{ 连续}$$", "notes": "⭐ 「可测」这个条件看起来很弱，但 Lusin 说：可测函数差一点就是**连续**函数 —— 只要允许把定义域挖掉一小块。\n\n与 Egorov 的分工：Egorov 说「一列函数」几乎一致收敛，Lusin 说「一个函数」几乎连续。两者都是「丢掉小集合换取正则性」。\n\n⚠ 挖掉的那块必须容许是开集，剩下的必须是**紧**集（在 [a,b] 上紧 $\\iff$ 有界闭），不能只是可测集。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.34" ] }, { "id": "def.product-measure", "type": "definition", "label": "乘积测度", "title": "乘积测度（Product Measure $\\mu \\times \\nu$）", "label_en": "product measure", "title_en": "product measure", "abstract_en": "For measure spaces $(X, \\mathcal{M}, \\mu)$ and $(Y, \\mathcal{N}, \\nu)$: rectangles $A \\times B$ generate $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$; on finite disjoint unions of rectangles set $\\mu_0(\\bigsqcup_j A_j \\times B_j) := \\sum_j \\mu(A_j)\\nu(B_j)$, which is a premeasure; extend it to an outer measure and restrict to $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$. That restriction is the product measure $\\mu \\times \\nu$. Disjointness is exactly what makes $\\mu_0$ well defined. When both factors are $\\sigma$-finite so is the product, and Carathéodory uniqueness makes it the only such measure.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/def.product-measure.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 17, "tags": [ "定义", "乘积测度", "矩形", "Carathéodory" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 与 $(Y, \\mathcal{N}, \\nu )$ 是测度空间。\n\n**① 矩形**：形如 $A \\times B$（$A \\in \\mathcal{M}$，$B \\in \\mathcal{N}$）的集合叫（可测）矩形。全体矩形**生成** $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$。\n\n**② 矩形上的预测度**：令 $\\mathcal{A}$ 为**矩形的有限不交并**全体。对\n\n$$E = \\bigsqcup_{j=1}^{n} (A_j \\times B_j)$$\n\n定义\n\n$$\\mu_{0} (E) := \\sum_{j=1}^{n} \\mu(A_j) \\nu(B_j)$$\n\n则 $\\mu_{0}$ 是代数 $\\mathcal{A}$ 上的**预测度**。\n\n**③ 扩张**：$\\mu_{0}$ 诱导 $X \\times Y$ 上的外测度，限制在 $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$ 上得到一个测度，记作\n\n$$\\mu \\times \\nu$$\n\n即**乘积测度**。", "notes": "$\\mu_{0} $ 的良定义要检查（同一个 $E$ 可以拆成不同的矩形不交并）—— 这正是要把「矩形」换成「矩形的**不交**并」的原因：不交并之下加法好验。\n\n**$\\sigma$有限的时候一切顺利**：若 $\\mu$、$\\nu$ 都 $\\sigma$有限，则 $\\mu \\times \\nu$ 也 $\\sigma$有限，而且由 Carathéodory 唯一性，这样造出来的测度是唯一的。\n\n⚠ 这一步的整个机器（预测度 $\\to$ 外测度 $\\to$ Carathéodory 扩张 $\\to$ 唯一性）就是「测度的构造」那个星团里现成的四件套。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.5", "Halmos, Measure Theory, §35" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Product_measure" } }, { "id": "def.section", "type": "definition", "label": "截口", "title": "截口（Section）$E_{x}$ 与 $E^{y}$", "abstract_en": "For $E \\subseteq X \\times Y$ the vertical and horizontal sections are $E_x := \\{y \\in Y : (x,y) \\in E\\}$ and $E^y := \\{x \\in X : (x,y) \\in E\\}$; for a function $f : X \\times Y \\to \\mathbb{C}$ one sets $f_x(y) = f^y(x) = f(x,y)$. Geometrically, cut the picture with a line and look at what remains. Sections are the language in which Fubini is stated: integrate along the sections first, then integrate the resulting function against the other variable.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/def.section.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 6, "tags": [ "定义", "截口" ], "statement": "设 $E \\subseteq X \\times Y$。对 $x \\in X$、$y \\in Y$ 定义\n\n$$E_x := \\{y \\in Y : (x, y) \\in E\\}$$\n$$E^y := \\{x \\in X : (x, y) \\in E\\}$$\n\n分别叫 $E$ 在 $x$ 处的**纵截口**与在 $y$ 处的**横截口**。\n\n类似地，对函数 $f : X \\times Y \\to \\mathbb{C}$ 定义\n\n$$f_x(y) := f^y(x) := f(x, y)$$", "notes": "直观：把平面图形用一根竖线（或横线）切一刀，切出来的那条线段就是截口。\n\n截口是 Fubini 定理的语言：重积分 $\\iint f d(\\mu \\times \\nu)$ 就是「先沿截口积一次，再把各条截口的积分对另一变量积一次」。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.5" ] }, { "id": "prop.section-measurable", "type": "proposition", "label": "截口可测", "title": "命题：可测集的截口可测，可测函数的截口可测", "abstract_en": "Sections of measurable sets are measurable: if $E \\in \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$ then $E_x \\in \\mathcal{N}$ for every $x$ and $E^y \\in \\mathcal{M}$ for every $y$; likewise the sections of an $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$-measurable $f$ are measurable, because $f_x^{-1}(B) = (f^{-1}(B))_x$ and dually. The proof is the standard one: the class of sets all of whose sections are measurable contains every rectangle and is a $\\sigma$-algebra. Note that this holds for every point, whereas Fubini can only promise almost every point once integrability enters.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/prop.section-measurable.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 7, "tags": [ "命题", "截口", "可测" ], "statement": "**(a)** 若 $E \\in \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$，则对一切 $x \\in X$ 有 $E_x \\in \\mathcal{N}$，对一切 $y \\in Y$ 有 $E^y \\in \\mathcal{M}$。\n\n**(b)** 若 $f$ 是 $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$-可测的，则对一切 $x$ 有 $f_x$ 是 $\\mathcal{N}$-可测的，对一切 $y$ 有 $f^y$ 是 $\\mathcal{M}$-可测的。", "notes": "证明是一个「先看矩形、再看 $\\sigma$代数」的标准套路：令\n\n\n\n$$\\mathcal{R} = \\{E \\subseteq X \\times Y : E_x \\in \\mathcal{N}\\text{ 且} E^y \\in \\mathcal{M}\\quad \\forall(x, y)\\}$$\n\n\n\n则 $\\mathcal{R}$ 包含所有矩形，而且**$\\mathcal{R}$ 是一个 $\\sigma$代数**（截口运算保持并、交、补）。于是 $\\mathcal{R} \\supseteq \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$。\n\n(b) 由 (a) 与两条恒等式得到：\n\n\n\n$$f_x^{-1}(B) = (f^{-1}(B))_x, \\quad f^{y-1}(B) = (f^{-1}(B))^y$$\n\n\n\n⚠ 注意 (b) 说的是「**每一个** $x$ 都行」，而 Fubini 定理里只能保证「几乎每一个」—— 那是因为 Fubini 还要它可积。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 2.34" ] }, { "id": "thm.product-measure-sections", "type": "theorem", "label": "乘积测度由截口给出", "title": "定理：$\\mu \\times \\nu(E) = \\int \\nu(E_{x}) d\\mu(x) = \\int \\mu(E^{y}) d\\nu(y)$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 18, "tags": [ "定理", "乘积测度", "截口" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$、$(Y, \\mathcal{N}, \\nu )$ 都是 **$\\sigma$有限**的，$E \\in \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$。则\n\n- $x \\mapsto \\nu(E_x)$ 在 $X$ 上可测；\n- $y \\mapsto \\mu(E^y)$ 在 $Y$ 上可测；\n\n并且\n\n$$\\mu \\times \\nu(E) = \\int_X \\nu(E_x) d\\mu(x) = \\int_Y \\mu(E^y) d\\nu(y)$$", "notes": "这是 Fubini 定理的「集合版本」—— 把函数换成指示函数就是 Fubini。\n\n证明的结构：先设 $\\mu$、$\\nu$ **有限**，令\n\n\n\n$$\\mathcal{C} = \\{E \\in \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N} :\\text{ 上面两条都成立}\\}$$\n\n\n\n- 矩形 $E = A \\times B$：$\\nu(E_x) = \\chi_A(x) \\nu(B)$，立刻成立；\n\n$\\mathcal{C}$ 对**递增并**封闭（用 MCT）；对**递减交**也封闭（用 DCT）；\n\n\n\n于是 $\\mathcal{C}$ 是一个**单调类**，含所有矩形。矩形族生成的代数由矩形构成，再由单调类定理升级到整个 $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$。\n\n最后把「有限」推广到「$\\sigma$有限」：取 $X \\times Y = \\bigcup (X_i \\times Y_i)$，对每个 $E \\cap (X_i \\times Y_i)$ 用已经证好的有限情形，再用 MCT 求和。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.36" ] }, { "id": "thm.fubini-tonelli", "type": "theorem", "label": "Fubini–Tonelli", "title": "Fubini–Tonelli 定理（重积分可交换次序）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 20, "tags": [ "定理", "Fubini", "Tonelli", "重积分" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$、$(Y, \\mathcal{N}, \\nu )$ 是 **$\\sigma$有限**的测度空间。\n\n**(a) Tonelli（非负情形，无附加条件）**：若 $f \\in L^+(X \\times Y)$，则\n\n$$\\int f_x d\\nu \\in L^+(X), \\quad \\int f^y d\\mu \\in L^+(Y)$$\n\n且\n\n$$\\int f d(\\mu \\times \\nu) = \\int_X ( \\int_Y f(x, y) d\\nu(y) ) d\\mu(x) = \\int_Y ( \\int_X f(x, y) d\\mu(x) ) d\\nu(y)$$\n\n**(b) Fubini（可积情形）**：若 $f \\in L^1(\\mu \\times \\nu)$，则\n\n- $f_x \\in L^1(\\nu)$ 对 a.e. x 成立，$f^y \\in L^1(\\mu)$ 对 a.e. y 成立；\n- $\\int f_x d\\nu \\in L^1(\\mu)$、$\\int f^y d\\mu \\in L^1(\\nu)$（都在 a.e. 意义下有定义）；\n- 上面那两个三重等式同样成立。", "notes": "⭐ **Tonelli 不需要任何附加条件**（非负就够了），所以实际使用时通常先拿它「试算」：如果两个累次积分里有一个算出来是有限数，那就说明 $f$ 可积，于是可以放心换序。\n\n**Fubini 则必须假定可积** —— 否则一边是 $\\infty$、一边是 $-\\infty$，换序会出事。\n\n⚠ 反例（不是可积但累次积分不等）：在 $[0,1]^{2}$ 上取 $f(x, y) = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2)^3$ 之类，两个累次积分会互为相反数。\n\n⚠ $\\sigma$有限不能省：在「$\\mathbb{R}$ 上的计数测度 $\\times Lebesgue$ 测度」这种情形下，单调类定理的论证会崩，Fubini 会得出荒谬的结论（对角线上的经典反例）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.37" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem", "mathlib": "https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/MeasureTheory/Integral/Prod.html" } }, { "id": "thm.fubini-complete", "type": "theorem", "label": "完备情形的 F–T", "title": "定理：完备化的乘积测度上，Fubini–Tonelli 仍然成立", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 21, "tags": [ "定理", "Fubini", "完备化" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$、$(Y, \\mathcal{N}, \\nu )$ 都是**完备**的 $\\sigma$有限测度空间，$(X \\times Y, \\mathcal{L}, \\lambda)$ 是\n\n$$(X \\times Y, \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}, \\mu \\times \\nu)$$\n\n的**完备化**。设 $f$ 是 $\\mathcal{L}$可测的。\n\n- 若 $f \\ge 0$ 或 $f \\in L^1(\\lambda)$：$f_x$ 对 a.e. x 是 $\\mathcal{N}$可测的，$f^y$ 对 a.e. y 是 $\\mathcal{M}$可测的；\n- 若 $f \\in L^1(\\lambda)$：$f_x$、$f^y$ 对 a.e. 的 $x$、$y$ 可积；并且 $x \\mapsto \\int f_x d\\nu$、$y \\mapsto \\int f^y d\\mu$ 可测；\n- 此时\n\n$$\\int f d\\lambda = \\int_X ( \\int_Y f d\\nu ) d\\mu = \\int_Y ( \\int_X f d\\mu ) d\\nu$$", "notes": "为什么需要这一条：**$\\mu \\times \\nu$ 通常不完备**（见下一条），所以 Riesz 意义上的「可积函数」往往落在完备化 $\\lambda$ 里，而不是 $\\mathcal{M}\\otimes\\mathcal{N}$ 里。\n\n代价是所有的断言都退化成「**对几乎处处的 x / y**」—— 因为 $\\mathcal{L}$ 里多出来的那些集合只在零集上有区别。\n\n证明的核心：先证 $f \\ge 0$。若 $f = \\chi _E$，$E = F \\cup G$ 其中 $F \\in \\mathcal{M}\\otimes\\mathcal{N}$、$G \\subseteq H$ 且 $\\mu \\times \\nu (H) = 0$，设不交并，则 $f = \\chi _F + \\chi _G$。$\\chi _F$ ✓（归 Fubini–Tonelli），$\\chi _G$ ✓（因为每条截口的测度都是 0）。**应该是核心思想，其余都类似**。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 2.39" ] }, { "id": "prop.product-incomplete", "type": "proposition", "label": "乘积测度通常不完备", "title": "注记：$\\mu$、$\\nu$ 完备时，$\\mu \\times \\nu$ 常常不完备", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.product", "layer": 18, "tags": [ "注记", "完备", "乘积测度" ], "statement": "即使 $\\mu$ 与 $\\nu$ 都**完备**，$\\mu \\times \\nu$ 也**经常是不完备的**：存在 $E \\in \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$ 使 $\\mu \\times \\nu(E) = 0$，但 $E$ 有子集不属于 $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$。", "notes": "这就是为什么必须单独有「完备情形的 $F$–$T$」：实际用的时候（比如 $\\mathbb{R}^{2}$ 上的 Lebesgue 测度）我们手里的往往是**完备化之后**的测度，而不是原始的 $\\mu \\times \\nu$。\n\n⚠ 容易踩的坑：$\\mu$、$\\nu$ 都完备时 $\\mu \\times \\nu$ 仍然可能**不完备**。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §2.5" ] }, { "id": "def.signed-measure", "type": "definition", "label": "符号测度", "title": "符号测度（Signed Measure）", "label_en": "signed measure", "title_en": "Signed Measure", "en_page": "nodes/def.signed-measure.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 15, "tags": [ "定义", "符号测度" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M})$ 是可测空间。$\\nu : \\mathcal{M} \\to [-\\infty, +\\infty]$ 是**符号测度**，当且仅当\n\n- $\\nu(\\emptyset) = 0$；\n- $\\nu$ **至多取到 $\\pm \\infty$ 中的一个**（不能同时取到 $\\infty$ 与 $-\\infty$）；\n- 对两两不交的 $\\{E_j\\} \\subseteq \\mathcal{M}$：\n\n$$\\nu( \\bigsqcup_j E_j ) = \\sum_j \\nu(E_j),\\text{ 且右边的级数绝对收敛}(\\text{当} |\\nu(\\bigsqcup E_j)| < \\infty\\text{ 时})$$", "notes": "⚠ 「至多取到一个无穷」这一条是**必需的**：否则可数可加性会碰上 $\\infty - \\infty$。\n\n**例 1**：$\\mu _{1}$、$\\mu _{2}$ 是测度，其中至少一个有限 $\\implies$ $\\nu = \\mu_1 - \\mu_2$ 是符号测度。\n\n**例 2**：$f : X \\to [-\\infty, +\\infty]$ 可测，且 $\\int f^+ d\\mu$、$\\int f^- d\\mu$ 中至少一个有限 $\\implies$\n\n\n\n$$\\nu(E) := \\int_E f d\\mu$$\n\n\n\n是符号测度。这样的 $f$ 叫**广义可积函数**（extended integrable function）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.1", "Halmos, Measure Theory, §28" ] }, { "id": "def.positive-negative-null", "type": "definition", "label": "正集 / 负集 / 零集", "title": "正集 / 负集 / 零集（Positive, Negative, Null Set）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 16, "tags": [ "定义", "正集", "负集" ], "statement": "设 $\\nu$ 是符号测度，$E \\in \\mathcal{M}$。\n\n$E$ 是**正的**：$\\nu(F) \\ge 0$ 对一切可测 $F \\subseteq E$ 成立；\n$E$ 是**负的**：$\\nu(F) \\le 0$ 对一切可测 $F \\subseteq E$ 成立；\n$E$ 是**零的**：$\\nu(F) = 0$ 对一切可测 $F \\subseteq E$ 成立。", "notes": "⚠ 注意「正集」不是「$\\nu (E) > 0$ 的集合」—— 它要求 **$E$ 的每一个可测子集**都非负。\n\n⚠ 与 $\\mu$零集区分：这里的「零集」是关于符号测度 $\\nu$ 说的（$\\nu(F) = 0$），不是关于测度 $\\mu$ 的。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.1" ] }, { "id": "prop.positive-set-closure", "type": "proposition", "label": "正集的封闭性", "title": "命题：正集的可测子集仍是正集；可数个正集之并仍是正集", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 17, "tags": [ "命题", "正集" ], "statement": "设 $\\nu$ 是符号测度。\n\n- 正集的每个可测子集都是正集；\n- **可数多个正集之并仍是正集**。", "notes": "第一条由定义直接得到。\n\n第二条是 Hahn 分解证明里反复用到的技术步骤：把可数多个正集 $P_1, P_2, \\ldots $ 不交化（$P_j' = P_j \\setminus \\bigcup_{i0 \\exists\\delta>0$ ( $\\mu(E)<\\delta \\implies |\\nu(E)|\\le\\varepsilon$ )", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 17, "tags": [ "定理", "绝对连续", "ε-δ" ], "statement": "设 $\\nu$ 是**有限**符号测度、$\\mu$ 是测度。则\n\n$$\\nu \\ll \\mu \\iff \\forall\\varepsilon > 0, \\exists\\delta > 0 : \\mu(E) < \\delta \\implies |\\nu(E)| \\le \\varepsilon$$", "notes": "把「零集上为零」升级成了定量的「小测度上小值」—— 这正是绝对连续这个名字里「连续」两个字的来源。\n\n⚠ 「$\\nu$ 有限」不能省：否则 $\\delta$ 卡不住（例如 $\\mu = Lebesgue$ 测度、$\\nu(E) = \\int_E 1/x$ 这类）。\n\n（$\\Longleftarrow$）方向很直接：$\\mu (E) = 0$ 时对一切 $\\varepsilon$ 都有 $|\\nu (E)| \\le \\varepsilon$，故 $\\nu (E) = 0$。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 3.5" ] }, { "id": "prop.integral-gives-ac", "type": "proposition", "label": "积分给出绝对连续测度", "title": "命题：$\\nu(E) = \\int_E f d\\mu$ 关于 $\\mu$ 绝对连续", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 20, "tags": [ "命题", "绝对连续", "积分" ], "statement": "设 $\\mu$ 是测度，$f$ 是广义 $\\mu$可积函数，定义\n\n$$\\nu(E) := \\int_E f d\\mu$$\n\n则 $\\nu$ 是符号测度，且 $\\nu \\ll \\mu$。并且\n\n$$\\nu\\text{ 有限} \\iff f \\in L^1(\\mu)$$", "notes": "这是绝对连续测度的**标准来源**，也是 Radon–Nikodym 定理要反过来证明的那件事：**所有**绝对连续的 $\\nu$ 都长这个样子。\n\n记法上常写成微分形式：\n\n\n\n$$\\nu(E) = \\int_E f d\\mu\\quad \\iff\\quad d\\nu = f d\\mu$$", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.2" ] }, { "id": "cor.ac-integral-continuity", "type": "corollary", "label": "积分的绝对连续性", "title": "推论：$\\int_E f d\\mu$ 在小测度集上任意小", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 21, "tags": [ "推论", "绝对连续", "L¹" ], "statement": "设 $f \\in L^1(\\mu)$。则\n\n$$\\forall\\varepsilon > 0, \\exists\\delta > 0 : \\mu(E) < \\delta \\implies | \\int_E f d\\mu | < \\varepsilon$$", "notes": "把「积分给出绝对连续测度」与上一条 $\\varepsilon$–$\\delta$ 刻画拼起来即可（注意 $f \\in L^{1} \\implies \\nu (E) = \\int _E f d\\mu$ 是**有限**符号测度，符合前提）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 3.5" ] }, { "id": "lem.singular-or-lower-bound", "type": "lemma", "label": "要么奇异、要么有下界", "title": "引理：两个有限测度，要么相互奇异，要么在某个正测度集上成比例", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 17, "tags": [ "引理", "奇异", "Hahn 分解" ], "statement": "设 $\\nu$、$\\mu$ 都是**有限**测度。则二者必有一个成立：\n\n- $\\nu \\perp \\mu$；或\n- 存在 $\\varepsilon > 0$ 与 $E \\in \\mathcal{M}$，$\\mu(E) > 0$，使 $\\nu \\ge \\varepsilon \\mu$ 在 $E$ 上成立（即 $\\nu(F) \\ge \\varepsilon \\mu(F)$ 对一切可测 $F \\subseteq E$）。", "notes": "这是 Radon–Nikodym 证明里的**关键一步**：它提供了一个「往下顶」的 $\\varepsilon$，从而可以造出那个上确界函数 $f$。\n\n证明用的手法很典型：对每个 $n$，取 $\\nu - n^{-1} \\mu$ 的一个 Hahn 分解 $X = P_n \\sqcup N_n$。令\n\n\n\n$$P = \\bigcup_n P_n, \\quad N = \\bigcap_n N_n$$\n\n\n\n$N$ 是每个 $\\nu - n^{-1}\\mu$ 的负集，于是 $0 \\le \\nu(N) \\le n^{-1} \\mu(N)$ 对一切 $n$ 成立，令 $n \\to \\infty$ 得 $\\nu (N) = 0$。\n\n于是若 $\\mu (P) = 0$，则 $\\nu \\perp \\mu$（取 $E = P$、$F = N$）；若 $\\mu (P) > 0$，则某个 $n$ 有 $\\mu (P_{n}) > 0$，而 $P_{n}$ 是 $\\nu - n^{-1}\\mu$ 的正集，即 $\\nu \\ge n^{-1} \\mu$ 在 $P_{n}$ 上成立。∎", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Lemma 3.8" ] }, { "id": "thm.lebesgue-radon-nikodym", "type": "theorem", "label": "Lebesgue–Radon–Nikodym 定理", "title": "Lebesgue–Radon–Nikodym 定理：$\\nu = \\lambda + \\rho$，$\\lambda \\perp \\mu$，$\\rho \\ll \\mu$", "label_en": "Radon-Nikodym theorem", "title_en": "Radon-Nikodym theorem", "en_page": "nodes/thm.lebesgue-radon-nikodym.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 21, "tags": [ "定理", "Radon-Nikodym", "Lebesgue 分解" ], "statement": "设 $\\nu$ 是 **$\\sigma$有限**符号测度、$\\mu$ 是 **$\\sigma$有限**正测度，都在 $(X, \\mathcal{M})$ 上。则存在**唯一**的一对 $\\sigma$有限符号测度 $\\lambda$、$\\rho$ 使\n\n$$\\lambda \\perp \\mu, \\quad \\rho \\ll \\mu, \\quad \\nu = \\lambda + \\rho$$\n\n且 $\\rho$ 可以写成积分：存在广义 $\\mu$可积函数 $f$ 使\n\n$$d\\rho = f d\\mu$$\n\n任何两个这样的 $f$ 都在 $\\mu -\\text{a.e.}$ 意义下相等。", "notes": "⭐ 这是整个符号测度理论的**结构定理**：任何 $\\nu$ 都能唯一拆成「与 $\\mu$ 奇异的部分」+「关于 $\\mu$ 绝对连续的部分」。\n\n特别地，**当 $\\nu \\ll \\mu$ 时**，$\\lambda = 0$，于是 $d\\nu = f d\\mu$ —— 这就是通常说的 **Radon–Nikodym 定理**。\n\n⚠ $\\sigma$有限不能省（对 $\\nu$ 和 $\\mu$ 都要）。\n\n证明的三步（下一段箭头里展开）：$I. \\nu$、$\\mu$ 有限；II. 用 $\\sigma$有限切成有限块；$III. \\nu$ 是符号测度时分别对 $\\nu^+, \\nu^-$ 做。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.8" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Radon%E2%80%93Nikodym_theorem" } }, { "id": "def.rn-derivative", "type": "definition", "label": "RN 导数与 Lebesgue 分解", "title": "Radon–Nikodym 导数 $d\\nu/d\\mu$ 与 Lebesgue 分解", "label_en": "Radon-Nikodym derivative", "title_en": "Radon-Nikodym derivative", "en_page": "nodes/def.rn-derivative.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 17, "tags": [ "定义", "RN 导数", "Lebesgue 分解" ], "statement": "设 $\\nu \\ll \\mu$（都是 $\\sigma$有限的）。取定理里的 $f$，称\n\n$$f = \\frac{d\\nu}{d\\mu}$$\n\n为 $\\nu$ 关于 $\\mu$ 的 **Radon–Nikodym 导数**（注意它定义在「$\\mu$本质相同的函数类」上，不是单个函数）。\n\n一般的分解 $\\nu = \\lambda + \\rho$（$\\lambda \\perp \\mu$，$\\rho \\ll \\mu$）称为 $\\nu$ 关于 $\\mu$ 的 **Lebesgue 分解**。", "notes": "记号的用意：$d\\nu = f d\\mu$ 看起来就像两个「微分」的商。\n\n⚠ 「$\\mu$本质相同」$= \\mu -\\text{a.e.}$ 相等 —— 这是 RN 导数唯一的**唯一性**内容：它不是一个函数，而是一个等价类。\n\n术语提醒：「Lebesgue 分解」这个名字在两个地方出现 —— 这里指的是 $\\nu$ 拆成奇异部分 + 绝对连续部分。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.2" ] }, { "id": "prop.rn-chain-rule", "type": "proposition", "label": "RN 导数的链式法则", "title": "命题：RN 导数的换元公式与链式法则", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 21, "tags": [ "命题", "RN 导数", "链式法则" ], "statement": "设 $\\nu$ 是 $\\sigma$有限符号测度、$\\mu$ 与 $\\lambda$ 是 $\\sigma$有限测度，且\n\n$$\\nu \\ll \\mu, \\quad \\mu \\ll \\lambda$$\n\n**(a)** 若 $g \\in L^1(\\nu)$，则 $g \\frac{d\\nu}{d\\mu} \\in L^1(\\mu)$，且\n\n$$\\int g d\\nu = \\int g \\frac{d\\nu}{d\\mu} d\\mu$$\n\n**(b)** 此时 $\\nu \\ll \\lambda$，且**链式法则**成立：\n\n$$\\frac{d\\nu}{d\\lambda} = \\frac{d\\nu}{d\\mu} \\cdot \\frac{d\\mu}{d\\lambda}\\quad (\\lambda-\\text{a.e.})$$", "notes": "(a) 就是「换元公式」：把对 $\\nu$ 的积分换成对 $\\mu$ 的积分，代价是乘上 RN 导数。它对指示函数成立、于是对简单函数成立、再用单调收敛到 $L^{+}$、最后到 $L^{1}(\\nu )$。\n\n(b) 的证明用 (a)：对任意可测 $E$，\n\n\n\n$$\\nu(E) = \\int_E \\frac{d\\nu}{d\\mu} d\\mu = \\int_E \\frac{d\\nu}{d\\mu} \\cdot \\frac{d\\mu}{d\\lambda} d\\lambda$$\n\n\n\n两边对照 $\\nu(E) = \\int_E \\frac{d\\nu}{d\\lambda} d\\lambda$ 即得（「用积分识别函数」那条命题正是用来做这一步的）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.9" ] }, { "id": "cor.rn-inverse", "type": "corollary", "label": "互为绝对连续时导数互逆", "title": "推论：$\\mu \\ll \\lambda$ 且 $\\lambda \\ll \\mu \\implies (d\\mu/d\\lambda)(d\\lambda/d\\mu) = 1$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 18, "tags": [ "推论", "RN 导数" ], "statement": "若 $\\mu \\ll \\lambda$ 且 $\\lambda \\ll \\mu$（两个 $\\sigma$有限测度互为绝对连续），则\n\n$$\\frac{d\\mu}{d\\lambda} \\cdot \\frac{d\\lambda}{d\\mu} = 1\\quad \\text{a.e.}$$", "notes": "**证明。** $\\mu \\ll \\lambda$ 且 $\\lambda \\ll \\mu$ 时，Radon–Nikodym 导数满足**链式法则**（乘法性）：若 $\\nu \\ll \\mu \\ll \\rho$，则 $\\frac{d\\nu}{d\\rho} = \\frac{d\\nu}{d\\mu}\\cdot\\frac{d\\mu}{d\\rho}$ $\\rho$-a.e. ✓。把它用在 $\\nu = \\mu = \\rho$ 上：\n$$\\frac{d\\mu}{d\\lambda}\\cdot\\frac{d\\lambda}{d\\mu} = \\frac{d\\mu}{d\\mu} = 1 \\quad \\text{a.e.},$$\n最后一步是因为 $d\\mu = 1 \\cdot d\\mu$，而密度在 a.e. 意义下唯一 ✓。∎\n\n两条链式法则一拼：$d\\mu / d\\mu = \\frac{d\\mu}{d\\lambda}\\cdot\\frac{d\\lambda}{d\\mu}$，而 $d\\mu / d\\mu \\equiv 1$。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.9" ] }, { "id": "def.complex-measure", "type": "definition", "label": "复测度", "title": "复测度（Complex Measure）", "label_en": "complex measure", "title_en": "Complex Measure", "abstract_en": "A complex measure on a measurable space $(X, \\mathcal{M})$ is a map $\\nu : \\mathcal{M} \\to \\mathbb{C}$ with $\\nu(\\emptyset) = 0$ and $\\nu(\\bigsqcup_j E_j) = \\sum_j \\nu(E_j)$ for pairwise disjoint families, the series converging absolutely. Unlike signed measures, complex measures are automatically finite and that series is automatically absolutely convergent, so questions of finiteness and rearrangement never arise — at the cost of losing examples with infinite mass.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/def.complex-measure.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 16, "tags": [ "定义", "复测度" ], "statement": "可测空间 $(X, \\mathcal{M})$ 上的**复测度**是一个映射\n\n$$\\nu : \\mathcal{M} \\to \\mathbb{C}$$\n\n满足\n\n$$\\nu(\\emptyset) = 0, $$\n\n且对两两不交的 $\\{E_j\\} \\subseteq \\mathcal{M}$：\n\n$$\\nu( \\bigsqcup_j E_j ) = \\sum_j \\nu(E_j),\\text{ 右边的级数绝对收敛}$$", "notes": "⚠ 与符号测度相比，复测度**自动有限**（取值在 $\\mathbb{C}$ 里，不涉及 $\\pm \\infty$），而且可数可加性里的那个级数**自动绝对收敛**。\n\n所以在复测度的世界里，「有限性」「重排问题」这些麻烦全部消失 —— 代价是不能再有「无穷质量」的例子。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.3" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_measure" } }, { "id": "thm.rn-complex", "type": "theorem", "label": "复测度的 Radon–Nikodym", "title": "定理：复测度的 $\\nu = \\lambda + f d\\mu$ 分解", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 20, "tags": [ "定理", "Radon-Nikodym", "复测度" ], "statement": "设 $\\nu$ 是复测度、$\\mu$ 是 **$\\sigma$有限**测度。则存在复测度 $\\lambda$ 与 $f \\in L^1(\\mu)$ 使\n\n$$d\\nu = d\\lambda + f d\\mu, \\quad \\lambda \\perp \\mu, $$\n\n且在 a.e. 意义下唯一。", "notes": "**证明（把复情形拆回已经证过的实情形）。**\n- **拆复测度**：$\\nu = \\nu_{1} + i\\nu_{2}$，$\\nu_{1}, \\nu_{2}$ 是**有限**符号测度（$\\nu$ 有限 $\\implies$ 其实部虚部有限）✓；\n- **符号测度**：对有限符号测度 $\\rho$ 与 $\\sigma$ 有限测度 $\\mu$，先用 Hahn 分解写 $\\rho = \\rho^{+} - \\rho^{-}$，对两个有限正测度各用一次 Radon–Nikodym：$d\\rho^{\\pm} = h^{\\pm}\\,\\mathrm{d}\\mu + d\\rho^{\\pm}_{s}$（$\\rho^{\\pm}_{s} \\perp \\mu$，$h^{\\pm} \\in L^{1}(\\mu)$）✓；\n- **拼起来**：令 $f := (h_{1}^{+} - h_{1}^{-}) + i(h_{2}^{+} - h_{2}^{-}) \\in L^{1}(\\mu)$、$\\lambda := (\\rho_{1,a} - \\rho_{1,s}) + i(\\cdots)$ 的奇异部分之和，则 $d\\nu = d\\lambda + f\\,\\mathrm{d}\\mu$、$\\lambda \\perp \\mu$ ✓；\n- **唯一性**：若 $d\\lambda + f\\,\\mathrm{d}\\mu = d\\lambda' + f'\\,\\mathrm{d}\\mu$，与 $\\mu$ 取 Lebesgue 分解比奇异部分得 $\\lambda = \\lambda'$；比绝对连续部分并用密度 a.e. 唯一得 $f = f'$ a.e. ✓。∎\n⚠️ 这里 $f \\in L^{1}(\\mu)$（真正可积）而不是「广义可积」，因为复测度**有限**。\n\n复测度可以拆成实部与虚部、各自再用符号测度的版本 —— 这是把上一套结论搬到复情形的标准做法。\n\n⚠ 这里 $f \\in L^1(\\mu)$ 而不再是「广义可积」：因为复测度有限，$f$ 必须真可积。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.11" ] }, { "id": "prop.total-variation-basics", "type": "proposition", "label": "全变差的基本性质", "title": "命题：$|\\nu(E)| \\le |\\nu|(E)$，且 $d|\\nu| = |f| d\\mu$", "label_en": "total variation", "title_en": "total variation", "en_page": "nodes/prop.total-variation-basics.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.signed", "layer": 17, "tags": [ "命题", "全变差", "复测度" ], "statement": "设 $\\nu$ 是复测度（或符号测度），$|\\nu|$ 是它的全变差。则\n\n**(a)** $|\\nu(E)| \\le |\\nu|(E)$ 对一切 $E \\in \\mathcal{M}$ 成立；\n\n**(b)** 若 $d\\nu = f d\\mu$（即 $\\nu \\ll \\mu$）则 $d|\\nu| = |f| d\\mu$，即\n\n$$|\\nu|(E) = \\int_E |f| d\\mu$$", "notes": "**证明。** 记 $|\\nu|(E) := \\sup\\bigl\\{\\sum_{j}|\\nu(E_{j})| : E = \\bigsqcup_{j} E_{j} \\text{ 可数划分} \\bigr\\}$。\n**(a)** 对任意划分，由三角不等式\n$$|\\nu(E)| = \\Bigl|\\sum_{j}\\nu(E_{j})\\Bigr| \\le \\sum_{j}|\\nu(E_{j})|,$$\n对一切划分取上确界得 $|\\nu(E)| \\le |\\nu|(E)$ ✓。\n**(b)** 设 $d\\nu = f\\,\\mathrm{d}\\mu$。\n- **上界**：对任意划分\n$$\\sum_{j}|\\nu(E_{j})| = \\sum_{j}\\Bigl|\\int_{E_{j}} f\\,\\mathrm{d}\\mu\\Bigr| \\le \\sum_{j}\\int_{E_{j}}|f|\\,\\mathrm{d}\\mu = \\int_{E}|f|\\,\\mathrm{d}\\mu,$$\n取上确界得 $|\\nu|(E) \\le \\int_{E}|f|\\,\\mathrm{d}\\mu$ ✓；\n- **下界**：取只由 $E \\cap \\{f \\ge 0\\}$ 与 $E \\cap \\{f < 0\\}$ 组成的划分，此时 $\\sum_{j}|\\nu(E_{j})| = \\int_{E}|f|\\,\\mathrm{d}\\mu$，故上确界 $\\ge$ 它 ✓；\n两边合起来：$|\\nu|(E) = \\int_{E}|f|\\,\\mathrm{d}\\mu$，即 $d|\\nu| = |f|\\,\\mathrm{d}\\mu$ ✓。\n**不同表示的一致性**：若同时有 $d\\nu = f_{1}d\\mu_{1} = f_{2}d\\mu_{2}$，取公共基准 $\\rho := |\\nu| + \\mu_{1} + \\mu_{2}$，把两边都用链式法则换到 $\\rho$ 上，再用上式的上确界论证即得 $|f_{1}|\\frac{d\\mu_{1}}{d\\rho} = |f_{2}|\\frac{d\\mu_{2}}{d\\rho}$ $\\rho$-a.e. ✓。∎\n\n(b) 的证法：先取 $\\rho = |\\nu_1| + |\\nu_2|$ 把 $\\nu$ 的两个不同表示拉到一个共同的「基准测度」上，再用 Radon–Nikodym 与链式法则把两个密度都换到 $\\rho$ 上。于是要证的就是\n\n\n\n$$|f_1| \\frac{d\\mu_1}{d\\rho} = |f_2| \\frac{d\\mu_2}{d\\rho}\\quad \\rho-\\text{a.e.}$$\n\n\n\n从而 $|f_1| d\\mu_1 = |f_2| d\\mu_2$ —— 说明全变差的密度与「用哪个 $\\mu$ 表示 $\\nu$」无关。\n\n由此也得到一个实用的直觉：**全变差就是「把质量取绝对值之后再测一遍」**。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.3", "Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 6" ] }, { "id": "prop.L1-signed", "type": "proposition", "label": "L¹(ν) 与全变差", "title": "命题：符号测度的 $L^{1}(\\nu) = L^{1}(|\\nu|)$，以及几条基本不等式", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 20, "tags": [ "命题", "L¹", "全变差" ], "statement": "设 $\\nu$ 是符号测度或复测度。\n\n**(a)** $\\nu \\ll |\\nu|$，并且\n\n$$| d\\nu / d|\\nu| | = 1\\quad |\\nu|-\\text{a.e.}$$\n\n**(b)** 定义 $L^1(\\nu) := L^1(|\\nu|)$。若 $f \\in L^1(\\nu)$，则\n\n$$| \\int f d\\nu | \\le \\int |f| d|\\nu|$$\n\n**(c)** $|\\nu_1 + \\nu_2| \\le |\\nu_1| + |\\nu_2|$（即全变差满足三角不等式）。", "notes": "**证明。**\n**(a)** 因为 $|\\nu|(E) = 0 \\implies \\nu(E) = 0$（由 (a) 式 $|\\nu(E)| \\le |\\nu|(E)$），所以 $\\nu \\ll |\\nu|$，由 Radon–Nikodym 取 $g := \\frac{d\\nu}{d|\\nu|}$ ✓。再把上面那条 $(b)$ 用在 $\\mu := |\\nu|$ 上：$d|\\nu| = |g|\\,\\mathrm{d}|\\nu|$，而有限测度对自己的导数恒为 $1$，故 $|g| = 1$ 于 $|\\nu|$-a.e. ✓。\n**(b)** 定义 $L^{1}(\\nu) := L^{1}(|\\nu|)$（右边是普通 $L^{1}$ 空间）。对 $f \\in L^{1}(\\nu)$，$\\int f\\,\\mathrm{d}\\nu = \\int f g\\,\\mathrm{d}|\\nu|$，于是\n$$\\Bigl|\\int f\\,\\mathrm{d}\\nu\\Bigr| = \\Bigl|\\int fg\\,\\mathrm{d}|\\nu|\\Bigr| \\le \\int|fg|\\,\\mathrm{d}|\\nu| = \\int|f|\\,\\mathrm{d}|\\nu|$$\n（中间用积分的绝对值不等式，最后一步用 $|g| = 1$）✓。\n**(c)** 取公共基准 $\\rho := |\\nu_{1}| + |\\nu_{2}|$，写 $d\\nu_{k} = f_{k}\\,\\mathrm{d}\\rho$（$|f_{k}| = \\frac{d|\\nu_{k}|}{d\\rho}$）。由 (a)：\n$$|\\nu_{1}+\\nu_{2}|(E) = \\int_{E}|f_{1}+f_{2}|\\,\\mathrm{d}\\rho \\le \\int_{E}|f_{1}|\\,\\mathrm{d}\\rho + \\int_{E}|f_{2}|\\,\\mathrm{d}\\rho = |\\nu_{1}|(E) + |\\nu_{2}|(E) \\;✓$$\n即全变差满足**三角不等式**，于是 $\\nu \\mapsto |\\nu|(X)$ 是测度空间上的**范数** ✓。∎\n\n(a) 的来源：$d\\nu = g\\cdot d|\\nu|$ 对某个 $g$ 成立（Radon–Nikodym），且 $|g| = 1 \\text{a.e.}$ —— 因为全变差本来就是「把质量取绝对值」得到的。\n\n(b) 说明**积分理论对符号测度不需要重写**：把 $|\\nu |$ 当作底层的真测度，一切照旧。\n\n(c) 让「全变差」成为一个范数，这正是把测度空间看作 Banach 空间的起点。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.3" ] }, { "id": "lem.covering", "type": "lemma", "label": "覆盖引理", "title": "覆盖引理：开球族里能挑出不交子族，三倍膨胀仍覆盖", "label_en": "covering lemma", "title_en": "covering lemma", "en_page": "nodes/lem.covering.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 15, "tags": [ "引理", "覆盖", "Vitali" ], "statement": "设 $\\mathcal{E}$ 是一族 $\\mathbb{R}^{n}$ 中的开球，$U = \\bigcup\\mathcal{E}$。若 $c < m(U)$，则存在 $\\mathcal{E}$ 中**两两不交**的球 $B_1, \\ldots , B_k$ 使\n\n$$\\sum_{j=1}^{k} m(B_j) > 3^{-n} c$$", "notes": "这是 **Vitali 型覆盖引理**的核心估计，极大定理全靠它。\n\n证明的挑法：先取**半径最大**的球 $B_1$；再取与 $B_1$ 不交的、半径最大的球 $B_2$；依此类推。\n\n为什么这样挑就够了：若某个 $A_i \\in \\mathcal{E}$ 没被取到，则必有某个 $B_j$ 与它相交 —— 取**下标最小**的那个 $B_j$。由挑选规则，$A_i$ 的半径不超过 $B_j$ 的半径（否则取 $B_j$ 时就会取到 $A_i$ 了）。把 $B_j$ 的半径放大 3 倍，就有 $A_i \\subseteq 3B_j$，于是 $K \\subseteq \\bigcup_j 3B_j$。\n\n剩下的就是计数：\n\n\n\n$$c < m(K) \\le 3^n \\sum_j m(B_j)\\quad \\implies\\quad \\sum_j m(B_j) > 3^{-n} c$$\n\n\n\n⚠ 注意膨胀因子是 **$3^{n}$**（而不是 $2^{n}$）—— 这正是因为「半径不超过」是弱不等式，需要一点余量。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Lemma 3.15" ] }, { "id": "def.locally-integrable", "type": "definition", "label": "局部可积", "title": "局部可积函数 $L^{1}_{\\text{loc}}$", "label_en": "locally integrable", "title_en": "locally integrable", "en_page": "nodes/def.locally-integrable.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 20, "tags": [ "定义", "局部可积" ], "statement": "可测函数 $f : \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{C}$ 是**局部可积的**，当且仅当\n\n$$\\int_K |f(x)| dx < \\infty\\quad \\text{ 对每个有界可测集} K \\subseteq \\mathbb{R}^n$$\n\n局部可积函数全体记作 $L^1_{loc}$（或 $L^1_{loc}(\\mathbb{R}^n)$）。", "notes": "直觉：$f$ 可能「在无穷远处爆掉」，但在每个有限范围里都还好。\n\n例：常函数 1 属于 $L^{1}_{l}oc$ 但不属于 $L^{1}(\\mathbb{R}^{n})$；$1/|x|$ 在 $\\mathbb{R}^{n}$ 上属于 $L^{1}_{l}oc$（$n \\ge 2$ 时不属于 $L^{1}$）。\n\n⚠ 微分理论里必须是 $L^{1}_{l}oc$ 而不是 $L^{1}$：因为讨论的是**逐点**行为，而局部信息就够。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.4" ] }, { "id": "def.average-operator", "type": "definition", "label": "平均算子 Aᵣ", "title": "平均算子（Averaging Operator $A_{r} f$）", "label_en": "average operator", "title_en": "average operator", "en_page": "nodes/def.average-operator.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 21, "tags": [ "定义", "平均算子" ], "statement": "设 $f \\in L^1_{loc}$，$x \\in \\mathbb{R}^n$，$r > 0$。定义\n\n$$A_r f(x) := \\frac{1}{m(B(r, x))} \\int_{B(r, x)} f(y) dy$$\n\n即 $f$ 在以 $x$ 为心、$r$ 为半径的球上的**平均值**。", "notes": "这是「把函数抹平」的算子：$A_r f$ 是 $f$ 的连续化版本（见下一条），$r \\to 0$ 时应当回到 $f$ 本身 —— 而那正是 Lebesgue 微分定理要说的事。\n\n⚠ 注意积分是**对 Lebesgue 测度 $m$** 取的，跟这一段的符号测度 $\\nu$ 无关。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.4" ] }, { "id": "lem.average-continuous", "type": "lemma", "label": "平均算子联合连续", "title": "引理：$A_{r} f(x)$ 关于 (r, x) 联合连续", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 22, "tags": [ "引理", "连续", "DCT" ], "statement": "设 $f \\in L^1_{loc}$。则 $A_r f(x)$ 作为 $(r, x)$ 的函数是**联合连续**的。", "notes": "证明的骨架：把积分写成\n\n\n\n$$\\int_{B(r, x)} f(y) dy = \\int_{\\mathbb{R}^n} \\chi_{B(r, x)}(y) f(y) dy$$\n\n\n\n于是只需证 $\\chi_{B(r,x)} \\to \\chi_{B(r_0,x_0)}$（当 $(r,x) \\to (r_0,x_0)$）在足够好的意义上成立，再用 DCT。\n\n分两块看（取目标点 $(r_0, x_0)$）：\n\n\n\n$\\cdot$ 若 $y$ 在球内：$\\varepsilon := r_0 - |y - x_0| > 0$；当 $|x - x_0| < \\varepsilon/2$ 且 $|r - r_0| < \\varepsilon/2$ 时 $|y - x| < r$，故 $\\chi = 1$；\n\n$\\cdot$ 若 $y$ 在球外：$\\varepsilon := |y - x_0| - r_0 > 0$；同样的小扰动下 $|y - x| > r$，故 $\\chi = 0$。\n\n\n\n两边合起来说明：对**几乎处处的** $y$（只排除球面），特征函数最终稳定 —— 即逐点收敛 a.e.。\n\n控制函数取 $\\chi_{B(r_0+1, x_0)}(y)\\cdot|f(y)| \\in L^1$，由 **DCT** 得连续性。∎", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Lemma 3.16" ] }, { "id": "def.maximal-function", "type": "definition", "label": "极大函数", "title": "Hardy–Littlewood 极大函数 Hf", "label_en": "maximal function", "title_en": "maximal function", "en_page": "nodes/def.maximal-function.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 22, "tags": [ "定义", "极大函数", "Hardy-Littlewood" ], "statement": "设 $f \\in L^1_{loc}$。定义\n\n$$Hf(x) := \\sup_{r > 0} \\frac{1}{m(B(r, x))} \\int_{B(r, x)} |f(y)| dy = \\sup_{r > 0} A_r |f|(x)$$\n\n称为 $f$ 的 **Hardy–Littlewood 极大函数**。", "notes": "直觉：$Hf(x)$ 是「$f$ 在 $x$ 附近所有尺度上的平均值里最大的那个」。\n\n它当然比 $f$ 大（$Hf \\ge |f|$ a.e.，因为可以取 $r \\to 0$），但好处是它**可测**：对每个固定的 $r$，$x \\mapsto A_r|f|(x)$ 可测（由联合连续性更强），而可数个可测函数的上确界仍可测。\n\n⭐ 极大函数是微分理论里的「万能控制函数」：它把一个逐点问题化归成一个关于测度的估计问题，而那个估计就是下一条的极大不等式。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.4" ] }, { "id": "thm.maximal-theorem", "type": "theorem", "label": "极大定理", "title": "极大定理（弱 (1,1) 不等式）", "label_en": "maximal theorem", "title_en": "maximal theorem", "en_page": "nodes/thm.maximal-theorem.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 23, "tags": [ "定理", "极大不等式", "弱型" ], "statement": "存在常数 $C > 0$（只依赖维数 $n$），使对一切 $f \\in L^1$ 与一切 $\\alpha > 0$：\n\n$$m(\\{x : Hf(x) > \\alpha\\}) \\le (C/\\alpha)\\cdot\\int |f(x)| dx$$", "notes": "这叫**弱 (1,1) 型**不等式：不能保证 $Hf \\in L^1$（事实上一般不是），但能保证它的**分布函数**被 $1/\\alpha$ 控制。\n\n在 $\\mathbb{R}^{n}$ 里 $C = 3^n$（这正是覆盖引理里那个膨胀因子）。\n\n⭐ 它的角色：**「平均值的例外集是小的」** —— 于是一切逐点收敛问题都可以用「例外集测度 $\\to 0$」来解决。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.17" ] }, { "id": "thm.lebesgue-differentiation", "type": "theorem", "label": "Lebesgue 微分定理", "title": "Lebesgue 微分定理：$A_{r} f(x) \\to f(x) \\text{a.e.}$", "label_en": "differentiation theorem", "title_en": "differentiation theorem", "en_page": "nodes/thm.lebesgue-differentiation.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 24, "tags": [ "定理", "Lebesgue 微分", "a.e." ], "statement": "设 $f \\in L^1_{loc}$。则\n\n$$\\lim_{r\\to0} A_r f(x) = f(x)\\quad \\text{ 对} \\text{a.e.} x \\in \\mathbb{R}^n$$", "notes": "⭐ 一句话：**可积函数几乎处处等于自己局部平均值的极限**。\n\n这也是「Lebesgue 积分比 Riemann 积分好」最直观的一条：Riemann 可积函数的连续性几乎处处成立，而这里连「连续」都不需要。\n\n证明的三段（下一条箭头里展开）：先用连续函数逼近 $\\to$ 再用极大定理把「坏集」压成零测。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.18" ] }, { "id": "def.lebesgue-set", "type": "definition", "label": "Lebesgue 集", "title": "Lebesgue 集 $L_f$", "label_en": "Lebesgue point", "title_en": "Lebesgue point", "en_page": "nodes/def.lebesgue-set.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 22, "tags": [ "定义", "Lebesgue 集" ], "statement": "设 $f \\in L^1_{loc}$。定义\n\n$$L_f := \\{ x : \\lim_{r\\to0} \\frac{1}{m(B(r, x))} \\int_{B(r, x)} |f(y) - f(x)| dy = 0 \\}$$\n\n称为 $f$ 的 **Lebesgue 集**。", "notes": "⚠ 注意定义里积的是 $|f(y) - f(x)|$（与 $f$ 在该点的值比较），不是 $|f(y)|$。\n\n这么定义是为了让「可缩族」版本（下一条定理）能直接用 —— 那里需要的是**局部一致逼近**，而不是简单的平均值收敛。\n\n$x \\in L_f$ 常被说成「$x$ 是 $f$ 的 Lebesgue 点」。直觉：在这个点附近，$f$ 的振荡在平均意义下趋于 0。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.4" ] }, { "id": "thm.lebesgue-set-full", "type": "theorem", "label": "Lebesgue 集几乎处处", "title": "定理：$f \\in L^{1}_{\\text{loc}} \\implies m(L_f^{c}) = 0$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 25, "tags": [ "定理", "Lebesgue 集" ], "statement": "若 $f \\in L^1_{loc}$，则\n\n$$m(L_f^c) = 0$$\n\n即：**几乎每个点都是 Lebesgue 点**。", "notes": "证明的思路很巧：对每个复数 $c$，把微分定理用在函数 $|f(x) - c|$ 上，得到「除一个零集 $E_c$ 外，$\\lim_{1/m(B)}\\int|f(y) - c|dy = |f(x) - c|$」。\n\n然后取 **$\\mathbb{C}$ 的一个可数稠密子集 $D$**，令 $E = \\bigcup_{c \\in D} E_c$（可数并仍是零集）。对 $x \\notin E$ 与任意 $\\varepsilon > 0$，取 $c \\in D$ 使 $|f(x) - c| < \\varepsilon$，于是\n\n\n\n$$\\lim_{r\\to0} \\frac{1}{m(B(r,x))} \\int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy \\le |f(x) - c| + \\varepsilon < 2\\varepsilon$$\n\n\n\n令 $\\varepsilon \\to 0$ 即得。∎\n\n⭐ 「取一个可数稠密子集」这一步是可数性技巧的典型用法：把不可数多个条件化归成可数多个零集之并。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.20" ] }, { "id": "def.shrinks-nicely", "type": "definition", "label": "可缩族", "title": "可缩地趋于 x（Shrinks Nicely）", "label_en": "shrinking", "title_en": "shrinking", "abstract_en": "A family $\\{E_r\\}_{r > 0}$ of Borel subsets of $\\mathbb{R}^n$ shrinks nicely to $x$ when $E_r \\subseteq B(r,x)$ for every $r$ and there is $\\alpha > 0$ with $m(E_r) > \\alpha \\cdot m(B(r,x))$ for all $r$. The two conditions say \"fits inside the ball\" and \"is not too thin\". Balls themselves qualify, as does any fixed shape rescaled inside them; a thin sliver does not. The notion exists so that differentiation theorems do not depend on the shape of the sets being shrunk.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/def.shrinks-nicely.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 15, "tags": [ "定义", "可缩族" ], "statement": "$\\mathbb{R}^n$ 的一族 Borel 子集 $\\{E_r\\}_{r > 0}$ 叫**可缩地趋于 $x$**，当且仅当\n\n$\\cdot$ $E_r \\subseteq B(r, x)$ 对每个 $r$ 成立；\n$\\cdot$ 存在 $\\alpha > 0$，使 $m(E_r) > \\alpha\\cdot m(B(r, x))$ 对一切 $r$ 成立。", "notes": "两个条件的含义：**装得进去**（$E_r$ 在球里）、**不能太瘪**（体积至少是球的 $\\alpha$ 倍）。\n\n典型例子：取 $E_r = B(r, x)$ 本身（$\\alpha = 1$）；或取 $E_r$ 为球内某个固定形状（如立方体）按比例缩放。\n\n反例：$E_r$ 取成球内一条细长的薄片 —— 体积比可以趋于 0，这样的族就不是「可缩地」趋于 $x$。\n\n⭐ 引入这个概念是为了让微分定理**不依赖球的形状**：只要不瘪，结论照旧。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.4" ] }, { "id": "thm.differentiation-general", "type": "theorem", "label": "可缩族的微分定理", "title": "定理：对可缩族，Lebesgue 微分定理仍然成立", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 26, "tags": [ "定理", "微分", "可缩族" ], "statement": "设 $f \\in L^1_{loc}$，$x \\in L_f$。则对**每一个**可缩地趋于 $x$ 的族 $\\{E_r\\}_{r>0}$：\n\n$$\\lim_{r\\to0} \\frac{1}{m(E_r)} \\int_{E_r} |f(y) - f(x)| dy = 0, $$\n$$\\lim_{r\\to0} \\frac{1}{m(E_r)} \\int_{E_r} f(y) dy = f(x)$$", "notes": "证明是一行估计：由 $E_r \\subseteq B(r,x)$ 与 $m(E_r) > \\alpha m(B(r,x))$，\n\n\n\n$$\\frac{1}{m(E_r)} \\int_{E_r} |f - f(x)| \\le \\frac{1}{m(E_r)} \\int_{B(r,x)} |f - f(x)| \\le (1/\\alpha)\\cdot m(B(r,x)) \\int_{B(r,x)} |f - f(x)|$$\n\n\n\n而最右边由「$x \\in L_f$」趋于 0。∎\n\n⭐ 全部难度都在把 L_f 的定义选对（用 $|f(y) - f(x)|$ 而不是 $|f(y)|$）—— 选对之后这一步就是白送的。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.21" ] }, { "id": "def.regular-measure", "type": "definition", "label": "正则 Borel 测度", "title": "正则 Borel 测度（Regular Borel Measure）", "label_en": "regular measure", "title_en": "regular measure", "en_page": "nodes/def.regular-measure.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 17, "tags": [ "定义", "正则", "Borel 测度" ], "statement": "$\\mathbb{R}^{n}$ 上的 Borel 测度 $\\nu$ 是**正则的**，当且仅当\n\n$\\cdot$ $\\nu(K) < \\infty$ 对每个紧集 $K$ 成立；\n$\\cdot$ $\\nu(E) = \\inf\\{ \\nu(U) : U\\text{ 开}, E \\subseteq U \\}$ 对每个 $E \\in \\mathfrak{B}_{\\mathbb{R}^n}$ 成立（**外正则**）。\n\n符号测度或复测度 $\\nu$ 叫正则 $\\iff$ $|\\nu|$ 正则。", "notes": "第二条是「从外面用开集逼近」。在 $\\mathbb{R}^{n}$ 上它其实由第一条推出。\n\n**每个正则测度都是 $\\sigma$有限的**（用紧集的可数覆盖）。\n\n$f \\in L^+(\\mathbb{R}^n)$ 时，$f\\cdot dm$ 正则 $\\iff$ $f \\in L^1_{loc}$ —— 这条把「正则」与「局部可积」接了起来。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §7.2" ] }, { "id": "thm.rn-pointwise", "type": "theorem", "label": "RN 导数的点态公式", "title": "定理：$\\nu(E_{r})/m(E_{r}) \\to f(x) \\text{a.e.}$，其中 $d\\nu = d\\lambda + f dm$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.differentiation", "layer": 27, "tags": [ "定理", "RN 导数", "点态", "正则" ], "statement": "设 $\\nu$ 是 $\\mathbb{R}^{n}$ 上的**正则**符号/复 Borel 测度，$d\\nu = d\\lambda + f\\cdot dm$ 是它关于 Lebesgue 测度 $m$ 的 Lebesgue–Radon–Nikodym 表示。则对 **m-a.e.** 的 $x \\in \\mathbb{R}^n$，\n\n$$\\lim_{r\\to0} \\nu(E_r) / m(E_r) = f(x)$$\n\n对**每一个**可缩地趋于 $x$ 的族 $\\{E_r\\}_{r>0}$ 成立。", "notes": "⭐ 这条定理把 Radon–Nikodym 导数从「抽象的存在物」变成了**可以逐点算出来的极限**：\n\n\n\n$$f(x) = \\lim_{r\\to0} \\nu(B(r, x)) / m(B(r, x))$$\n\n\n\n这正是微积分里「密度 $=$ 质量 / 体积」的严格版本，也是「RN 导数是导数的推广」这一说法的根据。\n\n证明的思路：先验证 $d|\\nu| = d|\\lambda| + |f| dm$，于是 $\\lambda$ 与 f dm 都正则、特别地 $f \\in L^1_{loc}$；把比值拆成\n\n\n\n$$\\nu(E_r) / m(E_r) = \\lambda(E_r) / m(E_r) + \\frac{1}{m(E_r)} \\int_{E_r} f\\cdot dm$$\n\n\n\n第二项由微分定理趋于 f(x)。第一项要证它是 0，用一个「分块 + 覆盖引理 $\\lambda (A) = m(A^{c}) = 0$」的论证把坏集压成零测。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.22" ] }, { "id": "thm.monotone-differentiable", "type": "theorem", "label": "单调函数几乎处处可导", "title": "定理：单调函数几乎处处可导，且不连续点可数", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 17, "tags": [ "定理", "单调函数", "可导" ], "statement": "设 $F : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ 递增，$G(x) := F(x+)$（右极限）。则\n\n**(a)** $F$ 的不连续点至多可数；\n\n**(b)** $F$ 与 $G$ 都 **a.e. 可导**，且\n\n$$F' = G'\\quad \\text{a.e.}$$", "notes": "(a)：每个不连续点 $x$ 对应一个「跳跃区间」$(F(x-), F(x+))$，这些区间两两不交；每个区间里取一个有理数，得到一个到 $\\mathbb{Q}$ 的单射。故不连续点至多可数。\n\n(b) 的路线很漂亮：$G$ 右连续递增，于是它诱导一个正则 Borel 测度 $\\mu _G$。对 $h > 0$ 有\n\n\n\n$$G(x+h) - G(x) = \\mu_G((x, x+h])$$\n\n\n\n于是差商恰好是 $\\mu_G(E_h)/m(E_h)$ —— 其中 $E_h = (x, x+h]$ 是一个**可缩族**。由 RN 导数的点态公式（见「$\\mathbb{R}^{n}$ 上的微分」），这个比值 a.e. 收敛到 $\\mu _G$ 关于 $m$ 的 RN 导数，即 $G' \\text{a.e.}$ 存在。\n\n剩下的部分用一个「夹逼」把 $F' = G'$ 也拿下：令 $H = G - F \\ge 0$（跳跃函数），它 a.e. 为 0；再令 $\\bar{F}$ 为跳跃的累积函数，则 $\\mu _{\\bar{F}}$ 集中在可数集上，故 $\\mu _{\\bar{F}} \\perp m$，于是 $\\bar{F}' = 0 \\text{a.e.}$。在 $\\bar{F}' = 0$ 的点上用\n\n\n\n$$0 \\le H(x+h) / h \\le (\\bar{F}(x+h) - \\bar{F}(x)) / h\\quad (h > 0)$$\n\n\n\n夹逼即得 $H' = 0 \\text{a.e.}$，故 $F' = G' \\text{a.e.}$∎", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.23" ] }, { "id": "def.bounded-variation", "type": "definition", "label": "有界变差 BV", "title": "全变差与有界变差函数（Total Variation, BV）", "label_en": "bounded variation", "title_en": "bounded variation", "en_page": "nodes/def.bounded-variation.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 16, "tags": [ "定义", "全变差", "BV" ], "statement": "设 $F : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{C}$。定义它的**全变差函数**\n\n$$T_F(x) := \\sup \\{ \\sum_{j=1}^{n} |F(x_j) - F(x_{j-1})| : n \\in \\mathbb{N}, -\\infty < x_0 < \\cdots < x_n = x \\}$$\n\n$T_F$ 是递增的 $\\mathbb{R} \\to [0, +\\infty]$。若 $T_F(+\\infty) < +\\infty$，称 $F$ 是**有界变差的**，这类函数全体记作 **BV**。\n\n$T_F(b) - T_F(a)$ 称为 $F$ 在 $[a, b]$ 上的全变差；$[a,b]$ 上有界变差的函数全体记作 $BV([a, b])$。", "notes": "直观：$T_F(x)$ 是「沿着图像从 $-\\infty$ 走到 $x$ 所走过的总路程」。有界变差就是「走过的路有限」。\n\n两个自然的映射：**投射** $BV \\to BV([a,b])$，$f \\mapsto f|_{[a,b]}$；**嵌入** $BV([a,b]) \\to BV$，$f \\mapsto \\{ f(x) (x \\in [a,b]); f(b) (x > b); f(a) (x < a) \\}$。\n\n⚠ 全变差用的是**每一段的绝对差之和**，所以振荡太厉害的（比如 $x \\sin(1/x)$ 在 0 附近）就要仔细算 —— 见例子节点。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.5", "Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 7" ] }, { "id": "prop.bv-examples", "type": "proposition", "label": "BV 的例子与基本性质", "title": "命题：BV 的几个例子与封闭性", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 17, "tags": [ "命题", "BV", "例子" ], "statement": "1. 若 $F : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ **有界递增**，则 $F \\in BV$（此时 $T_F = F - F(-\\infty)$）。\n2. $BV$ 是 $\\mathbb{C}$向量空间。\n3. 若 $F$ 实可微且 $F'$ 有界，则对一切 $-\\infty < a < b < \\infty$ 有 $F \\in BV([a,b])$。\n4. $F(x) = \\sin x$：对任何紧区间 $[a,b]$，$F \\in BV([a,b])$。\n5. $F(x) = xsin(1/x)$（$x \\ne 0$），$F(0) = 0$：若 $0 \\in [a,b]$，则 $F \\in BV([a,b])$。", "notes": "**逐条验证。** 记 $T_{F}(x) := \\sup\\bigl\\{\\sum_{j=1}^{n}|F(x_{j})-F(x_{j-1})| : -\\infty < x_{0} < \\cdots < x_{n} = x\\bigr\\}$。\n1. **有界递增**：任意划分的变差和 $\\sum_{j}(F(x_{j})-F(x_{j-1})) = F(b)-F(a)$（telescoping，绝对值可以去掉），故 $T_{F}(x) = F(x)-F(-\\infty)$ 有限 ✓。\n2. **$BV$ 是 $\\mathbb{C}$-向量空间**：逐点 $|(F+G)(x_{j})-(F+G)(x_{j-1})| \\le |\\Delta F| + |\\Delta G|$，对划分取上确界得 $T_{F+G} \\le T_{F}+T_{G} < \\infty$ ✓；数乘同理 ✓。\n3. **可微 + $F'$ 有界**：$|F'| \\le M$ 时由中值定理 $|F(x_{j})-F(x_{j-1})| \\le M(x_{j}-x_{j-1})$，故 $T_{F}(b)-T_{F}(a) \\le M(b-a) < \\infty$ ✓。\n4. **$\\sin x$**：$|\\sin'| \\le 1$，套上 3 ✓。\n5. **$x\\sin(1/x)$**（$x \\ne 0$，$F(0)=0$）：在紧区间上 $F$ 可微且 $F'$ 局部有界，同上得有限全变差 ✓。\n**分界线**：$F(x) = \\sin(1/x)$（$x \\ne 0$，$F(0) = 0$）**不属于** $BV$ —— 在 $0$ 附近振幅不衰减，取划分逼近 $0$ 时 $\\sum|\\Delta F|$ 像调和级数那样发散 ✓。∎\n⭐ 所以「振荡」本身不碍事，**振幅衰减**才是 $BV$ 与「无限振荡」的分界。\n\n第 4、5 两个例子是「振荡型」的：函数本身有界、但导数在某个点附近爆掉或无限振荡。它们仍然有界变差 —— 说明**BV 比「$C^{1}$」宽得多**。\n\n一个标准的**反例**（不属于 BV）：$F(x) = \\sin(1/x)$（$x \\ne 0$）、$F(0) = 0$ —— 它在 0 附近无限次振荡且振幅不衰减，全变差发散。\n\n⭐ 记住这条分界线：**振幅不衰减的振荡 $\\implies$ 不是 BV**。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.5" ] }, { "id": "lem.variation-monotone", "type": "lemma", "label": "T_F ± F 递增", "title": "引理：实值 BV 函数的 $T_F + F$ 与 $T_F - F$ 都递增", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 17, "tags": [ "引理", "全变差", "递增" ], "statement": "设 $F$ 是**实值**有界变差函数。则\n\n$$T_F + F\\quad \\text{ 与}\\quad T_F - F$$\n\n都是**递增**函数。", "notes": "证明：设 $x < y$，任给 $\\varepsilon > 0$，取分划 $x_0 < \\cdots < x_n = x$ 使 $\\sum|F(x_j) - F(x_{j-1})| \\ge T_F(x) - \\varepsilon$，再补上点 $y$ 与 $x$ 之间的比较：\n\n\n\n$$T_F(y) \\pm F(y) \\ge \\sum_j |F(x_j) - F(x_{j-1})| + (F(y) - F(x)) \\pm F(x) \\ge T_F(x) - \\varepsilon \\pm F(x)$$\n\n\n\n由 $\\varepsilon$ 任意即得 $T_F(y) \\pm F(y) \\ge T_F(x) \\pm F(x)$。∎\n\n⭐ 这条是下一条「BV 的 Jordan 分解」的全部技术内容：一旦知道 $T_F \\pm F$ 递增，就能把 $F$ 写成一增一减。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.27" ] }, { "id": "thm.bv-jordan", "type": "theorem", "label": "BV 的 Jordan 分解", "title": "定理：$F \\in BV \\iff F = G - H$（G、H 有界递增）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 18, "tags": [ "定理", "BV", "Jordan 分解" ], "statement": "**(a)** $F \\in BV \\iff \\operatorname{Re} F \\in BV\\text{ 且} \\operatorname{Im} F \\in BV$。\n\n**(b)** 设 $F : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$。则\n\n$$F \\in BV \\iff F = G - H,\\text{ 其中} G, H\\text{ 都是有界递增函数}$$", "notes": "具体取法（就是测度论 Jordan 分解的函数版）：\n\n\n\n$$F = (1/2)(T_F + F) - (1/2)(T_F - F)$$\n\n\n\n前一项叫 $F$ 的**正变差**，后一项叫**负变差** —— 名字与符号测度的 $\\nu ^{+}$、$\\nu ^{-}$ 完全对应。\n\n由引理，$T_F \\pm F$ 递增；而「有界」来自 $F \\in BV$。\n\n⭐ 意义：**BV 函数 $=$ 两个有界递增函数之差**。于是关于 BV 的一切都能化归到「递增函数」这个好处理的情形。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.27" ] }, { "id": "prop.bv-regularity", "type": "proposition", "label": "BV 函数的正则性", "title": "命题：BV 函数的单侧极限都存在、不连续点可数、a.e. 可导", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 19, "tags": [ "命题", "BV", "正则性" ], "statement": "设 $F \\in BV$。则\n\n**(c)** 对每个 $x \\in \\mathbb{R}$，$F(x+)$ 与 $F(x-)$ 都存在；$F(\\pm \\infty)$ 也存在；\n\n**(d)** $F$ 的不连续点至多可数；\n\n**(e)** 令 $G(x) = F(x+)$，则 $F'$ 与 $G'$ 处处存在且相等（a.e.）。", "notes": "全部由「$F = G - H$」化归到递增函数：递增函数的单侧极限显然存在；不连续点可数由单调函数那条定理；a.e. 可导也由那条定理（差的导数 $=$ 导数的差）。\n\n⭐ 所以 BV 函数虽然可能很不光滑，但**结构上非常驯服**：只有可数多个跳跃，其余地方都「几乎处处可导」。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.27" ] }, { "id": "def.nbv", "type": "definition", "label": "NBV", "title": "NBV：右连续且 $F(-\\infty) = 0$ 的有界变差函数", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 17, "tags": [ "定义", "NBV" ], "statement": "$$NBV := \\{ F \\in BV : F\\text{ 右连续},\\text{ 且} F(-\\infty) = 0 \\}$$", "notes": "为什么要加这两个条件：因为下一条定理要建立**$\\mathbb{R}$ 上的复 Borel 测度 $\\leftrightarrow NBV$** 的一一对应，而对应式是\n\n\n\n$$F(x) = \\mu((-\\infty, x])$$\n\n\n\n右边那个函数自动右连续、且在 $-\\infty$ 处为 0。把左边限制成 NBV，对应才是**双射**而不是满射。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.29" ] }, { "id": "lem.nbv-variation", "type": "lemma", "label": "全变差的 NBV 性质", "title": "引理：$T_F(-\\infty) = 0$；F 右连续 $\\implies T_F$ 右连续", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 18, "tags": [ "引理", "全变差", "NBV" ], "statement": "设 $F \\in BV$。则\n\n- $T_F(-\\infty) = 0$；\n- 若 $F$ **右连续**，则 $T_F$ 也右连续。", "notes": "第一部分：给定 $\\varepsilon > 0$ 与 $x$，取分划使 $\\sum \\ge T_F(x) - \\varepsilon$；于是对 $y \\le x_0$ 有 $T_F(y) \\le \\varepsilon$。由 $\\varepsilon$ 任意，$T_F(-\\infty) = 0$。\n\n第二部分：设 $\\alpha = T_F(x+) - T_F(x)$。由 $F$ 右连续，对充分小的 $h$ 有 $|F(x+h) - F(x)| < \\varepsilon$ 且 $T_F(x+h) - T_F(x+) < \\varepsilon$；再从两边各取分划夹住，得到\n\n\n\n$$(3/2)\\alpha - \\varepsilon \\le T_F(x+h) - T_F(x) < \\varepsilon + \\alpha$$\n\n\n\n于是 $\\alpha < 4\\varepsilon$，由 $\\varepsilon$ 任意得 $\\alpha = 0$。∎\n\n⭐ 这条保证「全变差」这个操作**保持 NBV**：$F \\in NBV \\implies T_F \\in NBV$，正是下一条定理里 $|\\mu _F| = \\mu _\\{T_F\\}$ 的根据。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Lemma 3.30" ] }, { "id": "prop.monotone-integral-derivative", "type": "proposition", "label": "递增函数的导数积分不等式", "title": "命题：$\\int_{a}^{b} F' \\le F(b) - F(a)$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 18, "tags": [ "命题", "递增", "积分", "导数" ], "statement": "设 $F \\nearrow $ 递增，$G(x) = F(x+)$（右连续递增）。则\n\n$$\\int_a^b F' \\le F(b) - F(a)$$", "notes": "证明：$G$ 右连续递增，诱导一个正则 Borel 测度 $\\mu _G$。写它的 Lebesgue–Radon–Nikodym 分解\n\n\n\n$$d\\mu_G = d\\lambda + f\\cdot dm, \\quad f = \\lim \\mu_G(E_h) / m(E_h)\\quad \\text{a.e.}$$\n\n\n\n而差商恰好是那个比值，所以 $f = G' = F'$ a.e.。于是\n\n\n\n$$\\int_a^b F' = \\int_a^b f\\cdot dm \\le \\int_a^b d\\mu_G = G(b) - G(a) \\le F(b) - F(a)$$\n\n\n\n（中间那个不等号是因为省略了奇异的 $\\lambda \\ge 0$。）∎\n\n⚠ **这里一般不是等号**：Cantor 函数是经典反例 —— 它递增、连续、导数 a.e. 为 0，所以左边 $= 0$ 但右边 $= 1$。这个差别正是「绝对连续」这个概念要补上的东西。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.28" ] }, { "id": "thm.borel-measure-nbv", "type": "theorem", "label": "测度 ↔ NBV 的一一对应", "title": "定理：$\\mathbb{R}$ 上的复 Borel 测度 $\\longleftrightarrow$ NBV 函数", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 19, "tags": [ "定理", "Riesz 表示", "Borel 测度", "NBV" ], "statement": "**(1)** 若 $\\mu$ 是 $\\mathbb{R}$ 上的复 Borel 测度，$F(x) := \\mu((-\\infty, x])$，则 $F \\in NBV$。\n\n**(2)** 反之，若 $F \\in NBV$，则存在**唯一**的复 Borel 测度 $\\mu_F$ 使\n\n$$F(x) = \\mu_F((-\\infty, x])$$\n\n而且\n\n$$|\\mu_F| = \\mu_{T_F}$$", "notes": "这是 **Riesz 表示定理**在实数轴上的形式：测度与一类函数一一对应。\n\n证明思路：把复测度拆成四个正测度 $\\mu = \\mu_1^+ - \\mu_1^- + i(\\mu_2^+ - \\mu_2^-)$，各取 $F_j^{\\pm }(x) = \\mu_j^{\\pm }((-\\infty, x])$ —— 它们递增、右连续、在 $-\\infty$ 处为 0、在 $\\infty$ 处有限，于是 $F \\in NBV$。反方向把 $F \\in NBV$ 拆成 $F_1^+ - F_1^- + i(F_2^+ - F_2^-)$，每一块配一个测度。\n\n$|\\mu_F| = \\mu_{T_F}$ 这一条说的是：**取全变差（函数侧）与取全变差（测度侧）是同一件事** —— 这也正是引理「$T_F \\in NBV$」的用处。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.29" ] }, { "id": "prop.nbv-derivative", "type": "proposition", "label": "NBV 函数的导数与测度的关系", "title": "命题：$\\mu_F \\perp m \\iff F' = 0 \\text{a.e.}$；$\\mu_F \\ll m \\iff F(x) = \\int_{-\\infty}^{x} F'$", "abstract_en": "For $F$ of normalised bounded variation, $F' \\in L^1(m)$ and $\\mu_F \\perp m \\iff F' = 0$ a.e., while $\\mu_F \\ll m \\iff F(x) = \\int_{-\\infty}^{x} F'(t)\\,dt$. Both follow by writing the Lebesgue decomposition $d\\mu_F = d\\lambda + f\\,dm$ and using $f = F'$ a.e.: vanishing of the absolutely continuous part is the first case, $\\lambda = 0$ is the second. This is the measure-theoretic form of the fundamental theorem of calculus — $F'$ integrates back to $F$ exactly when $\\mu_F$ is absolutely continuous.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/prop.nbv-derivative.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 20, "tags": [ "命题", "NBV", "RN 导数" ], "statement": "设 $F \\in NBV$。则 $F' \\in L^1(m)$，并且\n\n$$\\mu_F \\perp m \\iff F' = 0\\quad \\text{a.e.}$$\n$$\\mu_F \\ll m \\iff F(x) = \\int_{-\\infty}^{x} F'(t) dt$$", "notes": "证明：写 $d\\mu_F = d\\lambda + f\\cdot dm$（Lebesgue 分解），由测度那条定理 $f = F'$ a.e.。于是\n\n\n\n$\\cdot$ $\\mu_F \\perp m$ 意味着绝对连续部为零，即 $f = 0 \\implies F' = 0 \\text{a.e.}$；\n\n$\\cdot$ $\\mu_F \\ll m$ 意味着 $\\lambda = 0$，于是 $F(x) = \\mu_F((-\\infty,x]) = \\int_{-\\infty}^x f\\cdot dm = \\int_{-\\infty}^x F'\\cdot dt$。\n\n⭐ 这一条就是「微积分基本定理」的测度版：**能不能把函数积回来，取决于 $\\mu _F$ 是否绝对连续**。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.35" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_variation", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/absolutely+continuous+function" } }, { "id": "def.ac-function", "type": "definition", "label": "绝对连续函数", "title": "绝对连续函数 AC（Absolutely Continuous Function）", "label_en": "absolutely continuous function", "title_en": "Absolutely Continuous Function", "en_page": "nodes/def.ac-function.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 14, "tags": [ "定义", "绝对连续", "AC" ], "statement": "函数 $F : [a, b] \\to \\mathbb{C}$ 是**绝对连续的**，当且仅当\n\n$$\\forall\\varepsilon > 0, \\exists\\delta > 0 :\\text{ 任意有限个两两不交的区间} (a_j, b_j) \\subseteq [a, b]\\text{ 满足} \\sum(b_j - a_j) < \\delta,\\text{ 就一定有} \\sum|F(b_j) - F(a_j)| < \\varepsilon$$", "notes": "⚠ 注意与「一致连续」的区别：一致连续是**单个**小区间上控制振幅，而绝对连续要求**任意多个小区间合起来**也能控制 —— 这正是为了堵住 Cantor 函数那种「在零测集上爬升」的情形。\n\n记号：$AC([a, b])$ 表示 $[a,b]$ 上绝对连续的函数全体。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.5" ] }, { "id": "prop.ac-iff-measure-ac", "type": "proposition", "label": "函数绝对连续 ⟺ 测度绝对连续", "title": "命题：F 绝对连续 $\\iff \\mu_F \\ll m$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 21, "tags": [ "命题", "绝对连续", "μ_F ≪ m" ], "statement": "设 $F \\in NBV$。则\n\n$$F\\text{ 绝对连续} \\iff \\mu_F \\ll m$$", "notes": "**$(\\Longleftarrow )$** 由测度的绝对连续的 $\\varepsilon$–$\\delta$ 刻画：$\\mu_F \\ll m$ 给出「$m(E) < \\delta \\implies |\\mu_F(E)| < \\varepsilon$」。取 $E$ 为区间的有限不交并，就直接得到函数版的绝对连续性。\n\n**$(\\implies )$** 设 $E \\in \\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$ 且 $m(E) = 0$。要证 $\\mu_F(E) = 0$。取递减开集列 $U_1 \\supseteq U_2 \\supseteq \\cdots \\supseteq E$ 使 $m(U_k) < \\delta$（由正则性）。每个 $U_k$ 是区间的可数不交并，由函数的绝对连续性与 $m(U_k) < \\delta$ 得 $|\\mu_F(U_j)| < \\varepsilon$；再由测度的上连续性与 $\\bigcap U_k = E$ 得 $|\\mu_F(E)| \\le \\varepsilon$。由 $\\varepsilon$ 任意，$\\mu_F(E) = 0$。∎\n\n⭐ 这条把两个「绝对连续」**接上了**：函数的和测度的。从此「绝对连续函数」这个微积分里的概念有了测度论的解释。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.35" ] }, { "id": "cor.integral-is-ac-nbv", "type": "corollary", "label": "积出来的函数是 AC · NBV", "title": "推论：$f \\in L^{1}(m) \\implies F(x) = \\int_{-\\infty}^{x} f$ 是 AC、NBV；反之亦然", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 20, "tags": [ "推论", "AC", "NBV", "基本定理" ], "statement": "**(1)** 若 $f \\in L^1(m)$，则\n\n$$F(x) := \\int_{-\\infty}^{x} f(t) dt$$\n\n属于 $AC \\cap NBV$。\n\n**(2)** 反之，若 $F \\in NBV$ 且绝对连续，则 $F' \\in L^1(m)$ 且\n\n$$F(x) = \\int_{-\\infty}^{x} F'(t) dt$$", "notes": "**证明。**\n**(1)** 设 $f \\in L^{1}(m)$、$F(x) := \\int_{-\\infty}^{x} f(t)\\,\\mathrm{d}t$。\n- **$F \\in NBV$**：$F$ 右连续（$x \\downarrow x_{0}$ 时 $f\\chi_{(-\\infty,x]} \\to f\\chi_{(-\\infty,x_{0}]}$ 逐点且被 $|f|$ 控制，用控制收敛定理）✓；$F(-\\infty) = 0$ ✓；对任意划分 $\\sum|F(x_{j})-F(x_{j-1})| \\le \\int_{a}^{b}|f| < \\infty$，故 $T_{F} < \\infty$ ✓。\n- **$F \\in AC$**：给 $\\varepsilon > 0$。由 $|f| \\in L^{1}$ 的绝对连续性取 $\\delta > 0$ 使 $m(E) < \\delta \\implies \\int_{E}|f| < \\varepsilon$；于是对两两不交的区间族 $\\bigsqcup(a_{j}, b_{j})$ 且 $\\sum(b_{j}-a_{j}) < \\delta$，\n$$\\sum_{j}|F(b_{j}) - F(a_{j})| \\le \\sum_{j}\\int_{a_{j}}^{b_{j}}|f| = \\int_{\\bigcup(a_{j},b_{j})}|f| < \\varepsilon \\;✓$$\n**(2)** 反之设 $F \\in NBV \\cap AC$。$F$ 有界变差 $\\implies$ $F$ 可测、a.e. 可导、$F' \\in L^{1}(m)$，且有 Lebesgue 分解 $dF = F'\\,\\mathrm{d}m + dF_{s}$（$F_{s} \\perp m$，由 $F$ 的测度部分给出）；而**绝对连续恰好等价于「测度部分没有奇异部分」**，即 $F_{s} = 0$ ✓。于是 $F(x) = \\int_{-\\infty}^{x}F'\\,\\mathrm{d}m$ ✓。∎\n⭐ 两方向合起来：**绝对连续函数恰好是某个 $L^{1}$ 函数的积分**。\n\n两个方向合起来就是「绝对连续函数正好是某个 $L^{1}$ 函数的积分」。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.35" ] }, { "id": "lem.ac-subset-bv", "type": "lemma", "label": "AC ⊆ BV", "title": "引理：绝对连续蕴含绝对变差（紧区间上）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 17, "tags": [ "引理", "AC", "BV" ], "statement": "$$AC([a, b]) \\subseteq BV([a, b])$$", "notes": "证明：由绝对连续性取 $\\delta$ 使「总长 $< \\delta \\implies$ 总变差 $< 1$」。把 [a,b] 切成有限多段、每段长度 $< \\delta$，则每段的变差 $\\le 1$，加起来 $\\le$ 段数 —— 有限。∎\n\n⚠ 反过来不成立：**Cantor 函数在 [0,1] 上有界变差但不绝对连续**。所以这个包含是严格的。\n\n⭐ 这条是下面那条「微积分基本定理 TFAE」的准备工作：它保证 $(a) \\implies BV$，从而可以谈 $F'$。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §3.5" ] }, { "id": "thm.ftc-lebesgue", "type": "theorem", "label": "微积分基本定理（Lebesgue 版）", "title": "定理（TFAE）：绝对连续 $\\iff$ 是 $L^{1}$ 函数的积分 $\\iff$ 导数的积分还原", "label_en": "fundamental theorem of calculus", "title_en": "fundamental theorem of calculus", "en_page": "nodes/thm.ftc-lebesgue.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.bv", "layer": 22, "tags": [ "定理", "微积分基本定理", "AC", "NCT" ], "statement": "设 $F : [a, b] \\to \\mathbb{C}$，区间紧。则下列三条**彼此等价**：\n\n**(a)** $F$ 在 $[a, b]$ 上**绝对连续**；\n\n**(b)** 存在 $f \\in L^1([a, b])$ 使\n\n$$F(x) - F(a) = \\int_a^x f(t) dt\\quad \\forall x \\in [a, b]$$\n\n**(c)** $F$ **a.e. 可导**、$F' \\in L^1([a, b])$，且\n\n$$F(x) - F(a) = \\int_a^x F'(t) dt$$", "notes": "⭐ 这是 **Newton–Leibniz 公式在 Lebesgue 积分下的完整版本**。对比 Riemann 积分：那里「$F'$ 可积且公式成立」要求 $F'$ 连续（或至少 Riemann 可积），这里只需要「$F$ 绝对连续」。\n\n三个条件的分工：(a) 是「函数侧」的条件（用区间划分刻画），(b) 是「积分侧」，(c) 是「导数侧」。定理说它们是同一件事。\n\n⚠ 若去掉绝对连续，公式**会失效**：Cantor 函数满足 (c) 的「a.e. 可导 $F' \\in L^{1}$」但 $\\int _{0}^{1} F' = 0 \\ne F(1) - F(0) = 1$。\n\n证明链条：$(a) \\implies (b)$：由 $AC \\subseteq BV$ 与「$\\mu _F \\ll m$」；$(b) \\implies (c)$：微积分基本定理的直接推论；$(c) \\implies (a)$：由「$F(x) = \\int F'$」的形式给出绝对连续性。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 3.35" ] }, { "id": "def.lp-norm", "type": "definition", "label": "L^p 范数", "title": "$L^p$ 范数与 $L^p$ 空间", "label_en": "Lp norm", "title_en": "Lp norm", "en_page": "nodes/def.lp-norm.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 18, "tags": [ "定义", "Lp", "范数" ], "statement": "固定测度空间 $(X, \\mathcal{M}, \\mu)$。对可测 $f$ 与 $0 < p < \\infty$ 定义\n\n$$\\|f\\|_p := \\left[ \\int |f|^p \\, d\\mu \\right]^{1/p}$$\n\n以及\n\n$$L^p(X, \\mathcal{M}, \\mu) := \\{\\, f : X \\to \\mathbb{C} : f \\text{ 可测},\\ \\|f\\|_p < \\infty \\,\\}$$", "notes": "基本事实（都可直接验证）：\n\n\n\n- $\\|f\\|_p = 0 \\iff f = 0$ a.e.；\n- $\\|cf\\|_p = |c| \\, \\|f\\|_p$；\n- $f, g \\in L^p \\implies f + g \\in L^p$（这一步用 $|f+g|^p \\le 2^p(|f|^p + |g|^p)$）。\n\n\n\n⚠ **$p < 1$ 时三角不等式失效**，所以那时 $L^p$ 只是拟范数空间（虽然它仍然是完备的）。\n\n和 $L^1$ 一样，$L^p$ 的元素其实是**函数的等价类**（a.e. 相等视为同一个），这正是 $\\|f\\|_p = 0 \\implies f = 0$ 得以成立的前提。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §6.1" ] }, { "id": "lem.young-inequality", "type": "lemma", "label": "Young 不等式", "title": "Young 不等式（$a^\\lambda \\cdot b^{1-\\lambda} \\le \\lambda a + (1-\\lambda)b$）", "label_en": "Young", "title_en": "Young", "en_page": "nodes/lem.young-inequality.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 15, "tags": [ "引理", "Young", "凸性" ], "statement": "设 $a \\ge 0$，$b \\ge 0$，$0 < \\lambda < 1$。则\n\n$$a^{\\lambda} b^{1-\\lambda} \\le \\lambda a + (1-\\lambda) b$$", "notes": "这就是 $\\log$ 的凹性（等价于指数函数的凸性）：\n\n\n\n$$\\log\\!\\left( \\lambda a + (1-\\lambda) b \\right) \\ge \\lambda \\log a + (1-\\lambda) \\log b$$\n\n\n\n两边取指数即得。\n\n引出标准特例：取 $\\lambda = 1/p$、$a = |f|^p / \\|f\\|_p^p$、$b = |g|^q / \\|g\\|_q^q$，就是 **Hölder 不等式** 的证明里那一步。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §6.1" ] }, { "id": "thm.holder", "type": "theorem", "label": "Hölder 不等式", "title": "Hölder 不等式", "label_en": "Hölder", "title_en": "Hölder", "en_page": "nodes/thm.holder.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 19, "tags": [ "定理", "Hölder", "共轭指数" ], "statement": "设 $1 < p < \\infty$，$q$ 是 $p$ 的**共轭指数**：$\\dfrac{1}{p} + \\dfrac{1}{q} = 1$。则对可测 $f, g$：\n\n$$\\|fg\\|_1 \\le \\|f\\|_p \\, \\|g\\|_q$$", "notes": "**取等条件**：等号成立 $\\iff$ $|f|^p$ 与 $|g|^q$ 成比例 a.e.（即 $\\alpha |f|^p = \\beta |g|^q$ a.e.）。\n\n证明：先设 $\\|f\\|_p = \\|g\\|_q = 1$。由 Young 不等式，把 $\\lambda = 1/p$、$a = |f|^p$、$b = |g|^q$ 代进去得\n\n\n\n$$|fg| \\le \\frac{|f|^p}{p} + \\frac{|g|^q}{q}$$\n\n\n\n两边积分即得 $\\|fg\\|_1 \\le \\frac{1}{p} + \\frac{1}{q} = 1$。一般情形把 $f, g$ 各自归一化。\n\n⚠ $p = q = 2$ 时就是 **Cauchy–Schwarz 不等式**。\n\n$p = 1$ 时共轭指数是 $q = \\infty$，此时 $\\|fg\\|_1 \\le \\|f\\|_1 \\|g\\|_\\infty$（见 $L^\\infty$ 那一节）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 6.2" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6lder%27s_inequality" } }, { "id": "thm.minkowski", "type": "theorem", "label": "Minkowski 不等式", "title": "Minkowski 不等式（$L^p$ 的三角不等式）", "label_en": "Minkowski", "title_en": "Minkowski", "en_page": "nodes/thm.minkowski.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 20, "tags": [ "定理", "Minkowski", "三角不等式" ], "statement": "设 $1 \\le p < \\infty$。则对 $f, g \\in L^p$：\n\n$$\\|f + g\\|_p \\le \\|f\\|_p + \\|g\\|_p$$", "notes": "$p = 1$ 就是积分的三角不等式，显然。\n\n一般 $p$ 的证明：\n\n\n\n$$\\int |f+g|^p = \\int |f+g| \\cdot |f+g|^{p-1} \\le \\int (|f| + |g|) |f+g|^{p-1} \\le \\left( \\|f\\|_p + \\|g\\|_p \\right) \\left\\| |f+g|^{p-1} \\right\\|_q$$\n\n\n\n其中最后一步是对 $|f| \\cdot |f+g|^{p-1}$ 与 $|g| \\cdot |f+g|^{p-1}$ 各用一次 Hölder。再注意\n\n\n\n$$\\left\\| |f+g|^{p-1} \\right\\|_q^{\\,q} = \\int |f+g|^{(p-1)q} = \\int |f+g|^p$$\n\n\n\n两边约掉一个 $\\|f+g\\|_p^{p/q}$ 即得。∎\n\n⭐ 有了它，$\\|\\cdot\\|_p$ 才真的成为**范数** —— 这是下面「$L^p$ 是 Banach 空间」的前提。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 6.2" ] }, { "id": "thm.lp-banach", "type": "theorem", "label": "L^p 是 Banach 空间", "title": "定理（Riesz–Fischer）：$1 \\le p < \\infty$ 时 $L^p$ 完备", "label_en": "Banach", "title_en": "Banach", "en_page": "nodes/thm.lp-banach.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 21, "tags": [ "定理", "Banach", "Riesz–Fischer", "完备" ], "statement": "设 $1 \\le p < \\infty$。则 $L^p(X, \\mathcal{M}, \\mu)$ 关于范数 $\\|\\cdot\\|_p$ 是**完备**的，即它是一个 **Banach 空间**。", "notes": "证明用的判据是：**赋范线性空间完备 $\\iff$ 绝对收敛的无穷级数收敛**。\n\n设 $\\{f_k\\} \\subseteq L^p$ 且 $\\sum_{k} \\|f_k\\|_p = B < \\infty$。只要证明 $\\sum_k f_k$ 在 $L^p$ 范数下收敛即可。\n\n技巧在于把「逐点收敛」与「范数收敛」分开处理：令 $G_n = \\sum_{k \\le n} |f_k|$、$G = \\sum_k |f_k|$，则由 MCT\n\n\n\n$$\\|G_n\\|_p \\le \\sum_{k \\le n} \\|f_k\\|_p \\le B \\quad \\implies \\quad \\int G^p = \\lim_n \\int G_n^p \\le B^p$$\n\n\n\n故 $G \\in L^p$、特别地 $G < \\infty$ a.e.，于是 $\\sum_k f_k$ **a.e. 绝对收敛**。记极限为 $F$。\n\n再用一次 DCT 拿下范数收敛：$\\left| F - \\sum_{k \\le n} f_k \\right|^p \\le (2G)^p \\in L^1$，故\n\n\n\n$$\\left\\| F - \\sum_{k \\le n} f_k \\right\\|_p^p = \\int \\left| F - \\sum_{k \\le n} f_k \\right|^p \\to 0$$\n\n\n\n∎", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 6.6" ] }, { "id": "prop.dense-simple-compact-support", "type": "proposition", "label": "紧支简单函数稠密", "title": "命题：紧支集简单函数在 $L^p$ 中稠密", "label_en": "dense", "title_en": "dense", "en_page": "nodes/prop.dense-simple-compact-support.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 19, "tags": [ "命题", "稠密", "简单函数" ], "statement": "设 $1 \\le p < \\infty$。**紧支集的简单函数**在 $L^p$ 中稠密（$p = \\infty$ 时不成立）。", "notes": "证明：对 $f \\in L^p$，取简单函数列 $\\{f_n\\}$ 使 $f_n \\to f$ a.e. 且 $|f_n| \\le |f|$（简单函数逼近定理给的就是这个形状）。于是 $f_n \\in L^p$，且\n\n\n\n$$|f_n - f|^p \\le 2^p |f|^p \\in L^1$$\n\n\n\n由 DCT 得 $\\|f_n - f\\|_p \\to 0$。$f_n$ 是简单函数、支撑集有限 —— 这就是要的稠密性。∎\n\n⚠ **$p = \\infty$ 时这条失效**：$L^\\infty$ 里的简单函数是「有限个值」，均匀逼近一个连续函数办不到（例如 $\\sin$ 型或一般的连续函数）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §6.1" ] }, { "id": "def.essential-sup", "type": "definition", "label": "本性上界与 L^∞", "title": "本性上界 $\\|f\\|_\\infty$ 与空间 $L^\\infty$", "abstract_en": "The essential supremum is $\\|f\\|_\\infty := \\inf \\{a \\ge 0 : \\mu(\\{|f| > a\\}) = 0\\}$: the true bound of $f$ once its values on null sets are ignored. The infimum is attained at $a = \\|f\\|_\\infty$ itself, and $\\|f\\|_\\infty \\le M \\iff |f| \\le M$ almost everywhere. Then $L^\\infty$ consists of the measurable $f$ with $\\|f\\|_\\infty < \\infty$. Note the difference from $\\sup |f|$, which a single value on a null set can spoil.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/def.essential-sup.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 16, "tags": [ "定义", "L∞", "本性上界" ], "statement": "定义\n\n$$\\|f\\|_\\infty := \\inf \\{\\, a \\ge 0 : \\mu(\\{\\, |f| > a \\,\\}) = 0 \\,\\}$$\n\n（把 $f$ 在零集上的取值完全忽略之后，它的「真正」上界。）这个下确界**是可以取到的**：对 $a = \\|f\\|_\\infty$ 本身就有 $\\mu(\\{|f| > a\\}) = 0$。\n\n$$\nL^\\infty(X, \\mathcal{M}, \\mu) := \\{\\, f : X \\to \\mathbb{C} : f \\text{ 可测},\\ \\|f\\|_\\infty < \\infty \\,\\}\n$$", "notes": "等价说法：$\\|f\\|_\\infty \\le M \\iff |f(x)| \\le M$ 对 a.e. $x$ 成立。\n\n「本性」两个字的意思是：**把零集上的糟糕取值统统不算**。比如 $f = 0$ a.e. 但 $f$ 在某个零集上取 $+\\infty$，仍然有 $\\|f\\|_\\infty = 0$。\n\n⚠ $\\|f\\|_\\infty$ 与「$\\sup |f|$」不同：后者可能因为零集上的一点而变得很大。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §6.1" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Essential_supremum", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/essential+supremum" } }, { "id": "thm.linf-properties", "type": "theorem", "label": "L^∞ 的性质", "title": "定理：$L^\\infty$ 的五条基本性质", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 20, "tags": [ "定理", "L∞", "Banach", "一致收敛" ], "statement": "**(a)** $\\|fg\\|_\\infty \\le \\|f\\|_\\infty \\|g\\|_\\infty$。若 $f \\in L^1$、$g \\in L^\\infty$，则\n\n$$\\|fg\\|_1 = \\|f\\|_1 \\|g\\|_\\infty \\iff |g(x)| = \\|g\\|_\\infty \\text{ a.e. on } \\{f \\ne 0\\}$$\n\n**(b)** $\\|\\cdot\\|_\\infty$ 是 $L^\\infty$ 上的**范数**。\n\n**(c)** $\\|f_n - f\\|_\\infty \\to 0 \\iff$ 存在 $E \\in \\mathcal{M}$、$\\mu(E^c) = 0$，使 $f_n \\to f$ **在 $E$ 上一致收敛**。\n\n**(d)** $L^\\infty$ 是 **Banach 空间**。\n\n**(e)** 简单函数在 $L^\\infty$ 中**稠密**。", "notes": "**证明。**\n**(a)** 由 $|f(x)g(x)| \\le \\|f\\|_{\\infty}|g(x)|$ 对 a.e. $x$ 成立，取积分得 $\\|fg\\|_{1} \\le \\|f\\|_{1}\\|g\\|_{\\infty}$；同理 $\\|fg\\|_{1} \\le \\|g\\|_{1}\\|f\\|_{\\infty}$ ✓。\n 等号 $\\|fg\\|_{1} = \\|f\\|_{1}\\|g\\|_{\\infty}$ 成立 $\\iff$ $|g| = \\|g\\|_{\\infty}$ 在 $\\{f \\ne 0\\}$ 上 a.e. —— 否则 $\\{f\\ne0\\}\\cap\\{|g|<\\|g\\|_{\\infty}\\}$ 正测度（在 $\\sigma$ 有限下可取有限测度的子块），那里的严格不等式让整体不等式严格 ✓。\n**(b)** $\\|\\cdot\\|_{\\infty}$ 是范数：非负性与齐次显然；$\\|f\\|_{\\infty} = 0 \\iff f = 0$ a.e. ✓；三角不等式由逐点 $|f+g| \\le |f|+|g|$ 取**本质上确界**得到：设 $N$ 是使 $|f| \\le \\|f\\|_{\\infty}$、$|g| \\le \\|g\\|_{\\infty}$ 同时成立的补集，则在 $N^{c}$ 上 $|f+g| \\le \\|f\\|_{\\infty}+\\|g\\|_{\\infty}$，故 $\\|f+g\\|_{\\infty} \\le \\|f\\|_{\\infty}+\\|g\\|_{\\infty}$ ✓。\n**(c)** $\\|f_{n}-f\\|_{\\infty} \\to 0$ $\\iff$ 存在**零集** $N$ 使 $f_{n} \\to f$ 在 $N^{c}$ 上**一致**：\n- $(\\implies)$ 取 $N := \\bigcup_{n}\\{|f_{n}-f| > \\|f_{n}-f\\|_{\\infty}\\}$，可数并零集 ✓；\n- $(\\Longleftarrow)$ $\\|f_{n}-f\\|_{\\infty} \\le \\sup_{N^{c}}|f_{n}-f| \\to 0$ ✓。\n**(d)(e)** $L^{\\infty}$ 里简单函数稠密：把 $f$ 按值域分层截断即得一致逼近 ✓。但**紧支**简单函数一般不稠密：取 $f \\equiv 1$（$X$ 非紧），任何紧支 $\\varphi$ 都满足 $\\|f-\\varphi\\|_{\\infty} \\ge 1$ ✓ —— 因为 $L^{\\infty}$ 只看**逐点大小**、不看集合的测度。∎\n\n⚠ (c) 值得注意：$L^\\infty$ 范数收敛 $=$ **「丢掉一个零集之后一致收敛」** —— 这是 $L^\\infty$ 独有的、比其他 $L^p$ 强得多的性质。\n\n⚠ (e) 与「紧支简单函数在 $L^p$ 稠密」形成对照：$L^\\infty$ 里简单函数够稠密，但**紧支**的就不够（因为 $L^\\infty$ 不看测度大小，只看逐点大小）。\n\n一个很有用的直觉 ——「**$L^p$ 怎么样失败？**」：\n\n\n\n1. 在某点**增长太快**（局部爆破）；\n2. 在无穷远**衰减太慢**。\n\n\n\n记住这两条，下面三个包含关系命题的取向就都能自己想出来。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §6.1" ] }, { "id": "prop.lq-in-lp-plus-lr", "type": "proposition", "label": "L^q 落在 L^p + L^r 里", "title": "命题：$L^q \\subseteq L^p + L^r$（$0 < p < q < r \\le \\infty$）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 19, "tags": [ "命题", "插值", "分解" ], "statement": "设 $0 < p < q < r \\le \\infty$。则\n\n$$L^q \\subseteq L^p + L^r$$\n\n（右边理解为 $\\{ g + h : g \\in L^p,\\ h \\in L^r \\}$。）", "notes": "证明：取 $f \\in L^q$，按「大」与「小」把它切开 ——\n\n\n\n$$E := \\{\\, x : |f(x)| > 1 \\,\\}, \\qquad g := f \\chi_E, \\qquad h := f \\chi_{E^c}$$\n\n\n\n则\n\n\n\n$$|g|^p = |f|^p \\chi_E \\le |f|^q \\chi_E, \\qquad |h|^r = |f|^r \\chi_{E^c} \\le |f|^q \\chi_{E^c}$$\n\n\n\n（第二式用到 $|f| \\le 1$ 在 $E^c$ 上成立。）于是 $g \\in L^p$、$h \\in L^r$。$r = \\infty$ 时 $\\|h\\|_\\infty \\le 1$，显然。∎\n\n⭐ 这条说的是：**中间的 $L^q$ 可以被两端的 $L^p$ 与 $L^r$ 分担** —— 「大的部分」交给小的指数管，「小的部分」交给大的指数管。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 6.4" ] }, { "id": "prop.lp-inter-lr-in-lq", "type": "proposition", "label": "L^p ∩ L^r ⊆ L^q", "title": "命题（插值）：$L^p \\cap L^r \\subseteq L^q$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 19, "tags": [ "命题", "插值", "Riesz–Thorin 初等版" ], "statement": "设 $0 < p < q < r \\le \\infty$。若 $f \\in L^p \\cap L^r$，则 $f \\in L^q$，且\n\n$$\\|f\\|_q \\le \\|f\\|_p^{\\lambda} \\, \\|f\\|_r^{1-\\lambda}$$\n\n其中 $\\lambda \\in (0,1)$ 由下式确定：\n\n$$\\frac{1}{q} = \\frac{\\lambda}{p} + \\frac{1-\\lambda}{r} \\qquad \\iff \\qquad \\lambda = \\frac{\\,q^{-1} - r^{-1}\\,}{p^{-1} - r^{-1}}$$", "notes": "这是 **Riesz–Thorin 插值定理**的初等特例：$L^q$ 范数被两端的 $L^p$、$L^r$ 范数「对数凸」地控制住。\n\n证明：$r = \\infty$ 的情形最干净 —— 此时 $\\lambda = p/q$，从 $|f|^q \\le \\|f\\|_\\infty^{\\,q-p} |f|^p$ 出发，\n\n\n\n$$\\|f\\|_q \\le \\|f\\|_p^{p/q} \\|f\\|_\\infty^{1-p/q} = \\|f\\|_p^{\\lambda} \\|f\\|_\\infty^{1-\\lambda}$$\n\n一般 $r < \\infty$ 时对\n\n\n\n$$|f|^q = |f|^{\\lambda q} \\cdot |f|^{(1-\\lambda)q}$$\n\n用 Hölder，指数取 $p/(\\lambda q)$ 与 $r/((1-\\lambda)q)$（它们的倒数和恰好是 $1$，这正是 $\\lambda$ 的定义），得到\n\n\n\n$$\\|f\\|_q^q \\le \\left[ \\int |f|^p \\right]^{\\lambda q/p} \\left[ \\int |f|^r \\right]^{(1-\\lambda)q/r} = \\|f\\|_p^{\\lambda q} \\|f\\|_r^{(1-\\lambda)q}$$\n\n两边开 $q$ 次方即可。∎", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 6.4" ] }, { "id": "prop.ell-p-inclusion", "type": "proposition", "label": "ℓ^p ⊆ ℓ^q", "title": "命题（只有衰减的场合）：$\\ell^p \\subseteq \\ell^q$（$0 < p < q \\le \\infty$）", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 19, "tags": [ "命题", "序列空间", "包含" ], "statement": "设 $0 < p < q \\le \\infty$，$A$ 是任意指标集。则\n\n$$\\ell^p(A) \\subseteq \\ell^q(A), \\qquad \\|f\\|_q \\le \\|f\\|_p$$", "notes": "这里 $\\ell^p$ 是**计数测度**下的 $L^p$ —— 没有「局部爆破」可言，只剩「衰减」。\n\n证明：先看 $q = \\infty$。由 $|f|^p$ 的每一项都不超过总和，\n\n\n\n$$\\|f\\|_\\infty^p = \\sup_{\\alpha} |f(\\alpha)|^p \\le \\sum_{\\alpha} |f(\\alpha)|^p = \\|f\\|_p^p$$\n\n故 $\\|f\\|_\\infty \\le \\|f\\|_p$。一般 $q < \\infty$ 用插值：\n\n\n\n$$\\|f\\|_q \\le \\|f\\|_p^{p/q} \\|f\\|_\\infty^{1-p/q} \\le \\|f\\|_p$$\n\n（第二个不等号把 $\\|f\\|_\\infty \\le \\|f\\|_p$ 代进去。）∎\n\n⭐ 方向记法：**指数越大，空间越小**（在 $\\ell^p$ 里）—— 因为要求「衰减更快」。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §6.1" ] }, { "id": "prop.lp-inclusion-finite", "type": "proposition", "label": "有限测度时方向反过来", "title": "命题（只有爆破的场合）：$\\mu(X) < \\infty$ 时 $L^p(\\mu) \\supseteq L^q(\\mu)$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 19, "tags": [ "命题", "有限测度", "包含" ], "statement": "设 $\\mu(X) < \\infty$，$0 < p < q \\le \\infty$。则\n\n$$L^q(\\mu) \\subseteq L^p(\\mu), \\qquad \\|f\\|_p \\le \\|f\\|_q \\, \\mu(X)^{\\,(1/p) - (1/q)}$$", "notes": "证明：$q = \\infty$ 时，\n\n\n\n$$\\|f\\|_p^p = \\int |f|^p \\le \\|f\\|_\\infty^p \\int 1 = \\|f\\|_\\infty^p \\, \\mu(X)$$\n\n一般 $q < \\infty$ 时，把 $|f|^p$ 看作 $|f|^p \\cdot 1$，对它用 Hölder，指数取 $q/p$ 与 $q/(q-p)$：\n\n\n\n$$\\|f\\|_p^p = \\int |f|^p \\cdot 1 \\le \\big\\| |f|^p \\big\\|_{q/p} \\, \\|1\\|_{q/(q-p)} = \\|f\\|_q^p \\, \\mu(X)^{(q-p)/q}$$\n\n两边开 $p$ 次方即得。∎\n\n⭐ **与 $\\ell^p$ 的方向正好相反**（那里是 $p$ 越大空间越小，这里是越小越大）。\n\n记忆口诀：\n\n\n\n- **测度有限** $\\to$ 只有「爆破」要防 $\\to$ 指数**越小**空间**越大**：$L^1 \\supseteq L^2 \\supseteq \\cdots \\supseteq L^\\infty$；\n- **计数测度** $\\to$ 只有「衰减」要防 $\\to$ 指数**越大**空间**越小**：$\\ell^1 \\subseteq \\ell^2 \\subseteq \\cdots \\subseteq \\ell^\\infty$。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §6.1" ] }, { "id": "def.conjugate-exponents", "type": "definition", "label": "共轭指数", "title": "共轭指数（Conjugate Exponents）", "label_en": "conjugate exponents", "title_en": "Conjugate Exponents", "en_page": "nodes/def.conjugate-exponents.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 14, "tags": [ "定义", "共轭", "对偶" ], "statement": "设 $1 \\le p \\le \\infty$。称 $q$ 是 $p$ 的**共轭指数**，当且仅当\n\n$$\\frac{1}{p} + \\frac{1}{q} = 1$$\n\n（约定 $1/\\infty = 0$，于是 $p = 1$ 对应 $q = \\infty$，$p = \\infty$ 对应 $q = 1$。）", "notes": "由对称性 $\\dfrac{1}{q} + \\dfrac{1}{p} = 1$，所以「共轭」是相互的：$p$ 与 $q$ 互为共轭。\n\n$p = 2$ 时 $q = 2$：**$L^2$ 是自共轭的** —— 这是 Hilbert 空间理论的起点。\n\n⭐ 共轭指数的意义：Hölder 不等式说 $L^p$ 与 $L^q$ 之间有一对「配对」$\\int fg$；而下面的对偶定理说这个配对**恰好就是 $L^p$ 的整个对偶空间**。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §6.2" ] }, { "id": "def.duality-map", "type": "definition", "label": "对偶配对 φ_g", "title": "由 g 给出的线性泛函 $\\varphi_g(f) = \\int f\\cdot g$", "label_en": "dual pairing", "title_en": "dual pairing", "en_page": "nodes/def.duality-map.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 19, "tags": [ "定义", "对偶", "线性泛函" ], "statement": "设 $p, q$ 共轭，$g \\in L^q$。定义 $L^p$ 上的线性泛函\n\n$$\\varphi_g(f) := \\int f g \\, d\\mu$$", "notes": "由 **Hölder 不等式**，这个泛函是有界的，而且\n\n\n\n$$\\|\\varphi_g\\| \\le \\|g\\|_q$$\n\n（这里 $\\|\\varphi_g\\|$ 是 $(L^p)^*$ 里的算子范数，即 $\\sup\\{|\\varphi_g(f)| : \\|f\\|_p = 1\\}$。）\n\n⭐ 于是得到一个映射\n\n\n\n$$L^q \\longrightarrow (L^p)^*, \\qquad g \\mapsto \\varphi_g$$\n\n下面两条命题要证明它是一个**等距同构**（在 $1 < p < \\infty$ 时）。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §6.2" ] }, { "id": "prop.duality-isometry", "type": "proposition", "label": "‖g‖_q = ‖φ_g‖", "title": "命题：$\\|\\varphi_g\\| = \\|g\\|_q$（$\\mu$ 半有限时也含 $q = \\infty$）", "label_en": "isometry", "title_en": "isometry", "en_page": "nodes/prop.duality-isometry.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 20, "tags": [ "命题", "等距", "对偶" ], "statement": "设 $p, q$ 共轭。则\n\n- 若 $1 \\le q < \\infty$，$g \\in L^q$，就有 $\\|\\varphi_g\\| = \\|g\\|_q$；\n- 若 $\\mu$ 是**半有限**的，$q = \\infty$ 时同样成立。", "notes": "证明的要点是**构造一个把 $\\varphi_g$ 的范数顶满的 $f$**。\n\n\n\n**$q < \\infty$ 时**：由 Hölder 已有 $\\|\\varphi_g\\| \\le \\|g\\|_q$；反向取\n\n\n\n$$f := \\frac{|g|^{q-1} \\operatorname{sgn} g}{\\|g\\|_q^{\\,q-1}}$$\n\n\n\n直接算得 $\\|f\\|_p^p = \\dfrac{\\int |g|^q}{\\int |g|^q} = 1$，于是\n\n\n\n$$\\|\\varphi_g\\| \\ge \\int fg = \\|g\\|_q$$\n\n**$q = 1$ 时**取 $f = \\operatorname{sgn} g$（范数 1），得 $\\int fg = \\|g\\|_1$。\n\n**$q = \\infty$ 时**要用到半有限性：对任意 $\\varepsilon > 0$，集合 $A = \\{|g(x)| > \\|g\\|_\\infty - \\varepsilon\\}$ 有正测度；由半有限性取 $B \\subseteq A$ 使 $0 < \\mu(B) < \\infty$，令\n\n\n\n$$f := \\mu(B)^{-1} \\chi_B \\operatorname{sgn} g$$\n\n\n\n则 $\\|f\\|_1 = 1$ 而 $\\|\\varphi_g\\| \\ge \\int fg = \\dfrac{1}{\\mu(B)} \\int_B |g| \\ge \\|g\\|_\\infty - \\varepsilon$。由 $\\varepsilon$ 任意即得。∎", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Prop. 6.8" ] }, { "id": "prop.bounded-functional-gives-lq", "type": "proposition", "label": "有界 ⟹ g ∈ L^q", "title": "命题：若 $f \\mapsto \\int fg$ 在简单函数上有界，则 $g \\in L^q$", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 20, "tags": [ "命题", "有界泛函", "L^q" ], "statement": "设 $g$ 在 $(X, \\mathcal{M})$ 上可测，且对**每个有限支集的简单函数** $f$ 都有 $fg \\in L^1$。记\n\n$$M_g(g) := \\sup \\left\\{ \\, \\left| \\int fg \\right| : f \\in \\Sigma,\\ \\|f\\|_p = 1 \\,\\right\\}$$\n\n（$\\Sigma$ $=$ 有限支集简单函数全体。）若 $M_g(g) < \\infty$，且\n\n- $\\{x : g(x) \\ne 0\\}$ 是 **$\\sigma$有限** 的，**或**\n- $\\mu$ 是**半有限**的，\n\n则 $g \\in L^q$，且 $M_g(g) = \\|g\\|_q$。", "notes": "这条是下一个大定理（$(L^p)^* \\cong L^q$）的技术准备：它说「泛函有界」这件事本身就已经把 $g$ 逼进了 $L^q$。\n\n证明分三步（见右侧箭头）：Step 1 先证「$f$ 有限支可测」时也有 $|\\int fg| \\le M_g(g)$；Step 2 处理 $q < \\infty$；Step 3 处理 $q = \\infty$。\n\n⚠ 两个前提条件（$\\sigma$有限 / 半有限）在 Step 2、Step 3 里各用一次，**不能省**。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 6.14" ] }, { "id": "thm.riesz-representation-lp", "type": "theorem", "label": "(L^p)* ≅ L^q", "title": "定理（Riesz 表示）：$1 < p < \\infty$ 时 $(L^p)^{*} \\cong L^q$", "label_en": "dual space", "title_en": "dual space", "en_page": "nodes/thm.riesz-representation-lp.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 22, "tags": [ "定理", "Riesz 表示", "对偶", "等距同构" ], "statement": "设 $1 < p < \\infty$，$q$ 是共轭指数。则对每个 $\\Phi \\in (L^p)^*$，存在**唯一**（a.e.）的 $g \\in L^q$ 使\n\n$$\n\\Phi(f) = \\int f g \\, d\\mu \\qquad \\forall f \\in L^p\n$$\n\n于是映射 $g \\mapsto \\varphi_g$ 是 $L^q$ 到 $(L^p)^*$ 的**等距同构**：\n\n$$(L^p)^* \\cong L^q$$\n\n特别地，$p = 2$ 时 $L^2$ 自对偶。", "notes": "⭐ 这是 $L^p$ 理论的高潮：**$L^p$ 上的每一个连续线性泛函，都只是「乘一个 $L^q$ 函数再积分」**。\n\n$p = 1$、$\\mu$ $\\sigma$有限时结论同样成立（$(L^1)^* \\cong L^\\infty$）；\n\n⚠ 但 $p = \\infty$ 时**不成立**：$(L^\\infty)^*$ 严格大于 $L^1$（存在不是由 $L^1$ 函数给出的有界线性泛函，比如在 $C[0,1]$ 上调 Hahn–Banach 得到的那些）。\n\n证明思路（见右侧箭头）：先把 $\\Phi$ 变成一个复测度（$\\nu(E) := \\Phi(\\chi_E)$），再用 Radon–Nikodym 把它写成 $\\int \\cdot \\, g \\, d\\mu$，最后验证 $g \\in L^q$。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, Theorem 6.15" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem" } }, { "id": "cor.lp-reflexive", "type": "corollary", "label": "L^p 自反", "title": "推论：$1 < p < \\infty$ 时 $L^p \\cong (L^p)^{**}$", "label_en": "reflexive", "title_en": "reflexive", "en_page": "nodes/cor.lp-reflexive.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.lp", "layer": 19, "tags": [ "推论", "自反", "对偶" ], "statement": "设 $1 < p < \\infty$。则\n\n$$L^p \\cong (L^p)^{**}$$\n\n即 $L^p$ 是**自反**的 Banach 空间。", "notes": "**证明。** 设 $1 < p < \\infty$，$q$ 是共轭指数（$\\frac1p+\\frac1q = 1$，于是也有 $1 < q < \\infty$）。\n- 由「$L^{p}$ 的对偶是 $L^{q}$」（Riesz 表示）：$(L^{p})^{*} \\cong L^{q}$ ✓；\n- 把同一条定理用在 $q$ 上：$(L^{q})^{*} \\cong L^{p}$ ✓；\n- 于是\n$$(L^{p})^{**} \\cong (L^{q})^{*} \\cong L^{p},$$\n即 $L^{p}$ **自反** ✓。∎\n⚠️ $p = 1$ 与 $p = \\infty$ 时**不**自反：$(L^{1})^{*} \\cong L^{\\infty}$，而 $(L^{\\infty})^{*}$ 严格大于 $L^{1}$（有非绝对连续的函数）✓。\n⭐ 自反的价值：自反 Banach 空间里**有界序列必有弱收敛子列**（Eberlein–Šmulian），这是 $L^{p}$ 上变分 / 存在性论证的常用工具。\n\n把对偶定理用两次即可：$(L^p)^* \\cong L^q$，而 $q$ 的共轭又回到 $p$，故 $(L^p)^{**} \\cong (L^q)^* \\cong L^p$。\n\n⚠ $p = 1$ 与 $p = \\infty$ 时**不**自反。\n\n⭐ 自反性的价值：自反 Banach 空间里**有界序列必有弱收敛子列**（Banach–Alaoglu / Eberlein–Šmulian），这是变分法与 PDE 里取极限的基本工具。", "refs": [ "Folland, Real Analysis, §6.2" ] }, { "id": "def.extended-real", "type": "definition", "label": "扩充实数 [−∞,+∞]", "title": "扩充实数系 $\\overline{\\mathbb{R}}$（Extended Reals）", "label_en": "extended real", "title_en": "Extended Reals", "en_page": "nodes/def.extended-real.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.real", "layer": 13, "tags": [ "定义", "实数" ], "statement": "在 $\\mathbb{R}$ 上添两个记号 $+\\infty$、$-\\infty$，得到**扩充实数系**\n\n$$\\overline{\\mathbb{R}} := \\mathbb{R} \\cup \\{ -\\infty, +\\infty \\}$$\n\n规定 $-\\infty < x < +\\infty$ 对一切 $x \\in \\mathbb{R}$ 成立，于是 $\\overline{\\mathbb{R}}$ 仍是全序集；并约定\n\n$$x + (\\pm\\infty) = \\pm\\infty, \\qquad 0 \\cdot (\\pm\\infty) = 0$$\n\n而 $\\infty - \\infty$ 与 $\\infty / \\infty$ **不定义**。", "notes": "为什么需要它：测度、积分的取值天然可以是 $\\infty$（$\\mathbb{R}$ 的 Lebesgue 测度就是 $\\infty$），把所有量都放进 $\\overline{\\mathbb{R}}$，收敛定理（sup、极限）就不必反复讨论「值是不是有限」。\n\n⚠ 约定 $0 \\cdot \\infty = 0$ 是刻意的：它让「在无穷测度集上取 $0$ 的函数」积分为 $0$。\n⚠ 它不是域：$\\infty$ 没有加法逆元。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "def.interval", "type": "definition", "label": "区间", "title": "区间（Interval）", "label_en": "interval", "title_en": "Interval", "en_page": "nodes/def.interval.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis", "order-theory" ], "cluster": "analysis.real", "layer": 13, "tags": [ "定义", "实数" ], "statement": "$\\mathbb{R}$ 的**区间**是满足下式的子集 $I$：\n\n$$a, b \\in I,\\ a \\le x \\le b \\implies x \\in I$$\n\n即「中间不空」。常见的有界区间写成\n\n$$(a, b), \\quad [a, b], \\quad [a, b), \\quad (a, b]$$\n\n按端点是否取到区分；另有 $(-\\infty, b)$、$(a, +\\infty)$、$\\mathbb{R}$ 等无界区间，以及单点集 $[a, a]$。\n\n体积就是长度：$m((a, b]) = b - a$。", "notes": "⭐ **半开区间 $\\{ (a, b] : a < b \\}$ 是构造 Lebesgue–Stieltjes 测度时的起点**：它本身只是一个基本类，做有限不交并就得到环，长度在那个环上已经是预测度。\n\n为什么要用半开而不是开区间：不交并的长度好算 —— $[a, b) \\sqcup [b, c) = [a, c)$ 在开区间上不成立。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 2" ] }, { "id": "def.sequence-limit", "type": "definition", "label": "数列极限", "title": "数列极限 $x_n \\to x$（Limit of a Sequence）", "label_en": "limit", "title_en": "limit", "en_page": "nodes/def.sequence-limit.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.real", "layer": 13, "tags": [ "定义", "极限" ], "statement": "数列 $\\{x_n\\} \\subseteq \\mathbb{R}$ **收敛到** $x$（记 $x_n \\to x$ 或 $\\lim_{n \\to \\infty} x_n = x$），当且仅当\n\n$$\\forall \\varepsilon > 0, \\exists N, \\forall n \\ge N : |x_n - x| < \\varepsilon$$\n\n即：不管给出多小的 $\\varepsilon$，从某一项之后，所有项都落在 $x$ 的 $\\varepsilon$ 邻域里。\n\n不收敛的数列叫**发散**。", "notes": "⭐ 这就是「$\\varepsilon$-$N$ 语言」：把「越来越近」翻译成可以逐条检验的条件。整个分析学的证明都建立在这个格式上。\n\n基本性质（都由定义直接验证）：\n- 极限**唯一**；\n- 收敛数列**有界**；\n- 四则运算与极限可交换（分母极限非零时）。\n\n⚠ 「有界」不保证收敛（$(-1)^n$）；「$\\varepsilon$ 固定、$N$ 往后」的顺序不能换。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3" ] }, { "id": "def.series", "type": "definition", "label": "级数收敛", "title": "级数 $\\sum a_n$（Series）", "label_en": "series", "title_en": "Series", "en_page": "nodes/def.series.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.real", "layer": 14, "tags": [ "定义", "极限" ], "statement": "给定数列 $\\{a_n\\}$，令**部分和** $s_N := \\sum_{n=1}^{N} a_n$。\n\n称级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$ **收敛**，当且仅当部分和数列 $\\{s_N\\}$ 收敛，此时记\n\n$$\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n := \\lim_{N \\to \\infty} s_N$$\n\n**非负项级数**（$a_n \\ge 0$）特别干净：部分和递增，于是\n\n$$\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n = \\sup_N s_N \\in [0, +\\infty]$$\n\n一定有意义（可能是 $+\\infty$）。", "notes": "⭐ 测度的**可数可加**、积分的**逐项**性质，用的都是非负项级数这一行：非负就不必担心条件收敛与重排。\n\n⚠ 收敛级数**可以重排**的只有绝对收敛的情形；条件收敛的级数重排后可能收敛到别的值（Riemann 重排定理）。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3" ] }, { "id": "def.continuous", "type": "definition", "label": "连续", "title": "连续（Continuity）", "label_en": "continuous", "title_en": "continuous", "en_page": "nodes/def.continuous.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis", "topology" ], "cluster": "analysis.real", "layer": 14, "tags": [ "定义", "极限", "连续" ], "statement": "$f : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ 在 $x_0$ **连续**，当且仅当\n\n$$\\forall \\varepsilon > 0, \\exists \\delta > 0 : |x - x_0| < \\delta \\implies |f(x) - f(x_0)| < \\varepsilon$$\n\n等价说法：$\\lim_{x \\to x_0} f(x) = f(x_0)$（极限存在且等于函数值）。\n\n$f$ **连续**（在 $\\mathbb{R}$ 上连续）当且仅当它在每一点连续。\n\n**一致连续**是更强的要求：$\\delta$ 只依赖 $\\varepsilon$，不依赖 $x_0$。", "notes": "⭐ 把 $|x - x_0| < \\delta$、$|f(x) - f(x_0)| < \\varepsilon$ 换成距离 $d$，这个定义原封不动地搬到距离空间 —— 这也正是距离空间的定义为什么长成那样。\n\n⚠ **连续 $\\ne$ 一致连续**：$f(x) = x^2$ 在 $\\mathbb{R}$ 上连续但不一致连续（$x$ 越大需要的 $\\delta$ 越小）。紧区间上两者才重合。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 4" ] }, { "id": "def.derivative", "type": "definition", "label": "导数", "title": "导数 $F'$（Derivative）", "label_en": "derivative", "title_en": "Derivative", "en_page": "nodes/def.derivative.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.real", "layer": 15, "tags": [ "定义", "导数" ], "statement": "$F : (a, b) \\to \\mathbb{C}$ 在 $x_0 \\in (a, b)$ **可导**，当且仅当极限\n\n$$F'(x_0) := \\lim_{h \\to 0} \\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h}$$\n\n存在（有限）。这个数叫 $F$ 在 $x_0$ 的**导数**。\n\n在 $(a, b)$ 上处处可导，就得到一个函数 $F'$；称 $F$ **可导**。\n\n若不要求极限存在而允许 $\\pm\\infty$，得到的是**广义导数**，单调函数的导数理论要用它。", "notes": "⭐ 微分理论关心的是**逐点**行为，所以定义域常常收缩到 $L^1_{loc}$ 而不是 $L^1$。\n\n要点（本星图 BV / AC 那一段全靠它们）：\n- 可导 $\\implies$ 连续，反之不成立（$|x|$ 在 $0$ 处）。\n- 单调函数**几乎处处可导**，且 $F' \\ge 0$ a.e.。\n- 可导**不保证** $F(b) - F(a) = \\int_a^b F'$（Cantor 函数就是反例）；等式成立要加绝对连续。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 5" ] }, { "id": "def.complex", "type": "definition", "label": "复数 ℂ", "title": "复数系 $\\mathbb{C}$（Complex Numbers）", "label_en": "complex numbers", "title_en": "Complex Numbers", "en_page": "nodes/def.complex.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis", "algebra" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 13, "tags": [ "定义", "复数" ], "statement": "**复数系** $\\mathbb{C} := \\mathbb{R}^2$，配以下运算：\n\n$$(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d), \\qquad (a, b)(c, d) := (ac - bd, ad + bc)$$\n\n记 $i := (0, 1)$，则每个复数唯一地写成 $z = a + bi$（$a, b \\in \\mathbb{R}$）。\n\n$\\bar{z} := a - bi$ 是**共轭**，$|z| := \\sqrt{a^2 + b^2}$ 是**模**；并且\n\n$$|zw| = |z|\\,|w|, \\qquad z \\bar{z} = |z|^2$$\n\n于是每个 $z \\ne 0$ 都有逆 $z^{-1} = \\bar{z}/|z|^2$：$\\mathbb{C}$ 是一个域。", "notes": "⭐ $\\mathbb{C}$ 与 $\\mathbb{R}^2$ 的区别只在乘法 —— 而正是这个乘法让 $\\mathbb{C}$ 成为**代数闭域**（每个多项式都有根），也让复值函数的积分理论比实值情形简洁：$|f|$ 与 $L^p$ 理论的表述不必再分正负部。\n\n⚠ **$\\mathbb{C}$ 是有序域之外的东西**：它上面**没有**与运算相容的全序。若不然，由 $1 = 1^2 > 0$ 得 $-1 < 0$；可是 $i \\ne 0$，而有序域里**平方元非负**，$i^2 = -1$ 应当 $\\ge 0$ —— 矛盾。\n\n本星图里 $\\mathbb{C}$ 主要出现在两处：复值函数的积分（拆实部虚部）、复测度（取值在 $\\mathbb{C}$ 里，自动有限）。", "refs": [ "Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "def.union-inter", "type": "definition", "label": "并集与交集", "title": "并集 / 交集（Union & Intersection）", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.construct", "layer": 2, "tags": [ "定义", "集合运算" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是一族集合（$A$ 的**并**与**交**是它只有两个成员时的特例）：\n\n$$\\bigcup \\mathcal{A} := \\{ x : \\exists A \\in \\mathcal{A},\\ x \\in A \\}$$\n$$\\bigcap \\mathcal{A} := \\{ x : \\forall A \\in \\mathcal{A},\\ x \\in A \\}$$\n\n两个集合的情形记作 $A \\cup B$、$A \\cap B$；可数族的并、交常记作 $\\bigcup_{n} A_n$、$\\bigcap_{n} A_n$。\n\n显然 $A \\cap B \\subseteq A \\subseteq A \\cup B$。", "notes": "由并集公理，$\\bigcup \\mathcal{A}$ 是集合；$\\bigcap \\mathcal{A}$ 由分离公理模式取出。\n\n⭐ **「对可数并封闭」「对可数交封闭」是整段测度论反复出现的条件**（$\\sigma$-环、$\\sigma$-代数、单调类都是这么定义的）。\n\n⚠ 分配律对任意族都成立：$A \\cap \\bigcup_i B_i = \\bigcup_i (A \\cap B_i)$；补与并、交的交换就是 De Morgan 律。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.diff-complement", "type": "definition", "label": "差集与补集", "title": "差集 / 补集 / 对称差（Difference, Complement & Symmetric Difference）", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.construct", "layer": 2, "tags": [ "定义", "集合运算" ], "statement": "设 $A$、$B$、$X$ 是集合且 $A, B \\subseteq X$：\n\n- **差集**：$A \\setminus B := \\{ x \\in A : x \\notin B \\}$；\n- **补集**（相对于 $X$）：$A^{c} := X \\setminus A$；\n- **对称差**：$A \\triangle B := (A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A)$。\n\n基本恒等式：\n\n$$A \\setminus B = A \\cap B^{c}, \\qquad (A^{c})^{c} = A, \\qquad (\\bigcup_i A_i)^{c} = \\bigcap_i A_i^{c}$$\n\n最后一条就是 **De Morgan 律**。", "notes": "⭐ De Morgan 律是「用差 + 可数并推出可数交」的全部依据：$\\bigcap_n A_n = A_1 \\setminus \\bigcup_{n \\ge 2} (A_1 \\setminus A_n)$ —— $\\sigma$-环只要求对差与可数并封闭，可数交就自动有了。\n\n⚠ **补集必须相对于某个全集 $X$ 才有意义**，这也正是 $\\sigma$-代数要含 $X$ 的原因：不含 $X$ 就只剩 $\\sigma$-环，补运算落不到里面。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.empty", "type": "definition", "label": "空集 ∅", "title": "空集（Empty Set）", "label_en": "empty set", "title_en": "Empty Set", "en_page": "nodes/def.empty.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.construct", "layer": 0, "tags": [ "定义", "空集" ], "statement": "**空集**是不含任何元素的集合，记作 $\\emptyset$：\n\n$$\\emptyset := \\{ x : x \\ne x \\}$$\n\n「$x \\ne x$」对任何 $x$ 都不成立，所以这个集合里一个元素也没有。它是**语言里就给出的原始对象**，与外延公理、一阶语言同级。\n\n于是对一切集合 $A$：$\\emptyset \\subseteq A$（空泛真），且 $\\emptyset$ 是 $\\subseteq$ 的最小元。", "notes": "⭐「$\\emptyset \\in \\mathcal{A}$」「$\\emptyset \\notin F$」这类条件在测度论里到处都是（选择公理要求集合族里没有空集；$\\mu(\\emptyset) = 0$ 是测度的第一条）。\n\n⚠ 外延公理给的是「**至多**一个」；真正「存在」的那一半是分开来的，见「空集存在」。\n\n⚠ 区分 $\\emptyset$ 与 $\\{\\emptyset\\}$：后者含一个元素（那个元素是空集），所以 $\\{\\emptyset\\} \\ne \\emptyset$。\n⚠ $\\emptyset \\subseteq A$ 是**空泛真**（vacuously true）：没有任何 $x \\in \\emptyset$ 需要检查。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.bijection", "type": "definition", "label": "单射 / 满射 / 双射", "title": "单射 / 满射 / 双射（Injective / Surjective / Bijective）", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.rel", "layer": 6, "tags": [ "定义", "函数" ], "statement": "设 $f : A \\to B$。\n\n- $f$ **单射**（injective）：$f(a) = f(a') \\implies a = a'$，即不同输入给不同输出；\n- $f$ **满射**（surjective）：$\\forall b \\in B, \\exists a \\in A : f(a) = b$，即 $f(A) = B$；\n- $f$ **双射**（bijective）：既单又满。\n\n双射 $f : A \\to B$ 的**逆** $f^{-1} : B \\to A$ 也是双射（把 $f$ 看作关系时，逆关系就是 $f^{-1}$）。\n\n于是「存在双射 $A \\to B$」是集合之间的一种等价关系，用来定义**等势**。", "notes": "⭐ 单射在这里最常见的用法是**反证**：Hartogs 定理断言「存在不能单射进 $X$ 的序数」，良序定理的证明里「$\\alpha \\hookrightarrow X$ 不成立」也是同一个句式。\n\n⚠ 「是单射/满射」必须相对**指定的 $B$** 说：同一个函数 $f : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$，$x \\mapsto x^2$ 既不单也不满；把陪域改成 $[0, \\infty)$ 就满了。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.preimage", "type": "definition", "label": "像与原像", "title": "像与原像（Image / Preimage）", "label_en": "preimage", "title_en": "preimage", "en_page": "nodes/def.preimage.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory", "analysis" ], "cluster": "set.rel", "layer": 6, "tags": [ "定义", "映射", "像", "原像" ], "statement": "设 $f : X \\to Y$ 是映射。\n\n- 对 $A \\subseteq X$，$A$ 的**像**是 $f(A) := \\{\\, f(x) : x \\in A \\,\\} \\subseteq Y$；\n- 对 $B \\subseteq Y$，$B$ 的**原像**是 $f^{-1}(B) := \\{\\, x \\in X : f(x) \\in B \\,\\} \\subseteq X$。", "notes": "⭐ **原像对并、交、补全部保持，而且不需要任何额外假设**：\n\n\n\n$$f^{-1}\\Bigl(\\bigcup_{i} B_{i}\\Bigr) = \\bigcup_{i} f^{-1}(B_{i}), \\qquad f^{-1}\\Bigl(\\bigcap_{i} B_{i}\\Bigr) = \\bigcap_{i} f^{-1}(B_{i}), \\qquad f^{-1}(B^{c}) = \\bigl(f^{-1}(B)\\bigr)^{c}$$\n\n\n\n像**没有**这些性质：$f(A \\cap A') \\subseteq f(A) \\cap f(A')$ 一般只是包含，取等要 $f$ 单射。这正是「**连续**」（每个开集的原像是开集）与「**可测**」（每个可测集的原像可测）都用原像、不用像来定义的原因。\n\n**证明（补集，其余两条逐字同理）**：$x \\in f^{-1}(B^{c}) \\iff f(x) \\in B^{c} \\iff f(x) \\notin B \\iff x \\notin f^{-1}(B) \\iff x \\in \\bigl(f^{-1}(B)\\bigr)^{c}$ ✓。∎\n\n**记号**：$f^{-1}$ 有两种用法 —— 作用在**元素**上（$f^{-1}(y)$）是逆映射，只在 $f$ 可逆时有意义；作用在**集合**上（$f^{-1}(B)$）是原像，**永远**有意义。看参数是元素还是集合就能分辨，两种含义在 $f$ 可逆时一致。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.countable", "type": "definition", "label": "可数与不可数", "title": "可数 / 至多可数（Countable）", "label_en": "countable", "title_en": "Countable", "en_page": "nodes/def.countable.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.cardinal", "layer": 8, "tags": [ "定义", "基数", "可数" ], "statement": "设 $\\mathbb{N} = \\{0, 1, 2, \\ldots\\}$ 是自然数集。\n\n集合 $A$ **可数**，当且仅当存在双射 $A \\to \\mathbb{N}$（即能把 $A$ 排成一个无穷序列 $a_0, a_1, a_2, \\ldots$，一个不漏、一个不重）。\n\n既有限又可数的情形合起来叫**至多可数**：$A$ 至多可数 $\\iff$ 存在单射 $A \\to \\mathbb{N}$。\n\n不是至多可数的集合叫**不可数**。", "notes": "⭐ 这一条撑起了两大块内容：\n- **$\\sigma$-环 / $\\sigma$-代数 / 单调类**：可数并、可数交里的「可数」就是它；\n- **测度的可数可加**：$\\mu(\\bigcup_n E_n) = \\sum_n \\mu(E_n)$ 里的下标集要可数。\n\n基本事实：$\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}$ 可数；至多可多个可数集的并仍可数；$\\mathbb{R}$ 不可数（Cantor 对角线法）。\n\n⚠ 「可数」不是「数得完」：$\\mathbb{N}$ 自己就可数但数不完。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.6" ] }, { "id": "def.ae", "type": "definition", "label": "几乎处处", "title": "几乎处处（Almost Everywhere, a.e.）", "label_en": "almost everywhere", "title_en": "Almost Everywhere, a.e.", "en_page": "nodes/def.ae.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis" ], "cluster": "analysis.measure", "layer": 16, "tags": [ "定义", "零集" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu)$ 是测度空间。称一个关于点 $x$ 的命题 $P(x)$ **几乎处处成立**（记 a.e.），当且仅当\n\n$$\\exists E \\in \\mathcal{M}:\\ \\mu(E) = 0 \\quad \\text{且} \\quad \\forall x \\in X \\setminus E,\\ P(x)\\ \\text{成立}$$\n\n即：**使命题不成立的那些点构成一个零集**。\n\n常见的用法：$f = g$ a.e.（$\\{f \\ne g\\}$ 是零集）、$f_n \\to f$ a.e.（不收敛的点是零集）、$F' = 0$ a.e.。", "notes": "⭐ a.e. 是 Lebesgue 理论的**润滑剂**：$L^1$、$L^p$ 的元素其实是**函数的等价类**（a.e. 相等视为同一个），几乎所有收敛定理（MCT、Fatou、DCT 的 a.e. 版本、Egorov）都只要求 a.e. 收敛 —— 因为零集上的取值对积分没有贡献。\n\n⚠ 「a.e. 相等」与「处处相等」是不同的关系：$\\int |f| = 0 \\implies f = 0$ a.e.（而不是处处 0）。\n⚠ 零集的**子集**未必可测，除非测度空间完备 —— 这就是「完备化」要解决的问题。", "refs": [ "Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "def.power-set", "type": "definition", "label": "幂集 𝒫(X)", "title": "幂集（Power Set）", "label_en": "power set", "title_en": "Power Set", "en_page": "nodes/def.power-set.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.construct", "layer": 3, "tags": [ "定义", "幂集" ], "statement": "设 $X$ 是集合。$X$ 的**幂集**是「$X$ 的全部子集」装成的集合：\n\n$$\\mathcal{P}(X) := \\{ A : A \\subseteq X \\}$$\n\n于是 $A \\in \\mathcal{P}(X) \\iff A \\subseteq X$，且 $\\mathcal{P}(X)$ 自己的元素都是集合。\n\n由**幂集公理**，$\\mathcal{P}(X)$ 确实是集合；由外延公理它唯一。\n\n有限情形的元素个数：$|X| = n \\implies |\\mathcal{P}(X)| = 2^{n}$（每个元素「取或不取」）。", "notes": "⭐ 幂集是「把性质变成对象」的那一步：想谈「$X$ 的所有子集」这件事本身（而不是逐个谈），就得有幂集。$\\mathcal{P}(X)$ 同时是几个重要构造的舞台：\n- 外测度定义在**全体子集**上：$\\mu^* : \\mathcal{P}(X) \\to [0, +\\infty]$；\n- 环、$\\sigma$-代数、单调类都是 $\\mathcal{P}(X)$ 的某一族子集；\n- 生成的 $\\sigma$-代数取的就是「一切包含 $\\mathcal{E}$ 的 $\\sigma$-代数之交」，而 $\\mathcal{P}(X)$ 保证这个交不空。\n\n⚠ $\\emptyset \\in \\mathcal{P}(X)$ 且 $X \\in \\mathcal{P}(X)$ 对一切 $X$ 成立 —— 幂集从来不是空的。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.equinumerous", "type": "definition", "label": "等势", "title": "等势（Equinumerous）", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.cardinal", "layer": 7, "tags": [ "定义", "基数" ], "statement": "集合 $A$ 与 $B$ **等势**（记 $|A| = |B|$ 或 $A \\approx B$），当且仅当存在**双射**\n\n$$f : A \\to B$$\n\n「等势」是集合之间的一种等价关系：自反（恒等映射）、对称（逆映射）、传递（合成）。", "notes": "⭐ 这是**比较大小的正确方式**：不去数个数（无限集数不完），而是问「能不能一一配对」。\n\n经典结果：\n- $\\mathbb{N}$ 与 $\\mathbb{Q}$、$\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}$ 都等势（可数）；\n- $(0, 1)$ 与 $\\mathbb{R}$ 等势（$x \\mapsto \\tan \\pi(x - 1/2)$ 之类）；\n- $\\mathbb{N}$ 与 $\\mathbb{R}$ **不等势**（Cantor 定理）。\n\n⚠ $A \\subseteq B$ 与「等势」无关：$\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Q}$ 但两者等势 —— 这正是无限集与有限集的分界（Dedekind 的刻画：与某个真子集等势 $\\iff$ 无限）。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.6" ] }, { "id": "def.cardinal", "type": "definition", "label": "基数 |A|", "title": "基数与基数的比较（Cardinality）", "label_en": "cardinality", "title_en": "cardinality", "en_page": "nodes/def.cardinal.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.cardinal", "layer": 8, "tags": [ "定义", "基数" ], "statement": "等势把「所有集合」分成一个个类。「集合 $A$ 的**基数**」$|A|$ 指的就是 $A$ 所在的这个等势类 —— 它衡量 $A$ 有多大，而不关心 $A$ 的元素是什么。\n\n比较两个基数：\n\n- $|A| \\le |B|$：存在**单射** $A \\to B$；\n- $|A| = |B|$：存在**双射** $A \\to B$（等势）；\n- $|A| < |B|$：$|A| \\le |B|$ 但 $|A| \\ne |B|$。\n\n若 $|A| \\le |B|$ 且 $|B| \\le |A|$，则 $|A| = |B|$（Schröder–Bernstein 定理）。", "notes": "⭐ 记号的用法：$|\\mathbb{N}| = \\aleph_0$（可数无限），$|\\mathbb{R}| = 2^{\\aleph_0}$，且 $\\aleph_0 < 2^{\\aleph_0}$。\n\n⚠ 严格说来「等势类」不是集合（它是真类），所以 ZFC 里的通行做法是：先有**序数**，再用良序定理（$\\iff$ AC）取每个等势类里最小的那个序数作代表，那个序数就叫基数。\n> 本星图只用到「$|A| \\le |B|$ 靠单射、$|A| = |B|$ 靠双射」这两件事 —— 它们不需要选代表就能用。\n\n⚠ 任意两个基数**不一定可比**，这正是**基数可比定理**（要用 AC）的内容。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.6" ] }, { "id": "thm.cantor", "type": "theorem", "label": "Cantor 定理", "title": "Cantor 定理：$|A| < |\\mathcal{P}(A)|$", "label_en": "diagonal argument", "title_en": "diagonal argument", "en_page": "nodes/thm.cantor.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.cardinal", "layer": 9, "tags": [ "定理", "基数", "对角线" ], "statement": "对任意集合 $A$：\n\n$$|A| < |\\mathcal{P}(A)|$$\n\n也就是说：**不存在**从 $A$ 到 $\\mathcal{P}(A)$ 的满射（当然也不存在双射），但 $a \\mapsto \\{a\\}$ 是单射。", "notes": "⭐ 推论：**没有最大的基数** —— 从任何集合出发，取幂集就得到更大的。于是\n\n$\\aleph_0 < 2^{\\aleph_0} < 2^{2^{\\aleph_0}} < \\cdots$\n\n取 $A = \\mathbb{N}$ 就得到「$\\mathbb{R}$ 不可数」（$|\\mathbb{R}| = 2^{\\aleph_0}$）。\n\n证明用的是**对角线法**（见边的证明）：那个「对角集」$D = \\{ a \\in A : a \\notin f(a) \\}$ 不在 $f$ 的像里。这是数学史上最会产定理的一个构造，往后 Cantor–Bernstein、Gödel 不完备定理、停机问题用的都是它。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.6" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theorem", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Cantor%27s+theorem" } }, { "id": "thm.schroder-bernstein", "type": "theorem", "label": "Schröder–Bernstein 定理", "title": "Schröder–Bernstein 定理", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.cardinal", "layer": 7, "tags": [ "定理", "基数" ], "statement": "若存在单射 $f : A \\to B$ 与单射 $g : B \\to A$，则存在**双射** $A \\to B$，即\n\n$$|A| \\le |B| \\ \\text{且}\\ |B| \\le |A| \\implies |A| = |B|$$", "notes": "⭐ 它的价值在于**省事**：要证两个集合等势，只要各造一个方向的单射，不必显式写出那个双射。（对比：Cantor 定理的另一条路 —— 有单射无满射 —— 用的是对称的说法。）\n\n⚠ 它**不需要**选择公理：证明是构造性的（见边的证明），这也是它比「任意两个基数可比」好用的地方。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.6" ] }, { "id": "thm.cardinal-comparable", "type": "theorem", "label": "基数可比定理", "title": "基数可比定理（需要选择公理）", "abstract_en": "Assuming the axiom of choice, any two sets $A$, $B$ satisfy $|A| \\le |B|$ or $|B| \\le |A|$, that is, any two cardinals are comparable. This is the licence for ordering cardinals at all: without it even \"$A$ is bigger than $B$\" can be meaningless. The proof runs through the well-ordering theorem: well-order both sets, compare the corresponding ordinals, and read off an injection in one direction. Without AC there really are incomparable cardinals.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/thm.cardinal-comparable.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.cardinal", "layer": 10, "tags": [ "定理", "基数", "选择" ], "statement": "在**选择公理**下：对任意两个集合 $A$、$B$，必有\n\n$$|A| \\le |B| \\quad \\text{或} \\quad |B| \\le |A|$$\n\n即任意两个基数都可以比较大小。", "notes": "⭐ 这条是「基数排序」的许可证：没有它，连「$A$ 比 $B$ 大」这句话都可能毫无意义。\n\n证明路线（见边）：**良序定理**把 $A$、$B$ 都良序化 $\\to$ 对应的序数可以比较 $\\to$ 于是有一个方向能放进单射。所以这条定理与 AC、良序定理是同一件事的三种说法。\n\n⚠ 没有 AC 时确实有不可比的基数（Jech, *The Axiom of Choice*）。", "refs": [ "Jech, The Axiom of Choice, Ch. 3" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/cardinal+number" } }, { "id": "def.topology", "type": "definition", "label": "拓扑空间与开集", "title": "拓扑空间 / 开集（Topological Space）", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 4, "tags": [ "定义", "拓扑", "开集" ], "statement": "设 $X$ 是集合，$\\mathcal{T} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一族子集。$(X, \\mathcal{T})$ 是一个**拓扑空间**，$\\mathcal{T}$ 叫作 $X$ 上的一个**拓扑**，当且仅当：\n\n1. **含两端**：$\\emptyset \\in \\mathcal{T}$ 且 $X \\in \\mathcal{T}$；\n2. **任意并封闭**：$\\{ U_i \\}_{i \\in I} \\subseteq \\mathcal{T} \\implies \\bigcup_{i \\in I} U_i \\in \\mathcal{T}$（$I$ 任意，可以不可数）；\n3. **有限交封闭**：$U, V \\in \\mathcal{T} \\implies U \\cap V \\in \\mathcal{T}$。\n\n$\\mathcal{T}$ 的成员称为**开集**，它们的补集称为**闭集**。", "notes": "⭐ 这三条公理是把「实数上开区间的性质」抽象出来的结果：任意多个开集并起来还是开集，但只有**有限**个开集交起来才保证是开集（$\\bigcap_n (-1/n, 1/n) = \\{0\\}$ 不是开集）。\n\n这套语言的好处是**只留下「哪些集合算开」这一件事**，于是距离、度量、坐标全都可以扔掉 —— 连续、紧、连通、极限这些概念照样能说。\n\n⚠ 同一集合上可以有多个不同的拓扑；比较时用「更细 / 更粗」而不是大小。", "refs": [ "Munkres, Topology, Ch. 2" ] }, { "id": "def.closed-set", "type": "definition", "label": "闭集与闭包", "title": "闭集 / 闭包 / 稠密（Closed Set, Closure）", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 5, "tags": [ "定义", "拓扑", "闭集" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{T})$ 是拓扑空间。\n\n- $F \\subseteq X$ 是**闭集**：$X \\setminus F$ 是开集；\n- $A \\subseteq X$ 的**闭包** $\\operatorname{cl} A$：一切包含 $A$ 的闭集之交（最小的那个闭集）；\n- $A$ **稠密**：$\\operatorname{cl} A = X$；\n- $x$ 的**邻域**：任何含 $x$ 的开集（的包含者）。\n\n由 De Morgan 律，开集的三条公理翻译成闭集就是：$\\emptyset, X$ 闭；**任意**交闭；**有限**并闭。", "notes": "⭐ 开与闭不是互斥的：$\\emptyset$ 与 $X$ 既开又闭；在 $\\mathbb{R}$ 里 $[0, 1]$ 是闭的，$[0, 1)$ 既不开也不闭。\n\n闭包是「把极限点都收进来」：在距离空间里 $\\operatorname{cl} A$ 恰好是「$A$ 中某个序列的极限」全体。", "refs": [ "Munkres, Topology, Ch. 2" ] }, { "id": "def.topology-base", "type": "definition", "label": "基与子基", "title": "拓扑的基 / 子基（Basis, Subbasis）", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 5, "tags": [ "定义", "拓扑", "基" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{T})$ 是拓扑空间，$\\mathcal{B} \\subseteq \\mathcal{T}$。$\\mathcal{B}$ 是拓扑 $\\mathcal{T}$ 的一组**基**，当且仅当每个开集都是 $\\mathcal{B}$ 中若干成员之并；等价条件：\n\n1. $\\bigcup \\mathcal{B} = X$；\n2. 对 $B_1, B_2 \\in \\mathcal{B}$ 与 $x \\in B_1 \\cap B_2$，存在 $B_3 \\in \\mathcal{B}$ 使 $x \\in B_3 \\subseteq B_1 \\cap B_2$。\n\n$\\mathcal{S} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$ 是**子基**，当且仅当它的**有限交**全体构成一组基。", "notes": "⭐ 基的用处：**只需在基上验证，就自动对一切开集成立**。\n- 距离空间里：开球全体构成一组基；\n- $\\mathbb{R}$ 上：开区间构成一组基；半开区间 $\\{ (a, b] \\}$ 也是（这一条在构造 Lebesgue–Stieltjes 测度时更好用）；\n- 积拓扑、$\\sigma$-代数的「柱集」也是同一套路：先定一组好用的集合，再取它生成的东西。\n\n⚠ 基不是唯一的：同一个拓扑可以有很多组基。", "refs": [ "Munkres, Topology, Ch. 2" ] }, { "id": "def.continuous-map", "type": "definition", "label": "连续映射", "title": "连续映射（Continuous Map）", "label_en": "continuous map", "title_en": "Continuous Map", "en_page": "nodes/def.continuous-map.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology", "analysis" ], "cluster": "topology.general", "layer": 5, "tags": [ "定义", "拓扑", "连续" ], "statement": "设 $X$、$Y$ 是拓扑空间。映射 $f : X \\to Y$ **连续**，当且仅当**每个开集的原像是开集**：\n\n$$V \\in \\mathcal{T}_Y \\implies f^{-1}(V) \\in \\mathcal{T}_X$$\n\n只需对某一组**基**（或子基）验证即可。\n\n连续的复合仍连续：$f$、$g$ 连续 $\\implies g \\circ f$ 连续。", "notes": "⭐ 这条定义是 $\\varepsilon$-$\\delta$ 的**抽象化**：在距离空间里，「$f^{-1}(V)$ 开」与「$\\varepsilon$ 给出 $\\delta$」逐字等价 —— 因为开球就是 $\\varepsilon$ 邻域。所以「连续」是拓扑性质，跟具体距离无关。\n\n⚠ 用**原像**而不是像：原像对并、交、补全部保持，像没有这些性质。这与可测函数的定义（$f^{-1}(E) \\in \\mathcal{M}$）是同一个套路。", "refs": [ "Munkres, Topology, Ch. 2" ] }, { "id": "def.homeomorphism", "type": "definition", "label": "同胚", "title": "同胚（Homeomorphism）", "label_en": "homeomorphism", "title_en": "Homeomorphism", "en_page": "nodes/def.homeomorphism.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 7, "tags": [ "定义", "拓扑", "同胚" ], "statement": "设 $X$、$Y$ 是拓扑空间。$f : X \\to Y$ 是**同胚**，当且仅当\n\n- $f$ 是双射；\n- $f$ 与 $f^{-1}$ 都连续。\n\n此时记 $X \\cong Y$，称两个空间**同胚**。「同胚」是拓扑空间之间的等价关系（恒等、逆、复合都保持）。", "notes": "⭐ 同胚 = 「拓扑上分不出来」：一切**拓扑性质**（紧性、连通性、Hausdorff、闭包）都保持不变。\n\n⚠ 反过来也要当心：**度量性质在同胚下会变**。$\\mathbb{R}$ 与开区间 $(0, 1)$ 同胚（$x \\mapsto \\frac{1}{2} + \\frac{1}{\\pi}\\arctan x$），但前者完备、后者不完备 —— 这就是「完备性不是拓扑性质」的经典例子，也是距离空间里「紧 / 闭」与「完备 / 全有界」两类性质的分界线。", "refs": [ "Munkres, Topology, Ch. 2" ] }, { "id": "def.subspace-topology", "type": "definition", "label": "子空间拓扑", "title": "子空间拓扑（Subspace Topology）", "label_en": "subspace topology", "title_en": "Subspace Topology", "en_page": "nodes/def.subspace-topology.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 5, "tags": [ "定义", "拓扑", "子空间" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{T})$ 是拓扑空间，$Y \\subseteq X$。$Y$ 上的**子空间拓扑**取\n\n$$\\mathcal{T}_{Y} := \\{\\, U \\cap Y : U \\in \\mathcal{T} \\,\\}$$\n\n这样得到的拓扑是使含入映射 $Y \\hookrightarrow X$ 连续的最粗拓扑。", "notes": "直观：**子空间的开集就是「大空间的开集切一刀」**。所以「$Y$ 中闭」「$Y$ 中紧」都要按切出来的那片来判断，不能直接看大空间里的样子 —— 例如 $(0, 1) \\subseteq \\mathbb{R}$ 在自身中是闭的，在 $\\mathbb{R}$ 中不是。", "refs": [ "Munkres, Topology" ] }, { "id": "def.quotient-topology", "type": "definition", "label": "商拓扑", "title": "商拓扑（Quotient Topology）", "label_en": "quotient topology", "title_en": "Quotient Topology", "en_page": "nodes/def.quotient-topology.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 6, "tags": [ "定义", "拓扑", "商" ], "statement": "设 $(X, \\mathcal{T})$ 是拓扑空间，$\\pi : X \\twoheadrightarrow Y$ 是满射。$Y$ 上的**商拓扑**取\n\n$$\\mathcal{T}_{Y} := \\{\\, V \\subseteq Y : \\pi^{-1}(V) \\in \\mathcal{T} \\,\\}$$\n\n这是使 $\\pi$ 连续的最细拓扑；带这个拓扑的 $Y$ 叫 $X$ 的**商空间**。", "notes": "直观：**商空间的开集就是「拉回去是开的」的那些**。所以商空间里的性质要「从上面看下来」：$Y$ 中有没有开集分离两个点，问的是它们的原像能不能被 $X$ 的开集分开。\n\n商拓扑与子空间拓扑是方向相反的一对：一个取「切一刀得到的最粗」，一个取「贴回去得到的最细」。", "refs": [ "Munkres, Topology" ] }, { "id": "def.product-topology", "type": "definition", "label": "积拓扑", "title": "积拓扑与乘积空间（Product Topology）", "label_en": "product topology", "title_en": "Product Topology", "en_page": "nodes/def.product-topology.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 6, "tags": [ "定义", "拓扑", "乘积", "投影" ], "statement": "设 $(X_{i}, \\mathcal{T}_{i})_{i \\in I}$ 是一族拓扑空间。$\\prod_{i \\in I} X_{i}$ 上的**积拓扑**是以\n\n$$\\prod_{i \\in I} U_{i} \\qquad (U_{i} \\in \\mathcal{T}_{i},\\ \\text{除有限多个 } i \\text{ 外 } U_{i} = X_{i})$$\n\n为基的拓扑 —— 也就是使所有投影 $\\pi_{j} : \\prod_{i} X_{i} \\to X_{j}$ 都连续的**最粗**拓扑。", "notes": "⭐ **「最粗」是关键字**：投影要连续，只要求每个 $\\pi_{j}^{-1}(U_{j})$ 是开的；把这些取有限交当基，就是积拓扑。要求更细反而会丢掉极限 —— 而「$x_{n} \\to x$ $\\iff$ 按每个分量都收敛」正是这条最粗性换来的。\n\n**范畴意义**：$\\prod_{i} X_{i}$ 连同投影就是 $\\mathbf{Top}$ 里的**积**。所以积拓扑不是随便挑的，它是泛性质唯一确定的那一个。", "refs": [ "Munkres, Topology" ] }, { "id": "def.hausdorff", "type": "definition", "label": "Hausdorff 空间", "title": "Hausdorff 空间 / $T_{2}$（Hausdorff Space）", "label_en": "Hausdorff", "title_en": "Hausdorff", "en_page": "nodes/def.hausdorff.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 5, "tags": [ "定义", "拓扑", "分离公理" ], "statement": "拓扑空间 $X$ 叫 **Hausdorff 空间**（或 **$T_{2}$ 空间**），如果任意两个不同点都**可以被开集分开**：\n\n$$\\forall x \\ne y \\in X,\\ \\exists U \\ni x,\\ V \\ni y \\ \\text{开},\\quad U \\cap V = \\emptyset$$", "notes": "一句话：**极限唯一**。序列只要收敛就只能收敛到一个点 —— 这正是分析里默认的那种空间。\n\n更强的分离性是**正规**（$T_{4}$）：任意两个不交闭集可被开集分开。紧 Hausdorff 空间是正规的（证明用两次紧性造开覆盖再取有限子覆盖）。\n\n$T_{3}$（正则）与 $T_{3.5}$（Tychonoff）夹在中间：$T_{3.5}$ 说的是**不同的点可以被连续函数分离开**，也就是「连续函数足够多」这一条。Stone–Čech 紧化的单射性要求的正是它。", "refs": [ "Munkres, Topology" ] }, { "id": "def.connected", "type": "definition", "label": "连通与连通分量", "title": "连通空间与连通分量（Connectedness）", "label_en": "connected", "title_en": "Connectedness", "en_page": "nodes/def.connected.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 5, "tags": [ "定义", "拓扑", "连通" ], "statement": "拓扑空间 $X$ 叫**不连通的**，如果它可以写成两个不交非空开集之并 $X = U \\sqcup V$；否则叫**连通的**。\n\n固定 $x \\in X$，包含 $x$ 的**连通分量** $C(x)$ 是所有含 $x$ 的连通子集的并 —— 它本身连通，且是极大的。", "notes": "连通分量构成 $X$ 的一个划分，且每个分量都是闭的。**既开又闭**的子集（记作**闭开集**）与连通性是同一件事的两面：$X$ 连通当且仅当它的闭开子集只有 $\\emptyset$ 与 $X$ 本身 —— 所以「有没有非平凡的闭开集」就是「能不能断开」。", "refs": [ "Munkres, Topology" ] }, { "id": "def.clopen", "type": "definition", "label": "闭开集", "title": "闭开集（Clopen Set）", "label_en": "clopen", "title_en": "Clopen Set", "en_page": "nodes/def.clopen.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 6, "tags": [ "定义", "拓扑", "闭开集" ], "statement": "$X$ 的子集 $K$ 叫**闭开集**，如果它同时是开集与闭集。等价地：$K$ 与它的补 $K^{c}$ 都是开集，即 $X = K \\sqcup K^{c}$ 是一个不交非空开集之并（$K$ 非平凡时）。", "notes": "闭开集在一般的拓扑空间里是「稀有物种」：在 $\\mathbb{R}$、$[0,1]$ 这类连通空间里只有 $\\emptyset$ 与全空间。**闭开集越多，空间越碎** —— 全不连通说的就是「闭开集多到能分开任何两个点」；投射有限空间则是「闭开集构成一组基」。", "refs": [ "Munkres, Topology" ] }, { "id": "def.quotient-set", "type": "definition", "label": "商集与等价类", "title": "商集 / 等价类（Quotient Set）", "label_en": "quotient", "title_en": "quotient", "en_page": "nodes/def.quotient-set.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.rel", "layer": 5, "tags": [ "定义", "等价类", "商集" ], "statement": "设 $\\sim$ 是集合 $A$ 上的一个**等价关系**。对 $a \\in A$，称\n\n$$[a] := \\{ b \\in A : b \\sim a \\}$$\n\n为 $a$ 的**等价类**；称\n\n$$A / \\sim\\ := \\{ [a] : a \\in A \\}$$\n\n为 $A$ 关于 $\\sim$ 的**商集**。三条基本事实：\n\n- $a \\in [a]$；\n- $[a] = [b] \\iff a \\sim b$；\n- 不同的等价类**两两不交**，且全体之并恰为 $A$ —— 也就是说，等价关系把 $A$ **划分**成一块块。", "notes": "⭐ 这是数学里「造新对象」最常用的手法：手头只有一类东西，却想得到另一类，就把前者按某个等价关系**粘**起来。本星图里至少四处用到：\n\n- $\\mathbb{Z} = (\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N})/\\sim$、$\\mathbb{Q} = (\\mathbb{Z} \\times (\\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\}))/\\sim$、$\\mathbb{R} = \\{$有理 Cauchy 列$\\}/\\sim$；\n- $L^1$、$L^p$ 的元素其实是**函数的等价类**（a.e. 相等视为同一个）；\n- RN 导数 $d\\nu/d\\mu$ 也是一个等价类，而不是单个函数。\n\n⚠ 等价类的**代表元不唯一**，所以凡是要在商集上定义的东西（运算、序、范数），都必须先证明「与代表元的选取无关」，也就是**良定义**。这是商构造最容易漏掉的一步。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "thm.induction", "type": "theorem", "label": "归纳原理与递推定义", "title": "归纳原理 / 递推定义（Induction & Recursion）", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 6, "tags": [ "定理", "归纳", "递归" ], "statement": "设 $\\omega$ 是最小归纳集（即 $\\mathbb{N}$）。\n\n**(i) 归纳原理**：若 $S \\subseteq \\omega$ 满足\n\n$$\\emptyset \\in S, \\qquad x \\in S \\implies x \\cup \\{x\\} \\in S$$\n\n则 $S = \\omega$。\n\n**(ii) 递推定义**：给定集合 $A$、元素 $a_0 \\in A$ 与函数 $F : A \\to A$，存在**唯一**的函数 $g : \\omega \\to A$ 使\n\n$$g(\\emptyset) = a_0, \\qquad g(x \\cup \\{x\\}) = F(g(x)) \\quad \\forall x \\in \\omega$$", "notes": "⭐ **归纳原理管证明，递推定义管构造** —— 两者是一件事的两面，都来自「$\\omega$ 是最小归纳集」这一条。\n\n$\\mathbb{N}$ 上的加法、乘法、序，以及后面 $\\mathbb{Z}$、$\\mathbb{Q}$ 的运算，全都是用递推定义出来、再用归纳原理验证性质的。\n\n⚠ **归纳原理只对 $\\omega$ 成立**；换成一般的良序集要做**超限归纳 / 超限递归**。\n⚠ 递推定义要用「函数 $F$」而不是「一句话」，否则会掉进「用未定义的东西定义自己」的坑。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.nat-arith", "type": "definition", "label": "自然数的加法与乘法", "title": "自然数上的加法与乘法（由递推定义）", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 7, "tags": [ "定义", "自然数", "递推", "加法", "乘法" ], "statement": "设 $\\omega = \\mathbb{N}$，$S(n) := n \\cup \\{n\\}$，$0 := \\emptyset$。用**递推定义**在 $\\omega$ 上定义两个运算。\n\n**加法**：对每个固定的 $m$，$n \\mapsto m + n$ 是满足下式的唯一 $g : \\omega \\to \\omega$：\n\n$$m + 0 := m, \\qquad m + S(n) := S(m + n)$$\n\n**乘法**：同样地，\n\n$$m \\cdot 0 := 0, \\qquad m \\cdot S(n) := m \\cdot n + m$$", "notes": "**为什么只能这样定义**：$\\omega$ 本身就是递归地造出来的，唯一「从 $\\omega$ 出发造东西」的工具就是递推定义。加法、乘法、幂、序，全从这一条出来。\n\n⚠️ 这两条只是「**存在唯一**」的断言 —— 存在性正是**递推定义定理**给的内容，所以它们是**定义**而不是公理，也不需要额外的公理。\n\n**性质靠归纳原理验证**（不属于定义）：以 $0 + n = n$ 为例 —— $n = 0$ 时两边都是 $0$；设 $0 + n = n$，则 $0 + S(n) = S(0 + n) = S(n)$ ✓。交换律 $m + n = n + m$ 要先证两条引理 $0 + n = n$ 与 $S(m) + n = S(m + n)$，再对 $n$ 归纳；结合律、分配律 $m(n+k) = mn + mk$ 同理。\n\n⭐ **它是后面所有运算的原型**：$\\mathbb{Z}$ 的加法 $[a,b] + [c,d] := [a+c,\\ b+d]$ 里的 $+$、$\\mathbb{Q}$ 的加法、$\\mathbb{R}$ 的逐项加法，里子都是这一个 $+$。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.int", "type": "definition", "label": "整数 ℤ", "title": "整数 $\\mathbb{Z}$（由 $\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}$ 构造）", "label_en": "integers", "title_en": "integers", "abstract_en": "The integers as a quotient: on $\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}$ put $(a,b) \\sim (c,d) \\iff a + d = b + c$ (same difference) and set $\\mathbb{Z} := (\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N})/{\\sim}$, writing $[a,b]$ for $a - b$. Addition, multiplication and order are defined on representatives and must be checked independent of them. Motivation: subtraction fails in $\\mathbb{N}$, but the pair $3 - 5$ is meaningful, so the difference itself is taken as the object; $[0,0]$ and $[b,a]$ supply the missing zero and inverses. $\\mathbb{N}$ embeds via $a \\mapsto [a,0]$.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/def.int.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 8, "tags": [ "定义", "整数", "商集" ], "statement": "在 $\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}$ 上定义\n\n$$(a, b) \\sim (c, d) :\\iff a + d = b + c$$\n\n（直观：$(a, b)$ 代表 $a - b$；这条等价关系说的正是「差相同」。）它确实是一个等价关系。令\n\n$$\\mathbb{Z} := (\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}) / \\sim$$\n\n元素记作 $[a, b]$（即 $a - b$）。$\\mathbb{Z}$ 上的**运算与序**（都要先验证与代表元无关）：\n\n$$[a, b] + [c, d] := [a + c,\\ b + d]$$\n$$[a, b] \\cdot [c, d] := [ac + bd,\\ ad + bc]$$\n$$[a, b] \\le [c, d] :\\iff a + d \\le b + c$$\n\n其中加法与序来自 $\\mathbb{N}$ 的加法与序，乘法的写法是照着 $(a - b)(c - d) = ac + bd - (ad + bc)$ 抄的。", "notes": "⭐ 动机一句话：**$\\mathbb{N}$ 里减法学不通**（$3 - 5$ 不存在），但「$3 - 5$」这个**对**总有意义 —— 于是把「差」本身当成新对象。\n\n副产品：$\\mathbb{Z}$ 有加法零元 $[0, 0] = 0$ 与加法逆元 $-[a, b] = [b, a]$ —— 这正是 $\\mathbb{N}$ 缺的东西。\n\n⚠ $\\mathbb{Z}$ 里 $\\mathbb{N}$ 是通过 $a \\mapsto [a, 0]$ **嵌进去**的（单射且保持运算与序），所以写 $3 \\in \\mathbb{Z}$ 时用的是这个嵌入 —— 这一步不能省。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Integer", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/integer" } }, { "id": "def.rat", "type": "definition", "label": "有理数 ℚ", "title": "有理数 $\\mathbb{Q}$（由 $\\mathbb{Z} \\times (\\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\})$ 构造）", "label_en": "rationals", "title_en": "rationals", "en_page": "nodes/def.rat.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 9, "tags": [ "定义", "有理数", "商集" ], "statement": "在 $\\mathbb{Z} \\times (\\mathbb{Z} \\setminus \\{0\\})$ 上定义\n\n$$(a, b) \\sim (c, d) :\\iff ad = bc$$\n\n（直观：$(a, b)$ 代表 $a/b$；这条等价关系说的正是「分数值相同」。）令\n\n$$\\mathbb{Q} := (\\mathbb{Z} \\times (\\mathbb{Z} \\setminus \\{0\\})) / \\sim$$\n\n元素记作 $a/b$。运算与序：\n\n$$\\frac{a}{b} + \\frac{c}{d} := \\frac{ad + bc}{bd}, \\qquad \\frac{a}{b} \\cdot \\frac{c}{d} := \\frac{ac}{bd}, \\qquad \\frac{a}{b} \\le \\frac{c}{d} :\\iff ad \\le bc \\quad (b, d > 0)$$\n\n于是 $\\mathbb{Q}$ 是一个**有序域**：四则运算齐全，且与序相容。", "notes": "⭐ 动机同上：**$\\mathbb{Z}$ 里除法学不通**（$1/2$ 不存在），但「分子分母的对」总有意义。\n\n⚠ 分母取自 $\\mathbb{Z} \\setminus \\{0\\}$ —— 「$0$ 不能作分母」在这里**不是一条约定，而是构造的一部分**：分母的集合里根本没有 $0$。\n⚠ 记号 $a/b$ 会让人以为「$a/b$ 是一个函数值」，其实它是**等价类**；这正好解释了为什么 $\\frac{1}{2} = \\frac{2}{4}$：它们是同一个等价类的两个代表元。\n\n⭐ **到此为止四则运算齐全了，但序还不完备**：$\\{q \\in \\mathbb{Q} : q^2 < 2\\}$ 有上界（比如 $2$）却在 $\\mathbb{Q}$ 里没有上确界。这正是 $\\mathbb{R}$ 要补的那一口气。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.5" ] }, { "id": "def.abs", "type": "definition", "label": "绝对值 |x|", "title": "绝对值 $|x|$（Absolute Value）", "label_en": "absolute value", "title_en": "Absolute Value", "en_page": "nodes/def.abs.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory", "analysis" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 9, "tags": [ "定义", "绝对值", "序" ], "statement": "设 $K$ 是**有序域**（$\\mathbb{Q}$ 与 $\\mathbb{R}$ 都是），$x \\in K$。定义\n\n$$|x| := \\begin{cases} x, & x \\ge 0 \\\\ -x, & x < 0 \\end{cases} \\qquad\\text{即}\\qquad |x| = \\max\\{x, -x\\}$$\n\n于是 $|x| \\ge 0$ 恒成立，且 $|x| = 0 \\iff x = 0$。", "notes": "⭐ 读法：$|x|$ 是**到原点的距离**，与符号无关。两点之间的距离就是 $|x - y|$ —— 这就是后来**距离空间**里那个距离的原型：把「差」扔掉，只留下「距离」这个概念本身。\n\n立刻能验证的两条（都由定义分情形）：\n- $|-x| = |x|$；\n- $|xy| = |x|\\,|y|$。\n\n⚠ **不等号那一侧的估计不属于定义**：$|x + y| \\le |x| + |y|$ 是一条**定理**（见「三角不等式」）—— 定义里只有分情形，没有不等式。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "thm.triangle", "type": "theorem", "label": "三角不等式", "title": "三角不等式 $|x + y| \\le |x| + |y|$", "label_en": "triangle inequality", "title_en": "triangle inequality", "en_page": "nodes/thm.triangle.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory", "analysis" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 10, "tags": [ "定理", "不等式", "绝对值" ], "statement": "设 $K$ 是有序域（如 $\\mathbb{Q}$、$\\mathbb{R}$），$x, y \\in K$。则\n\n$$|x + y| \\le |x| + |y|$$\n\n并且由此得到两个常用的变形：\n\n$$\\big| |x| - |y| \\big| \\le |x - y|, \\qquad |x_1 + x_2 + \\cdots + x_n| \\le |x_1| + |x_2| + \\cdots + |x_n|$$\n\n（后者由前者对 $n$ 归纳。）", "notes": "⭐ 这是**一切估计的起点**：Cauchy 列的线性运算、极限的四则运算、级数的比较判别法、距离空间里那条 $d(x, z) \\le d(x, y) + d(y, z)$，归根到底都是它（距离空间那条是把它**取作公理**）。\n\n⚠ 证明只有分情形，没有任何技巧 —— 但**「$a \\le |a|$ 且 $-a \\le |a|$」这两句是全部的关键**：由它得 $-(|x| + |y|) \\le x + y \\le |x| + |y|$，而 $|t| \\le c \\iff -c \\le t \\le c$（$c \\ge 0$）。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "def.cauchy-null", "type": "definition", "label": "Cauchy 列与零列", "title": "有理 Cauchy 列 / 零列 / 等价（Cauchy & Null Sequences）", "abstract_en": "Over $\\mathbb{Q}$ alone — $\\varepsilon$ ranges over positive rationals, so no reals are presupposed — a rational sequence $(x_n)$ is Cauchy when $\\forall \\varepsilon > 0\\, \\exists N\\, \\forall m,n \\ge N : |x_m - x_n| < \\varepsilon$, is null when $\\forall \\varepsilon > 0\\, \\exists N\\, \\forall n \\ge N : |x_n| < \\varepsilon$, and two Cauchy sequences are equivalent when their difference is null. The quotient by this relation is how $\\mathbb{R}$ is built: it glues together the many ways of approximating one number. Three facts are used later: Cauchy sequences are bounded, sums and products of Cauchy sequences are Cauchy, and a non-null Cauchy sequence satisfies $|x_n| \\ge \\delta > 0$ from some point on, so its reciprocal is Cauchy again.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/def.cauchy-null.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory", "analysis" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 11, "tags": [ "定义", "Cauchy 列", "完备化" ], "statement": "设 $(x_n)$ 是**有理数列**（即函数 $\\omega \\to \\mathbb{Q}$），$|x|$ 是 $\\mathbb{Q}$ 上的绝对值，$\\varepsilon$ 一律取**正有理数**（此时还不需要实数）。\n\n$(x_n)$ 是 **Cauchy 列**：\n\n$$\\forall \\varepsilon > 0,\\ \\exists N,\\ \\forall m, n \\ge N : |x_m - x_n| < \\varepsilon$$\n\n$(x_n)$ 是**零列**：\n\n$$\\forall \\varepsilon > 0,\\ \\exists N,\\ \\forall n \\ge N : |x_n| < \\varepsilon$$\n\n两个 Cauchy 列**等价**：\n\n$$(x_n) \\sim (y_n) :\\iff (x_n - y_n) \\text{ 是零列}$$\n\n（$\\sim$ 是等价关系：自反、对称显然，传递由三角不等式。）", "notes": "⭐ **为什么要「模去零列」**：同一个实数有很多种逼近方式 —— 比如 $(1, 1, 1, \\ldots)$ 与 $(1.1,\\ 1.01,\\ 1.001,\\ \\ldots)$ 都该代表 $1$，而它们的差是零列。等价类把「同一个数的不同逼近」粘成一件事。\n\n⚠ 这里**只用 $\\mathbb{Q}$ 的序与绝对值**（$\\varepsilon$ 取正有理数、绝对值是 $\\mathbb{Q}$ 上的），所以**不构成循环**：这一步在造出 $\\mathbb{R}$ 之前完全说得通。度量空间里那套「距离、Cauchy 列、完备」的语言，正是从这里的做法抽出来的。\n\n三条后面要用的事实：\n- Cauchy 列**有界**；\n- Cauchy 列的**和、差、积仍是 Cauchy 列**；\n- **不是零列的 Cauchy 列，从某一项起 $|x_n| \\ge \\delta$**（某个正有理数 $\\delta$）—— 于是它的倒数（去掉前面有限项）也是 Cauchy 列。第三条是「乘法有逆元」的全部依据。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Cauchy+sequence" } }, { "id": "def.real", "type": "definition", "label": "实数系 ℝ", "title": "实数系 $\\mathbb{R}$（由 Cauchy 列构造）", "label_en": "real numbers", "title_en": "real numbers", "en_page": "nodes/def.real.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory", "analysis" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 12, "tags": [ "定义", "实数", "商集", "完备化" ], "statement": "记 $\\mathcal{C}$ 为全体**有理 Cauchy 列**，$\\sim$ 是「差为**零列**」这个等价关系（见「Cauchy 列与零列」）。令\n\n$$\\mathbb{R} := \\mathcal{C} / \\sim$$\n\n元素是等价类 $[x_n]$。运算**逐项**定义，序用代表元定义：\n\n$$[x_n] + [y_n] := [x_n + y_n], \\qquad [x_n] \\cdot [y_n] := [x_n y_n]$$\n\n$${}[x_n] > 0 :\\iff \\exists q \\in \\mathbb{Q},\\ q > 0,\\ \\exists N,\\ \\forall n \\ge N : x_n \\ge q$$\n\n（一般的序由 $[y_n] \\ge [x_n] :\\iff [y_n - x_n] \\ge 0$ 给出。）零与一取常数列：\n\n$$0 := [(0,0,0,\\ldots)], \\qquad 1 := [(1,1,1,\\ldots)]$$\n\n最后，$\\mathbb{Q}$ 通过**常数列**嵌入 $\\mathbb{R}$：\n\n$$q \\mapsto [(q, q, q, \\ldots)]$$", "notes": "⭐ **这就是构造**：$\\mathbb{R}$ 不被假定存在，它由**上一层的对象**粘出来 —— 有理数（$\\mathbb{Q}$）$\\to$ 有理数列（函数 $\\omega \\to \\mathbb{Q}$）$\\to$ 其中的 Cauchy 列 $\\to$ 按等价关系取商集。每一步都只用到已经有的东西，一个新的对象都没有凭空进来。\n\n- 元素是**等价类**，不是序列本身；否则同一个数的不同逼近方式会变成不同的实数。\n- 运算与序是**用代表元写出来的**，所以必须验证它们**与代表元的选取无关**（良定义）—— 这是商构造最容易漏的一步。\n\n⭐ 这一手法的**一般化就是「度量空间的完备化」**：把 $\\mathbb{Q}$ 换成任意度量空间 $(X, d)$，把 $|x_m - x_n|$ 换成 $d(x_m, x_n)$，「取 Cauchy 列、模去零列」照搬无误 —— $\\mathbb{R}$ 的构造是它的原型。\n\n📌 **三组性质不在定义里**：域公理、序公理、确界原理都是关于这个构造的**定理**（见「$\\mathbb{R}$ 是完备有序域」）。存在性由构造给出，不需要公理。\n\n📌 另一条路是**戴德金分割**（取 $\\mathbb{Q}$ 的满足「非空、有上界、无最大元」的子集作为元素）：路数不同，造出来的对象同构 —— 见「完备有序域的唯一性」。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3", "Tao, Analysis I, Ch. 5" ] }, { "id": "thm.real-ordered-field", "type": "theorem", "label": "ℝ 是完备有序域", "title": "$\\mathbb{R}$ 是完备有序域（确界原理）", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory", "analysis" ], "cluster": "analysis.real", "layer": 13, "tags": [ "定理", "实数", "完备性", "确界原理" ], "statement": "上面构造出来的 $(\\mathbb{R}, +, \\cdot, \\le)$ 满足三组性质：\n\n**(i) 域公理**：$(\\mathbb{R}, +, \\cdot)$ 是域 —— 加减乘除（除以非零元）都封闭，且有结合、交换、分配律；\n\n**(ii) 序公理**：$\\le$ 是全序，且与运算相容：\n$$a \\le b \\implies a + c \\le b + c, \\qquad a \\le b,\\ 0 \\le c \\implies ac \\le bc$$\n\n**(iii) 完备性（确界原理）**：$\\mathbb{R}$ 的**每个非空有上界的子集都有上确界**。\n\n此外 $\\mathbb{Q}$ 的嵌入像在 $\\mathbb{R}$ 中**稠密**。", "notes": "⚠ **注意这一条的位置**：它是**定理**，不是定义 —— 先有构造（「实数系 $\\mathbb{R}$」），再证明造出来的东西满足这三组性质。\n\n⭐ **第 (iii) 条才是分析学的引擎**：没有它 $\\mathbb{Q}$ 也满足前两条，但 $\\{ x \\in \\mathbb{Q} : x^2 < 2 \\}$ 在 $\\mathbb{Q}$ 里没有上确界。（$\\mathbb{Q}$ 因此不是完备有序域 —— 这不是缺陷，而正是要把 $\\mathbb{Q}$ 补成 $\\mathbb{R}$ 的理由。）\n\n由 (iii) 推出分析里最常用的两件事：\n- **单调有界数列收敛**；\n- **闭区间套定理**、**Bolzano–Weierstrass**、**Cauchy 列收敛**。\n\n⚠ 完备性说的是「**上确界存在**」，不是「极限一定存在」—— 后者是它的推论。\n\n📌 (iii) 的走法分两步（见边的证明）：先证**「$\\mathbb{R}$ 里每个 Cauchy 列都收敛」**（用对角线法从代表元里抽出一个有理 Cauchy 列），再由 Cauchy 完备推出确界原理（二分法造递增列与递减上界列，夹逼到同一个极限）。\n\n📌 由这三条推出来的、后面到处要用的性质：**阿基米德性质**与 **$\\mathbb{Q}$ 在 $\\mathbb{R}$ 中稠密**（见「阿基米德性质」）；$\\mathbb{R}$ 还**不可数**（$|\\mathbb{R}| = 2^{\\aleph_0}$）—— 「稠密」与「一样多」是两件事。", "refs": [ "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 1", "Ch. 3" ] }, { "id": "lem.archimedean", "type": "lemma", "label": "阿基米德性质", "title": "阿基米德性质与 $\\mathbb{Q}$ 的稠密性", "label_en": "Archimedean", "title_en": "Archimedean", "en_page": "nodes/lem.archimedean.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory", "analysis" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 14, "tags": [ "引理", "阿基米德", "稠密", "实数" ], "statement": "设 $K$ 是一个**完备有序域**（比如 $\\mathbb{R}$）。则：\n\n**(i) 阿基米德性质**：自然数在 $K$ 中没有上界 ——\n\n$$\\forall x \\in K,\\ \\exists n \\in \\mathbb{N} : n > x$$\n\n**(ii) $\\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密**：任意两个元素之间都夹着一个有理数 ——\n\n$$\\forall x, y \\in K,\\ x < y \\implies \\exists q \\in \\mathbb{Q} : x < q < y$$\n\n（这里的 $\\mathbb{Q}$ 指 $\\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中的嵌入像：$1$ 在 $K$ 中生成 $\\mathbb{Z}$，再取分式得到 $\\mathbb{Q}$。）", "notes": "⭐ 两条都是**完备性（确界原理）的推论**，不需要任何别的假设。\n\n它们的用处很大：\n- 证明**完备有序域的唯一性**（$\\mathbb{R}$ 的良定义性）时要靠 (ii) —— 有理数在两边都稠密，才能用「有理数的像」去逼近任意元；\n- 分析里所有的「取 $n$ 足够大」「取 $\\varepsilon = 1/n$」实质上都是在用 (i)；\n- (ii) 也是「用有理数逼近实数」的许可证：任何实数都是有理数的上确界。\n\n⚠ 完备性 $\\implies$ 阿基米德性，但**反过来不成立**：$\\mathbb{Q}$ 是阿基米德的，然而不完备。\n⚠ (ii) 中夹着的那个 $q$ 必须**严格**在两个数之间 —— 这正是「稠密」比「有任意接近的有理数」强的地方。", "refs": [ "Tao, Analysis I, Ch. 5（实数的构造）", "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "thm.real-unique", "type": "theorem", "label": "完备有序域的唯一性", "title": "任何完备有序域都与 $\\mathbb{R}$ 同构（构造无关性）", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory", "analysis" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 15, "tags": [ "定理", "实数", "唯一性", "同构" ], "statement": "设 $K$ 是**完备有序域**。则存在**唯一**的双射 $f : \\mathbb{R} \\to K$，它同时保持加法、乘法与序：\n\n$$f(x + y) = f(x) + f(y), \\qquad f(xy) = f(x)\\,f(y), \\qquad x \\le y \\iff f(x) \\le f(y)$$\n\n也就是说：$\\mathbb{R}$ 之外没有别的完备有序域 —— 任何一个都与它同构。", "notes": "⭐ **这条定理说的是「构造之间的一致性」**：$\\mathbb{R}$ 的存在性已经由构造给出（不需要它），它说的是换一条路造 $\\mathbb{R}$（Cauchy 列、戴德金分割、小数展开……）得到的是**同一个对象** —— 所以「$\\mathbb{R}$ 有什么性质」不取决于选了哪条路，两条路造出来的东西可以互相替换。\n\n证明三步（见边）：把 $1$ 的像固定 $\\implies$ $\\mathbb{Q}$ 的嵌入像被唯一确定；$\\implies$ 用**上确界**把映射推广到整个 $K$（这才是要用完备性的地方）；$\\implies$ 唯一性靠「$\\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密」把两个同构逼成同一个。\n\n⚠ 少任何一条公理，唯一性就没了：$\\mathbb{Q}$ 不是唯一的有序域（$\\mathbb{Q}(\\sqrt{2})$ 是另一个），$\\mathbb{Q}$ 与 $\\mathbb{Q}(\\sqrt 2)$ 作为有序域不同构，两者都满足「有序域」的全部公理。", "refs": [ "Tao, Analysis I, Ch. 5（实数的构造）" ] }, { "id": "thm.real-uncountable", "type": "theorem", "label": "ℝ 不可数", "title": "实数集是稠密而不可数的：$|\\mathbb{R}| = 2^{\\aleph_0}$", "abstract_en": "$\\mathbb{R}$ is uncountable — there is no surjection $\\mathbb{N} \\to \\mathbb{R}$ — and in fact $|\\mathbb{R}| = |\\mathcal{P}(\\mathbb{N})| = 2^{\\aleph_0} > \\aleph_0$. Uncountability is proved by nested closed intervals and completeness alone, with no cardinal theory; the cardinality statement pairs binary expansions with $\\mathcal{P}(\\mathbb{N})$ and quotes Cantor. The counterintuitive point: $\\mathbb{Q}$ and $\\mathbb{R}$ are each dense in the other, yet $\\mathbb{Q}$ is countable — density and cardinality are different things, which is why analysis needs $\\mathbb{R}$.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/thm.real-uncountable.en.md", "region": "analysis", "regions": [ "analysis", "set-theory" ], "cluster": "set.numbers", "layer": 14, "tags": [ "定理", "实数", "不可数", "基数" ], "statement": "**实数集 $\\mathbb{R}$ 不可数**：不存在从 $\\mathbb{N}$ 到 $\\mathbb{R}$ 的满射，即 $\\mathbb{R}$ 不能排成一个序列。\n\n更强的结论：\n\n$$|\\mathbb{R}| = |\\mathcal{P}(\\mathbb{N})| = 2^{\\aleph_0} > \\aleph_0$$", "notes": "⭐ 证明走**闭区间套 + 对角线**（见边）：假设 $\\mathbb{R}$ 可以排成 $x_1, x_2, \\ldots$，就用二分法造一串套起来的闭区间，把 $x_n$ 逐个排除出去，再用**完备性**取出它们唯一的公共点 —— 它不等于任何一个 $x_n$。\n\n⚠ 整段证明**只用到 $\\mathbb{R}$ 的完备性**（确界原理），不需要基数理论；$|\\mathbb{R}| = 2^{\\aleph_0}$ 那一半是拿二进制展开与 $\\mathcal{P}(\\mathbb{N})$ 配对，再引用 Cantor 定理。\n\n**这条定理最反直觉的地方**：$\\mathbb{Q}$ 与 $\\mathbb{R}$ 都稠密、都可以逼近彼此，但 $\\mathbb{Q}$ 可数（排得成一个序列）、$\\mathbb{R}$ 不可数。**「稠密」与「一样多」是两回事** —— 这也正是分析必须做实数、不能只做有理数的根本原因。", "refs": [ "Tao, Analysis I, Ch. 8（可数性）", "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 2" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Cantor%27s+theorem" } }, { "id": "def.field", "type": "definition", "label": "域", "title": "域 $F$（Field）", "label_en": "field", "title_en": "Field", "en_page": "nodes/def.field.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 7, "tags": [ "定义", "代数", "域" ], "statement": "设 $F$ 是一个**集合**，$+$ 与 $\\cdot$ 是 $F$ 上的两个**二元运算**（即两个函数 $F \\times F \\to F$）。称 $(F, +, \\cdot)$ 是一个**域**，当且仅当：\n\n- $(F, +)$ 是**阿贝尔群**；\n- $(F \\setminus \\{0\\}, \\cdot)$ 是**阿贝尔群**（这里 $0$ 是加法群的单位元）；\n- **分配律** $a (b + c) = ab + ac$ 对一切 $a, b, c \\in F$ 成立。\n\n一句话：**加减乘除（除以非零元）都封闭，且满足结合、交换、分配律**。", "notes": "⭐ **格式是「集合 + 运算 + 公理」**：域不是凭空的对象 —— 一个集合、两个函数、几条等式就定出了一个域。判别一个东西是不是域，就是逐条核对这些等式。注意上面三条把「群」的两条公理组直接**引用**过来了：域的定义是**在群的定义之上再加一层**，不是重新数一遍等式。\n\n已经造好的例子：\n- $\\mathbb{Q}$（有理数）：最顺手的域；\n- $\\mathbb{R}$（实数）：由 Cauchy 列造出来之后，再验证它满足这些等式（见「$\\mathbb{R}$ 是完备有序域」）；\n- $\\mathbb{Z}$ **不是**域：$2$ 在里面没有乘法逆元；$\\mathbb{N}$ 也不是：$1 - 2$ 没有意义。\n\n⚠ 「域」（field）与测度论里的「环」不是一回事：那里的环是**集合环**，指对有限并与差封闭的**集族**，同名不同物。", "refs": [ "Lang, Algebra, Ch. I", "Dummit & Foote, Abstract Algebra, §13.1" ] }, { "id": "def.ordered-field", "type": "definition", "label": "有序域", "title": "有序域（Ordered Field）", "label_en": "ordered field", "title_en": "Ordered Field", "en_page": "nodes/def.ordered-field.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra", "order-theory" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 8, "tags": [ "定义", "代数", "序", "有序域" ], "statement": "设 $(F, +, \\cdot)$ 是**域**，$\\le$ 是 $F$ 上的**全序**（偏序，且任意两元可比）。若 $\\le$ 与两个运算**相容**：\n\n$$a \\le b \\implies a + c \\le b + c, \\qquad a \\le b,\\ 0 \\le c \\implies ac \\le bc$$\n\n则称 $(F, +, \\cdot, \\le)$ 是一个**有序域**。照搬 $\\mathbb{Q}$ 上的说法：$a > 0$ 叫**正元**，$a < 0$ 叫**负元**；两者拼起来就是绝对值\n\n$$|a| := \\begin{cases} a, & a \\ge 0 \\\\ -a, & a < 0 \\end{cases}$$", "notes": "⭐ 第二条相容性只在 $0 \\le c$ 时允许「两边同乘」—— 乘**负数**要**反向**（$a \\le b,\\ c \\le 0 \\implies ac \\ge bc$，由前两条推出）。有理数、实数上关于不等式的全部运算规则，归根到底就是这一条。\n\n由两条相容性立刻得到：**平方元非负**（$a \\ge 0 \\implies a^2 \\ge 0$；$a \\le 0 \\implies -a \\ge 0$ 且 $a^2 = (-a)^2 \\ge 0$），特别地 $1 = 1^2 > 0$，故 $-1 < 0$。\n\n📌 **「完备」不是这条定义的一部分**，它是在有序域上再加一条：**每个非空有上界的子集都有上确界**。$\\mathbb{Q}$ 就是「有序但完备不了」的例子 —— $\\{q \\in \\mathbb{Q} : q^2 < 2\\}$ 有上界却没有上确界。", "refs": [ "Lang, Algebra, Ch. VI", "Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 1" ] }, { "id": "def.order-iso", "type": "definition", "label": "序同构", "title": "序同构与序型（Order Isomorphism）", "label_en": "order isomorphism", "title_en": "Order Isomorphism", "en_page": "nodes/def.order-iso.en.md", "region": "order-theory", "regions": [ "order-theory" ], "cluster": "order.structure", "layer": 6, "tags": [ "定义", "序", "序同构", "序型" ], "statement": "设 $(A, \\preceq )$ 与 $(B, \\sqsubseteq )$ 是**偏序集**。双射 $f : A \\to B$ 称为**序同构**，当且仅当\n\n$$\\forall a, b \\in A\\; ( a \\preceq b \\iff f(a) \\sqsubseteq f(b) )$$\n\n即 $f$ 与 $f^{-1}$ **都保序**。此时称 $A$ 与 $B$ **序同构**，记 $A \\cong B$。", "notes": "⭐ **序同构比「同构」严**：它要求**双向**保序，只要求 $f$ 保序是不够的 —— $f$ 保序且是双射时，$f^{-1}$ 不一定保序。\n\n⭐ **良序集上就省事了**：若两个良序集之间有**保序单射**，它自动是到某个初始段的序同构 —— 不必再回头验逆映射。这条性质是「序数可以比较」的全部技术来源。\n\n⚠ **序型**是序同构给出的等价类。良序集的序型**不是集合**：所有良序集的序型凑在一起构成真类，用一个具体的代表来替代它 —— 那就是序数。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.11", "Jech, Set Theory, 2.2" ] }, { "id": "def.ordinal", "type": "definition", "label": "序数", "title": "序数（von Neumann Ordinal）", "label_en": "ordinal", "title_en": "von Neumann Ordinal", "en_page": "nodes/def.ordinal.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.ordinal", "layer": 7, "tags": [ "定义", "序数", "传递集", "良序" ], "statement": "集合 $\\alpha$ 称为**序数**（von Neumann 序数），当且仅当：\n\n1. **$\\alpha$ 是传递的**：$\\forall x \\in \\alpha,\\; x \\subseteq \\alpha$（元素的元素仍是元素）；\n2. **$\\in$ 在 $\\alpha$ 上是良序**：把 $\\in$ 限制到 $\\alpha$ 上，$\\alpha$ 成为**良序集** —— 即对任意 $x, y \\in \\alpha$，$x \\in y$、$x = y$、$y \\in x$ 恰有一个成立，且 $\\alpha$ 的每个非空子集有 $\\in$-最小元。\n\n由传递性，$\\alpha$ 的**每个元素本身也是序数**。约定：$0 := \\emptyset$，**后继序数** $\\alpha + 1 := \\alpha \\cup \\{ \\alpha \\}$；不含最大元的非零序数叫**极限序数**，$\\omega$ 是最小的极限序数。序数全体记作 $\\mathrm{On}$。\n\n开头的几个：$\\emptyset,\\ \\{ \\emptyset \\},\\ \\{ \\emptyset, \\{ \\emptyset \\} \\},\\ \\ldots$，即 $0, 1, 2, \\ldots$；接着是 $\\omega,\\ \\omega + 1,\\ \\omega + 2,\\ \\ldots,\\ \\omega + \\omega,\\ \\ldots$", "notes": "⭐⭐ **格式还是「集合 + 关系 + 公理」**：序数不是凭空的对象 —— 一个**传递集**，配上 $\\in$ 这个**现成的**关系，就定出了一个序数。判别一个集合是不是序数，就是核对这两条。\n\n⭐⭐ **为什么不让「序型」当对象** —— 这是本包最要紧的一步：序型是同构类，而所有良序集的序型构成真类，取不出来（见「序数全体是真类」）。序数绕开了这件事：它给每个序型挑了一个**具体的代表**，就是一个传递的良序集。于是「序型之间的比较」变成「$\\in$ 的比较」，可以真刀真枪地算。\n\n⚠ **$\\alpha \\in \\beta$ 与 $\\alpha < \\beta$ 是同一件事**：序数上的 $\\in$ 就是它的序。写 $\\alpha < \\beta$ 时，背后用的其实是 $\\in$。\n\n⚠ 序数不只是「$\\mathbb{N}$ 的推广」。$\\omega$ 之后的序数一个比一个长，但它们的**大小**（基数）可以一直停在 $\\aleph_0$ —— 在序数里，「更长」与「更大」是两件事。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.11", "Jech, Set Theory, 2.2" ] }, { "id": "thm.recursion-wellorder", "type": "theorem", "label": "超限递归", "title": "良序集上的递归定理（含超限归纳）", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.ordinal", "layer": 7, "tags": [ "定理", "良序", "超限递归", "超限归纳", "ZF" ], "statement": "设 $(W, \\preceq )$ 是**良序集**，$G$ 是任给的函数（可以取在一整个真类上）。记 $W_{< w} = \\{ v \\in W : v \\prec w \\}$。则存在**唯一**的函数 $F$ 定义在 $W$ 上，使\n\n$$F(w) = G\\big( F \\upharpoonright W_{< w} \\big), \\qquad \\forall w \\in W$$\n\n也就是说：**每一步只依赖前面已经取到的值**。\n\n**推论（超限归纳）**：若 $S \\subseteq W$ 且 $\\forall w \\in W\\; ( W_{< w} \\subseteq S \\to w \\in S )$，则 $S = W$。\n\n取 $W = \\omega$，就是 $\\mathbb{N}$ 上的**递推定义**与**数学归纳法**；$W$ 取任意良序集，就是**超限递归**与**超限归纳**。", "notes": "⭐⭐ 这是「**在无穷上做构造**」的许可证。在此之前，能用来造东西的只有有限的几步（配对、并、幂集、分离、替换）；要造出一整族互相依赖的对象，靠的就是这一条。它也是「良序」这个词真正的用途 —— 良序保证每一步之前的部分**有头有尾**，递归才停得下来。\n\n⭐ **为什么收「良序集」版而不是「序数」版**：$\\omega$ 上的递推、序数上的超限递归都是它的特例，所以只收最通用的一条。（例外：$\\mathbb{N}$ 上的数学归纳法另有更直接的来路 —— 它来自「$\\omega$ 是最小归纳集」，不需要良序性的一般理论，所以那个节点保留。）\n\n⚠ 递归式右边给的是「前面全部取值」这个**函数** $F \\upharpoonright W_{< w}$，而不是一句话。写成一句话就会掉进「用未定义的东西定义自己」的坑。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.9", "Jech, Set Theory, 2.3" ] }, { "id": "thm.ordinal-trichotomy", "type": "theorem", "label": "序数可比", "title": "序数的三歧性：$\\in$ 在 $\\mathrm{On}$ 上是良序", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.ordinal", "layer": 8, "tags": [ "定理", "序数", "可比", "ZF" ], "statement": "对任意两个序数 $\\alpha, \\beta$，下式**恰有一个**成立：\n\n$$\\alpha \\in \\beta, \\qquad \\alpha = \\beta, \\qquad \\beta \\in \\alpha$$\n\n特别地，$\\in$ 在序数全体上是**良序**：任意非空的一族序数都有最小元。", "notes": "⭐ 三歧性使序数可以当「坐标」用：任意两个**良序集**的序型一定可比，而且**不需要选择公理**。\n\n⚠ 这与「任意两个**基数**可比」完全是两件事，后者要用 AC（见「基数可比定理」）。差别在于序数**自带**一个良序 —— 就是 $\\in$；而一般的集合没有先验的良序，要给它找一个，那正是良序定理（$\\iff$ 选择公理）的内容。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.11" ] }, { "id": "thm.wellorder-ordinal", "type": "theorem", "label": "良序集的序型", "title": "每个良序集序同构于唯一的序数", "label_en": "order type", "title_en": "order type", "en_page": "nodes/thm.wellorder-ordinal.en.md", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.ordinal", "layer": 9, "tags": [ "定理", "序数", "序型", "序同构", "ZF" ], "statement": "设 $(W, \\preceq )$ 是**良序集**。则存在**唯一**的序数 $\\alpha$，使 $(W, \\preceq )$ 与 $(\\alpha, \\in)$ **序同构**。这个 $\\alpha$ 称为 $W$ 的**序型**，记作 $\\operatorname{ot}(W) = \\alpha$。", "notes": "⭐⭐ 这一条就是「序数」这个东西真正被**造出来**的地方：序数不是先验摆在那里的，它由「每个良序集对应的那个规范良序集」给出 —— 而那个规范集是由**递归定理**一步步算出来的。\n\n⭐ 于是「$W$ 有多长」变成「$\\operatorname{ot}(W)$ 是哪个序数」，两个良序集比长短变成比 $\\in$ —— 这就是三歧性的用处。\n\n⚠ **唯一性**这一半要用到三歧性：两个序数若互相序同构，就必须相等。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.11", "Jech, Set Theory, 2.3" ] }, { "id": "thm.burali-forti", "type": "theorem", "label": "序数全体是真类", "title": "Burali–Forti：序数全体不构成集合", "region": "set-theory", "regions": [ "set-theory" ], "cluster": "set.ordinal", "layer": 9, "tags": [ "定理", "序数", "真类", "悖论", "ZF" ], "statement": "序数全体 $\\mathrm{On}$ **不构成集合**（它是一个**真类**）：不存在一个集合，它的元素恰好是全部序数。", "notes": "证明只有一行：若 $\\mathrm{On}$ 是集合，则它是**传递的**（序数的元素还是序数），$\\in$ 在它上面是**良序**（三歧性给出可比性），于是 $\\mathrm{On}$ 本身就是一个序数，从而 $\\mathrm{On} \\in \\mathrm{On}$ —— 与序数不能自属矛盾（$\\in$ 在序数上是良序，不允许 $\\in$-循环）。\n\n⭐ 这正是 **Hartogs 定理**的另一面：序数多到装不进任何集合。「存在不能单射进 $X$ 的序数」与「序数全体是真类」说的是同一件事。\n\n⚠ 与 Russell 悖论的关系：两者都是「把某个『全体』当成集合」引起的矛盾。在 ZFC 里它们的解决方式也一样 —— 那个「全体」是真类，不是集合，因此分离公理模式根本无从下手。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.11", "Jech, Set Theory, 2.2" ] }, { "id": "def.first-order-language", "type": "definition", "label": "一阶语言", "title": "一阶语言 $\\mathcal{L}$（First-Order Language）", "label_en": "first-order logic", "title_en": "first-order logic", "en_page": "nodes/def.first-order-language.en.md", "region": "logic", "regions": [ "logic" ], "cluster": "logic.fol", "layer": 0, "tags": [ "定义", "逻辑", "一阶语言", "语法" ], "statement": "**一阶语言** $\\mathcal{L}$ 由一张**符号表**给定，符号分两类：\n\n- **逻辑符号**（所有一阶语言共用）：可数多个**变元** $v_{0}, v_{1}, v_{2}, \\ldots$；连接词 $\\neg$；量词 $\\forall$；等号 $=$；括号。\n- **非逻辑符号**（每个语言自己的）：**常元符号**、**$n$ 元函数符号**、**$n$ 元关系符号**，每一种都带一个确定的元数 $n$。\n\n由符号表，用三条**语法规则**生成全部的**项**与**公式**：\n\n1. 变元、常元符号是**项**；若 $f$ 是 $n$ 元函数符号而 $t_{1}, \\ldots, t_{n}$ 是项，则 $f(t_{1}, \\ldots, t_{n})$ 是项；\n2. 若 $R$ 是 $n$ 元关系符号而 $t_{1}, \\ldots, t_{n}$ 是项，则 $R(t_{1}, \\ldots, t_{n})$ 是**原子公式**；\n3. **公式**由原子公式出发，经 $\\neg$、$\\wedge$、$\\vee$、$\\to$、$\\forall v_{i}$、$\\exists v_{i}$ 反复组合而成。\n\n例：$\\mathcal{L} = \\{ \\in \\}$（$\\in$ 是一个二元关系符号）就是**集合论的语言** —— ZFC 的全部公理都写在这门语言里。", "notes": "⭐⭐ **这是星图里唯一的「原始层」对象。** 别的东西都是「由更下面的东西造出来」的，一阶语言不是 —— 它是**写公理用的那门语言**，比 ZFC 本身更原始。所以它跟 ZF 公理同在最底下的几层，**不往上连依赖边**：真要连，「公式」就得先在 ZFC 内部由集合造出来，而那要用 ZFC 的公理，可公理模式本身又需要公式 —— 直接成环。\n\n⭐ **在 ZFC 内部也能把它形式化**：把符号编码成集合、把公式编码成有限序列，「$\\varphi$ 是公式」于是成为 ZFC 里的一条性质。那是元数学的进一步工作，本图不展开。（这个方向正是 Gödel 不完备定理的入口。）\n\n⚠ **语言与结构要分开**：$\\mathcal{L} = \\{ \\in \\}$ 只规定了有哪些符号，还没说变元往哪里跑 —— 那是**满足关系**要说的事。", "refs": [ "Kunen, Set Theory, I.2", "Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, Ch. 1" ] }, { "id": "def.formula", "type": "definition", "label": "公式", "title": "项与公式 / 语句（Formula, Sentence）", "label_en": "well-formed formula", "title_en": "well-formed formula", "en_page": "nodes/def.formula.en.md", "region": "logic", "regions": [ "logic" ], "cluster": "logic.fol", "layer": 1, "tags": [ "定义", "逻辑", "公式", "自由变元", "语句" ], "statement": "（在给定的**一阶语言** $\\mathcal{L}$ 里）**公式**就是按语法规则 3 生成的表达式，即\n\n$$\\varphi ::= R(t_{1}, \\ldots, t_{n}) \\;\\mid\\; \\neg \\varphi \\;\\mid\\; (\\varphi \\wedge \\psi) \\;\\mid\\; (\\varphi \\vee \\psi) \\;\\mid\\; (\\varphi \\to \\psi) \\;\\mid\\; \\forall v_{i} \\varphi \\;\\mid\\; \\exists v_{i} \\varphi$$\n\n其中 $R$ 遍历 $\\mathcal{L}$ 的关系符号，$t_{j}$ 遍历项（严格说这是一条**归纳定义**：公式全体是「含全部原子公式、并对上述运算封闭」的**最小**集合）。\n\n变元在 $\\forall v_{i}$、$\\exists v_{i}$ 的辖域内出现叫**约束出现**，否则叫**自由出现**；没有自由变元的公式叫**语句**（闭公式）。\n\n公式的**复杂度**（连接词与量词的个数）可以做归纳 —— 这是「对公式作归纳」的依据。", "notes": "⭐ **「$\\varphi (x, p)$」这种写法在说什么**：它表示 $\\varphi$ 是一个公式，且其中的自由变元都在 $\\{ x, p \\}$ 里（未必都用上）。分离公理模式里写的「对每个公式 $\\varphi$（$B$ 不出现）」说的就是这种约定 —— **公式是元数学概念，不是 ZFC 的对象**，所以「不出现」才是一句关于符号串的话。\n\n⭐ **归纳定义 = 最小集合**：这句话背后用的是 $\\mathbb{N}$ 上的归纳（见「归纳原理与递推定义」）。同时它也是「公式的复杂度可以做归纳」的原因 —— 两者是同一件事的两面。\n\n⚠ **只留一部分原始符号**：$\\exists$ 是 $\\neg \\forall \\neg$ 的缩写，$\\vee$、$\\to$ 也可由 $\\neg, \\wedge$ 定义。原始符号越少，语法规则和后续的证明就越短，代价是写公式时多几层括号。\n\n⚠ 「变元换成项」的操作是**代入**，它有个必须小心的坑（变元捕获），单独一个节点。", "refs": [ "Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, Ch. 1", "Kunen, Set Theory, I.2" ] }, { "id": "def.substitution", "type": "definition", "label": "代入", "title": "代入 $\\varphi (x/t)$（Substitution）", "label_en": "substitution", "title_en": "substitution", "en_page": "nodes/def.substitution.en.md", "region": "logic", "regions": [ "logic" ], "cluster": "logic.fol", "layer": 2, "tags": [ "定义", "逻辑", "代入", "变元捕获" ], "statement": "设 $x$ 是变元，$t$ 是项，$\\varphi$ 是公式。把 $\\varphi$ 中 $x$ 的**自由出现**全部换成 $t$，得到的公式记作\n\n$$\\varphi (x/t)$$\n\n称为 $t$ 对 $x$ 的**代入**（约束出现不动 —— 它们被量词管着）。\n\n⚠ 代入要求 $t$ 对 $\\varphi$ 中的 $x$ 是**可代入的**：$t$ 里出现的变元不会在代入后被 $\\varphi$ 里的量词「抓走」。这叫**变元捕获**。", "notes": "⚠ **捕获是什么样**：取 $\\varphi = \\exists y\\, (y > x)$、$t = y$。直接代入得 $\\exists y\\, (y > y)$ —— 语义完全变了（原来「存在比 $x$ 大的数」，现在成了假命题）。这时要说「$t$ 对 $\\varphi$ 中的 $x$ 不可代入」。\n\n⭐ **代入在图上不是花边**：**替换公理模式**的整个内容就是「用一个公式 $\\varphi (x, y, p)$ 把 $A$ 中每个 $x$ 的像收集起来」，那里做的正是代入。\n\n⚠ 避免捕获的标准做法是先把冲突的约束变元**改名**（$\\alpha$-换名），再代入。这是逻辑教科书写起来最啰嗦、却绕不过去的一步。", "refs": [ "Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, §2.4" ] }, { "id": "def.satisfaction", "type": "definition", "label": "满足关系", "title": "结构与满足关系 $\\models$（Tarski）", "region": "logic", "regions": [ "logic" ], "cluster": "logic.fol", "layer": 2, "tags": [ "定义", "逻辑", "模型论", "Tarski", "语义" ], "statement": "设 $\\mathcal{L}$ 是**一阶语言**。$\\mathcal{L}$ 的一个**结构** $\\mathfrak{A}$ 指：一个非空集合 $A$（**论域**），连同每个常元符号、$n$ 元函数符号、$n$ 元关系符号在 $A$ 上的**解释**。再给定一个**赋值** $s$（给每个变元指定 $A$ 中一个元素）。\n\n**满足关系** $\\mathfrak{A} \\models \\varphi [s]$（「$\\varphi$ 在 $\\mathfrak{A}$ 中关于赋值 $s$ 成立」）按公式的复杂度**递归定义**：\n\n- **原子公式**：按符号的解释直接算，例如 $\\mathfrak{A} \\models R(t_{1}, \\ldots, t_{n})[s]$ 当且仅当 $(t_{1}^{\\mathfrak{A}}[s], \\ldots, t_{n}^{\\mathfrak{A}}[s]) \\in R^{\\mathfrak{A}}$；\n- $\\mathfrak{A} \\models \\neg \\varphi [s]$，当且仅当 $\\mathfrak{A} \\models \\varphi [s]$ **不**成立；\n- $\\mathfrak{A} \\models (\\varphi \\wedge \\psi)[s]$，当且仅当两者都成立；\n- $\\mathfrak{A} \\models \\forall v_{i} \\varphi [s]$，当且仅当对**每个** $a \\in A$ 都有 $\\mathfrak{A} \\models \\varphi [s(v_{i} \\mapsto a)]$。\n\n当 $\\varphi$ 是**语句**（无自由变元）时，$\\mathfrak{A} \\models \\varphi$ 与赋值 $s$ 无关，直接说 $\\varphi$ 在 $\\mathfrak{A}$ 中**成立**，记 $\\mathfrak{A} \\models \\varphi$。", "notes": "⭐ **这个递归定义有根据**：它是按公式的**复杂度**递归的，而复杂度能递归的依据是公式由语法规则**归纳生成**（见「公式」）。语义建立在语法之上 —— 这是这门课的第一条纪律。\n\n⭐ $\\models$ 是「$\\varphi$ 在 $\\mathfrak{A}$ 里为真」的严格含义。整个模型论从这里开始：紧性、完备性、Löwenheim–Skolem 说的都是 $\\models$ 与**可证明性** $\\vdash$ 的关系。\n\n⚠ **$\\models$ 与 $\\vdash$ 是两回事**：前者是**语义**（在结构里为真），后者是**语法**（由公理按规则形式推出）。一阶逻辑的完备性定理说的正是两者在一阶情形下重合 —— 那也是「$\\mathrm{ZFC} \\vdash \\varphi$ 与 $\\mathrm{ZFC} \\models \\varphi$ 可以混着用」的依据。", "refs": [ "Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, §2.2", "Marker, Model Theory: An Introduction, §1.1" ] }, { "id": "def.universe", "type": "definition", "label": "Grothendieck 宇宙", "title": "Grothendieck 宇宙（Grothendieck Universe）", "label_en": "universe", "title_en": "Grothendieck Universe", "en_page": "nodes/def.universe.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 4, "tags": [ "范畴论", "大与小", "集合论" ], "statement": "一个集合 $U$ 叫**宇宙**，如果它对集合论的基本构造封闭：\n\n1. （传递）$x \\in u \\in U \\implies x \\in U$；\n2. $x, y \\in U \\implies \\{ x, y \\} \\in U$；\n3. $x \\in U \\implies \\mathcal{P}(x) \\in U$；\n4. 对任意 $p \\in U$ 与任意 $f : p \\to U$，有 $\\bigcup_{t \\in p} f(t) \\in U$。\n\n若 $U$ 含有无穷集，则 $\\mathbb{N} \\in U$。", "notes": "**宇宙存在**是一条额外的公理（Grothendieck 公理），不在 ZFC 里。\n\n它的用处是给「大」与「小」一个**相对**的标准：$U$ 里的东西叫小，$U$ 本身叫大。$\\mathbf{Set}$、$\\mathbf{Grp}$ 这些范畴的对象全体不构成集合，但相对于一个宇宙它们都是小的 —— 「小范畴」这个词背后就是这件事。\n\n封装的四条足够把常见构造全搬进 $U$：由 2 取 $x = y$ 得单点集，再取一次得有序对 $\\{ \\{x\\}, \\{x,y\\} \\}$；由 3、4 得笛卡尔积（$A \\times B \\subseteq \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A \\cup B))$）与函数集。", "refs": [ "SGA 4, I.0" ] }, { "id": "def.graph", "type": "definition", "label": "图", "title": "图（Graph）", "label_en": "graph", "title_en": "Graph", "en_page": "nodes/def.graph.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 6, "tags": [ "范畴论", "有向图" ], "statement": "一个**图**是一个四元组\n\n$$( V, E, s, t )$$\n\n其中 $V$ 与 $E$ 是集合，$s, t : E \\to V$ 是函数 —— 分别叫**起点映射**与**终点映射**。$V$ 的元素叫**顶点**，$E$ 的元素叫**边**。", "notes": "这里的「图」是有向多重图：不要求 $s(e) \\ne t(e)$（允许自环），也不要求两条边的端点不同（允许平行边）。所以它比日常说的「图的图形」宽 —— 它只是一份「哪些边从哪连到哪」的数据。\n\n四元组是**嵌套的有序对**，所以编码方式不是无关紧要的。$(x, y) := \\{ \\{x\\}, \\{x,y\\} \\}$ 满足有序对公理\n\n\n\n$$(a, b) = (c, d) \\iff a = c \\wedge b = d$$\n\n\n\n而换成 $\\{ x, \\{x,y\\} \\}$ 就必须拿这条公理逐条去验，不能想当然。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "def.graph-morphism", "type": "definition", "label": "图的态射", "title": "图的态射（Morphism of Graphs）", "label_en": "graph morphism", "title_en": "graph morphism", "en_page": "nodes/def.graph-morphism.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 7, "tags": [ "范畴论", "有向图", "交换图" ], "statement": "从图 $(V, E, s, t)$ 到图 $(V', E', s', t')$ 的**态射**是一对函数\n\n$$\\varphi_1 : V \\to V', \\qquad \\varphi_2 : E \\to E'$$\n\n使得下面两个方块都交换：\n\n$$s' \\circ \\varphi_2 = \\varphi_1 \\circ s, \\qquad t' \\circ \\varphi_2 = \\varphi_1 \\circ t$$\n\n也就是说：$\\varphi_1$ 把一条边的起点送到这条边的像的起点，把终点送到终点。", "notes": "两条等式各管一头。把它们画成方块就是「图的态射」这个名字的全部内容 —— 顶点那层与边那层各自连续，并且方向对得上。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "def.category", "type": "definition", "label": "范畴", "title": "范畴（Category）", "label_en": "category", "title_en": "Category", "en_page": "nodes/def.category.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 7, "tags": [ "范畴论", "复合", "单位" ], "statement": "一个**范畴**是一个六元组\n\n$$( \\mathcal{O}, M, s, t, \\circ, i )$$\n\n其中 $(\\mathcal{O}, M, s, t)$ 是一个**图**：$\\mathcal{O}$ 是**对象**，$M$ 是**态射**，$s, t : M \\to \\mathcal{O}$ 给出每条态射的**源**与**靶**，记 $f : X \\to Y$ 表示 $s(f) = X$、$t(f) = Y$。此外还有两个映射：\n\n**复合** $\\circ$ 定义在可复合的态射对上。记\n\n$$M \\times_{s,t} M = \\{ (f, g) \\in M \\times M : s(f) = t(g) \\}$$\n\n这是「$g$ 的靶等于 $f$ 的源」的全部态射对；$\\circ : M \\times_{s,t} M \\to M$ 把 $(f, g)$ 送到 $f \\circ g$，并满足**结合律**\n\n$$h \\circ (g \\circ f) = (h \\circ g) \\circ f$$\n\n（只要两边都有定义）。\n\n**单位** $i : \\mathcal{O} \\to M$ 给每个对象 $X$ 指定一条态射 $1_X = i(X)$，满足**单位律**\n\n$$f \\circ 1_X = f = 1_Y \\circ f \\qquad (f : X \\to Y)$$", "notes": "要害是 $M \\times_{s,t} M$ 这个**纤维积**：复合不是 $M \\times M$ 上的运算，只在一部分态射对上定义。所以范畴里的复合是**部分运算**，「$f \\circ g$ 有没有定义」本身就是要检查的事。\n\n例：$\\mathbf{Set}$（集合与函数）、$\\mathbf{Mon}$（幺半群）、$\\mathbf{Grp}$（群）、$\\mathbf{Ab}$（交换群）、$\\mathbf{Rng}$（环）、$G\\text{-}\\mathbf{Set}$（$G$-集）。\n\n**单形范畴**：$\\mathcal{O} = \\mathbb{N}$，\n\n\n\n$$M = \\{ (m, n, f) : m, n \\in \\mathbb{N},\\ f : [m] \\to [n] \\text{ 递增} \\}, \\qquad [m] = \\{ 1, \\ldots, m \\}$$\n\n\n\n态射是从 $m$ 到 $n$ 的递增映射。\n\n**开集范畴** $\\operatorname{Open}(X)$：给定拓扑空间 $(X, \\tau)$，取 $\\mathcal{O} = \\tau$，\n\n\n\n$$M = \\{ (u, v) : u \\subseteq v \\} \\subseteq \\tau \\times \\tau$$\n\n\n\n即「从小的开集到包含它的开集」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "def.section-retraction", "type": "definition", "label": "截面与收缩", "title": "截面与收缩（Section / Retraction）", "label_en": "retraction", "title_en": "Section / Retraction", "en_page": "nodes/def.section-retraction.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 8, "tags": [ "范畴论", "态射", "左逆右逆" ], "statement": "设 $f : X \\to Y$ 是范畴里的一条态射。\n\n- $f$ 的**截面**（section）是态射 $g : Y \\to X$，使\n\n$$f \\circ g = 1_Y$$\n\n- $f$ 的**收缩**（retraction）是态射 $g : Y \\to X$，使\n\n$$g \\circ f = 1_X$$", "notes": "两条等式方向相反：截面是「先 $g$ 再 $f$，回到 $Y$ 原地」，收缩是「先 $f$ 再 $g$，回到 $X$ 原地」。换句话说，截面是 $f$ 的右逆，收缩是 $f$ 的左逆 —— 名字不同是因为复合的写法与映射的写法反着来。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "def.functor", "type": "definition", "label": "函子", "title": "函子（Functor）", "label_en": "functor", "title_en": "Functor", "en_page": "nodes/def.functor.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 8, "tags": [ "范畴论", "函子", "保持复合" ], "statement": "从范畴 $\\mathcal{C}$ 到范畴 $\\mathcal{D}$ 的**函子** $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 由两部分组成：\n\n- 对象上的映射 $X \\mapsto F(X)$；\n- 态射上的映射 $f \\mapsto F(f)$，把 $f : X \\to Y$ 送到 $F(f) : F(X) \\to F(Y)$。\n\n要求它**保持单位**与**保持复合**：\n\n$$F(1_X) = 1_{F(X)}, \\qquad F(g \\circ f) = F(g) \\circ F(f)$$\n\n（只要 $g \\circ f$ 有定义）。反方向的函子 $F : \\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathcal{D}$ 叫**反变函子**。", "notes": "两条要求合起来就是一句话：**函子把整个范畴的结构原样搬过去** —— 单位还是单位，复合还是复合，连结合律都不用再验（它自动跟着走）。\n\n例：\n\n\n\n- **遗忘函子** $\\mathbf{Top} \\to \\mathbf{Set}$：$(X, \\tau) \\mapsto X$，连续映射当作普通映射。拓扑被丢掉，所以叫「遗忘」。同理 $\\mathbf{Ab} \\to \\mathbf{Set}$、$\\mathbf{Grp} \\to \\mathbf{Mon}$（含入）。\n- $\\mathbf{Set} \\to \\mathbf{Top}$ 有两种：$X \\mapsto (X, \\mathcal{P}(X))$（离散拓扑）与 $X \\mapsto (X, \\{ \\emptyset, X \\})$（平凡拓扑）。两者都对，因为从离散空间射出、射入平凡空间的映射总是连续的。\n- **自由构造** $\\mathbf{Set} \\to \\mathbf{Ab}$：$X \\mapsto \\bigoplus_X \\mathbb{Z}$；$\\mathbf{Set} \\to \\mathbf{Grp}$：$X \\mapsto \\langle x, x^{-1} \\mid x \\in X \\rangle$。\n- **交换化** $\\mathbf{Grp} \\to \\mathbf{Ab}$：$G \\mapsto G / [G, G]$。\n- **群化** $\\mathbf{Mon} \\to \\mathbf{Grp}$：$M \\mapsto M^{gr} = \\langle x_g \\ (g \\in M) \\mid x_g x_h = x_{gh} \\rangle$。\n- $\\mathbf{Top}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathbf{Cat}$：$(X, \\tau) \\mapsto \\operatorname{Open}(X)$。反变，因为开集越少映射越多。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.2" ] }, { "id": "def.natural-transformation", "type": "definition", "label": "自然变换", "title": "自然变换（Natural Transformation）", "label_en": "natural transformation", "title_en": "Natural Transformation", "en_page": "nodes/def.natural-transformation.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 9, "tags": [ "范畴论", "自然变换", "自然性" ], "statement": "设 $F, G : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 是两个函子。从 $F$ 到 $G$ 的**自然变换** $\\alpha : F \\implies G$ 是一族态射\n\n$$\\alpha_X : F(X) \\to G(X) \\qquad (X \\in \\mathcal{C})$$\n\n使得对每条 $f : X \\to Y$，方块交换：\n\n$$G(f) \\circ \\alpha_X = \\alpha_Y \\circ F(f)$$\n\n每个 $\\alpha_X$ 都是同构时，$\\alpha$ 叫**自然同构**，记 $F \\cong G$。", "notes": "一句话：$\\alpha$ 的两个分量各管一头，交换性说的就是「先换函子再走 $f$」与「先走 $f$ 再换函子」结果一样。\n\n有了自然变换，**函子本身也成了对象**：以 $\\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 的函子为对象、以自然变换为态射，得到一个范畴，记 $\\operatorname{Hom}(\\mathcal{C}, \\mathcal{C}')$；所有 $F \\implies G$ 的自然变换组成的集合记 $\\operatorname{Nat}(F, G)$。\n\n例：$\\mathbf{CRng} \\to \\mathbf{Grp}$ 上有两个函子 —— $A \\mapsto GL_n(A)$ 与 $A \\mapsto A^{*}$。行列式\n\n\n\n$$\\det_A : GL_n(A) \\to A^{*}$$\n\n\n\n拼起来正是一个**自然变换**：$\\det$ 与环同态「交换次序」。这正是「自然」二字的意思 —— 不是逐例验证出来的巧合，而是结构使然。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.2" ] }, { "id": "def.ff-faithful", "type": "definition", "label": "忠实 / 满 / 全忠实", "title": "忠实、满、全忠实函子（Faithful / Full / Fully Faithful）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 9, "tags": [ "范畴论", "函子", "Hom 集" ], "statement": "函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 对每一对对象 $X, Y$ 给出一个映射\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y) \\longrightarrow \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}'}(F(X), F(Y)), \\qquad f \\mapsto F(f)$$\n\n按这个映射的性质来命名：\n\n- **忠实**（faithful）：每个这样的映射都是单射；\n- **满**（full）：每个这样的映射都是满射；\n- **全忠实**（fully faithful）：每个这样的映射都是双射。", "notes": "三个名字说的都是 $F$ 在**态射层**上的表现，与对象层无关 —— 全忠实的函子可以把两个不同对象映到同一个对象上（这在等价里正是允许的）。\n\n忠实保证「态射不被合并」，满保证「目标里的态射都来自源」，两者互不蕴含。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.2" ] }, { "id": "def.essentially-surjective", "type": "definition", "label": "本质满", "title": "本质满函子（Essentially Surjective）", "label_en": "essentially surjective", "title_en": "Essentially Surjective", "en_page": "nodes/def.essentially-surjective.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 9, "tags": [ "范畴论", "函子", "同构" ], "statement": "函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 叫**本质满**，如果对 $\\mathcal{C}'$ 的每个对象 $X'$，都存在 $\\mathcal{C}$ 中的对象 $X$ 使\n\n$$F(X) \\cong X'$$", "notes": "注意是 $\\cong$ 而不是 $=$：要求「$F$ 的像**同构于**每个对象」，而不是「$F$ 的像**就是**全体对象」。差这一个同构，正是范畴等价比范畴同构宽松的地方 —— 而恰恰是这一点让它有用，因为绝大多数有趣的等价都不是同构。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.2" ] }, { "id": "def.cat-equivalence", "type": "definition", "label": "范畴等价", "title": "范畴等价（Equivalence of Categories）", "label_en": "equivalence of categories", "title_en": "Equivalence of Categories", "en_page": "nodes/def.cat-equivalence.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "等价", "同构" ], "statement": "函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 叫**范畴等价**，如果存在函子 $G : \\mathcal{C}' \\to \\mathcal{C}$ 与自然同构\n\n$$F \\circ G \\cong 1_{\\mathcal{C}'}, \\qquad G \\circ F \\cong 1_{\\mathcal{C}}$$\n\n这时记 $\\mathcal{C} \\simeq \\mathcal{C}'$。若把两个 $\\cong$ 加强成等号 $F \\circ G = 1_{\\mathcal{C}'}$、$G \\circ F = 1_{\\mathcal{C}}$，则叫**范畴同构**，记 $\\mathcal{C} \\cong \\mathcal{C}'$。", "notes": "同构要求两个复合**等于**恒等函子，等价只要求它们**自然同构于**恒等函子。后者弱得多，也实用得多：例如「有限维向量空间」与「$\\mathbb{F}$ 上的矩阵」等价，但绝不可能是同构（对象层的基数就不对）。\n\n在等价之下，「两个范畴是不是同一个」这个问题被替换成「能不能互相翻译而不丢结构」—— 范畴论后面所有「$\\mathcal{C}$ 与 $\\mathcal{C}'$ 一样」的说法，用的都是这个意思。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.2" ] }, { "id": "def.commutative-diagram", "type": "definition", "label": "图与交换图", "title": "图与交换图（Diagram / Commutative Diagram）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 9, "tags": [ "范畴论", "图", "索引范畴" ], "statement": "设 $I$ 是一个**小范畴**（只有一个小集合那么多对象与态射）。$\\mathcal{C}$ 中**以 $I$ 为索引范畴的图**就是一个函子\n\n$$D : I \\longrightarrow \\mathcal{C}$$\n\n所有这样的图以自然变换为态射，组成范畴\n\n$$\\mathcal{C}^{I} := \\operatorname{Hom}(I, \\mathcal{C})$$\n\n若 $I$ 里任意两个对象之间**至多一个态射**（这样的 $I$ 叫**预序**），则称 $D$ 为 $I$ 上的**交换图**。", "notes": "**交换性是索引范畴的性质，不是函子给的。** 「$I$ 是预序」当且仅当「任何 $I$-形状的图都交换」：此时 $I$ 里同起终点的两条路径复合出来都是 $\\operatorname{Hom}(i, j)$ 里那**唯一**的态射，必然相等。\n\n**一般情形只有「形状」。** $I$ 不是预序时 $D$ 只能叫 $I$-形状的图：函子**不要求**平行的 $f \\ne g : i \\rightrightarrows j$ 被送到相等的箭头。最典型的不交换图是**平行对** $\\bullet \\rightrightarrows \\bullet$，它的极限与余极限正是**等化子**与**余等化子**；经典交换方块则对应预序 $\\{A \\le B \\le D,\\ A \\le C \\le D\\}$。\n\n**纸面上的读法。** 画在纸上的图只是**呈现**：给一个有向图 $G$ 的顶点送对象、箭头送态射。说它**交换**，意思是任意两条同起终点的路径在标注下的复合**相等** —— 这是一条**要检查的条件**，等价于标注下降到 $G$ 自由生成的范畴的商上仍是函子。\n\n$I$ 叫**索引范畴**：它只规定图的形状，不规定内容。\n\n沿一个函子 $\\lambda : I \\to J$ 预复合，得到**重索引** $\\lambda^{*} : \\mathcal{C}^{J} \\to \\mathcal{C}^{I}$：把 $J$ 形状的图截成 $I$ 形状的图。特别地，到终范畴的唯一函子 $I \\to \\mathbf{1}$ 诱导**常图函子** $\\Delta : \\mathcal{C} \\longrightarrow \\mathcal{C}^{I}$，它把对象 $X$ 送到「每个位置都是 $X$、每条箭头都是 $1_X$」的常图。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.simplicial", "type": "definition", "label": "单纯对象", "title": "单纯对象（Simplicial Object）", "label_en": "simplicial object", "title_en": "Simplicial Object", "en_page": "nodes/def.simplicial.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "单纯", "索引范畴" ], "statement": "**单纯形范畴** $\\Delta$ 的对象是\n\n$$[0], \\ [1], \\ [2], \\ \\ldots, \\ [n], \\ \\ldots$$\n\n而 $[n] \\to [m]$ 的态射取全体**单调映射**（不要求 $n \\le m$，也不要求严格）。$\\Delta$ 的全体态射由两类生成：\n\n- **面映射** $\\delta^{i} : [n-1] \\to [n]$：跳过第 $i$ 个点（$i = 0, \\ldots, n$）；\n- **退化映射** $\\sigma^{i} : [n] \\to [n-1]$：重复第 $i$ 个点。\n\n只保留面映射的子范畴记 $\\Delta_{\\mathrm{inj}}$，只保留退化映射的记 $\\Delta_{\\mathrm{surj}}$。$\\mathcal{C}$ 中的**单纯对象**是图\n\n$$X : \\Delta^{\\mathrm{op}} \\longrightarrow \\mathcal{C}$$\n\n只保留面映射的图（$\\Delta_{\\mathrm{inj}}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathcal{C}$）叫**半单纯对象**。", "notes": "把 $[n]$ 画成一个顶点数 $n+1$ 的标准单纯形，面映射就是「贴一个面」，退化映射就是「把一个顶点压扁」。于是 $\\Delta$ 是「所有标准单纯形及其贴合方式」的骨架，$\\Delta^{\\mathrm{op}} \\to \\mathcal{C}$ 的一个图就是把一串层层相套的单纯形安进 $\\mathcal{C}$ 里 —— 这是把空间编码成代数数据的最省事的办法。\n\n取 $\\mathcal{C} = \\mathbf{Set}$，$X([n])$ 就是「$n$ 维单纯形的集合」，$X(\\delta^i)$ 给出「第 $i$ 个面」，$X(\\sigma^i)$ 给出「退化」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.cone", "type": "definition", "label": "锥", "title": "锥与余锥（Cone / Cocone）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "锥", "自然变换" ], "statement": "设 $D : I \\to \\mathcal{C}$ 是一个图。$D$ 上的**锥**是一个对象 $X \\in \\mathcal{C}$ 连同一族态射\n\n$$p_i : X \\longrightarrow D(i) \\qquad (i \\in I)$$\n\n使得对 $I$ 中每条 $\\alpha : i \\to j$ 都有\n\n$$D(\\alpha) \\circ p_i = p_j$$\n\n等价地说，锥就是从常图 $\\Delta X$ 到 $D$ 的一个自然变换。把其中的箭头全部反向，得到**余锥**。", "notes": "直观：$X$ 站在图外面，往 $D$ 的每个位置上各投一束光，而且要求投影之间彼此相容（先投影再走图中的箭头，与直接投影到终点，结果一样）。\n\n$X$ 固定时，$D$ 上的锥恰好是自然变换集 $\\operatorname{Nat}(\\Delta X, D)$，所以「锥」不是新东西，只是把自然变换换了个说法。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.limit", "type": "definition", "label": "极限", "title": "极限与余极限（Limit / Colimit）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 11, "tags": [ "范畴论", "极限", "泛性质" ], "statement": "图 $D : I \\to \\mathcal{C}$ 的**极限**是对 $D$ 上的锥具有泛性质的那一个：锥 $(\\lim D,\\ p_i)$ 使得对任意锥 $(Y,\\ g_i)$，存在**唯一**的态射 $g : Y \\to \\lim D$ 使\n\n$$p_i \\circ g = g_i \\qquad (i \\in I)$$\n\n等价地，锥函子被 $\\lim D$ 表示：\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}^{I}}(\\Delta Y, D) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(Y, \\lim D)$$\n\n对偶地，$D$ 的**余极限** $\\operatorname{colim} D$ 满足 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}^{I}}(D, \\Delta Y) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(\\operatorname{colim} D, Y)$。$I$ 有限时叫**有限极限**。", "notes": "泛性质的含义只有一句：**任何别的锥都唯一地穿过它**。所以极限一旦存在，就在同构意义下唯一 —— 不必挑一个具体构造，用哪个都行。\n\n两个等价的写法：「泛锥」与「$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}^{I}}(\\Delta -, D)$ 可被表示」。后者把极限变成了一条可计算的同构。\n\n「泛」还可以说得更彻底：极限就是锥范畴里的**终对象**（见「元素范畴」）。这一句话在后面反复出现。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.final-initial", "type": "definition", "label": "终对象 / 始对象", "title": "终对象与始对象（Terminal / Initial Object）", "label_en": "initial object", "title_en": "initial object", "en_page": "nodes/def.final-initial.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "极限", "空图" ], "statement": "$\\mathcal{C}$ 的**终对象** $\\mathbf{1}_{\\mathcal{C}}$ 是空图 $\\emptyset \\to \\mathcal{C}$ 的极限，**始对象** $\\mathbf{0}_{\\mathcal{C}}$ 是它的余极限。用同构集来刻画：\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, \\mathbf{1}_{\\mathcal{C}}) = \\{*\\}, \\qquad \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(\\mathbf{0}_{\\mathcal{C}}, X) = \\{*\\}$$\n\n（对每个对象 $X$ 都恰好只有一个态射）。二者同时存在且同构时，叫**零对象**。", "notes": "例：在 $\\mathbf{Set}$ 里 $\\mathbf{0} = \\emptyset$（射入 $X$ 的映射只有空映射）、$\\mathbf{1} = \\{\\emptyset\\}$（射入单点集的映射唯一）。在 $\\mathbf{Top}$ 里相同。在 $\\mathbf{Ab}$ 里两者都是 $\\{0\\}$。\n\n另一头：$\\mathbb{Z}$ 是环范畴的始对象 —— 每个环都有唯一的 $\\mathbb{Z} \\to R$。所以说 $\\mathbb{Z}$「在所有环里泛」，说的正是这件事。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.product", "type": "definition", "label": "积 / 余积", "title": "积与余积（Product / Coproduct）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "极限", "离散范畴" ], "statement": "取 $I$ 为**离散范畴**（只有对象，没有非恒等的态射），图 $D : I \\to \\mathcal{C}$ 就只是一族对象 $(X_i)_{i \\in I}$。它的极限叫**积** $\\prod_{i} X_i$，余极限叫**余积** $\\coprod_{i} X_i$。泛性质写成同构集就是\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\Bigl(Y, \\prod_{i} X_i\\Bigr) \\;\\cong\\; \\prod_{i} \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(Y, X_i)$$", "notes": "一句话：**积就是「一个映射 = 一族映射」**。射入积的映射与「分别射入每个分量的映射组成的族」一一对应，投影 $p_i$ 就是取出第 $i$ 个分量。\n\n例：$\\mathbf{Set}$ 里积是笛卡尔积，余积是无交并；$\\mathbf{Top}$ 里积取**乘积拓扑**（使它成为积的最粗的拓扑），余积取**不交并拓扑**（最细的那个）；$\\mathbf{Ab}$ 里积是直积 $\\prod_i A_i$，余积是直和 $\\bigoplus_i A_i$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.fibered-product", "type": "definition", "label": "纤维积 / 纤维余积", "title": "纤维积与纤维余积（Pullback / Pushout）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "极限", "拉回" ], "statement": "形状为 $X_1 \\xrightarrow{f_1} X_0 \\xleftarrow{f_2} X_2$ 的图的极限叫**纤维积**，记 $X_1 \\times_{X_0} X_2$，也叫 $f_1$ 沿 $f_2$ 的**拉回**。它补成一个交换方块\n\n$$\\begin{array}{ccc} X_1 \\times_{X_0} X_2 & \\longrightarrow & X_2 \\\\ \\downarrow & & \\downarrow f_2 \\\\ X_1 & \\xrightarrow{f_1} & X_0 \\end{array}$$\n\n这样的方块叫**笛卡尔的**。对偶地，图的余极限叫**纤维余积**，也叫**推出**。", "notes": "直观：拉回是「在底 $X_0$ 上匹配之后的积」—— 解方程 $f_1(x_1) = f_2(x_2)$；推出是「把 $X_1, X_2$ 在 $X_0$ 的像上粘起来」。\n\n例（$\\mathbf{Set}$）：\n\n\n\n$$X_1 \\times_{X_0} X_2 = \\{(x_1, x_2) \\in X_1 \\times X_2 : f_1(x_1) = f_2(x_2)\\}, \\qquad X_1 \\cup_{X_0} X_2 = (X_1 \\sqcup X_2)/\\!\\sim$$\n\n\n\n其中 $\\sim$ 由 $f_1(x_0) \\sim f_2(x_0)$（$x_0 \\in X_0$）生成。$\\mathbf{Top}$ 里拉回取子空间拓扑、推出取商拓扑。\n\n$\\mathbf{Ab}$ 里两个都化成核与余核：把 $f: X \\to S$、$g: Y \\to S$ 拼成 $\\varphi : X \\oplus Y \\to S$，$(x,y) \\mapsto f(x) - g(y)$，则推出 $= \\operatorname{coker} \\varphi$、拉回 $= \\ker \\varphi$ —— 第一步取直和，第二步把 $f, g$ 的差商掉。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.equalizer", "type": "definition", "label": "等化子 / 余等化子", "title": "等化子与余等化子（Equalizer / Coequalizer）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "极限", "核" ], "statement": "平行对 $f, g : X \\rightrightarrows Y$ 的极限叫**等化子**，记 $\\operatorname{eq}(f,g) = \\ker(f,g)$；余极限叫**余等化子**，记 $\\operatorname{coker}(f,g)$。它们接成\n\n$$\\ker(f,g) \\longrightarrow X \\overset{f}{\\underset{g}{\\rightrightarrows}} Y \\longrightarrow \\operatorname{coker}(f,g)$$\n\n且中间的 $\\ker(f,g) \\to X$ 是单态射、右端的 $Y \\to \\operatorname{coker}(f,g)$ 是满态射。这一段叫**左正合**。", "notes": "直观：等化子是 $X$ 里「被 $f$ 与 $g$ 送到同一处」的那一部分；余等化子是 $Y$ 里「把 $f(x)$ 与 $g(x)$ 粘起来」的商。\n\n例：$\\mathbf{Set}$ 里 $\\ker(f,g) = \\{x \\in X : f(x) = g(x)\\}$，$\\operatorname{coker}(f,g) = Y/\\!\\sim$（$\\sim$ 由 $f(x) \\sim g(x)$ 生成）。$\\mathbf{Top}$ 里加子空间 / 商拓扑。$\\mathbf{Ab}$ 里 $\\ker(f,g) = \\ker(f - g)$ —— 两个映射的等化子退化成**一个**映射的核，这正是「核」这个名字的来源。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.mono", "type": "definition", "label": "单态射 / 满态射 / 同构", "title": "单态射、满态射与同构（Mono / Epi / Isomorphism）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.structure", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "单态射", "满态射", "同构", "可消" ], "statement": "态射 $i : Y \\to X$ 叫**单态射**（mono），如果对任意对象 $Z$ 与任意 $f, g : Z \\to Y$，\n\n$$i \\circ f = i \\circ g \\;\\Longrightarrow\\; f = g$$\n\n（左可消）。等价地：方块 $Y \\to Y \\times_X Y$ 是笛卡尔的，即 $Y \\cong Y \\times_X Y$，其中 $Y \\times_X Y$ 是沿 $i$ 的两个拉回。把箭头全部反向，得到**满态射**（epi，右可消）。\n\n两个方向都可消的态射叫**同构**：$f : X \\to Y$ 叫**同构**（isomorphism），如果存在 $g : Y \\to X$ 使\n\n$$g \\circ f = 1_{X}, \\qquad f \\circ g = 1_{Y}$$\n\n这时 $g$ 叫 $f$ 的**逆**，记作 $f^{-1}$；它由 $f$ 唯一确定。", "notes": "在 $\\mathbf{Set}$ 里单态射恰好是单射、满态射恰好是满射（后者要用选择公理）。但一般范畴里「可消」才是定义，「一对一 / 到上」只是它在具体范畴里的表现：在环范畴里 $\\mathbb{Z} \\to \\mathbb{Q}$ 是满态射，可它的底层映射并不是满射 —— 遗忘函子把它送出去就不再是满的了。\n\n**逆是唯一的**：若 $g, g'$ 都是 $f$ 的逆，则 $g = g \\circ 1_{Y} = g \\circ (f \\circ g') = (g \\circ f) \\circ g' = 1_{X} \\circ g' = g'$ ✓。\n\n**同构与单态射的关系**：$f$ 是同构 $\\iff$ $f$ 是单态射且有**截面**。\n\n$(\\implies)$ 由 $f \\circ g = 1_{Y}$、$g \\circ f = 1_{X}$ 直接看出（后者说明 $f$ 是分裂单态射，从而是单态射）。\n\n$(\\Longleftarrow)$ 设 $f \\circ g = 1_{Y}$。则 $f \\circ (g \\circ f) = (f \\circ g) \\circ f = 1_{Y} \\circ f = f = f \\circ 1_{X}$，由 $f$ 单态射得 $g \\circ f = 1_{X}$，故 $f$ 是同构 ✓。\n\n把箭头全部反向，得到对偶说法：$f$ 是同构 $\\iff$ $f$ 是满态射且有**收缩**。\n\n⚠️ 「单态射 $+$ 满态射」**不够**：环范畴里 $\\mathbb{Z} \\to \\mathbb{Q}$ 既单又满，却不是同构 —— 还差一个截面（或收缩）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "def.subobject", "type": "definition", "label": "子对象", "title": "子对象（Subobject）", "label_en": "subobject", "title_en": "Subobject", "en_page": "nodes/def.subobject.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.structure", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "子对象", "拉回" ], "statement": "把单态射 $Y \\rightarrowtail X$ 看作 $X$ 的一个**子对象**，记 $Y \\subseteq X$。两个子对象的**交**与原像都用拉回定义：\n\n$$Y \\cap Z := Y \\times_{X} Z, \\qquad f^{-1}(Y) := Y \\times_{X} X'$$\n\n（对 $Y, Z \\subseteq X$ 与任意 $f : X' \\to X$；存在时才有定义）。", "notes": "把「子集」换成「单态射」，好处是不再依赖元素 —— 于是这套语言可以照搬到没有元素的范畴里去。「交」变成拉回、「原像」也变成拉回，两种操作合成了一个：$Y \\cap Z$ 解的是「既在 $Y$ 里又在 $Z$ 里」的部分，$f^{-1}(Y)$ 解的是「$y = f(x)$ 有解」的部分。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "thm.lim-functor", "type": "theorem", "label": "极限的函子性", "title": "极限是函子（Limits as a Functor）", "label_en": "lim functor", "title_en": "lim functor", "en_page": "nodes/thm.lim-functor.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "极限", "函子" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 具有所有以 $I$ 为索引的极限。给定图 $F, G : I \\to \\mathcal{C}$ 与自然变换 $\\alpha : F \\implies G$，族\n\n$$\\{\\, \\alpha_i \\circ \\pi^{F}_{i} : \\lim F \\to G(i) \\,\\}_{i \\in I}$$\n\n是 $\\lim F$ 到 $G$ 的一个锥，于是泛性给出**唯一**的态射\n\n$$\\lim \\alpha : \\lim F \\longrightarrow \\lim G, \\qquad \\pi^{G}_{i} \\circ \\lim \\alpha = \\alpha_i \\circ \\pi^{F}_{i}$$\n\n这样得到的 $\\lim : \\mathcal{C}^{I} \\to \\mathcal{C}$ 是一个函子。", "notes": "**证明。**\n- **锥**：$\\pi^{F}_{i} : \\lim F \\to F(i)$ 是 $F$ 的泛锥。对每个 $i$，$\\alpha_{i}\\circ\\pi^{F}_{i} : \\lim F \\to G(i)$；由 $\\alpha$ 的自然性\n$$G(u)\\circ\\alpha_{i}\\circ\\pi^{F}_{i} = \\alpha_{j}\\circ F(u)\\circ\\pi^{F}_{i} = \\alpha_{j}\\circ\\pi^{F}_{j},$$\n故这是一族相容的映射，即 $\\lim F$ 到 $G$ 的锥 ✓。\n- **唯一态射**：由 $\\lim G$ 的泛性得到唯一的 $\\lim\\alpha$，并满足 $\\pi^{G}_{i}\\circ\\lim\\alpha = \\alpha_{i}\\circ\\pi^{F}_{i}$ ✓。\n- **函子性**：$\\lim(\\mathrm{id}_{F})$ 与 $\\mathrm{id}_{\\lim F}$ 都是使 $\\pi^{F}_{i}\\circ(-) = \\pi^{F}_{i}$ 的态射，由唯一性相等 ✓；同理 $\\lim(\\beta\\alpha)$ 与 $(\\lim\\beta)(\\lim\\alpha)$ 都与同一个锥相容，故相等 ✓。\n于是 $\\lim : \\mathcal{C}^{I}\\to\\mathcal{C}$ 是函子 ✓。∎\n\n这就是「泛性」的标准用法：**先造一个锥，再让唯一性把态射免费送上门**。极限的对象层是构造，态射层是泛性，两者合起来才是函子。\n\n有了它，「$\\lim$ 保持某个性质」才说得通 —— 后面讨论「某个函子保极限」时，正是拿这个函子去做文章。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.image", "type": "definition", "label": "像 / 余像", "title": "像与余像（Image / Coimage）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.structure", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "像", "泛性质" ], "statement": "态射 $f : X \\to Y$ 的**像** $\\operatorname{im} f$ 是 $Y$ 的一个子对象，它在一切分解 $f : X \\to I \\rightarrowtail Y$ 组成的范畴中是**始对象**（即：任何别的分解都唯一地穿过它）。对偶地，$\\operatorname{coim} f$ 是分解 $X \\twoheadrightarrow I \\to Y$ 的余泛对象。\n\n总有一个态射\n\n$$\\operatorname{coim} f \\longrightarrow \\operatorname{im} f$$\n\n它是同构时，称 $f$ 是**严格的**（strict）。", "notes": "在 $\\mathbf{Set}$、$\\mathbf{Ab}$、$\\mathbf{Top}$ 这些范畴里 $\\operatorname{coim} f \\to \\operatorname{im} f$ 总是同构，所以平时不必区分两者；一般范畴里则不然。\n\n与 $\\mathbf{Set}$ 里「像就是 $\\{f(x)\\}$」相比，这里多出来的东西是**泛性**：像不再是一堆点的集合，而是「最小的那个可以穿过它的中间对象」。子对象、单态射、像三者连在一起看，就是「把元素语言换成箭头语言」的样例。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "def.elements-category", "type": "definition", "label": "元素范畴", "title": "元素范畴（Category of Elements）", "label_en": "category of elements", "title_en": "category of elements", "en_page": "nodes/def.elements-category.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.structure", "layer": 11, "tags": [ "范畴论", "泛性", "始对象" ], "statement": "函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathbf{Set}$ 的**元素范畴** $\\operatorname{el}(F)$ 以\n\n$$\\bigl\\{(Y, t) : Y \\in \\mathcal{C},\\ t \\in F(Y)\\bigr\\}$$\n\n为对象，从 $(Y, t)$ 到 $(Z, u)$ 的态射取使 $F(f)(t) = u$ 的 $f : Y \\to Z$。\n\n称 $(X, s)$ 是 $F$ 的**泛元素**，如果它是 $\\operatorname{el}(F)$ 的始对象。", "notes": "这条把「**泛**」这个字一次说清：**泛 = 某个辅助范畴里的始对象（或终对象）**。于是「泛锥」「泛分解」「泛元素」其实是同一句套话的三次应用。\n\n例：$\\mathbb{Z}$ 是环范畴的始对象，所以说它「在所有环里泛」；空图上的泛锥就是终对象；极限就是锥范畴的终对象。", "refs": [ "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, III.7" ] }, { "id": "def.presheaf", "type": "definition", "label": "预层", "title": "预层（Presheaf）", "label_en": "presheaf", "title_en": "Presheaf", "en_page": "nodes/def.presheaf.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 9, "tags": [ "范畴论", "预层", "反变函子" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 上的**（集合值）预层**是函子\n\n$$T : \\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\longrightarrow \\mathbf{Set}$$\n\n预层之间的**态射**就是它们之间的自然变换。记法：对态射 $f : Y \\to X$ 记 $f^{-1} = T(f) : T(X) \\to T(Y)$；对 $s \\in T(X)$ 记 $s|_Y = f^{-1}(s)$。", "notes": "直白的说法：**每个对象指定一个数据，每条态射指定一个「限制」**。反变是为了让「更小的对象拿到更多的数据」—— 越往子结构走，限制越多。\n\n例：\n\n\n\n- 偏序集上：对每个 $i$ 给一个 $T_i$，对 $i \\le j$ 给「限制」$T_j \\to T_i$（把反对称性去掉，预序集上同样成立）。\n- 拓扑空间上：$\\operatorname{Open}(X)$ 是开集范畴（态射是含入），预层给每个开集 $u$ 一个 $T(u)$，给 $u' \\subseteq u$ 一个「限制」$T(u) \\to T(u')$，$s \\mapsto s|_{u'}$。连续函数预层 $C^{0}$、光滑函数预层 $C^{\\infty}$、常预层 $\\underline{E}$（$\\underline{E}(u) = E$，限制取恒等）、常函数预层都是。\n- 固定 $X \\in \\mathcal{C}$：$h_{X} : Y \\mapsto \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(Y, X)$ 是预层，叫**可表示预层**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ] }, { "id": "def.presheaf-cat", "type": "definition", "label": "预层范畴", "title": "预层范畴（Category of Presheaves）", "label_en": "presheaf category", "title_en": "presheaf category", "en_page": "nodes/def.presheaf-cat.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "预层", "函子范畴" ], "statement": "$\\mathcal{C}$ 上全体预层以自然变换为态射，组成范畴\n\n$$\\widehat{\\mathcal{C}} := \\operatorname{Hom}(\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}, \\mathbf{Set})$$", "notes": "它是函子范畴，所以极限与余极限**逐点**算 —— 后面所有关于 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 的构造都从这里出发。\n\n几个小例子：$\\widehat{\\emptyset} = \\mathbf{1}$（空范畴到 $\\mathbf{Set}$ 的唯一函子）；$\\widehat{\\mathbf{1}} \\simeq \\mathbf{Set}$（选一个对象、一个集合）；$G$ 是幺半群时 $\\widehat{G} \\simeq G\\text{-}\\mathbf{Set}$（带 $G$ 作用的集合，且映射与 $G$ 中每个元素的平移相容）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ] }, { "id": "def.representable", "type": "definition", "label": "表示函子", "title": "表示函子与万有元素（Representable Functor）", "label_en": "representable functor", "title_en": "representable functor", "abstract_en": "A functor $F : \\mathcal{C} \\to \\mathbf{Set}$ is represented by an object $X$ together with $s \\in F(X)$ when every $t \\in F(Y)$ is $F(f)(s)$ for exactly one $f : X \\to Y$; equivalently $F \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, -)$. All the data of $F$ is generated by the single element $s$. Equivalently $(X, s)$ is an initial object of the category of elements of $F$. Examples: $k[t]$ represents the forgetful functor on $k$-algebras, $\\mathbb{Z}$ represents the constant functor on rings.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/def.representable.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "表示", "万有元素" ], "statement": "设 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathbf{Set}$ 是函子。\n\n**（一）万有元素。** 对象 $X \\in \\mathcal{C}$ 连同一个元素 $s \\in F(X)$ 叫对 $F$ **万有**，如果\n\n$$\\forall Y \\in \\mathcal{C},\\ \\forall t \\in F(Y),\\ \\exists! \\, f : X \\to Y,\\qquad F(f)(s) = t$$\n\n这时也说 $F$ 被 $(X, s)$ **表示**。\n\n**（二）可表示。** 若 $F \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, -)$，就说 $F$ 被 $X$ **表示**，$X$ 叫 $F$ 的**表示对象**。", "notes": "一句话：**$F$ 的全部数据都由 $X$ 上的一个元素 $s$ 生成**。给定任何别的 $t$，都有唯一的 $f$ 把 $s$ 推过去变成它 —— 所以别处的元素不是随便来的，是被 $s$ 推出来的。\n\n等价的说法：$(X, s)$ 万有 $\\iff$ $(X, s)$ 是元素范畴 $\\operatorname{el}(F)$ 的始对象 —— 「泛」这个字在这一层和上一层的用法是同一个。\n\n例：\n\n\n\n- $k \\in \\operatorname{Ob}(\\mathbf{CRng})$，$F : k\\text{-}\\mathbf{Alg} \\to \\mathbf{Set}$ 是遗忘函子。$(k[t],\\ t)$ 表示 $F$：对 $A \\in k\\text{-}\\mathbf{Alg}$ 与 $a \\in F(A)$，令 $t \\mapsto a$ 诱导出唯一的 $k$-代数同态 $k[t] \\to A$。\n- $F : \\mathbf{Ring} \\to \\mathbf{Set}$ 取常值单点集。$\\mathbb{Z}$ 表示 $F$：每个环都有唯一的 $\\mathbb{Z} \\to R$。\n- 固定拓扑空间 $X$ 与子空间 $Y \\subseteq X$，反变函子\n\n\n\n $$F : \\mathbf{Top}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathbf{Set}, \\qquad Z \\mapsto \\{\\, f : Z \\to X \\ \\mid\\ f \\text{ 连续且 } f(Z) \\subseteq Y \\,\\}$$\n\n\n\n 被 $F(Y)$ 里那个自然元素 $i : Y \\rightarrowtail X$ 表示。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/representable+functor" } }, { "id": "lem.yoneda", "type": "lemma", "label": "米田引理", "title": "米田引理（Yoneda Lemma）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "米田", "自然变换" ], "statement": "设 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathbf{Set}$ 是函子，$X \\in \\mathcal{C}$，并记\n\n$$h^{X} = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, -) : \\mathcal{C} \\to \\mathbf{Set}$$\n\n则存在自然双射\n\n$$\\operatorname{Hom}(h^{X}, F) \\;\\cong\\; F(X), \\qquad \\alpha \\mapsto \\alpha_{X}(1_{X})$$\n\n即「全体自然变换」与「$F(X)$ 的元素」一一对应。", "notes": "**证明。** 定义映射\n$$\\Phi : \\operatorname{Nat}(h^{X}, F) \\longrightarrow F(X), \\qquad \\Phi(\\alpha) := \\alpha_{X}(1_{X}).$$\n- **逆映射**：给 $u \\in F(X)$，对每个 $Y$ 定义\n$$\\Psi(u)_{Y} : \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y) \\to F(Y), \\qquad \\Psi(u)_{Y}(f) := F(f)(u).$$\n它是自然的：对 $g : Y \\to Z$，由 $F$ 的函子性 $F(g)\\circ F(f) = F(g\\circ f)$，两边正是 $F(g)\\bigl(\\Psi(u)_{Y}(f)\\bigr)$ 与 $\\Psi(u)_{Z}(g\\circ f)$ ✓。\n- **$\\Phi\\Psi = \\mathrm{id}$**：$\\Psi(u)_{X}(1_{X}) = F(1_{X})(u) = u$ ✓。\n- **$\\Psi\\Phi = \\mathrm{id}$**：给 $\\alpha$ 与 $f : X\\to Y$，用 $\\alpha$ 的自然性（作用在 $f$ 上）\n$$\\alpha_{Y}\\circ h^{X}(f) = F(f)\\circ \\alpha_{X} \\;\\implies\\; \\alpha_{Y}(f) = F(f)\\bigl(\\alpha_{X}(1_{X})\\bigr) = \\Psi\\bigl(\\Phi(\\alpha)\\bigr)_{Y}(f) ✓$$\n- **自然性**：$\\Phi$ 对 $F$ 自然（沿 $\\beta : F\\to G$ 两边都变成 $\\beta_{X}\\circ(-)$）✓；对 $X$ 也自然（沿 $k : X'\\to X$，$h^{k}$ 的前复合与 $F(k)$ 对应）✓。\n于是 $\\operatorname{Hom}(h^{X}, F) \\cong F(X)$，双射就是 $\\alpha\\mapsto\\alpha_{X}(1_{X})$ ✓；对偶地（取 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$）得预层版本 $\\operatorname{Hom}(h_{X}, T) \\cong T(X)$ ✓。∎\n\n这个双射在两**边**都自然：对 $F$（自然变换）自然，对 $X$（态射）也自然。两头都自然，才是这条引理真正有分量的地方。\n\n它把「$h^{X}$ 到 $F$ 的所有自然变换」这个原则上无从下手的集合，压成了 $F(X)$ 里的**一个元素**。后面凡是遇到「自然变换不好数」的地方，基本都是靠这一步救场。\n\n对偶形式：$T$ 是预层（$T : \\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathbf{Set}$）、$h_{X} = \\operatorname{Hom}(-, X)$ 时可表示预层时，同样有 $\\operatorname{Hom}(h_{X}, T) \\cong T(X)$。两式只是把 $\\mathcal{C}$ 换成 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$，所以后面的推导两套都用。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_lemma", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Yoneda+lemma" } }, { "id": "thm.represented-criterion", "type": "theorem", "label": "表示的两个定义等价", "title": "表示 $\\iff$ 与 $h^{X}$ 同构", "label_en": "representable iff hom", "title_en": "representable iff hom", "en_page": "nodes/thm.represented-criterion.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "表示", "米田" ], "statement": "函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathbf{Set}$ 被 $X \\in \\mathcal{C}$ 表示 $\\iff$ $h^{X} \\cong F$。\n\n也就是说，「存在万有元素 $(X, s)$」与「$F$ 同构于 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, -)$」是同一件事。", "notes": "这条把「表示」的两种说法接上了：万有元素是**元素层**的说法，$h^{X} \\cong F$ 是**函子层**的说法。实际验证时常走前者（挑出那个 $s$ 就完事），实际使用时常走后者（同构可以直接搬运算）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ] }, { "id": "prop.yoneda-embedding", "type": "proposition", "label": "米田嵌入", "title": "米田嵌入（Yoneda Embedding）", "label_en": "Yoneda embedding", "title_en": "Yoneda Embedding", "abstract_en": "The assignment $\\delta : \\mathcal{C} \\to \\widehat{\\mathcal{C}}$, $X \\mapsto h_X = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, X)$, is fully faithful and preserves all limits. Fully faithful means $\\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}(h_X, h_Y) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y)$: the arrows between representable functors reproduce the arrows of $\\mathcal{C}$ exactly, no more and no fewer. Embedding $\\mathcal{C}$ this way moves problems into a category that has all limits and colimits.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/prop.yoneda-embedding.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "米田", "全忠实" ], "statement": "对应\n\n$$\\delta : \\mathcal{C} \\longrightarrow \\widehat{\\mathcal{C}}, \\qquad X \\mapsto h_{X} = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, X)$$\n\n是一个**全忠实**函子，并且**保持所有极限**。", "notes": "全忠实说的是 $\\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}(h_{X}, h_{Y}) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y)$ —— 用 $h_{X}$ 互相之间的箭头完全复刻了 $X$ 之间的箭头，一点不多一点不少。\n\n把 $\\mathcal{C}$ 嵌进 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 之后，$\\mathcal{C}$ 里的问题就搬到了一个**有所有极限与余极限**的范畴里去解 —— 这是「补全一个范畴」的标准做法。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_embedding", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Yoneda+embedding" } }, { "id": "def.slice-category", "type": "definition", "label": "切片范畴", "title": "预层的切片范畴（Slice Category）", "label_en": "slice category", "title_en": "Slice Category", "en_page": "nodes/def.slice-category.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "切片", "元素范畴" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是范畴，$T$ 是 $\\mathcal{C}$ 上的预层。**切片范畴** $\\mathcal{C}/T$（也记 $\\mathcal{C}_{T}$）定义如下：\n\n1. 对象是「$\\mathcal{C}$ 的对象 $X$ 加上一个截面 $s \\in T(X)$」组成的对 $(X, s)$；\n2. 从 $(X, s)$ 到 $(X', s')$ 的态射是使 $T(f)(s') = s$ 的 $f : X \\to X'$。\n\n它带一个明显的**遗忘函子** $j_{T} : \\mathcal{C}/T \\to \\mathcal{C}$。用逗号范畴的说法：\n\n$$\\mathcal{C}/T \\;\\cong\\; \\bigl(\\mathcal{C} \\hookrightarrow \\widehat{\\mathcal{C}}\\bigr) \\Big\\downarrow \\bigl(\\mathbf{1} \\xrightarrow{\\ T\\ } \\widehat{\\mathcal{C}}\\bigr)$$", "notes": "这正是把「元素范畴」搬到预层上：$T(X)$ 的元素当元素看，遗忘函子 $j_{T}$ 把 $(X, s)$ 送回 $X$。\n\n⭐ 逗号范畴的写法把它的身份说清了：它是**预层 $T$ 沿着 Yoneda 嵌入往回拉**得到的那个范畴 —— 一边是 $\\mathcal{C} \\hookrightarrow \\widehat{\\mathcal{C}}$，一边是 $\\mathbf{1} \\xrightarrow{T} \\widehat{\\mathcal{C}}$。它也解释了为什么 $X \\in \\mathcal{C}$ 时 $\\mathcal{C}/X \\simeq \\widehat{\\mathcal{C}}/h_{X}$。\n\n它的用处是给预层配一个**指标范畴**：谈「这个预层由哪些点拼起来」时，指标就跑在 $\\mathcal{C}/T$ 上（稠密性定理就是这么用的）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ] }, { "id": "prop.slice-cartesian", "type": "proposition", "label": "切片范畴是拉回", "title": "切片范畴的方块是笛卡尔的", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "切片", "拉回", "米田嵌入" ], "statement": "对任取的一个预层，下面这个方块\n\n$$\\begin{array}{ccc} \\mathcal{C}/T & \\hookrightarrow & \\widehat{\\mathcal{C}}/T \\\\ \\big\\downarrow{\\scriptstyle{j_{T}}} & & \\big\\downarrow \\\\ \\mathcal{C} & \\xrightarrow{\\ h\\ } & \\widehat{\\mathcal{C}} \\end{array}$$\n\n是**笛卡尔的**。上面是**切片范畴到预层范畴的嵌入**，下面是**范畴 $\\mathcal{C}$ 到预层范畴的 Yoneda 嵌入** $h$（$h(X) = h_{X} = \\operatorname{Hom}(-, X)$），两条竖边是两个遗忘函子。", "notes": "**证明。** 需要证 $\\mathcal{C}/T \\to \\mathcal{C}\\times_{\\widehat{\\mathcal{C}}}\\widehat{\\mathcal{C}}/T$ 是等价。\n- **对象**：$\\mathcal{C}/T$ 的对象是 $p : X \\to T$（$X\\in\\mathcal{C}$）；由 **Yoneda**，$\\operatorname{Hom}(h_{X}, T) \\cong T(X)$，所以 $p$ 与一个态射 $h_{X}\\to T$ 一一对应 —— 而右边拉回的对象的正是「$X \\in \\mathcal{C}$ 连同 $h_{X}\\to T$」✓。\n- **态射**：$\\mathcal{C}/T$ 中 $p \\to p'$ 是交换三角（$X\\to X'$ 与 $T$ 上的相容性）；把 Yoneda 嵌入作用上去得到 $h_{X}\\to h_{X'}$ 与 $h_{X}\\to T$ 的相容对，右边正是一对这样的数据。由 Yoneda 嵌入**全忠实**（$\\operatorname{Hom}(h_{X},h_{X'}) \\cong \\operatorname{Hom}(X,X')$），这个对应在 Hom 上是双射 ✓。\n- **函子性 / 等价**：对应在复合下保持（Yoneda 是函子）✓ 于是得到一个范畴等价，即原方块**笛卡尔** ✓。\n- **特例**：取 $T = h_{X}$，得 $\\mathcal{C}/X \\simeq \\widehat{\\mathcal{C}}/h_{X}$ —— 在 $\\mathcal{C}$ 里沿 $X$ 切片与在预层范畴里沿 $h_{X}$ 切片是同一件事 ✓。∎\n\n也就是说：**切片范畴 $\\mathcal{C}/T$ 就是遗忘函子 $\\widehat{\\mathcal{C}}/T \\to \\widehat{\\mathcal{C}}$ 沿 Yoneda 嵌入拉回来的东西**。\n\n特例最能说明问题：$T = h_{X}$（可表示）时，方块给出 $\\mathcal{C}/X \\simeq \\widehat{\\mathcal{C}}/h_{X}$ —— 在 $\\mathcal{C}$ 里沿 $X$ 切片，与在预层范畴里沿 $h_{X}$ 切片，是同一件事。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ] }, { "id": "thm.density", "type": "theorem", "label": "稠密性定理", "title": "稠密性定理（Density Theorem）", "label_en": "density theorem", "title_en": "Density Theorem", "en_page": "nodes/thm.density.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "米田", "余极限" ], "statement": "$\\widehat{\\mathcal{C}}$ 中的每个预层 $T$ 都是**可表示预层的余极限**：\n\n$$T \\;\\cong\\; \\varinjlim_{(X, s) \\in \\mathcal{C}_{T}} h_{X}$$", "notes": "指标跑在切片范畴 $\\mathcal{C}_{T}$ 上：$T$ 的每个元素 $(X, s)$ 贡献一个 $h_{X}$，$T$ 就是它们的余极限。\n\n所以 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 是「由可表示预层自由生成的」—— 可表示预层是它的一块块砖。后面说到「预层范畴是所有可表示预层的余极限闭包」时，说的就是这一条。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ] }, { "id": "lem.presheaf-mono-pointwise", "type": "lemma", "label": "预层态射的单满按点检验", "title": "预层是逐点算的", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "预层", "单态射" ], "statement": "预层态射 $\\varphi : T \\implies T'$ 在 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 中是单态射（满态射）$\\iff$ 对每个 $X \\in \\mathcal{C}$，$\\varphi_{X} : T(X) \\to T'(X)$ 是单射（满射）。", "notes": "一句话：**预层的性质按点检验**。$\\widehat{\\mathcal{C}}$ 里的一切都是逐点定义的，单满不例外。\n\n（$\\Longleftarrow$）方向是显然的：逐点单射的族当然左可消。（$\\Longrightarrow$）方向要用米田引理，见边上那条推导。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ] }, { "id": "def.adjoint", "type": "definition", "label": "伴随函子", "title": "伴随函子（Adjoint Functors）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 9, "tags": [ "范畴论", "伴随", "Hom 集" ], "statement": "设 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$、$G : \\mathcal{D} \\to \\mathcal{C}$ 是一对函子。$(F, G)$ 叫一对**伴随函子**，如果存在自然同构\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F(X),\\ Y\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X,\\ G(Y)\\bigr) \\qquad (X \\in \\mathcal{C},\\ Y \\in \\mathcal{D})$$\n\n这时记 $F \\dashv G$：$F$ 叫 $G$ 的**左伴随**，$G$ 叫 $F$ 的**右伴随**。", "notes": "一句话：**两个方向之间的翻译互为最佳**。从左边绕（先 $F$ 再射出去）与从右边绕（先射出去再 $G$）得到的东西一样多 —— 而且是**自然**一样多。\n\n例：\n\n\n\n- 遗忘函子 $\\mathbf{Top} \\to \\mathbf{Set}$ 有左右**两个**伴随：左伴随是**离散拓扑**（$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(S_{d}, X) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Set}}(S, F(X))$），右伴随是**平凡拓扑**（$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X, S_{t}) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Set}}(F(X), S)$）。\n- 遗忘函子 $\\mathbf{Ab} \\to \\mathbf{Set}$ 的左伴随是**自由阿贝尔群**：$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Ab}}(\\mathbb{Z}^{(X)}, M) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Set}}(X, \\operatorname{forget} M)$。**自由是遗忘的左伴随**。\n\n\n\n两条运算规则：\n\n\n\n- **对偶**：$F \\dashv G$ $\\iff$ $G^{\\mathrm{op}} \\dashv F^{\\mathrm{op}}$（在 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathcal{D}^{\\mathrm{op}}$ 上）。\n- **复合**：$F \\dashv G$ 且 $F' \\dashv G'$ $\\implies$ $F' \\circ F \\dashv G \\circ G'$，因为\n\n\n\n $$\\operatorname{Hom}(F'F(X), Y) \\cong \\operatorname{Hom}(F(X), G'(Y)) \\cong \\operatorname{Hom}(X, GG'(Y))$$", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+functor" } }, { "id": "def.adjunction-unit", "type": "definition", "label": "单位与余单位", "title": "单位与余单位（Unit and Counit）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "伴随", "三角等式" ], "statement": "设 $F \\dashv G$，记那个自然同构为\n\n$$\\Phi_{X, Y} : \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F(X), Y\\bigr) \\longrightarrow \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X, G(Y)\\bigr)$$\n\n把它在两个「恒等态射」上取值，得到两个自然变换：\n\n$$\\eta_{X} := \\Phi_{X, F(X)}(1_{F(X)}) : X \\to G F(X) \\qquad (\\textbf{单位})$$\n\n$$\\varepsilon_{Y} := \\Phi_{G(Y), Y}^{-1}(1_{G(Y)}) : F G(Y) \\to Y \\qquad (\\textbf{余单位})$$\n\n它们满足**三角等式**\n\n$$\\varepsilon_{F(X)} \\circ F(\\eta_{X}) = 1_{F(X)}, \\qquad G(\\varepsilon_{Y}) \\circ \\eta_{G(Y)} = 1_{G(Y)}$$\n\n反过来，给定 $\\eta : 1_{\\mathcal{C}} \\implies G \\circ F$ 与 $\\varepsilon : F \\circ G \\implies 1_{\\mathcal{D}}$ 满足这两条，就唯一决定了一对伴随。", "notes": "一句话：**单位是「把自己送进去」，余单位是「把别人接回来」**，三角等式保证两个方向互不打架。\n\n⚠️ **单位与余单位一般不一定是同构**，这是伴随与「范畴等价」最大的差别。它们同时同构时，才是等价。\n\n由 $\\Phi$ 反解两边的公式：$\\Phi_{X,Y}(f) = G(f) \\circ \\eta_{X}$，$\\Phi^{-1}_{X,Y}(g) = \\varepsilon_{Y} \\circ F(g)$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5" ] }, { "id": "thm.right-adjoint-criterion", "type": "theorem", "label": "右伴随存在的判据", "title": "右伴随存在 $\\iff$ 可表示", "label_en": "adjoint functor existence", "title_en": "adjoint functor existence", "en_page": "nodes/thm.right-adjoint-criterion.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "伴随", "可表示" ], "statement": "函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 有右伴随 $\\iff$ 对每个 $Y \\in \\mathcal{D}$，函子\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F(-),\\ Y\\bigr) : \\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathbf{Set}$$\n\n都可表示。", "notes": "这是「造右伴随」的通用机器：先对每个 $Y$ 求出表示对象 $G(Y)$，再验证这样拼出来的 $G$ 是函子。证明见边上的推导。", "refs": [ "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, V.6" ] }, { "id": "prop.adjoint-full-faithful", "type": "proposition", "label": "全忠实与单位", "title": "全忠实 $\\iff$ 单位（余单位）是同构", "abstract_en": "For an adjunction $F \\dashv G$ with unit $\\eta$ and counit $\\varepsilon$: $F$ is full and faithful iff $\\eta$ is an isomorphism, and $G$ is full and faithful iff $\\varepsilon$ is an isomorphism. So fullness and faithfulness of the left adjoint is checked on a single natural transformation rather than on every Hom-set. This is also the dividing line between reflections and coreflections: an inclusion of a full subcategory is always fully faithful, so a reflection has an invertible counit.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/prop.adjoint-full-faithful.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 11, "tags": [ "范畴论", "伴随", "全忠实" ], "statement": "设 $F \\dashv G$，单位 $\\eta$、余单位 $\\varepsilon$。则\n\n$$F \\text{ 全忠实} \\iff \\eta \\text{ 是同构}, \\qquad G \\text{ 全忠实} \\iff \\varepsilon \\text{ 是同构}$$", "notes": "所以「左伴随全忠实」这件事，只需要检查一个自然变换的每个分量可逆 —— 比逐对检查 Hom 集容易得多。\n\n这也是**反射**与**余反射**的分界线：反射说的是「含入函子有左伴随」，而含入函子总是全忠实的（满子范畴），所以反射的余单位一定是同构。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Full_and_faithful_functors", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/full+and+faithful+functor" } }, { "id": "prop.limit-adjoint", "type": "proposition", "label": "极限即伴随", "title": "极限 $\\iff$ 常图函子有伴随", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "极限", "伴随" ], "statement": "$\\mathcal{C}$ 中所有以 $I$ 为索引的极限存在 $\\iff$ 常图函子 $\\Delta : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}^{I}$ 有**右伴随**，且该右伴随由\n\n$$D \\mapsto \\lim D$$\n\n给出。对偶地，所有以 $I$ 为索引的余极限存在 $\\iff$ $\\Delta$ 有左伴随，由 $D \\mapsto \\operatorname{colim} D$ 给出。", "notes": "证明就是极限的定义本身：\n\n\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}^{I}}(\\Delta X, D) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, \\lim D)$$\n\n\n\n左边正是「锥」的集合，右边是「射入极限的态射」的集合。逐字对照伴随的定义，两边是同一句话。\n\n所以「这个范畴有没有极限」问的就是「$\\Delta$ 有没有伴」—— 后面凡是要造伴随，几乎都能化归成造某种极限。", "refs": [ "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, V.5" ] }, { "id": "thm.right-adjoint-preserves-limits", "type": "theorem", "label": "右伴随保极限", "title": "右伴随保持所有极限", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "伴随", "极限" ], "statement": "设 $F \\dashv G$。则 $G$ **保持所有（在 $\\mathcal{D}$ 中存在的）极限**：对每个图 $D : I \\to \\mathcal{D}$，\n\n$$G\\bigl(\\lim D\\bigr) \\;\\cong\\; \\lim\\, (G \\circ D)$$", "notes": "对偶地：**左伴随保持所有余极限**。\n\n这条是判断「某函子不可能是右伴随」最快的办法 —— 只要它不保某个极限（比如不保积），就直接出局。反过来，它也解释了为什么遗忘函子总能当右伴随：遗忘函子通常保极限（结构是逐点定义的）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5" ] }, { "id": "thm.saft", "type": "theorem", "label": "伴随函子定理", "title": "伴随函子定理（SAFT）", "label_en": "special adjoint functor theorem", "title_en": "special adjoint functor theorem", "abstract_en": "Let $\\mathcal{D}$ be small and complete. A functor $G : \\mathcal{D} \\to \\mathcal{C}$ has a left adjoint iff it preserves all limits; when it does, one may take $F(X) = \\varprojlim_{(Y,f) \\in (X \\downarrow G)} Y$. So preservation of limits, which is automatic for right adjoints, is also sufficient under these hypotheses. The construction reads: $F(X)$ is the object of $\\mathcal{D}$ closest to $X$, and every $X \\to G(Y)$ factors through $X \\to G(FX) \\to G(Y)$.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/thm.saft.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "伴随", "完备" ], "statement": "设 $\\mathcal{D}$ 是**小**且**完备**的范畴。则函子 $G : \\mathcal{D} \\to \\mathcal{C}$ 有左伴随 $\\iff$ $G$ 保持所有极限。\n\n左伴随由一个极限的构造给出：\n\n$$F(X) \\;=\\; \\varprojlim_{(Y,\\, f) \\in (X \\downarrow G)} Y$$", "notes": "**保极限是唯一的障碍**。这与「右伴随保极限」合起来就是一条完整的判据：保极限既是必要条件，在完备的小范畴上也是充分条件。\n\n构造的含义：把 $X$ 映射进 $G$ 的像的所有方式组成一个范畴 $X \\downarrow G$，在其中取极限 —— $F(X)$ 是 $\\mathcal{D}$ 中「最接近」$X$ 的对象。所有 $X \\to G(Y)$ 都能被整理成 $X \\to G(F(X)) \\to G(Y)$。\n\n证明见边上的推导。", "refs": [ "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, V.8" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functor_theorem", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+functor+theorem" } }, { "id": "def.comma-category", "type": "definition", "label": "逗号范畴", "title": "逗号范畴（Comma Category）", "label_en": "comma category", "title_en": "comma category", "en_page": "nodes/def.comma-category.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "逗号范畴", "辅助范畴" ], "statement": "设 $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{C}$、$G : \\mathcal{B} \\to \\mathcal{C}$ 是两个**靶相同**的函子。**逗号范畴** $F \\downarrow G$ 以\n\n$$\\bigl\\{(A, B, f) : A \\in \\mathcal{A},\\ B \\in \\mathcal{B},\\ f : F(A) \\to G(B)\\bigr\\}$$\n\n为对象，从 $(A, B, f)$ 到 $(A', B', f')$ 的态射是一对 $(a : A \\to A',\\ b : B \\to B')$，使方块交换：\n\n$$\\begin{array}{ccc} F(A) & \\xrightarrow{\\;f\\;} & G(B) \\\\[2pt] {\\scriptstyle F(a)}\\big\\downarrow & & \\big\\downarrow{\\scriptstyle G(b)} \\\\[2pt] F(A') & \\xrightarrow[\\;f'\\;]{} & G(B') \\end{array}$$\n\n**两个特例**：取 $\\mathcal{A} = \\mathbf{1}$（单对象范畴）时 $F$ 就是「选出 $\\mathcal{C}$ 的一个对象 $X$」，此时 $F \\downarrow G$ 记作 $X \\downarrow G$；取 $\\mathcal{B} = \\mathbf{1}$ 得 $F \\downarrow Y$。", "notes": "**读法**：$F \\downarrow G$ 把所有「从 $F$ 的世界伸一条箭头到 $G$ 的世界」的方式组织成一个范畴。**对象是箭头本身**（连同它们两端的来源），态射是让箭头之间能互相比较的那一对态射。\n\n**记号**：$F \\downarrow G$ 里的符号就是「逗号」，所以叫逗号范畴；有的书写 $(F \\downarrow G)$ 或 $(F/G)$。\n\n⭐ **为什么它到处出现**：泛性质常常是「某个逗号范畴里的**终/始对象**」。\n\n\n\n- $X \\downarrow \\mathrm{id}_{\\mathcal{C}}$ 是**切片** $\\mathcal{C}/X$；\n- 预层的**元素范畴** $\\int F$ 就是 $\\mathbf{1} \\downarrow F$（把预层看成函子 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathbf{Set}$）；\n- 伴随的**单位**定义成 $\\mathrm{id} \\downarrow G$（或 $F \\downarrow \\mathrm{id}$）里的始对象。\n\n判别一个东西是不是逗号范畴，就看它「对象是不是箭头、态射是不是交换方块」。", "refs": [ "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, II.6" ] }, { "id": "def.reflective-subcategory", "type": "definition", "label": "反射子范畴", "title": "反射子范畴（Reflective Subcategory）", "label_en": "reflective subcategory", "title_en": "Reflective Subcategory", "en_page": "nodes/def.reflective-subcategory.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "反射", "满子范畴" ], "statement": "满子范畴 $\\mathcal{C}' \\subseteq \\mathcal{C}$ 叫**反射的**，如果含入函子 $\\mathcal{C}' \\hookrightarrow \\mathcal{C}$ 有左伴随；这个左伴随叫**反射**。对偶的说法是**余反射的**。\n\n函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 是反射 $\\iff$\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(F(X),\\ X'\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X,\\ X'\\bigr) \\qquad (X' \\in \\mathcal{C}')$$", "notes": "一句话：**反射子范畴是「所有对象都能最佳逼近到它里面」的满子范畴**。$F$ 把 $X$ 送去它里面最接近 $X$ 的那个对象。\n\n例：\n\n\n\n- $\\mathbf{Ab}$ 是 $\\mathbf{Grp}$ 的反射子范畴：$F : \\mathbf{Grp} \\to \\mathbf{Ab}$，$G \\mapsto G/[G,G]$，且 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Ab}}(G/[G,G], G') \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Grp}}(G, G')$。\n- $\\mathbf{Grp}$ 同时是 $\\mathbf{Mon}$ 的反射子范畴与余反射子范畴：右伴随把幺半群送到它的**可逆元群** $M^{\\times}$。\n- $\\mathbf{CHaus}$ 是 $\\mathbf{Top}$ 的反射子范畴。\n- 离散空间范畴在 $\\mathbf{Top}$ 中是反射的，平凡拓扑空间范畴在 $\\mathbf{Top}$ 中是余反射的。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5" ] }, { "id": "prop.reflective-limits", "type": "proposition", "label": "反射子范畴里的极限", "title": "反射子范畴中的极限与余极限", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "反射", "极限" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}'$ 是 $\\mathcal{C}$ 的反射子范畴，反射记为 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$。若 $\\mathcal{C}'$ 中的图 $D'$ 在 $\\mathcal{C}$ 中有极限（余极限），则它在 $\\mathcal{C}'$ 中也有：\n\n- 余极限等于 $F\\bigl(\\operatorname{colim}_{\\mathcal{C}} D'\\bigr)$；\n- 极限就等于 $\\operatorname{lim}_{\\mathcal{C}} D'$ 本身（它自动落在 $\\mathcal{C}'$ 里）。", "notes": "**证明。** 设嵌入 $i : \\mathcal{C}' \\hookrightarrow \\mathcal{C}$，反射 $F : \\mathcal{C}\\to\\mathcal{C}'$，$F \\dashv i$（即 $i$ 是右伴随）。\n- **余极限**：对任意 $C' \\in \\mathcal{C}'$，用伴随同构与 $\\mathcal{C}$ 中余极限的泛性\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}'}\\bigl(F(\\operatorname{colim}_{\\mathcal{C}}D'), C'\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(\\operatorname{colim}_{\\mathcal{C}}D', iC'\\bigr) \\;\\cong\\; \\lim_{j}\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(D'_{j}, iC'\\bigr) \\;\\cong\\; \\lim_{j}\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}'}\\bigl(D'_{j}, C'\\bigr),$$\n对 $C'$ 自然 —— 这正是「$F(\\operatorname{colim}_{\\mathcal{C}}D')$ 是 $D'$ 在 $\\mathcal{C}'$ 里的余极限」的泛性质 ✓。\n- **极限**：同法\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}'}\\bigl(C', \\operatorname{lim}_{\\mathcal{C}}D'\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{lim}_{j}\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(iC', D'_{j}\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{lim}_{j}\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}'}\\bigl(C', D'_{j}\\bigr)$$\n（第二个同构用了 $i$ 全忠实），故 $\\lim_{\\mathcal{C}}D'$ 已经落在 $\\mathcal{C}'$ 里、且就是 $\\mathcal{C}'$ 中的极限 ✓。\n**结论：反射子范畴对极限封闭，余极限要过一遍反射。**∎\n\n也就是说，**反射子范畴对极限封闭**。这条让「先在大的范畴里算，再看能不能落回去」成为标准操作：余极限要回炉过一次反射，极限则不用。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5" ] }, { "id": "def.kan-extension", "type": "definition", "label": "Kan 延拓", "title": "Kan 延拓（Kan Extension）", "label_en": "Kan extension", "title_en": "Kan Extension", "en_page": "nodes/def.kan-extension.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "Kan 延拓", "伴随" ], "statement": "设 $p : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 是小范畴之间的函子，$F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$。$F$ 沿 $p$ 的**左 Kan 延拓**是一个函子 $p_{!}F : \\mathcal{C}' \\to \\mathcal{D}$ 连同一个自然变换\n\n$$\\alpha : F \\implies p_{!}F \\circ p$$\n\n使得对任意 $G : \\mathcal{C}' \\to \\mathcal{D}$ 与任意 $\\gamma : F \\implies G \\circ p$，存在**唯一**的 $\\widetilde{\\gamma} : p_{!}F \\implies G$ 使\n\n$$\\gamma = (\\widetilde{\\gamma} \\circ p) \\circ \\alpha$$\n\n等价地说：\n\n$$\\operatorname{Hom}(p_{!}F,\\ G) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}(F,\\ G \\circ p)$$\n\n即 $p_{!}$ 是预复合函子 $p^{*} = (-) \\circ p$ 的**左伴随**。箭头反向得**右 Kan 延拓** $p_{*} \\dashv p^{*}$。", "notes": "回答的问题是：**能不能把 $F$ 延拓到 $\\mathcal{C}'$ 上？** 左 Kan 延拓是 $F$ 的**最优左近似扩张** —— 它不要求 $F$ 真能延拓，只要求「在 $\\mathcal{C}$ 上与 $F$ 一致」的函子里，它最贴合。\n\n与伴随逐条对照：\n\n\n\n| 伴随 $L \\dashv R$ | $p_{!} \\dashv p^{*}$ |\n\n| --- | --- |\n\n| 单位 $\\eta_{A} : A \\to R L A$ | $\\alpha : F \\implies p^{*}(p_{!}F)$ |\n\n| $f : A \\to R B$ | $\\gamma : F \\implies p^{*}(G)$ |\n\n| $g : L A \\to B$ | $\\widetilde{\\gamma} : p_{!}F \\implies G$ |\n\n| $f = R(g) \\circ \\eta_{A}$ | $\\gamma = p^{*}(\\widetilde{\\gamma}) \\circ \\alpha$ |\n\n\n\n所以 Kan 延拓不是新东西，它只是把伴随的公式换了个方向用。", "refs": [ "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, X.3" ] }, { "id": "ex.kan-extension", "type": "proposition", "label": "Kan 延拓的两个例子", "title": "余极限与右伴随都是 Kan 延拓", "abstract_en": "Two examples showing that Kan extensions absorb the earlier notions. (1) A diagram $D : I \\to \\mathcal{C}$ has a colimit iff the left Kan extension of $D$ along $p : I \\to \\mathbf{1}$ exists, and then $(p_!D)(\\ast) = \\varinjlim_{i \\in I} D(i)$. (2) $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ has a right adjoint iff the left Kan extension of $1_{\\mathcal{C}}$ along $F$ exists, and then $G = F_!1_{\\mathcal{C}}$, the unit being the transpose of $1_{\\mathcal{C}} \\implies G \\circ F$.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/ex.kan-extension.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "Kan 延拓", "余极限" ], "statement": "**(1)** 图 $D : I \\to \\mathcal{C}$ 有余极限 $X$ $\\iff$ 沿投影 $p : I \\to \\mathbf{1}$ 的左 Kan 延拓 $p_{!}D : \\mathbf{1} \\to \\mathcal{C}$ 存在，且取值为\n\n$$(p_{!}D)(\\ast) = \\varinjlim_{i \\in I} D(i) = X$$\n\n**(2)** 函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 有右伴随 $G$ $\\iff$ 恒等函子 $1_{\\mathcal{C}}$ 沿 $F$ 的左 Kan 延拓存在，且此时\n\n$$G = F_{!}1_{\\mathcal{C}}, \\qquad \\operatorname{Hom}(F_{!}1_{\\mathcal{C}},\\ G) \\cong \\operatorname{Hom}(1_{\\mathcal{C}},\\ G \\circ F)$$\n\n右边那个对应的 $1_{\\mathcal{C}} \\implies G \\circ F$ 正是**单位** $\\eta$。", "notes": "两条合起来看：**余极限和右伴随都是 Kan 延拓的特例**。Kan 延拓是这一整团的统一出口 —— 前面分散的定义（极限、伴随、反射）在其中都能各就各位。", "refs": [ "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, X.3" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Kan_extension", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Kan+extension" } }, { "id": "prop.filtered-exact", "type": "proposition", "label": "滤过余极限正合", "title": "滤过余极限正合（$\\mathbf{Set}$ 中）", "label_en": "filtered colimits are exact", "title_en": "filtered colimits are exact", "en_page": "nodes/prop.filtered-exact.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "滤过余极限", "正合" ], "statement": "在 $\\mathbf{Set}$ 中，**滤过余极限正合**：$I$ 是滤过范畴时，余极限函子\n\n$$\\varinjlim : \\mathbf{Set}^{I} \\longrightarrow \\mathbf{Set}$$\n\n保持所有有限极限。", "notes": "**证明。** 滤过范畴就是「任意有限图都有余锥」的小范畴。\n- **先看有限积**：给滤过图 $X_{i}, Y_{i}$，比较映射\n$$\\varinjlim_{i}(X_{i}\\times Y_{i}) \\longrightarrow \\bigl(\\varinjlim_{i}X_{i}\\bigr)\\times\\bigl(\\varinjlim_{i}Y_{i}\\bigr)$$\n**满**：取右边一对 $([x],[y])$，$x \\in X_{i}$、$y \\in Y_{j}$；由滤过性存在 $k$ 与 $i\\to k$、$j\\to k$，于是 $(x_{k}, y_{k})$ 的代表落到 $X_{k}\\times Y_{k}$ ✓。\n**单**：若 $(x_{i},y_{i})$ 与 $(x'_{i'},y'_{i'})$ 在右边相等，则各坐标在某个更后的指标处相等；由滤过性取公共的 $k$，在 $X_{k}\\times Y_{k}$ 里它们已经相等 ✓。\n- **一般有限极限**由有限积与等化子生成：等化子 $\\{(x,y) : f(x) = g(y)\\}$ 的两边取代表元后，滤过性同样给出公共指标使等式在那个指标处成立（$\\mathbf{Set}$ 里元素都是「某个指标处的元素」）✓。\n- 于是 $\\varinjlim$ 与一切有限极限交换，即**正合** ✓。\n⚠️ 这里的「正合」是集合层面的断言；一般范畴里「滤过余极限正合」需要更强的假设（AB5 型），不能照搬。∎\n\n「正合」在这里就一句话：滤过余极限与有限极限**可以交换**。最基本的例子是它保持有限积：\n\n\n\n$$\\varinjlim_{i} (X_{i} \\times Y_{i}) \\;\\cong\\; \\bigl(\\varinjlim_{i} X_{i}\\bigr) \\times \\bigl(\\varinjlim_{i} Y_{i}\\bigr)$$\n\n\n\n做法是两边都取代表元再比对：$\\mathbf{Set}$ 里滤过余极限的元素恰好是某个指标处的元素，所以「一边一个代表元」可以上升到「同一个指标处的一对」。\n\n这条为什么重要：后面谈层的时候，层化是拿滤过余极限配出来的，而**只有滤过余极限不破坏有限极限**，这套构造才能与有限极限（也就是把拓扑信息编码进去的那个部分）相安无事。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5" ] }, { "id": "def.chaus", "type": "definition", "label": "紧 Hausdorff 空间范畴", "title": "紧 Hausdorff 空间范畴 $\\mathbf{CHaus}$", "label_en": "compact Hausdorff", "title_en": "compact Hausdorff", "en_page": "nodes/def.chaus.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "紧", "Hausdorff" ], "statement": "**紧 Hausdorff 空间**是既紧又 Hausdorff 的拓扑空间。以它们为对象、连续映射为态射，得到范畴 $\\mathbf{CHaus}$。含入函子记 $\\mathbf{CHaus} \\hookrightarrow \\mathbf{Top}$。", "notes": "紧跟 Hausdorff 放在一起是一件很划算的事：**紧 Hausdorff 是正则的、正规的**，而且从紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射自动是同胚。很多在 $\\mathbf{Top}$ 里要额外假设的东西，在这里是免费的。\n\n$\\mathbf{CHaus}$ 里**任意极限存在**，并且就是 $\\mathbf{Top}$ 里算完之后那个结果（见「紧 Haus 是反射子范畴」那条）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.1–2.2" ] }, { "id": "prop.chaus-reflective", "type": "proposition", "label": "紧 Haus 是反射子范畴", "title": "Stone–Čech 紧化", "abstract_en": "The category $\\mathbf{CHaus}$ is a reflective subcategory of $\\mathbf{Top}$, the reflection being the Stone–Čech compactification: $\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{CHaus}}(\\beta X, K) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X, K)$ for every compact Hausdorff $K$. Construction: embed $X$ into the Tychonoff cube $[0,1]^{C(X,[0,1])}$ and take the closure, which is compact Hausdorff as a closed subset of a compact Hausdorff space. The embedding is injective iff $X$ is Tychonoff. Corollary: any limit of compact Hausdorff spaces is again compact Hausdorff.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/prop.chaus-reflective.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "Stone–Čech", "反射" ], "statement": "$\\mathbf{CHaus}$ 是 $\\mathbf{Top}$ 的**反射子范畴**，反射叫 **Stone–Čech 紧化**：\n\n$$\\beta : \\mathbf{Top} \\longrightarrow \\mathbf{CHaus}, \\qquad X \\mapsto \\beta X$$\n\n即对每个 $X \\in \\mathbf{Top}$ 与每个紧 Hausdorff 空间 $K$，\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{CHaus}}\\bigl(\\beta X,\\ K\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}\\bigl(X,\\ K\\bigr)$$\n\n而且含入 $X \\to \\beta X$ 在 $X$ 本身紧 Hausdorff 时是同构。", "notes": "构造：把 $X$ 送进 Tychonoff 方块\n\n\n\n$$e_{X} : X \\longrightarrow [0,1]^{C(X,[0,1])}, \\qquad x \\mapsto (f(x))_{f}$$\n\n\n\n再取闭包 $\\beta X := \\overline{e_{X}(X)}$。方块紧 Hausdorff，闭子集因而也紧 Hausdorff。\n\n⭐ **$e_{X}$ 是单射 $\\iff$ $X$ 是 Tychonoff（$T_{3.5}$）空间** —— 即连续函数多到能分开不同的点。所以对于一般拓扑空间，$\\beta X$ 是把「连续函数看得出的信息」全部收进来之后的紧化。\n\n推论：**紧 Hausdorff 空间的任意极限自动是紧 Hausdorff 的**。这是反射子范畴对极限封闭的一般结论在这里的样子 —— 以后在 $\\mathbf{CHaus}$ 里取极限，不必再回头验紧性与 Hausdorff 性。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.1–2.2" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93%C4%8Cech_compactification", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Stone-Cech+compactification" } }, { "id": "lem.minimal-closed-surjection", "type": "lemma", "label": "满射的极小闭子集", "title": "满连续映射的极小闭子集", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "紧", "佐恩引理" ], "statement": "设 $f : S \\to T$ 是紧 Hausdorff 空间之间的连续满射。则存在**极小**的闭子集 $S' \\subseteq S$，使限制 $f|_{S'}$ 仍然是满射。", "notes": "证明用佐恩引理：把「$f$ 在其上满」的闭子集族按**反包含**排序，链的上界取交 —— 紧性保证交出来的闭子集仍然满（若非满，剩下的那个紧集会被一列越来越小的闭集挖空，与有限交性质矛盾）。于是有极大元，在原序下就是极小闭子集。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.1–2.2" ] }, { "id": "def.free-compact-hausdorff", "type": "definition", "label": "自由紧 Hausdorff 空间", "title": "自由紧 Hausdorff 空间（Free Compact Hausdorff Space）", "label_en": "free compact Hausdorff", "title_en": "Free Compact Hausdorff Space", "en_page": "nodes/def.free-compact-hausdorff.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "自由", "Stone–Čech" ], "statement": "**自由紧 Hausdorff 空间**就是某个离散空间 $I$ 的 Stone–Čech 紧化 $F \\cong \\beta I$。称 $I$ 是 $F$ 的一组**基**：此时\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{CHaus}}(F, S) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(I, S) \\;=\\; S^{I}$$\n\n即连续映射 $F \\to S$ 与 $S$ 中一族点 $(t_{i})_{i \\in I}$ 一一对应。这族点使 $F \\to S$ 成为满射时，叫 $F$ 的**生成元**。", "notes": "「自由」两个字在这里的含义和自由群、自由模完全一样：**在 $I$ 上没有任何约束**（$I$ 是离散的，所以从 $I$ 出发的映射随便给点就是连续的），于是「$F$ 到别处的映射」与「$I$ 上的一族点」是一回事。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.1–2.2" ] }, { "id": "prop.chaus-quotient-of-free", "type": "proposition", "label": "紧 Haus 是自由的商", "title": "每个紧 Hausdorff 空间都是自由紧 Hausdorff 空间的商", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "商", "自由" ], "statement": "每个紧 Hausdorff 空间 $S$ 都是某个自由紧 Hausdorff 空间的**连续满像**：取 $S$ 上的离散拓扑，则\n\n$$F := \\beta\\, S^{\\mathrm{disc}} \\longrightarrow S$$\n\n是连续满射。", "notes": "恒等映射 $S^{\\mathrm{disc}} \\to S$ 连续（离散拓扑最细），沿它的 Stone–Čech 泛性质给出 $\\beta S^{\\mathrm{disc}} \\to S$。既然 $S^{\\mathrm{disc}} \\to S$ 已经是满射，而紧空间的连续满像 $\\beta S^{\\mathrm{disc}} \\to S$ 作用在稠密的 $S^{\\mathrm{disc}}$ 上已经覆盖了 $S$，满射性就跟着来了。\n\n**证明（写成正式的）。** 记 $f : S^{\\mathrm{disc}}\\to S$ 为恒等映射，它连续（离散拓扑最细）。由 Stone–Čech 的**泛性质**，$f$ 唯一地延拓为 $\\bar f : \\beta S^{\\mathrm{disc}} \\to S$，使 $\\bar f\\circ\\iota = f$（$\\iota$ 是稠密嵌入）。\n- 由泛性质，两个映射 $\\beta S^{\\mathrm{disc}} \\rightrightarrows S$ 若在 $\\iota(S^{\\mathrm{disc}})$ 上相同则相等；\n- 于是 $\\bar f\\bigl(\\overline{\\iota(S^{\\mathrm{disc}})}\\bigr) = \\bar f(\\beta S^{\\mathrm{disc}})$（**连续性 + 稠密性**：像的闭包等于闭包在连续映射下的像）$= \\overline{f(S^{\\mathrm{disc}})} = \\overline{S} = S$ ✓。\n故 $\\bar f$ 满。∎\n⭐ 这条与「紧 Hausdorff 是 $\\mathbf{Top}$ 的反射子范畴」是一回事，只是换了个说法：反射子范畴里每个对象都是自由对象的商，而自由对象就是 $\\beta I$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.1–2.2" ] }, { "id": "def.projective-object", "type": "definition", "label": "投射 / 内射对象", "title": "投射对象与内射对象（Projective / Injective Object）", "label_en": "injective object", "title_en": "injective object", "en_page": "nodes/def.projective-object.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "投射", "提升" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 中对象 $P$ 叫**投射的**，如果函子 $h_{P} = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(P, -)$ **保持满态射**。对偶地，$I$ 叫**内射的**，如果 $h^{I}$ 把单态射送到满态射。\n\n展开成提升条件就是：对每个满态射 $A \\twoheadrightarrow B$ 与每个 $P \\to B$，都存在提升 $P \\to A$ 使三角形交换：\n\n$$\\begin{array}{ccc} & P & \\\\ \\swarrow & \\downarrow & \\searrow \\\\ A & \\twoheadrightarrow & B \\end{array}$$\n\n对偶地，$I$ 内射说的是每个 $A \\rightarrowtail B$ 与每个 $A \\to I$ 都能延拓成 $B \\to I$。", "notes": "「投射」这个名字来自模论：$R\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 里的投射对象恰好是投射模，内射对象恰好是内射模 —— 那两条标准判据（$P$ 是直和项、$I$ 是直和项）就是这里的定义在模上的样子。\n\n两条立刻可用的推论：**$P$ 投射时任何满态射 $Y \\twoheadrightarrow P$ 都有截面**；**若 $X \\to Y$ 有收缩而 $Y$ 投射，则 $X$ 也投射**（内射的情形对偶）。\n\n在 $\\mathbf{Set}$ 里**每个对象都投射**，这就是选择公理：给定满射 $A \\twoheadrightarrow B$ 与 $B$ 中的点，总能挑一个原像。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.1–2.2" ] }, { "id": "prop.free-projective", "type": "proposition", "label": "自由紧 Haus 是投射对象", "title": "自由紧 Hausdorff 空间是 $\\mathbf{CHaus}$ 的投射对象", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "投射", "自由" ], "statement": "自由紧 Hausdorff 空间是 $\\mathbf{CHaus}$ 中的投射对象。", "notes": "设 $F \\cong \\beta I$，给定满态射 $T \\twoheadrightarrow S$ 与 $F \\to S$。由自由性，$F \\to S$ 等同于 $I$ 上的一族点，于是 $I \\to T$ 就是一个集合层的提升（$I$ 离散、$\\mathbf{Set}$ 中对象都投射，即选择公理）；再用 $\\beta I$ 的泛性质把它变回 $F \\to T$，而它自动与原有映射相容。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.1–2.2" ] }, { "id": "def.free-presentation", "type": "definition", "label": "自由表示", "title": "自由表示（Free Presentation）", "label_en": "free presentation", "title_en": "Free Presentation", "en_page": "nodes/def.free-presentation.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "商", "等价关系" ], "statement": "紧 Hausdorff 空间之间的连续满射 $F \\twoheadrightarrow S$ 叫 $S$ 的**自由表示**，如果\n\n1. $F$ 是自由紧 Hausdorff 空间；\n2. $F \\to S$ 是满态射；\n3. 令 $R := F \\times_{S} F$，则 $F \\to R$ 是满态射。\n\n此时 $S \\cong \\operatorname{coker}(R \\rightrightarrows F)$。", "notes": "对照集合里的那件事：对 $f : X \\to Y$，令 $R := X \\times_{Y} X = \\{(x_{1},x_{2}) : f(x_{1}) = f(x_{2})\\}$（「像相同的点对」），则 $X/R \\cong \\operatorname{im} f$（**Noether 第一同构定理**）；反过来，给定 $X$ 上的等价关系 $R$，把 $Y := X/R$，就有 $R = X \\times_{Y} X$。\n\n自由表示就是把这件事搬进 $\\mathbf{CHaus}$：$R$ 是「把像相同的点粘起来」那个等价关系，而第三条要求 $R$ 自己也能由一个自由紧 Hausdorff 空间满射过来 —— 于是整个 $S$ 由自由对象经过一次余等化子造出来。\n\n$\\mathbf{CHaus}$ 里有余等化子，所以 $\\operatorname{coker}(R \\rightrightarrows F)$ 存在；它就是商空间 $F/R$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.1–2.2" ] }, { "id": "cor.chaus-free-presentation", "type": "corollary", "label": "紧 Haus 都有自由表示", "title": "每个紧 Hausdorff 空间都有自由表示", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "自由表示", "存在性" ], "statement": "每个紧 Hausdorff 空间 $S$ 都有自由表示。", "notes": "取 $F = \\beta S^{\\mathrm{disc}}$（前一条命题：$F \\twoheadrightarrow S$ 满，且 $F$ 自由）。把同样的做法对 $S \\times_{S} S$ 再做一次，得到 $F' \\twoheadrightarrow R$ 满。三条逐一满足：自由、满、以及对 $R$ 的那条满射。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.1–2.2" ] }, { "id": "prop.component-clopen", "type": "proposition", "label": "连通分量是闭开邻域之交", "title": "紧 Hausdorff 空间中连通分量 = 闭开邻域之交", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "连通分量", "闭开集" ], "statement": "设 $S$ 是紧 Hausdorff 空间，$x \\in S$。则 $x$ 的连通分量等于一切包含 $x$ 的闭开集之交：\n\n$$C(x) \\;=\\; \\bigcap \\{\\, K \\subseteq S : K \\text{ 闭开},\\ x \\in K \\,\\}$$", "notes": "证明见边上那条推导。要点是「**紧 Hausdorff 里有无穷多闭开集可用**」：紧 Hausdorff 空间是正规的（$T_{4}$），所以两个不交闭集能被开集分开，而紧性又把「开集分开」升级成「闭开集分开」。这条把 $\\pi_{0}$ 这个反射函子变得可算：连通分量不是抽象地取出来的，而是闭开集的交。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "def.stone-space", "type": "definition", "label": "全不连通与 Stone 空间", "title": "Stone 空间与 Stonean 空间（Stone / Stonean Space）", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "Stone", "不连通" ], "statement": "- $X$ **全不连通**（totally disconnected），如果其中每个连通分量都是单点；\n- $X$ **极端不连通**（extremally disconnected），如果任一开集的**闭包仍是闭开集**；\n- **Stone 空间** = 全不连通的紧 Hausdorff 空间；\n- **Stonean 空间** = 极端不连通的紧 Hausdorff 空间。", "notes": "记 $\\pi_{0}(X) := \\{\\, C(x) : x \\in X \\,\\}$ 为连通分量的集合，并赋予它**商拓扑**；$x \\mapsto C(x)$ 给出连续映射 $X \\to \\pi_{0}(X)$。\n\n两个字面上很像的条件分居两端：**全不连通**说「碎到每个分量只剩一个点」，**极端不连通**说「开集的闭包不再长大」。后者更强 —— 极端不连通的 $T_{1}$ 空间必全不连通。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "prop.stonean-basic", "type": "proposition", "label": "极端不连通的基本性质", "title": "极端不连通的性质", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "极端不连通", "闭包" ], "statement": "**(a)** 若 $X$ 极端不连通，则任意两个不交开集 $U, V$ 的闭包仍不交：$\\overline{U} \\cap \\overline{V} = \\emptyset$。\n\n**(b)** 极端不连通的 Hausdorff 空间是**全不连通**的。", "notes": "**(a)** 反证：若 $\\overline{U} \\cap \\overline{V}$ 非空，取其中的点 $x$。因为 $X$ 极端不连通，$\\overline{U}$ 与 $\\overline{V}$ 都是闭开的，于是它们与自己的内部的关系逼出矛盾 —— 具体地说，$x$ 的每个邻域都要同时碰到 $U$ 与 $V$，而这两个闭开集又把 $x$ 与「另一个」隔开。\n\n**(b)** 设 $x \\ne y$。Hausdorff 性给出分离它们的开集 $U \\ni x$、$V \\ni y$，由 (a) 得两个不交的闭开集把 $x$ 与 $y$ 隔开，于是 $C(x) \\subseteq U \\not\\ni y$，$y \\notin C(x)$。所以每个连通分量是单点。\n\n**把 (a) 写严。** 设 $U, V$ 不交开。令 $W := X\\setminus \\overline{V}$ —— 它开，且 $U\\subseteq W$。\n因为 $U\\subseteq W = W^{\\circ}$，取闭包得 $\\overline U\\subseteq\\overline{W^{\\circ}}$；而**极端不连通的等价刻画**是「任意开集的闭包开」，即 $\\overline{W^{\\circ}}$ 是开的，于是 $\\overline{W^{\\circ}} = W^{\\circ}$，所以 $\\overline U \\subseteq W^{\\circ} = W = X\\setminus\\overline V$，即 $\\overline U\\cap\\overline V = \\emptyset$ ✓。∎\n（等价说法：极端不连通 $\\iff$ 不交开集的闭包不交。）\n**(b) 写严**：由 (a)，Hausdorff 性给出的分离开集 $U\\ni x$、$V\\ni y$ 满足 $\\overline U\\cap\\overline V = \\emptyset$；而 $\\overline U$、$\\overline V$ 都是**闭开**的（极端不连通），于是它们构成 $x$ 与 $y$ 之间的一个开闭分隔：$x$ 的连通分量含于 $\\overline U$，故不含 $y$ ✓。于是每个连通分量是单点，即全不连通。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "prop.td-reflective", "type": "proposition", "label": "全不连通空间是反射子范畴", "title": "全不连通空间是 $\\mathbf{Top}$ 的反射子范畴", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "反射", "连通分量" ], "statement": "全不连通空间构成的范畴是 $\\mathbf{Top}$ 的**反射子范畴**，反射是\n\n$$\\pi_{0} : \\mathbf{Top} \\longrightarrow \\mathbf{Top}_{\\mathrm{td}}, \\qquad X \\mapsto \\pi_{0}(X)$$\n\n并且 $X \\to \\pi_{0}(X)$ 是同构 $\\iff$ $X$ 全不连通。", "notes": "推论：**全不连通空间的任意极限仍是全不连通的** —— 因为 $\\pi_{0}$ 作为反射（一个左伴随）保余极限，而含入函子保极限。这条与「$\\mathbf{CHaus}$ 对极限封闭」叠起来，就是 Stone 空间与 Stonean 空间各自对极限封闭。\n\n**证明。** 记 $\\mathbf{Top}_{\\mathrm{td}}$ 为全不连通空间范畴，含入 $i : \\mathbf{Top}_{\\mathrm{td}}\\hookrightarrow\\mathbf{Top}$。要证 $i$ 有左伴随 $\\pi_{0}$。\n- **构造**：$\\pi_{0}(X)$ 取 $X$ 的连通分量全体，配**商拓扑**（$X\\to\\pi_{0}(X)$ 把每点送到它的分量）。商拓扑下 $\\pi_{0}(X)$ 全不连通（连通分量的原像是……分量在商里是单点，而商空间里单点是否开闭要看原像是否开闭 —— 一般 $\\pi_{0}$ 只是「全不连通」而未必离散，符合要求）；\n- **泛性质**：任给 $f : X \\to Y$（$Y$ 全不连通）。连续映射把连通集送到连通集，而 $Y$ 的连通子集只有单点，故 $f$ 在每个连通分量上取常值，于是 $f$ 唯一地穿过 $X\\to\\pi_{0}(X)$ ✓。\n两个方向互逆，故 $\\pi_{0}\\dashv i$ ✓，即 $\\mathbf{Top}_{\\mathrm{td}}$ 是反射子范畴。\n**「$X\\to\\pi_{0}(X)$ 是同构」** $\\iff$ 每个分量是单点 $\\iff$ $X$ 全不连通 ✓。∎\n⭐ 推论读法：反射子范畴等价于「含入有左伴随」，而左伴随保余极限 —— 但这里要用的是**含入保极限**（右伴随保极限），于是全不连通空间的极限（在 $\\mathbf{Top}$ 里算）落回全不连通 ✓。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "prop.stone-reflective", "type": "proposition", "label": "Stone 空间是 CHaus 的反射子范畴", "title": "Stone 空间是 $\\mathbf{CHaus}$ 的反射子范畴", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "Stone", "反射" ], "statement": "Stone 空间构成的范畴是 $\\mathbf{CHaus}$ 的反射子范畴。", "notes": "推论：**Stone 空间的任意极限仍是 Stone 空间**。把这条与「全不连通空间对极限封闭」并排看，就能读出 Stone 空间的双重身份：它既是「紧 Hausdorff 里全不连通的那些」，也是「紧 Hausdorff 这个反射子范畴里再反射一次剩下的那些」。\n\n**证明。** Stone 空间 = 紧 Hausdorff **且**全不连通。把两个反射叠起来：\n- 含入 $\\mathbf{CHaus}\\hookrightarrow\\mathbf{Top}$ 有**左**伴随 $\\beta$（Stone–Čech 紧化），即 $\\mathbf{CHaus}$ 是反射子范畴；\n- 在 $\\mathbf{CHaus}$ 内部再取全不连通的那些：含入 $\\mathbf{Stone}\\hookrightarrow\\mathbf{CHaus}$ 有左伴随「取紧 Hausdorff 空间的连通分量商」$S\\mapsto S/\\!\\sim$（把每个连通分量压成一点），因为连续映射把紧 Hausdorff 的连通分量送到连通集、而全不连通空间里连通集只有单点；\n- 于是 $\\mathbf{Stone}\\hookrightarrow\\mathbf{CHaus}$ 是反射子范畴，反射是「取连通分量商」（它对紧 Hausdorff 空间仍是紧 Hausdorff ✓）。∎\n⭐ 反射子范畴的**含入保极限**，所以 Stone 空间的极限（在 $\\mathbf{CHaus}$ 或 $\\mathbf{Top}$ 里算）仍是 Stone ✓ —— 这正是「Stone 空间对极限封闭」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "def.profinite", "type": "definition", "label": "投射有限空间", "title": "投射有限空间（Profinite Space）", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "投射有限", "有向极限" ], "statement": "**投射有限空间**是有限离散空间沿一个**有向**系统取极限得到的拓扑空间：\n\n$$X \\;=\\; \\varprojlim_{i \\in I} X_{i}, \\qquad X_{i} \\text{ 有限离散},\\quad I \\text{ 有向}$$", "notes": "「pro-finite」= 有限者的投射极限。直观上它是「越来越细的有限分辨率」堆出来的对象：$X_{i}$ 是第 $i$ 层分辨率下的样子，$I$ 有向保证任意两层分辨率都能同时加细。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "thm.stone-profinite", "type": "theorem", "label": "Stone ⟺ 投射有限", "title": "Stone 空间 $\\iff$ 投射有限空间", "label_en": "Stone duality", "title_en": "Stone duality", "en_page": "nodes/thm.stone-profinite.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 18, "tags": [ "范畴论", "Stone", "投射有限" ], "statement": "拓扑空间是 Stone 空间 $\\iff$ 它是投射有限空间。", "notes": "", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "thm.gleason", "type": "theorem", "label": "Gleason 定理", "title": "Gleason 定理：$\\mathbf{CHaus}$ 的投射对象", "label_en": "Gleason", "title_en": "Gleason", "en_page": "nodes/thm.gleason.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "Gleason", "投射对象" ], "statement": "$\\mathbf{CHaus}$ 中的**投射对象恰好是 Stonean 空间**。", "notes": "", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "cor.stonean-retract", "type": "corollary", "label": "Stonean 是收缩核", "title": "Stonean 空间 = 自由紧 Hausdorff 空间的收缩核", "label_en": "retract", "title_en": "retract", "en_page": "nodes/cor.stonean-retract.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 18, "tags": [ "范畴论", "收缩核", "Stonean" ], "statement": "Stonean 空间恰好是自由紧 Hausdorff 空间的**收缩核**：存在连续映射 $r : X \\to A$ 使 $r|_{A} = 1_{A}$（这样的 $A$ 叫 $X$ 的收缩核）。", "notes": "这条把 Gleason 定理翻译成了一句「具体拓扑」的话：投射性 = 收缩核。与模论里「投射模 = 自由模的直和项」完全平行 —— 两者都是「投射 = 从自由对象上切一块下来」。\n\n**证明（把 Gleason 与「$\\mathbf{CHaus}$ 里每个对象都是自由的商」拼起来）。**\n- **$(\\implies)$**：设 $A$ 是 Stonean。取自由紧 Hausdorff 空间 $F$ 与满射 $p : F\\twoheadrightarrow A$（「$\\mathbf{CHaus}$ 里每个对象都是自由的商」）。Stonean $\\implies$ 由 **Gleason 定理** $A$ 是 $\\mathbf{CHaus}$ 里的**投射对象**，于是满射 $p : F\\to A$ 有**截面** $s : A\\to F$，即 $p\\circ s = \\mathrm{id}_{A}$ —— 这正是「$A$ 是 $F$ 的收缩核」（取 $r := p$）✓。\n- **$(\\Longleftarrow)$**：若 $A$ 是自由对象 $F$ 的收缩核（$r: F\\to A$，$r|_A = \\mathrm{id}$），则由**投射对象的收缩核仍投射**（标准事实：投射对象的直和项/收缩核还是投射的），$A$ 在 $\\mathbf{CHaus}$ 里投射；再由 Gleason 定理，$A$ 是 Stonean ✓。∎\n⭐ 这条是「Stonean = 自由紧 Hausdorff 的收缩核」的完整论证，也是后面「$\\mathbb{Z}[S]$ 投射」的来源（$S$ 的收缩核给出截面，截面给出 $\\mathbb{Z}[S]$ 的投射性）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "def.sieve", "type": "definition", "label": "筛", "title": "筛（Sieve）", "label_en": "sieve", "title_en": "sieve", "en_page": "nodes/def.sieve.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "筛", "覆盖" ], "statement": "设 $X \\in \\mathcal{C}$。$X$ 上的**筛**是预层 $h_{X} = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, X)$ 的一个子函子 $R \\subseteq h_{X}$：对每个 $X'$ 给一个子集 $R(X') \\subseteq \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X', X)$，使得只要 $f \\in R(X')$，任何 $g : X'' \\to X'$ 都满足 $f \\circ g \\in R(X'')$。\n\n一族态射 $(f_{i} : X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ **生成的筛**是\n\n$$S = \\{\\, g : Y \\to X \\ \\mid\\ \\exists i,\\ \\exists h : Y \\to X_{i},\\ g = f_{i} \\circ h \\,\\}$$", "notes": "直觉：**$X$ 上一族「允许的映射」，而且凡是能再往下接的都算进来**。所以筛不是随便一族箭头，它「对预复合封闭」—— 这正是一个子函子该有的样子。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "def.pretopology", "type": "definition", "label": "预拓扑", "title": "预拓扑（Pretopology）", "label_en": "pretopology", "title_en": "pretopology", "en_page": "nodes/def.pretopology.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "预拓扑", "覆盖" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 上的**预拓扑**是对每个 $X$ 指定一族**覆盖族** $\\operatorname{Cov}(X)$（每个元素是一族态射 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$），满足：\n\n1. **同构是覆盖**：任何同构 $X' \\to X$ 都在 $\\operatorname{Cov}(X)$ 中；\n2. **拉回稳定**：若 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I} \\in \\operatorname{Cov}(X)$，则对任意 $f : Y \\to X$，\n\n$$\\bigl(\\, X_{i} \\times_{X} Y \\to Y \\,\\bigr)_{i \\in I} \\in \\operatorname{Cov}(Y)$$\n\n3. **传递**：若 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I} \\in \\operatorname{Cov}(X)$ 且对每个 $i$ 有 $(X_{ij} \\to X_{i})_{j \\in J_{i}} \\in \\operatorname{Cov}(X_{i})$，则 $(X_{ij} \\to X)_{i \\in I, j \\in J_{i}} \\in \\operatorname{Cov}(X)$。", "notes": "三条读成一句话：**同构是覆盖、覆盖能拉回、覆盖的覆盖还是覆盖**。\n\n例：在 $\\mathbf{Set}$ 上取 $\\operatorname{Cov}(X) = \\{(X_{i} \\to X) : X = \\bigcup_{i} X_{i}\\}$，三条都成立 —— 这就是「覆盖」两个字的原型。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "def.grothendieck-topology", "type": "definition", "label": "Grothendieck 拓扑", "title": "Grothendieck 拓扑与 site（Grothendieck Topology, Site）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "拓扑", "site" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 上的 **Grothendieck 拓扑**是对每个 $X$ 指定一族**覆盖筛** $J(X)$，满足：\n\n1. $h_{X} \\in J(X)$；\n2. **拉回稳定**：$R \\in J(X)$、$f : Y \\to X$ $\\implies$ $f^{*}(R) := R \\times_{h_{X}} h_{Y} \\in J(Y)$；\n3. **传递**：$R, R' \\subseteq h_{X}$，若 $R' \\in J(X)$ 且对每个 $f \\in R'(Y)$ 有 $f^{*}(R) \\in J(Y)$，则 $R \\in J(X)$。\n\n带 Grothendieck 拓扑的范畴叫 **site**。", "notes": "$J(X)$ 在所有筛的偏序集上构成一个**滤子**：非空；对交封闭（$R, R' \\in J(X) \\implies R \\cap R' \\in J(X)$）；对更大的筛封闭（$R \\subseteq R'$、$R \\in J(X) \\implies R' \\in J(X)$）。合起来就是「$J(X)$ 里有一堆「够大」的筛」。\n\n由预拓扑可以生成拓扑：把每个覆盖族换成它生成的筛，再取全部这样的筛。**拓扑比预拓扑更一般** —— 预拓扑要求那些纤维积存在，而在预层范畴里筛的拉回总是存在的。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_topology", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+topology" } }, { "id": "def.sheaf", "type": "definition", "label": "层", "title": "层与分离预层（Sheaf）", "label_en": "sheaf", "title_en": "sheaf", "en_page": "nodes/def.sheaf.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "层", "粘合" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site，$F : \\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathbf{Set}$ 是预层。\n\n- $F$ 叫**分离的**，如果对每个 $X$ 与每个 $R \\in J(X)$，限制映射\n\n$$\\operatorname{Hom}(h_{X}, F) \\longrightarrow \\operatorname{Hom}(R, F)$$\n\n是**单射**；\n- $F$ 叫**层**，如果这个映射是**双射**。", "notes": "用米田引理 $\\operatorname{Hom}(h_{X}, F) \\cong F(X)$，可以把这个定义读成两句话：左边是 $F(X)$（整体截面），右边是「沿 $R$ 的一族相容截面」：\n\n\n\n- **单射 = 分离公理**：两个整体截面若在 $R$ 上一致，就必定相等；\n- **双射 = 粘合公理**：任何一族相容截面都能**唯一**地拼成整体截面。\n\n\n\n在拓扑空间的老写法里（$\\mathcal{C} = \\operatorname{Open}(X)^{\\mathrm{op}}$），这两条就是：$s|_{U_{i}} = t|_{U_{i}}$ 处处成立则 $s = t$；以及局部截面 $s_{i}$ 在交叠处一致时能拼出整体截面。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/sheaf", "mathlib": "https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.html" } }, { "id": "thm.sheaf-descent", "type": "theorem", "label": "层的下降条件", "title": "用覆盖族检验层", "label_en": "sheaf condition", "title_en": "sheaf condition", "en_page": "nodes/thm.sheaf-descent.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "层", "正合列" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 带预拓扑。预层 $F$ 是层 $\\iff$ 对每个 $X$ 与每个覆盖族 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$，序列\n\n$$F(X) \\longrightarrow \\prod_{i \\in I} F(X_{i}) \\overset{\\alpha}{\\underset{\\beta}{\\rightrightarrows}} \\prod_{i, j \\in I} F(X_{i} \\times_{X} X_{j})$$\n\n正合，即 $F(X) \\cong \\ker(\\alpha - \\beta)$，其中\n\n$$\\alpha\\bigl((s_{i})_{i}\\bigr) = \\bigl(s_{i}|_{X_{i} \\times_{X} X_{j}}\\bigr)_{i,j}, \\qquad \\beta\\bigl((s_{i})_{i}\\bigr) = \\bigl(s_{j}|_{X_{i} \\times_{X} X_{j}}\\bigr)_{i,j}$$", "notes": "这就是教科书里那两条：**单态** $F(X) \\hookrightarrow \\prod_{i} F(X_{i})$ 是**分离公理**，**等于核**是**粘合公理**（相容族恰好是整体截面的像）。\n\n把交叠条件写成 $X_{i} \\times_{X} X_{j}$ 上的一致性是关键 —— 「两块覆盖在重叠部分的限制相同」这句话，在一般范畴里没有交叠可用，只有纤维积。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "def.cech-functor", "type": "definition", "label": "Čech 函子", "title": "Čech 函子（Čech Functor）", "label_en": "Čech functor", "title_en": "Čech Functor", "en_page": "nodes/def.cech-functor.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "层化", "滤过余极限" ], "statement": "site $\\mathcal{C}$ 上的 **Čech 函子** $\\widehat{H}$ 定义在预层上：\n\n$$\\widehat{H}(T)(X) \\;:=\\; \\varinjlim_{R \\in J(X)} \\operatorname{Hom}(R, T)$$\n\n（因为 $J(X)$ 是滤子，这是一个**滤过余极限**。）由 $h_{X} \\in J(X)$ 与 $\\operatorname{Hom}(h_{X}, T) \\cong T(X)$，得到自然映射 $T \\to \\widehat{H}(T)$。", "notes": "「沿越来越大的覆盖筛取极限」在 $T$ 这一侧翻成了余极限 —— 因为 $\\operatorname{Hom}(-, T)$ 是**反变**的，反变函子沿滤子取极限等于共变函子的滤过余极限。$\\widehat{H}$ 是把预层朝层的方向推一把的第一步。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "prop.cech-properties", "type": "proposition", "label": "Čech 函子的性质", "title": "Čech 函子的三条性质", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "层化", "左正合" ], "statement": "1. $\\widehat{H}$ **左正合**（保有限极限）；\n2. $T$ 是预层 $\\implies$ $\\widehat{H}(T)$ **分离**；$T$ 分离 $\\implies$ $\\widehat{H}(T)$ 是**层**；\n3. $T$ 是分离的（层）$\\iff$ $T \\to \\widehat{H}(T)$ 是单态射（同构）。", "notes": "**证明。** 记 $\\widehat{H}(T) := \\varinjlim_{(X_{i}\\to X)}\\check{H}^{0}\\bigl((X_{i}),T\\bigr)$，其中 $\\check{H}^{0}$ 是 $\\prod_{i}T(X_{i}) \\rightrightarrows \\prod_{i,j}T(X_{i}\\times_{X}X_{j})$ 的等化子。\n**1.（左正合）** $T \\mapsto \\check{H}^{0}((X_{i}),T)$ 只用到 $T$ 的取值与拉回，是有限极限（积 + 等化子）的复合，故保有限极限；而 $\\mathbf{Set}$ 里的**滤过余极限正合**（与有限极限交换）✓。两者合起来给出 $\\widehat{H}$ 左正合 ✓。\n**2.（分离 / 层）** $\\widehat{H}(T)(X)$ 的元素是「某个覆盖上的相容族」，两个元素相等 $\\iff$ 存在公共细化使它们在那上面一致（滤过性）。于是：若它们在某个覆盖的每支上相等，则在该覆盖上就已经相等，故 $\\widehat{H}(T) \\to \\prod_{i}\\widehat{H}(T)(X_{i})$ 单 —— 即 $\\widehat{H}(T)$ **分离** ✓。进一步，若 $T$ 分离，任何 $\\widehat{H}(T)$ 上的相容族可以逐层提升到 $T$（分离性保证提升唯一），从而粘成 $\\widehat{H}(T)$ 的一个元素，故 $\\widehat{H}(T)$ 是**层** ✓。\n**3.（与嵌入的关系）** 由 $\\check{H}^{0}$ 是等化子，$T(X) \\to \\widehat{H}(T)(X)$ 总是单 $\\iff$ 「$T$ 上两个元素若在某个覆盖上一致则相等」，即 $T$ 分离 ✓；这个映射还是满的 $\\iff$ 每个相容族都能粘合，即 $T$ 是层 ✓。于是 $T$ 分离 $\\iff T \\to \\widehat{H}(T)$ 单、$T$ 是层 $\\iff$ 它是同构 ✓。∎\n\n1 的理由很短：$\\operatorname{Hom}(-, T)$ 保极限，而**滤过余极限左正合**。3 说明「分离」与「层」的差别就是「$T$ 在 $\\widehat{H}$ 里是不是已经到顶了」—— 于是「做两次 $\\widehat{H}$」这件事有了明确的意义。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "thm.sheafification", "type": "theorem", "label": "层化", "title": "层化：层范畴是预层范畴的反射子范畴", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 18, "tags": [ "范畴论", "层化", "反射" ], "statement": "层范畴是预层范畴的**反射子范畴**，反射\n\n$$\\sharp : \\widehat{\\mathcal{C}} \\longrightarrow \\widehat{\\mathcal{C}}, \\qquad T \\mapsto T^{\\sharp}$$\n\n叫 **sheafification**（层化）：对每个层 $F$，\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}\\bigl(T^{\\sharp},\\ F\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}\\bigl(T,\\ F\\bigr)$$\n\n并且它是**幂等**的：$(T^{\\sharp})^{\\sharp} \\cong T^{\\sharp}$。具体地，$T^{\\sharp}$ 取「对预层做两次 Čech 构造」。", "notes": "推论：\n\n\n\n1. **层范畴里的极限就是在预层范畴里算的**（反射子范畴对极限封闭）；\n2. $T \\mapsto T^{\\sharp}$ **保所有余极限与有限极限**。\n\n\n\n例：\n\n\n\n- 取**最粗**拓扑（$J(X) = \\{h_{X}\\}$）时每个预层都是层，$\\sharp$ 是恒等；取**最细**拓扑（$J(X) = $ 一切筛）时层范畴只剩一个对象，即常数预层 $\\mathbf{1}$。\n- 常数预层（每个开集上取同一个集合 $E$）的层化叫**常数层**。\n- 拓扑空间 $X$ 上取 $\\mathcal{C} = \\operatorname{Open}(X)$，得到的就是通常的层范畴，$\\sharp$ 就是通常的层化函子。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "def.regular-epi", "type": "definition", "label": "正则满态射", "title": "正则满态射（Regular Epimorphism）", "label_en": "regular epimorphism", "title_en": "regular epimorphism", "en_page": "nodes/def.regular-epi.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "满态射", "余等化子" ], "statement": "态射 $f : X \\to Y$ 叫**正则满态射**，如果它是某个平行对的**余等化子**：存在 $u, v : W \\rightrightarrows X$ 使 $f = \\operatorname{coker}(u, v)$。", "notes": "在 $\\mathbf{Set}$ 里**每个满射都是正则的**：取 $W = X \\times_{Y} X$ 与两个投影，它们的余等化子正是 $f$。在一般范畴里不然 —— 「满」（右可消）比「正则满」弱得多，差的那部分正是「$Y$ 是不是真的由 $X$ 商出来的」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "def.universal-colimit", "type": "definition", "label": "万有关系", "title": "万有余极限、万有满态射、不交余积", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "万有", "余积" ], "statement": "1. 余极限 $X = \\varinjlim_{i} X_{i}$ 叫**万有的**，如果对任意 $X \\to Y$ 与 $Y' \\to Y$，\n\n$$X \\times_{Y} Y' \\;\\cong\\; \\varinjlim_{i} \\bigl(X_{i} \\times_{Y} Y'\\bigr)$$\n\n2. 正则满态射 $f : X \\to Y$ 叫**万有的**，如果对任意 $Y' \\to Y$，拉回 $f \\times_{Y} Y'$ 仍是正则满态射；\n3. 余积 $X = \\coprod_{i \\in I} X_{i}$ 叫**不交的**，如果 (a) 每个 $X_{i} \\to X$ 是单态射，(b) $i \\ne j$ 时 $X_{i} \\times_{X} X_{j}$ 是始对象。\n\n有效等价关系叫**万有的**，如果它的商映射是万有正则满态射。", "notes": "「万有」= **拉回之后还在**：不管把整个图沿什么映射拉回去，性质都保持。这三条是把「集合里那些显然的好性质」翻译成范畴语言的样板 —— 它们在 $\\mathbf{Set}$ 里不出问题，但换一个范畴就未必，所以必须写下来。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "prop.site-properties", "type": "proposition", "label": "site 的层范畴的好性质", "title": "Grothendieck 拓扑下的层范畴", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 19, "tags": [ "范畴论", "层", "预拓扑斯" ], "statement": "若 $\\mathcal{C}$ 是 site，则层范畴 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 中所有极限与余极限存在，并且：\n\n1. 余极限是**万有**的；\n2. **滤过余极限正合**；\n3. 满态射都是**正则的**且**万有**的；\n4. 余积是**不交**的；\n5. 等价关系是**有效的**且**万有**的。", "notes": "理由一句话：**这些性质在 $\\mathbf{Set}$ 里成立，而层范畴里的构造逐点继承 $\\mathbf{Set}$ 的性质**，再配合层化保有限极限与余极限。第 3 条尤其值得记：在这里「满 = 正则满」是自动的，不必额外假设 —— 这正是后面预拓扑斯公理里那一条的来源。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "prop.sheaf-mono-epi-iso", "type": "proposition", "label": "层中单满即同构", "title": "层里的单满分解", "label_en": "epi-mono factorization", "title_en": "epi-mono factorization", "en_page": "nodes/prop.sheaf-mono-epi-iso.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "层", "分解" ], "statement": "设 $u : F \\to G$ 是层之间的态射。则：\n\n1. 若 $u$ 既是单态射又是满态射，则 $u$ 是同构；\n2. $u$ 有**唯一的**满-单分解：存在唯一的 $I$ 使 $u = F \\twoheadrightarrow I \\rightarrowtail G$。", "notes": "**证明。** 设 $u : F \\to G$ 是层之间的态射。\n**1.** 设 $u$ 既单又满。由满性（层中满态射的**局部**判据），对 $1_{G} \\in G(G)$ 存在覆盖 $(G_{i}\\to G)$ 与 $t_{i}\\in F(G_{i})$ 使 $u(t_{i}) = 1_{G}|_{G_{i}}$。在双重拉回 $G_{i}\\times_{G}G_{j}$ 上，$t_{i}$ 与 $t_{j}$ 的像都等于 $1_{G}$ 的限制，由 $u$ 单得 $t_{i}|= t_{j}|$ —— 相容 ✓。层条件给唯一的 $v \\in F(G)$ 与 $v|_{G_{i}} = t_{i}$，于是 $u(v) = 1_{G}$（两边在覆盖上一致，层分离）。又 $u(v u) = u$，而 $u$ 单 $\\implies v u = 1_{F}$。故 $u$ 同构 ✓。\n**2.** 像分解：拓扑斯里每个态射都有 (满, 单) 分解（像 $= $ 层化后的余等化子）。设 $u = m e$ 与 $u = m' e'$ 是两个这样的分解。由 $m e = m' e'$ 与满-单的泛性，$e'$ 通过 $e$ 分解（$e$ 满、$m'$ 单，用「满 $\\implies$ 左消去」得唯一分解），对称地 $e$ 通过 $e'$ 分解，两个分解互相比较得 $I \\cong I'$ ✓。∎\n\n这两条在 $\\mathbf{Set}$ 里也对，但在层范畴里**不是自动的**，要证。它们恰好就是**预拓扑斯（pretopos）**公理的内容 —— 所以这个位置正是从「层」走向「拓扑斯」的接口。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "prop.sheaf-epi-criterion", "type": "proposition", "label": "满态射的局部判据", "title": "层中满态射的局部刻画", "label_en": "local epimorphism", "title_en": "local epimorphism", "en_page": "nodes/prop.sheaf-epi-criterion.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "层", "满态射" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 带预拓扑。层的态射 $u : F \\to G$ 是满态射 $\\iff$ 对每个 $X \\in \\mathcal{C}$ 与每个 $s \\in G(X)$，存在覆盖 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 使\n\n$$s|_{X_{i}} \\in \\operatorname{im}\\bigl(F(X_{i}) \\to G(X_{i})\\bigr) \\qquad (\\forall i \\in I)$$", "notes": "**证明。**\n- **$(\\implies)$** 设 $u : F \\to G$ 是满态射。任取 $X$ 与 $s \\in G(X)$，即 $s : h_{X} \\to G$。取拉回\n$$\\begin{array}{ccc} h_{X}\\times_{G}F & \\xrightarrow{\\ \\ } & F\\\\ \\big\\downarrow & & \\big\\downarrow{\\scriptstyle u}\\\\ h_{X} & \\xrightarrow{\\ s\\ } & G\\end{array}$$\n底边 $u$ 满 $\\implies$ 左边那条也是满态射（拓扑斯里满态射沿任意态射拉回仍满），即 $h_{X}\\times_{G}F \\to h_{X}$ 是**覆盖**；取它的一族可表示层覆盖 $(X_{i}\\to X)$，则每支给出 $s|_{X_{i}}$ 在 $F(X_{i})$ 里的一个原像 ✓。\n- **$(\\Longleftarrow)$** 设条件成立，取像分解 $u = m\\,e$（$e$ 满、$m : I \\rightarrowtail G$ 单）。条件说：对每个 $X$、每个 $s \\in G(X)$，存在覆盖使 $s|_{X_{i}}$ 落在 $\\operatorname{im}u \\subseteq \\operatorname{im}m = I$ 里。而单态射是同构 $\\iff$ 它的像在每个 $X$ 上被覆盖局部地盖住（子对象相等的局部判据）。故 $m$ 是同构，$u = m e$ 满 ✓。∎\n一句话：**层的满态射就是「局部满」。**\n\n一句话：**层的满态射是「局部满」**。整体上 $s$ 可能没有原像，但总能把 $X$ 切成一层覆盖，每块上都有原像 —— 这是「层上只有局部信息」最典型的体现。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "def.effective-equivalence", "type": "definition", "label": "有效等价关系", "title": "有效等价关系（Effective Equivalence Relation）", "label_en": "effective equivalence relation", "title_en": "Effective Equivalence Relation", "en_page": "nodes/def.effective-equivalence.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "等价关系", "商" ], "statement": "对象 $X$ 上的**等价关系**是一个图 $R \\rightrightarrows X$，使得对每个 $Y$，$\\operatorname{Hom}(Y, R) \\to \\operatorname{Hom}(Y, X) \\times \\operatorname{Hom}(Y, X)$ 是等价关系（在 $\\mathbf{Set}$ 里取）。\n\n它叫**有效的**，如果\n\n$$R \\;\\cong\\; X \\times_{\\overline{X}} X, \\qquad \\overline{X} := \\operatorname{coker}(R \\rightrightarrows X)$$\n\n即 $R$ 恰好就是商映射的核对。", "notes": "「有效」说的是**商没有多粘**：先取等价关系再取商、然后再看商映射的核对，回到原来的等价关系。\n\n对照集合：任意 $f : X \\to Y$ 给出的核对 $X \\times_{Y} X$ 一定是有效的（$\\overline{X} \\cong \\operatorname{im} f$）；反过来任意等价关系 $R \\subseteq X \\times X$ 取 $\\overline{X} = X/R$ 也总是回到 $R$。**在 $\\mathbf{Set}$ 里人人都有效**，但在一般范畴里这是要额外要求的一条。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "prop.sheafify-equivalence", "type": "proposition", "label": "层化与等价关系交换", "title": "层化保持等价关系与商", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "层化", "等价关系" ], "statement": "若 $R$ 是预层 $T$ 上的等价关系，则层化之后 $R^{\\sharp}$ 是 $T^{\\sharp}$ 上的等价关系，并且\n\n$$\\bigl(T/R\\bigr)^{\\sharp} \\;\\cong\\; T^{\\sharp} / R^{\\sharp}$$", "notes": "**证明。** 记层化为 $(-)^{\\sharp}$：它是到层范畴的反射，故左伴随。\n- 左伴随保**余极限** ✓；它同时又**左正合**（保有限极限，因为拓扑斯都是左正合的）✓。\n- **等价关系的条件都是有限极限条件**：$R \\rightrightarrows T$ 是等价关系 $\\iff$ 存在 $R \\to T\\times T$ 使其为单态射（自反、对称、传递三条用对角、交换与拉回表达）。层化保这些有限极限，故 $R^{\\sharp} \\rightrightarrows T^{\\sharp}$ 仍是等价关系 ✓。\n- **商是余等化子**：$T/R := \\operatorname{coeq}(R \\rightrightarrows T)$，是余极限，故 $(T/R)^{\\sharp} \\cong \\operatorname{coeq}(R^{\\sharp}\\rightrightarrows T^{\\sharp}) = T^{\\sharp}/R^{\\sharp}$ ✓。\n两件事合起来就是「先商再层化 $=$ 先层化再商」✓。∎\n\n「先取商再层化」与「先层化再取商」结果一样 —— 这类交换性是层化「保余极限」的具体面貌（商是余等化子，是余极限）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "def.canonical-topology", "type": "definition", "label": "标准拓扑", "title": "标准拓扑与次标准拓扑（Canonical Topology）", "label_en": "canonical topology", "title_en": "canonical topology", "en_page": "nodes/def.canonical-topology.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "标准拓扑", "次标准" ], "statement": "在任何范畴 $\\mathcal{C}$ 上，存在**最细**的拓扑使得所有可表示预层都是层：规定 $X$ 上的筛 $R$ 是覆盖筛，当且仅当\n\n$$\\forall f : Y \\to X,\\ \\forall Z \\in \\mathcal{C}, \\qquad \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(Y, Z) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}\\bigl(f^{-1}(R),\\ h_{Z}\\bigr)$$\n\n这个拓扑叫 $\\mathcal{C}$ 上的**标准拓扑**。比标准拓扑**粗**的拓扑叫**次标准的**（subcanonical）。", "notes": "等价刻画（把「次标准」一次说清）：\n\n\n\n$$\\text{次标准} \\iff \\text{可表示预层都是层} \\iff X^{\\sharp} = h_{X}\\ (\\forall X) \\iff \\text{米田嵌入经过层范畴仍然全忠实}$$\n\n\n\n所以「次标准」= **层范畴仍然看得见原来的范畴**。反过来，标准拓扑就是「能看见 $\\mathcal{C}$ 的前提下的最细拓扑」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "prop.covering-sieve-epi", "type": "proposition", "label": "覆盖筛即余积满射", "title": "覆盖族生成覆盖筛 $\\iff$ 余积满射", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "覆盖", "余积" ], "statement": "族 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 生成一个**覆盖筛** $\\iff$ 余积 $\\coprod_{i \\in I} X_{i} \\to X$ 是**满态射**（在 $\\mathcal{C}$ 中）。", "notes": "这把一件看起来属于「拓扑」的事（什么算覆盖）翻译成一句纯范畴的话（余积是不是满射）。从此「$\\{X_{i} \\to X\\}$ 覆盖 $X$」与「$\\coprod_{i} X_{i} \\to X$ 满」可以随意换着用。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "prop.disjoint-universal", "type": "proposition", "label": "不交万有余积与次标准拓扑", "title": "不交万有余积在次标准拓扑下不变", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "余积", "次标准" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 有有限极限。则 $X = \\coprod_{i \\in I} X_{i}$ 在 $\\mathcal{C}$ 中是**不交的万有余积** $\\iff$ 对任何（等价地：某一个）**次标准拓扑**，它作为层范畴中的余积仍然不交、万有。", "notes": "**证明。** 记次标准拓扑下的层化为 $(-)^{\\sharp}$，此时可表示预层都是层：$h_{X}^{\\sharp} = h_{X}$。\n**$(\\implies)$** 设 $X = \\coprod_{i}X_{i}$ 在 $\\mathcal{C}$ 里不交、万有。Yoneda 嵌入保余积，故 $h_{X} \\cong \\coprod_{i}h_{X_{i}}$，两边都是层，即这个余积在层范畴里就被算出来了 ✓。不交：层范畴的余积逐点算，$\\coprod_{i}h_{X_{i}}$ 的注入都来自 $\\mathcal{C}$ 里的注入，两两拉回是 $h_{0}$（始对象）✓。万有：沿任意 $Z \\to h_{X}$ 的拉回逐点验，落在 $\\mathcal{C}$ 里就是原来的万有性 ✓。\n**$(\\Longleftarrow)$** 设某个次标准拓扑下 $h_{X} = \\coprod_{i}h_{X_{i}}$ 不交、万有。逐点（对每个 $Z \\in \\mathcal{C}$）展开：不交给 $\\operatorname{Hom}(Z,X) = \\coprod_{i}\\operatorname{Hom}(Z,X_{i})$ 的不交并；万有给「沿 $Z' \\to Z$ 拉回保持它」。取 $Z = X$ 与 $1_{X}$ 读出 $X_{i}\\to X$ 的注入性，取 $Z = X_{i}\\times_{X}X_{j}$ 读出两两拉回是始对象，再取任意 $Z$ 得万有性，逐条搬回 $\\mathcal{C}$ ✓。\n**结论：标准拓扑恰好把 $\\mathcal{C}$ 里成立的余积性质原样保留，不多也不少。**∎\n\n一个方向：次标准保证 $X = h_{X}$、$X_{i} = h_{X_{i}}$ 都在层范畴里，而 $\\coprod_{i} h_{X_{i}}$ 本来就不交，所以自动是层。另一个方向：拿 $h_{X} = \\coprod_{i} h_{X_{i}}$ 去逐条验注入性与「拉回是始对象」。\n\n含义：**标准拓扑恰好把 $\\mathcal{C}$ 里成立的那部分余积性质原样保留下来**，不多也不少 —— 这就是「次标准」这个名字该有的分量。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "def.pretopos", "type": "definition", "label": "预拓扑斯", "title": "预拓扑斯（Pretopos）", "label_en": "pretopos", "title_en": "Pretopos", "en_page": "nodes/def.pretopos.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "预拓扑斯", "正合" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 叫**预拓扑斯**，如果\n\n1. **有限极限存在**；\n2. **有限余积存在**，并且是**不交的**与**万有的**；\n3. **等价关系是有效的且万有的**；\n4. **满态射是正则的且万有的**。", "notes": "第 4 条**不是独立的** —— 它可以由前三条推出，所以有些课本只写三条。写下来的好处是提醒一件事：**在这里满态射自动是正则的**，于是「满」与「商映射」是同一件事。\n\n标准事实：**单态射可以通过极限来定义**（$i$ 是单态射 $\\iff$ 那个方形是笛卡尔的），而拉回与极限都保持单态射；这保证了推出也保单态射 —— 第 2、3 条里那些「不交」「有效」才有意义。\n\n例：$\\mathbf{Set}$、$\\mathbf{FinSet}$ 是预拓扑斯；$\\mathbf{CHaus}$ 是拓扑斯；**$\\mathbf{Top}$ 不是预拓扑斯**（满态射不一定是商映射）。任何 site 的层范畴都是预拓扑斯。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "prop.pretopos-factorization", "type": "proposition", "label": "满-单分解", "title": "预拓扑斯中的满-单分解", "label_en": "balanced", "title_en": "balanced", "en_page": "nodes/prop.pretopos-factorization.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "预拓扑斯", "分解" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是预拓扑斯。则\n\n1. $\\mathcal{C}$ 是**平衡的**：既单又满的态射一定是同构；\n2. 每个态射都是**严格的**：$\\operatorname{im} f \\cong \\operatorname{coim} f$；\n3. 每个态射都有**唯一**的满-单分解\n\n$$f : X \\twoheadrightarrow \\overline{X} \\rightarrowtail Y, \\qquad \\overline{X} := X / R,\\quad R := X \\times_{Y} X$$", "notes": "这三条在 $\\mathbf{Set}$ 里都理所当然，但在一般范畴里都要证。它们合起来说：「**预拓扑斯里的像 = 商**」，与集合里「像就是按核对取商」完全一致。证明见边上那条推导。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "prop.subobject-lattice", "type": "proposition", "label": "子对象构成有界格", "title": "预拓扑斯中子对象构成有界格", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "子对象", "格" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是预拓扑斯，$X \\in \\mathcal{C}$。则子对象全体 $\\{X' : X' \\rightarrowtail X\\}$ 构成一个**有界格**：\n\n$$X_{1} \\cup X_{2} := \\operatorname{im}\\bigl(X_{1} \\coprod X_{2} \\to X\\bigr)$$\n\n而且**拉回是格之间的同态**（保交、保并、保上界）。", "notes": "**证明。** 「子对象」是单态射 $X' \\rightarrowtail X$ 的同构类。\n- **交**取**拉回**：$X_{1} \\cap X_{2} := X_{1} \\times_{X} X_{2}$。单态射的拉回仍是单态射 ✓；泛性给出「同时分解过 $X_{1}$ 与 $X_{2}$」$\\iff$「分解过拉回」，即它恰是两个子对象的**最大下界** ✓。\n- **并**取**像**：$X_{1} \\cup X_{2} := \\operatorname{im}(X_{1} \\coprod X_{2} \\to X)$。余积的泛性给出「同时被 $X_{1}, X_{2}$ 包含的态射 $\\iff$ 从余积出发的态射」，而取像正是把它变成单态射：$X_{1} \\to X$ 与 $X_{2} \\to X$ 都分解过它，且任何同时包含两者的子对象都被它分解过（像的泛性）—— 恰是**最小上界** ✓。（像的存在来自预拓扑斯里余等化子 / 商的存在。）\n- **有界**：最小元是始对象到 $X$ 的唯一态射（预拓扑斯里始对象到任何对象都是单态射），最大元是 $1_{X}$ ✓。\n- **分配律**：$X_{1} \\cap (X_{2}\\cup X_{3}) = (X_{1}\\cap X_{2}) \\cup (X_{1}\\cap X_{3})$ —— 沿单态射的拉回保余积（预拓扑斯里余积不交且万有），把两边都算成同一个拉回 ✓。\n- **拉回是格同态**：$f^{*}(-) := -\\times_{Y} X$ 保拉回（是极限），故保交、保上下界；而它保余积（万有性）与像（像的计算可以搬到拉回里做），故保并 ✓。∎\n\n「有界」指的是这个格有最小元（始对象出发的那个子对象）与最大元（$X$ 自己）。把「子对象」当成一个格来看，后面讲拓扑斯内部逻辑时用的就是它 —— 这里的交、并分别是逻辑的「且」与「或」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "def.precanonical-topology", "type": "definition", "label": "预标准拓扑", "title": "预标准拓扑（Precanonical Topology）", "label_en": "precanonical topology", "title_en": "Precanonical Topology", "en_page": "nodes/def.precanonical-topology.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "预拓扑斯", "预标准" ], "statement": "预拓扑斯 $\\mathcal{C}$ 上的**预标准预拓扑**由所有**有限**族 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 组成，使得\n\n$$\\coprod_{i \\in I} X_{i} \\longrightarrow X$$\n\n是满态射。它生成的 Grothendieck 拓扑叫**预标准拓扑**，配它的 $\\mathcal{C}$ 是一个 site。", "notes": "生成它的其实是两类覆盖：**有限不交并**（$\\coprod_{i \\in I} X_{i} \\cong X$）与**满射** $(X_{i} \\to X)$。名字里的「预」是因为它比标准拓扑**粗** —— 但仍然是次标准的。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "prop.precanonical-sheaf", "type": "proposition", "label": "预标准拓扑下的层", "title": "预标准拓扑下「层」的两条等式", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "层", "预标准" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是预拓扑斯、配预标准拓扑。预层 $F$ 是层 $\\iff$ 对每个有限族 $(X_{i} \\to X)$ 且 $\\coprod_{i} X_{i} \\to X$ 满，\n\n$$F(X) \\;\\cong\\; \\ker\\Bigl(\\prod_{i} F(X_{i}) \\rightrightarrows \\prod_{i,j} F(X_{i} \\times_{X} X_{j})\\Bigr)$$\n\n等价地，下面两条同时成立：\n\n$$F\\Bigl(\\coprod_{i \\in I} X_{i}\\Bigr) \\;\\cong\\; \\prod_{i \\in I} F(X_{i}), \\qquad R \\text{ 是 } X \\text{ 上的等价关系} \\implies F(X/R) \\;\\cong\\; \\ker\\bigl(F(X) \\rightrightarrows F(R)\\bigr)$$", "notes": "**证明。** 设覆盖族 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$（有限、$\\coprod_{i}X_{i} \\to X$ 满）。层条件是对每个这样的族\n$$F(X) \\to \\prod_{i}F(X_{i}) \\rightrightarrows \\prod_{i,j}F(X_{i}\\times_{X}X_{j})$$\n为等化子。\n- **「余积变积」**：取单支覆盖 $X \\to X$（它当然满），则层条件退化成 $F(X) \\cong F(X)$ 的平凡等式 —— 有限余积的层条件要把 $I$ 取成各支自身：对有限族 $(X_{i})$，$\\coprod_{i}X_{i} \\to \\coprod_{i}X_{i}$ 满，层条件给出 $F(\\coprod_{i}X_{i}) \\cong \\prod_{i}F(X_{i})$ ✓（与余积交换 == 与有限积交换，因为 $F$ 是 $\\mathbf{Set}$ 值）。\n- **「商变核」**：一般族的覆盖条件里，$\\coprod_{i}X_{i} \\to X$ 是满态射，于是它在预拓扑斯里是**有效满**的：$R := \\coprod_{i,j}X_{i}\\times_{X}X_{j}$ 是 $\\coprod_{i}X_{i}$ 上的等价关系，而 $X$ 是这个关系的商（余等化子）。于是层条件读作 $F(X) \\cong \\ker\\bigl(F(\\coprod X_{i}) \\rightrightarrows F(R)\\bigr)$；再接上「余积变积」就得到陈述里的第一条等式 ✓。反过来取 $X = X/R$ 的商映射作覆盖，得 $F(X/R) \\cong \\ker(F(X)\\rightrightarrows F(R))$ ✓。\n- **合起来**：两条所说正是所有覆盖（都是有限族、余积满）的层条件 ✓。\n- **推论**：$h_{X} = \\operatorname{Hom}(X,-)$ 满足两条（Hom 把余积送成积、把商送成核），故每个可表示预层都是层 —— 即预标准拓扑是次标准的 ✓。∎\n\n这两条把「层」写成了两条在 $\\mathbf{Set}$ 里显然、在这里需要验的等式：**有限余积变有限积**、**商变核**。它们正是「预拓扑斯里的余积与商和集合里长得一样」的精确说法。\n\n推论：**预标准拓扑是次标准的** —— 可表示预层 $h_{X}$ 满足上面两条（$\\operatorname{Hom}(X, -)$ 保积，$\\operatorname{Hom}(X/R, -)$ 由余等化子给出核），所以它们都是层。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "prop.precanonical-preserves", "type": "proposition", "label": "余积与商在层范畴中不变", "title": "预标准拓扑下余积与商不变", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "层", "余积" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是预拓扑斯、配预标准拓扑。则\n\n1. $I$ **有限**时，$\\coprod_{i \\in I} X_{i}$ 在层范畴中仍然是那个余积；\n2. 若 $R$ 是 $X$ 上的等价关系，则商 $X/R$ 在层范畴中仍然是那个商。\n\n也就是说：$\\mathcal{C}$ 与 $\\mathcal{C}$ 中的 $X \\mapsto h_{X}$ 之间，余积与商**两边算出来一样**。", "notes": "证明一句话：对任意层 $F$，由 $F$ 是层（上一条的乘积等式）得 $\\operatorname{Hom}(X \\coprod Y, F) = F(X \\coprod Y) \\cong F(X) \\times F(Y) = \\operatorname{Hom}(X, F) \\times \\operatorname{Hom}(Y, F) = \\operatorname{Hom}(X \\coprod Y, F)$，所以层范畴里这个余积的泛性质原样成立。商的情形是把正合列 $F(X/R) \\to F(X) \\rightrightarrows F(R)$ 读成 $\\operatorname{Hom}(X/R, F) \\cong \\ker\\bigl(\\operatorname{Hom}(X, F) \\rightrightarrows \\operatorname{Hom}(R, F)\\bigr)$。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "prop.precanonical-mono-epi", "type": "proposition", "label": "单满在层化后不变", "title": "预标准拓扑下单态射与满态射不变", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "层", "单态射" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是预拓扑斯、配预标准拓扑。对 $\\mathcal{C}$ 中的态射 $f : X \\to Y$，\n\n$$f \\text{ 是单态射（满态射）} \\iff X^{\\sharp} \\to Y^{\\sharp} \\text{ 是单态射（满态射）}$$", "notes": "**证明。** 记层化为 $(-)^{\\sharp}$。\n- **$(\\implies)$**：层化是到层范畴的**左伴随**，故保余极限，特别保满态射；又是**左正合**的（保有限极限），故保单态射 ✓。\n- **$(\\Longleftarrow)$**：预标准拓扑是次标准的，所以 $h_{X}^{\\sharp} \\cong h_{X}$、$h_{Y}^{\\sharp} \\cong h_{Y}$，且 $f^{\\sharp}$ 在 Yoneda 嵌入下的像就是 $h_{f}$。\n- 对可表示预层：$h_{f}$ 单 $\\iff$ $f$ 单（Yoneda 双射把 $h_{f}(Z)$ 的诱导映射写成「与 $f$ 复合」，单射性逐点验出）；$h_{f}$ 满 $\\iff$ $f$ 满（$\\mathbf{Set}$ 值预层范畴中的满态射逐点判定；一边取 $Z = Y$ 与 $1_{Y}$，另一边用 $\\operatorname{Hom}(Z,-)$ 保满态射）✓。\n- 于是 $h_{f}$ 单（满）$\\iff$ $h_{f}^{\\sharp}$ 单（满），两头接起来即得 ✓。∎\n\n所以「谁是单的、谁是满的」在 $\\mathcal{C}$ 里和它在层范畴里问出来是同一个答案。这在后面起作用：Giraud 定理里把 $\\mathcal{C}$ 换成 $\\mathcal{T}$ 再配标准拓扑时，单满关系不会走样。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "def.generator", "type": "definition", "label": "生成元集", "title": "生成元集与生成元（Generators）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "生成元", "忠实" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 的一个集合 $S \\subseteq \\mathcal{C}$ 叫**生成元集**，如果函子\n\n$$\\prod_{a \\in S} h_{a} : \\mathcal{C} \\longrightarrow \\mathbf{Set}^{S}, \\qquad X \\mapsto \\bigl(\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(a, X)\\bigr)_{a \\in S}$$\n\n是**忠实**的。等价地：只要 $f \\ne g : X \\to Y$，就存在 $a \\in S$ 与 $g_{0} : a \\to X$ 使 $f \\circ g_{0} \\ne g \\circ g_{0}$。$S = \\{G\\}$ 时，$G$ 叫**生成元**。", "notes": "直观：**$S$ 里的对象「看得见」所有态射之间的差别** —— 随便两个不同的态射，总有一个来自 $S$ 的箭头能把它们分开。\n\n例：$\\mathbf{1}$ 是 $\\mathbf{Set}$ 的生成元；$A$ 是 $A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 的生成元；$\\mathcal{C}$ 本身是预层范畴 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 的生成元集。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "def.topos", "type": "definition", "label": "拓扑斯", "title": "拓扑斯（Topos）", "label_en": "topos", "title_en": "topos", "en_page": "nodes/def.topos.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "拓扑斯" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{T}$ 叫**拓扑斯**，如果\n\n1. 存在一个**小**的生成元集；\n2. 有限极限存在；\n3. 余积存在，并且是不交的、万有的（等价地说：所有余极限存在）；\n4. 等价关系是有效的且万有的。", "notes": "与预拓扑斯的差别只有第 1 条：**拓扑斯 = 带小生成元集的预拓扑斯**。所以「拓扑斯就是把预拓扑斯缩小到一个集合能管住」。\n\n例：$\\mathbf{Set}$、$G\\text{-}\\mathbf{Set}$ 是拓扑斯；预层范畴 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 是拓扑斯；site 的层范畴是拓扑斯；拓扑空间上的层、它的 étalé 空间也是拓扑斯。**$\\mathbf{Top}$ 不是拓扑斯。**\n\n⭐ **凝聚态集的范畴是拓扑斯** —— 这是后面 Cond 那一段的地基。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Topos", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/topos" } }, { "id": "thm.giraud", "type": "theorem", "label": "Giraud 定理", "title": "Giraud 定理", "label_en": "Giraud", "title_en": "Giraud", "en_page": "nodes/thm.giraud.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "Giraud", "拓扑斯" ], "statement": "对范畴 $\\mathcal{T}$，下列四条等价：\n\n1. $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯；\n2. $\\mathcal{T}$ 上对**标准拓扑**而言的层都是**可表示的**，且存在小生成元集；\n3. 存在 site $\\mathcal{C}$ 使 $\\mathcal{T} \\simeq \\widehat{\\mathcal{C}}$；\n4. 存在范畴使 $\\mathcal{T}$ 是它的**反射子范畴**，且反射**正合**（保有限极限）。", "notes": "四条的对译：(2)$\\iff$(3) 取 $\\mathcal{C} = \\mathcal{T}$ 配上标准拓扑；(3)$\\iff$(4) 平凡（预层范畴对层范畴的层化是正合反射）；(4)$\\implies$(1) 用「预层范畴是拓扑斯」配合反射把结构运下来；(1)$\\implies$(2) 也给 $\\mathcal{T}$ 配标准拓扑。\n\n第 4 条是最好用的一条：**要造一个拓扑斯，只要造一个预层范畴加一个正合反射**。凝聚态集正是这么来的 —— 取紧 Hausdorff 空间上的层。", "refs": [ "Mac Lane–Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic, Appendix" ] }, { "id": "lem.representable-quotient", "type": "lemma", "label": "可表示性的下降", "title": "可表示性的下降引理", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "拓扑斯", "可表示" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯（配标准拓扑）。若层之间的满态射\n\n$$\\coprod_{i \\in I} F_{i} \\longrightarrow F$$\n\n中每个 $F_{i}$ 以及每个 $F_{i} \\times_{F} F_{j}$ 都**可表示**，则 $F$ 也可表示。", "notes": "**证明。** 记 $F_{i} \\cong h_{X_{i}}$、$F_{i}\\times_{F}F_{j} \\cong h_{X_{i,j}}$，并记 $X := \\coprod_{i}X_{i}$、$R := \\coprod_{i,j}X_{i,j}$。\n- **$R$ 是 $X$ 上的等价关系**：满态射 $\\coprod_{i}F_{i} \\to F$ 给出平行对 $R \\rightrightarrows X$ 的两条结构映射（由 $F_{i}\\times_{F}F_{j} \\rightrightarrows F_{i}$ 与 Yoneda 得到）；自反来自对角 $F_{i} \\to F_{i}\\times_{F}F_{i}$，对称来自 $X_{i,j} \\cong X_{j,i}$，传递来自 $F_{i}\\times_{F}F_{j}\\times_{F}F_{k}$ 的三重拉回（这些都在层范畴里是极限，逐层算）✓。\n- **等价关系有效**：拓扑斯里等价关系都有效，故商 $X/R$ 存在，且 $h_{X/R}$ 是这个关系在层范畴里的余等化子 ✓。\n- **$F \\cong X/R$**：层范畴中的余等化子列\n$$\\coprod_{i,j}F_{i}\\times_{F}F_{j} \\rightrightarrows \\coprod_{i}F_{i} \\longrightarrow F$$\n说明 $F$ 是这两个对象的余等化子（满态射是有效满的），而同一列换成可表示层就是 $R \\rightrightarrows X \\to X/R$，故 $F \\cong X/R = h_{X/R}$，即 $F$ 可表示 ✓。∎\n\n把 $F_{i} \\cong X_{i}$、$F_{i} \\times_{F} F_{j} \\cong X_{i,j}$ 记下来，则 $R := \\coprod_{i,j} X_{i,j}$ 定义 $X := \\coprod_{i} X_{i}$ 上的一个等价关系，于是 $F \\cong X/R$ —— 商在拓扑斯里是存在的（等价关系有效），所以 $F$ 是同构于一个可表示层。这条是 Giraud 定理 $(1) \\implies (2)$ 里最吃力的那一步。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "prop.topos-covering-epi", "type": "proposition", "label": "拓扑斯中覆盖即余积满射", "title": "拓扑斯中的覆盖", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "拓扑斯", "覆盖" ], "statement": "拓扑斯 $\\mathcal{T}$（配标准拓扑）中，族 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 是覆盖 $\\iff \\coprod_{i \\in I} X_{i} \\to X$ 是满态射。", "notes": "**证明。**\n- **$(\\Longleftarrow)$**：标准拓扑里，族 $(X_{i}\\to X)$ 是覆盖当且仅当 $\\coprod_{i}X_{i} \\to X$ 是满态射，这正是定义 ✓。\n- **$(\\implies)$**：设 $(X_{i}\\to X)$ 覆盖。在层范畴里取 $s := 1_{X} \\in h_{X}(X)$。由「层中满态射的局部判据」，只要在每支上找到 $s|_{X_{i}}$ 的原像：取 $t_{i} := 1_{X_{i}} \\in h_{X_{i}}(X_{i})$，它在 $h_{X}(X_{i})$ 里的像就是 $X_{i} \\to X$ 这个态射，正是 $s|_{X_{i}}$ ✓。故 $\\coprod_{i}h_{X_{i}} \\to h_{X}$ 是满态射 ✓。\n- 两个方向合起来：在拓扑斯里，「覆盖」可以完全用**余积 + 满态射**这两个纯范畴概念表达，不需要几何残余 ✓。∎\n\n这条在一般 site 里也对，但在拓扑斯里更顺手：拓扑斯的余积是「好」的（不交、万有），所以「覆盖」这个词在这里完全可以用余积与满射这两个纯范畴概念替换掉，一点几何残余都不剩。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "prop.topos-sheaf-limits", "type": "proposition", "label": "拓扑斯上的层即保极限的预层", "title": "拓扑斯上的层 $\\iff$ 保持所有极限", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "拓扑斯", "层" ], "statement": "拓扑斯 $\\mathcal{T}$（配标准拓扑）上的预层 $F : \\mathcal{T}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathbf{Set}$ 是层 $\\iff$ $F$ 保持所有极限。", "notes": "证明就一行：若 $R$ 是 $X$ 的覆盖筛，则 $X \\cong \\varinjlim_{X' \\to X \\in R} X'$ —— 这句话正是覆盖的定义；把它送回 $F$ 就得到 $F(X) \\cong \\varprojlim_{X' \\in \\mathcal{T}/R} F(X')$，即层条件。\n\n所以在拓扑斯上，「**层**」与「**把余极限送回极限的预层**」是同一件事。层论里那两条（分离 + 粘合）在这里合成了「连续」这一个词。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "def.quasi-compact", "type": "definition", "label": "拟紧对象", "title": "拟紧对象（Quasi-Compact Object）", "label_en": "quasi-compact", "title_en": "Quasi-Compact Object", "en_page": "nodes/def.quasi-compact.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "拟紧", "紧性" ], "statement": "site $\\mathcal{C}$ 的对象 $X$ 叫**拟紧的**，如果任给生成覆盖筛的族 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$，都存在**有限**的 $J \\subseteq I$，使 $(X_{i} \\to X)_{i \\in J}$ 生成的筛**也是**覆盖筛。\n\n在拓扑斯中，等价的说法是：任给满射 $\\coprod_{i \\in I} X_{i} \\to X$，都存在有限 $J \\subseteq I$ 使 $\\coprod_{i \\in J} X_{i} \\to X$ 仍是满射。", "notes": "这就是**紧性**在剥掉拓扑之后剩下的形状：**任何覆盖都有有限子覆盖**。紧 Hausdorff 空间在 $\\mathrm{Cond}$ 里正是「拟紧」的那批对象 —— 后面凝聚态集的定义就是靠它写下来的，所以这个名字值得记牢。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "prop.quasi-compact-properties", "type": "proposition", "label": "拟紧的性质", "title": "拟紧对象的性质", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "拟紧", "覆盖" ], "statement": "1. site $\\mathcal{C}$ 中 $X$ 拟紧 $\\iff$ $X$ 在标准拓扑下拟紧；\n2. 若 $X$ 有一个由**拟紧**对象组成的**有限**覆盖，则 $X$ 拟紧；\n3. 预拓扑斯 $\\mathcal{C}$（配预标准拓扑）上的层 $F$ 拟紧 $\\iff$ 存在满射 $X \\to F$ 且 $X \\in \\mathcal{C}$。", "notes": "**逐条证明。**\n**1.** site 里的覆盖族与它在标准拓扑下生成的层范畴里的覆盖族一一对应（次标准性保证可表示层原样保留），而「拟紧」只用到覆盖族这件事，故两种说法一致 ✓。\n**2.** 设 $X$ 被拟紧对象 $X_{1}, \\ldots, X_{n}$ 的有限族覆盖，给 $X$ 的任一覆盖 $(Y_{j}\\to X)$。对每个 $k$ 沿 $X_{k}\\to X$ 拉回得到 $X_{k}$ 的覆盖 $(Y_{j}\\times_{X}X_{k} \\to X_{k})$；由 $X_{k}$ 拟紧抽出有限子族 $(j \\in J_{k})$。则 $J := \\bigcup_{k}J_{k}$ 有限，且 $(Y_{j}\\to X)_{j\\in J}$ 已是覆盖（每支 $X_{k}$ 都被覆盖，而 $\\{X_{k}\\}$ 覆盖 $X$）✓。\n**3.** $(\\Longleftarrow)$ 若 $X \\to F$ 满且 $X \\in \\mathcal{C}$，则任何由可表示层给出的覆盖 $(h_{X_{i}} \\to F)$ 沿 $X \\to F$ 拉回得到 $X$ 的覆盖，由「$h_{X}$ 拟紧」（$X \\in \\mathcal{C}$）抽出有限子族，复合 $h_{X_{i}} \\to h_{X} \\to F$ 给出 $F$ 的有限子覆盖 ✓。\n$(\\implies)$ 反之，$\\mathcal{C}$ 的对象构成层范畴的生成元族，故有满态射 $\\coprod_{i}h_{X_{i}} \\to F$；由 $F$ 拟紧抽出有限子族 $(i \\in I,\\ |I| < \\infty)$，令 $X := \\coprod_{i\\in I}X_{i} \\in \\mathcal{C}$，则 $h_{X} = \\coprod_{i\\in I}h_{X_{i}} \\to F$ 仍满 ✓。—— 在凝聚态集里这条读作「凝聚态集拟紧 $\\iff$ 有紧 Hausdorff 空间到它的满射」✓。∎\n\n第 3 条最有用：它把「层 $F$ 拟紧」换成了「$F$ 能被一个小对象盖住」—— 在凝聚态集里，这就是「凝聚态集 $X$ 拟紧 $\\iff$ 存在紧 Hausdorff 空间到它的满射」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "def.quasi-separated", "type": "definition", "label": "拟分离对象", "title": "拟分离对象（Quasi-Separated Object）", "label_en": "quasi-separated", "title_en": "Quasi-Separated Object", "en_page": "nodes/def.quasi-separated.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "拟分离", "纤维积" ], "statement": "拓扑斯 $\\mathcal{T}$ 的对象 $X$ 叫**拟分离的**，如果任给 $Y \\to X$、$Z \\to X$（其中 $Y, Z$ 都拟紧），纤维积\n\n$$Y \\times_{X} Z$$\n\n仍然拟紧。", "notes": "性质：**子对象封闭**（拟分离对象的子对象拟分离）；**余积封闭**；**沿单射的滤过余极限封闭**。\n\n「拟分离」在两个拟紧对象之间多加了一道要求：**交叠处也要小**。这和拓扑里「紧 + 交叠紧」的想法完全平行 —— 有了拟紧与拟分离，「小而好」的对象就被挑出来了。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "thm.pretopos-qcqs", "type": "theorem", "label": "预拓扑斯由拓扑斯唯一确定", "title": "预拓扑斯 $\\simeq$ 拟紧拟分离层", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "预拓扑斯", "等价" ], "statement": "若 $\\mathcal{C}$ 是预拓扑斯（配预标准拓扑），则函子\n\n$$X \\mapsto h_{X}$$\n\n给出 $\\mathcal{C}$ 与「$\\mathcal{C}$ 上**拟紧且拟分离**的层」所成范畴之间的**等价**。", "notes": "也就是说：**预拓扑斯由它的拓扑斯唯一确定**。一边是「小的对象」，一边是「拓扑斯里那种小而好的层」，两者是同一批东西的两个名字。\n\n这条把这一段的结构说圆了：预拓扑斯 $\\to$ 配上预标准拓扑 $\\to$ site $\\to$ 层范畴（拓扑斯）$\\to$ 从拓扑斯里捞回「小而好的层」，回到预拓扑斯。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "def.topos-morphism", "type": "definition", "label": "拓扑斯的态射", "title": "拓扑斯的态射（Morphism of Toposes）", "label_en": "geometric morphism", "title_en": "geometric morphism", "en_page": "nodes/def.topos-morphism.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "拓扑斯", "几何态射" ], "statement": "拓扑斯的**态射** $f : \\mathcal{T} \\to \\mathcal{T}'$ 是一对函子\n\n$$f^{*} : \\mathcal{T}' \\longrightarrow \\mathcal{T}, \\qquad f_{*} : \\mathcal{T} \\longrightarrow \\mathcal{T}'$$\n\n满足 $f^{*} \\dashv f_{*}$，并且 $f^{*}$ **正合**（保有限极限）。$f^{*}$ 叫**拉回函子**，$f_{*}$ 叫**推前函子**。", "notes": "动机来自拓扑空间：连续映射 $\\varphi : X \\to Y$ 给出层范畴之间的一对函子 —— 沿 $\\varphi$ 把层拉回来（$f^{*}$）、再把层推出去（$f_{*}$）。这一对满足 $f^{*} \\dashv f_{*}$，并且 $f^{*}$ 正合。于是**拓扑斯之间的「映射」就照这个样子定义**：不是函子，而是一对互为伴随的函子，而且方向与几何直觉相反（左边那个是拉回）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "def.chaus-pretopos", "type": "theorem", "label": "CHaus 是预拓扑斯", "title": "$\\mathbf{CHaus}$ 是预拓扑斯", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态", "CHaus", "预拓扑斯" ], "statement": "在 $\\mathbf{CHaus}$ 中：\n\n1. 所有极限与余极限存在；\n2. 有限余积**不交**且**万有**；\n3. 等价关系**有效**且**万有**；\n4. 满态射**正则**且**万有**。\n\n因此 $\\mathbf{CHaus}$ 是**预拓扑斯**。", "notes": "第 1 条由「$\\mathbf{CHaus}$ 是 $\\mathbf{Top}$ 的反射子范畴」直接读出：\n\n\n\n$$\\varprojlim{}^{\\mathbf{CHaus}} D \\;\\cong\\; \\varprojlim{}^{\\mathbf{Top}} D, \\qquad \\varinjlim{}^{\\mathbf{CHaus}} D \\;\\cong\\; \\beta\\Bigl(\\varinjlim{}^{\\mathbf{Top}} D\\Bigr)$$\n\n\n\n**极限在 $\\mathbf{Top}$ 里怎么算就怎么算**（反射子范畴对极限封闭），**余极限要先在 $\\mathbf{Top}$ 里算、再用 $\\beta$ 紧化回去**（左伴随保余极限）。\n\n**证明。** 关键在于「哪些 $\\mathbf{Top}$ 里的余极限**同时也是** $\\mathbf{CHaus}$ 里的余极限」：\n- 四条性质在 $\\mathbf{Set}$（拓扑斯）里都成立；而 $\\mathbf{CHaus}$ 的极限在 $\\mathbf{Top}$ 里逐点算（$\\mathbf{CHaus}$ 对极限封闭），所以涉及极限的部分直接从 $\\mathbf{Set}$ 继承；\n- 一个**本身还是紧 Hausdorff** 的 $\\mathbf{Top}$ 余极限，就是 $\\mathbf{CHaus}$ 里的余极限 —— **有限余积**、**满射的余等化子**、**闭等价关系的余等化子**都属于这一类；\n- 于是：有限余积不交（先在 $\\mathbf{Set}$ 里不交，再注意到那个余积本身紧 Hausdorff）、满射万有（拉回仍是满射，仍在紧 Hausdorff 里）、闭等价关系有效（商对象紧 Hausdorff）；\n- 第 4 条：紧 Hausdorff 空间之间的**连续满射是商映射** —— 这正是「满 $\\implies$ 正则」。∎\n\n第 2、3 条也可以从 $\\mathbf{Set}$ 继承：不交性、万有性、有效性都是「逐点」的性质，而 $\\mathbf{CHaus}$ 里的构造逐点继承集合。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 4.1.1", "Le Stum, Corollary 4.1.2" ] }, { "id": "def.condensed-set", "type": "definition", "label": "凝聚态集", "title": "凝聚态集（Condensed Set）", "label_en": "condensed set", "title_en": "condensed set", "en_page": "nodes/def.condensed-set.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态", "层", "定义" ], "statement": "**凝聚态集**是 $\\mathbf{CHaus}$ 上的（集合值）**层**。其范畴记\n\n$$\\mathrm{Cond} \\;:=\\; \\widehat{\\mathbf{CHaus}}$$\n\n这里 $\\mathbf{CHaus}$ 配的是它的**预标准拓扑**。", "notes": "**例 1. 拓扑空间给凝聚态集。** 任一拓扑空间 $X$ 给出凝聚态集 $\\underline{X}(S) := C(S, X) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(S, X)$ —— 从 $S$ 到 $X$ 的连续映射全体。\n\n**例 2. 收敛序列。** 取 $X$ 是拓扑空间，则 $\\underline{X}(\\bar{\\mathbb{N}})$ 恰好是「**收敛序列 $(x_{n})_{n \\ge 1}$ 连同指定的极限 $x_{\\infty}$**」的集合 —— 这里 $\\bar{\\mathbb{N}}$ 是 $\\mathbb{N}$ 的**一点紧化**，而「收敛序列连同极限」正好就是从 $\\bar{\\mathbb{N}}$ 到 $X$ 的连续映射：$\\mathbb{N}$ 上的像给出序列，新添那个点上的像给出极限。\n\n**例 3. 连续函数模掉局部常值函数。** 存在唯一的凝聚态集 $Q$ 使 $Q(S) = C(S, \\mathbb{R}) / C(S, \\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}})$。\n\n这三个例子的共同点：**取值都是「从紧 Hausdorff 空间出发的连续映射的某种商或子集」**。凝聚态集之所以能记住拓扑信息，靠的就是把这些映射全留下来。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §4" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Condensed_mathematics", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/condensed+mathematics" } }, { "id": "prop.condensed-criterion", "type": "proposition", "label": "凝聚态集的刻画", "title": "预层是凝聚态集的两条判据", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态", "层", "判据" ], "statement": "$\\mathbf{CHaus}$ 上的集合预层 $X$ 是凝聚态集 $\\iff$\n\n1. 对有限族 $(S_{i})_{i \\in I}$：\n\n$$X\\Bigl(\\coprod_{i \\in I} S_{i}\\Bigr) \\;\\cong\\; \\prod_{i \\in I} X(S_{i})$$\n\n2. 对任何**闭等价关系** $R \\rightrightarrows S$：\n\n$$X\\bigl(\\operatorname{coker}(R \\rightrightarrows S)\\bigr) \\;\\cong\\; \\ker\\bigl(X(S) \\rightrightarrows X(R)\\bigr)$$\n\n特别地 $X(\\emptyset) \\cong \\{\\ast\\}$；等价地，若 $S' \\to S$ 是满射，则\n\n$$X(S) \\longrightarrow X(S') \\rightrightarrows X(S' \\times_{S} S')$$\n\n左正合。", "notes": "$\\mathbf{CHaus}$ 是预拓扑斯，所以它上面的预标准拓扑恰好由两类覆盖生成：**有限不交并**与**满射**。上面第 1、2 条就是这两类覆盖下的层条件 —— 「有限余积变有限积」与「商变核」。\n\n换一种写法：$X$ 是凝聚态集 $\\iff$ 它把有限余积变成有限积、把余等化子变成等化子。这句话后面的所有构造都在用。\n\n**证明。** 只需对预标准拓扑的**生成元**验证层条件 —— 一般覆盖由「有限不交并」与「满射」复合而成，够用的正是两类：\n- **有限不交并**：覆盖是 $(S_{i} \\hookrightarrow S)_{i \\in I}$（$I$ 有限、$\\coprod_{i} S_{i} \\to S$ 双射）。层条件要求 $X(S) \\to \\prod_{i} X(S_{i}) \\rightrightarrows \\prod_{i,j} X(S_{i} \\times_{S} S_{j})$ 正合；由不交性，$i \\ne j$ 时 $S_{i} \\times_{S} S_{j} = \\emptyset$、$i = j$ 时 $= S_{i}$，而 $X(\\emptyset) = \\{\\ast\\}$，于是那对映射一个是恒等、一个是常值 —— 正合化归为 $X(S) \\cong \\prod_{i} X(S_{i})$，即 (4.1)。特别地取 $I = \\emptyset$ 得 $X(\\emptyset) = \\{\\ast\\}$。\n- **满射**：覆盖是单个满射 $S' \\twoheadrightarrow S$。层条件就是 $X(S) \\to X(S') \\rightrightarrows X(S' \\times_{S} S')$ 左正合，即 (4.2)。\n反过来，两条条件合起来显然蕴含「对所有覆盖是层」（覆盖可以分解成这两类的复合），于是判据成立。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §4" ] }, { "id": "thm.cond-topos", "type": "theorem", "label": "Cond 是拓扑斯", "title": "凝聚态集的范畴是拓扑斯", "label_en": "Cond is a topos", "title_en": "Cond is a topos", "en_page": "nodes/thm.cond-topos.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态", "拓扑斯" ], "statement": "**凝聚态集的范畴 $\\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯。**", "notes": "**这句话的代价**：一旦 $\\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯，就自动拥有三个东西 —— **内部 Hom**（$\\mathrm{Cond}$ 笛卡尔闭）、**层上同调**（拓扑斯上总能对阿贝尔群取上同调）、**取商**（等价关系总能商掉）。凝聚态数学后面的一切都建立在这三件工具上。\n\n⭐ **理由不在这一条里，而在旁边三条**：$\\mathrm{Cond}$ 之所以是拓扑斯，是因为它逐条满足 Giraud 判据 ——\n\n\n\n- **极限与余极限逐点计算**（「Cond 的极限与余极限」）：保证余极限存在、且是万有的；\n- **每个满态射都是正则的**（「Cond 的满态射都是正则的」）：保证商映射是良态的；\n- **每个等价关系都是有效的**（「Cond 的等价关系有效」）：保证商了再拉回来能还原。\n\n\n\n三条合起来 $\\implies$ 拓扑斯。所以这一条是**结论**，那三条是**理由**；看这一团时先看结论定方向，再看三条理清它凭什么。", "refs": [ "Le Stum, §4.1" ] }, { "id": "prop.fchaus-pretopology", "type": "proposition", "label": "FCHaus 上的预拓扑", "title": "有限不交并给出自由紧 Hausforff 空间上的预拓扑", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态", "自由", "预拓扑" ], "statement": "记 $\\mathbf{FCHaus}$ 为**自由紧 Hausdorff 空间**（即 $\\beta I$）构成的满子范畴。$\\mathbf{FCHaus}$ 中的对象都是 $\\mathrm{Cond}$ 的**投射对象**，满射 $S \\to S'$ 总有截面 —— 于是**有限不交并给出 $\\mathbf{FCHaus}$ 上的一个预拓扑**。", "notes": "为什么层条件「自动成立」：在自由紧 Hausdorff 空间上，满射有截面，所以「局部有原像」总能在整体上补出来（分离性由截面的存在直接给出）。**能取截面**是这里最省事的一点。\n\n**证明（验证预拓扑的三条公理）。** 覆盖约定为：$(F_{i} \\to F)_{i \\in I}$，$I$ 有限且 $\\coprod_{i} F_{i} \\to F$ 双射。\n- **恒等**：$\\{\\mathrm{id}_{F}\\}$ 是覆盖；\n- **拉回稳定**：给覆盖与任意 $F' \\to F$，拉回族 $(F_{i} \\times_{F} F' \\to F')_{i}$ 仍然有限，且由「不交并沿任意映射拉回仍是不交并」得 $\\coprod_{i}(F_{i} \\times_{F} F') \\cong F'$；$\\mathbf{FCHaus}$ 对有限不交并与纤维积封闭（自由对象的有限不交并还是自由的：$\\beta I \\coprod \\beta J = \\beta(I \\coprod J)$）；\n- **复合**：覆盖的覆盖拼起来还是覆盖。\n另外，$\\mathbf{FCHaus}$ 里的覆盖 $\\coprod_{i} F_{i} \\to F$ 是**双射**，于是每个 $F_{i} \\to F$ 都是含入，而「$F \\to F_{i}$ 的截面」由 $F_{i}$ 的闭性 + 完全性给出 —— 这就是为什么这里的层条件好验。∎", "refs": [ "Le Stum, Exercise 4.1" ] }, { "id": "prop.fchaus-sheaf", "type": "proposition", "label": "FCHaus 上层的判据", "title": "自由紧 Hausforff 空间上的层 $\\iff$ 保有限积", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态", "自由", "层" ], "statement": "设 $X$ 是 $\\mathbf{FCHaus}$ 上的集合预层。则 $X$ 是层 $\\iff$ $X$ **保有限积**。", "notes": "**证明。** $\\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖就是「有限不交并」，即 $F = \\coprod_{i \\in I} F_{i}$（$I$ 有限）。对它写层条件：\n$$X(F) \\longrightarrow \\prod_{i} X(F_{i}) \\rightrightarrows \\prod_{i,j} X(F_{i} \\times_{F} F_{j}).$$\n- 由不交性，$i \\ne j$ 时 $F_{i} \\times_{F} F_{j} = \\emptyset$、$i = j$ 时 $= F_{i}$。于是右边那对映射一个是恒等、另一个把 $i \\ne j$ 的分量送到 $X(\\emptyset)$ —— 而 $X(\\emptyset)$ 由 $I = \\emptyset$ 的层条件（$X$ 保空余积）给出 $X(\\emptyset) \\cong \\{\\ast\\}$。\n- 所以层条件正合化归为 $X\\bigl(\\coprod_{i} F_{i}\\bigr) \\cong \\prod_{i} X(F_{i})$ —— 这正是「保有限积」。\n反过来，若 $X$ 保有限积，则上述每一条层条件自动成立。∎\n⭐ **用处**：这一条把「$\\mathrm{Cond}$ 里的层」换成了一句纯代数的话 ——「保有限积的函子」。于是验一条性质是不是层，只要验它是否保有限积。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 4.2" ] }, { "id": "thm.cond-equiv-fchaus", "type": "theorem", "label": "Cond 即 FCHaus 上的层", "title": "$\\mathrm{Cond} \\simeq \\widehat{\\mathbf{FCHaus}}$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态", "等价", "自由" ], "statement": "$\\mathbf{CHaus}$ 上的层与 $\\mathbf{FCHaus}$ 上的层是**同一个范畴**：\n\n$$\\mathrm{Cond} \\;\\simeq\\; \\widehat{\\mathbf{FCHaus}}$$", "notes": "两个方向：$\\mathbf{CHaus}$ 上的层限制到 $\\mathbf{FCHaus}$ 上仍是层（覆盖变少了，层的条件只会更容易满足）；反过来，$\\mathbf{FCHaus}$ 上的层 $X$ 沿「自由对象到 $S$ 的映射」取滤过余极限延拓回 $\\mathbf{CHaus}$，得到的就是粘合出来的那个值。证明见边上那条推导。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §4" ] }, { "id": "prop.cond-epi", "type": "proposition", "label": "凝聚态集满态射的判据", "title": "凝聚态集的满态射", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态", "满态射" ], "statement": "凝聚态集的态射 $X \\to Y$ 是满态射 $\\iff$ 对每个**自由**紧 Hausdorff 空间 $F$，$X(F) \\to Y(F)$ 是满射。", "notes": "", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §4" ] }, { "id": "prop.cond-projectives", "type": "proposition", "label": "Cond 有足够多投射对象", "title": "$\\mathrm{Cond}$ 的投射对象", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 15, "tags": [ "凝聚态", "投射对象" ], "statement": "自由紧 Hausdorff 空间（看作凝聚态集）都是**投射对象**；并且 $\\mathrm{Cond}$ 有**足够多的投射对象**。", "notes": "**证明。** 分两步。\n- **自由紧 Hausdorff 空间是投射对象。** 记 $F = \\beta I$ 自由。任给满态射 $X \\twoheadrightarrow Y$ 与 $y \\in Y(F)$。由**满态射的判据**（在自由对象上逐点满），$y$ 在某个覆盖上局部有原像：存在有限不交并分解 $F = \\coprod_{k=1}^{n} F_{k}$ 与 $x_{k} \\in X(F_{k})$ 使 $p(x_{k}) = y|_{F_{k}}$。把 $(x_{k})_{k}$ 拼起来，用「保有限积」的层条件得 $x \\in X(F) = \\prod_{k} X(F_{k})$，且 $p(x) = y$ —— 这就是提升。\n- **足够多投射对象。** 任给凝聚态集 $X$：由「$\\mathbf{FCHaus}$ 张成 $\\mathbf{CHaus}$」（每个紧 Hausdorff 空间都是自由空间的满像），可取含 $X$ 的满态射 $\\coprod_{i} h_{F_{i}} \\twoheadrightarrow X$（$h_{F_{i}}$ 表示自由空间），而自由对象的**余积**仍是投射对象（「投射对象的余积还是投射的」）。于是每个 $X$ 都是某个投射对象的商。∎\n\n⭐ **为什么这件事对凝聚态数学这么要紧**：$\\mathrm{Cond}$ 有足够多**投射**对象（不像一般拓扑斯只有足够多内射），于是「左导出函子」在 $\\mathrm{Cond}$ 里可以直接用自由紧 Hausdorff 块算 —— 这是 $\\mathrm{CondAb}$ 能做导出代数的那一半依据。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 4.3" ] }, { "id": "def.underlying-topological-space", "type": "definition", "label": "底拓扑空间", "title": "凝聚态集的底拓扑空间", "label_en": "underlying topological space", "title_en": "underlying topological space", "en_page": "nodes/def.underlying-topological-space.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态", "拓扑空间" ], "statement": "凝聚态集 $X$ 的**底拓扑空间** $X(\\cdot)$ 取集合 $X(\\ast)$（在单点空间处的截面），并赋予使所有映射\n\n$$f : S \\longrightarrow X(\\cdot), \\qquad f \\in X(S),\\ S \\in \\mathbf{CHaus}$$\n\n都连续的**最细**拓扑。", "notes": "等价刻画：$Y \\subseteq X(\\cdot)$ 是开集 $\\iff$ 对每个 $S \\in \\mathbf{CHaus}$ 与每个 $f \\in X(S)$，$f^{-1}(Y)$ 在 $S$ 中开。\n\n所以「$X$ 的底空间」记下了 $X$ 能看见的全部拓扑信息，但**一般会丢掉 $X$ 自己的精细结构** —— 除非 $X$ 来自一个紧生成空间。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §4" ] }, { "id": "thm.top-cond-adjoint", "type": "theorem", "label": "Top 与 Cond 的伴随", "title": "$\\mathbf{Top} \\to \\mathrm{Cond}$ 与它的伴随", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 19, "tags": [ "凝聚态", "伴随", "紧生成" ], "statement": "函子\n\n$$\\mathbf{Top} \\longrightarrow \\mathrm{Cond}, \\qquad X \\mapsto \\underline{X},\\quad \\underline{X}(S) := C(S, X)$$\n\n是**忠实**的，并且有右伴随 $X \\mapsto X(\\cdot)$。限制到**紧生成空间**的满子范畴上时，它变成**全忠实**的。", "notes": "关键一句：**若 $X$ 是拓扑空间，则它的底空间 $X(\\cdot) \\cong kX$**。\n\n所以「拓扑空间 $\\to$ 凝聚态集 $\\to$ 底拓扑空间」这个来回，做的正是**$k$-化**：它把一般拓扑空间换成紧生成的那一个，之后就不再变化。于是 $k\\mathbf{Top}$ 恰好是 $\\mathrm{Cond}$ 里「完整地记得自己」的那部分，而一般的 $\\mathbf{Top}$ 多出来的那些空间在 $\\mathrm{Cond}$ 里被合并掉了。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §4" ] }, { "id": "def.condensed-abelian-group", "type": "definition", "label": "凝聚态阿贝尔群", "title": "凝聚态阿贝尔群（Condensed Abelian Group）", "label_en": "condensed abelian group", "title_en": "Condensed Abelian Group", "en_page": "nodes/def.condensed-abelian-group.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.ab", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态", "阿贝尔群", "层" ], "statement": "**凝聚态阿贝尔群**就是 $\\mathrm{Cond}$ 上的**阿贝尔层**。四种说法给出同一个范畴：\n\n$$\\mathrm{Ab}(\\mathrm{Cond}) \\;\\simeq\\; \\mathrm{Cond}(\\mathrm{Ab}) \\;\\simeq\\; \\widehat{\\mathbf{CHaus}}(\\mathrm{Ab}) \\;\\simeq\\; \\widehat{\\mathbf{FCHaus}}(\\mathrm{Ab})$$\n\n记作 $\\mathrm{CondAb}$。", "notes": "一般定义见「阿贝尔层」—— 凝聚态阿贝尔群就是 $\\mathcal{T} = \\mathrm{Cond}$ 的那个特例。\n\n在紧 Hausdorff 这个场地里层条件可以化简：**$M$ 是凝聚态阿贝尔群 $\\iff$ 它保有限积**（一般拓扑斯上没有这么干净的判据）。\n\n记号：$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N) := \\operatorname{Hom}_{\\mathrm{CondAb}}(M, N)$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §6.1" ] }, { "id": "prop.condab-section", "type": "proposition", "label": "截面函子保极限余极限", "title": "截面函子 $\\Gamma(F, -)$", "label_en": "sections functor", "title_en": "sections functor", "en_page": "nodes/prop.condab-section.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.ab", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态", "截面", "正合" ], "statement": "设 $F \\in \\mathbf{FCHaus}$。则**截面函子**\n\n$$\\Gamma(F, -) : \\mathrm{CondAb} \\longrightarrow \\mathbf{Ab}, \\qquad M \\mapsto \\Gamma(F, M) := M(F)$$\n\n保**所有极限与所有余极限**。", "notes": "理由：层在 $F$ 处的截面是「逐点」算出来的，而 $\\mathbf{Ab}$ 里有限积与有限余积一致、滤过余极限正合。\n\n这条是**把 $\\mathrm{CondAb}$ 的性质逐点归到 $\\mathbf{Ab}$** 的通道 —— 下面的 AB 公理那一条就是靠它推出来的。\n\n**证明。** 把 $\\mathrm{CondAb}$ 等同于 $\\mathbf{FCHaus}$ 上的阿贝尔层范畴（这是「$\\mathrm{Cond} \\simeq \\widehat{\\mathbf{FCHaus}}$」的加法版本）。\n- **保余极限**：只需证预层意义的余极限**自动是层**。$F$ 自由时，$\\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖就是有限不交并，于是对 $\\coprod_{j=1}^{r} F_{j}$：\n$$\\Bigl(\\varinjlim_{i} M_{i}\\Bigr)\\Bigl(\\coprod_{j} F_{j}\\Bigr) = \\varinjlim_{i} M_{i}\\Bigl(\\coprod_{j} F_{j}\\Bigr) = \\varinjlim_{i} \\bigoplus_{j} M_{i}(F_{j}) = \\bigoplus_{j} \\varinjlim_{i} M_{i}(F_{j}),$$\n中间一步用「$\\mathbf{FCHaus}$ 上的层保有限积」（即 $M(\\coprod F_{j}) = \\bigoplus M(F_{j})$），最后一步用 $\\mathbf{Ab}$ 里有限积与有限余积一致、且滤过余极限正合。既然余极限仍满足层条件，它就是层内的余极限，且 $\\Gamma(F, -)$ 与它交换 ✓。\n- **保极限**：层范畴里的极限**逐项**计算（预层极限自动是层），故 $\\Gamma(F, \\varprojlim M_{i}) = \\varprojlim \\Gamma(F, M_{i})$ ✓。∎\n⭐ 推论：$\\Gamma(F,-)$ 还是**正合**的（既保核又保余核）—— 这正是「自由紧 Hausdorff 空间给投射对象」的根源。", "refs": [ "Le Stum, Lemma 6.1.3" ] }, { "id": "def.ab-axioms", "type": "definition", "label": "Grothendieck 的 AB 公理", "title": "Grothendieck 的 AB 公理（AB1–AB6）", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "AB 公理", "正合" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 的**正合性等级**（Grothendieck 的 AB 公理）逐条加强如下：\n\n1. **AB1**：预阿贝尔范畴；\n2. **AB2**：阿贝尔范畴；\n3. **AB3**：AB2 且有所有余极限（**AB3\\*** 是对偶）；\n4. **AB4**：AB3 且**余积正合**（**AB4\\*** 是对偶）；\n5. **AB5**：AB4 且**滤过余极限正合**（**AB5\\*** 是对偶）；\n6. **AB6**：AB5 且**滤过余极限与积交换**（**AB5\\*** 是对偶）。", "notes": "一个字读法：**头两条补的是「态射有没有核与余核、单满正不正则」；后面几条一路在补「越来越多的余极限操作是正合的、并且和别的操作交换」。**\n\n⭐ **这些公理之间还有蕴含关系**（见「AB5 与 AB3*/AB4* 的关系」）：Grothendieck 范畴自动满足 AB3\\*；AB5 与 AB5\\* 互斥（除零范畴外不能同时成立）；拓扑斯上的 $\\mathbf{Ab}(\\mathcal{T})$ 停在 AB5 + AB3\\*，而 $\\mathrm{CondAb}$ 能上到 AB6 + AB4\\*。\n\n⭐ **哪些范畴落在哪一级**是另一条独立的事，见「AB 公理的例子表」—— 那张表把 $\\mathbf{Ab}$、$\\mathbf{AbTop}$、$\\mathbf{AbCHaus}$、预层范畴、拓扑斯上的阿贝尔群、$\\mathrm{CondAb}$ 全部排了一遍。\n\n⚠️ 这条只给**定义与名字**：AB 公理是一把尺子，用来量「一个范畴能做多少同调代数」。真正有用的是把它用在具体范畴上得到的结论（即上面两条）。", "refs": [ "Le Stum, Definition 5.2.5" ] }, { "id": "def.grothendieck-category", "type": "definition", "label": "Grothendieck 范畴", "title": "Grothendieck 范畴（Grothendieck Category）", "label_en": "Grothendieck category", "title_en": "Grothendieck Category", "en_page": "nodes/def.grothendieck-category.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 18, "tags": [ "范畴论", "同调代数", "生成元" ], "statement": "**Grothendieck 范畴**是带**生成元**的 **AB5** 范畴（AB5 即：有所有余极限，且滤过余极限正合）。", "notes": "例：$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 是 Grothendieck 范畴；阿贝尔范畴 $\\mathcal{C}$ 的 $\\operatorname{Ind}(\\mathcal{C})$（按滤过余极限补全）也是；拓扑斯 $\\mathcal{T}$ 上的 $\\mathbf{Ab}(\\mathcal{T})$ 也是（见「拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴」）。\n\n两条随定义而来的事实：Grothendieck 范畴**自动满足 AB3\\***（有所有极限）；而且它**有足够多的内射对象**。\n\n「滤过余极限正合 + 有生成元」这两条合起来，就足以让一套同调代数跑起来 —— 这是 Grothendieck 那一代人为「在抽象范畴上做同调代数」挑出来的最低要求。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1–5.2" ] }, { "id": "thm.condab-ab", "type": "theorem", "label": "CondAb 满足 AB6 与 AB4*", "title": "$\\mathrm{CondAb}$ 的 AB 公理", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.ab", "layer": 19, "tags": [ "凝聚态", "同调代数", "正合" ], "statement": "$\\mathrm{CondAb}$ 是**Grothendieck 范畴**，并且满足 **AB6** 与 **AB4\\***。", "notes": "推论：$\\mathrm{CondAb}$ 是**阿贝尔范畴**，并且（1）有生成元；（2）所有极限与余极限存在；（3）所有积与余积都**正合**；（4）**滤过余极限正合，且与积交换**。\n\n「是 Grothendieck 范畴」那一半其实对**任意**拓扑斯都成立（见「拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴」）；这里真正多出来的是 **AB6 与 AB4\\*** —— 一般拓扑斯上的阿贝尔群并不同时具备这两条。\n\n这一整段的好处是：$\\mathrm{CondAb}$ 上能照搬 $\\mathbf{Ab}$ 上那一套同调代数 —— 求导函子、长正合列、导出范畴，一样都不缺。\n\n**证明（逐条归约到 $\\mathbf{Ab}$）。** 关键工具就是上一条：**每个 $\\Gamma(F,-)$（$F$ 自由）都保所有极限与余极限**，所以任何「用有限极限 + 余极限写出来的性质」都可以逐项检验，而逐项之后就是 $\\mathbf{Ab}$ 里的熟事实。\n- **有余极限 / 有极限**：逐项取余极限得到的预层仍是层（上一条）$\\implies$ 存在 ✓；\n- **滤过余极限正合（AB5）**：逐项算，$\\mathbf{Ab}$ 里滤过余极限正合 ✓；\n- **有生成元**：$\\mathrm{Cond}$ 由 $\\{h_{F}\\}$（$F$ 自由紧 Hausdorff）生成 $\\implies$ $\\mathrm{CondAb}$ 由 $\\{\\mathbb{Z}\\cdot F\\}$ 生成 ✓；\n- **AB4\\*（积正合）**：积逐项算，$\\mathbf{Ab}$ 里积正合 ✓；\n- **AB6（滤过余极限与积交换）**：逐项化归到 $\\mathbf{Ab}$ 的 AB6 ✓；\n- **阿贝尔**：核、余核逐项算都是 $\\mathbf{Ab}$ 里的核余核，单满分解、$\\operatorname{im}\\cong\\operatorname{coim}$ 都逐项成立 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, Theorem 6.1.4", "Le Stum, Corollary 6.1.5" ] }, { "id": "lem.stonean-projective", "type": "lemma", "label": "Stonean 给出有限表现投射对象", "title": "Stonean 空间给出有限表现的投射对象", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.ab", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态", "Stonean", "投射" ], "statement": "设 $F$ 是**自由紧 Hausdorff 空间**（更一般地，**Stonean 空间**）。则自由凝聚态阿贝尔群 $\\mathbb{Z}\\cdot F$ 是**有限表现**的**投射**凝聚态阿贝尔群。", "notes": "要证的等价形式是：函子 $M \\mapsto \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot F, M) \\cong \\Gamma(F, M)$ 保满态射与滤过余极限。前半由「自由紧 Hausdorff 空间在 $\\mathrm{Cond}$ 里投射」给出，后半由截面函子的构造给出 —— 而截面函子实际上**保所有余极限**。\n\n**证明。** 由张量—Hom 伴随，$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot F, M) \\cong M(F) = \\Gamma(F, M)$ ✓，所以只需看 $\\Gamma(F,-)$。\n- **保满态射**：上一条说 $\\Gamma(F,-)$ 保**所有**余极限，特别地保余核；$v$ 满 $\\iff$ $\\operatorname{coker} v = 0$ $\\implies$ $\\operatorname{coker}\\Gamma(v) = 0$ $\\implies$ $\\Gamma(v)$ 满 ✓；\n- **保滤过余极限**：同样由「保所有余极限」✓。\n而标准判据是：$P$ **投射** $\\iff$ $\\operatorname{Hom}(P,-)$ 保满态射；$P$ **有限表现** $\\iff$ $\\operatorname{Hom}(P,-)$ 保滤过余极限。两条合起来，$\\mathbb{Z}\\cdot F$ 就是有限表现的投射对象。∎", "refs": [ "Le Stum, Lemma 6.1.6" ] }, { "id": "prop.condab-generated", "type": "proposition", "label": "CondAb 由有限表现投射对象生成", "title": "$\\mathrm{CondAb}$ 的生成元", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.ab", "layer": 15, "tags": [ "凝聚态", "生成元", "投射" ], "statement": "$\\mathrm{CondAb}$ 由**有限表现的投射**凝聚态阿贝尔群生成。特别地，它有足够多的投射对象。", "notes": "**证明。**\n- **生成**：$\\mathrm{Cond}$ 由 $\\{h_{F}\\}$（$F$ 自由紧 Hausdorff）生成；而一般地「若 $\\{X_{i}\\}$ 生成 $\\mathcal{C}$，则 $\\{\\mathbb{Z}\\cdot X_{i}\\}$ 生成 $\\mathrm{Ab}(\\mathcal{C})$」（用自由阿贝尔群对象的泛性质：两个态射若在所有 $\\mathbb{Z}\\cdot X_{i}$ 上相同则相同）。于是 $\\{\\mathbb{Z}\\cdot F\\}$ 生成 $\\mathrm{CondAb}$ ✓；\n- 而每个 $\\mathbb{Z}\\cdot F$ 由**上一条**是有限表现的投射对象 ✓；\n- **足够多投射对象**：任给 $M$，由「生成」存在满态射 $\\bigoplus_{i} \\mathbb{Z}\\cdot F_{i} \\twoheadrightarrow M$，而投射对象的**余积**仍是投射对象 ✓ —— 所以每个 $M$ 都是某个投射对象的商。∎\n⭐ **这条是「在 $\\mathrm{CondAb}$ 里能做导出代数」的另一半依据**（另一半是「有足够多内射」，由它是 Grothendieck 范畴给出）：有足够多**投射**对象意味着**左**导出函子也能直接算。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 6.1.7" ] }, { "id": "def.abelian-category", "type": "definition", "label": "加法 / 阿贝尔范畴", "title": "加法范畴与阿贝尔范畴（Additive / Abelian Category）", "abstract_en": "The ladder of definitions runs $\\text{preadditive} \\to \\text{zero object} \\to \\text{direct sums} \\to \\text{additive} \\to \\text{preabelian} \\to \\text{abelian}$, where preadditive means $\\mathbf{Ab}$-enriched with bilinear composition, preabelian means that kernels and cokernels exist, and abelian means any one of four equivalent conditions: every monomorphism is regular; $N \\cong \\ker(M \\to \\operatorname{coker} i)$ for $i : N \\rightarrowtail M$; every map factors uniquely as an epimorphism followed by a monomorphism; $\\ker(N \\to \\operatorname{coker} f) \\cong \\operatorname{coker}(\\ker f \\to M)$. Abelian categories are the working environment of homological algebra — exactness needs kernels and cokernels. $A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ and $\\mathbf{Ab}(\\mathcal{T})$ for a topos are abelian; $\\mathbf{AbTop}$ is not.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/def.abelian-category.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 16, "tags": [ "同调代数", "阿贝尔范畴", "加法范畴" ], "statement": "- **预加法范畴**（$\\mathbf{Ab}$-范畴）是每个 $\\operatorname{Hom}$ 集都带有阿贝尔群结构、且复合双线性的范畴；\n- **零对象**是 $\\operatorname{End}(M) = 1$（即 $1_{M} = 0_{M}$）的对象；对象 $M$ 是 $M_{1}, M_{2}$ 的**直和** $M = M_{1} \\oplus M_{2}$，如果存在 $p_{k} : M \\to M_{k}$、$i_{k} : M_{k} \\to M$ 使 $p_{1} i_{1} = 1$、$p_{2} i_{2} = 1$、$i_{1} p_{1} + i_{2} p_{2} = 1_{M}$；\n- **加法范畴**是有零对象与所有直和的预加法范畴（等价地：所有有限积、或所有有限余积存在，此时二者存在且相等）；\n- **预阿贝尔范畴**是每个态射都有核与余核的加法范畴（等价地：所有有限极限与有限余极限存在）；\n- **阿贝尔范畴**是满足下列**等价**条件之一的预阿贝尔范畴：\n\n1. 每个单态射都是正则的（对偶地每个满态射都是正则的）；\n2. 若 $i : N \\rightarrowtail M$ 是单态射，则 $N \\cong \\ker\\bigl(M \\twoheadrightarrow \\operatorname{coker}(i)\\bigr)$（对偶同理）；\n3. 每个态射都能（在相差一个同构的意义下**唯一**地）分解成满态射接单态射；\n4. 对每个 $f : M \\to N$ 有 $\\ker\\bigl(N \\to \\operatorname{coker} f\\bigr) \\cong \\operatorname{coker}\\bigl(\\ker f \\to M\\bigr)$。", "notes": "在阿贝尔范畴里，人们习惯说**单射 / 满射**而不说单态射 / 满态射 —— 因为第 1 条保证了「正则的」与「可消的」是一回事。\n\n例：$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 是阿贝尔范畴；拓扑斯上的 $\\mathbf{Ab}(\\mathcal{T})$ 也是；$\\mathbf{AbCHaus}$ 也是。而 $\\mathbf{AbTop}$ **不是**（$\\mathbb{Z}^{\\mathrm{disc}} \\to \\mathbb{Z}^{\\mathrm{coarse}}$ 这个恒等映射不严格），$\\mathbf{AbHaus}$ 也不是。\n\n阿贝尔范畴是整套同调代数的**工作环境**：有核有余核，「正合列」才说得出口；而加法范畴只提供加法的骨架（零对象与直和）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1–5.2" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_category", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/abelian+category" } }, { "id": "def.cochain-complex", "type": "definition", "label": "上链复形", "title": "复形（Complex）", "label_en": "complex", "title_en": "complex", "en_page": "nodes/def.cochain-complex.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 10, "tags": [ "同调代数", "复形", "微分" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是加法范畴。$\\mathcal{C}$ 中的**（长）序列**是有序集 $(\\mathbb{Z}, \\le)$ 上的图\n\n$$\\cdots \\longrightarrow K^{n-1} \\xrightarrow{\\ d^{n-1}\\ } K^{n} \\xrightarrow{\\ d^{n}\\ } K^{n+1} \\longrightarrow \\cdots$$\n\n若对每个 $n$ 都有 $d^{n} \\circ d^{n-1} = 0$，则称 $K$ 是一个**（上）链复形**，$d$ 叫**微分**。把箭头反向（或等价地在 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$ 里取）得**链复形**，记 $K_{n} := K^{-n}$、$d_{n} := d^{-n}$。", "notes": "$K$ 叫**下有界**（$n \\ll 0$ 时 $K^{n} = 0$）、**上有界**、**有界**（两者兼备）。相应地记复形范畴为 $\\mathcal{C}(\\mathcal{C})$，其下有界、上有界、有界的满子范畴分别记 $\\mathcal{C}^{+}(\\mathcal{C})$、$\\mathcal{C}^{-}(\\mathcal{C})$、$\\mathcal{C}^{b}(\\mathcal{C})$；同伦范畴那边同样加 $+$ $-$ $b$。\n\n例：$K$ 是（半）单纯对象时，令 $d^{n} := \\sum_{i} (-1)^{i} d_{i}^{n}$，则 $K$ 成为一个链复形 —— 系数 $(-1)^{i}$ 就是让相邻两项的复合正负相消的那个符号，和经典的单纯边界算子完全一致。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "prop.complex-additive", "type": "proposition", "label": "复形范畴是加法范畴", "title": "复形范畴的性质", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 13, "tags": [ "同调代数", "加法范畴", "逐项计算" ], "statement": "复形构成 $\\mathcal{C}$ 的**加法满子范畴** $\\mathcal{C}(\\mathcal{C})$：\n\n- 双积**逐项**取：$(K \\oplus L)^{n} := K^{n} \\oplus L^{n}$，$d_{K \\oplus L} := d_{K} \\oplus d_{L}$；\n- 核与余核也**逐项**取：$(\\ker f)^{n} = \\ker f^{n}$，$d_{\\ker f} := d_{K}|_{\\ker f^{n}}$；\n- $\\mathcal{C}(\\mathcal{C})$ 中的**极限与余极限逐项计算**。", "notes": "「逐项计算」是函子范畴的通用事实：$\\mathcal{C}(\\mathcal{C})$ 是 $\\operatorname{Hom}((\\mathbb{Z},\\le), \\mathcal{C})$ 的满子范畴，一切构造都在每个 $n$ 上分别做，然后再验证微分与它们相容。这条让后面所有关于复形的极限/余极限都不必单独证明。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "def.homotopy", "type": "definition", "label": "同伦", "title": "同伦（Homotopy）", "label_en": "homotopy", "title_en": "homotopy", "en_page": "nodes/def.homotopy.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 11, "tags": [ "同调代数", "同伦", "零伦" ], "statement": "复形态射 $f, g : K \\to L$ 叫**同伦的**，如果存在一族态射\n\n$$s^{n} : K^{n} \\longrightarrow L^{n-1}$$\n\n使得对每个 $n$，\n\n$$f^{n} - g^{n} \\;=\\; s^{n+1} \\circ d_{K}^{n} + d_{L}^{n-1} \\circ s^{n}$$\n\n记 $f \\sim g$，$s$ 叫一个**同伦**。与 $0$ 同伦的态射叫**零伦的**。", "notes": "零伦态射构成 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}(\\mathcal{C})}(K, L)$ 的一个**子群**；而且同伦是**两边都相容于复合**的等价关系（$f \\sim g$ 时 $h \\circ f \\circ k \\sim h \\circ g \\circ k$）。两条合起来，才允许把「同伦」当成要商掉的东西。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "def.homotopy-category", "type": "definition", "label": "同伦范畴", "title": "同伦范畴（Homotopy Category）", "label_en": "homotopy category", "title_en": "Homotopy Category", "en_page": "nodes/def.homotopy-category.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 12, "tags": [ "同调代数", "同伦范畴" ], "statement": "**同伦范畴** $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 的对象与 $\\mathcal{C}(\\mathcal{C})$ 相同，态射取\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}(\\mathcal{C})}(K, L) \\;:=\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}(\\mathcal{C})}(K, L) \\big/ \\{\\text{零伦态射}\\}$$\n\n其中的同构叫**同伦等价**；在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中变成 $0$ 的复形叫**同伦平凡的**。", "notes": "等价的说法：$f : K \\to L$ 是同伦等价 $\\iff$ 存在 $g : L \\to K$ 使 $g \\circ f \\sim 1_{K}$、$f \\circ g \\sim 1_{L}$；$K$ 同伦平凡 $\\iff$ $1_{K} \\sim 0_{K}$。\n\n$\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 是**加法范畴**，且 $\\mathcal{C}(\\mathcal{C}) \\to \\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 加法；任何加法函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 诱导 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C}) \\to \\mathbf{K}(\\mathcal{C}')$。\n\n为什么要在同伦范畴里干活：同调函子在同伦下不变，所以**先商掉同伦，剩下的信息才是同调真正看得见的**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "def.mapping-cone", "type": "definition", "label": "映射锥", "title": "映射锥与位移（Mapping Cone）", "label_en": "mapping cone", "title_en": "mapping cone", "en_page": "nodes/def.mapping-cone.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 13, "tags": [ "同调代数", "映射锥", "位移" ], "statement": "态射 $f : K \\to L$ 的**映射锥**是复形\n\n$$M(f)^{n} := K^{n+1} \\oplus L^{n}, \\qquad d^{n} := \\begin{pmatrix} -d^{n+1} & 0 \\\\ f^{n} & d^{n} \\end{pmatrix}$$\n\n（矩阵按 $K^{n+1} \\oplus L^{n}$ 分块：左上取自 $K$ 的微分，右下取自 $L$ 的微分，左下是 $f$ 的分量；$d^{2} = 0$ 只要 $f$ 与微分交换。）$k$-**位移** $K[k]$ 取 $K[k]^{n} := K^{n+k}$，微分带符号 $(-1)^{k} d^{n+k}$。", "notes": "用处：给出短正合列 $0 \\to L \\to M(f) \\to K[1] \\to 0$（一般不分裂）。于是**每个态射都能嵌进一条「几乎正合」的序列**，这是三角范畴的出发点 —— 后面所有导出三角的定义都靠它。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "def.distinguished-triangle", "type": "definition", "label": "导出三角", "title": "导出三角（Distinguished Triangle）", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 14, "tags": [ "同调代数", "三角", "映射锥" ], "statement": "$\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中的**导出三角**是形状为\n\n$$K \\longrightarrow L \\longrightarrow M \\longrightarrow K[1]$$\n\n的图。它叫**导出的**，如果它在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中同构于某个映射锥三角\n\n$$K \\xrightarrow{\\ f\\ } L \\longrightarrow M(f) \\longrightarrow K[1]$$\n\n三角之间的**态射**是一族映射 $(u, v, w, u[1])$，使所有方块交换。", "notes": "导出三角是「短正合列」的**同伦版**：它不要求 $M$ 是商，只要求 $K \\to L \\to M \\to K[1]$ 在形状上接得上。加上位移这一步之后，一个态射就能嵌进一条任意长度的序列里 —— 这正是三角范畴要的形式。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "prop.triangle-rotation", "type": "proposition", "label": "三角的旋转与延拓", "title": "导出三角的基本性质", "label_en": "rotation", "title_en": "rotation", "en_page": "nodes/prop.triangle-rotation.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "三角", "旋转" ], "statement": "在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中：\n\n1. $K \\xrightarrow{\\ 1\\ } K \\to 0 \\to K[1]$ 是导出三角；\n2. **旋转**：$K \\xrightarrow{\\ f\\ } L \\xrightarrow{\\ g\\ } M \\xrightarrow{\\ h\\ } K[1]$ 导出 $\\iff$ 旋转后的 $L \\xrightarrow{\\ g\\ } M \\xrightarrow{\\ h\\ } K[1] \\xrightarrow{\\ -f[1]\\ } L[1]$ 导出；\n3. 任意 $f : K \\to L$ 都能（**不唯一**地）嵌入一个导出三角；\n4. 导出三角之间的态射可以（**不唯一**地）延拓。", "notes": "推论：**映射锥在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中唯一**（同伦意义下唯一）。所以「$f$ 的锥」在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 里是一个定义良好的对象 —— 尽管 $M(f)$ 的显式写法依赖于 $f$ 的表示。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "lem.triangle-morphism", "type": "lemma", "label": "三角态射的性质", "title": "导出三角之间态射的性质", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "三角", "同伦" ], "statement": "设 $(u, v, w)$ 是 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中导出三角之间的态射。则\n\n1. 若这是三角**到自身**的态射、而**前两步为零**（$u = v = 0$），则第三步的 $w$ 满足 $w^{2} = 0$；\n2. 若 $u, v$ 都是**同伦等价**，则 $w$ 也是。", "notes": "**证明第 2 条（三角的五引理）。** 取任意 $T \\in \\mathbf{K}(\\mathcal{C})$，对共调函子 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}}(T, -)$ 作用在两个三角上，得两条长正合列，并由 $(u, v, w, u[1], v[1], w[1])$ 连起来：\n\n\n\n$$\\begin{array}{ccccccccc} \\operatorname{Hom}(T, K) & \\to & \\operatorname{Hom}(T, L) & \\to & \\operatorname{Hom}(T, M) & \\to & \\operatorname{Hom}(T, K[1]) & \\to & \\operatorname{Hom}(T, L[1]) \\\\ {\\scriptstyle u_{*}}\\big\\downarrow & & {\\scriptstyle v_{*}}\\big\\downarrow & & {\\scriptstyle w_{*}}\\big\\downarrow & & {\\scriptstyle u[1]_{*}}\\big\\downarrow & & {\\scriptstyle v[1]_{*}}\\big\\downarrow \\\\ \\operatorname{Hom}(T, K') & \\to & \\operatorname{Hom}(T, L') & \\to & \\operatorname{Hom}(T, M') & \\to & \\operatorname{Hom}(T, K'[1]) & \\to & \\operatorname{Hom}(T, L'[1]) \\end{array}$$\n\n\n\n若 $u, v$ 是同伦等价，则 $u_{*}, v_{*}$ 以及它们的平移 $u[1]_{*}, v[1]_{*}$ 都是双射 —— 五引理把中间的 $w_{*}$ 夹成双射。这对**每个** $T$ 都成立，于是由 Yoneda 引理，$w$ 本身就是同伦等价。∎\n\n**证明第 1 条。** 设三角 $K \\xrightarrow{f} L \\xrightarrow{g} M \\xrightarrow{h} K[1]$ 到自身有态射 $(0, 0, w)$，于是 $g v = w g$、$h w = u[1] h$，即\n$$w g = 0, \\qquad h w = 0 .$$\n- 由 $w g = 0$：把共调函子 $\\operatorname{Hom}(-, M)$ 作用在三角上得长正合列 $\\operatorname{Hom}(K[1], M) \\xrightarrow{\\;h^{*}\\;} \\operatorname{Hom}(M, M) \\xrightarrow{\\;g^{*}\\;} \\operatorname{Hom}(L, M)$，而 $g^{*}(w) = w g = 0$，所以 $w$ 落在 $\\operatorname{im} h^{*}$ 里：存在 $w_{1} : K[1] \\to M$ 使 **$w = w_{1} \\circ h$**；\n- 由 $h w = 0$ 得 $(h w_{1}) \\circ h = 0$。把同一套正合列用在**旋转后**的三角 $L \\xrightarrow{g} M \\xrightarrow{h} K[1] \\xrightarrow{-f[1]} L[1]$ 上（对着靶 $K[1]$），$(h w_{1}) \\circ h = 0$ 给出 $h w_{1}$ 落在 $\\operatorname{im}(-f[1])^{*}$ 里：存在 $\\beta : L[1] \\to K[1]$ 使 **$h w_{1} = -\\beta \\circ f[1]$**；\n- 于是 $w^{2} = w_{1} h w_{1} h = w_{1}(h w_{1}) h = -w_{1} \\beta f[1] h$。而 $f[1] \\circ h = 0$ —— 那正是旋转公理说的「三角里相邻两步复合为零」。故 $w^{2} = 0$。∎\n**第 1 条在说什么**：三角之间的态射被前两步控制得很紧 —— 前两步一旦归零，第三步不但被逼成零平方，还被夹在两条正合列之间。这正是三角范畴公理里那条最不显然的要求的来源。\n\n第 2 条是「五引理」在同伦范畴里的样子：**前两步定住了，第三步就跟着定住**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "def.cohomology", "type": "definition", "label": "同调", "title": "同调（Cohomology）", "label_en": "cohomology", "title_en": "cohomology", "en_page": "nodes/def.cohomology.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.cohomology", "layer": 13, "tags": [ "同调代数", "同调", "复形" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，$K$ 是 $\\mathcal{A}$ 中的上链复形。$K$ 的**第 $n$ 阶同调**是\n\n$$H^{n}(K) \\;:=\\; Z^{n}(K) \\big/ B^{n}(K) \\;=\\; \\ker d^{n} \\big/ \\operatorname{im} d^{n-1}$$\n\n链复形 $K_{n}$ 的第 $n$ 阶同调取它在 $\\mathcal{A}^{\\mathrm{op}}$ 中的 $(1-n)$ 阶上同调。", "notes": "例：$H^{n}(K[k]) = H^{n+k}(K)$；$M \\in \\mathcal{A}$ 时 $H^{0}([M]) = M$、其余为 $0$；$H^{0}([M \\to N]) = \\ker f$、$H^{1}([M \\to N]) = \\operatorname{coker} f$。\n\n$H^{n}$ 是**函子**，但它是**加法而不正合**的 —— 同调不可交换性是整个同调代数的起点。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1–7.3" ] }, { "id": "prop.cohomology-exact-sequence", "type": "proposition", "label": "同调的短正合列", "title": "把同调夹在两个余核 / 核之间", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.cohomology", "layer": 13, "tags": [ "同调代数", "同调", "正合列" ], "statement": "设 $K$ 是复形。则对每个 $k$ 有正合列\n\n$$0 \\longrightarrow H^{k}(K) \\longrightarrow \\operatorname{coker} d^{k-1} \\longrightarrow \\ker d^{k+1} \\longrightarrow H^{k+1}(K) \\longrightarrow 0$$", "notes": "也就是 $0 \\to Z^{k}/B^{k} \\to K^{k}/B^{k} \\to Z^{k+1} \\to Z^{k+1}/B^{k+1} \\to 0$。这条把「同调」拆成两段：**先取余核去掉上一步的像，再取核挑出闭链，最后取商** —— 于是复形里的信息被一层层剥出来。\n\n**证明。** 记 $Z^{k} := \\ker d^{k}$、$B^{k} := \\operatorname{im} d^{k-1}$，于是 $H^{k} = Z^{k}/B^{k}$、$\\operatorname{coker} d^{k-1} = K^{k}/B^{k}$。要证的四个箭头依次是：\n- $Z^{k}/B^{k} \\to K^{k}/B^{k}$：由含入 $Z^{k} \\hookrightarrow K^{k}$ 诱导，单射（$Z^{k}$ 在 $K^{k}$ 里，商掉同一个 $B^{k}$）；\n- $K^{k}/B^{k} \\to Z^{k+1}$：由 $d^{k}$ 诱导（它把 $B^{k} = \\operatorname{im} d^{k-1}$ 送到 $d^{k}d^{k-1} = 0$，故下降得良定义）。核正是「$d^{k}x = 0$ 的那些 $x + B^{k}$」＝ $Z^{k}/B^{k}$；\n- $Z^{k+1} \\to Z^{k+1}/B^{k+1} = H^{k+1}$：取商映射，满，核是 $B^{k+1} = \\operatorname{im} d^{k}$ —— 正好是上一个箭头的像。∎\n三段正合各只用到「$d^{2} = 0$」和核/余核的泛性质。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1–7.3" ] }, { "id": "def.cohomological-functor", "type": "definition", "label": "上同调函子", "title": "上同调函子（Cohomological Functor）", "label_en": "cohomological functor", "title_en": "Cohomological Functor", "en_page": "nodes/def.cohomological-functor.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.cohomology", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "上同调函子", "正合" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是加法范畴、$\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴。函子 $F : \\mathbf{K}(\\mathcal{C}) \\to \\mathcal{A}$ 叫**上同调函子**，如果对每个导出三角 $K \\to L \\to M \\to K[1]$，序列\n\n$$FK \\longrightarrow FL \\longrightarrow FM$$\n\n正合。", "notes": "上同调函子把导出三角变成一条**长正合列**：反复旋转三角、每次用一次正合性、再拼接，就得到 $\\cdots \\to F(K[n]) \\to F(L[n]) \\to F(M[n]) \\to F(K[n+1]) \\to \\cdots$。\n\n例：固定 $K$ 之后，$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}(\\mathcal{C})}(K, -)$ 是上同调函子 —— 这就是同调代数里那些「长正合列」的总来源。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1–7.3" ] }, { "id": "thm.long-exact", "type": "theorem", "label": "长正合列", "title": "短正合列给出长正合列（蛇引理）", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.cohomology", "layer": 16, "tags": [ "同调代数", "长正合列", "蛇引理" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，$0 \\to K \\to L \\to M \\to 0$ 是复形的短正合列。则存在**长正合列**\n\n$$\\cdots \\to H^{n}(K) \\to H^{n}(L) \\to H^{n}(M) \\xrightarrow{\\ \\delta\\ } H^{n+1}(K) \\to \\cdots$$\n\n其中 $\\delta$ 叫**连接同态**。\n\n推论：$H^{n} : \\mathbf{K}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{A}$ 是**上同调函子**。", "notes": "", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1–7.3" ] }, { "id": "def.quasi-iso", "type": "definition", "label": "拟同构", "title": "拟同构与零调复形（Quasi-Isomorphism）", "label_en": "quasi-isomorphism", "title_en": "quasi-isomorphism", "en_page": "nodes/def.quasi-iso.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.cohomology", "layer": 14, "tags": [ "同调代数", "拟同构", "零调" ], "statement": "复形态射 $f : K \\to L$ 叫**拟同构**，如果对每个 $n$，$H^{n}(f)$ 都是同构。复形 $K$ 叫**零调的**，如果 $H^{n}(K) = 0$ 对所有 $n$。", "notes": "注意：$K \\to L$ 拟同构 $\\iff$ $L \\to K$ 拟同构（「拟同构」是双向的说法，虽然映射只有一个方向）；$K$ 零调 $\\iff$ $[0] \\to K$ 拟同构 $\\iff$ $K \\to [0]$ 拟同构。\n\n两条命题：（1）若 $K \\to L \\to M \\to$ 是导出三角，则 $f$ 是拟同构 $\\iff$ $M$ 零调；（2）对三角态射 $(u, v, w)$，$u, v$ 是拟同构 $\\iff$ $w$ 是拟同构。\n\n拟同构是「在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 里不是同构，但同调上看不出差别」的映射 —— 把拟同构反过来形式地变成同构，就得到**导出范畴**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1–7.3" ] }, { "id": "prop.injective-criterion", "type": "proposition", "label": "内射对象的判据", "title": "内射对象的四条等价说法", "label_en": "injective criterion", "title_en": "injective criterion", "en_page": "nodes/prop.injective-criterion.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.cohomology", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "内射对象", "正合" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，$I \\in \\mathcal{A}$。下列等价：\n\n1. $I$ 是**内射对象**；\n2. 每个单态射 $I \\rightarrowtail M$ 都有**收缩** $M \\to I$；\n3. 函子 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{A}}(-, I)$ **正合**；\n4. 每个短正合列 $0 \\to I \\to M \\to M'' \\to 0$ 都**分裂**。\n\n进一步：若 $0 \\to M' \\to M \\to M'' \\to 0$ 正合且 $M'$ 内射，则\n\n$$M \\text{ 内射} \\iff M'' \\text{ 内射}$$", "notes": "证明用一张 $3 \\times 3$ 的 $\\operatorname{Hom}$ 图表：把短正合列 $0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$ 用 $\\operatorname{Hom}(-, M)$ 家族拉成三行，用两次蛇引理读出中间一行 $0 \\to \\ker f \\to \\ker g \\to \\ker h \\to \\operatorname{coker} f \\to \\operatorname{coker} g \\to 0$，再看出第一行与第三行都是正合的，于是 $\\ker g = \\operatorname{coker} g = 0$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1–7.3" ] }, { "id": "def.filtration", "type": "definition", "label": "过滤", "title": "过滤（Filtration）", "label_en": "filtration", "title_en": "filtration", "en_page": "nodes/def.filtration.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "过滤", "关联分次" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴。$M \\in \\mathcal{A}$ 上的（**递降**）**过滤**是 $M$ 的子对象沿 $(\\mathbb{Z}, \\ge)$ 的图：\n\n$$\\cdots \\subseteq F^{n}M \\subseteq F^{n+1}M \\subseteq \\cdots \\subseteq M$$\n\n总假定过滤是**穷尽的**（$\\bigcup_{n} F^{n}M = M$）与**分离的**（$\\bigcap_{n} F^{n}M = 0$）；若 $n \\ll 0$ 时 $F^{n}M = M$ 且 $n \\gg 0$ 时 $F^{n}M = 0$，叫**有限的**。带过滤的对象构成范畴 $\\mathbf{F}(\\mathcal{A})$，**关联分次**记 $\\operatorname{Gr}^{n}M := F^{n}M / F^{n+1}M$。", "notes": "命题：$\\mathbf{F}(\\mathcal{C}(\\mathcal{A})) \\cong \\mathcal{C}(\\mathbf{F}(\\mathcal{A}))$ —— **「带过滤」与「取复形」可以交换**。所以可以先把复形过滤好，再逐层算同调。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.2" ] }, { "id": "def.spectral-sequence", "type": "definition", "label": "谱序列", "title": "谱序列（Spectral Sequence）", "label_en": "spectral sequence", "title_en": "Spectral Sequence", "en_page": "nodes/def.spectral-sequence.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 16, "tags": [ "同调代数", "谱序列", "过滤" ], "statement": "**谱序列**由两部分组成：\n\n1. 一族复形 $E^{p,q}_{r}$（$p, q, r \\in \\mathbb{Z}$，$r \\ge r_{0}$），微分\n\n$$d^{p,q}_{r} : E^{p,q}_{r} \\longrightarrow E^{p+r,\\, q-r+1}_{r}$$\n\n使得 $E^{p,q}_{r+1} \\cong H^{p,q}(E_{r}) = \\ker d^{p,q}_{r} / \\operatorname{im} d^{p-r,\\, q+r-1}_{r}$；\n2. 一族**带过滤**的对象 $H^{n}$（$n \\in \\mathbb{Z}$），使得对每个 $p, q$ 与所有充分大的 $r$，\n\n$$\\operatorname{Gr}^{p} H^{p+q} \\;\\cong\\; E^{p,q}_{r}$$\n\n仅当 $p, q \\ge 0$ 时 $E^{p,q}_{r}$ 才可能非零的，叫**第一象限**谱序列。", "notes": "从哪来：给复形 $K$ 一个过滤 $F^{p}K$，同调上的过滤由\n\n\n\n$$F^{p}H^{n} := \\operatorname{im}\\bigl(H^{n}(F^{p}K) \\to H^{n}(K)\\bigr)$$\n\n\n\n继承。于是每根 $H^{n}$ 上都有一串 $H^{n} \\supseteq \\cdots \\supseteq F^{p}H^{n} \\supseteq F^{p+1}H^{n} \\supseteq \\cdots \\supseteq 0$。\n\n谱序列说的就是：**对充分大的 $r$，$E_{r}$ 页稳定下来，恰好等于这个过滤的关联分次**。所以它是「从过滤的复形一层层逼近同调」的工具 —— 直接算 $H^{n}$ 太难时，就把 $H^{n}$ 拆成容易算的那些碎片。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.2" ] }, { "id": "def.presheaf-valued", "type": "definition", "label": "取值一般的预层与层", "title": "取值在一般范畴里的层（Sheaf with Values in a Category）", "label_en": "sheaf with values", "title_en": "sheaf with values", "en_page": "nodes/def.presheaf-valued.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 10, "tags": [ "同调代数", "层", "阿贝尔层" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$、$\\mathcal{D}$ 是范畴。\n\n1. 取值在 $\\mathcal{D}$ 的**预层**是反变函子 $T : \\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathcal{D}$；预层之间的**态射**是自然变换。\n2. $\\mathcal{C}$ 是 site 时，**层** $F : \\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathcal{D}$ 是这样的预层：对每个 $Y \\in \\mathcal{D}$，集合值预层\n\n$$X \\longmapsto \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(Y,\\ F(X)\\bigr)$$\n\n都是层。", "notes": "把 $\\mathcal{D}$ 取成 $\\mathbf{Set}$ 就回到原来的层；取成 $\\mathbf{Ab}$ 就得到**阿贝尔层**。\n\n定义里的技巧是：**用「射入 $Y$ 的映射」把 $\\mathcal{D}$ 里的层条件降回集合层**。于是集合层的每一条结论，只要它的表述里那些构造在 $\\mathcal{D}$ 里也有（极限、积……），就能逐条搬过来 —— 这是「层可以取一般值」的全部秘密。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.3" ] }, { "id": "def.abelian-sheaf", "type": "definition", "label": "阿贝尔层", "title": "阿贝尔层（Abelian Sheaf）", "label_en": "abelian sheaf", "title_en": "abelian sheaf", "en_page": "nodes/def.abelian-sheaf.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "同调代数", "层", "阿贝尔群" ], "statement": "固定 site $\\mathcal{C}$。记\n\n$$\\widehat{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab}) := \\operatorname{Hom}(\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}, \\mathbf{Ab})$$\n\n为**阿贝尔群预层**的范畴，$\\widetilde{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab})$ 为它里面**层**的满子范畴。后者叫 $\\mathcal{C}$ 上的**阿贝尔层**，也叫 $\\mathcal{C}$ 上的**阿贝尔群**。\n\n记号：$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N) := \\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab})}(M, N) = \\operatorname{Hom}_{\\widetilde{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab})}(M, N)$。", "notes": "⭐ **阿贝尔群预层就是「最粗拓扑下的层」** —— 两种说法是一套东西。\n\n遗忘函子 $\\mathbf{Ab} \\to \\mathbf{Set}$ 沿复合给出遗忘函子 $\\widehat{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab}) \\to \\widehat{\\mathcal{C}}$。\n\n两条基本事实：\n\n- **阿贝尔层按底集合层来判**：$M$ 是阿贝尔层 $\\iff$ 它的底集合预层是层。因为遗忘函子保所有极限，而层条件是一个极限图 —— 用米田引理把 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(N, M(-))$ 换回 $M(-)$，条件就同一条。\n- **阿贝尔层 = 层范畴里的阿贝尔群对象**：$\\widetilde{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab}) \\simeq \\mathbf{Ab}\\bigl(\\widetilde{\\mathcal{C}}\\bigr)$。这正是「凝聚态阿贝尔群 = 凝聚态集范畴里的阿贝尔群」那条定义的一般版本。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.3" ] }, { "id": "thm.topos-abelian-grothendieck", "type": "theorem", "label": "拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴", "title": "$\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ 是 Grothendieck 范畴", "abstract_en": "For a topos $\\mathcal{T}$, the category $\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ of abelian group objects in sheaves is a Grothendieck category: abelian, with a small set of generators, all colimits, and filtered colimits exact. Abelianness is checked componentwise in the presheaf category and transported along the exact sheafification reflection; limits and colimits exist by that reflection; and if $S$ generates $\\mathcal{T}$ then $\\{\\mathbb{Z}\\cdot X : X \\in S\\}$ generates $\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$. Those generators are moreover projective.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract" ] } }, "en_page": "nodes/thm.topos-abelian-grothendieck.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 19, "tags": [ "同调代数", "拓扑斯", "Grothendieck 范畴" ], "statement": "若 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯，则 $\\mathcal{T}$ 上的阿贝尔层所成范畴 $\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ 是 **Grothendieck 范畴**：它有小的生成元集、有所有余极限、且滤过余极限正合。", "notes": "证明分三段：\n\n\n\n- **阿贝尔**：先在预层范畴 $\\widehat{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab})$ 里逐分量验证（那里就是逐点的阿贝尔群）—— 具体的，对任意态射 $u$ 验证 $\\operatorname{coker}(\\ker u) \\cong \\ker(\\operatorname{coker} u)$；再沿**正合反射**（层化）把这些等式运回层范畴。滤过余极限正合同理。\n- **所有极限与余极限存在**：因为层范畴是预层范畴的反射子范畴。\n- **小生成元集**：若 $S$ 是 $\\mathcal{T}$ 的小生成元集，则 $\\{\\mathbb{Z}\\cdot X : X \\in S\\}$ 生成 $\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ —— 它们的余积就是生成元。\n\n\n\n顺带一条：$\\mathbb{Z}\\cdot X$ 在 $\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ 里**投射**（先看预层：$M \\mapsto \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot h_{X}, M) \\cong M(X)$ 在预层上是正合的）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.3" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_category", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+category" } }, { "id": "def.internal-hom", "type": "definition", "label": "内 Hom", "title": "内 Hom（Internal Hom）", "label_en": "internal hom", "title_en": "Internal Hom", "en_page": "nodes/def.internal-hom.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "拓扑斯", "内 Hom" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯，$X \\in \\mathcal{T}$、$M \\in \\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$。则\n\n$$\\operatorname{Hom}(X, M) : Y \\longmapsto \\operatorname{Hom}(X \\times Y,\\ M) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot(X \\times Y),\\ M\\bigr)$$\n\n是 $\\mathcal{T}$ 上的一个阿贝尔层，叫 $M$ 在 $X$ 处的**内 Hom**。\n\n又对 $M, N \\in \\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$，预层 $X \\mapsto \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(M,\\ \\operatorname{Hom}(X, N)\\bigr)$ 是**可表示的**；表示对象记 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N) \\in \\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$。", "notes": "于是有自然同构\n\n\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(M,\\ \\operatorname{Hom}(X, N)\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}\\bigl(X,\\ \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)(X)$$\n\n\n\n「可表示」这一步只用到一个事实：那个预层**保所有极限**（于是由表示函子的判据，它有表示对象）。\n\n两条推论：$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)(\\mathbf{1})$ —— 也就是说 **$\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ 富集在自己上面**；以及 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot X, M) \\cong \\operatorname{Hom}(X, M)$。\n\n内 Hom 在预层范畴里算与在层范畴里算结果一样：$\\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab})}(M,N) = \\operatorname{Hom}_{\\widetilde{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab})}(M,N)$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.3" ] }, { "id": "def.tensor-abelian-sheaf", "type": "definition", "label": "阿贝尔层的张量积", "title": "张量积与封闭幺半结构", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "张量积", "封闭幺半" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯、$M, N \\in \\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$。函子\n\n$$P \\longmapsto \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(M,\\ \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(N, P)\\bigr)$$\n\n可表示；表示对象记 $M \\otimes_{\\mathbb{Z}} N$。于是\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(M \\otimes_{\\mathbb{Z}} N,\\ P\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(M,\\ \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(N, P)\\bigr)$$\n\n也就是说 $\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ 是**封闭对称幺半**范畴：对固定的 $N$，$M \\mapsto M \\otimes_{\\mathbb{Z}} N$ 是 $P \\mapsto \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(N, P)$ 的左伴随。", "notes": "**怎么算。** $M \\otimes_{\\mathbb{Z}} N$ 是预层 $X \\mapsto M(X) \\otimes_{\\mathbb{Z}} N(X)$ 的**层化**：先逐点张量，再层化。（证明只要考虑 $\\mathcal{T} = \\widehat{\\mathcal{C}}$ 的情形，再用层化；最后归结到通常阿贝尔群的同名结论。）\n\n**基本性质。** 交换（$M \\otimes_{\\mathbb{Z}} N \\cong N \\otimes_{\\mathbb{Z}} M$）、结合、单位 $M \\otimes_{\\mathbb{Z}} \\mathbb{Z}\\cdot\\mathbf{1} \\cong M$；以及\n\n\n\n$$\\mathbb{Z}\\cdot X \\;\\otimes_{\\mathbb{Z}}\\; \\mathbb{Z}\\cdot Y \\;\\cong\\; \\mathbb{Z}\\cdot (X \\times Y)$$\n\n\n\n记 $M \\cdot X := M \\otimes_{\\mathbb{Z}} \\mathbb{Z}\\cdot X$，则 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)(X) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M \\cdot X,\\ N)$ —— **「在某点处取值」= 「先在点处张量、再取 Hom」**。\n\n⭐ **凝聚态阿贝尔群 $\\mathrm{CondAb}$ 就是这里的特例**（$\\mathcal{T} = \\mathrm{Cond}$）：上面每一条原样照搬，不必单独写一遍。特别地 $\\mathrm{CondAb}$ 是封闭对称幺半范畴，因而富集在自己上面，可以谈张量积、对偶与交换代数。\n\n⚠️ 但要注意 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)$ 自然是一个**紧生成拓扑空间**，却**不是拓扑阿贝尔群** —— 因为紧生成空间对（拓扑空间的）积不封闭。把 $\\mathrm{CondAb}$ 当成「拓扑阿贝尔群」来用会在这一步出问题。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.3" ] }, { "id": "def.flat-abelian-sheaf", "type": "definition", "label": "平坦阿贝尔层", "title": "平坦性（Flatness）", "label_en": "flat", "title_en": "Flatness", "en_page": "nodes/def.flat-abelian-sheaf.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 19, "tags": [ "同调代数", "平坦", "张量积" ], "statement": "拓扑斯 $\\mathcal{T}$ 中的阿贝尔群 $P$ 叫**平坦的**，如果函子\n\n$$M \\longmapsto P \\otimes_{\\mathbb{Z}} M$$\n\n是**正合**的。", "notes": "例：**通常的阿贝尔群平坦 $\\iff$ 无挠**。由此立刻得到：$\\mathbb{Z}\\cdot X$ **总是平坦的** —— 先归结到预层、再归结到通常的阿贝尔群，而自由阿贝尔群无挠。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.3" ] }, { "id": "def.compactly-generated", "type": "definition", "label": "紧生成空间", "title": "紧生成空间 / $k$-空间（Compactly Generated Space）", "label_en": "compactly generated", "title_en": "compactly generated", "en_page": "nodes/def.compactly-generated.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 16, "tags": [ "拓扑", "紧生成", "k-空间", "k-拓扑" ], "statement": "拓扑空间 $X$ 叫**紧生成的**（也叫 **$k$-空间**），如果它是紧 Hausdorff 空间的余极限。\n\n等价地：$X$ 的拓扑由「从紧 Hausdorff 空间进来的连续映射」完全决定 —— $Y \\subseteq X$ 是开（闭）集 $\\iff$ 对每个紧 Hausdorff 空间 $S$ 与每个连续映射 $f : S \\to X$，$f^{-1}(Y)$ 在 $S$ 中开（闭）。", "notes": "「由从紧 Hausdorff 空间进来的映射决定拓扑」的意思是：**只要一个子集在所有这类映射下的原像都开，它就是开的**。\n\n一般拓扑空间不满足这一条 —— 于是紧生成性把那些「测试不够」的空间排除在外，留下的那批在做乘积、函数空间时行为良好。\n\n这是**余反射**的入口：$k$-化（见「$k$-开、$k$-闭与 $k$-拓扑」）把任何空间改造成紧生成的，而且改造前后到别的紧生成空间之间的映射一一对应。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "ex.cg-examples", "type": "example", "label": "紧生成空间的例子", "title": "哪些空间是紧生成的", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 17, "tags": [ "拓扑", "紧生成", "例子", "局部紧" ], "statement": "**例 1**　局部紧 Hausdorff 空间是紧生成的。\n**例 2**　序列空间是紧生成的：$A \\subseteq X$ 闭 $\\iff$ 只要 $x_{n} \\to x$ 且 $x_{n} \\in A$，就有 $x \\in A$。\n**例 3**　若 $I$ **不可数**，则 $\\mathbb{R}^{I}$ 与 $\\mathbb{Z}^{I}$（积拓扑）都**不是**紧生成的。", "notes": "**例 1** 是最常用的一条：紧 Hausdorff 空间自己当然紧生成（它本身就是自己的那条余极限）；一般局部紧 Hausdorff 空间由「取紧邻域」这一类映射决定拓扑。\n\n**例 3** 是反面教材 —— 它正是「乘积不好用」的根源：$\\mathbb{R}^{I}$ 太细，细到没有足够的紧 Hausdorff 空间能测出它的拓扑。$k$-化会把它换成拓扑更粗的 $k(\\mathbb{R}^{I})$，那个才好用。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.cg-equivalent-conditions", "type": "proposition", "label": "紧生成空间的等价刻画", "title": "紧生成性的六条等价说法", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 17, "tags": [ "拓扑", "紧生成", "等价刻画" ], "statement": "下面六条等价：\n\n1. $X$ 是紧生成的；\n2. $X$ 是「紧 Hausdorff 空间的不交并」的商空间；\n3. $X$ 是「局部紧 Hausdorff 空间」的商空间；\n4. $Y \\subseteq X$ 开 $\\iff$ 对每个从紧 Hausdorff 空间出发的连续 $f : S \\to X$，$f^{-1}(Y)$ 开；\n5. $X \\to Y$ 连续 $\\iff$ 对每个连续 $f : S \\to X$，复合 $S \\to X \\to Y$ 连续；\n6. $X$ 是所有连续映射 $S \\to X$（$S$ 紧 Hausdorff）的余极限。", "notes": "**证明的走法。** (1) $\\iff$ (6) 是定义换一种说法：余极限就是「由全体映射决定」。\n\n\n\n- (6) $\\implies$ (2)：取 $Y = \\coprod_{S \\to X} S$（沿所有连续映射 $S \\to X$，$S$ 紧 Hausdorff）。全体映射拼出 $Y \\to X$，它显然满 —— **满的连续映射就是商映射**。\n- (2) $\\implies$ (3)：紧 Hausdorff 空间本身局部紧。\n- (3) $\\implies$ (1)：商映射 $Z \\twoheadrightarrow X$（$Z$ 局部紧 Hausdorff）把 $Z$ 的紧生成性传下去 —— 商是余极限，而余极限的余极限还是余极限。\n- (4) $\\iff$ (1)：这是「由映射决定拓扑」的逐字翻译：用 $S$ 是紧空间这一条，把 $f^{-1}(Y)$ 的开性从 $f(S)$ 拉回到 $S$ 上。\n- (5) $\\iff$ (4)：把「$X \\to Y$ 连续」按定义展开成「开集的原像开」，再用 (4) 换成紧 Hausdorff 空间上的检验。\n\n⭐ **测试空间统一取紧 Hausdorff 空间。** 定义那一条与这里 (2)(3)(4)(6) 用的是同一族测试空间 —— 也就是说：$X$ 紧生成 $\\iff$ 存在紧 Hausdorff 空间的不交并 $\\coprod S \\twoheadrightarrow X$ 是商映射 $\\iff$ 存在局部紧 Hausdorff 空间 $Z \\twoheadrightarrow X$ 是商映射。**三个说法给出同一个范畴**，用哪一条就看哪一条好算。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "def.k-topology", "type": "definition", "label": "k-开、k-闭与 k-拓扑", "title": "$k$-开集与 $k$-化（$k$-Topology）", "label_en": "k-ification", "title_en": "k-ification", "en_page": "nodes/def.k-topology.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 17, "tags": [ "拓扑", "k-拓扑", "k-开", "k-化" ], "statement": "子集 $Y \\subseteq X$ 叫 **$k$-开**（**$k$-闭**）的，如果对每个连续映射 $f : S \\to X$（$S$ 紧 Hausdorff），$f^{-1}(Y)$ 在 $S$ 中开（闭）。\n\n全体 $k$-开集构成的拓扑叫 $X$ 上的 **$k$-拓扑**；记 $kX$ 为「同一个集合、拓扑换成 $k$-拓扑」的那个空间。", "notes": "$k$-拓扑就是**使所有连续映射 $S \\to X$（$S$ 紧 Hausdorff）都连续的最终（最细）拓扑**。它比原来的拓扑**细** —— 开集变多了（原本开的当然还是 $k$-开的）。\n\n⭐ **紧生成 = 自己就是 $k$-化**：$X$ 紧生成 $\\iff$ $kX = X$（同一个拓扑空间）。所以 $k$ 是一个**幂等**的改造：$k(kX) = kX$。\n\n一般情形下 $kX$ 与 $X$ 之间的恒等映射 $kX \\to X$ 连续（拓扑变细了），但反方向不连续 —— 这个「往下走」的映射正是余反射的余单位 $\\varepsilon_{X}$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.ktx-colimit", "type": "proposition", "label": "kX 是紧空间的余极限", "title": "$kX = \\varinjlim S$", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 18, "tags": [ "拓扑", "k-拓扑", "余极限" ], "statement": "对任何拓扑空间 $X$，$kX$ 是全体连续映射 $S \\to X$（$S$ 取遍紧 Hausdorff 空间）在 $\\mathbf{Top}$ 中的余极限。", "notes": "**证明。** 按 $k$-拓扑的定义，$U \\subseteq kX$ 开 $\\iff$ 对**每个**连续 $g : S \\to X$（$S$ 紧 Hausdorff），$g^{-1}(U)$ 在 $S$ 中开。\n另一方面，$\\mathbf{Top}$ 里一张图 $\\mathcal{D}$ 的余极限 $L$ 的拓扑有标准刻画：$U \\subseteq L$ 开 $\\iff$ 对图上每个对象的「余射」$D_{i} \\to L$，$U$ 的拉回在 $D_{i}$ 中开。\n把图取成「对象 = 全体连续映射 $g : S \\to X$；态射 = 使三角形交换的连续映射」：余射就是 $g$ 本身，于是 $L$ 上的拓扑正是「由全体 $g$ 拉回定出的 $k$-拓扑」，即 $L = kX$（两者有同一个底集合同一个开集族）。∎\n⭐ **读法**：这条把「$k$-化」翻译成了「用紧 Hausdorff 块拼出来」。于是 $X$ 紧生成 $\\iff$ $X$ 就是它自己那些紧 Hausdorff 块的余极限 —— 后面所有关于 $k\\mathbf{Top}$ 的论证都可以在**块**上做，再沿余极限抬上去。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.cg-coreflective", "type": "proposition", "label": "紧生成空间是余反射子范畴", "title": "紧生成空间是 $\\mathbf{Top}$ 的余反射子范畴", "label_en": "kification", "title_en": "kification", "abstract_en": "The category $k\\mathbf{Top}$ of compactly generated spaces is a coreflective subcategory of $\\mathbf{Top}$: the inclusion $i$ has a right adjoint $k$ that keeps the underlying set and replaces the topology by the $k$-topology, $i \\dashv k$, i.e. $\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X, Y) \\cong \\operatorname{Hom}_{k\\mathbf{Top}}(X, kY)$ for compactly generated $X$. The counit $kY \\to Y$ is the identity map, continuous because the $k$-topology is the finer one.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/prop.cg-coreflective.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 18, "tags": [ "拓扑", "紧生成", "余反射", "伴随" ], "statement": "紧生成空间构成的范畴 $k\\mathbf{Top}$ 是 $\\mathbf{Top}$ 的**余反射子范畴**：含入函子 $i : k\\mathbf{Top} \\hookrightarrow \\mathbf{Top}$ 有**右**伴随\n\n$$k : \\mathbf{Top} \\longrightarrow k\\mathbf{Top}, \\qquad X \\mapsto kX$$\n\n即 $i \\dashv k$。$kX$ 与 $X$ 有同一个集合，拓扑换成 $k$-拓扑。", "notes": "**要证的是**：对每个紧生成空间 $X$ 与每个拓扑空间 $Y$，\n\n\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X,\\ Y) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{k\\mathbf{Top}}\\bigl(X,\\ kY\\bigr).$$\n\n\n\n**证明。** 余单位是 $\\varepsilon_{Y} : kY \\to Y$（恒等映射，拓扑从细到粗，连续）。\n\n\n\n- 先证 $kY$ 确实紧生成：把每个连续映射 $S \\to Y$（$S$ 紧 Hausdorff）复合 $\\varepsilon_{Y}$ 抬成 $S \\to kY$，再用 $kY$ 的定义（$k$-开集的取法）验证「由这些映射决定拓扑」。\n- 于是任意 $f : X \\to Y$ 连续（$X$ 紧生成）时，$f = \\varepsilon_{Y} \\circ f': X \\to kY$ 给出一个到 $kY$ 的连续映射 $f'$：设 $U \\subseteq kY$ 开，要证 $f'^{-1}(U)$ 在 $X$ 中开。由 $X$ 紧生成，只需对每个紧 $L \\subseteq X$ 验证 $f'^{-1}(U) \\cap L$ 在 $L$ 中开。而 $f|_{L} : L \\to Y$ 连续、$L$ 紧，故 $f(L)$ 紧；$U \\cap f(L)$ 在 $f(L)$ 中开，于是 $(f|_{L})^{-1}\\bigl(U \\cap f(L)\\bigr) = f'^{-1}(U) \\cap L$ 在 $L$ 中开。∎\n- 反向由 $\\varepsilon_{Y}$ 连续直接得到。这样两个方向互逆，就是那个同构。\n\n⭐ 与紧 Hausdorff 对照着记：$\\mathbf{CHaus}$ 是 $\\mathbf{Top}$ 的**反射**子范畴（含入函子有**左**伴随 $\\beta$），而 $k\\mathbf{Top}$ 是**余反射**的（含入函子有**右**伴随 $k$）。一个把空间「收紧」，一个把空间「松开」—— 所以前者对极限封闭，后者对**余极限**封闭。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Compactly_generated_space", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/compactly+generated+space" } }, { "id": "thm.quotient-product", "type": "theorem", "label": "商映射与局部紧空间作积", "title": "商映射与局部紧因子作积仍是商映射", "label_en": "quotient map product", "title_en": "quotient map product", "abstract_en": "If $q : X \\to Y$ is a quotient map and $Z$ is locally compact Hausdorff, then $q \\times \\mathrm{id}_Z : X \\times Z \\to Y \\times Z$ is again a quotient map. For a point $(x,z)$ of the preimage of an open set one picks a basic open $V \\times K \\subseteq U$ with $K$ a compact neighbourhood of $z$; then $q^{-1}(V) \\times K$ is an open neighbourhood of $(x,z)$ inside that preimage. Local compactness cannot be dropped. This is the engine behind \"compactly generated spaces are closed under products\".", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "name" ] } }, "en_page": "nodes/thm.quotient-product.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 7, "tags": [ "拓扑", "商映射", "局部紧", "乘积" ], "statement": "设 $q : X \\to Y$ 是**商映射**，$Z$ 是**局部紧 Hausdorff** 空间。则\n\n$$q \\times \\mathrm{id}_{Z} : X \\times Z \\longrightarrow Y \\times Z$$\n\n也是商映射。", "notes": "⭐ **这是「紧生成空间对积封闭」那条的引擎**，也是搜「商映射」「局部紧」时该落到的地方。\n\n**证明的走法（逆映射连续法）。** 记 $W := (q \\times \\mathrm{id}_{Z})^{-1}(U)$，要证 $W$ 开。取一点 $(x, z) \\in W$，记 $y = q(x)$。因为 $U$ 在 $Y \\times Z$ 中开，可以挑出基本开集\n\n\n\n$$V \\times K \\;\\subseteq\\; U, \\qquad y \\in V,\\;\\; z \\in K,$$\n\n\n\n其中 $V$ 开、$K$ 是 $z$ 的**紧邻域**（局部紧 Hausdorff $\\implies$ 每点有紧邻域基，可以要求 $K$ 落在任意给定的邻域里）。由 $q$ 是商映射，$q^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集，于是\n\n\n\n$$q^{-1}(V) \\times K \\;\\subseteq\\; W$$\n\n\n\n是 $(x, z)$ 的一个开邻域 —— 所以 $(x, z)$ 是 $W$ 的内点，$W$ 开。∎\n\n⚠️ **局部紧这个条件不能省。** 一般情形下「商映射乘 id」不是商映射：取 $q$ 是某条坏商、$Z$ 是一个既不局部紧又不紧生成的空间，乘积的商拓扑会严格细于商空间应有的拓扑。\n\n记法：有的把这条写成「$Z$ 局部紧 Hausdorff $\\implies$ 函子 $- \\times Z$ 保商映射」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(topology)", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/quotient+space" } }, { "id": "cor.cg-product", "type": "corollary", "label": "紧生成空间对积封闭", "title": "紧生成空间作积仍紧生成", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 17, "tags": [ "拓扑", "紧生成", "乘积" ], "statement": "若 $X$ 紧生成、$Y$ 局部紧 Hausdorff，则 $X \\times Y$ 紧生成。", "notes": "**证明。** 用的都是已经有的零件。\n- $X$ 紧生成 $\\iff$ $X$ 是它自己那些紧 Hausdorff 块的余极限：$X = \\varinjlim_{i} S_{i}$（上一条），$S_{i}$ 紧 Hausdorff；\n- $Y$ 局部紧 Hausdorff $\\implies$ 函子 $-\\times Y$ **保余极限**（它有右伴随 $C(Y, -)$）；于是\n$$X \\times Y = \\Bigl(\\varinjlim_{i} S_{i}\\Bigr) \\times Y = \\varinjlim_{i}\\bigl(S_{i} \\times Y\\bigr);$$\n- **每一项 $S_{i} \\times Y$ 紧生成**：它是局部紧 Hausdorff 空间（紧 $\\times$ 局部紧 $=$ 局部紧 Hausdorff），而局部紧 Hausdorff $\\implies$ 紧生成（每个点有紧邻域）✓；\n- **紧生成空间在 $\\mathbf{Top}$ 里的余极限仍紧生成**：含入 $k\\mathbf{Top} \\hookrightarrow \\mathbf{Top}$ 是左伴随（它**有**右伴随 $k$），左伴随保余极限，故 $k\\mathbf{Top}$ 里的余极限就是 $\\mathbf{Top}$ 里的余极限，且结果紧生成。\n于是 $X \\times Y$ 是紧生成空间的余极限，自身紧生成。∎\n⚠️ **$Y$ 局部紧不能省**：一般拓扑空间之间的积**不保**商映射，而「$-\\times Y$ 保余极限」正是这一条目的等价说法。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.k-product", "type": "proposition", "label": "k-化与积", "title": "$k(kX \\times Y) = k(X \\times Y)$", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 18, "tags": [ "拓扑", "k-拓扑", "乘积", "k-化" ], "statement": "对任何 $X, Y \\in \\mathbf{Top}$，\n\n$$k(kX \\times Y) \\;=\\; k(X \\times Y).$$\n\n若 $Y$ 还**局部紧 Hausdorff**，则更强：\n\n$$kX \\times Y \\;=\\; k(X \\times Y).$$", "notes": "两式的差别正好是余反射子范畴的两个层次：一般情形下 $k$ 不是「积封闭」的，得对积再取一次 $k$；$Y$ 局部紧 Hausdorff 时（由商映射与积那条定理）$k$ 与「乘 $Y$」可交换。**这就是为什么 $k\\mathbf{Top}$ 里的乘积得取 $k(X \\times Y)$ 而不是 $X \\times Y$。**\n\n**证明（第一式）。** $k$-拓扑由「哪些紧 Hausdorff 块映射连续」决定，而关键是一条逐点事实：\n- **对 $T$ 紧 Hausdorff，$g : T \\to X$ 连续 $\\iff$ $g : T \\to kX$ 连续。** 反正向显然（$kX$ 拓扑更细）；正向因为 $kX$ 的开集就是这么定义的：$U \\subseteq kX$ 开 $\\iff$ 沿每个紧 Hausdorff 映射的拉回开，取 $g$ 即得 $g^{-1}(U)$ 开。\n- 于是对 $T$ 紧 Hausdorff：$(g_{1}, g_{2}) : T \\to X \\times Y$ 连续 $\\iff$ $g_{1} : T\\to X$ 与 $g_{2} : T \\to Y$ 都连续 $\\iff$ $g_{1} : T \\to kX$ 与 $g_{2}$ 都连续 $\\iff$ $T \\to kX\\times Y$ 连续。\n- 两张 $k$-拓扑 $k(X\\times Y)$ 与 $k(kX\\times Y)$ 由**同一族**测试映射（全体 $T \\to$ 该底集合，$T$ 紧 Hausdorff）的连续性刻画，故它们的开集族相同，即 $k(kX\\times Y) = k(X\\times Y)$。\n**第二式**：由上一条「$X$ 紧生成、$Y$ 局部紧 Hausdorff $\\implies$ $kX \\times Y$ 紧生成」得 $kX\\times Y$ 已经是紧生成的，对它取 $k$ 不再改变：$k(kX\\times Y) = kX\\times Y$；代入第一式即得 $kX\\times Y = k(X\\times Y)$。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "def.compact-open-topology", "type": "definition", "label": "紧开拓扑", "title": "紧开拓扑（Compact-Open Topology）", "label_en": "compact-open topology", "title_en": "Compact-Open Topology", "en_page": "nodes/def.compact-open-topology.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 15, "tags": [ "拓扑", "紧开拓扑", "函数空间" ], "statement": "设 $X, Y \\in \\mathbf{Top}$。对每个连续映射 $g : S \\to X$（$S$ 紧 Hausdorff）与每个开集 $V \\subseteq Y$，令\n\n$$W_{S,V} := \\{\\, f : X \\to Y \\;\\mid\\; \\operatorname{Im}(f \\circ g) \\subseteq V \\,\\}.$$\n\n$C(X, Y)$（也就是 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X, Y)$）上的**紧开拓扑**是由全体 $W_{S,V}$ 生成的拓扑。", "notes": "读法：$W_{S,V}$ 是「在所有从头进来的紧块上都落在 $V$ 里」的那些映射。$g$ 通过 $S$ 这个「测试块」把 $X$ 的局部控制住。\n\n⭐ 这一条让 $\\operatorname{Hom}(X,Y)$ 本身成为一个拓扑空间 —— 于是可以谈「映射空间」，才可以谈同伦、道路空间、环路空间。在 $\\mathrm{CGWH}$ 里它才真正好用（见「函数空间弱 Hausdorff」那条）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.compact-open-discrete", "type": "proposition", "label": "离散时函数空间是积", "title": "离散 $X$ 时 $C(X,Y) \\cong Y^{X}$", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 16, "tags": [ "拓扑", "紧开拓扑", "积拓扑" ], "statement": "若 $X$ 是**离散**空间，则 $C(X, Y) \\cong Y^{X}$（右边取**积拓扑**）。", "notes": "**证明。** 比较两边的基本开集。\n- $X$ 离散时，紧 Hausdorff 的 $g : S \\to X$ 的像 $g(S)$ 是**有限**集（紧 $\\implies$ 有限，因为 $X$ 上只有离散拓扑，紧子集有限）。于是紧开拓扑的生成元是\n$$W_{S,V} = \\{\\, f : X\\to Y \\;\\mid\\; f\\bigl(g(S)\\bigr)\\subseteq V \\,\\} = \\bigcap_{x \\in F} \\{\\, f : f(x)\\in V \\,\\},\\qquad F := g(S)\\ \\text{有限};$$\n- 而 $\\{f : f(x) \\in V\\}$ 正是**积拓扑**（$Y^{X} = \\prod_{x\\in X} Y$）下的基本开集（只有 $x$ 那个坐标被限制）。所以两边由同一族基本开集生成，恒等映射是同胚。∎\n⭐ **这就是「指数律在离散指数下平凡成立」那条**：$Y^{X}$ 的积拓扑就是紧开拓扑。这也说明紧开拓扑的**信息量**：非离散的 $X$ 上，积拓扑太细（那是「逐点收敛」拓扑），紧开拓扑才是对的。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "def.weak-hausdorff", "type": "definition", "label": "弱 Hausdorff 空间", "title": "弱 Hausdorff 空间（Weak Hausdorff Space）", "label_en": "weak Hausdorff", "title_en": "Weak Hausdorff Space", "en_page": "nodes/def.weak-hausdorff.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 6, "tags": [ "拓扑", "弱 Hausdorff", "CGWH" ], "statement": "拓扑空间 $X$ 叫**弱 Hausdorff** 的，如果对每个连续映射 $f : S \\to X$（$S$ 紧 Hausdorff），像 $f(S)$ 都在 $X$ 中**闭**。", "notes": "", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.weak-hausdorff-basic", "type": "proposition", "label": "弱 Hausdorff 的基本性质", "title": "弱 Hausdorff 的几条基本性质", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 18, "tags": [ "拓扑", "弱 Hausdorff", "对角" ], "statement": "设 $X$ 弱 Hausdorff。则\n\n- $X$ 的每个紧 Hausdorff 子空间都闭；\n- $X$ 是 $T_{1}$ 的（单点是紧 Hausdorff 子空间）；\n- 对每个连续 $f : S \\to X$（$S$ 紧 Hausdorff），$f(S)$ 是**紧 Hausdorff** 的；\n- **对角** $\\Delta_{X} \\subseteq X \\times X$ 是 $k$-闭的；反过来，若 $X$ 紧生成，则对角 $k$-闭 $\\implies$ $X$ 弱 Hausdorff；\n- 若还有 $Y$ 弱 Hausdorff、$f, g : X \\rightrightarrows Y$ 连续，则 $\\ker(f, g) = \\{\\, x : f(x) = g(x) \\,\\} \\subseteq X$ 是 $k$-闭的。", "notes": "**为什么叫「弱」Hausdorff。** Hausdorff 要求任意两点的开邻域能分开；弱 Hausdorff 只要求「紧块的像是闭的」—— 条件弱得多，却正好够用：出现在 $\\mathrm{CGWH}$ 里的那些构造（商、函数空间、纤维积）都不需要全 Hausdorff。\n\n⚠️ 弱 Hausdorff **不蕴含** Hausdorff（存在紧生成的弱 Hausdorff 而非 Hausdorff 的空间）；但它蕴含 $T_{1}$，上面第二条就是。\n\n**对角那条的作用**：$\\Delta_{X}$ $k$-闭 $\\iff$ 「两个映射相等的点集」是 $k$-闭的 —— 这与 $T_{1}$、$T_{2}$ 在一般拓扑里的刻画（对角闭）平行，只是这里闭的判据换成了 $k$-闭。紧生成是让这个等价反过来的补充条件。\n\n**证明。** 五条都只用定义。\n- **紧 Hausdorff 子空间闭**：$K \\subseteq X$ 紧 Hausdorff，含入 $K \\hookrightarrow X$ 就是定义里的那个 $f$，故 $K = f(K)$ 闭。\n- **$T_{1}$**：单点 $\\{x\\}$ 是紧 Hausdorff 空间（它自己的）的像，故闭 —— 单点闭就是 $T_{1}$。\n- **$f(S)$ 紧 Hausdorff**：$f(S)$ 紧（连续像），且由定义它在 $X$ 中闭；闭子空间的子空间拓扑是 Hausdorff 的，故 $f(S)$ 紧 Hausdorff。\n- **$\\Delta_{X}$ 是 $k$-闭的**：取紧 Hausdorff 的 $g = (g_{1}, g_{2}) : T \\to X\\times X$。$g_{1}(T)$、$g_{2}(T)$ 由上一款是紧 Hausdorff，故 $g_{1}(T)\\times g_{2}(T)$ 紧 Hausdorff，于是 $\\Delta_{X} \\cap \\bigl(g_{1}(T)\\times g_{2}(T)\\bigr) = \\Delta_{g_{1}(T)}$（两个紧 Hausdorff 集的「相等点」）在其中**闭**；而 $g^{-1}(\\Delta_{X}) = g^{-1}\\bigl(\\Delta_{X}\\cap(g_{1}(T)\\times g_{2}(T))\\bigr)$ 是闭集的逆像，闭 ✓。\n- **反过来（$X$ 紧生成 + $\\Delta$ $k$-闭 $\\implies$ 弱 Hausdorff）**：取 $f : S\\to X$（$S$ 紧 Hausdorff），要证 $f(S)$ 闭。$X$ 紧生成，故只需证对每个紧 Hausdorff 的 $h : T \\to X$，$h^{-1}\\bigl(f(S)\\bigr)$ 在 $T$ 中闭。而\n$$h^{-1}\\bigl(f(S)\\bigr) = \\operatorname{pr}_{T}\\Bigl(\\{(s, t) : f(s) = h(t)\\}\\Bigr) = \\operatorname{pr}_{T}\\Bigl((f,h)^{-1}(\\Delta_{X})\\Bigr),$$\n其中 $(f,h)^{-1}(\\Delta_{X})$ 在 $S\\times T$ 中闭（$S\\times T$ 紧 Hausdorff，$\\Delta$ $k$-闭）；而 $\\operatorname{pr}_{T} : S\\times T\\to T$ 是**闭映射**（$S$ 紧），故 $h^{-1}(f(S))$ 闭 ✓。\n- **$\\ker(f,g)$ 是 $k$-闭的**：$\\ker(f,g) = (f,g)^{-1}(\\Delta_{Y})$，而 $k$-闭集沿连续映射的拉回仍 $k$-闭（用紧 Hausdorff 测试：$(f,g)\\circ h$ 连续，$h^{-1}(\\ker) = ((f,g)\\circ h)^{-1}(\\Delta_{Y})$ 闭）。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.cgwh-fiber-product", "type": "proposition", "label": "紧块的纤维积还是紧的", "title": "紧 Hausdorff 沿弱 Hausdorff 的纤维积", "label_en": "fiber product compact", "title_en": "fiber product compact", "en_page": "nodes/prop.cgwh-fiber-product.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 13, "tags": [ "拓扑", "弱 Hausdorff", "纤维积", "紧" ], "statement": "若 $S, S'$ 是紧 Hausdorff 空间、$X$ 弱 Hausdorff，且给定了连续映射 $S \\to X$、$S' \\to X$，则纤维积 $S \\times_{X} S'$ 紧 Hausdorff。", "notes": "**证明。** 记两个映射为 $f : S\\to X$、$g : S'\\to X$。关键是把纤维积写成**对角线的原像**：\n$$S \\times_{X} S' = \\{(s, s') : f(s) = g(s')\\} = (f, g)^{-1}\\bigl(\\Delta_{X}\\bigr), \\qquad (f,g) : S\\times S' \\longrightarrow X\\times X .$$\n- $S\\times S'$ **紧 Hausdorff** ✓；\n- 由「弱 Hausdorff $\\implies$ 对角是 $k$-闭的」，$\\Delta_{X}$ 是 $k$-闭的；\n- 而 $k$-闭集沿**从紧 Hausdorff 空间出发**的连续映射的拉回是**闭**集（这就是 $k$-闭的定义）：$(f,g)^{-1}(\\Delta_{X})$ 在 $S\\times S'$ 中闭 ✓。\n于是 $S\\times_{X} S'$ 是紧 Hausdorff 空间的**闭子空间**，故紧 Hausdorff（闭子空间紧、Hausdorff 的闭子空间 Hausdorff）。∎\n⭐ **这条就是「$\\mathrm{CGWH}$ 里紧块相交还是紧块」的全部内容** —— 后面「弱 Hausdorff $\\implies$ 拟分离」「$\\mathrm{CGWH}$ 对有限积封闭」都得靠它。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.cg-kclosed-quotient", "type": "proposition", "label": "k-闭等价关系与弱 Hausdorff 商", "title": "$R$ 是 $k$-闭 $\\iff$ $X/R$ 弱 Hausdorff", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 7, "tags": [ "拓扑", "弱 Hausdorff", "商空间", "等价关系" ], "statement": "设 $X$ 紧生成，$R$ 是 $X$ 上的等价关系（看作 $R \\subseteq X \\times X$）。则 $R$ 是 $k$-闭的 $\\iff$ 商空间 $X/R$ 弱 Hausdorff。", "notes": "**证明。** 记 $q : X \\to X/R$ 为商映射，则\n$$R = (q\\times q)^{-1}\\bigl(\\Delta_{X/R}\\bigr), \\qquad q\\times q : X\\times X \\longrightarrow X/R\\times X/R .$$\n- **$\\Longleftarrow$**：$X/R$ 弱 Hausdorff $\\implies$ $\\Delta_{X/R}$ 是 $k$-闭的；$k$-闭集沿连续映射拉回仍 $k$-闭（用紧 Hausdorff 测试），故 $R$ 是 $k$-闭的。\n- **$\\implies$**：$R$ $k$-闭 $\\implies$ $q$ 是**商映射**（$U \\subseteq X/R$ 开 $\\iff$ $q^{-1}(U)$ 在 $X$ 中开 —— 这正是 $R$ 的 $k$-闭性加 $X$ 紧生成给出的「饱和 $k$-闭集是闭集」）。于是 $X/R$ 紧生成（商的紧生成仍紧生成）。\n再证弱 Hausdorff：取紧 Hausdorff 的 $g : T \\to X/R$。$T$ 紧，$X$ 紧生成且 $q$ 是商映射，故 $g$ 可沿 $q$ **逐块提升**：存在覆盖 $T = \\bigcup_{i} T_{i}$（有限个紧 Hausdorff 块）与连续 $p_{i} : T_{i} \\to X$ 使 $q p_{i} = g|_{T_{i}}$。于是 $g(T) = \\bigcup_{i} q(\\tilde g_{i}(T_{i}))$，而每个 $q(K)$（$K \\subseteq X$ 紧 Hausdorff）是闭的：$q^{-1}q(K)$ 是**饱和**的，其 $k$-闭性由 $R$ 的 $k$-闭性与「投影 $X\\times K \\to X$ 闭」给出，故 $q^{-1}q(K)$ 在紧生成的 $X$ 中闭，再由 $q$ 是商映射得 $q(K)$ 闭 ✓。有限并仍闭，故 $g(T)$ 闭。∎\n⭐ **读法**：这条把「商空间弱 Hausdorff」这个**拓扑**条件翻译成了「等价关系是 $k$-闭的」这个**关于 $X\\times X$ 的子集**条件 —— 后者可以逐块验证。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "thm.cgwh-reflective", "type": "theorem", "label": "CGWH 是 CG 的反射子范畴", "title": "紧生成的弱 Hausdorff 空间是反射子范畴", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 17, "tags": [ "拓扑", "CGWH", "反射", "商" ], "statement": "紧生成的**弱 Hausdorff** 空间构成的范畴 $\\mathrm{CGWH}$ 是 $\\mathrm{CG}$（紧生成空间）的**反射**子范畴。\n\n反射是\n\n$$h : X \\longmapsto X/R,$$\n\n其中 $R$ 是 $X$ 上**最小的闭等价关系**。", "notes": "**为什么取「最小的闭等价关系」。** 要让商 $X/R$ 弱 Hausdorff，$R$ 得是 $k$-闭的（上一条）；而要商掉得尽量少、好让反射是「最经济」的改造，就取最小的那个闭等价关系。（$R \\mapsto X/R$ 把关系越大商越小，方向别弄反。）\n\n⭐ 这一条给出「怎么把一个空间修好」的完整链条：$k$-化（$X \\mapsto kX$，变成 $\\mathrm{CG}$）$\\mapsto$ 商最小闭等价关系（$kX \\mapsto kX/R$，变成 $\\mathrm{CGWH}$）。两步都是**函子性**的，所以 $\\mathrm{CGWH}$ 里的同构、极限、余极限都能从 $\\mathbf{Top}$ 里搬过来。\n\n⭐ 这就是为什么现代代数拓扑默认在 $\\mathrm{CGWH}$ 里做事：$\\mathrm{CGWH}$ 对**有限积**封闭、函数空间 $kC(X,Y)$ 还在里面、且是笛卡尔闭的 —— 而 $\\mathbf{Top}$ 一个都不满足。\n\n**证明。** 记 $R$ 为 $X$ 上**所有 $k$-闭等价关系**的交（$X$ 紧生成时 $k$-闭 = 闭，所以这就是「最小闭等价关系」；等价关系的交仍是等价关系 ✓），令 $\\eta_{X} : X \\to X/R$ 为商映射。\n- **$X/R \\in \\mathrm{CGWH}$**：$X/R$ 紧生成（商的紧生成）✓；而 $R$ $k$-闭 $\\implies$ $X/R$ 弱 Hausdorff（上一条）✓。\n- **反射的泛性质**：设 $Y \\in \\mathrm{CGWH}$、$f : X \\to Y$ 连续。则\n$$R_{f} := \\{(x, x') : f(x) = f(x')\\} = (f,f)^{-1}(\\Delta_{Y})$$\n是 $X$ 上的等价关系；由 $\\Delta_{Y}$ $k$-闭（$Y$ 弱 Hausdorff）与「$k$-闭沿连续映射拉回仍 $k$-闭」得 $R_{f}$ $k$-闭。于是 $R \\subseteq R_{f}$（$R$ 是交），所以 $f$ 在 $R$ 的每个类上取常值，从而**唯一地**穿过商：$\\exists!\\, \\bar f : X/R \\to Y$ 使 $\\bar f\\circ\\eta_{X} = f$ ✓。\n- **$\\mathrm{CGWH}$ 全忠实坐进 $\\mathrm{CG}$**：$Y$ 本身弱 Hausdorff 时 $\\eta_{Y} : Y \\to Y/R_{Y}$ 是同胚（$R_{Y}$ 是 $\\Delta_{Y}$ 本身），于是反射在 $\\mathrm{CGWH}$ 上的分量是恒等 ✓。\n两条合起来就是「$\\mathrm{CGWH}$ 是 $\\mathrm{CG}$ 的反射子范畴，反射是 $X\\mapsto X/R$」。∎\n⚠️ **方向**：等价关系取得**越大**，商掉得越**多**、空间越粗。所以「最小」的闭等价关系给出「最经济」的弱 Hausdorff 化 —— 这也是为什么反射先 $k$-化（$X\\rightsquigarrow kX$）、再商最小闭等价关系、两步都函子性。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.cgwh-closed", "type": "proposition", "label": "CGWH 的开闭子空间与滤过余极限", "title": "$\\mathrm{CGWH}$ 的封闭性", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 7, "tags": [ "拓扑", "CGWH", "子空间", "余极限" ], "statement": "1. 紧生成的弱 Hausdorff 空间的**开子空间**与**闭子空间**仍紧生成且弱 Hausdorff。\n2. 若 $X = \\varinjlim X_{i}$ 是紧生成的弱 Hausdorff 空间沿**闭含入**的**滤过**余极限，则 $X$ 也紧生成的弱 Hausdorff，并且每个 $X_{i}$ 都在 $X$ 中闭。", "notes": "第 2 条正是凝聚态数学里反复要用的那一条：把「由有限块拼起来的对象」按滤过余极限拼大，$\\mathrm{CGWH}$ 的性质不会掉。\n\n**证明。**\n- **开子空间**：$U \\subseteq X$ 开。紧 Hausdorff 的 $g : S\\to U$ 的像 $g(S)$ 在 $X$ 中闭，故在 $U$ 的子空间拓扑里 $g(S) = g(S)\\cap U$ 闭 $\\implies$ $U$ 弱 Hausdorff ✓；$k$-化与「取开子空间」交换（$k$ 拓扑由沿紧 Hausdorff 块拉回刻画，而块落进 $U$ 与否是局部条件）$\\implies$ $U$ 紧生成 ✓。\n- **闭子空间**：$A \\subseteq X$ 闭。紧 Hausdorff 的 $g : S\\to A$ 的像在 $X$ 中闭且含于 $A$，故在 $A$ 中闭 $\\implies$ 弱 Hausdorff ✓；$A$ 紧生成同样由「$k$-化与取闭子空间交换」得到 ✓。\n- **沿闭含入的滤过余极限**：对极限 $X = \\varinjlim_{i\\in I} X_{i}$（闭含入、$I$ 滤过），先有一条标准引理：**$X$ 中的闭集就是那些与每个 $X_{i}$ 的交都闭的集合**（余极限拓扑 + $X_{i}$ 闭），于是每个 $X_{i}$ 在 $X$ 中闭 ✓。\n- **$X$ 弱 Hausdorff**：取紧 Hausdorff 的 $g : S \\to X$。由上面那条引理与 $S$ **紧**，$g(S)$ 落在**某一个** $X_{i}$ 里（这是滤过余极限的标准「紧集落进一块」引理）；又 $X_{i}$ 在 $X$ 中闭、$g$ 经由 $X_{i}$ 的像在 $X_{i}$ 中闭 $\\implies$ $g(S)$ 在 $X$ 中闭 ✓。\n- **$X$ 紧生成**：由余极限的闭集刻画（逐块判定）与每块紧生成，逐块验证即得 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.cg-function-space", "type": "proposition", "label": "函数空间弱 Hausdorff", "title": "$Y$ 弱 Hausdorff $\\implies$ $kC(X,Y)$ 弱 Hausdorff", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 16, "tags": [ "拓扑", "弱 Hausdorff", "紧开拓扑", "函数空间" ], "statement": "若 $Y$ 弱 Hausdorff，则 $kC(X, Y)$（紧开拓扑再取 $k$-化）也弱 Hausdorff。", "notes": "**证明。** 取紧 Hausdorff 的 $g : T \\to kC(X, Y)$，要证 $g(T)$ 在 $kC(X,Y)$ 中闭。$kC(X,Y)$ 紧生成，故只需证：对**每个**紧 Hausdorff 的 $T'$ 与连续 $h : T'\\to kC(X,Y)$，\n$$A := \\{\\, t'\\in T' : h(t')\\in g(T) \\,\\}$$\n在 $T'$ 中闭。\n- 由指数律（$T, T'$ 紧 Hausdorff $\\implies$ 局部紧 Hausdorff），$g, h$ 分别对应连续的 $\\hat g : T\\times X\\to Y$、$\\hat h : T'\\times X\\to Y$；\n- **$X$ 紧生成**，所以「两个映射 $X\\to Y$ 相等」只需沿所有紧 Hausdorff 的 $a : S\\to X$ 验证。于是\n$$A = \\operatorname{pr}_{T'}\\Bigl(\\bigcap_{(S,a)} B_{S,a}\\Bigr), \\qquad B_{S,a} := \\{\\,(t',t)\\in T'\\times T : \\hat h\\bigl(t',a(s)\\bigr) = \\hat g\\bigl(t,a(s)\\bigr)\\ \\ \\forall s\\in S\\,\\};$$\n- 每个 $B_{S,a} = \\operatorname{pr}_{T'\\times T}\\bigl(\\theta_{S,a}^{-1}(\\Delta_{Y})\\bigr)$，其中 $\\theta_{S,a} : T'\\times T\\times S \\to Y\\times Y$，$(t',t,s)\\mapsto\\bigl(\\hat h(t',a(s)),\\ \\hat g(t,a(s))\\bigr)$ 连续。$T'\\times T\\times S$ **紧 Hausdorff**，而 $\\Delta_{Y}$ 是 $k$-闭的，故 $\\theta_{S,a}^{-1}(\\Delta_{Y})$ **闭**；又 $S$ 紧 $\\implies$ 投影 $T'\\times T\\times S\\to T'\\times T$ **闭**，所以 $B_{S,a}$ 闭；闭集之交 $B$ 闭；最后 $T$ 紧 $\\implies$ $\\operatorname{pr}_{T'} : T'\\times T\\to T'$ 闭，故 $A$ 闭 ✓。∎\n三步关键：① $X$ 紧生成让「函数相等」可以沿紧块检验；② $Y$ 弱 Hausdorff 让 $\\Delta_{Y}$ 是 $k$-闭的；③ 紧因子的投影是**闭映射**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "prop.cg-cartesian-closed", "type": "theorem", "label": "紧生成空间是笛卡尔闭的", "title": "紧生成空间是笛卡尔闭范畴", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 17, "tags": [ "拓扑", "紧生成", "笛卡尔闭", "指数对象", "currying" ], "statement": "设 $X, Y, Z$ 是紧生成空间。则存在同胚\n\n$$kC\\bigl(k(X \\times Y),\\ kZ\\bigr) \\;\\cong\\; kC\\bigl(kX,\\ kC(kY, kZ)\\bigr).$$\n\n等价的说法是 $k\\mathbf{Top}$ 里成立 **currying**：\n\n$$C\\bigl(k(X \\times Y),\\ Z\\bigr) \\;\\cong\\; C\\bigl(X,\\ C(Y, Z)\\bigr).$$", "notes": "⭐ **这就是这一团要造的那个「能用的东西」**：$k\\mathbf{Top}$ 里**有函数空间、而且函数空间还在范畴里**，于是「映射空间」「同伦」这些构造可以完全在 $k\\mathbf{Top}$ 内部做完。$\\mathbf{Top}$ 本身做不到这件事。\n\n**证明的走法。** 先对紧生成空间手工验证集合层面的双射\n\n\n\n$$C\\bigl(k(X \\times Y),\\ Z\\bigr) \\;\\cong\\; C\\bigl(X,\\ C(Y, Z)\\bigr),$$\n\n\n\n再用米田引理把「$kC$ 上的同胚」化归成「对每个紧生成测试空间 $T$ 的映射集相等」：\n\n\n\n$$C\\bigl(T,\\ kC(k(X\\times Y), kZ)\\bigr) \\cong C\\bigl(k(T\\times X\\times Y),\\ Z\\bigr) \\cong C\\bigl(T,\\ kC(kX, kC(kY,kZ))\\bigr).$$\n\n\n\n两次都只用到积的结合性与 $k$-化的函子性 —— 这也是为什么必须**先取 $k$-化**：不取的话右边那个 $C(Y,Z)$ 未必紧生成。\n\n⚠️ 一个容易踩的点：$C(kX, kY) = C(kX, Y)$ 作为**集合**相等，但一般**不是同胚**，哪怕换成 $k$-拓扑也一样。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "cor.cg-exponential-adjoint", "type": "corollary", "label": "CG 的指数伴随", "title": "$X \\mapsto k(X \\times Y) \\;\\dashv\\; Z \\mapsto kC(kY, Z)$", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 18, "tags": [ "拓扑", "紧生成", "伴随", "指数对象", "余极限万有" ], "statement": "在紧生成空间范畴上，函子\n\n$$X \\longmapsto k(X \\times Y) \\qquad \\text{左伴随于} \\qquad Z \\longmapsto kC(kY, Z).$$\n\n也就是说 $kC(kY, -)$ 是「乘 $Y$」的**右伴随**（$k(Y \\times -)$ 叫**指数对象** $Z^{Y}$）。", "notes": "**两个立刻的推论**：左伴随**保余极限**，所以 $X \\mapsto k(X \\times Y)$ 保紧生成空间的余极限；右伴随**保极限**，所以 $Z \\mapsto kC(kY,Z)$ 保极限。\n\n⭐ **余极限在 $k\\mathbf{Top}$ 里是万有的。** 因为「乘 $Y$」有右伴随，它与余极限交换，这正是余极限万有（把余极限沿任意态射拉回还是余极限）的条件。**这一点在 $\\mathbf{Top}$ 里不成立** —— 也是「非要在 $k\\mathbf{Top}$ 里做事」的又一条理由。\n\n**证明（伴随 = 自然双射）。** 要证的是**自然**双射\n$$\\operatorname{Hom}_{k\\mathbf{Top}}\\bigl(k(X\\times Y),\\ Z\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{k\\mathbf{Top}}\\bigl(X,\\ kC(kY, Z)\\bigr).$$\n- **左边**：$k$-化是余反射（含入 $i$ 有右伴随 $k$），故对紧生成的 $Z$ 有 $\\operatorname{Hom}_{k\\mathbf{Top}}(kA, Z) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(A, Z)$；取 $A = X\\times Y$ 得左边 $= \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X\\times Y,\\ Z)$。\n- **右边**：同理 $\\operatorname{Hom}_{k\\mathbf{Top}}(X, kC(kY,Z)) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X, C(kY,Z))$。\n- **中间的 currying**：集合层面永远有双射 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X\\times Y, Z) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X, C(Y,Z))$（把 $f$ 送到 $x\\mapsto f(x,-)$）；拓扑层面，$Z$ 紧生成时「连续性可由紧 Hausdorff 块检验」，而 $kY$ 的紧块就是 $Y$ 的紧块，故 $C(Y,Z)$ 与 $C(kY,Z)$ 上的紧开拓扑一致。\n两条合起来给出自然双射，即 $k(X\\times Y) \\dashv kC(kY, -)$。∎\n**顺带的两个推论**（伴随的一般性质）：左伴随 $X\\mapsto k(X\\times Y)$ **保余极限**；右伴随 $Z\\mapsto kC(kY,Z)$ **保极限**。前者正是「$-\\times Y$ 在 $k\\mathbf{Top}$ 里保余极限」，也是上面「$\\mathrm{CGWH}$ 对积封闭」那条用的零件。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3" ] }, { "id": "def.group", "type": "definition", "label": "群", "title": "群与阿贝尔群（Group）", "label_en": "group", "title_en": "group", "en_page": "nodes/def.group.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 6, "tags": [ "代数", "群", "阿贝尔群", "运算" ], "statement": "设 $G$ 是**集合**，$\\cdot$ 是 $G$ 上的**二元运算**（即函数 $G \\times G \\to G$，$(a, b) \\mapsto a \\cdot b$）。称 $(G, \\cdot)$ 是一个**群**，当且仅当：\n\n- **结合律**：$(a b) c = a (b c)$ 对一切 $a, b, c \\in G$ 成立；\n- **单位元**：存在 $e \\in G$ 使 $e a = a e = a$ 对一切 $a$ 成立；\n- **逆元**：对每个 $a \\in G$ 存在 $a^{-1} \\in G$ 使 $a a^{-1} = a^{-1} a = e$。\n\n再满足**交换律** $a b = b a$ 的群叫**阿贝尔群**（Abelian group），也叫**交换群**。", "notes": "⭐ **格式还是「集合 + 运算 + 公理」**：群不是凭空的对象 —— 一个集合、一个函数、三条等式就定出了一个群。判别一个东西是不是群，就是逐条核对这些等式。\n\n**单位元与逆元是唯一的**：若 $e, e'$ 都是单位元，则 $e = e e' = e'$；若 $a^{-1}, a'$ 都是 $a$ 的逆，则 $a' = a' e = a' a a^{-1} = e a^{-1} = a^{-1}$。所以「$e$」与「$a^{-1}$」这两个记号合法。\n\n**例子与反例**：$(\\mathbb{Z}, +)$ 是阿贝尔群；$(\\mathbb{Q} \\setminus \\{0\\}, \\cdot)$ 是阿贝尔群；$(\\mathbb{Z}, \\cdot)$ **不是**群（只有 $\\pm 1$ 有乘法逆元）；$n \\times n$ 可逆矩阵在乘法下是群但**不阿贝尔**（$n \\ge 2$）。\n\n📌 还有一层更弱的：只要求结合律与单位元、不要求逆元，叫**幺半群**。（$\\mathbb{N}$ 在加法下就是幺半群不是群。）", "refs": [ "Lang, Algebra" ] }, { "id": "def.subgroup", "type": "definition", "label": "子群", "title": "子群（Subgroup）", "label_en": "subgroup", "title_en": "Subgroup", "en_page": "nodes/def.subgroup.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 7, "tags": [ "代数", "群", "子群" ], "statement": "设 $(G, \\cdot)$ 是群，$H \\subseteq G$。称 $H$ 是 $G$ 的**子群**（记 $H \\le G$），如果 $H$ 在**限制过来的运算**下自己构成一个群 —— 也就是：\n\n- $e \\in H$；\n- $a, b \\in H \\implies ab \\in H$（对运算封闭）；\n- $a \\in H \\implies a^{-1} \\in H$（对逆封闭）。\n\n（结合律是从 $G$ 里继承的，不必重查。）", "notes": "两条合起来可写成一条：$a, b \\in H \\implies a b^{-1} \\in H$。\n\n任意多个子群的交仍是子群；但**并**一般不是 —— 这也是「由 $S$ 生成的子群 $\\langle S \\rangle$」要定义成「含 $S$ 的一切子群的交」的原因。", "refs": [ "Lang, Algebra" ] }, { "id": "def.normal-subgroup", "type": "definition", "label": "正规子群", "title": "正规子群与陪集（Normal Subgroup）", "label_en": "normal subgroup", "title_en": "normal subgroup", "en_page": "nodes/def.normal-subgroup.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 7, "tags": [ "代数", "群", "正规子群", "陪集" ], "statement": "设 $H \\le G$，$g \\in G$。**左陪集**与**右陪集**分别是\n\n$$gH := \\{\\, gh : h \\in H \\,\\}, \\qquad Hg := \\{\\, hg : h \\in H \\,\\}.$$\n\n称 $H$ 是 $G$ 的**正规子群**（记 $H \\trianglelefteq G$），如果对一切 $g \\in G$ 有 $gH = Hg$，等价地 $gHg^{-1} = H$。", "notes": "⭐ **为什么要正规。** 陪集 $gH$ 是**集合**，想用「$gH \\cdot g'H := gg'H$」把商集变成群，就必须让这个定义**与代表元的选取无关**。算一下差在哪儿：\n\n\n\n$$(g h)(g' h') = g g' \\cdot \\bigl((g')^{-1} h g'\\bigr) h',$$\n\n\n\n最右边那个括号里的 $(g')^{-1} h g'$ 得还在 $H$ 里才行 —— 「$H$ 对共轭封闭」正是正规性。**阿贝尔群里每个子群都正规**（共轭不动），所以在阿贝尔群里这一步永远不碍事。\n\n**陪集是一条等价关系。** 定义 $a \\sim b \\iff a^{-1} b \\in H$，则等价类恰好是左陪集，全体左陪集划分 $G$ —— 这就是下面商群要用的商集。\n\n**记号**：$H \\le G$ 表示子群，$H \\trianglelefteq G$ 表示正规子群（$\\trianglelefteq$ 读作「正规于」）。", "refs": [ "Lang, Algebra" ] }, { "id": "def.quotient-group", "type": "definition", "label": "商群", "title": "商群（Quotient Group）", "label_en": "quotient group", "title_en": "Quotient Group", "en_page": "nodes/def.quotient-group.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 8, "tags": [ "代数", "群", "商群", "商集" ], "statement": "设 $N \\trianglelefteq G$。全体左陪集 $\\{\\, gN : g \\in G \\,\\}$ 记作 $G/N$，在上面定义\n\n$$(g N) \\cdot (g' N) := (g g') N.$$\n\n正规性保证这个定义与代表元的选取无关，于是 $G/N$ 成为一个群，叫**商群**。\n\n自然映射 $\\pi : G \\to G/N$，$g \\mapsto gN$，是满同态。", "notes": "商群就是**集合层面的商集**再往上一层：先在 $G$ 上用等价关系「差一个 $N$ 的元素」商掉，再验证商集上还残留着一个运算。\n\n**泛性质**（商群真正的用处）：对任何群同态 $\\varphi : G \\to G'$，若 $N \\subseteq \\ker\\varphi$，则 $\\varphi$ 唯一地穿过 $\\pi$：存在唯一的 $\\overline{\\varphi} : G/N \\to G'$ 使 $\\overline{\\varphi} \\circ \\pi = \\varphi$。\n\n⚠️ 商**群**只对正规子群有；商**集** $G/H$ 对任何子群都有（左陪集照样划分 $G$），但那个商集上一般没有群结构。", "refs": [ "Lang, Algebra" ] }, { "id": "def.group-hom", "type": "definition", "label": "群同态、核与像", "title": "群同态（Group Homomorphism）", "label_en": "group homomorphism", "title_en": "group homomorphism", "en_page": "nodes/def.group-hom.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 8, "tags": [ "代数", "群", "同态", "核", "像" ], "statement": "设 $(G, \\cdot)$、$(G', \\ast)$ 是群。映射 $\\varphi : G \\to G'$ 叫**群同态**，如果\n\n$$\\varphi(a b) = \\varphi(a) \\ast \\varphi(b) \\qquad (a, b \\in G).$$\n\n它的**核**与**像**分别是\n\n$$\\ker\\varphi := \\{\\, g \\in G : \\varphi(g) = e' \\,\\} \\;\\subseteq\\; G, \\qquad \\operatorname{im}\\varphi := \\varphi(G) \\;\\subseteq\\; G'.$$", "notes": "**同态自动保单位元与逆元**：$\\varphi(e) = e'$、$\\varphi(a^{-1}) = \\varphi(a)^{-1}$（由 $\\varphi(e) = \\varphi(e e) = \\varphi(e)\\varphi(e)$ 两边消去得到）。所以定义里只需写一条等式。\n\n**核与像都是子群**：$\\operatorname{im}\\varphi \\le G'$ 显然；$\\ker\\varphi \\le G$ 由 $\\varphi(ab^{-1}) = \\varphi(a)\\varphi(b)^{-1} = e'$ 得到。\n\n⭐ **核还是正规子群**：对 $k \\in \\ker\\varphi$、$g \\in G$，\n\n\n\n$$\\varphi(g k g^{-1}) = \\varphi(g)\\, e'\\, \\varphi(g)^{-1} = e',$$\n\n\n\n所以 $gkg^{-1} \\in \\ker\\varphi$，即 $\\ker\\varphi \\trianglelefteq G$。**核总是正规的** —— 这正是「商群能商掉核」的全部理由。\n\n**单同态 $\\iff$ 核平凡**：$\\varphi$ 是单射 $\\iff$ $\\ker\\varphi = \\{e\\}$。于是「单」这个性质被一个**子群**完全编码了。", "refs": [ "Lang, Algebra" ] }, { "id": "thm.first-iso", "type": "theorem", "label": "第一同构定理（Noether）", "title": "第一同构定理（Noether）", "label_en": "Noether", "title_en": "Noether", "abstract_en": "For a group homomorphism $\\varphi : G \\to G'$, the assignment $g\\ker\\varphi \\mapsto \\varphi(g)$ is an isomorphism $G/\\ker\\varphi \\cong \\operatorname{im}\\varphi$; in particular a surjective homomorphism has the quotient as image. The proof is three steps: well-definedness, multiplicativity, bijectivity. The same proof works verbatim for any \"set + operations + axioms\" structure, $A/\\ker f \\cong \\operatorname{im} f$, and the set-level prototype is that every map induces a bijection from the quotient by $a \\sim a' \\iff f(a) = f(a')$ onto its image.", "statement_en": "Let $\\varphi : G \\to G'$ be a **group homomorphism**. Then $\\varphi$ induces an isomorphism\n\n$$G \\big/ \\ker\\varphi \\;\\cong\\; \\operatorname{im}\\varphi, \\qquad g \\ker\\varphi \\;\\longmapsto\\; \\varphi(g).$$\n\nIn particular: **the image of a surjective homomorphism is the quotient group** ($G/\\ker\\varphi \\cong G'$ when $\\varphi$ is surjective).", "notes_en": "**The three steps of the proof.** Write $K = \\ker\\varphi$.\n\n- **Well defined**: if $gK = g'K$ then $g' = gk$ for some $k \\in K$, hence $\\varphi(g') = \\varphi(g)\\varphi(k) = \\varphi(g)e' = \\varphi(g)$ — elements of the same coset are sent to the same value.\n- **Homomorphism**: $\\overline{\\varphi}\\bigl((gK)(g'K)\\bigr) = \\overline{\\varphi}(gg'K) = \\varphi(gg') = \\varphi(g)\\varphi(g') = \\overline{\\varphi}(gK)\\,\\overline{\\varphi}(g'K)$.\n- **Bijection**: injective, because $\\overline{\\varphi}(gK) = e'$ means $\\varphi(g) = e'$, i.e. $g \\in K$, so $gK = K$; surjective, because the image is $\\varphi(G)$ by construction. ∎\n\n⭐ **It is really a theorem about the format \"set + operations + axioms\", not a privilege of groups.** The same proof carries over verbatim, provided one replaces \"homomorphism\" by the corresponding notion:\n\n$$A \\big/ \\ker f \\;\\cong\\; \\operatorname{im} f.$$\n\n⭐ **The set-level prototype**: for any map $f : A \\to B$, put $a \\sim a' \\iff f(a) = f(a')$ on $A$; then $f$ induces a **bijection** $A/{\\sim} \\;\\to\\; \\operatorname{im} f$ (see \"quotient set and equivalence classes\"). The group version adds exactly one sentence: **after dividing by the kernel, what remains is a group**. The first two steps (well defined, bijection) are the set-level content; only the third (homomorphism) is new.\n\n**What question does it answer?** \"Where does a homomorphism send a group?\" has a two-part answer: the **kernel** (what is collapsed) and the **image** (what survives), locked together by a single isomorphism. So studying homomorphisms is studying normal subgroups — which is why group theory turns into the study of the lattice of subgroups.", "translations": { "en": { "status": "draft", "version": "v0.9.0", "fields": [ "abstract", "statement", "notes", "name" ] } }, "en_page": "nodes/thm.first-iso.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra", "set-theory" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 9, "tags": [ "代数", "群", "同构定理", "Noether", "商群", "商映射" ], "statement": "设 $\\varphi : G \\to G'$ 是**群同态**。则 $\\varphi$ 诱导出同构\n\n$$G \\big/ \\ker\\varphi \\;\\cong\\; \\operatorname{im}\\varphi, \\qquad g \\ker\\varphi \\;\\longmapsto\\; \\varphi(g).$$\n\n特别地：**满同态的像就是商群**（$\\varphi$ 满时 $G/\\ker\\varphi \\cong G'$）。", "notes": "**证明的三步。** 记 $K = \\ker\\varphi$。\n\n\n\n- **良定义**：若 $g K = g' K$，则 $g' = g k$（某个 $k \\in K$），于是 $\\varphi(g') = \\varphi(g)\\varphi(k) = \\varphi(g) e' = \\varphi(g)$ —— 同一陪集里的元素被送到同一个值。\n- **同态**：$\\overline{\\varphi}\\bigl((gK)(g'K)\\bigr) = \\overline{\\varphi}(gg'K) = \\varphi(gg') = \\varphi(g)\\varphi(g') = \\overline{\\varphi}(gK)\\,\\overline{\\varphi}(g'K)$。\n- **双射**：单，因为 $\\overline{\\varphi}(gK) = e'$ 意味着 $\\varphi(g) = e'$，即 $g \\in K$，于是 $gK = K$；满，因为像本来就是 $\\varphi(G)$。∎\n\n⭐ **它其实是「集合 + 运算 + 公理」这套格式的通用定理，不是群的专利。** 同一个证明逐字照搬，只要把「同态」换成对应的东西：\n\n\n\n$$A \\big/ \\ker f \\;\\cong\\; \\operatorname{im} f.$$\n\n\n\n⭐ **集合层面的原型**：对任何映射 $f : A \\to B$，在 $A$ 上令 $a \\sim a' \\iff f(a) = f(a')$，则 $f$ 诱导**双射** $A/{\\sim} \\;\\to\\; \\operatorname{im} f$（见「商集与等价类」）。群版比它多出来的只有一句话：**商掉核之后，剩下的是一个群**。前两步（良定义、双射）就是集合版的内容，第三步（同态）才是新的。\n\n**它回答了什么问题。** 「同态把群送到哪里去了」这个问题，答案只有两部分：**核**（被压掉的部分）与**像**（留下来的部分），二者由一个同构精确地锁在一起。于是研究同态 = 研究正规子群，这就是把群论变成「子群格」的原因。", "refs": [ "Lang, Algebra, Ch. I §4", "Dummit & Foote, Abstract Algebra, §10.2" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/First_isomorphism_theorem" } }, { "id": "def.localization", "type": "definition", "label": "局部化", "title": "范畴的局部化（Localization）", "label_en": "localization", "title_en": "Localization", "en_page": "nodes/def.localization.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "局部化", "分式", "同伦范畴" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是范畴，$W$ 是 $\\mathcal{C}$ 中一族态射（想「当成同构」的那些）。$\\mathcal{C}$ 关于 $W$ 的**局部化** $\\mathrm{ho}(\\mathcal{C})$ 是这样一个范畴，连同函子 $\\gamma : \\mathcal{C} \\to \\mathrm{ho}(\\mathcal{C})$：\n\n1. 对每个 $w \\in W$，$\\gamma(w)$ 是同构；\n2. **泛性质**：对任何函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 使每个 $w \\in W$ 的像都是同构，存在唯一的 $\\overline{F} : \\mathrm{ho}(\\mathcal{C}) \\to \\mathcal{D}$ 使 $\\overline{F} \\circ \\gamma = F$。", "notes": "**怎么把态射造出来。** 局部化里的态射是 $W$ 中态射的**形式逆**与 $\\mathcal{C}$ 中原有态射拼成的**有限长链**（这叫**分式**，因为长得像 $c \\cdot w^{-1} \\cdot d$）。两个这样的链只要能用原范畴里的交换图连通，就视作同一个态射。\n\n⭐ **两个标准例子**（都在同调代数那一支）：把链同伦 $\\simeq$ 全体当成同构，得到**同伦范畴** $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$；再把**拟同构**全体当成同构，得到**导出范畴** $D(\\mathcal{A})$。所以这一条是那一整条线的地基层。\n\n⚠️ **局部化一定存在，但可能很贵**：一般情形下 $\\mathrm{ho}(\\mathcal{C})$ 的态射**不再是集合**（每两个对象之间的分式链可能真类多），Hom 也可能爆掉。下面那条命题说的就是「什么时候它老老实实是个局部小范畴」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "prop.calculus-of-fractions", "type": "proposition", "label": "分式演算下的局部化", "title": "右分式演算 $\\implies$ 局部化好算", "label_en": "calculus of fractions", "title_en": "calculus of fractions", "en_page": "nodes/prop.calculus-of-fractions.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "局部化", "分式演算", "Ore 条件" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是小范畴、$W$ 是其中一族态射。称 $W$ **容许右分式演算**，如果：\n\n1. $W$ 对复合封闭，且包含所有恒等态射；\n2. **（Ore 条件）** 对任何 $w : X' \\to X$ 与任何 $f : Y \\to X$，存在 $g$ 与 $v \\in W$ 使方块交换：\n\n$$\\begin{array}{ccc} Z & \\xrightarrow{\\;g\\;} & Y \\\\[2pt] {\\scriptstyle v}\\big\\downarrow & & \\big\\downarrow{\\scriptstyle f} \\\\[2pt] X' & \\xrightarrow[\\;w\\;]{} & X \\end{array} \\qquad v \\in W;$$\n\n3. **（消去条件）** 若 $w \\in W$ 且 $f \\circ w = g \\circ w$，则存在 $v \\in W$ 使 $v \\circ f = v \\circ g$。\n\n则 $\\mathrm{ho}(\\mathcal{C})$ 可以这样具体算出来：对象不变，$\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{ho}}(X, Y)$ 是形如 $X \\xleftarrow{\\;w\\;} X' \\xrightarrow{\\;f\\;} Y$（$w \\in W$）的**分式**在等价关系下的商集。", "notes": "**证明（Gabriel–Zisman 的构造，逐条用掉三个条件）。** 设 $W$ 容许右分式演算。\n- **分式与等价**：一个分式是 $X \\xleftarrow{\\ w\\ } X' \\xrightarrow{\\ f\\ } Y$（$w \\in W$）；两个分式等价，如果存在 $X''\\xrightarrow{v}X'$、$X''\\xrightarrow{v'}X'$ 使 $w v = w' v'$（$\\in W$）且 $f v = f' v'$ ✓。\n- **等价关系**：自反、对称显然；传递性用 **Ore 条件 2** 把两次比较拉到同一个 $X''$ 上，再用 **消去条件 3** 处理剩下的差异 ✓。\n- **复合**：两个分式的复合要「通分」——把 $f_{1}$ 与 $w_{2}$ 按 **条件 2** 摆成一个方块，得到一个公共的 $Z$，于是复合仍是单分式；换代表元不改变复合类（同样靠 2、3）✓。\n- **范畴**：恒等取 $1_{X}$（$X \\xleftarrow{1}X\\xrightarrow{1}X$，条件 1 给出 $1 \\in W$）；结合律由构造直接验（三条条件保证「通分」的结果与顺序无关）✓。\n- **泛性质**：记得到的范畴为 $\\operatorname{Frac}_{W}(\\mathcal{C})$，函子 $\\mathcal{C}\\to\\operatorname{Frac}_{W}(\\mathcal{C})$ 把每个 $w\\in W$ 变成同构（$w$ 的逆就是分式 $X \\xleftarrow{w}X'\\xrightarrow{1}X'$）✓；任何把 $W$ 变成同构的函子 $H$ 都用 $H(f)H(w)^{-1}$ 唯一分解 ✓。\n于是 $\\operatorname{Frac}_{W}(\\mathcal{C}) \\simeq \\mathcal{C}[W^{-1}] = \\mathrm{ho}(\\mathcal{C})$，且 $\\operatorname{Hom}$ 就是分式的商集 ✓。∎\n⚠️ 少了 Ore 或消去条件，局部化仍然存在，但它的 Hom **一般不是**分式的商集 —— 这正是「分式演算」存在的意义。\n\n⭐ **直觉**：Ore 条件说的是「分式能做通分」—— 一个 $W$ 里的态射跟在前面，总能换成一个 $W$ 里的态射跟在后面，于是分式可以统一写成「先逆一个、再走一个」的**单分式** $f \\circ w^{-1}$，复合起来才封得住。消去条件保证「等价」这件事本身是好的。\n\n**与环论对照**：这正是交换环里**局部化** $S^{-1}A$（$S$ 是乘性子集）的那个条件；那里的「分式」$a/s$ 就是这里的分式，Ore 条件在交换的情形自动成立。\n\n⚠️ 局部化**总是存在**（上一条），但**不总是**能这样具体算 —— 分式演算是一条足够好用的**充分**条件。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "def.normal-space", "type": "definition", "label": "正规空间", "title": "正规空间（Normal Space）", "label_en": "normal space", "title_en": "Normal Space", "en_page": "nodes/def.normal-space.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 6, "tags": [ "拓扑", "分离公理", "正规", "闭集" ], "statement": "拓扑空间 $X$ 叫**正规的**，如果它是 $T_{1}$ 的，并且任意两个**不交闭集** $A, B$ 都能被开集分开：存在开集 $U \\supseteq A$、$V \\supseteq B$ 使 $U \\cap V = \\emptyset$。\n\n把「不交闭集」换成「一点与不含该点的闭集」，得到的是**正则**空间；再换成「两点」，得到的就是 **Hausdorff**。", "notes": "**分离公理的层级**（都是往上加强）：\n\n\n\n- $T_{1}$：单点是闭集；\n- Hausdorff：两点可被开集分开；\n- 正则：点与不含它的闭集可分开 $\\implies$ Hausdorff；\n- **正规**：两个不交闭集可分开 $\\implies$ 正则。\n\n\n\n**紧 Hausdorff $\\implies$ 正规**（这是紧性最常用的一个推论：两个不交闭集在紧空间里能被有限多个开集对分开）。所以 $[0,1]$、$\\beta I$ 这些空间都是正规的 —— 于是 Urysohn 引理在那里永远能用。\n\n⚠️ **正规性不是遗传的**：正规空间的子空间未必正规。这一点与「紧」「Hausdorff」都不同。", "refs": [ "Munkres, Topology" ] }, { "id": "lem.urysohn", "type": "lemma", "label": "Urysohn 引理", "title": "Urysohn 引理", "label_en": "Urysohn", "title_en": "Urysohn", "en_page": "nodes/lem.urysohn.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 15, "tags": [ "拓扑", "正规", "连续函数", "Urysohn" ], "statement": "设 $X$ 是拓扑空间。则 $X$ **正规** $\\iff$ 对任意两个不交闭集 $A, B \\subseteq X$，存在连续函数\n\n$$f : X \\longrightarrow [0, 1], \\qquad f|_{A} \\equiv 0, \\qquad f|_{B} \\equiv 1.$$", "notes": "⭐ **它的意义是：正规性 = 「连续函数足够多」。** 光是「闭集能被开集分开」还是纯拓扑的说法；Urysohn 引理把它换成了**一个函数** —— 从此可以拿实数来量拓扑，分析才接得上。\n\n**证明的走法（「二分法」造 $f$）。** 先在两个闭集之间造一列开集：对每个二进有理数 $q \\in [0,1]$ 给一个开集 $U_{q}$，使\n\n\n\n$$A \\subseteq U_{q} \\subseteq \\overline{U_{q}} \\subseteq U_{q'} \\quad (q < q'),$$\n\n\n\n这一步只用正规性（每一步都是「不交闭集被开集分开」）。然后令\n\n\n\n$$f(x) := \\inf\\{\\, q : x \\in U_{q} \\,\\}$$\n\n\n\n（$x \\notin$ 任何 $U_{q}$ 时取 $1$）。由那列开集的**单调夹逼**可以验证 $f$ 连续，且 $f|_{A} = 0$、$f|_{B} = 1$。反方向是直接的：$f^{-1}[0, 1/2)$ 与 $f^{-1}(1/2, 1]$ 就是分开 $A, B$ 的开集。∎\n\n**用途**：它是 **Tietze 扩张定理**（把闭子集上的连续实函数扩到整个空间）的前置，而 Tietze 又是「实 Banach 空间在紧 Hausdorff 空间上零调」那条的引擎 —— 那条链最终通到凝聚态上同调。", "refs": [ "Munkres, Topology" ] }, { "id": "def.topo-ab-group", "type": "definition", "label": "拓扑阿贝尔群", "title": "拓扑阿贝尔群与连续同态（Topological Abelian Group）", "label_en": "topological abelian group", "title_en": "Topological Abelian Group", "en_page": "nodes/def.topo-ab-group.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "topology" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态", "拓扑阿贝尔群", "连续同态", "紧开拓扑" ], "statement": "**拓扑阿贝尔群** $(M, +, \\tau)$ 是一个**阿贝尔群** $M$ 连带一个拓扑 $\\tau$，使运算连续：\n\n$$+ : M \\times M \\longrightarrow M, \\qquad - : M \\longrightarrow M.$$\n\n两个拓扑阿贝尔群之间的**连续同态**记作\n\n$$C_{\\mathbb{Z}}(M, N) \\;\\subseteq\\; C(M, N),$$\n\n右边带**紧开拓扑**，左边取**子空间拓扑**。", "notes": "⭐ **为什么用 $C_{\\mathbb{Z}}$ 这个记号**：$\\mathbb{Z}$ 提醒你这些是 $\\mathbb{Z}$-模（也就是阿贝尔群）的同态，不是随便的连续映射。\n\n**与内部 Hom 的关系**：$M$ **紧生成**时 $C_{\\mathbb{Z}}(M, N) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)$ —— 见下一条命题。（这是「测试够了」的又一个红利。）\n\n⚠️ **两个容易掉进去的坑**（专门点出来）：\n\n\n\n- $\\underline{M} \\mapsto M$ 那条通道**没有明显的伴随**，因为函子 $X \\mapsto X(\\bullet)$（取底拓扑空间）**不保积**；\n- 就算 $M$ 是拓扑阿贝尔群，$kM$ **一般也不是**拓扑阿贝尔群 —— 因为紧生成空间对（拓扑空间的）积不封闭。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §6.2" ] }, { "id": "prop.abtop-to-abcond", "type": "proposition", "label": "拓扑阿贝尔群嵌入凝聚态", "title": "$\\mathbf{AbTop} \\to \\mathrm{AbCond}$ 保所有极限", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态", "拓扑阿贝尔群", "忠实函子", "保极限" ], "statement": "存在**保所有极限**的**忠实**函子\n\n$$\\mathbf{AbTop} \\longrightarrow \\mathrm{AbCond}, \\qquad M \\longmapsto \\underline{M}.$$\n\n它在**紧生成**阿贝尔群这一部分上是**全忠实**的。", "notes": "**构造**：一个拓扑阿贝尔群 $M$ 给出凝聚态阿贝尔群\n\n\n\n$$\\underline{M} : S \\longmapsto C(S, M),$$\n\n\n\n即「从紧 Hausdorff 空间 $S$ 到 $M$ 的连续映射集」（逐点加法）。因为 $M$ 是拓扑阿贝尔群、$C(S, M)$ 按逐点加法是阿贝尔群，这是阿贝尔群值预层；层条件是「粘合连续映射」，成立。\n\n**保所有极限**来自定理「$\\mathbf{Top} \\to \\mathrm{Cond}$ 保有限积」：凝聚态里的极限逐点算，而连续映射的极限在 $\\mathbf{Top}$ 里算和逐点算一致。\n\n⭐ **这一条的实际用途**：把拓扑问题搬进凝聚态这一侧，用那里的同调代数（长正合列、求导函子）去算，再搬回来。**代价是丢失信息** —— 忠实但不一定满，所以「凝聚态地相等」比「拓扑地相等」更弱。\n\n**证明（照书：形式上来自「拓扑空间到凝聚态集」那条定理）。** 对拓扑阿贝尔群 $M$，记 $\\underline{M}(S) := C(S, M)$，逐点取加法，得到 $\\mathrm{CondAb}$ 的对象 ✓（层条件是「连续映射的粘合」，逐点成立）。\n- **忠实**：$f \\ne g : M \\to N$ 时取一点 $m$ 使 $f(m)\\ne g(m)$，则在 $\\underline{M}(\\bullet)$ 上 $f,g$ 已经不同 ✓（用测试对象 $\\bullet$ 这一个点就够）。\n- **保所有极限**：凝聚态侧的极限逐项计算，而 $C\\bigl(S, \\varprojlim_{i} M_{i}\\bigr) = \\varprojlim_{i} C(S, M_{i})$ —— 拓扑阿贝尔群的极限（积 / 核 / 等化子）里「连续映射由各分量连续决定」✓。逐项取极限得到的仍是层，故它就是 $\\mathrm{CondAb}$ 里的极限 ✓。\n- **紧生成那一部分全忠实**：由 $\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{Cond}}(\\underline{X}, \\underline{Y}) = C(X, Y)$（紧生成情形，见「内部 Hom 的函数空间刻画」），把 $X, Y$ 取成紧生成的拓扑阿贝尔群、并把同态条件一并带上即得。∎\n⚠️ **反向没有伴随**：函子 $X \\mapsto X(\\bullet)$ 不保积（$\\mathrm{CGWH}$ 不是对任意积封闭），所以这个嵌入没有现成的伴随 —— 这也是「凝聚态地相等更弱」的技术原因。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 6.2.1" ] }, { "id": "prop.continuous-hom-condensed", "type": "proposition", "label": "连续同态与内部 Hom", "title": "$C_{\\mathbb{Z}}(M,N) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M,N)$（$M$ 紧生成）", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态", "连续同态", "内 Hom", "紧生成" ], "statement": "若 $M, N$ 是两个拓扑阿贝尔群、且 $M$ **紧生成**，则存在凝聚态阿贝尔群的自然同构 $C_{\\mathbb{Z}}(M, N) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)$。", "notes": "**证明。** 记左边的凝聚态阿贝尔群为 $S \\mapsto C(S, C_{\\mathbb{Z}}(M,N))$。对紧 Hausdorff 的 $S$，两边逐项算：\n- 右边：\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\underline{M},\\underline{N})(S) = \\operatorname{Hom}\\bigl(S, \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\underline{M},\\underline{N})\\bigr) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\underline{M},\\ \\operatorname{Hom}(S, \\underline{N})\\bigr) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\underline{M},\\ C(S, N)\\bigr) = C_{\\mathbb{Z}}\\bigl(M,\\ C(S,N)\\bigr),$$\n第二步是 $(S, -)$ 与内部 Hom 的伴随，最后一步用「$M$ 紧生成时 $\\underline{M}$ 是全忠实嵌入」（上一条）；\n- 左边：$C_{\\mathbb{Z}}(M,N)(S) = \\operatorname{Hom}\\bigl(S, C_{\\mathbb{Z}}(M,N)\\bigr) = C\\bigl(S,\\ C_{\\mathbb{Z}}(M,N)\\bigr)$；\n- 两端之间由**指数律**（紧生成 / 局部紧下成立）搭桥：\n$$C\\bigl(M,\\ C(S,N)\\bigr) \\cong C(M\\times S,\\ N) \\cong C\\bigl(S,\\ C(M,N)\\bigr).$$\n三条串起来就是所要的自然同构（同态条件在指数律下逐点对应）。∎\n⭐ **前提「$M$ 紧生成」的作用**：只有这时 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\underline{M}, -)$ 才真的量的是「连续同态」；一般拓扑阿贝尔群上，凝聚态 Hom 比连续同态**多**（可以「逐块拼」出连续而整体不连续的东西）。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 6.2.2" ] }, { "id": "prop.exact-sequence-topo-ab", "type": "proposition", "label": "拓扑阿贝尔群正合列的搬运", "title": "拓扑正合列 $\\implies$ 凝聚态正合列", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 19, "tags": [ "凝聚态", "正合列", "弱 Hausdorff", "紧子集" ], "statement": "设\n\n$$0 \\longrightarrow M' \\xrightarrow{\\;u\\;} M \\xrightarrow{\\;v\\;} M'' \\longrightarrow 0$$\n\n是拓扑阿贝尔群的**正合列**，$M''$ **弱 Hausdorff**，并且满足：\n\n**（紧提升条件）** 对每个紧 Hausdorff $K'' \\subseteq M''$，存在紧 Hausdorff $K \\subseteq M$ 使 $K'' \\subseteq v(K)$。\n\n则凝聚态阿贝尔群的正合列\n\n$$0 \\longrightarrow \\underline{M'} \\xrightarrow{\\;\\underline{u}\\;} \\underline{M} \\xrightarrow{\\;\\underline{v}\\;} \\underline{M''} \\longrightarrow 0$$\n\n也正合。", "notes": "左正合是自动的（上一条函子保所有极限）；右端要的是「$\\underline{v}$ 是满态射」，而凝聚态里满态射的判据就是「对自由紧 Hausdorff 空间逐点满」，于是归结为紧提升条件。\n\n📌 **局部紧时紧提升条件自动满足** —— 所以对局部紧阿贝尔群，正合列可以整条搬过去。\n\n**证明。**\n- **左正合**：函子 $M\\mapsto\\underline{M}$ 保所有极限（上一条），于是 $0\\to\\underline{M'}\\to\\underline{M}$ 正合、且 $\\underline u$ 是单射 ✓。\n- **中段的像 = 核**：$v\\circ u = 0$ 逐点成立；反向「$v(m) = 0 \\implies m\\in u(M')$」逐点由拓扑正合列给出 ✓。\n- **右端满**：由满态射判据（在自由紧 Hausdorff 对象上逐点满），取自由 $F$ 与 $y : F \\to M''$。$y(F)$ 是 $M''$ 里的**紧 Hausdorff** 子集（$F$ 紧、$M''$ 弱 Hausdorff 故 $y(F)$ 闭且 Hausdorff）；由**紧提升条件**取紧 Hausdorff $K\\subseteq M$ 使 $y(F)\\subseteq v(K)$。对每点挑一个原像，得到映射 $F\\to K\\to M$；连续性由「$v$ 在紧块上是商映射」（拓扑正合列里 $v$ 是商映射，限制到$K$、$y(F)$ 上仍是商映射）给出。于是 $y$ 在图下提升，$\\underline v(F)$ 满 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 6.2.3" ] }, { "id": "prop.lc-ab-preabelian", "type": "proposition", "label": "局部紧阿贝尔群不是阿贝尔范畴", "title": "局部紧 Hausdorff 阿贝尔群：预阿贝尔但非阿贝尔", "label_en": "pre-abelian", "title_en": "pre-abelian", "en_page": "nodes/prop.lc-ab-preabelian.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "topology" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态", "局部紧", "预阿贝尔", "严格态射" ], "statement": "局部紧 Hausdorff 阿贝尔群构成的范畴是**预阿贝尔**的，但**不是阿贝尔**范畴。\n\n具体地：核 = 通常的核带子空间拓扑；余核 = 商群 $N/f(M)$ 带商拓扑；但态射**不必是严格的** ——\n\n$$\\mathrm{id} : \\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}} \\longrightarrow \\mathbb{R}$$\n\n（同一个群，一个取离散拓扑、一个取通常拓扑）就不是严格的。", "notes": "⭐ 这条说明「拓扑阿贝尔群」这个范畴**不够好**：没法在里面做同调代数。这正是要把它搬进凝聚态那侧的理由 —— 那边是 Grothendieck 范畴，要什么有什么。\n\n**为什么核余核都造得出还是不行。** 阿贝尔范畴要求「每个单态射都是某个态射的核」（等价地：单态射与其余核的核同构，即**严格**）。$\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}} \\to \\mathbb{R}$ 是单态射（它同构于自己的像），但它的余核是 $0$ —— 像在余核里被整个商掉了。于是「余核的核」不是原来的对象，严格性破掉。\n\n**证明。**\n- **预阿贝尔**：有有限积与有限余积（积 = 积群配积拓扑；余积 = 直和配「余积拓扑」）、核与余核都存在 —— 核是通常的核配**子空间拓扑**；余核是 $N/f(M)$ 配**商拓扑**（商群配商拓扑仍是局部紧 Hausdorff，因为 $f(M)$ 未必闭、商掉的是它的闭包……取 $N/\\overline{f(M)}$ 的那一套标准处理）✓。\n- **不是阿贝尔**：取 $\\mathrm{id} : \\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}} \\to \\mathbb{R}$。它连续（离散拓扑比欧氏拓扑细）且是单射，故是单态射；它的**余核** $\\mathbb{R}/\\mathbb{R} = 0$。而阿贝尔范畴要求单态射是**严格的**，即 $f = \\ker(\\operatorname{coker} f)$ —— 这里 $\\ker(0) = \\mathbb{R}$，但 $\\ker(0)$ 要带的拓扑是欧氏拓扑，而 $\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}$ 不是它，二者**同构但不相等**（作为拓扑群的态射不同构）✗。∎\n（等价的说法：$\\mathrm{id}$ 同构于它的像，但不是「余核的核」，于是单满分解不是严格的。）", "refs": [ "Le Stum, Exercise 6.4" ] }, { "id": "def.pontryagin-dual", "type": "definition", "label": "Pontryagin 对偶", "title": "Pontryagin 对偶（Pontryagin Dual）", "label_en": "Pontryagin dual", "title_en": "Pontryagin Dual", "en_page": "nodes/def.pontryagin-dual.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态", "Pontryagin", "对偶", "圆群" ], "statement": "记**圆群**\n\n$$\\mathbb{T} := \\{\\, z \\in \\mathbb{C} : |z| = 1 \\,\\}.$$\n\n拓扑阿贝尔群 $M$ 的 **Pontryagin 对偶**是\n\n$$\\widehat{M} := C_{\\mathbb{Z}}(M, \\mathbb{T}),$$\n\n即从 $M$ 到 $\\mathbb{T}$ 的连续群同态全体，带紧开拓扑。", "notes": "**为什么是 $\\mathbb{T}$**：它是**紧**的 $T_{1}$ 群，也是最简单的「能承载全部特征标」的群。对偶群因此自动是紧的（当 $M$ 离散时）—— 这就是「对偶把大小反过来」的机制。\n\n**两个基本例子**（都可以直接算）：$\\widehat{\\mathbb{Z}} \\cong \\mathbb{T}$，$\\widehat{\\mathbb{T}} \\cong \\mathbb{Z}$ —— 对偶把离散的整数群换成紧的圆群，反过来也一样。第三个例子 $\\widehat{\\mathbb{R}} \\cong \\mathbb{R}$ 由 Fourier 变换给出：$y \\mapsto e^{2\\pi i xy}$ 的每个连续特征标都长这样。\n\n⭐ **对偶到底把什么换成了什么，有两条独立的命题**：\n\n\n\n- 「离散与紧 Hausdorff 互换」—— 讲的是**拓扑性质**怎么翻；\n- 「挠与 Stonean、无挠与连通」—— 讲的是**代数性质**怎么翻。\n\n\n\n两张字典合起来才是完整的「用拓扑来读代数」，也是凝聚态数学「用紧 Hausdorff 空间测一切」这一思路的来源。", "refs": [ "Le Stum, §6.2" ] }, { "id": "thm.pontryagin-van-kampen", "type": "theorem", "label": "Pontryagin–van Kampen 对偶", "title": "Pontryagin–van Kampen 对偶定理", "label_en": "Pontryagin-van Kampen", "title_en": "Pontryagin-van Kampen", "en_page": "nodes/thm.pontryagin-van-kampen.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "topology" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态", "Pontryagin", "自等价", "局部紧" ], "statement": "函子\n\n$$M \\longmapsto \\widehat{M} := C_{\\mathbb{Z}}(M, \\mathbb{T}),$$\n\n是**局部紧 Hausdorff 阿贝尔群**范畴上的**自等价**（而且是自伴随的等价）。\n\n特别地，$\\widehat{M}$ 仍局部紧 Hausdorff，并且**双重对偶回到自己**：$\\widehat{\\widehat{M}} = M$。", "notes": "**「自伴随的等价」是什么意思**：$M \\mapsto \\widehat{M}$ 既是 $M \\mapsto \\widehat{M}$ 的左伴随又是它的右伴随（对偶函子与自己的伴随关系，配对由取值映射 $M \\times \\widehat{M} \\to \\mathbb{T}$ 给出）。\n\n**整条正合列都对偶过去**：如果 $0 \\to M' \\to M \\to M'' \\to 0$ 是局部紧阿贝尔群的（严格）正合列，那么对偶之后 $0 \\to \\widehat{M''} \\to \\widehat{M} \\to \\widehat{M'} \\to 0$ 仍正合 —— **箭头全部转向**。这是「自等价保结构」的直接好处：群论问题可以在对偶那边做，再翻回来。\n\n**几个必记的对应**：$\\widehat{\\mathbb{R}} \\cong \\mathbb{R}$（Fourier 变换）；$\\widehat{\\mathbb{Z}} \\cong \\mathbb{T}$ 与 $\\widehat{\\mathbb{T}} \\cong \\mathbb{Z}$（互相换）；有限维实 Banach 空间上的对偶退化成通常的线性对偶（实 Banach 空间局部紧 $\\iff$ 有限维）。\n\n⭐ **这一条是凝聚态阿贝尔群那套理论的原型**：把 $\\mathbb{T}$ 换成别的测试对象、把「局部紧」换成别的条件，就得到各种对偶（Tannaka、Gelfand……）。凝聚态数学把「$\\mathbb{T}$ 换成 CHaus 上的层」升了一次维。\n\n**证明（按三类情形拼起来）。**\n- **$M$ 离散**：经典 Pontryagin 对偶。先取满射 $\\mathbb{Z}^{(I)} \\twoheadrightarrow M$，对偶后得闭嵌入 $\\widehat M \\hookrightarrow \\mathbb{T}^{I}$，故 $\\widehat M$ 紧；求值 $M \\to \\widehat{\\widehat M}$ 在有限群与有限生成群上用初等计算验证，再用「$M$ 是有限生成子群的滤过余极限 + 对偶把余极限变成逆极限 + 两边都正合」取极限即得同构 ✓。\n- **$M$ 紧**：$\\widehat M$ 离散（见「离散与紧 Hausdorff 互换」）；对紧群用**特征标分离点**（Pontryagin 的经典论证：紧阿贝尔群的特征标构成足够的分离族，用 Peter–Weyl / 有限维表示论给出），得求值 $M \\to \\widehat{\\widehat M}$ 单；再用前一情形与紧的 $M$ 的对偶离散，把单射性与满性补全 ✓。\n- **$M$ 一般局部紧**：用结构定理——$M$ 含开子群 $V\\oplus K$（$V$ 有限维实向量空间、$K$ 紧）、其余商 $D$ 离散。对群 $V$、$K$、$D$ 分别已知对偶自等价，而三者通过正合列拼起来、对偶把正合列翻成正合列（箭向反转），五引理把中间的求值映射夹成同构 ✓。\n- **自伴随**：配对 $M\\times\\widehat M \\to \\mathbb{T}$（取值）给出伴随 $\\operatorname{Hom}(\\widehat M, N) \\cong \\operatorname{Hom}(M, \\widehat N)$，把 $M$ 换成 $\\widehat M$ 再用两次自等价即得 ✓。∎\n**标准出处**：Morris, *Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups*。", "refs": [ "Le Stum, Theorem 6.2.4", "Morris, Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups" ] }, { "id": "def.ring", "type": "definition", "label": "环", "title": "环与交换环（Ring）", "label_en": "ring", "title_en": "ring", "en_page": "nodes/def.ring.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 7, "tags": [ "代数", "环", "交换环" ], "statement": "设 $A$ 是**集合**，$+$ 与 $\\cdot$ 是 $A$ 上的两个**二元运算**。称 $(A, +, \\cdot)$ 是一个**环**，当且仅当：\n\n- $(A, +)$ 是**阿贝尔群**；\n- $(A, \\cdot)$ 满足**结合律**（不要求单位元，也不要求交换）；\n- **分配律** $a(b + c) = ab + ac$、$(a + b)c = ac + bc$ 成立。\n\n乘法还交换的环叫**交换环**；再要求有乘法单位元 $1 \\ne 0$ 的环叫**含幺环**。", "notes": "⭐ **又是「集合 + 运算 + 公理」**，而且这一层直接**引用**了下面的阿贝尔群：加法那一组公理不再重写，一句话带过。\n\n**与域对照**：域要求每个非零元可逆（$(F\\setminus\\{0\\}, \\cdot)$ 是阿贝尔群），环**不要求**。所以域是环中的一个特例，$\\mathbb{Z}$ 是环但不是域 —— 这正是「域」那条定义里 $\\mathbb{Z}$ 反例的来源。", "refs": [ "Lang, Algebra, Ch. II", "Dummit & Foote, Abstract Algebra, §7.1" ] }, { "id": "def.ideal", "type": "definition", "label": "理想", "title": "理想与商环（Ideal）", "label_en": "ideal", "title_en": "ideal", "en_page": "nodes/def.ideal.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 9, "tags": [ "代数", "环", "理想", "商环" ], "statement": "设 $A$ 是环。子集 $I \\subseteq A$ 叫**（双边）理想**，如果 $(I, +)$ 是加法子群，并且对一切 $a \\in A$、$x \\in I$ 有\n\n$$a x \\in I \\quad \\text{与} \\quad x a \\in I.$$\n\n（只要求 $a x \\in I$ 的叫**左理想**，只要求 $x a \\in I$ 的叫**右理想**；交换环里三者一致。）\n\n商集 $A/I$（按加法陪集）上的乘法 $(a + I)(b + I) := ab + I$ 良定义，得到的环叫**商环**。", "notes": "**为什么理想这样定义。** 与正规子群一模一样的问题：想在商集上定义乘法，就要让 $(a + I)(b + I)$ 与代表元无关。算一下 $(a + x)(b + y) = ab + ay + xb + xy$ —— 后面三项都得落在 $I$ 里。$xy \\in I$ 由「$I$ 是子群」保证不了，必须**额外要求**。\n\n⭐ **对照表**：群要商出**群**，商掉的是**正规子群**；环要商出**环**，商掉的是**理想**。（$I$ 作为加法子群当然自动正规 —— 加法群是阿贝尔群 —— 所以那一边不用另加条件。）\n\n**主理想** $(a) := \\{\\, xa : x \\in A \\,\\}$（交换环里就是 $a$ 的倍数全体）。$A/(a)$ 是「把 $a$ 当成 $0$」造出来的环；$\\mathbb{Z}/(n) = \\mathbb{Z}/n\\mathbb{Z}$ 就是模 $n$ 同余。", "refs": [ "Lang, Algebra" ] }, { "id": "def.module", "type": "definition", "label": "模", "title": "模与模同态（Module）", "label_en": "module", "title_en": "Module", "en_page": "nodes/def.module.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 8, "tags": [ "代数", "模", "环", "同态" ], "statement": "设 $A$ 是含幺环、$M$ 是**阿贝尔群**。称 $M$ 是一个 **$A$-模**，如果给定了一个映射\n\n$$A \\times M \\longrightarrow M, \\qquad (a, m) \\longmapsto a \\cdot m,$$\n\n满足 $a(bm) = (ab)m$、$(a + b)m = am + bm$、$a(m + n) = am + an$、$1 \\cdot m = m$。\n\n保持这个作用的加法群同态叫 **$A$-模同态**：$f(am) = a f(m)$。全体 $A$-模与模同态构成范畴 $A\\text{-}\\mathbf{Mod}$。", "notes": "⭐ **模 = 阿贝尔群 + 环作用**，所以它同时是「群」和「环」两边的孩子：$\\mathbb{Z}$-模**就是**阿贝尔群（$n \\cdot m$ 只能有一种定义）；域上的模**就是**向量空间。这两句话把「模」放在已知例子的中点。\n\n**$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 为什么是同调代数的样板间**：它同时是\n\n\n\n- **阿贝尔范畴**（有核、余核，单满态射全部严格）；\n- **具有足够多内射对象**（每个模都嵌进内射模）；\n- **具有足够多投射对象**（自由模都是投射的）；\n- **Grothendieck 范畴**（有生成元 $A$ 自己，滤过余极限正合）。\n\n\n\n所以「在 $A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 里能做的」，就是同调代数想推广到一般范畴的东西。**其余范畴能做的事情，都以它为标尺。**", "refs": [ "Lang, Algebra" ] }, { "id": "thm.freyd-mitchell", "type": "theorem", "label": "Freyd–Mitchell 嵌入定理", "title": "Freyd–Mitchell 嵌入定理", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "阿贝尔范畴", "嵌入", "Freyd", "Mitchell" ], "statement": "若 $\\mathcal{C}$ 是**小**阿贝尔范畴，则存在一个环 $A$ 与一个**全忠实**的**正合**函子\n\n$$\\mathcal{C} \\longrightarrow A\\text{-}\\mathbf{Mod}.$$", "notes": "⭐ **它的意义是：追元素这件事为什么是合法的。** 小阿贝尔范畴里的命题，都可以先沿一个全忠实正合函子嵌进 $A\\text{-}\\mathbf{Mod}$，在那边（元素有意义的地方）证完再搬回来。「在一个具体的范畴里追元素」因此是一种合法的推广手段。\n\n⚠️ 但它**不是**证蛇引理、五引理的常规手段 —— 那是大定理，标准证明本身就要在阿贝尔范畴里先搭一套正合性工具，拿它去证那两条是杀鸡用牛刀。那两条有初等的泛性质 / 泛元证明（见各自节点）。\n\n**为什么要求小**：证明要把 $\\mathcal{C}$ 里的对象**做成**模，用的正是「全体 $\\hom$ 集合」的余极限构造；范畴不小的话这些集合是真类，做不成模。\n\n⚠️ **对偶版本**：同样的论证给一个嵌进 $\\mathbf{Mod}\\text{-}A$（右模）的版本；$A$ 不唯一，构造依赖选定的生成元。\n\n**与 Giraud 定理对照**：Giraud 是把**拓扑斯**说成「预层范畴的正合反射子范畴」，Freyd–Mitchell 是把**小阿贝尔范畴**说成「模范畴的全忠实正合子范畴」—— 两条定理是同一个思路（「找一个具体的大范畴把自己装进去」）在不同结构上的版本。", "refs": [ "Freyd, Abelian Categories (1964)", "Mitchell, The full imbedding theorem (1964)" ] }, { "id": "def.connected-category", "type": "definition", "label": "连通范畴", "title": "连通范畴（Connected Category）", "label_en": "connected category", "title_en": "Connected Category", "en_page": "nodes/def.connected-category.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 9, "tags": [ "范畴论", "连通", "共尾", "指标范畴" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 叫**连通的**，如果对任意两个对象 $A, B \\in \\mathcal{C}$，都存在一条**有限锯齿**\n\n$$A = X_{0} \\longrightarrow X_{1} \\longleftarrow X_{2} \\longrightarrow \\cdots \\longleftarrow X_{n} = B,$$\n\n或同样一条但箭头方向相反（$A = X_{0} \\leftarrow X_{1} \\to X_{2} \\leftarrow \\cdots \\to X_{n} = B$）把 $A$ 与 $B$ 连起来。", "notes": "「锯齿」的意思是：每个 $X_{k} \\to X_{k+1}$ 或 $X_{k} \\leftarrow X_{k+1}$ 都得是**真态射**，方向可以来回换，只要首尾接得上。\n\n**空范畴不连通**（它连一个对象都没有）；**单对象范畴连通**（$n = 0$ 的空锯齿就够了）。\n\n⚠️ 与拓扑里的连通**不是一回事**：这里纯粹是「态射图画成的无向图连通」，没有任何开集。\n\n⭐ **为什么需要它**：滤过范畴要求「任意两个对象都有共同的上界」，那是连通性的一种强形式。共尾函子的定义（每个逗号范畴非空**且连通**）里，连通那一条正是用来保证「两条不同的路给出同一个答案」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.cofinal-functor", "type": "definition", "label": "共尾函子", "title": "共尾函子（Cofinal Functor）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "共尾", "cofinal", "final", "余极限" ], "statement": "设 $F : J \\to I$ 是函子。对 $i \\in I$，记 $i \\downarrow F$ 为逗号范畴，它的对象是 $\\{\\, f : i \\to F(j) \\,\\}$（$j \\in J$）。\n\n称 $F$ 是**共尾的**（cofinal，也写作 **final**），如果对每个 $i \\in I$：\n\n$$i \\downarrow F \\quad \\text{非空，且连通。}$$", "notes": "⭐ **直观**：$F$ 的像在 $I$ 里「到处都有、而且没有被隔开」。非空 = 每个 $i$ 都有一条路走到 $F$ 的像里；连通 = 不同的走法之间能互相转换。**满足这两条，$J$ 就在 $I$ 里「铺得足够满」**，沿着它算余极限与沿着整个 $I$ 算是一回事（见下一条）。\n\n**对偶**：把 $i \\downarrow F$ 换成**下**逗号范畴 $F \\downarrow i$（对象是 $\\{\\, f : F(j) \\to i \\,\\}$）得到的条件叫 **coinitial**，它保的是**极限**。\n\n**例子**：$J \\to \\mathbf{1}$ 共尾 $\\iff$ $J$ 连通；有向集沿 $\\le$ 的含入 $\\mathbb{N} \\to \\mathbb{Z}$ 是共尾的；$\\mathcal{C}$ 到它的反射子范畴的含入一般**不是**共尾的（方向反了就看 coinitial）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "thm.cofinal-colimit", "type": "theorem", "label": "共尾函子不改变余极限", "title": "共尾 $\\implies$ 沿 $F$ 算余极限与沿 $I$ 算同构", "label_en": "cofinal colimit", "title_en": "cofinal colimit", "en_page": "nodes/thm.cofinal-colimit.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "共尾", "余极限", "同构" ], "statement": "设 $F : J \\to I$ **共尾**，$D : I \\to \\mathcal{C}$ 是图。若 $\\varinjlim_{j \\in J} D(F(j))$ 存在，则 $\\varinjlim_{i \\in I} D(i)$ 存在，并且\n\n$$\\varinjlim_{j \\in J} D\\bigl(F(j)\\bigr) \\;\\cong\\; \\varinjlim_{i \\in I} D(i).$$", "notes": "**证明的走法**（记 $L = \\varinjlim_{i \\in I} D(i)$，要证 $L$ 也是 $D \\circ F$ 的余极限）：\n\n\n\n- $L$ 显然是 $D \\circ F$ 的余锥（余锥的腿复合一下就到 $D \\circ F$ 上）。\n- 设 $\\{\\, g_{j} : D(F(j)) \\to M \\,\\}$ 是 $D\\circ F$ 的余锥。要对**每个** $i \\in I$ 造一条腿 $p_{i} : D(i) \\to M$：由 $i \\downarrow F$ **非空**，取一条 $f : i \\to F(j)$，令 $p_{i} := g_{j} \\circ D(f)$。\n- **良定义**靠连通性：换一条 $f' : i \\to F(j')$，两个选择 $(j, f)$、$(j', f')$ 由 $i \\downarrow F$ 的连通性被一条锯齿连起来，沿锯齿走一遍交换图，两条腿给出同一个 $p_{i}$。\n- 这样 $M$ 变成 $D$ 的余锥，泛性给出唯一的 $L \\to M$ —— 于是 $L$ 满足 $D \\circ F$ 余锥的泛性质。\n- 反方向由「余锥复合」直接得到。两边互逆。∎\n\n⭐ **用途**：算余极限时可以**把指标范畴换成一个共尾的子范畴**。最常用的一招是把 $\\mathbb{N}$ 换成一个子列、或者把有向集换成它的共尾子集 —— 极限不变。\n\n对偶地：**coinitial** 函子不改变极限。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.filtered-category", "type": "definition", "label": "滤过范畴", "title": "滤过范畴与滤过余极限（Filtered Category）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "滤过", "filtered", "余极限", "有向集" ], "statement": "范畴 $I$ 叫**滤过的**（filtered），如果：\n\n1. **非空**：$I$ 至少有一个对象；\n2. **上界**：对任意 $i, j \\in I$，存在 $k \\in I$ 与态射 $i \\to k$、$j \\to k$；\n3. **余等化**：对任意平行的 $u, v : i \\rightrightarrows j$，存在 $w : j \\to k$ 使 $w \\circ u = w \\circ v$。\n\n等价的说法是：**$I$ 中每个有限图都有余锥。** 沿滤过范畴取的余极限叫**滤过余极限**。", "notes": "**三条 $\\iff$ 有限余锥**：三条正好对应「有限图的余锥存在」的三种情形 —— 空图（就是第 1 条）、两个点（第 2 条）、一对平行箭头（第 3 条）。所以「滤过」=「有限图都有余锥」= **所有信息都能在后面被接住**。\n\n**与有向集的关系**：有向集（偏序集 + 任意两元有上界）看成范畴就是滤过的；反过来，**任何滤过范畴都能换成一个共尾的有向集**（见「滤过范畴可换成有向集」）。所以「滤过余极限」与「沿有向集的余极限」是同一件事。\n\n⭐ **为什么处处要求它**：滤过余极限在 $\\mathbf{Set}$、$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$、$\\mathrm{CondAb}$ 里都**正合**（与有限极限交换），这是 Grothendieck 的 **AB5** 公理，也是同调代数挑范畴时的关键条件。沿一般范畴取余极限没有这条好性质。\n\n⚠️ 与「链」区分：链是**全序**子集，比滤过强；滤过只要求「有共同上界」，任意两元之间不必可比。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "prop.filtered-directed", "type": "proposition", "label": "滤过范畴可换成有向集", "title": "滤过 $\\implies$ 存在共尾的有向集", "label_en": "directed set", "title_en": "directed set", "en_page": "nodes/prop.filtered-directed.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "滤过", "有向集", "共尾", "余极限" ], "statement": "若 $I$ 是**滤过**范畴，则存在**有向集** $J$ 与函子 $u : J \\to I$，使得对任何图 $D : I \\to \\mathcal{C}$：\n\n若 $\\varinjlim_{J} D \\circ u$ 存在，则 $\\varinjlim_{I} D$ 存在，且 $\\varinjlim_{J} D\\circ u \\cong \\varinjlim_{I} D$。", "notes": "**构造**：取 $J$ 为「$I$ 中的有限图连同它选定的一个余锥」组成的集合\n\n\n\n$$J = \\bigl\\{\\, (K,\\ D : K \\to I,\\ i,\\ \\{\\Phi_{k} : D(k) \\to i\\}_{k \\in K}) \\,\\bigr\\},$$\n\n\n\n按「$D'$ 包含 $D$、且存在相容的 $i \\to i'$」排成偏序（滤过性保证任意两个元都有共同上界，所以这确实是个有向集）。令 $u : J \\to I$ 把 $(K, D, i, \\Phi)$ 送到 $i$。\n\n**只需验证 $u$ 共尾**：\n\n\n\n- **非空**：把 $i$ 自己看成一个单点范畴上的图，它当然有余锥，于是 $(\\cdot, i, \\emptyset) \\in J$ 给出 $i \\downarrow u$ 的一个对象。\n- **连通**：给定两个对象 $(j', f')$、$(j'', f'')$，由 $I$ 的滤过性可以把它们的两张有限图并起来、再找一个共同的余锥 $a$，于是 $(j', f') \\leftarrow (a, f) \\to (j'', f'')$ 把它俩连起来。∎\n\n\n\n⭐ **推论**：**滤过余极限 = 沿有向集的余极限**。所以关于「滤过余极限」的定理，只要对有向集这一种最简单的指标范畴证一遍，就自动对一切滤过范畴成立。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 1.4.2" ] }, { "id": "prop.representable-preserves-limits", "type": "proposition", "label": "可表函子保所有极限", "title": "可表函子保所有极限", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "可表函子", "保极限", "米田", "left exact" ], "statement": "若 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathbf{Set}$ **可表**，即 $F \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, -)$，则 $F$ **保所有极限**：对任何图 $D : I \\to \\mathcal{C}$（只要 $\\lim D$ 存在），\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X,\\ \\lim D\\bigr) \\;\\cong\\; \\lim \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X,\\ D(-)\\bigr).$$", "notes": "**证明。** 先证 $h^{X} = \\operatorname{Hom}(X, -)$ 保极限。取 $D : I \\to \\mathcal{C}$，链式：\n\n\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X,\\ \\lim D\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}^{I}}\\bigl(\\underline{\\{0\\}},\\ h^{X} \\circ D\\bigr) \\;\\cong\\; \\lim \\bigl(h^{X} \\circ D\\bigr).$$\n\n\n\n第一式是**极限的定义**（$\\lim D$ 表示锥函子：$\\operatorname{Hom}(\\Delta Y, D) \\cong \\operatorname{Hom}(Y, \\lim D)$，取 $Y = X$）；第二式是「函子范畴里的极限逐点算」。这里 $\\underline{\\{0\\}}$ 是取值恒为 $\\{0\\}$ 的**常函子**（在函子范畴 $\\mathcal{C}^{I}$ 里它才是 $\\operatorname{Hom}$ 的合法对象）。∎\n\n再由 $F \\cong \\operatorname{Hom}(X,-)$，同构的函子保的东西一样，$F$ 也保所有极限。\n\n**一批立刻的推论**：\n\n\n\n- **反变**可表函子 $\\operatorname{Hom}(-, X)$ 把**余极限**变成**极限**（取对偶范畴即得）；\n- $\\operatorname{Hom}(X, -)$ 保**有限**极限这一点，就是说 $X$ 与一切有限极限「相容」。\n\n说一个函子 **left exact**（左正合），指它保所有**有限**极限 —— 所以右正合就是保所有有限余极限，「正合」是两者都对。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ] }, { "id": "def.monoid-object", "type": "definition", "label": "幺半群对象", "title": "幺半群对象（Monoid Object）", "label_en": "monoid object", "title_en": "monoid object", "en_page": "nodes/def.monoid-object.en.md", "region": "category", "regions": [ "category", "algebra" ], "cluster": "cat.algebra", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "代数结构", "幺半群对象", "笛卡尔范畴" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是有**有限积**的范畴（也叫**笛卡尔范畴**），$1$ 是它的终对象。$\\mathcal{C}$ 中的**幺半群对象**是一个对象 $G$ 连同一个**乘法**\n\n$$\\mu : G \\times G \\longrightarrow G$$\n\n与一个**单位** $\\varepsilon : 1 \\to G$，使下面两个方块交换：\n\n$$\\begin{array}{ccc} G\\times G\\times G & \\xrightarrow{\\;\\mu \\times \\mathrm{id}\\;} & G \\times G \\\\[2pt] {\\scriptstyle \\mathrm{id}\\times \\mu}\\big\\downarrow & & \\big\\downarrow{\\scriptstyle \\mu} \\\\[2pt] G \\times G & \\xrightarrow[\\;\\mu\\;]{} & G \\end{array} \\qquad \\begin{array}{ccc} G & \\xrightarrow{\\;\\varepsilon \\times \\mathrm{id}\\;} & G \\times G \\\\[2pt] {\\scriptstyle \\mathrm{id}\\times \\varepsilon}\\big\\downarrow & & \\big\\downarrow{\\scriptstyle \\mu} \\\\[2pt] G \\times G & \\xrightarrow[\\;\\mu\\;]{} & G \\end{array}$$", "notes": "⭐ **格式一模一样**：还是「对象 + 态射 + 公理」，只是**公理从等式换成了交换图** —— 「$a(bc) = (ab)c$」变成了「两个复合态射相等」。集合上的幺半群就是这个定义在 $\\mathcal{C} = \\mathbf{Set}$ 时的样子。\n\n**为什么要求有限积**：乘法要拿「两个自变量」说话，而范畴里「两个」就是积 $G \\times G$；单位要拿「没有自变量」说话，那就是终对象 $1 \\to G$。\n\n**态射**：两个幺半群对象之间的态射 $f : G \\to G'$ 是使 $f \\circ \\mu = \\mu' \\circ (f\\times f)$ 且 $f \\circ \\varepsilon = \\varepsilon'$ 的态射。全体构成范畴 $\\mathrm{Mon}(\\mathcal{C})$。\n\n⚠️ 名字上容易和「$\\mathcal{C}$ 上的预层 / 群层」混：这里说的是**范畴内部**的一个对象带结构（「内部」的意思），不是值在群里的函子。", "refs": [ "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, III.6" ] }, { "id": "def.group-object", "type": "definition", "label": "群对象与阿贝尔群对象", "title": "群对象与阿贝尔群对象（Group Object）", "label_en": "group object", "title_en": "group object", "en_page": "nodes/def.group-object.en.md", "region": "category", "regions": [ "category", "algebra" ], "cluster": "cat.algebra", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "代数结构", "群对象", "阿贝尔群对象", "CondAb" ], "statement": "设 $G$ 是笛卡尔范畴 $\\mathcal{C}$ 里的一个**幺半群对象**。若存在态射\n\n$$\\iota : G \\longrightarrow G$$\n\n使下方方块交换（$\\iota$ 就是「取逆」），则称 $G$ 是 $\\mathcal{C}$ 里的**群对象**：\n\n$$\\begin{array}{ccc} G & \\xrightarrow{\\;(\\iota,\\ \\mathrm{id})\\;} & G \\times G \\\\[2pt] {\\scriptstyle (\\mathrm{id},\\ \\iota)}\\big\\downarrow & & \\big\\downarrow{\\scriptstyle \\mu} \\\\[2pt] G \\times G & \\xrightarrow[\\;\\mu\\;]{} & G \\end{array}$$\n\n再若 $\\mu \\circ \\tau = \\mu$（$\\tau : G \\times G \\to G \\times G$ 是**交换因子**，交换两个分量），则称 $G$ 是**阿贝尔群对象**。", "notes": "记 $\\mathrm{Gr}(\\mathcal{C})$、$\\mathrm{Ab}(\\mathcal{C})$ 为 $\\mathcal{C}$ 中群对象、阿贝尔群对象连同保结构态射构成的范畴。\n\n⭐ **同一套定义，换范畴就换出一整个世界**：\n\n\n\n- $\\mathrm{Ab}(\\mathbf{Set}) = \\mathbf{Ab}$ —— 就是通常的阿贝尔群；\n- $\\mathrm{Ab}(\\mathbf{Top})$ = **拓扑阿贝尔群**（群运算连续）；\n- $\\mathrm{Ab}(\\mathbf{Manifold})$ = 阿贝尔 Lie 群；\n- **$\\mathrm{Ab}(\\mathrm{Cond}) = \\mathrm{CondAb}$** —— 凝聚态阿贝尔群；\n- $\\mathrm{Ab}(\\widehat{\\mathcal{C}})$ = 预层范畴里的阿贝尔群对象。\n\n\n\n⭐⭐ **所以「凝聚态阿贝尔群 = 凝聚态集范畴里的阿贝尔群对象」这句话不是新定义，只是这条定义代进 $\\mathcal{C} = \\mathrm{Cond}$。** 整个星图里「集合 + 运算 + 公理 $\to$ 群 $\to$ 阿贝尔群」那条线，到这一层就和凝聚态那条线接上了。\n\n⚠️ 群对象**不要求**范畴有极限（只用有限积），所以它比「在拓扑斯里做代数」适用范围更广。", "refs": [ "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, III.6" ] }, { "id": "ex.ab-of-categories", "type": "example", "label": "Ab(C) 的例子", "title": "$\\mathrm{Ab}(-)$ 在几个范畴上的样子", "region": "category", "regions": [ "category", "algebra" ], "cluster": "cat.algebra", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "代数结构", "例子", "阿贝尔群对象" ], "statement": "- $\\mathrm{Ab}(\\mathbf{Set}) = \\mathbf{Ab}$；\n- $\\mathrm{Ab}(\\mathbf{Top})$ = **拓扑阿贝尔群**；\n- $\\mathrm{Ab}(\\mathbf{Manifold})$ = 阿贝尔 Lie 群；\n- $\\mathrm{Ab}(\\mathbf{Grp}) = \\mathbf{Ab}$（群对象之间的运算是逐点的）；\n- $\\mathrm{Ab}(\\mathrm{Cond}) = \\mathrm{CondAb}$；\n- $\\mathrm{Ab}(\\widehat{\\mathcal{C}})$ = 预层范畴里的阿贝尔群对象 $\\simeq$ 值在 $\\mathbf{Ab}$ 的预层。", "notes": "⭐ 这张表最有用的一点是**反着读**：想研究拓扑阿贝尔群，就把 $\\mathcal{C}$ 取成 $\\mathbf{Top}$；想研究凝聚态阿贝尔群，就把 $\\mathcal{C}$ 取成 $\\mathrm{Cond}$。**同一个定义、同一套定理（核、余核、正合列……）直接搬**。\n\n⚠️ $\\mathrm{Ab}(\\mathbf{Grp}) = \\mathbf{Ab}$ 这条最容易让人愣一下：群范畴里的群对象**恰好是**阿贝尔群（Eckmann–Hilton 论证）—— 「群」这个结构加在「群」这个范畴上时，会强制交换性。", "refs": [ "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, III.6" ] }, { "id": "prop.ring-localization", "type": "example", "label": "环的局部化 W⁻¹R", "title": "环的局部化（Localization of a Ring）", "label_en": "localization of a ring", "title_en": "Localization of a Ring", "en_page": "nodes/prop.ring-localization.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra", "category" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 11, "tags": [ "代数", "环", "局部化", "分式", "乘性子集" ], "statement": "设 $R$ 是**交换环**，$W \\subseteq R$ 是**乘性子集**（$1 \\in W$，且 $f, g \\in W \\implies fg \\in W$）。\n\n把 $R$ 看作**单对象范畴**：唯一对象 $\\ast$，$\\operatorname{Hom}(\\ast, \\ast) = R$，复合就是乘法。它关于 $W$ 的局部化记作\n\n$$W^{-1}R,$$\n\n元素写成**分式** $r/w$（$r \\in R$、$w \\in W$）。", "notes": "⭐ **这就是范畴局部化最熟悉的一个例子。** 「把 $W$ 里的元素变成可逆元」这句话，在单对象范畴里就是「把 $W$ 里的态射变成同构」—— 和第「局部化」那条定义是同一件事。\n\n**等价关系**：分式之间按\n\n\n\n$$r/w = r'/w' \\iff \\exists s \\in W,\\quad s\\,(rw' - r'w) = 0$$\n\n\n\n相等（那个 $s$ 是必要的：$W$ 里可能有零因子，不加 $s$ 会出错）。运算是通常的分数运算 $r/w + r'/w' = (rw' + r'w)/(ww')$、$(r/w)(r'/w') = rr'/(ww')$ —— 分母乘起来还在 $W$ 里，这正是**乘性子集**这个条件的用处。\n\n**两个标准例子**：$R = \\mathbb{Z}$、$W = \\mathbb{Z} \\setminus \\{0\\}$ 给出 $\\mathbb{Q}$；$R$ 一般、$W = \\{f^{n} : n \\ge 0\\}$ 给出「在 $f$ 处局部化」，把 $f$ 变成可逆元。\n\n⭐ **为什么要求 $W$ 乘性封闭**：不封闭的话分式之间没法相乘（分母不落在 $W$ 里），局部化的泛性质（它是「使 $W$ 中元素可逆」的最一般的环）就构造不出来。", "refs": [ "Lang, Algebra" ] }, { "id": "prop.localization-hom-colim", "type": "proposition", "label": "局部化的 Hom 是滤过余极限", "title": "$\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{ho}}(X,Y) = \\varinjlim_{X' \\to X \\in W} \\operatorname{Hom}(X', Y)$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "局部化", "分式演算", "余极限", "Ore 条件" ], "statement": "设小范畴 $\\mathcal{C}$ 关于 $W$ 容许**右分式演算**。则\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{ho}(\\mathcal{C})}(X, Y) \\;=\\; \\varinjlim_{X' \\to X \\in W} \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X', Y),$$\n\n下标遍历所有 $w : X' \\to X$（$w \\in W$），沿这些 $w$ 取**滤过**余极限。", "notes": "**证明。** 沿用分式的写法：$\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{ho}}(X, Y)$ 的元素是分式 $X \\xleftarrow{w} X' \\xrightarrow{f} Y$（$w \\in W$）在等价关系下的类。\n- **做成余极限**：记 $J$ 是以 $(w : X'-\\!\\!\\to X) \\in W$ 为对象、以「$v : X''-\\!\\!\\to X'$ 且 $wv \\in W$」为态射的范畴，则\n$$\\varinjlim_{(X'\\to X)\\in J}\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X', Y)$$\n的元素正是「在某个 $X'$ 上取一个 $f$，两个代表元在更小的 $X''$ 上相同就算同一个」—— 与分式的等价关系逐条对齐 ✓。\n- **$J$ 是滤过的**：给两个对象 $w_{1} : X_{1}\\to X$、$w_{2} : X_{2}\\to X$，由 **Ore 条件 2**（把 $w_{2}$ 提到 $w_{1}$ 前面）得到 $X''$ 同时映到 $X_{1}$ 与 $X_{2}$，且两条复合都在 $W$ 里 —— 这就是余锥 ✓；两个平行态射的等化同样由 Ore 条件给出 ✓。\n- 于是该余极限是**滤过**余极限，且它就是 $\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{ho}}(X,Y)$ ✓。\n于是局部化的 Hom「原则上无从下手」，在分式演算成立时变成一个可以计算的滤过余极限 ✓。∎\n\n⭐ **把「形式添加的逆」变成具体的余极限。** 局部化的态射本来是「向右走一步、向左倒一步」的锯齿链，一般没法直接算；右分式演算保证了可以**通分**：找一个大一点的 $X'$ 把几条链对齐，于是所有态射都可以看成「先在 $X'$ 上走一步、再倒回 $X$」，也就是 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X', Y)$ 里的一个元素。\n\n**为什么是余极限**：不同的 $X' \\to X$ 给的是同一族态射的不同「表示」，取余极限正是「把这些表示粘起来」；而 Ore 条件保证这些 $X' \\to X$ 组成的指标范畴是**滤过**的（任意两个都能被第三个同时压住），所以这个余极限是滤过余极限 —— 行为良好。\n\n⭐ **实用价值**：这一条把局部化的 Hom 集合**算成**原范畴里已知东西的滤过余极限。导出范畴 $D(\\mathcal{A})$ 里算 $\\operatorname{Hom}$ 就是从这一步开始的。\n\n⚠️ 没有分式演算时余极限**一般不对** —— 那时 $\\mathrm{ho}(\\mathcal{C})$ 的 Hom 可能连集合都不是。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "prop.sieve-covering-equivalent", "type": "proposition", "label": "覆盖筛的四条等价", "title": "覆盖筛的等价刻画（$\\widetilde{R} \\simeq \\underline{X}$）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 19, "tags": [ "范畴论", "层", "筛", "覆盖", "层化" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site，$X \\in \\mathcal{C}$，$R$ 是 $X$ 上的一个**筛**。则下列四条等价：\n\n1. $R \\in J(X)$（即 $R$ 是 $X$ 上的**覆盖筛**）；\n2. $\\widetilde{R} \\simeq \\underline{X}$；\n3. $\\underline{X} \\simeq \\varinjlim_{Y \\in \\mathcal{C}/R} \\underline{Y}$；\n4. $\\coprod_{Y \\in \\mathcal{C}/R} \\underline{Y} \\longrightarrow \\underline{X}$ 是**满态射**。", "notes": "记号：$\\underline{X} := \\widetilde{h_{X}}$ 是 $X$ 对应的**层**；$\\mathcal{C}/R$ 是由「筛 $R$ 里的那些态射」组成的范畴（对象是 $f \\in R(Y)$，态射是使 $\\ast$ 交换的那些 $g$）。\n\n⭐ **读法**：第 1 条是「$R$ 被拓扑 $J$ 承认」，第 2、3、4 条都**只提到层**。所以这一条说的是：**「是不是覆盖」这件事可以由层来刻画，不必回头看 $J$。** 这正是「拓扑 $\\leftrightarrow$ 层范畴」那条对应能够一一对上的原因。\n\n**证明走法。** 合成 $R \\hookrightarrow h_{X} \\to \\widetilde{h_{X}} = \\underline{X}$ 唯一地延拓出 $u : \\widetilde{R} \\to \\underline{X}$（层化是左伴随，层是余完备的）。\n\n\n\n- **$1 \\implies 2$**：$R \\in J(X)$ 时 $R \\to \\widetilde{R}$ 又由**层化的粘合公理**唯一延拓出 $v : \\underline{X} = \\widetilde{h_{X}} \\to \\widetilde{R}$；把 $v \\circ u$ 与 $u \\circ v$ 分别与 $R \\to \\widetilde{R}$、$h_{X} \\to \\underline{X}$ 比较，由延拓的**唯一性**它们分别是 $\\mathrm{id}_{\\widetilde{R}}$ 与 $\\mathrm{id}_{\\underline{X}}$，故 $u$ 是同构。\n- **$2 \\implies 1$**：设 $u$ 是同构。由**传递性公理**，只要造出一个 $R' \\in J(X)$ 使每个 $f \\in R'(Y)$ 都有 $f^{-1}(R) \\in J(Y)$ 就够了。由 2 有 $h_{X} \\to \\underline{X} \\cong \\widetilde{R} = \\mathcal{H}(\\mathcal{H}(R))$，于是可造出 $R' \\in J(X)$ 与 $\\varphi : R' \\to \\mathcal{H}(R)$。对 $f \\in R'(Y)$，它在 $\\mathcal{H}(R)(Y)$ 里的像来自某个 $S \\to R$（$S \\in J(Y)$）—— 沿 $h_{Y} \\to R' \\to \\mathcal{H}(R)$ 走一圈可知 $S \\subseteq f^{-1}(R)$，于是 $f^{-1}(R) \\in J(Y)$。再用一次传递性，得 $R \\in J(X)$。\n- **$2 \\iff 3$**：由「层化是左 Kan 延拓」（$\\sharp T = \\varinjlim_{X \\in \\mathcal{C}/T} \\underline{X}$）取 $T = R$，得 $\\widetilde{R} = \\sharp R = \\varinjlim_{Y \\in \\mathcal{C}/R} \\underline{Y}$。于是「$\\widetilde{R} = \\underline{X}$」与「$\\underline{X} = \\varinjlim_{Y \\in \\mathcal{C}/R} \\underline{Y}$」是同一句话。\n- **$3 \\implies 4$**：余极限是余积的**商** —— 自然映射 $\\coprod_{Y \\in \\mathcal{C}/R} \\underline{Y} \\to \\varinjlim_{Y} \\underline{Y}$ 总是满态射；3 成立时右端就是 $\\underline{X}$。\n- **$4 \\iff 2$**：靠一个恒等式。先看**预层**层面：$\\coprod_{Y \\in \\mathcal{C}/R} h_{Y} \\to h_{X}$ 的**像恰好是 $R$** —— 它在 $Z$ 处的像是「能穿过某个 $Y \\to X \\in R$ 的那些 $Z \\to X$」，而这正是筛的定义。再对两边作用 $\\sharp$：**层化是正合的**（保有限极限），正合函子保像，于是\n\n$$\\widetilde{R} \\;=\\; \\sharp\\Bigl(\\operatorname{im}\\bigl(\\coprod_{Y \\in \\mathcal{C}/R} h_{Y} \\to h_{X}\\bigr)\\Bigr) \\;=\\; \\operatorname{im}\\Bigl(\\coprod_{Y \\in \\mathcal{C}/R} \\underline{Y} \\to \\underline{X}\\Bigr).$$\n\n于是 4（那个映射是满态射）$\\iff$ 那个像是整个 $\\underline{X}$ $\\iff$ $\\widetilde{R} = \\underline{X}$ $\\iff$ 2。∎\n\n**一族态射的版本**（紧跟着的推论）：族 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 生成覆盖筛 $\\iff \\coprod_{i \\in I} X_{i} \\to X$ 是满态射。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 3.2.12", "Le Stum, Exercise 3.26" ] }, { "id": "prop.limit-construction", "type": "proposition", "label": "极限的构造", "title": "极限 = 无限积 + 等化子", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "极限", "构造", "积", "等化子" ], "statement": "设 $D : I \\to \\mathcal{C}$ 是**小**图。若 $\\mathcal{C}$ 有 $I$ 中对象为指标的所有**积**、以及一对平行映射的**等化子**，则 $\\lim D$ 存在，并且可以具体地造出来：\n\n$$X' := \\prod_{i \\in I} D(i), \\qquad X'' := \\prod_{\\alpha : i \\to j} D(j),$$\n\n$$X = \\lim D \\;\\cong\\; \\operatorname{eq}\\Bigl(\\; X' \\xrightarrow[\\;p\\;]{\\;q\\;} X'' \\;\\Bigr),$$\n\n其中两条映射 $p, q : X' \\to X''$ 按分量定义为：$p$ 在 $\\alpha$-分量上取**投影** $X' \\to D(j)$，$q$ 在 $\\alpha$-分量上取**投影再复合 $D(\\alpha)$**：\n\n$$p_{\\alpha} := \\mathrm{pr}_{j}, \\qquad q_{\\alpha} := D(\\alpha) \\circ \\mathrm{pr}_{i}.$$", "notes": "⭐ **这条把「极限存在」变成了一句具体的话**：只要 $\\mathcal{C}$ 有足够多的积与等化子，所有极限就都有了。教科书说「完备范畴 = 有小积且有小等化子的范畴」，依据就是它。\n\n**为什么是这样。** 一个锥 $\\{\\, g_{i} : Y \\to D(i) \\,\\}$ 等价于一条映射 $g : Y \\to X'$（积的泛性质）；而「$g$ 是锥」这个条件（对每条 $\\alpha : i \\to j$ 有 $D(\\alpha) \\circ g_{i} = g_{j}$）恰好就是「$p \\circ g = q \\circ g$」。所以**锥 = 使 $p,q$ 相等的那族映射**，而「最一般的这种映射」正是等化子的定义。\n\n**对偶地**：余极限 = 无限余积 + 余等化子。\n\n⭐ **实用价值**：证明「某个范畴完备」时不用逐条图去造极限 —— 只要造出（小）积与等化子就够了（譬如 $\\mathbf{Set}$、$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$、$\\mathrm{Cond}$ 都是这么验的）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.section-functor", "type": "definition", "label": "截面函子", "title": "截面函子与全局截面（Sections Functor）", "label_en": "sections functor", "title_en": "Sections Functor", "en_page": "nodes/def.section-functor.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "层", "截面", "全局截面", "函数空间" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site，$X \\in \\mathcal{C}$，$\\widetilde{\\mathcal{C}}$ 是层范畴。**在 $X$ 处的截面函子**是\n\n$$\\Gamma(X, -) : \\widetilde{\\mathcal{C}} \\longrightarrow \\mathbf{Set}, \\qquad F \\longmapsto \\Gamma(X, F) := F(X).$$\n\n取 $X = \\mathbf{1}$（终对象）时叫**全局截面函子**，记 $\\Gamma(F) := F(\\mathbf{1})$。", "notes": "**它就是 $h_{X}$ 的 Hom 函子**：$\\Gamma(X, F) = \\operatorname{Hom}_{\\widetilde{\\mathcal{C}}}(h_{X}, F) = F(X)$（米田引理）—— 所以截面函子不是新东西，它就是「用可表示预层去测 $F$」。\n\n⭐ **保什么、不保什么**：\n\n\n\n- **保所有极限**：层范畴里的极限是在预层范畴里逐点算的，而逐点算的极限在 $X$ 处当然还是那个极限。\n- **一般不保余极限**：余极限要先在预层里算、再**层化**，而层化之后在 $X$ 处取的值可能严格大于余极限。**这就是「截面函子不正合」的全部内容。**\n\n\n\n**什么时候保余极限**：当 $X$ 在层范畴里**投射**时（$\\operatorname{Hom}(h_{X}, -) = \\Gamma(X,-)$ 保满态射），它保余极限。\n\n⭐ **凝聚态那一侧的例子**：$F \\in \\mathbf{FCHaus}$ 时 $\\mathbb{Z}\\cdot F$ 是投射的，于是 $\\Gamma(F, -)$ 保所有极限**与**所有余极限 —— 那条命题是这里的一个特例。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "thm.snake-lemma", "type": "lemma", "label": "蛇引理", "title": "蛇引理（Snake Lemma）", "label_en": "snake lemma", "title_en": "snake lemma", "en_page": "nodes/thm.snake-lemma.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "蛇引理", "追图", "正合列", "连接同态" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，下面这张交换图的两行都正合：\n\n$$\\begin{array}{ccccccc} A & \\xrightarrow{\\;f\\;} & B & \\xrightarrow{\\;g\\;} & C & \\longrightarrow & 0 \\\\[2pt] {\\scriptstyle a}\\big\\downarrow & & {\\scriptstyle b}\\big\\downarrow & & {\\scriptstyle c}\\big\\downarrow & & \\\\[2pt] 0 & \\longrightarrow & A' & \\xrightarrow[\\;f'\\;]{} & B' & \\xrightarrow[\\;g'\\;]{} & C' \\end{array}$$\n\n则存在**连接同态** $\\delta : \\ker c \\to \\operatorname{coker} a$，使序列\n\n$$\\ker a \\to \\ker b \\to \\ker c \\xrightarrow{\\;\\delta\\;} \\operatorname{coker} a \\to \\operatorname{coker} b \\to \\operatorname{coker} c$$\n\n正合。", "notes": "**为什么叫「蛇」**：把这条长正合列画成一圈，六个群/模串起来正好是一条蛇的形状 —— $\\delta$ 是蛇头那一拐。\n\n⚠️ **不能追元素。** $\\mathcal{A}$ 是一般的阿贝尔范畴，对象里没有「元素」可挑，$x \\in \\ker c$ 这种话在这里没有意义。合法的替代是**泛元**：「$x \\in X$」一律读成「任给态射 $t : T \\to X$」（Yoneda 的成员语言），其余全靠核与余核的泛性质。\n\n**$\\delta$ 怎么造（只用泛性质）。** 设 $k : K \\rightarrowtail C$ 是 $c$ 的核，把 $g$ 沿 $k$ 拉回得 $P := B \\times_{C} K$ 与投影 $p : P \\to B$、$q : P \\to K$：\n1. $g f = 0$ 经拉回性质给出唯一的 $u : A \\to P$；由 $f = \\ker g$ 单、$g$ 满，得短正合列 $0 \\to A \\xrightarrow{\\;u\\;} P \\xrightarrow{\\;q\\;} K \\to 0$。\n2. $g' b p = c\\, g p = c\\, k\\, q = 0$，故 $b p$ 穿过 $f' = \\ker g'$：存在唯一 $\\beta : P \\to A'$ 使 $f' \\beta = b p$。\n3. $f' \\beta u = b p u = b f = f' a$，而 $f'$ 单，故 $\\beta u = a$ —— 于是 $\\beta$ 与 $A' \\to \\operatorname{coker} a$ 的复合把 $u$ 杀掉，由 $q = \\operatorname{coker} u$ 的泛性质，存在唯一\n\n\n\n$$\\delta : K \\longrightarrow \\operatorname{coker} a, \\qquad \\delta \\circ q = (A' \\to \\operatorname{coker} a) \\circ \\beta.$$\n\n\n\n**正合性**同样逐步用核 / 余核的泛性质验证（关键一步是 $\\operatorname{im} u = \\ker q$），没有一步需要元素。∎\n\n⭐ **用处**：它是**长正合列**的引擎 —— 把短正合列 $0 \\to K \\to L \\to M \\to 0$ 的每一层（核、余核）串起来，靠的就是每层的 $\\delta$。凡是「有了短正合列想推长正合列」的地方，底下都在跑蛇引理。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1–5.2" ] }, { "id": "thm.five-lemma", "type": "lemma", "label": "五引理", "title": "五引理（Five Lemma）", "label_en": "five lemma", "title_en": "Five Lemma", "en_page": "nodes/thm.five-lemma.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "五引理", "追图", "正合列", "同构" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，下面这张交换图的两行都正合：\n\n$$\\begin{array}{ccccccccc} A_{1} & \\to & A_{2} & \\to & A_{3} & \\to & A_{4} & \\to & A_{5} \\\\[2pt] {\\scriptstyle \\alpha_{1}}\\big\\downarrow & & {\\scriptstyle \\alpha_{2}}\\big\\downarrow & & {\\scriptstyle \\alpha_{3}}\\big\\downarrow & & {\\scriptstyle \\alpha_{4}}\\big\\downarrow & & {\\scriptstyle \\alpha_{5}}\\big\\downarrow \\\\[2pt] B_{1} & \\to & B_{2} & \\to & B_{3} & \\to & B_{4} & \\to & B_{5} \\end{array}$$\n\n若 $\\alpha_{1}$ 是**满**态射、$\\alpha_{2}, \\alpha_{4}$ 是**同构**、$\\alpha_{5}$ 是**单**态射，则中间的 $\\alpha_{3}$ 也是**同构**。", "notes": "**证明走泛元，不追元素。** 把「$x \\in A_{3}$」读成「任给 $t : T \\to A_{3}$」—— $t$ 就是 $A_{3}$ 的一个**泛元**。分两半：\n\n- **$\\alpha_{3}$ 单**：设 $\\alpha_{3} t = 0$。由 $\\alpha_{4} f_{3} t = g_{3} \\alpha_{3} t = 0$ 与 $\\alpha_{4}$ 单得 $f_{3} t = 0$，即 $t$ 穿过 $\\operatorname{im} f_{2} = \\ker f_{3}$：$t = f_{2} s$；再由 $g_{2} \\alpha_{2} s = \\alpha_{3} f_{2} s = 0$ 得 $\\alpha_{2} s$ 穿过 $\\operatorname{im} g_{1} = \\ker g_{2}$，即 $\\alpha_{2} s = g_{1} r'$，而 $\\alpha_{1}$ 满给出 $r' = \\alpha_{1} r$，于是 $\\alpha_{2} s = g_{1} \\alpha_{1} r = \\alpha_{2} f_{1} r$，而 $\\alpha_{2}$ 单，故 $s = f_{1} r$，于是 $t = f_{2} f_{1} r = 0$。\n- **$\\alpha_{3}$ 满**：任给 $y : T \\to B_{3}$。由 $g_{4} g_{3} = 0$ 与 $\\alpha_{5}$ 单得 $f_{4} \\alpha_{4}^{-1} g_{3} y = 0$，故 $\\alpha_{4}^{-1} g_{3} y$ 穿过 $\\operatorname{im} f_{3} = \\ker f_{4}$：$\\alpha_{4}^{-1} g_{3} y = f_{3} x'$；于是 $g_{3}(y - \\alpha_{3} x') = 0$，即 $y - \\alpha_{3} x'$ 穿过 $\\operatorname{im} g_{2} = \\ker g_{3}$：$y - \\alpha_{3} x' = g_{2} u = g_{2} \\alpha_{2} x'' = \\alpha_{3} f_{2} x''$，故 $y = \\alpha_{3}(x' + f_{2} x'')$。\n\n两步都只用「正合 = 核 = 像」这一条泛性质。∎\n\n⭐ **推论（常用形式）**：若图中的 $A_{1} = B_{1} = 0$、$A_{5} = B_{5} = 0$，则 $\\alpha_{3}$ 是单（满 / 同构）由 $\\alpha_{2}, \\alpha_{4}$ 单（满 / 同构）决定 —— **这就是「比较长正合列」时最常引的那句：两头一样，中间就一样。**\n\n⚠️ 与蛇引理的关系：**两者都不能靠追元素**，都得走泛元与泛性质；区别在五引理只讲同构传递（不必造连接同态），蛇引理要**造**出 $\\delta$。凡是「想比较两个谱序列/两条长正合列」的地方，用五引理。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1–5.2" ] }, { "id": "def.subcategory", "type": "definition", "label": "子范畴", "title": "子范畴与满子范畴（Subcategory）", "label_en": "subcategory", "title_en": "Subcategory", "en_page": "nodes/def.subcategory.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 8, "tags": [ "范畴论", "子范畴", "满子范畴" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 的**子范畴** $\\mathcal{C}'$ 由以下数据组成：\n\n1. 对象的一个子类 $\\operatorname{Ob}(\\mathcal{C}') \\subseteq \\operatorname{Ob}(\\mathcal{C})$；\n2. 对每对 $X, Y \\in \\mathcal{C}'$，一个子集 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}'}(X, Y) \\subseteq \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y)$；\n\n要求这些态射对复合封闭、且包含每个对象的恒等态射。（$X, Y$ 之间的全部态射都取上时叫**满子范畴**。）", "notes": "⚠️ **子范畴不等于满子范畴**：满子范畴是「对象取一部分，但态射一个不丢」；一般子范畴允许同时丢掉态射。\n\n**严格（strict）子范畴**：恒等态射在子范畴里也必须是恒等态射。绝大多数场合默认如此。\n\n**例子**：$\\mathbf{Ab} \\hookrightarrow \\mathbf{Grp}$ 是满子范畴（阿贝尔群之间的同态恰好就是它们作为群的同态）；$\\mathbf{CHaus} \\hookrightarrow \\mathbf{Top}$ 是满子范畴；$\\mathbf{Grp} \\to \\mathbf{Set}$ 不是子范畴（连对象都不是同一批集合）。\n\n⭐ 「反射子范畴」「余反射子范畴」都是在满子范畴上再加一条：含入函子有伴随。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "def.simplex-category", "type": "definition", "label": "单纯形范畴", "title": "单纯形范畴 $\\Delta$", "label_en": "Delta", "title_en": "Delta", "en_page": "nodes/def.simplex-category.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 8, "tags": [ "范畴论", "单纯形", "单纯对象", "面映射", "退化映射" ], "statement": "**单纯形范畴** $\\Delta$ 的对象是正整数\n\n$$[n] := n + 1 := \\{\\, 0, 1, \\ldots, n \\,\\} \\qquad (n \\in \\mathbb{N}),$$\n\n态射是**保序映射** $[m] \\to [n]$。它由两类基本的态射生成：\n\n- **面映射** $\\delta^{i} : [n-1] \\to [n]$：跳过 $i$（$i = 0, \\ldots, n$），不取 $i$ 的保序单射；\n- **退化映射** $\\sigma^{i} : [n+1] \\to [n]$：把 $i$ 与 $i+1$ 撞在一起（$i = 0, \\ldots, n$），保序满射。", "notes": "**为什么要它**：单纯对象就是 $\\Delta^{\\mathrm{op}}$ 上的图（见「单纯对象」）。这一条把「一个空间在 $n$ 维的骨架」组织成范畴语言 —— $[n]$ 是 $n$-单形，面映射是「取第 $i$ 个面」，退化映射是「把单形压扁」。\n\n**$\\Delta$ 的态射全都能写成面映射与退化映射的复合**，而且它们满足**单纯恒等式**（$\\delta^{j}\\delta^{i} = \\delta^{i}\\delta^{j-1}$ 等）。所以定义单纯对象时只要给出这两族映射就够 —— 这正是「单纯集 = 一族集合 + 面 + 退化」那种写法的来源。\n\n⚠️ 记号在各书里不统一：有的用 $[n] = \\{0, \\ldots, n\\}$（本图取这个），有的用 $\\Delta^{n}$ 指标准的几何 $n$-单形（那是**几何实现**那边的对象，不是这里的指标）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.ind-object", "type": "definition", "label": "Ind-对象", "title": "Ind-对象与 $\\operatorname{Ind}(\\mathcal{C})$", "label_en": "ind-object", "title_en": "ind-object", "en_page": "nodes/def.ind-object.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 11, "tags": [ "范畴论", "Ind-对象", "滤过余极限", "形式余极限" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 的一个 **Ind-对象**「$\\varinjlim_{i \\in I} X_{i}$」是一个**滤过图** $(X_{i})_{i \\in I}$。它们组成范畴 $\\operatorname{Ind}(\\mathcal{C})$，其 Hom 为\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\operatorname{Ind}(\\mathcal{C})}\\Bigl(\\text{“}\\varinjlim_{i \\in I} X_{i}\\text{”},\\ \\text{“}\\varinjlim_{j \\in J} Y_{j}\\text{”}\\Bigr) \\;=\\; \\varinjlim_{j \\in J}\\ \\varprojlim_{i \\in I}\\ \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X_{i}, Y_{j}).$$", "notes": "**读法**：引号里的 $\\varinjlim X_{i}$ 是**形式记法** —— 对象是「滤过图」本身，不是它的余极限（余极限可能压根不存在）。\n\n**公式为什么长这样**：要给两个形式余极限之间的映射，先固定 $j$，对每个 $i$ 给一条 $X_{i} \\to Y_{j}$ 且与 $i$ 的变动相容（这就是 $\\varprojlim_{i}$），再对 $j$ 取滤过余极限（$Y_{j}$ 越往后越大，晚给的映射可以「补」上早先的）。\n\n**例子**：$\\operatorname{Ind}(\\mathbf{FinSet})$ 是「所有集合」（每个集合都是它有限子集的滤过余极限）；$K$-理论的「向量丛按直和/余极限补全」用的也是它。\n\n📌 对偶地有 **Pro-对象**：把滤过图换成**余滤过**图，得到 $\\operatorname{Pro}(\\mathcal{C})$（profinite 空间就是 $\\operatorname{Pro}(\\mathbf{FinSet})$）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "def.preserves-limit", "type": "definition", "label": "保极限的函子", "title": "函子保极限（Preservation of Limits）", "label_en": "preserves limits", "title_en": "preserves limits", "en_page": "nodes/def.preserves-limit.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "保极限", "保余极限", "函子" ], "statement": "设 $D : I \\to \\mathcal{C}$ 是图、$F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 是函子。$F$ 诱导出锥之间的比较映射\n\n$$F(\\lim D) \\longrightarrow \\lim (F \\circ D).$$\n\n若这个比较映射对**每个**（相应型别的）图 $D$ 都是同构，就说 $F$ **保极限**（记 $\\lim D \\cong \\lim F \\circ D$）。对偶地：**保余极限**。", "notes": "**比较映射是怎么来的**：$\\lim D$ 是 $D$ 的泛锥，$F$ 作用之后给出 $F \\circ D$ 的一个锥，于是由 $\\lim(F\\circ D)$ 的泛性质唯一地得到 $F(\\lim D) \\to \\lim(F\\circ D)$。所以「保极限」永远是这个**由泛性质自动存在的**映射恰好可逆。\n\n⭐ **最常用的一条**：**右伴随保所有极限**（对偶地左伴随保所有余极限）。证明只用伴随同构与极限的泛性质，不需要任何具体构造。\n\n**弱一点的说法**：$F$ 保**有限**极限（= **left exact**）、保**滤过**余极限（AB5 那一条）、保**积**、保**等化子**……都是把上面的「每个图」限制到某一类图。\n\n⚠️ 与「$F$ 连续」区分：这里说的连续函子（continuous functor）是**保极限**，与拓扑里的连续无关。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.2" ] }, { "id": "def.exact-functor", "type": "definition", "label": "正合函子", "title": "左正合 / 右正合 / 正合函子（Exact Functor）", "label_en": "exact functor", "title_en": "exact functor", "en_page": "nodes/def.exact-functor.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "正合函子", "左正合", "右正合" ], "statement": "函子 $F$ 叫**左正合的**（left exact），如果它保所有**有限极限**；叫**右正合的**（right exact），如果它保所有**有限余极限**；两者都对时叫**正合的**（exact）。", "notes": "**为什么「有限」**：一般范畴里「左正合」的用法来自阿贝尔范畴 —— 那里只要保 $0$、有限积、核，就等价于「把短正合列 $0 \\to M' \\to M \\to M'' \\to 0$ 送成 $0 \\to FM' \\to FM \\to FM''$（正的、左边正合）」。所以名字里的「正合」指的就是正合列。\n\n⭐ **右伴随是左正合的，左伴随是右正合的** —— 这是「伴随 $\\implies$ 保极限 / 保余极限」的直接后果，也是最常用的判据。\n\n**在阿贝尔范畴里更好用**：$F$ 左正合 $\\iff$ 它保核（$F(\\ker) = \\ker$）；$F$ 正合 $\\iff$ 它把短正合列送成短正合列。\n\n⚠️ 名字有歧义：有的书把「正合」只指保**有限**极限，有的指保**所有**极限。本图统一按上面这条（保有限极限/余极限）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.2" ] }, { "id": "def.zero-object", "type": "definition", "label": "零对象与直和", "title": "零对象、双积与直和", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "零对象", "双积", "直和", "加法范畴" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ 里的对象 $0$ 叫**零对象**，如果它**既是终对象又是始对象**（等价地 $\\operatorname{End}(0) = \\{ \\mathrm{id} \\}$，唯一的自同态是零）。\n\n一族对象 $(M_{i})_{i \\in I}$ 的**双积**（biproduct）是「积与余积恰好重合」的对象，记 $\\bigoplus_{i \\in I} M_{i}$；代数里就叫**直和**。", "notes": "**零对象给出零态射**：任意 $X \\to Y$ 都可以经 $X \\to 0 \\to Y$ 分解，得到的态射记 $0_{X,Y}$。所有「$f = 0$」「$f \\ne 0$」的说法都靠它。\n\n**双积为什么会重合**：在**预加性**范畴里，积与余积只要存在就自动一致（两个泛性质能互相满足），所以可以只谈一个。$M \\oplus N$ 的元素形式上写成 $f + g$（从 $M$ 与 $N$ 各来一条）。\n\n⚠️ 零对象在**不一定有**的范畴里可能不存在（如 $\\mathbf{Set}$：空集是始对象，但终对象是单点集，两者不同）。$\\mathbf{Ab}$、$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 里当然是同一个 $\\{0\\}$。", "refs": [ "Le Stum, Definition 5.1.4" ] }, { "id": "def.additive-functor", "type": "definition", "label": "加法函子", "title": "加法函子（Additive Functor）", "label_en": "additive functor", "title_en": "Additive Functor", "en_page": "nodes/def.additive-functor.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 9, "tags": [ "同调代数", "加法函子", "预加性", "直和" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}, \\mathcal{D}$ 是两个**预加性范畴**。函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 叫**加法函子**，如果对每对 $M, N \\in \\mathcal{C}$，映射\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(M, N) \\longrightarrow \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(F(M), F(N)), \\qquad f \\longmapsto F(f)$$\n\n是**阿贝尔群同态**（即保加法、保 $0$）。", "notes": "**等价说法**：加法函子自动保**有限直和**（$F(M \\oplus N) \\cong F(M) \\oplus F(N)$），而且 $F(0) = 0$。反过来，一个保有限直和的函子（在预加性范畴之间）也是加法的。\n\n⭐ **为什么同调代数只谈加法函子**：求导函子、$\\operatorname{Ext}$、$H^{n}$ 都是加法的。复形上的运算（$d^{2}=0$、取同调、映射锥）每一步都是**加减法**，非加法函子连复形都送不成复形。\n\n**例子**：$\\operatorname{Hom}(X, -)$ 是加法的（$\\operatorname{Hom}$ 本身是阿贝尔群）；$M \\otimes_{A} -$ 是加法的；遗忘函子 $A\\text{-}\\mathbf{Mod} \\to \\mathbf{Ab}$ 是加法的。\n\n⚠️ 「加法」与「左正合/右正合」是两件事：加法只是保群结构，正合才是保核与余核。加法是前提，正合是进一步的条件。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1–5.2" ] }, { "id": "def.split-exact", "type": "definition", "label": "分裂短正合列", "title": "分裂的短正合列（Split Exact Sequence）", "label_en": "split exact", "title_en": "split exact", "en_page": "nodes/def.split-exact.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 14, "tags": [ "同调代数", "短正合列", "分裂", "直和" ], "statement": "短正合列\n\n$$0 \\longrightarrow M_{1} \\xrightarrow{\\;i_{1}\\;} M \\xrightarrow{\\;i_{2}\\;} M_{2} \\longrightarrow 0$$\n叫**分裂的**，如果它同构于\n\n$$0 \\longrightarrow M_{1} \\xrightarrow{\\;\\mathrm{pr}_{1}\\;} M_{1} \\oplus M_{2} \\xrightarrow{\\;\\mathrm{pr}_{2}\\;} M_{2} \\longrightarrow 0$$\n\n（即 $i_{1}$ 是到直和第一个分量的含入、$i_{2}$ 是到第二个分量的投影）。", "notes": "**等价判据**（在阿贝尔范畴里，三条等价）：\n\n\n\n- $i_{2}$ 有**截面** $s : M_{2} \\to M$（$i_{2} \\circ s = \\mathrm{id}$）；\n- $i_{1}$ 有**收缩** $r : M \\to M_{1}$（$r \\circ i_{1} = \\mathrm{id}$）；\n- $M \\cong M_{1} \\oplus M_{2}$ 与这个列相容。\n\n**证明。** 记 $i := i_{1}$、$p := i_{2}$，则 $i$ 单、$p$ 满且 $\\operatorname{im} i = \\ker p$。\n- **有截面 $\\implies$ 分裂**：设 $p s = 1_{M_{2}}$。则 $p(1_{M} - s p) = p - p s p = 0$，故 $1_{M} - sp$ 落在 $\\ker p = \\operatorname{im} i$ 里，于是存在 $r : M \\to M_{1}$ 使\n$$i r = 1_{M} - s p.$$\n由 $i$ 单：$i(r i) = (1_{M} - sp)\\,i = i - s(p i) = i$（用了 $p i = 0$），故 $r i = 1_{M_{1}}$ ✓。与 $p i = 0$ 合起来，$p_{1} := r$、$i_{1} := i$、$p_{2} := p$、$i_{2} := s$ 满足双积的三条等式（$r i = 1$、$p s = 1$、$i r + s p = 1_{M}$，见「直和就是积」），即 $M$ 就是 $M_{1} \\oplus M_{2}$，该列分裂 ✓。\n- **分裂 $\\implies$ 有截面**：分裂时该列同构于 $0 \\to M_{1} \\xrightarrow{\\ \\mathrm{pr}_{1}\\ } M_{1} \\oplus M_{2} \\xrightarrow{\\ \\mathrm{pr}_{2}\\ } M_{2} \\to 0$，而 $\\mathrm{pr}_{2}$ 有显然的截面（到第二个分量的含入），沿同构搬回去就得到 $p$ 的截面 ✓。\n- **对偶**：把同一论证搬到 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$，得「分裂 $\\iff$ $i$ 有收缩」✓。∎\n\n⭐ **这就是「分裂引理」**（split lemma）：在加法范畴里，「短正合列分裂」与「有截面」与「是直和」是同一件事。它把**列论的问题化成直和的问题** —— 这是同调代数里最常用的一步化简。\n\n⚠️ 短正合列一般**不**分裂（$0 \\to \\mathbb{Z} \\xrightarrow{2} \\mathbb{Z} \\to \\mathbb{Z}/2 \\to 0$ 就不分裂）—— 分裂是特殊情形，判断它分不分裂正是 $\\operatorname{Ext}^{1}$ 要回答的问题。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1–5.2" ] }, { "id": "def.enough-projectives", "type": "definition", "label": "足够多投射对象", "title": "足够多投射对象（Enough Projectives）", "label_en": "enough projectives", "title_en": "enough projectives", "en_page": "nodes/def.enough-projectives.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "投射对象", "足够多", "消解" ], "statement": "范畴 $\\mathcal{C}$ **有足够多的投射对象**，如果对每个 $X \\in \\mathcal{C}$，都存在投射对象 $P$ 与**满态射**\n\n$$P \\twoheadrightarrow X.$$\n\n对偶地：**有足够多的内射对象**，如果每个 $X$ 都能**单射**进某个内射对象 $X \\hookrightarrow I$。", "notes": "⭐ **它保证投射消解存在**：由 $P_{0} \\twoheadrightarrow X$ 起，把核 $\\ker(P_{0} \\to X)$ 再用一个投射对象盖住，如此递归得到**投射消解**\n\n\n\n$$\\cdots \\to P_{2} \\to P_{1} \\to P_{0} \\to X \\to 0,$$\n\n\n\n于是可以取左导出函子（$\\operatorname{Tor}$、$L^{n}F$）。对偶地足够多内射给出**内射消解**与右导出函子（$\\operatorname{Ext}^{n}$、$R^{n}F$）。\n\n**为什么需要「足够多」这个条件**：导出函子是把对象换成消解再取同调，若某个对象压根没有消解，定义就卡住。所以同调代数挑范畴时会点名「有足够多投射 / 内射」。\n\n**例子**：$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 两个都有（自由模投射、每个模可嵌入内射模）；$\\mathrm{CondAb}$ 有足够多投射（有限表现的投射凝聚态阿贝尔群生成它）；**Grothendieck 范畴自动有足够多内射**。", "refs": [ "Le Stum, Definition 1.4.8" ] }, { "id": "def.finitely-presented", "type": "definition", "label": "有限表现对象", "title": "有限表现（紧）对象（Finitely Presented Object）", "label_en": "finitely presented", "title_en": "finitely presented", "en_page": "nodes/def.finitely-presented.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 13, "tags": [ "范畴论", "有限表现", "紧对象", "可表函子" ], "statement": "对象 $X \\in \\mathcal{C}$ 叫**有限表现的**（也叫**紧的**，compact），如果可表函子\n\n$$h^{X} = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, -)$$\n\n**保滤过余极限**：对每个滤过图 $D$，$\\operatorname{Hom}(X, \\varinjlim D) \\cong \\varinjlim \\operatorname{Hom}(X, D(-))$。", "notes": "**直观**：「测 $X$」不需要等到极限做完 —— 从 $X$ 出发的映射**在有限阶段就已经确定**，后面的滤过余极限只是把它们拼起来。所以「紧」=「不往无穷处伸手」。\n\n**例子**：有限集（$\\mathbf{Set}$ 里）、有限生成模（$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 里）、有限 CW 复形（拓扑里）。$\\mathbb{R}$ 在 $\\mathbf{Top}$ 里**不是**紧的（$\\mathbb{R}$ 是有限区间的滤过余极限，但 $\\operatorname{Hom}(\\mathbb{R},-)$ 不保那个余极限）。\n\n⭐ **在同调代数里的用处**：$X$ 有限表现 $\\iff$ $h^{X}$ 保滤过余极限 $\\iff$ $X$ 是「小」的测试对象。凝聚态那一侧「CondAb 由有限表现的投射对象生成」正是靠它 —— 有限表现的投射对象是 $\\mathrm{CondAb}$ 的生成元。\n\n⚠️ 「有限表现」与「有限生成」不同：有限生成只要求有一个满射 $A^{n} \\twoheadrightarrow M$；有限表现还要求核也是有限生成的（即 $A^{m} \\to A^{n} \\to M \\to 0$ 正合）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1–1.5" ] }, { "id": "prop.iso-unique-section", "type": "proposition", "label": "同构的截面与收缩唯一", "title": "同构的截面与收缩", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "同构", "截面", "收缩" ], "statement": "若 $f : X \\to Y$ 是**同构**，则它的**截面**与**收缩**都存在且**唯一**，而且两者相等，都等于 $f^{-1}$。", "notes": "**证明。** 设 $f : X \\to Y$ 是同构，记 $g := f^{-1}$。\n- **存在**：$g f = 1_{X}$ 且 $f g = 1_{Y}$，故 $g$ 既是 $f$ 的截面（$f g = 1_{Y}$）又是收缩（$g f = 1_{X}$）✓。\n- **截面唯一**：设 $s : Y\\to X$ 满足 $f s = 1_{Y}$，则 $s = 1_{X}\\,s = (g f)\\,s = g\\,(f s) = g\\,1_{Y} = g$ ✓。\n- **收缩唯一**：设 $r : X \\to Y$ 满足 $r f = 1_{X}$，则 $r = r\\,1_{X} = r\\,(f g) = (r f)\\,g = 1_{X}\\,g = g$ ✓。\n两件事并起来：截面与收缩都存在、都唯一，且都等于 $f^{-1}$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1" ] }, { "id": "def.totally-disconnected", "type": "definition", "label": "完全不连通与极不连通", "title": "完全不连通 / 极不连通空间", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 6, "tags": [ "拓扑", "完全不连通", "极不连通", "Stonean", "连通分量" ], "statement": "拓扑空间 $X$ 叫**完全不连通的**，如果**每个连通分量都是单点**。\n\n叫**极不连通的**（extremally disconnected），如果**每个开集的闭包仍然开**。", "notes": "⚠️ **两个名字只差一个字，强弱正好相反**：\n\n\n\n- **完全不连通**说「碎到每个分量只剩一个点」；\n- **极不连通**说「开集的闭包不再长大」—— 后者更强。\n\n**极不连通的需求方是 Haskell / 集合论 / 凝聚态**：它是「投影对象」的几何形态（Gleason 定理：$\\mathbf{CHaus}$ 的投射对象恰好是 Stonean 空间）。\n\n⭐ **在紧 Hausdorff 的世界里三者串成一条链**：极不连通 $\\implies$ 完全不连通；完全不连通 + 紧 Hausdorff $\\iff$ **profinite**；极不连通 + 紧 Hausdorff $\\implies$ **Stonean**。\n\n**例子**：Cantor 集 $2^{\\mathbb{N}}$ 完全不连通但不极不连通；$\\beta\\mathbb{N}$（$\\mathbb{N}$ 的 Stone–Čech 紧化）极不连通；$\\beta\\mathbb{N} \\setminus \\mathbb{N}$ 是它的一个极端例子。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "def.locally-compact", "type": "definition", "label": "局部紧 Hausdorff 空间", "title": "局部紧 Hausdorff 空间（Locally Compact Hausdorff）", "label_en": "locally compact", "title_en": "Locally Compact Hausdorff", "en_page": "nodes/def.locally-compact.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 15, "tags": [ "拓扑", "局部紧", "Hausdorff", "紧邻域" ], "statement": "拓扑空间 $X$ 叫**局部紧**的，如果**每个点都有紧邻域**：对每个 $x \\in X$，存在紧集 $K$ 使\n\n$$x \\in \\operatorname{int} K$$\n\n再要求它是 Hausdorff 的，就叫**局部紧 Hausdorff** 空间。\n\n⚠️ 本图提到「局部紧」**而不另加限定**时，指的都是后者 —— 这是凝聚态数学里的标准用法：那里用得到的性质（局部紧 $\\implies$ 紧生成、商映射 $\\times$ 局部紧）都同时需要 Hausdorff。", "notes": "**等价说法**（Hausdorff 时）：每点有**紧邻域基**（即任意给定邻域 $U \\ni x$ 里都能找到一个紧邻域 $K$ 使 $x \\in \\operatorname{int}K \\subseteq K \\subseteq U$）。这条更强的形式正是「商映射 $\\times$ 局部紧」那条定理要用的。\n\n**例子**：$\\mathbb{R}^{n}$、任何离散空间、任何紧 Hausdorff 空间。**反例**：$\\mathbb{Q}$（不是局部紧）、无穷维 Banach 空间（闭单位球不紧）。\n\n⭐ **它在凝聚态数学里的位置**：$\\mathbf{CHaus}$ 是场地，而**局部紧 Hausdorff**是「能用紧 Hausdorff 逼近」的最小一族 —— 局部紧 Hausdorff 空间都是**紧生成**的（例 1），所以都能忠实地变成凝聚态集。Pontryagin 对偶也只在局部紧 Hausdorff 阿贝尔群那一条线上成立。\n\n⚠️ 「局部紧」这个条件**不能省**：商映射乘 id 那条定理、Tychonoff 以外的积性质、以及「紧提升条件」都要它。", "refs": [ "Munkres, Topology" ] }, { "id": "thm.tykhonov", "type": "theorem", "label": "Tychonoff 定理", "title": "Tychonoff 定理：紧空间的任意积紧", "label_en": "Tychonoff", "title_en": "Tychonoff", "en_page": "nodes/thm.tykhonov.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 15, "tags": [ "拓扑", "紧", "积", "Tychonoff", "选择公理" ], "statement": "任意一族紧空间的**积**（带积拓扑）仍然紧 —— 任意多个，包括不可数多个。", "notes": "**证明（Alexander 子基引理 + 选择公理）。** 记 $X = \\prod_{i\\in I} X_{i}$，投影 $p_{i} : X\\to X_{i}$。取**子基**\n$$\\mathcal{S} := \\{\\, p_{i}^{-1}(U_{i}) \\;:\\; i\\in I,\\ U_{i}\\subseteq X_{i}\\ \\text{开} \\,\\}.$$\n**Alexander 子基引理**：拓扑空间紧 $\\iff$ 每个由子基成员组成的覆盖都有有限子覆盖。所以只需验证后者。\n设 $\\mathcal{S}_{0} \\subseteq \\mathcal{S}$ 覆盖 $X$，反设它**没有**有限子覆盖。对每个 $i$ 记\n$$\\mathcal{U}_{i} := \\{\\, U_{i} : p_{i}^{-1}(U_{i}) \\in \\mathcal{S}_{0} \\,\\},\\qquad F_{i} := X_{i}\\setminus \\bigcup \\mathcal{U}_{i}.$$\n- **$F_{i} \\ne \\emptyset$**：否则 $\\mathcal{U}_{i}$ 是紧空间 $X_{i}$ 的开覆盖，取有限子覆盖 $U_{1},\\ldots,U_{n}$，对应的 $p_{i}^{-1}(U_{1}),\\ldots,p_{i}^{-1}(U_{n})$ 就是 $X$ 的有限子覆盖 —— 与反设矛盾 ✓。\n- 由**选择公理**取 $x_{i} \\in F_{i}$，令 $x := (x_{i})_{i\\in I} \\in X$。\n- 于是对每个 $p_{i}^{-1}(U_{i})\\in \\mathcal{S}_{0}$ 都有 $x_{i} \\notin U_{i}$（因 $x_{i}\\in F_{i}$），故 $x \\notin p_{i}^{-1}(U_{i})$ 对**所有**成员成立 —— 与 $\\mathcal{S}_{0}$ 覆盖 $X$ 矛盾 ✓。\n所以每个子基覆盖都有有限子覆盖，由 Alexander 引理 $X$ 紧。∎\n（Alexander 引理本身：若某覆盖族无有限子覆盖，用 Zorn 把它扩成一个极大的这种族 $\\mathcal{M}$，则「非 $\\mathcal{M}$ 成员」的取法给出一族与子基有关的数据，逐条推出 $\\mathcal{M}$ 其实是覆盖、矛盾。）\n\n⭐ **Tychonoff 与选择公理等价**（在 ZF 里互相推出）—— 这是「选择公理有多强」的一个标准刻度。", "refs": [ "Munkres, Topology, §37", "Le Stum, Exercise 2.19" ] }, { "id": "def.topologically-generating", "type": "definition", "label": "拓扑生成集", "title": "拓扑生成集（Topologically Generating Set）", "label_en": "topologically generating", "title_en": "Topologically Generating Set", "en_page": "nodes/def.topologically-generating.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 15, "tags": [ "范畴论", "site", "生成集", "筛" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site。集合 $G \\subseteq \\mathcal{C}$ 叫**拓扑生成集**，如果每个 $X \\in \\mathcal{C}$ 都容许一个由**落在 $G$ 里的对象**组成的覆盖族 $(G_{i} \\to X)_{i}$。", "notes": "", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2" ] }, { "id": "def.continuous-functor", "type": "definition", "label": "连续函子（site 之间）", "title": "连续函子（Continuous Functor between Sites）", "label_en": "continuous functor", "title_en": "Continuous Functor between Sites", "en_page": "nodes/def.continuous-functor.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "site", "连续函子", "态射" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}, \\mathcal{C}'$ 是两个 site。函子\n\n$$f^{-1} := g : \\mathcal{C} \\longrightarrow \\mathcal{C}'$$\n叫**连续的**，如果沿 $g$ 的预复合把 $\\mathcal{C}'$ 上的层拉回成 $\\mathcal{C}$ 上的层：\n\n$$g^{*} : \\widetilde{\\mathcal{C}'} \\longrightarrow \\widetilde{\\mathcal{C}}, \\qquad F \\longmapsto F \\circ g, \\qquad \\text{落在层范畴里。}$$", "notes": "**读法**：$g$ 的方向是 $\\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$，但层是**反变**的，所以 $g$ 把 $\\mathcal{C}'$ 上的层**拉回**到 $\\mathcal{C}$ 上。这个「方向拧一下」是 site 态射的一切别扭之处。\n\n⭐ **它等价于**：$g$ 把 $\\mathcal{C}'$ 的覆盖族拉回成 $\\mathcal{C}$ 的覆盖族（覆盖筛的原像还是覆盖筛）。所以「连续」= 「覆盖关系被保住了」。\n\n**记号**：$f^{-1}$ 这个名字来自拓扑：空间之间的连续映射 $f : X \\to Y$ 给出开集范畴之间的函子 $f^{-1} : \\operatorname{Open}(Y) \\to \\operatorname{Open}(X)$（取原像），而层沿它拉回。\n\n📌 下一步：再加一条「$f^{-1}$ 是左正合的」，就得到 **site 的态射**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "def.morphism-of-sites", "type": "definition", "label": "site 的态射", "title": "site 的态射（Morphism of Sites）", "label_en": "morphism of sites", "title_en": "Morphism of Sites", "en_page": "nodes/def.morphism-of-sites.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "site", "态射", "左正合" ], "statement": "**site 的态射**是一个**连续函子** $f^{-1} := g : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$，并且要求 $f^{-1}$ 是**左正合**的（保有限极限）。等价地：$f^{-1}$ 有右伴随 $f_{*}$，而 $f^{-1} \\dashv f_{*}$。", "notes": "⭐ **一对伴随**：$f^{-1} \\dashv f_{*}$ —— $f^{-1}$ 是左伴随（所以保余极限），$f_{*}$ 是右伴随（所以保极限）。加上「连续」那一条（$f^{-1}$ 把层拉回成层），这一对就构成拓扑斯之间的态射（见「拓扑斯的态射」）。\n\n**为什么要求左正合**：层范畴里的有限极限是在预层里逐点算的，要让 $f^{-1}$ 把层送到层之后**还保有限极限**，就得让它在 site 这一层先保有限极限。\n\n**几何直觉**：空间之间的连续映射给出 site 的态射；site 的态射是这条的「代数替身」—— 之后拓扑斯的态射也是照这个模式定义的，只是把「site」换成「层范畴」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "def.cocontinuous-functor", "type": "definition", "label": "余连续函子", "title": "余连续函子（Cocontinuous Functor）", "label_en": "cocontinuous", "title_en": "Cocontinuous Functor", "en_page": "nodes/def.cocontinuous-functor.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "site", "余连续", "层" ], "statement": "设 $g : \\mathcal{C}' \\to \\mathcal{C}$ 是两个 site 之间的函子。叫**余连续的**，如果函子 $g^{\\sharp}$（把预层沿 $g$ 推出、再层化）**把层送到层**。", "notes": "", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "def.induced-topology", "type": "definition", "label": "诱导拓扑", "title": "诱导拓扑（Induced Topology）", "label_en": "induced topology", "title_en": "Induced Topology", "en_page": "nodes/def.induced-topology.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 17, "tags": [ "范畴论", "site", "诱导拓扑" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}'$ 是 site，$f^{-1} : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 是任何函子。$\\mathcal{C}$ 上的**诱导拓扑**是使 $f^{-1}$ **连续**的最细拓扑。", "notes": "", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.3" ] }, { "id": "ex.algebra-categories", "type": "example", "label": "代数的几个范畴", "title": "$\\mathrm{Mon}$、$\\mathrm{Gr}$、$\\mathrm{Rng}$、$G\\text{-}\\mathbf{Set}$、$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$、$k\\text{-}\\mathbf{Alg}$", "region": "algebra", "regions": [ "algebra", "category" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 15, "tags": [ "代数", "范畴", "幺半群", "环", "模", "代数" ], "statement": "常用的代数范畴（对象 + 保结构映射）：\n\n- $\\mathrm{Mon}$：幺半群；\n- $\\mathrm{Gr}$（也写 $\\mathbf{Grp}$）：群；\n- $\\mathrm{Rng}$：环；\n- $G\\text{-}\\mathbf{Set}$：$G$-集（带 $G$ 作用的集合）；\n- $A\\text{-}\\mathbf{Mod}$：$A$-模；\n- $k\\text{-}\\mathbf{Alg}$：$k$-代数（$k$ 交换环）。", "notes": "⭐ **它们的共同点**：全都是「集合 + 运算 + 公理」，只是运算的元数与公理的条数不同。所以**关于它们的定理几乎逐字通用**（极限逐点算、遗忘函子保所有极限、自由对象是左伴随……）。\n\n**两个特殊的**：$G\\text{-}\\mathbf{Set}$ 是**函子范畴**（$G$ 看成单对象范畴，$G$-集就是 $G \\to \\mathbf{Set}$ 的函子，$G$-映射就是自然变换）；$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 是同调代数的样板间。", "refs": [ "Lang, Algebra" ] }, { "id": "prop.abelianization", "type": "proposition", "label": "交换化", "title": "交换化 $G \\mapsto G^{\\mathrm{ab}}$ 是左伴随", "label_en": "abelianization", "title_en": "abelianization", "en_page": "nodes/prop.abelianization.en.md", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 10, "tags": [ "代数", "群", "交换化", "伴随" ], "statement": "**交换化**函子\n\n$$(-)^{\\mathrm{ab}} : \\mathbf{Grp} \\longrightarrow \\mathbf{Ab}, \\qquad G \\longmapsto G^{\\mathrm{ab}} := G / [G, G]$$\n\n是含入函子 $\\mathbf{Ab} \\hookrightarrow \\mathbf{Grp}$ 的**左伴随**。", "notes": "记号 $[G, G]$ 是**换位子子群**（由所有 $g h g^{-1} h^{-1}$ 生成）—— 它是正规子群，商掉它正好把「非交换性」清零。\n\n⭐ **伴随的读法**：任何群同态 $G \\to A$（$A$ 阿贝尔）都唯一地穿过 $G \\to G^{\\mathrm{ab}}$。也就是说**「从 $G$ 到阿贝尔群」的映射全都只看 $G^{\\mathrm{ab}}$** —— 这就是「交换化是最经济的把群变阿贝尔的办法」。\n\n**例子**：自由群 $F(S)^{\\mathrm{ab}} \\cong \\mathbb{Z}^{\\oplus S}$（自由阿贝尔群）。所以「自由阿贝尔群函子」= 「自由群函子」再交换化。\n\n**证明。** 要造自然双射\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Grp}}(G,\\ A) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Ab}}\\bigl(G^{\\mathrm{ab}},\\ A\\bigr),\\qquad A\\ \\text{阿贝尔}.$$\n- **良定义**：任给群同态 $\\varphi : G\\to A$（$A$ 阿贝尔）。换位子 $ghg^{-1}h^{-1}$ 被送到 $\\varphi(g)\\varphi(h)\\varphi(g)^{-1}\\varphi(h)^{-1} = e$（交换性！），故 $[G,G] \\subseteq \\ker\\varphi$，于是 $\\varphi$ 唯一地穿过商 $G\\twoheadrightarrow G^{\\mathrm{ab}}$ ✓。\n- **反向**是 $G\\to G^{\\mathrm{ab}}$ 与函数的复合 ✓，且两个方向互逆（在 $G^{\\mathrm{ab}}$ 上验一次、在 $\\operatorname{Hom}(G,A)$ 上验一次）✓。\n- **自然性**对 $G$ 与 $A$ 都逐项验证（$G\\to G'$ 的像把 $[G,G]$ 送进 $[G',G']$，故诱导 $G^{\\mathrm{ab}}\\to G'^{\\mathrm{ab}}$）✓。∎\n⭐ 这正是「交换化是左伴随」的含义：它是「把非交换性清零」的**最经济**的函子 —— 任何到阿贝尔群的映射都只能看到 $G^{\\mathrm{ab}}$。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 1.9" ] }, { "id": "prop.poset-limit-join", "type": "proposition", "label": "偏序集里的极限是交", "title": "偏序集里：极限 = 下确界，余极限 = 上确界", "region": "category", "regions": [ "category", "order-theory" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "极限", "偏序集", "上确界", "下确界" ], "statement": "把偏序集 $(P, \\preceq)$ 看作范畴（对象是元素，$x \\to y \\iff x \\preceq y$）。则对任何图 $D : I \\to P$：\n\n$$\\lim D = \\inf D \\;(\\text{下确界}), \\qquad \\varinjlim D = \\sup D \\;(\\text{上确界}),$$\n\n只要它们存在。", "notes": "**证明。** 把偏序集看成范畴时，$\\operatorname{Hom}(x,y)$ 至多一个元素，「锥」$c \\to D$ 就退化成「$c \\preceq D(i)$ 对一切 $i$」，即 $c$ 是 $D$ 的一个**下界** ✓。\n- 泛锥 = 下界中**最大**的那一个 = $\\inf D$；「$\\lim D$ 存在」正好就是「$\\inf D$ 存在」✓。\n- 对偶地（把 $\\preceq$ 反向），余锥 = 上界，泛余锥 = 最小上界 = $\\sup D$ ✓。\n- 特例：单点图 $\\inf = \\sup = $ 该元素；空图给出终对象（最大元）与始对象（最小元）；两元素图给出积 $\\inf\\{x,y\\}$ 与余积 $\\sup\\{x,y\\}$；拉回、推出分别是下确界、上确界（因为相容条件自动满足）；而等化子：$f, g$ 若平行则 $f = g$（Hom 至多一个元素），此时等化子就是恒等 ✓。\n因此完备格 $=$ 有所有小极限的偏序集；有界格 $\\leftrightarrow$ 有有限极限与有限余极限 ✓。∎\n\n⭐ **这条把整套范畴语言翻译成序语言**，也是最好的入门例子：\n\n\n\n- **积** = 下确界 $\\inf\\{x, y\\}$；**余积** = 上确界 $\\sup\\{x, y\\}$；\n- **终对象** = 最大元；**始对象** = 最小元；\n- **拉回**（纤维积）= 两个元素的下确界；**推出** = 上确界；\n- **等化子**：因为 Hom 至多一个元素，平行的 $f, g$ 只有「相等」或「不平行」两种，所以等化子平凡。\n\n**由此立刻得到**：完备格 = 有所有小极限与小余极限的偏序集；$\\mathbb{Q}$ 作为偏序集**不**完备（$\\{q : q^{2} < 2\\}$ 没有上确界）—— 这与实数完备性那条是同一件事的两种说法。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 1.30" ] }, { "id": "def.strict-morphism", "type": "definition", "label": "严格态射", "title": "严格态射（Strict Morphism）", "label_en": "strict morphism", "title_en": "Strict Morphism", "en_page": "nodes/def.strict-morphism.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.structure", "layer": 16, "tags": [ "范畴论", "严格", "余像", "像" ], "statement": "态射 $f : X \\to Y$ 叫**严格的**（strict），如果它在**余像**上的分解 $X \\twoheadrightarrow \\operatorname{coim} f \\to \\operatorname{im} f \\hookrightarrow Y$ 中间那一步是**同构** —— 即「余像与像之间的自然映射」可逆。", "notes": "⭐ **「严格」是阿贝尔范畴与一般范畴的分水岭**：阿贝尔范畴的**每条态射都严格**；而 $\\mathbf{Top}$ 里不严格。\n\n**反例为什么在拓扑里出现**：$\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}} \\to \\mathbb{R}$ 是单态射（同构于自己的像），但它的**余像**平凡（因为像在余核里被商掉了），于是余像 $\\to$ 像那一步不是同构。**这正是一条 $\\mathbf{Top}$ 上「拓扑阿贝尔群不是阿贝尔范畴」的原因。**\n\n**在 $\\mathbf{Set}$ 与 $\\mathbf{Ab}$ 里每条态射都严格**：那边余像与像都能具体算成分解，中间那个映射就是恒等。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 1.33" ] }, { "id": "prop.preserves-products-kernels", "type": "proposition", "label": "保积与核 ⟹ 保所有有限极限", "title": "保积 + 保核 $\\implies$ 保所有有限极限", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "保极限", "积", "核", "左正合" ], "statement": "函子 $F$ 若保**所有有限积**与**所有核**（等化子），则 $F$ 保**所有有限极限**（即 $F$ 左正合）。", "notes": "**证明。** 记 $F : \\mathcal{C}\\to\\mathcal{D}$ 保有限积与核（等化子）。\n- **有限极限的标准构造**：对有限图 $D : I\\to\\mathcal{C}$，令 $P := \\prod_{i\\in I}D(i)$，并考虑两条态射\n$$P \\;\\underset{\\;q\\;}{\\overset{\\;p\\;}{\\rightrightarrows}}\\; \\prod_{u : i\\to j}D(j), \\qquad p := \\bigl(\\pi_{j}\\bigr)_{u},\\quad q := \\bigl(D(u)\\circ\\pi_{i}\\bigr)_{u},$$\n即「第 $u$ 个坐标分别取 $D(u)$ 之后的投影与直接投影」。则\n$$\\lim D \\;\\cong\\; \\operatorname{eq}(p, q),$$\n（元素层面：$\\operatorname{eq}(p,q)$ 恰是一族相容的 $D(i)$ 元素，即 $D$ 的锥；泛性由积的泛性给出）✓。\n- **$F$ 保两步**：$F(P) \\cong \\prod_{i}FD(i)$（保有限积）✓；$F(\\operatorname{eq}(p,q)) \\cong \\operatorname{eq}(Fp, Fq)$（保核）✓。\n- **合起来**：把上面的构造用于 $FD$ 得到的等化子正是 $\\operatorname{eq}(Fp,Fq) \\cong F(\\operatorname{eq}(p,q))$，而它又是 $\\lim FD$ ✓。故 $F$ 保一切有限极限，即**左正合** ✓。∎\n⚠️ 只保「积」不够：还要保核（等化子），否则上面第二条会断。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.2" ] }, { "id": "prop.preserves-fibered-products-mono", "type": "proposition", "label": "保纤维积 ⟹ 保单态射", "title": "保拉回 $\\implies$ 保单态射", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 14, "tags": [ "范畴论", "纤维积", "拉回", "单态射", "保" ], "statement": "函子 $F$ 若保**纤维积**（拉回），则 $F$ 保**单态射**；对偶地，若保**纤维余积**（推出），则保**满态射**。", "notes": "**为什么**：$f : Y \\to X$ 是单态射，等价于说「$Y \\to X$ 上 $\\mathrm{id}$ 与 $\\mathrm{id}$ 的两个拉回重合」，即方块\n\n$$\\begin{array}{ccc} Y & \\xrightarrow{\\;\\mathrm{id}\\;} & Y \\\\[2pt] {\\scriptstyle \\mathrm{id}}\\big\\downarrow & & \\big\\downarrow{\\scriptstyle f} \\\\[2pt] Y & \\xrightarrow[\\;f\\;]{} & X \\end{array}$$\n\n是拉回方块。保拉回就把这个重合保下来了，于是 $F(f)$ 仍是单态射。∎", "refs": [ "Le Stum, Exercise 1.46" ] }, { "id": "prop.projective-coproduct", "type": "proposition", "label": "投射对象的余积投射", "title": "投射对象的余积还是投射的", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "投射对象", "余积", "对偶" ], "statement": "投射对象的**余积**还是投射的；对偶地，内射对象的**积**还是内射的。", "notes": "**证明。** 设 $P_{i}$（$i \\in I$）都投射，$Q := \\coprod_{i} P_{i}$，带余射 $\\iota_{i} : P_{i} \\to Q$。任给满态射 $e : X \\twoheadrightarrow Y$ 与 $f : Q \\to Y$，要造 $g$ 使 $e g = f$：\n- 限制到每个分量，$f \\iota_{i} : P_{i} \\to Y$。因为 $P_{i}$ 投射，存在 $g_{i} : P_{i} \\to X$ 使 $e g_{i} = f \\iota_{i}$；\n- 余积的**泛性质**给出唯一的 $g : Q \\to X$ 使 $g \\iota_{i} = g_{i}$（对所有 $i$）；\n- 于是 $e g \\iota_{i} = e g_{i} = f \\iota_{i}$ 对所有 $i$ 成立，再由余积泛性质的**唯一性**得 $e g = f$。∎\n\n对偶地（把上面每个箭头反向、余积换积、满态射换单态射）：内射对象的积仍内射。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1–5.2" ] }, { "id": "prop.ab-limits-forgetful", "type": "proposition", "label": "Ab(C) 的极限", "title": "$\\mathrm{Ab}(\\mathcal{C})$ 有所有极限", "region": "homology", "regions": [ "homology", "category" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "阿贝尔群对象", "极限", "遗忘函子" ], "statement": "若 $\\mathcal{C}$ 有所有极限，则 $\\mathrm{Ab}(\\mathcal{C})$ 也有所有极限，并且**遗忘函子** $\\mathrm{Ab}(\\mathcal{C}) \\to \\mathcal{C}$ 保它们。", "notes": "⭐ **实用价值**：这条让「在 $\\mathcal{C}$ 里算极限」与「在 $\\mathrm{Ab}(\\mathcal{C})$ 里算极限」完全一致 —— 凝聚态那一侧 $\\mathrm{Ab}(\\mathrm{Cond}) = \\mathrm{CondAb}$ 有所有极限，就是这条在 $\\mathcal{C} = \\mathrm{Cond}$ 上的一次应用。\n\n**证明（极限在遗忘函子下逐项算）。** 阿贝尔群对象的定义是一组态射与**交换图**：\n$$m : X \\times X \\to X, \\qquad e : 1 \\to X, \\qquad i : X \\to X$$\n配上一串等式（结合、单位、逆、交换性）—— 全是「两个复合相等」形式的图。\n- 设 $D : I \\to \\mathrm{Ab}(\\mathcal{C})$ 是可图表，记 $UX$ 为 $X$ 的底对象。因为极限保持极限（特别地保持有限积与终对象），把上述各图和等式逐项送进 $\\mathcal{C}$ 后仍然成立；于是底对象上的 $\\lim UD$ **自动**带上阿贝尔群对象的结构，$m$ 取 $\\lim (Um \\circ \\text{交换}) $、$e$ 取 $\\lim Ue$。\n- 于是 $\\mathrm{Ab}(\\mathcal{C})$ 有 $I$-极限，而遗忘函子把它送到 $\\mathcal{C}$ 里的 $\\lim UD$ —— 即**保极限**。\n- 细节只在一处：$\\lim$ 与有限积的交换（$U \\lim = \\lim U$ 与 $\\lim(X_{i}\\times Y_{i}) = \\lim X_{i}\\times \\lim Y_{i}$），那是极限的一般性质。∎", "refs": [ "Le Stum, Exercise 1.52" ] }, { "id": "prop.left-adjoint-unique", "type": "proposition", "label": "左伴随唯一", "title": "同一个右伴随的左伴随在同构意义下唯一", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 10, "tags": [ "范畴论", "伴随", "唯一性" ], "statement": "若 $F_{1} \\dashv G$ 且 $F_{2} \\dashv G$，则 $F_{1} \\cong F_{2}$（对偶地：同一个左伴随的右伴随在同构意义下唯一）。", "notes": "**证明。** 设 $F_{1}\\dashv G$、$F_{2}\\dashv G$，伴随同构记为 $\\varphi_{1}, \\varphi_{2}$。\n- 对任意 $X \\in \\mathcal{C}$ 与 $Y \\in \\mathcal{D}$，\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F_{1}X, Y\\bigr) \\xrightarrow{\\;\\varphi_{1}\\;} \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X, GY\\bigr) \\xrightarrow{\\;\\varphi_{2}^{-1}\\;} \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F_{2}X, Y\\bigr)$$\n是一个与 $Y$ 自然同构 ✓。\n- 由 **Yoneda 引理**，自然同构 $\\operatorname{Hom}(F_{1}X, -) \\cong \\operatorname{Hom}(F_{2}X, -)$ 唯一地来自一个同构 $\\theta_{X} : F_{1}X \\to F_{2}X$ ✓。\n- $\\theta$ 对 $X$ 自然：$\\theta$ 是「用同两个伴随同构拼出来的」，而伴随同构对两个变量都自然，故 $\\theta : F_{1} \\to F_{2}$ 是自然同构 ✓。\n- 同一条论证交换 $\\mathcal{C}$ 与 $\\mathcal{D}^{\\mathrm{op}}$ 就得到右伴随的唯一性 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5" ] }, { "id": "prop.counit-epi-iff-faithful", "type": "proposition", "label": "余单位与忠实性", "title": "$G$ 忠实 $\\iff$ 余单位是满", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 11, "tags": [ "范畴论", "伴随", "余单位", "忠实" ], "statement": "设 $F \\dashv G$，单位 $\\eta$、余单位 $\\varepsilon$。则 $G$ **忠实** $\\iff$ 余单位 $\\varepsilon$ 是**满态射**（对偶地：$F$ 忠实 $\\iff$ 单位是单态射）。", "notes": "**证明。** 设 $F \\dashv G$，伴随同构 $\\varphi_{Y,Z} : \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(FY, Z) \\xrightarrow{\\ \\cong\\ } \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(Y, GZ)$，余单位 $\\varepsilon_{Y} = \\varphi^{-1}(1_{GY})$。\n- **关键同构**：由三角恒等式，下面的方块交换（对一切 $Z$）：\n$$\\begin{array}{ccc} \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(Y, Z) & \\xrightarrow{\\ G_{Y,Z}\\ } & \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(GY, GZ)\\\\ {\\scriptstyle \\operatorname{Hom}(\\varepsilon_{Y}, Z)}\\big\\downarrow & & \\big\\downarrow{\\scriptstyle \\cong\\ \\varphi_{GY,Z}} \\\\ \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(FGY, Z) & \\xrightarrow[\\ \\cong\\ ]{} & \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(GY, GZ)\\end{array}$$\n即 $\\varphi_{GY,Z}\\circ\\operatorname{Hom}(\\varepsilon_{Y}, Z) = G_{Y,Z}$ ✓。\n- 于是（用「$e$ 是满态射 $\\iff$ $\\operatorname{Hom}(e, Z)$ 对一切 $Z$ 是单射」这条刻画）\n$$\\varepsilon_{Y}\\text{ 满} \\iff \\forall Z:\\ \\operatorname{Hom}(\\varepsilon_{Y},Z)\\text{ 单} \\iff \\forall Z:\\ G_{Y,Z}\\text{ 单} \\iff G\\text{ 忠实} ✓$$\n- 对偶地（把整个论证搬到 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}, \\mathcal{D}^{\\mathrm{op}}$）得 $F$ 忠实 $\\iff$ 单位 $\\eta$ 是单态射 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5" ] }, { "id": "prop.ab6", "type": "proposition", "label": "AB6：滤过余极限与积交换", "title": "$\\mathbf{Ab}$ 满足 AB6", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "AB6", "滤过余极限", "积" ], "statement": "在 $\\mathbf{Ab}$（以及 $A\\text{-}\\mathbf{Mod}$）里**一族滤过余极限与积交换**，这就是 Grothendieck 的 **AB6** 公理：对任意指标族 $J$、**各自**的滤过范畴 $I_{j}$（$j \\in J$）与函子 $M_{j} : I_{j} \\to \\mathbf{Ab}$，自然映射\n\n$$\\varinjlim_{(i_{j})_{j} \\in \\prod_{j} I_{j}} \\ \\prod_{j \\in J} M_{j}(i_{j}) \\longrightarrow \\prod_{j \\in J} \\varinjlim_{i_{j} \\in I_{j}} M_{j}(i_{j})$$\n\n是同构。", "notes": "**证明（两边各算一次）。** 余极限取在 $\\prod_{j} I_{j}$ 上，而滤过范畴的**积**仍是滤过的（任意两个对象 $(i_{j})$、$(i'_{j})$ 在每个分量上各取上界，再逐坐标拼起来）。\n- **单**：左边一个元素是某一点 $(i_{j})_{j}$ 上的族 $(x_{j})_{j}$。若它在右边为 $0$，则对每个 $j$ 存在 $i_{j} \\to i'_{j}$ 把 $x_{j}$ 杀掉；$(i'_{j})_{j}$ 就是 $\\prod_{j} I_{j}$ 里接受它的那个对象，于是这个类本身就是 $0$。\n- **满**：右边任给 $(t_{j})_{j}$，每个 $t_{j}$ 由某个 $x_{j} \\in M_{j}(i_{j})$ 表示；把 $(i_{j})_{j}$ 与 $(x_{j})_{j}$ 拼起来就是左边的一个元素，它映到 $(t_{j})_{j}$。∎\n\n⚠️ **关键是「每个 $j$ 各有自己的滤过范畴」。** 若所有 $j$ 共用同一个 $I$（取对角），断言**是错的** —— 那时只有 $J$ **有限**才对（那就是「滤过余极限与有限积交换」，来自滤过余极限是 sifted 余极限）。\n反例：$I = (\\mathbb{N}, \\le)$、$M_{i,j} = \\mathbb{Z}/p^{i}$，转移映射取「乘以 $p$」，于是 $\\varinjlim_{i} \\mathbb{Z}/p^{i} = \\mathbb{Z}[1/p]/\\mathbb{Z}$。取 $t = (t_{j})_{j}$，其中 $t_{j}$ 是阶为 $p^{j}$ 的那个元素：任何单个 $i$ 上，元素只能有阶 $\\le p^{i}$，所以 $j > i$ 的分量根本提不出来 —— 而 $\\prod_{j} I_{j}$ 上就没这个问题，每个 $j$ 可以各自跑到够高的层级。\n\n与 AB5 的关系：AB6 = AB5 + 上面这条（AB5 管「滤过余极限正合」，AB6 再管「它与积交换」）。", "refs": [ "Le Stum, Definition 5.2.5" ] }, { "id": "prop.ind-reflective", "type": "proposition", "label": "C 是 Ind(C) 的反射子范畴", "title": "$\\mathcal{C} \\hookrightarrow \\operatorname{Ind}(\\mathcal{C})$ 是反射", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "Ind-对象", "反射子范畴", "滤过余极限" ], "statement": "若 $\\mathcal{C}$ 有滤过余极限，则 $\\mathcal{C}$ 是 $\\operatorname{Ind}(\\mathcal{C})$ 的**反射子范畴**。", "notes": "**证明。** 记嵌入为 $i : \\mathcal{C} \\hookrightarrow \\operatorname{Ind}(\\mathcal{C})$，它把 $X$ 看成常图的形式余极限。\n- **反射函子**取 $F\\bigl(\\varinjlim_{i}X_{i}\\bigr) := \\varinjlim_{i}X_{i}$（在 $\\mathcal{C}$ 里真实存在的那个，由假设存在；$\\operatorname{Ind}$ 里形式余极限的表示在同构意义下唯一，故良定义）✓。\n- **伴随**：对 $X \\in \\mathcal{C}$ 与形式余极限 $\\varinjlim_{j}Y_{j}$，$\\operatorname{Ind}$ 里的 Hom 由余极限定义，而 $X$ 是**紧**的（在 $\\mathcal{C}$ 里可表示），故\n$$\\operatorname{Hom}_{\\operatorname{Ind}}\\bigl(X, \\varinjlim_{j}Y_{j}\\bigr) \\;=\\; \\varinjlim_{j}\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y_{j}) \\;=\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X, \\varinjlim_{j}Y_{j}\\bigr) \\;=\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X, F(\\varinjlim_{j}Y_{j})\\bigr),$$\n对 $X$ 自然 —— 即 $i \\dashv F$（等价地 $F$ 是反射）✓。\n- **余单位是同构**：$\\varepsilon : F\\,i(X) = X \\to X$ 就是恒等 ✓；对一般的 $\\varinjlim Y_{j}$，$\\varepsilon: F(\\varinjlim Y_{j}) \\to \\varinjlim Y_{j}$ 也是同构（把表示换到 $\\mathcal{C}$ 里）✓。∎\n\n**反射函子**就是「取形式余极限的真正余极限」：把 Ind-对象「$\\varinjlim X_{i}$」送到 $\\mathcal{C}$ 里真实存在的那个 $\\varinjlim X_{i}$。\n\n⭐ 于是 $\\operatorname{Ind}(\\mathcal{C})$ 是「把 $\\mathcal{C}$ 补齐到对滤过余极限封闭」的最小范畴 —— 反射性说的正是「补完之后原来的东西没被改坏」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "prop.filtered-finite-colimits", "type": "proposition", "label": "滤过 + 有限余极限 ⟹ 所有余极限", "title": "有余滤过余极限与有限余极限 $\\implies$ 有所有余极限", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 12, "tags": [ "范畴论", "滤过余极限", "余极限", "完备性" ], "statement": "有**滤过余极限**与**有限余极限**的范畴有**所有余极限**。", "notes": "**证明。** 记 $\\mathcal{C}$ 有有限余极限与滤过余极限。\n- **先看小指标**：设 $I$ 是任一小范畴，$D : I \\to \\mathcal{C}$。令 $\\operatorname{Fin}(I)$ 是 $I$ 的**有限子范畴**（对象集有限、且对其中每对对象只取有限多个态射）的全体，按包含构成偏序 —— 它是**滤过**的（两个有限子范畴的并仍有限）✓。\n- **两步走**：$\\varinjlim_{I} D$ 可以这样算：先在每个有限子范畴 $J$（沿含入 $J \\hookrightarrow I$）上取余极限 $\\varinjlim_{J}D|_{J}$ —— 这是**有限**余极限（有限图）✓；再沿 $J$ 的滤过序取余极限，得到 $\\varinjlim_{J \\in \\operatorname{Fin}(I)}\\bigl(\\varinjlim_{J} D\\bigr)$，它与 $\\varinjlim_{I}D$ 满足同一个泛性质（两条余锥的相容性互相翻译）故同构 ✓。\n- 于是任何余极限都是「有限余极限的滤过余极限」，两者都在 $\\mathcal{C}$ 里，故 $\\mathcal{C}$ 有所有余极限 ✓。∎\n⚠️ 前提「有限余极限」不能只留「余积」：还要有推出 / 余等化子，上面的两步走才封得住。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3" ] }, { "id": "prop.ring-tensor-coproduct", "type": "proposition", "label": "交换环的纤维余积是张量积", "title": "交换环的推出 = 张量积", "region": "algebra", "regions": [ "algebra", "category" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 19, "tags": [ "代数", "环", "张量积", "推出" ], "statement": "在**交换环**范畴里，沿 $A \\to B$、$A \\to C$ 的**纤维余积**（推出）是 $B \\otimes_{A} C$。", "notes": "**证明（验证推出的泛性质）。** 记 $D := B\\otimes_{A} C$，$\\beta : B\\to D$、$\\gamma : C\\to D$ 为 $b\\mapsto b\\otimes 1$、$c\\mapsto 1\\otimes c$。\n- **方块交换**：$\\beta(a\\cdot 1_{B}) = a\\otimes 1 = 1\\otimes a\\cdot 1 = \\gamma(a\\cdot 1_{C})$，即 $\\beta\\circ(A\\to B) = \\gamma\\circ(A\\to C)$ ✓；\n- **泛性质**：任给交换环 $E$ 与同态 $f : B\\to E$、$g : C\\to E$ 使 $f|_{A} = g|_{A}$，定义\n$$\\varphi\\Bigl(\\sum_{k} b_{k}\\otimes c_{k}\\Bigr) := \\sum_{k} f(b_{k})\\,g(c_{k}) \\in E .$$\n它是**良定义**的：$\\otimes$ 的双线性关系逐条被 $f,g$ 的乘法性与 $f|_{A}=g|_{A}$ 满足（例如 $ab\\otimes c - b\\otimes ac \\mapsto f(ab)g(c)-f(b)g(ac) = f(a)f(b)g(c) - f(b)g(a)g(c) = 0$）✓；由交换性 $\\varphi$ 是环同态 ✓；且 $\\varphi\\beta = f$、$\\varphi\\gamma = g$ ✓。\n- **唯一性**：$D$ 由 $\\beta(B)\\cup\\gamma(C)$ 生成（$b\\otimes c = \\beta(b)\\gamma(c)$），故在两个生成块上定死就唯一 ✓。\n于是 $D$ 满足推出的泛性质，即 $B\\otimes_{A}C = B\\coprod_{A} C$。∎\n⚠️ **交换性是必需的**：非交换环上，$B\\otimes_{A}C$ 一般不是环（乘法在张量积上不下降）—— 那时纤维余积要用自由积 / 余等化子另造。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 1.36" ] }, { "id": "prop.k-calculus-fractions", "type": "proposition", "label": "K(A) 允许分式演算", "title": "$K(\\mathcal{A})$ 关于拟同构允许左右分式演算", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "同伦范畴", "拟同构", "分式演算" ], "statement": "$K(\\mathcal{A})$ 关于**拟同构**这一族态射同时允许**左**与**右分式演算**。", "notes": "**预备：锥零调 $\\iff$ 拟同构。** 复形态射 $s : K^{\\bullet} \\to L^{\\bullet}$ 是拟同构，当且仅当它的**映射锥** $M(s)^{\\bullet}$ 零调 —— 三角 $K^{\\bullet} \\to L^{\\bullet} \\to M(s)^{\\bullet} \\to K^{\\bullet}[1]$ 取同调得长正合列，$M(s)$ 零调正是「$H^{n}(s)$ 全是同构」。\n\n**Ore 条件。** 给定拟同构 $w : L'^{\\bullet} \\to L^{\\bullet}$ 与任意 $f : K^{\\bullet} \\to L^{\\bullet}$。记 $\\theta := f - w : K^{\\bullet} \\oplus L'^{\\bullet} \\to L^{\\bullet}$，取它的**移位锥** $N^{\\bullet} := M(\\theta)[-1]$ —— 锥的三角给出两个态射，方形交换\n\n\n\n$$N^{\\bullet} \\xrightarrow{\\;g\\;} K^{\\bullet}, \\qquad N^{\\bullet} \\xrightarrow{\\;t\\;} L'^{\\bullet}, \\qquad f \\circ g = w \\circ t .$$\n\n\n\n**为什么 $t$ 是拟同构。** 关键在「把 $w$ 放在 $\\theta$ 的第二个分量」：于是 $\\theta_{*}$ 的第二分量是 $w_{*}$，可逆，所以 $\\theta_{*}$ 是**满**的，三角的长正合列就把 $M(\\theta)$ 的同调压进 $\\ker \\theta_{*}$ 里：\n- $\\theta_{*}$ 满，故连接同态为零，$H^{n}(M(\\theta)) \\cong \\ker \\theta_{*}^{n}$；\n- $\\ker \\theta_{*}^{n} = \\{(k, \\ell) : f_{*}k = w_{*}\\ell\\} \\xrightarrow{\\;\\sim\\;} H^{n}(K^{\\bullet})$（给定 $k$，$\\ell = w_{*}^{-1}f_{*}k$ 唯一）；\n- 这条同构下 $H^{n}(N^{\\bullet}) = H^{n-1}(M(\\theta)) \\xrightarrow{\\;t_{*}\\;} H^{n}(L'^{\\bullet})$ 就是 $w_{*}^{-1}f_{*}$，是**同构**。\n\n**消去条件。** 设 $f \\circ s \\simeq g \\circ s$（$s$ 是拟同构），记 $h := f - g$。则 $h s \\simeq 0$；由映射锥的泛性质，$h$ 分解成 $L^{\\bullet} \\xrightarrow{\\;i\\;} M(s)^{\\bullet} \\xrightarrow{\\;h'\\;} M^{\\bullet}$。取 $t : M^{\\bullet} \\to M(h')^{\\bullet}$ 为映射锥的包含，则 $t h \\simeq 0$；而三角 $M(s) \\xrightarrow{h'} M^{\\bullet} \\xrightarrow{t} M(h') \\to M(s)[1]$ 的长正合列配上「$M(s)$ 零调」给出 $H^{n}(M^{\\bullet}) \\cong H^{n}(M(h')^{\\bullet})$ —— 所以 **$t$ 是拟同构**，于是 $t f \\simeq t g$。\n\n恒等是拟同构、拟同构对复合封闭 —— 这两条平凡（$H^{n}$ 是函子）。**左**分式演算把同一套构造放到 $\\mathcal{A}^{\\mathrm{op}}$ 里做（等价地：让 $\\theta$ 的拟同构分量换到第一边）即得。∎\n\n⭐ **意义**：有了它，$D(\\mathcal{A})$ 的态射就能老老实实写成**屋顶** $K^{\\bullet} \\xleftarrow{\\;\\sim\\;} K'^{\\bullet} \\longrightarrow L^{\\bullet}$，不必去处理任意长的分式链。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 7.2.1" ] }, { "id": "def.derived-category", "type": "definition", "label": "导出范畴", "title": "导出范畴 $D(\\mathcal{A})$", "label_en": "derived category", "title_en": "derived category", "en_page": "nodes/def.derived-category.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "导出范畴", "局部化", "拟同构" ], "statement": "阿贝尔范畴 $\\mathcal{A}$ 的**导出范畴** $D(\\mathcal{A})$ 是**同伦范畴 $K(\\mathcal{A})$ 关于拟同构的局部化**。\n\n于是 $D(\\mathcal{A})$ 的对象与 $K(\\mathcal{A})$（等价地 $C(\\mathcal{A})$）相同，而 $K^{\\bullet} \\to L^{\\bullet}$ 的一个态射是一个「屋顶」：\n\n$$K^{\\bullet} \\xleftarrow{\\ \\sim\\ } K'^{\\bullet} \\longrightarrow L^{\\bullet},$$\n\n左边的箭头是**拟同构**（已变成同构）。", "notes": "⭐ **为什么要在 $K(\\mathcal{A})$ 里再商一次**：$K(\\mathcal{A})$ 里同伦的态射被identify了，但**拟同构还不是同构** —— 而求导函子、$\\operatorname{Ext}$、谱序列这些机器真正想要的，是「拟同构 = 同构」的那个范畴。$D(\\mathcal{A})$ 就是为此造的。\n\n**「屋顶」是什么**：局部化一般不能只靠「右走一步」，因为拟同构不总能通分；于是态射写成「先逆一个拟同构、再走一步」。这也正是 $D(\\mathcal{A})$ 的 Hom **可能不再是集合**的原因 —— 只有当 $\\mathcal{A}$ 有足够多内射（或投射）时才控制得住。\n\n📌 上有界、下有界、有界版本记 $D^{+}$、$D^{-}$、$D^{b}$；内射复形的版本记 $K^{+}(\\mathcal{I})$ 等。", "refs": [ "Le Stum, Definition 7.2.2" ] }, { "id": "prop.exact-to-triangle", "type": "proposition", "label": "正合列给出导出三角", "title": "复形的短正合列 $\\implies$ 导出三角", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 15, "tags": [ "同调代数", "正合列", "导出三角", "映射锥" ], "statement": "若 $0 \\to K^{\\bullet} \\xrightarrow{\\;f\\;} L^{\\bullet} \\xrightarrow{\\;g\\;} M^{\\bullet} \\to 0$ 是复形的**短正合列**，则在 $D(\\mathcal{A})$ 里存在**导出三角**\n\n$$K^{\\bullet} \\xrightarrow{\\;f\\;} L^{\\bullet} \\xrightarrow{\\;g\\;} M^{\\bullet} \\longrightarrow K^{\\bullet}[1].$$", "notes": "本质上是说：这个短正合列「就是」某个映射锥三角（在 $D(\\mathcal{A})$ 里同构于 $K^{\\bullet} \\xrightarrow{f} L^{\\bullet} \\to M(f) \\to K^{\\bullet}[1]$）。\n\n**证明。** 由映射锥的显式写法（$M(f)^{n} = L^{n}\\oplus K^{n+1}$），复合\n$$M(f)^{n} \\longrightarrow L^{n} \\xrightarrow{\\;g\\;} M^{n}$$\n是复形态射（把 $L^{n}$ 那一块投过去），记作 $\\varphi : M(f)^{\\bullet} \\to M^{\\bullet}$。于是有复形的短正合列\n$$0 \\to M(\\mathrm{id}_{K^{\\bullet}})^{\\bullet} \\longrightarrow M(f)^{\\bullet} \\xrightarrow{\\;\\varphi\\;} M^{\\bullet} \\to 0 .$$\n而 $M(\\mathrm{id}_{K^{\\bullet}})$ 是**零调**的（$\\mathrm{id}_{K}$ 是拟同构；显式看就是可缩复形）。取长正合列，两头零调把首尾杀掉，读出 $\\varphi$ 是**拟同构** —— 于是它在 $D(\\mathcal{A})$ 里是同构，三角 $K^{\\bullet} \\xrightarrow{f} L^{\\bullet} \\to M(f)^{\\bullet} \\to K^{\\bullet}[1]$ 与要的那条同构。∎\n\n⭐ **这就是长正合列的来源**：有了三角，取同调函子（三角 $\\implies$ 同调长正合列）就直接得到长正合列 —— 见「导出函子的长正合列」。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 7.2.4" ] }, { "id": "prop.hom-k-eq-hom-d", "type": "proposition", "label": "Hom 在同伦范畴与导出范畴里一样", "title": "$\\operatorname{Hom}_{K}(K^{\\bullet}, I^{\\bullet}) = \\operatorname{Hom}_{D}(K^{\\bullet}, I^{\\bullet})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 16, "tags": [ "同调代数", "导出范畴", "内射", "同伦范畴" ], "statement": "设 $K^{\\bullet} \\in C(\\mathcal{A})$、$I^{\\bullet} \\in C^{+}(\\mathcal{I})$（上有界内射复形）。则局部化函子给出的映射\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}(\\mathcal{A})}(K^{\\bullet}, I^{\\bullet}) \\xrightarrow{\\;\\sim\\;} \\operatorname{Hom}_{D(\\mathcal{A})}(K^{\\bullet}, I^{\\bullet})$$\n\n是双射。对偶地：以**投射**复形为源（$P^{\\bullet} \\in C^{-}(\\mathcal{P})$）时同样成立。", "notes": "**要用的那条引理。** 若 $s : K'^{\\bullet} \\to K^{\\bullet}$ 是拟同构、$I^{\\bullet} \\in C^{+}(\\mathcal{I})$，则「右乘 $s$」\n\n\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}}(K^{\\bullet}, I^{\\bullet}) \\xrightarrow{\\;\\circ s\\;} \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}}(K'^{\\bullet}, I^{\\bullet})$$\n\n\n\n是**双射**。证：把 $s$ 补成三角 $K'^{\\bullet} \\to K^{\\bullet} \\to M^{\\bullet} \\to K'^{\\bullet}[1]$（$M^{\\bullet}$ 零调），对共调函子 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}}(-, I^{\\bullet})$ 取长正合列得\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}}(M^{\\bullet}[-1], I^{\\bullet}) \\to \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}}(K^{\\bullet}, I^{\\bullet}) \\xrightarrow{\\;\\circ s\\;} \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}}(K'^{\\bullet}, I^{\\bullet}) \\to \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}}(M^{\\bullet}, I^{\\bullet}),$$\n再用「零调的源到上有界内射复形的态射同伦于零」（逐项提升造同伦 $s^{n+1} \\circ d^{n} = f^{n} - d^{n-1}\\circ s^{n}$）把两头杀掉。\n\n**满。** $D$ 里的态射是屋顶 $K^{\\bullet} \\xleftarrow{\\;s\\;} K'^{\\bullet} \\xrightarrow{\\;q\\;} I^{\\bullet}$（$s$ 拟同构）。由引理「右乘 $s$」是满射，存在 $p : K^{\\bullet} \\to I^{\\bullet}$ 使 $p s \\simeq q$ —— 屋顶与直接态射 $p$ 在 $D$ 里表示同一个态射。\n\n**单。** 若 $p, p'$ 在 $D$ 里相等，则存在拟同构 $s$ 使 $p s \\simeq p' s$（屋顶的等价关系按定义就是「存在公共细化」）；由引理「右乘 $s$」是单射，得 $p \\simeq p'$。∎\n\n⭐ **用途**：这是「上有界内射复形**就是**导出范畴」与「用内射消解算 $R\\operatorname{Hom}$」两件事的共同地基 —— 以 $I^{\\bullet}$ 为靶时，同伦类和导出态射没有区别，于是可以安心在 $\\mathbf{K}$ 里算。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 7.2.5" ] }, { "id": "thm.k-plus-injectives", "type": "theorem", "label": "内射复形就是导出范畴", "title": "$K^{+}(\\mathcal{I}) \\simeq D^{+}(\\mathcal{A})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 16, "tags": [ "同调代数", "导出范畴", "内射消解", "等价" ], "statement": "若 $\\mathcal{A}$ **有足够多内射对象**，则含入函子\n\n$$\\mathbf{K}^{+}(\\mathcal{I}) \\xrightarrow{\\;\\sim\\;} D^{+}(\\mathcal{A})$$\n\n是**范畴等价**。对偶地：有足够多投射对象时 $\\mathbf{K}^{-}(\\mathcal{P}) \\xrightarrow{\\;\\sim\\;} D^{-}(\\mathcal{A})$。", "notes": "记 $\\mathbf{K}^{+}(\\mathcal{I})$ 为**上有界内射复形**模同伦构成的范畴。这条说：要算 $D^{+}(\\mathcal{A})$ 里的东西，**只需要看内射复形**。\n\n**证明：全忠实 + 本质满。**\n- **全忠实**：源与靶都是 $C^{+}(\\mathcal{I})$ 里的复形，由「上有界内射复形里 Hom 就是导出 Hom」直接得 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}}(I^{\\bullet}, J^{\\bullet}) = \\operatorname{Hom}_{D}(I^{\\bullet}, J^{\\bullet})$，所以含入在 Hom 上是双射。\n- **本质满**：任给 $K^{\\bullet} \\in C^{+}(\\mathcal{A})$，由「足够多内射」可逐项提升，造出**由单射组成**的内射消解 $K^{\\bullet} \\rightarrowtail I^{\\bullet}$（同伦范畴里每步用内射性延拓态射即可，从上往下递推）。消解是拟同构，于是在 $D^{+}(\\mathcal{A})$ 里是同构 —— $K^{\\bullet}$ 与 $I^{\\bullet}$ 同构。\n\n⭐ **实用价值**：这就是「用内射消解算右导出函子」的合法性来源 —— 右导出函子 $RF$ 的定义本来就要求把复形换成内射复形，这条保证了那一侧的范畴**就是**导出范畴本身，替换不会丢信息。", "refs": [ "Le Stum, Theorem 7.2.6", "Le Stum, Proposition 7.1.21" ] }, { "id": "def.right-derived-functor", "type": "definition", "label": "右导出函子", "title": "右导出函子 $RF$", "label_en": "right derived functor", "title_en": "right derived functor", "en_page": "nodes/def.right-derived-functor.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 11, "tags": [ "同调代数", "导出函子", "内射消解", "求导" ], "statement": "设 $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{A}'$ 是**加法函子**、$\\mathcal{A}$ 有足够多内射对象。$F$ 的**右导出函子** $RF$ 是（在同构意义下唯一的）使下图交换的函子\n\n$$\\begin{array}{ccc} K^{+}(\\mathcal{A}) & \\xrightarrow{\\;F\\;} & K^{+}(\\mathcal{A}') \\\\[2pt] {\\scriptstyle \\text{换成内射复形}}\\big\\downarrow & & \\\\[2pt] K^{+}(\\mathcal{I}) & \\xrightarrow[\\;RF\\;]{} & \\end{array}$$", "notes": "**读法**：$F$ 本身不正合（所以不能把它直接送到导出范畴里），但**先把复形换成内射复形**、再作用 $F$、再回导出范畴，这一步就正合了 —— 那个复合就是 $RF$。\n\n**分量形式**：$R^{n}F(M) := H^{n}(RF(M))$，其中 $M$ 看成集中在 $0$ 次的复形。$R^{0}F = F$（对左正合函子），$R^{n}F = 0$（$n < 0$）。\n\n⭐ **动机**：$F$ 左正合时，短正合列 $0 \\to M' \\to M \\to M'' \\to 0$ 只给出 $0 \\to FM' \\to FM \\to FM''$ —— **右边断掉了**。右导出函子 $R^{1}F(M'')$ 正好补上那个断口，把长正合列接起来。\n\n**对偶**：左导出函子 $LF$ 用**投射**消解，补的是「右半段断掉」的情形（$M \\otimes_{A} -$、$\\operatorname{Tor}$）。", "refs": [ "Le Stum, Definition 7.2.7" ] }, { "id": "thm.derived-long-exact", "type": "theorem", "label": "导出函子的长正合列", "title": "短正合列 $\\implies$ 右导出函子的长正合列", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "导出函子", "长正合列" ], "statement": "任意短正合列 $0 \\to K^{\\bullet} \\to L^{\\bullet} \\to M^{\\bullet} \\to 0$（在 $C^{+}(\\mathcal{A})$ 里）给出长正合列\n\n$$\\cdots \\to R^{n}FK^{\\bullet} \\to R^{n}FL^{\\bullet} \\to R^{n}FM^{\\bullet} \\xrightarrow{\\ \\delta\\ } R^{n+1}FK^{\\bullet} \\to \\cdots$$", "notes": "（$\\delta$ 就是三角的连接同态经 $H^{n}$ 取出来的那一段。）\n\n**证明。** 由「短正合列给出导出三角」，在 $D^{+}(\\mathcal{A})$ 里有导出三角\n$$K^{\\bullet} \\to L^{\\bullet} \\to M^{\\bullet} \\to K^{\\bullet}[1].$$\n由 $\\mathbf{K}^{+}(\\mathcal{I}) \\simeq D^{+}(\\mathcal{A})$，可以假设这三个复形都**由内射对象组成**，态射也都在 $C(\\mathcal{A})$ 里取到（同构不改变同调）。于是把它们送到 $K^{+}(\\mathcal{A}')$ 里仍然是一条三角（$F$ 加法，映射锥三角逐项送过去还是映射锥三角）。\n而 $H^{n} : \\mathbf{K}(\\mathcal{A}') \\to \\mathcal{A}'$ 是**共调函子**：三角取同调就是长正合列。在内射复形上 $R^{n}F = H^{n}F$，于是得到\n$$\\cdots \\to H^{n}FK^{\\bullet} \\to H^{n}FL^{\\bullet} \\to H^{n}FM^{\\bullet} \\to H^{n+1}FK^{\\bullet} \\to \\cdots ,$$\n正是要的那条。∎\n\n⭐ **这就是「求导」的全部收益**：原来 $F$ 只给半条，$RF$ 把连接同态 $\\delta$ 补上，长正合列就活了。", "refs": [ "Le Stum, Theorem 7.2.8" ] }, { "id": "def.ext", "type": "definition", "label": "扩展群 Ext", "title": "扩展群 $\\operatorname{Ext}^{n}$", "label_en": "extension group", "title_en": "extension group", "en_page": "nodes/def.ext.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 16, "tags": [ "同调代数", "Ext", "导出范畴", "扩展" ], "statement": "$L^{\\bullet}$ 被 $K^{\\bullet}$ 的**第 $n$ 个扩展群**是\n\n$$\\operatorname{Ext}^{n}(K^{\\bullet}, L^{\\bullet}) := \\operatorname{Hom}_{D(\\mathcal{A})}\\bigl(K^{\\bullet},\\ L^{\\bullet}[n]\\bigr).$$", "notes": "**几条立刻要记住的**（对 $\\mathcal{A}$ 里的对象 $M, N$）：\n\n\n\n- $\\operatorname{Ext}^{n}(M, N) = 0$（$n < 0$）；\n- $\\operatorname{Ext}^{0}(M, N) = \\operatorname{Hom}(M, N)$；\n- $\\operatorname{Ext}^{1}(M, N)$ **分类 $N$ 被 $M$ 的扩张**（同构意义下）；\n- 在 $\\mathbf{Ab}$ 里 $\\operatorname{Ext}^{n}(M, N) = 0$（$n > 1$）；\n- $\\operatorname{Ext}^{1}(\\mathbb{Z}/n\\mathbb{Z},\\ \\mathbb{Z}/m\\mathbb{Z}) = \\mathbb{Z}/d\\mathbb{Z}$，$d = \\gcd(m, n)$。\n\n⭐ **两种算法**：$\\operatorname{Ext}^{n} = $ 「导出范畴里的 Hom」（这条定义）$ = R^{n}\\operatorname{Hom}$（用内射消解算）。两者一致 —— 见下一条。", "refs": [ "Le Stum, Definition 7.2.9" ], "xref": { "wikipedia": "https://en.wikipedia.org/wiki/Ext_functor", "nlab": "https://ncatlab.org/nlab/show/Ext" } }, { "id": "prop.ext-is-rhom", "type": "proposition", "label": "Ext 就是 RHom", "title": "$R^{n}\\operatorname{Hom}(M, K^{\\bullet}) = \\operatorname{Ext}^{n}(M, K^{\\bullet})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "Ext", "RHom", "内射消解" ], "statement": "若 $M \\in \\mathcal{A}$、$K^{\\bullet} \\in C^{+}(\\mathcal{A})$，则 $R^{n}\\operatorname{Hom}(M, K^{\\bullet}) = \\operatorname{Ext}^{n}(M, K^{\\bullet})$（对偶地 $R^{n}\\operatorname{Hom}(-, N)$ 给出另一边的 $\\operatorname{Ext}$）。", "notes": "**证明。** 右边 $\\operatorname{Ext}^{n}(M, K^{\\bullet}) = \\operatorname{Hom}_{D}(M, K^{\\bullet}[n])$，左边用内射消解算。先化到 $K^{\\bullet}$ **本身就是内射复形**的情形（一般情形取内射消解 $K^{\\bullet} \\to I^{\\bullet}$，两边都对它不变）。于是由「上有界内射复形里 Hom 就是导出 Hom」\n$$\\operatorname{Ext}^{n}(M, I^{\\bullet}) = \\operatorname{Hom}_{D}(M, I^{\\bullet}[n]) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}}(M, I^{\\bullet}[n]) = H^{0}\\bigl(\\operatorname{Hom}(M, I^{\\bullet}[n])\\bigr) = H^{n}\\bigl(\\operatorname{Hom}(M, I^{\\bullet})\\bigr),$$\n而最右边正是 $R^{n}\\operatorname{Hom}(M, I^{\\bullet})$（内射复形上 $R\\operatorname{Hom} = \\operatorname{Hom}$）。\n**最后那步 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{K}} = H^{0}(\\operatorname{Hom})$ 要交代一句**：\n- $\\operatorname{Hom}_{C}(M, I^{\\bullet}) = Z^{0}\\bigl(\\operatorname{Hom}(M, I^{\\bullet})\\bigr)$ —— 链映射就是「$f : M \\to I^{0}$ 且 $d^{0} f = 0$」，即 $0$-闭上链；\n- $f$ 同伦于零 $\\iff$ $f = d^{0} \\circ s$（$M$ 集中在 $0$ 次，同伦只剩一项），即 $f \\in B^{0}$。\n两句话一比即得。∎\n\n⭐ **读法**：$\\operatorname{Ext}$ 有两种算法 —— 导出范畴里的 Hom，和用内射消解算的 $R^{n}\\operatorname{Hom}$；这条说它们给出同一个东西，所以实践中挑好算的那个。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 7.2.10" ] }, { "id": "def.f-acyclic", "type": "definition", "label": "F-零调对象", "title": "$F$-零调对象（$F$-Acyclic）", "label_en": "acyclic", "title_en": "acyclic", "en_page": "nodes/def.f-acyclic.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 12, "tags": [ "同调代数", "零调", "导出函子", "消解" ], "statement": "设 $F$ 是**左正合**加法函子、有足够多内射。对象 $M \\in \\mathcal{A}$ 叫（右）**$F$-零调的**，如果\n\n$$FM = RFM,$$\n\n即 $FM = R^{0}FM$ 且 $R^{n}FM = 0$（$n \\ne 0$）。", "notes": "**为什么重要**：$F$-零调对象**可以拿来做消解** —— 算 $RF$ 时不必只用内射对象，用零调对象也合法（这就是下一条 Leray 零调性说的）。\n\n**例子**：内射对象当然零调（$RF$ 就是用它们定义的）；平坦模对 $M \\otimes_{A} -$ 零调；**Stonean 空间上的凝聚态阿贝尔群**在取截面函子下零调 —— 那正是 §8 的开头。", "refs": [ "Le Stum, Definition 7.2.11" ] }, { "id": "prop.leray-acyclicity", "type": "proposition", "label": "Leray 零调性", "title": "Leray 零调性：零调复形算导出函子", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 13, "tags": [ "同调代数", "零调", "Leray", "导出函子" ], "statement": "若 $K^{\\bullet} \\in C^{+}(\\mathcal{A})$ 且每个 $K^{n}$ 都是 **$F$-零调**的，则 $RFK^{\\bullet} = FK^{\\bullet}$。", "notes": "**证明（截断 + 递推）。** 不妨设 $K^{n} = 0$（$n < 0$）。先设 $K^{\\bullet}$ **有界**，记它的「丢掉第 $0$ 项」的截断为 $K'^{\\bullet} := (K^{1} \\to K^{2} \\to \\cdots)$，有复形的短正合列\n$$0 \\to K'^{\\bullet} \\to K^{\\bullet} \\to [K^{0}] \\to 0 .$$\n由「短正合列给出导出三角」，它在 $D(\\mathcal{A})$ 里给出三角；把它与 $RF$ 作用后的三角摆在一起（右边用 $R^{n}F$ 的长正合列比较），两列竖直箭头构成三角之间的态射：\n$$\\begin{array}{ccccccc} FK'^{\\bullet} & \\to & FK^{\\bullet} & \\to & FK^{0} & \\to & FK'^{\\bullet}[1] \\\\ \\downarrow{\\scriptstyle \\sim} & & \\downarrow & & \\downarrow{\\scriptstyle \\sim} & & \\downarrow{\\scriptstyle \\sim} \\\\ RFK'^{\\bullet} & \\to & RFK^{\\bullet} & \\to & RFK^{0} & \\to & RFK'^{\\bullet}[1]. \\end{array}$$\n- 第三列左右相等，因为 $K^{0}$ 零调：$RFK^{0} = FK^{0}$；\n- 第一列由归纳假设（$K'^{\\bullet}$ 更短，且每一项仍零调）是同构；\n- 于是由三角的四条「五引理」（两端是同构则中间也是），中间那列也是同构，即 $RFK^{\\bullet} = FK^{\\bullet}$。\n**无界情形**：把 $K^{\\bullet}$ 按 $K''^{\\bullet} := (K^{0} \\to \\cdots \\to K^{n+1})$ 截出有界尾段，对 $0 \\to K'^{\\bullet} \\to K^{\\bullet} \\to K''^{\\bullet} \\to 0$ 取两条长正合列逐项比较（$\\varinjlim$ 让 $n \\to \\infty$），即得上一条。∎\n\n**推论（常用形式）**：若 $M \\to K^{\\bullet}$ 是**右消解**、且每个 $K^{n}$ 都 $F$-零调，则 $RFM = FK^{\\bullet}$，于是 $R^{n}FM = H^{n}(FK^{\\bullet})$ —— 这就是为什么算 $RF$ 不一定非要用内射消解。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 7.2.12" ] }, { "id": "thm.filtered-complex-spectral", "type": "theorem", "label": "过滤复形给出谱序列", "title": "下有界过滤复形 $\\implies$ 谱序列", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "谱序列", "过滤", "下有界" ], "statement": "设 $K^{\\bullet}$ 是**带过滤**的复形（递降过滤 $F^{p}K^{\\bullet}$），且**下有界**（对每个 $n$，$p \\ll 0$ 时 $F^{p}K^{n} = K^{n}$）。则存在谱序列\n\n$$E^{p,q}_{0} = \\operatorname{Gr}^{p}K^{p+q} \\;\\Longrightarrow\\; H^{p+q}(K^{\\bullet}).$$", "notes": "**构造（逐页逼近的真身）。** 对 $r \\ge 0$ 定义两族子对象\n$$Z^{p,q}_{r} := F^{p}K^{p+q} \\cap (d^{p+q})^{-1}\\bigl(F^{p+r}K^{p+q+1}\\bigr), \\qquad B^{p,q}_{r} := F^{p}K^{p+q} \\cap d^{p+q-1}\\bigl(F^{p-r+1}K^{p+q-1}\\bigr),$$\n并令 $E^{p,q}_{r} := Z^{p,q}_{r}/B^{p,q}_{r}$。逐条读：\n- $r = 0$：$Z^{p,q}_{0} = F^{p}K^{p+q}$、$B^{p,q}_{0} = F^{p+1}K^{p+q}$，所以 $E^{p,q}_{0} = \\operatorname{Gr}^{p}K^{p+q}$ —— **第一页就是把过滤一层层切开**；\n- $r = 1$：$Z^{p,q}_{1}$ 是 $\\operatorname{Gr}^{p}K^{p+q}$ 里的闭上链、$B^{p,q}_{1}$ 是边界，故 $E^{p,q}_{1} = H^{p+q}(\\operatorname{Gr}^{p}K^{\\bullet})$；\n- 一般地，$d$ 把 $Z^{p,q}_{r}$ 送进 $Z^{p+r,q-r+1}_{r}$ 并把 $B^{p,q}_{r}$ 送进 $B^{p+r,q-r+1}_{r}$，因此下降为微分 $d_{r} : E^{p,q}_{r} \\to E^{p+r,q-r+1}_{r}$，而**第 $r+1$ 页就是第 $r$ 页对 $d_{r}$ 取同调**：$E_{r+1} = H(E_{r}, d_{r})$。\n- **收敛**：$r$ 增大时 $Z^{p,q}_{r}$ 递升、$B^{p,q}_{r}$ 递降；因为过滤下有界，「$d$ 跳得够远」这件事在有限步后就空了，所以每个 $(p,q)$ 上 $Z^{p,q}_{r}$ 与 $B^{p,q}_{r}$ 都**稳定**，极限就是 $H^{p+q}(K^{\\bullet})$ 配上诱导过滤后的关联分次。∎\n\n⭐ **读法**：先把带过滤的复形「按层切碎」（取关联分次 $\\operatorname{Gr}^{p}$），算出每层的同调当第一页；然后微分一页一页地把它们拼回去，收敛到**原来的**同调。\n\n⚠️ 「下有界」这个条件不能省 —— 它保证上面的 $Z$、$B$ 真的会稳定（不是每个谱序列都会收敛到什么东西）。", "refs": [ "Le Stum, Theorem 7.2.16", "Weibel, An Introduction to Homological Algebra, 5.4.1" ] }, { "id": "def.bicomplex", "type": "definition", "label": "双复形", "title": "双复形（Bicomplex）", "label_en": "bicomplex", "title_en": "Bicomplex", "en_page": "nodes/def.bicomplex.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 11, "tags": [ "同调代数", "双复形", "复形的复形" ], "statement": "加法范畴里的**双复形**就是**复形的复形**：即 $(\\mathbb{Z}, \\preceq)^{2}$ 上的图 $(K^{p,q}, d^{p,q}, d'^{p,q})$，使对一切 $p, q$\n\n$$d^{p+1,q} \\circ d^{p,q} = 0, \\qquad d'^{p,q+1} \\circ d'^{p,q} = 0, \\qquad d'^{p+1,q} \\circ d^{p,q} = d^{p,q+1} \\circ d'^{p,q}.$$", "notes": "前两条说「每个方向各自是复形」；**第三条说两个方向的微分交换**（差一个符号，视约定）。\n\n⭐ **怎么把它变成一个普通复形**：取**全复形** $K^{n} := \\bigoplus_{p+q=n} K^{p,q}$，微分 $d + d'$（带符号）。于是双复形的同调与「逐行算完再逐列算」的关系，正是给出谱序列的地方。\n\n**典型来源**：把复形作内射消解时自然会得到双复形（$I^{p,q}$ 里 $p$ 是原复形的次数、$q$ 是消解的次数）。**Grothendieck 谱序列**就是从它来的。", "refs": [ "Le Stum, Definition 7.2.17" ] }, { "id": "cor.grothendieck-spectral", "type": "corollary", "label": "Grothendieck 谱序列", "title": "Grothendieck 谱序列", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "谱序列", "Grothendieck", "复合函子" ], "statement": "设 $\\mathcal{A} \\xrightarrow{F} \\mathcal{A}' \\xrightarrow{G} \\mathcal{A}''$ 是加法函子，$\\mathcal{A}, \\mathcal{A}'$ **有足够多内射**、且 $F$ 把内射对象送到 $G$-零调对象。则存在谱序列\n\n$$E^{p,q}_{2} = R^{p}G\\bigl(R^{q}F(M)\\bigr) \\;\\Longrightarrow\\; R^{p+q}(G \\circ F)(M).$$", "notes": "⭐ **它的用处**：想算复合函子的导出函子 $R^{n}(G \\circ F)$，可以**先算 $R^{q}F$、再算 $R^{p}G$**，中间用谱序列把两层的贡献拼起来。这是同调代数里最基本的「两步走」工具。\n\n**证明（双复形 + 两个谱序列）。** 取 $M$ 的内射消解 $I^{\\bullet}$，令 $A^{\\bullet} := F I^{\\bullet}$。\n- 由假设，$I^{n}$ 内射，故 $FI^{n}$ 是 $G$-零调的，所以 $A^{\\bullet}$ 是 $FM$ 的一个**由 $G$-零调对象组成的**右消解，于是 $R(G\\circ F)M = G A^{\\bullet}$ 在导出范畴里（Leray 零调性），即 $R^{n}(G\\circ F)M = H^{n}(GA^{\\bullet})$；\n- 再对 $A^{\\bullet}$ 取 **Cartan–Eilenberg 分解** $J^{\\bullet,\\bullet}$（每个 $J^{p,\\bullet}$ 是 $A^{p}$ 的 $G$-零调消解，横竖两方向的同调都算得出来）；\n- 双复形的两个谱序列：按 $p$ 先过滤收敛到 $H^{p+q}(G J^{\\bullet,\\bullet}) = R^{p+q}(G\\circ F)M$，而它的 $E_{2}$ 页是「先竖后横」算出来的 $R^{p}G\\bigl(H^{q}(A^{\\bullet})\\bigr) = R^{p}G\\bigl(R^{q}FM\\bigr)$；另一个谱序列（先横后竖）因为每列都是零调消解而在 $E_{2}$ 页退化，两边收敛到同一个东西。∎\n细节在前两条里：Cartan–Eilenberg 分解的存在性，双复形谱序列的收敛与 $E_{2}$ 页的识别。\n\n**典型应用**：层上同调 — 先层化再取截面、Čech 上同调到 de Rham 上同调、群的同调里的 Lyndon–Hochschild–Serre 谱序列，都是它的特例。\n\n**为什么要求 $F$ 把内射送到 $G$-零调**：这样 $F$ 的内射消解才能直接拿来做 $G$ 的零调消解，两边才接得上。", "refs": [ "Le Stum, Corollary 7.2.13", "Le Stum, Corollary 7.2.21" ] }, { "id": "def.sheaf-cohomology", "type": "definition", "label": "层上同调", "title": "层上同调 $H^{n}(X, M^{\\bullet})$", "label_en": "sheaf cohomology", "title_en": "sheaf cohomology", "en_page": "nodes/def.sheaf-cohomology.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology", "category" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "层上同调", "导出函子", "截面函子" ], "statement": "设 $M^{\\bullet}$ 是 site $\\mathcal{C}$ 上的**阿贝尔层复形**，$X \\in \\mathcal{C}$。它在 $X$ 上的**第 $n$ 个上同调群**是\n\n$$H^{n}(X, M^{\\bullet}) := R^{n}\\Gamma(X, M^{\\bullet}),$$\n\n其中 $\\Gamma(X, -)$ 是 $X$ 处的**截面函子**。", "notes": "⭐ **一句话**：层上同调就是**截面函子的右导出函子**。$\\Gamma(X,-)$ 左正合但不右正合（层化会捣乱），$R^{n}\\Gamma$ 正是补上断口的那半个。\n\n**为什么需要它**：单看 $H^{0}(X, M) = \\Gamma(X, M) = M(X)$ 只有整体截面；$H^{1}$ 起才开始记录「层粘不上去」的信息（$H^{1}$ 分类层的主丛 / torsor）。", "refs": [ "Le Stum, Definition 7.3.1" ] }, { "id": "def.cech-cohomology", "type": "definition", "label": "Čech 上同调", "title": "Čech 上同调 $\\check{H}^{n}(X, M^{\\bullet})$", "label_en": "Cech cohomology", "title_en": "Cech cohomology", "en_page": "nodes/def.cech-cohomology.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology", "category" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "Čech 上同调", "预层", "覆盖" ], "statement": "设 $M^{\\bullet}$ 是 site $\\mathcal{C}$ 上的**阿贝尔预层复形**，$X \\in \\mathcal{C}$。它的第 $n$ 个 **Čech 上同调群**是\n\n$$\\check{H}^{n}(X, M^{\\bullet}) := \\Gamma\\bigl(X,\\ \\check{H}^{n}(M^{\\bullet})\\bigr).$$", "notes": "**与层上同调的区别**：层上同调要**先取内射消解**（贵）；Čech 上同调**直接用覆盖算**（便宜），代价是它一般只是「逼近」。\n\n**为什么叫 Čech**：它照着 Čech 那套「用开覆盖的交叠来算整体信息」的直觉造出来的 —— 覆盖的每一层交叠给一个群，交叠的包含关系给微分，取同调就是 Čech 上同调。", "refs": [ "Le Stum, Definition 7.3.5" ] }, { "id": "prop.cech-as-colim", "type": "proposition", "label": "Čech 上同调是沿覆盖筛的余极限", "title": "$\\check{H}^{n}(X, M) = \\varinjlim_{R \\in J(X)} H^{n}(R, M)$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "Čech 上同调", "覆盖筛", "余极限" ], "statement": "若 $X \\in \\mathcal{C}$、$M$ 是阿贝尔预层，则 $\\check{H}^{n}(X, M) = \\varinjlim_{R \\in J(X)} H^{n}(R, M)$（沿 $X$ 上所有覆盖筛 $R$ 取滤过余极限）。", "notes": "**证明。** 两层意思：**(a) 换覆盖不改变 Čech 复形（在筛的意义下）。** 每个覆盖族 $\\mathfrak{X}$ 生成一个筛 $R_{\\mathfrak{X}}$，而 $\\check{C}^{\\bullet}(\\mathfrak{X}, M) \\to \\check{C}^{\\bullet}(R_{\\mathfrak{X}}, M)$ 是同构 —— 筛版的 Čech 复形本来就是「把 $\\mathfrak{X}$ 的交叠一字排开」，细化只是把重复的项并掉。于是「沿覆盖取余极限」与「沿筛取余极限」是同一个余极限（覆盖在筛里是共尾的）。\n**(b) 余极限与取同调交换。** $J(X)$ 这个偏序集是**滤过**的：任意两个筛 $R, R'$ 都有上界（取它们生成的筛，或直接取交），任意两个 $R \\subseteq R'\\subseteq R$ 之间的态射被夹成同一个。而 $\\varinjlim$ 在 $\\mathrm{Ab}$ 里**正合**（AB5），所以\n$$\\varinjlim_{R \\in J(X)} H^{n}(R, M) = H^{n}\\Bigl(\\varinjlim_{R \\in J(X)} \\check{C}^{\\bullet}(R, M)\\Bigr),$$\n而右边括号里那个余极限复形与按覆盖定义的 $\\check{C}^{\\bullet}(X, M)$ 逐项一致（(a) 说的就是「每个覆盖都已经被某个筛表示」）。两边一比即得。∎", "refs": [ "Le Stum, Exercise 7.46" ] }, { "id": "thm.cartan-leray", "type": "theorem", "label": "Cartan–Leray 谱序列", "title": "Cartan–Leray：Čech 到层上同调的谱序列", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "Cartan", "Leray", "谱序列", "Čech" ], "statement": "若 $\\mathfrak{X}$ 是 $X$ 的一个**覆盖**、$M$ 是阿贝尔层，则存在谱序列\n\n$$E^{p,q}_{2} := \\check{H}^{p}\\bigl(\\mathfrak{X},\\ H^{q}(M)\\bigr) \\;\\Longrightarrow\\; H^{p+q}(X, M).$$", "notes": "⭐ **它说的是**：Čech 上同调（右边那个 $\\check{H}^{p}$）用 $H^{q}(M)$ 当系数，收敛到**真正的**层上同调。于是「便宜的算法」怎么逼近「贵的算法」这件事被讲清楚了。\n\n**推论**：若覆盖的每一层上 $H^{q} = 0$（$q \\ne 0$），则 $\\check{H}^{n} \\cong H^{n}$ —— 此时 Čech 直接给出层上同调。\n\n**证明走法**：取 $\\mathfrak{X}$ 生成的筛 $R$，则 $\\Gamma(\\mathfrak{X}, M) = \\Gamma(R, \\mathcal{H}(M))$；$\\mathcal{H}$ 保内射，于是由 Grothendieck 谱序列 + 上一条得到。", "refs": [ "Le Stum, Theorem 7.3.6" ] }, { "id": "def.acyclic-sheaf", "type": "definition", "label": "无环层", "title": "无环层（Acyclic Sheaf）", "label_en": "acyclic sheaf", "title_en": "Acyclic Sheaf", "en_page": "nodes/def.acyclic-sheaf.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "无环层", "层上同调" ], "statement": "site $\\mathcal{C}$ 上的阿贝尔层 $M$ 叫**无环的**，如果 $H^{n}(M) = 0$ 对一切 $n \\ne 0$。", "notes": "⚠️ 专门提醒：**这个定义依赖 site $\\mathcal{C}$，不只是依赖拓扑斯 $\\widetilde{\\mathcal{C}}$** —— 换个 site（同一拓扑斯）无环性可能变。这一点和「层的概念只依赖拓扑斯」形成对比。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.3" ] }, { "id": "prop.acyclic-iff-cech", "type": "proposition", "label": "无环 ⟺ Čech 上同调为零", "title": "$M$ 无环 $\\iff \\check{H}^{n}(M) = 0$（$n \\ne 0$）", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 19, "tags": [ "同调代数", "无环层", "Čech 上同调" ], "statement": "$\\mathcal{C}$ 上的阿贝尔层 $M$ **无环** $\\iff \\check{H}^{n}(M) = 0$ 对一切 $n \\ne 0$。", "notes": "**证明。** 关键的中间物是**预层的谱序列**（由「Čech 到上同调」那条沿覆盖取余极限、再用滤过余极限正合得到）\n$$E^{p,q}_{2} := \\check{H}^{p}\\bigl(H^{q}(M)\\bigr) \\;\\Longrightarrow\\; H^{p+q}(M).$$\n- **$\\implies$ 方向**：若 $M$ 无环，则 $H^{q}(M) = 0$（$q \\ne 0$），第一页只剩 $q = 0$ 那一行，谱序列立刻退化，给出 $\\check{H}^{n}(M) = 0$（$n \\ne 0$）。\n- **$\\Longleftarrow$ 方向**：对 $n$ 归纳，证「$0 < p + q \\le n$ 时 $E^{p,q}_{2} = 0$」。设 $0 < q \\le n$：由归纳假设（$H^{q}(M)$ 在更低的总次数上）得 $H^{q}(M) = 0$，于是这一整个 $q$ 行是 $0$；又 $q \\ne 0$ 时 $E^{0,q}_{2} = 0$（$\\check{H}^{0}$ 只看到整体截面），而 $p \\ne 0$ 时 $E^{p,0}_{2} = \\check{H}^{p}(H^{0}(M)) = \\check{H}^{p}(M) = 0$（假设）。所以总次数 $= n$ 的格子全灭，归纳走通。∎\n\n⭐ **读法**：Čech 上同调**完全**检测无环性 —— 它虽然一般只是「逼近」真上同调，但「逼不逼得零」这件事与真上同调完全一致。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 7.3.10", "Le Stum, Corollary 7.3.8" ] }, { "id": "prop.chaus-cech-eq-h", "type": "proposition", "label": "紧 Hausdorff 上 Čech 就是上同调", "title": "紧 Hausdorff：$\\check{H}^{n}(X, M) = H^{n}(X, M)$", "region": "homology", "regions": [ "homology", "topology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "Čech 上同调", "紧 Hausdorff", "层上同调" ], "statement": "若 $X$ 是**紧 Hausdorff** 空间，则 $\\check{H}^{n}(X, M) = H^{n}(X, M)$（对一切阿贝尔层 $M$）。", "notes": "**证明思路（经典的比较论证）。** 两边都是 $\\Gamma(X, -)$ 的导出函子，差别只在「用哪种消解去算」。要证的其实是一件事：\n**紧 Hausdorff 空间的开覆盖的 Čech 项是 $\\Gamma(X, -)$-零调的。** 具体地，覆盖 $\\mathfrak{X} = (X_{i})_{i}$ 的 Čech 复形每一项是 $\\prod_{i} M(X_{i})$ 型的「有限多个可表对象上的取值」（紧性保证可以只取**有限**覆盖 —— 有限细化在覆盖的滤过系统里是共尾的），而这类对象正是「有截面 $\\implies$ 零调」那一套（$\\mathbb{Z}\\cdot h_{X}$ 投射，见「有截面的态射给出零调」）适用的形状。\n于是 Cartan–Leray 谱序列 $E^{p,q}_{2} = \\check{H}^{p}(\\mathfrak{X}, H^{q}(M)) \\implies H^{p+q}(X, M)$ 里 $q > 0$ 的整行消失，退化给出 $\\check{H}^{n}(X, M) \\cong H^{n}(X, M)$；再沿覆盖取余极限（上一条）即得对所有覆盖成立的结论。∎\n\n⚠️ 「紧」在这里的用处有两处：让**有限**覆盖在滤过系统里共尾，以及让每个有限覆盖的高阶 Čech 项被零调性吃掉。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 7.3.11（原书标为 classic）", "Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, II.5" ] }, { "id": "prop.filtered-limit-cohomology", "type": "proposition", "label": "滤过极限的上同调", "title": "紧 Hausdorff 的滤过极限上，常值系数的上同调是余极限", "region": "homology", "regions": [ "homology", "topology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "滤过极限", "常值系数", "上同调" ], "statement": "若 $X = \\varprojlim_{i \\in I} X_{i}$ 是紧 Hausdorff 空间的**滤过极限**（过渡映射满）、$M$ 是**常值**阿贝尔群，则", "notes": "$$H^{n}(X, M) = \\varinjlim_{i \\in I} H^{n}(X_{i}, M).$$\n\n⚠️ 注意方向：**极限** $X = \\varprojlim X_{i}$ 在拓扑这一侧，而它上面的**上同调**却成了**余极限** —— 上同调把方向翻过来。这条是「用越来越精细的有限块逼近整体，再取上同调」的合法性来源。\n\n**证明（走 Čech）。** 设 $\\pi_{i} : X \\to X_{i}$ 是投影。两件事：\n1. **$X$ 的覆盖有「从某个 $X_{i}$ 拉回来」的细化。** $X$ 落在乘积 $\\prod_{i} X_{i}$ 里，而一个开覆盖的每个成员只约束**有限多个**坐标（乘积拓扑的定义），紧性再把「有限多个」压成「有限个覆盖成员」；于是这个覆盖被某个 $\\pi_{i}^{-1}(\\mathfrak{X})$ 细化，$\\mathfrak{X}$ 是某个 $X_{i}$ 的覆盖。\n2. **$M$ 常值 $\\implies$ Čech 复形沿 $\\pi_{i}$ 拉回不变。** 常值系数的交叠项只依赖「有几块、怎么叠」，与具体开集无关，所以 $\\check{C}^{\\bullet}(\\pi_{i}^{-1}(\\mathfrak{X}), M) = \\check{C}^{\\bullet}(\\mathfrak{X}, M)$，取同调得 $\\check{H}^{n}(\\pi_{i}^{-1}(\\mathfrak{X}), M) = \\check{H}^{n}(\\mathfrak{X}, M)$。\n把 1、2 合起来：$\\{\\check{H}^{n}(\\pi_{i}^{-1}(\\mathfrak{X}), M)\\}$ 这个沿 $i$ 的系统与 $\\{\\check{H}^{n}(\\mathfrak{X}, M)\\}_{\\mathfrak{X} \\in \\mathrm{Cov}(X_{i})}$ 共尾，而 Čech 上同调是沿覆盖的滤过余极限，于是 $\\check{H}^{n}(X, M) = \\varinjlim_{i} \\check{H}^{n}(X_{i}, M)$。\n最后两端各用一次「紧 Hausdorff 上 Čech = 层上同调」，得到要证的等式。∎\n\n⭐ **用途**：把一个大（可能是无穷维、非紧）对象的上同调，降维成一族紧 Hausdorff 块上同调的滤过余极限。这类「先逐块算、再取余极限」的手法在 §8.3 的 Breen–Deligne 谱序列里反复出现。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 7.3.12" ] }, { "id": "prop.stone-acyclic", "type": "proposition", "label": "Stone 空间上的上同调为零", "title": "Stone 空间：$H^{n}(S, M) = 0$（$n \\ne 0$）", "region": "homology", "regions": [ "homology", "topology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "Stone 空间", "无环", "Čech" ], "statement": "若 $S$ 是 **Stone** 空间（= 紧 Hausdorff 完全不连通空间），则对任何阿贝尔层 $M$，$H^{n}(S, M) = 0$ 对一切 $n \\ne 0$。", "notes": "**证明。** $S$ 紧 Hausdorff，所以可以用 **Čech 上同调**算（上一条）。而完全不连通 + 紧 Hausdorff 给出一条极强的细化性质：\n- **任何覆盖都有有限的、两两不交的闭开（clopen）细化。** 取任一覆盖，用紧性抽出有限子覆盖；再由完全不连通，每个点有包含在某个覆盖成员里的闭开邻域；有限多个这样的闭开集两两求差，就得到一族**两两不交**的闭开集盖住 $S$（这是「零维 + 紧」的标准操作）。\n- 于是只需算**两两不交**的覆盖 $\\mathfrak{X} = (S_{k})_{k=0}^{r}$ 的 Čech 复形：$S_{k} \\cap S_{l} = \\emptyset$（$k \\ne l$），所以所有高阶交叠都是空集，Čech 复形只在 $0$ 次有非零项，**集中在 $0$ 次**。\n- 把覆盖换成细化不改变 Čech 上同调（上一条已证沿覆盖取余极限），而每个覆盖都细化到一个「集中在 $0$ 次」的复形，故 $\\check{H}^{n}(S, M) = 0$（$n \\ne 0$）。再用紧 Hausdorff 上 Čech = 层上同调即得。∎\n\n⭐ **这就是凝聚态数学里 Stonean 空间好用的根源**：层上同调在它们上面**自动退化**，$\\Gamma(S, -)$ 直接就是正合函子，于是「取截面」不用付出任何导出代价。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 7.50" ] }, { "id": "prop.topos-morphism-derived", "type": "proposition", "label": "拓扑斯态射的导出函子", "title": "$R^{n}f_{*}M$ 是 $X' \\mapsto H^{n}(f^{-1}(X'), M)$ 的层化", "region": "homology", "regions": [ "homology", "category" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "拓扑斯", "态射", "导出函子" ], "statement": "若 $f : \\mathcal{T} \\to \\mathcal{T}'$ 是**拓扑斯的态射**，则 $R^{n}f_{*}M$ 是预层 $X' \\mapsto H^{n}\\bigl(f^{-1}(X'),\\ M\\bigr)$ 所**层化**得到的层。", "notes": "⭐ **读法**：想算拓扑斯态射的导出函子，先逐点算「另一边像处的上同调」，再把结果层化回去。这与层上同调的定义（截面函子的右导出函子）是同一回事，只是把「一个点的截面」换成了「拓扑斯态射的拉回」。\n\n**证明。** 记 $f = (f^{-1} \\dashv f_{*})$，并把 $f^{-1}$、$f_{*}$ 在**预层**上的版本记作 $\\hat{f}^{-1}$、$\\hat{f}_{*}$。两个关键事实：\n- $f^{-1}$ 与**层化**都是正合的（拓扑斯态射的定义要求 $f^{-1}$ 正合；层化左正合且右正合，因为它是伴随）。\n- $f_{*} = \\sharp \\circ \\hat{f}_{*}$（先按预层推，再层化）。\n于是 $R f_{*} = \\sharp \\circ \\hat{f}_{*} \\circ R H$（记 $H$ 为「把层看成预层」，它是左正合且正合的嵌入）。取第 $n$ 阶：**$R^{n}f_{*}M$ 就是预层 $\\hat{f}_{*}H^{n}(M)$ 的层化**。\n最后认这个预层：由伴随 $f^{-1} \\dashv \\hat{f}_{*}$，对每个 $X' \\in \\mathcal{T}'$\n$$\\bigl(\\hat{f}_{*}H^{n}(M)\\bigr)(X') = H^{n}(M)\\bigl(f^{-1}(X')\\bigr) = H^{n}\\bigl(f^{-1}(X'),\\ M\\bigr).$$\n两边一合就是要证的。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 7.4.1" ] }, { "id": "cor.homotopy-invariant-cohomology", "type": "corollary", "label": "层上同调是同伦不变量", "title": "同伦等价的映射给同构的上同调", "region": "homology", "regions": [ "homology", "topology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "同伦", "上同调", "常值系数" ], "statement": "设 $M$ 是**常值**阿贝尔群。\n\n1. 若 $f \\simeq g : X \\to Y$ 是**同伦**的连续映射，则 $f$ 与 $g$ 诱导的上同调映射相同；\n2. 若 $f : X \\to Y$ 是**同伦等价**，则 $H^{n}(Y, M) \\cong H^{n}(X, M)$。", "notes": "**证明第 1 条。** 常值系数下可以用 **Čech 模型**（在紧 Hausdorff 上它就算出真上同调，在一般情形也足够比较）。\n- 同伦 $H : X \\times [0,1] \\to Y$ 把 $Y$ 的覆盖拉到 $X \\times [0,1]$ 上。用 $[0,1]$ 的**有限区间分解** $[0,1] = \\bigcup_{k} I_{k}$（相邻交叠也是区间）把它拆成有限段，于是对每个覆盖都能在 Čech 复形之间造出一个**链同伦** $f^{*} \\simeq g^{*}$ —— 这一步的核心是「$[0,1]$ 的常值系数 Čech 上同调在正次数为零」（区间分解给出的增广 Čech 复形是可缩的）。\n- 链同伦在同调上诱导**同一个**映射，故 $H^{n}(f) = H^{n}(g)$。\n**第 2 条。** 设 $g$ 是 $f$ 的同伦逆，即 $f g \\simeq \\mathrm{id}_{Y}$、$g f \\simeq \\mathrm{id}_{X}$。由第 1 条，$H^{n}(fg) = H^{n}(\\mathrm{id}_{Y}) = \\mathrm{id}$，而 $H^{n}(fg) = H^{n}(f) \\circ H^{n}(g)$（上同调是函子），同理另一边。于是 $H^{n}(f)$ 与 $H^{n}(g)$ 互逆，$H^{n}(Y, M) \\cong H^{n}(X, M)$。∎\n\n⭐ **这就是「层上同调是拓扑不变量」那句话的出处** —— 常值系数下，$H^{n}(-, M)$ 是同伦不变的，所以它可以拿来算空间的同伦类不变量（奇异上同调、de Rham 上同调都落在这一条上）。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 7.4.2", "Le Stum, Corollary 7.4.3" ] }, { "id": "prop.cond-internal-hom", "type": "proposition", "label": "内部 Hom 的函数空间刻画", "title": "$C(X(\\bullet), Y) \\cong \\operatorname{Hom}(X, Y)$", "label_en": "internal hom", "title_en": "internal hom", "en_page": "nodes/prop.cond-internal-hom.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "内部 Hom", "紧生成空间", "笛卡尔闭" ], "statement": "设 $X$ 是凝聚态集、$Y$ 是紧生成空间（视为凝聚态集 $\\underline{Y}$）。则凝聚态集之间有自然同构\n\n$$C\\bigl(X(\\bullet),\\ Y\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}(X,\\ \\underline{Y}),$$\n\n其中左边是「测试对象 $S \\mapsto C\\bigl(X(S), Y\\bigr)$」（连续映射空间配紧开拓扑）所定的凝聚态集，右边是 $\\mathrm{Cond}$ 的**内部 Hom**。\n\n特别地，若 $X$ 与 $Y$ **都紧生成**，则 $kC(X, Y) \\cong \\operatorname{Hom}(X, Y)$。", "notes": "**为什么需要它。** $\\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯，内部 Hom 由拓扑斯结构**自动**给出 —— 但那是抽象的。这一条给出它的**具体实现**：「内部 Hom 就是连续函数空间」。有了它，内部 Hom 才是一个可以算、可以往 $\\mathbf{Top}$ 里搬的东西。\n\n**两边分别在说什么。** $X(\\bullet)$ 是 $X$ 的**底空间**（把 $X$ 喂给紧 Hausdorff 测试对象 $S$ 得到的集合，再装上由测试映射定出的拓扑）；$\\operatorname{Hom}(X, \\underline{Y})$ 是「从 $X$ 到 $Y$ 的映射」这个**对象**。等号说：先取底空间再取函数空间，和先取内部 Hom 再取底空间，是一回事。\n\n⭐ 与「$\\mathrm{Cond}$ 是笛卡尔闭」连起来看：笛卡尔闭给的是**存在性**，这一条给的是**具体形状**。$Y$ 紧生成这个假设不能去掉 —— 紧生成正是让「紧开拓扑」够用的那个条件。\n\n**证明。** 先设 $X = S$ 是紧 Hausdorff 空间（此时 $X(\\bullet) = S$）。对任意紧 Hausdorff 的 $T$，两边在 $T$ 上取值并逐步用「内部 Hom 的伴随」与「紧生成空间上的指数律」：\n$$\\underline{\\operatorname{Hom}}(S, \\underline{Y})(T) = \\operatorname{Hom}\\bigl(T,\\ \\underline{\\operatorname{Hom}}(S,\\underline{Y})\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}(T \\times S,\\ \\underline{Y}) \\cong C(T\\times S,\\ Y) \\cong C\\bigl(T,\\ C(S, Y)\\bigr) = \\underline{C(X(\\bullet), Y)}(T).$$\n其中第四步是紧生成空间（$T \\times S$ 与 $Y$）上的**指数律**。取 $T = \\bullet$ 得自然变换；一般 $X$ 再用 Yoneda：对紧 Hausdorff 的 $S$，\n$$\\operatorname{Hom}(X, \\underline{Y})(S) \\cong \\operatorname{Hom}(S, \\operatorname{Hom}(X, \\underline{Y})) \\cong \\operatorname{Hom}(X, \\operatorname{Hom}(S, \\underline{Y})) \\cong \\operatorname{Hom}\\bigl(X, C(S, Y)\\bigr) \\cong C\\bigl(X(\\bullet), C(S, Y)\\bigr) \\cong C\\bigl(S, C(X(\\bullet), Y)\\bigr),$$\n最后一步又是指数律。于是两边作为 $\\mathbf{CHaus}$ 上的层逐点同构，即自然同构。\n**紧生成的情形**：$X$ 也紧生成时，$X(\\bullet) = X$（底空间就是它自己），且两侧都落在 $\\mathrm{CGWH}$ 里，取 $k$-化即得 $kC(X, Y) \\cong \\operatorname{Hom}(X, \\underline{Y})$。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 4.2.6" ] }, { "id": "thm.qcqs-chaus-equiv", "type": "theorem", "label": "qc 与 qcqs 的判定", "title": "紧 Hausdorff 空间 $\\cong$ qcqs 凝聚态集", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "拟紧", "拟分离", "紧 Hausdorff" ], "statement": "1. 凝聚态集 $X$ 是**拟紧**的 $\\iff$ 存在**自由**紧 Hausdorff 空间 $F$ 与满态射\n\n$$F \\twoheadrightarrow X.$$\n\n2. 函子 $S \\mapsto \\underline{S}$（把紧 Hausdorff 空间看成它表示的凝聚态集）给出范畴等价\n\n$$\\mathbf{CHaus}\\ \\simeq\\ \\{\\text{紧 Hausdorff 空间}\\} \\longrightarrow \\{\\text{拟紧且拟分离的凝聚态集}\\}.$$", "notes": "**这一条在说什么。** 凝聚态集是「用紧 Hausdorff 空间探测出来的层」。这条定理说：探测得最规整的那批对象（qcqs 的），**原来就是探测者自己**。于是「紧 Hausdorff 空间」这个范畴可以**原封不动**地坐进 $\\mathrm{Cond}$ 里，作为它的「紧块部分」。\n\n**第 1 条为什么用「自由」的 $F$。** 「拟紧」的一般定义是「任何覆盖都有有限子覆盖」，这是纯逻辑条件。这条把它换成了一个**几何**条件：能从一个（无限可能是很大的）自由紧 Hausdorff 块**满射**过来。于是拟紧变成了「可以被一个紧 Hausdorff 块盖住」。\n\n**「自由」的含义**：$\\mathbb{Z}[S]$ 那类由点集生成、不带额外关系的东西 —— 装得上就是「有足够多的点去盖」。\n\n⭐ 一般拓扑斯上的对应结论是「qcqs 对象 $\\cong$ 紧 Hausdorff 对象」，这里做的是 $\\mathrm{Cond}$ 这个特例。\n\n**证明（两条都是一般拓扑斯上的定理在 $\\mathrm{Cond}$ 上的特例）。**\n- **第 1 条**：「拟紧」在拓扑斯里的等价刻画是「存在从**投射 / 自由**对象的满射」—— 反向显然（满射 $F \\twoheadrightarrow X$ 给出一个覆盖，用 $F$ 的参数化把有限子覆盖抽出来，因为自由对象 $F = \\beta I$ 是「由点集生成」的，有限性是逐点的）；正向用 $\\mathbf{FCHaus}$ 张成 $\\mathbf{CHaus}$ 再把覆盖的参数压进一个自由对象。\n- **第 2 条**：qcqs 的对象由「它到各紧 Hausdorff 块的值」决定，而 $\\mathrm{Cond}$ 里紧 Hausdorff 空间 $S$ 表示的层 $\\underline{S} = h_{S}$ 正是 qcqs 的（qc 由 $S \\to S$ 本身给出；qs 由「紧 Hausdorff 的两块相交还是紧 Hausdorff」给出）。于是 $S \\mapsto \\underline{S}$ 全忠实；本质满则是上一条与拟分离的刻画拼起来。∎", "refs": [ "Le Stum, Theorem 4.2.8" ] }, { "id": "lem.weak-hausdorff-qseparated", "type": "lemma", "label": "弱 Hausdorff 推出 拟分离", "title": "弱 Hausdorff 的紧块相交还是紧块", "label_en": "weak Hausdorff quasi-separated", "title_en": "weak Hausdorff quasi-separated", "en_page": "nodes/lem.weak-hausdorff-qseparated.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "弱 Hausdorff", "拟分离", "纤维积" ], "statement": "设 $X$ 是弱 Hausdorff 空间（且 $X$ 紧生成），$X_{1}, X_{2} \\hookrightarrow X$ 是**拟紧**子空间。则纤维积\n\n$$X_{1} \\times_{X} X_{2}$$\n\n紧 Hausdorff。特别地，任意两个拟紧开子空间的交是拟紧的，即 $X$ 是**拟分离**的。", "notes": "**直觉**：拟分离要的是「两个紧块的交还是紧块」。弱 Hausdorff 正好保证了这件事 —— 它说紧块的像都是闭的，于是两个紧块沿 $X$ 的拉回落在紧块里。\n\n⚠️ 这里 $X_{1} \\times_{X} X_{2}$ 的紧性是 $\\mathrm{CGWH}$ 系里那条「紧 Hausdorff 沿弱 Hausdorff 的纤维积」的直接应用。\n\n**证明。** 不妨设 $X$ 紧生成（弱 Hausdorff 的 $k$-化不改变结论）。对 $i = 1, 2$，由拟紧性取紧 Hausdorff 空间 $S_{i}$ 与满态射 $S_{i} \\twoheadrightarrow X_{i}$（「拟紧 $\\iff$ 有从自由紧 Hausdorff 的满射」）。于是有满态射\n$$S_{1} \\times_{X} S_{2} \\twoheadrightarrow X_{1} \\times_{X} X_{2},$$\n（纤维积保满射）。而 $X$ 弱 Hausdorff、$S_{1}, S_{2}$ 紧 Hausdorff，于是 $S_{1} \\times_{X} S_{2}$ 是 $S_{1} \\times S_{2}$ 里的**闭**子集（弱 Hausdorff 的定义：紧 Hausdorff 子空间沿连续映射的纤维积仍紧 Hausdorff），故紧 Hausdorff。\n紧 Hausdorff 空间的商还是紧 Hausdorff（连续满像是紧的，Hausdorff 商还是 Hausdorff），故 $X_{1} \\times_{X} X_{2}$ 紧 Hausdorff。∎", "refs": [ "Le Stum, Lemma 4.2.9" ] }, { "id": "lem.qseparated-ind-inclusions", "type": "lemma", "label": "拟分离即含入的滤过余极限", "title": "拟分离 $\\iff$ 紧 Hausdorff 块沿含入拼起来", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "拟分离", "Ind-对象", "滤过余极限" ], "statement": "凝聚态集 $X$ 是**拟分离**的 $\\iff$ 它可以写成\n\n$$X \\cong \\varinjlim_{i \\in I}\\ S_{i},$$\n\n其中每个 $S_{i}$ 是紧 Hausdorff 空间、每个过渡映射 $S_{i} \\hookrightarrow S_{j}$ 都是**含入**。\n\n**推论**：$\\operatorname{Ind}(\\mathbf{CHaus})$ 中那些「过渡映射为单射」的对象，恰好就是 qcqs 的凝聚态集。", "notes": "⚠️ **不要读成 $\\operatorname{Ind}(\\mathbf{CHaus}) \\cong \\mathrm{Cond}$。** 整块 $\\operatorname{Ind}(\\mathbf{CHaus})$ 比凝聚态集**大**：一般凝聚态集的紧块过渡映射只是映射、不是含入，所以只有「含入过渡」那一部分才对得上 qcqs 的对象。\n\n**为什么这条重要。** 它把「拟分离」这个抽象的有限性条件换成了一个**可操作**的写法：$X$ 是一串越来越大的紧 Hausdorff 块 $S_{1} \\hookrightarrow S_{2} \\hookrightarrow \\cdots$ 的余极限。$\\operatorname{Ind}$-对象这套语言正是为「滤过余极限拼出来的东西」准备的，于是 $\\mathrm{Cond}$ 的很多计算可以逐块做再取余极限。\n\n⭐ 这条也是后面「层上同调用紧块算」那一路技术的起点：先在紧 Hausdorff 块上算，再沿滤过余极限抬上去（滤过余极限正合）。\n\n**证明。** 只需证正向（反向是定义）。\n- 任何凝聚态集 $X$ 都能写成 $X \\cong \\varinjlim_{i} T_{i}$（$T_{i}$ 紧 Hausdorff）—— 这是 $\\mathrm{Cond}$ 里「用紧块拼出来」的一般事实。\n- 记 $X_{i}$ 为 $T_{i}$ 在 $X$ 中的**像**，则 $X = \\varinjlim_{i} X_{i}$。每个 $X_{i}$ 作为 $T_{i}$ 的像是**拟紧**的；而 $X$ 拟分离，故每个 $X_{i}$ 也拟分离（拟分离沿子对象遗传）。于是由「qcqs $\\cong$ 紧 Hausdorff」得 $X_{i} \\cong S_{i}$，$S_{i}$ 紧 Hausdorff。\n- 把族 $(S_{i})$ 换成 $S_{J} := \\bigcup_{i \\in J} S_{i}$（$J$ 有限）—— 因为 $X$ 拟分离，两个紧 Hausdorff 块的交还是紧 Hausdorff（上一条），有限并仍紧 Hausdorff，于是得到一个**有向**的族 $S_{J}$，且 $X = \\varinjlim_{J} S_{J}$，过渡映射都是含入。∎", "refs": [ "Le Stum, Lemma 4.2.10" ] }, { "id": "lem.qseparated-underlying-weak-hausdorff", "type": "lemma", "label": "拟分离 推出 底空间弱 Hausdorff", "title": "拟分离凝聚态集的底空间弱 Hausdorff", "label_en": "underlying weak Hausdorff", "title_en": "underlying weak Hausdorff", "en_page": "nodes/lem.qseparated-underlying-weak-hausdorff.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "拟分离", "弱 Hausdorff", "底空间" ], "statement": "若凝聚态集 $X$ 拟分离，则它的底空间 $X(\\bullet)$ 弱 Hausdorff。", "notes": "**证法**：把 $X$ 写成紧 Hausdorff 块沿含入的滤过余极限（上一条），再对底空间取 $k$-化。滤过余极限在 $\\mathrm{CGWH}$ 里被保留，而每个紧 Hausdorff 块都弱 Hausdorff，于是余极限仍弱 Hausdorff。\n\n**方向别弄反**：这条是「拟分离 $\\implies$ 弱 Hausdorff」，反向要加**紧生成**才成立（见下一条）。\n\n**证明。** 由拟分离的刻画，把 $X$ 写成紧 Hausdorff 块沿**含入**的滤过余极限 $X = \\varinjlim_{i} S_{i}$（$S_{i} \\hookrightarrow S_{j}$）。底空间沿滤过余极限是正合的：\n$$X(\\bullet) = \\varinjlim_{i} S_{i}$$\n（在 $\\mathrm{CGWH}$ 里取 $k$-化后这个余极限仍被保留）。而**每个** $S_{i}$ 是紧 Hausdorff，当然弱 Hausdorff；$\\mathrm{CGWH}$ 是**余完备且对滤过余极限封闭**的，于是余极限 $X(\\bullet)$ 仍弱 Hausdorff。∎", "refs": [ "Le Stum, Lemma 4.2.11" ] }, { "id": "prop.cg-wh-iff-qseparated", "type": "proposition", "label": "紧生成：弱 Hausdorff ⟺ 拟分离", "title": "紧生成空间上两个条件等价", "title_en": "weak Hausdorff iff quasi-separated", "en_page": "nodes/prop.cg-wh-iff-qseparated.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "弱 Hausdorff", "拟分离", "紧生成" ], "statement": "设 $X$ 是**紧生成**空间。则 $X$ 弱 Hausdorff $\\iff$ $X$（视为凝聚态集）拟分离。", "notes": "**两个方向分别来自哪**：「弱 Hausdorff $\\implies$ 拟分离」是那条纤维积引理；「拟分离 $\\implies$ 弱 Hausdorff」是底空间那条。紧生成是用来让「底空间」这个概念和 $X$ 自己对齐的。\n\n⭐ **合起来的意义**：在紧生成的范围里，「弱 Hausdorff」这个**拓扑**条件与「拟分离」这个**层论**条件说的是同一件事。于是 $\\mathrm{CGWH}$ 这一整套同伦论的栖息地，在凝聚态世界里有了一个纯层论的名字。\n\n**证明。** 两个方向各用一条引理：\n- **$\\implies$**：$X$ 紧生成且弱 Hausdorff，则视为凝聚态集时拟分离 —— 这正是「弱 Hausdorff $\\implies$ 拟分离」那条纤维积引理。\n- **$\\Longleftarrow$**：$X$ 紧生成且拟分离，则底空间 $X(\\bullet)$ 弱 Hausdorff；而 $X$ 紧生成意味着 $X(\\bullet) \\cong X$（紧生成空间的 $k$-化就是它自己，且它在凝聚态世界里由 $\\underline{S} \\mapsto \\operatorname{Hom}(S, X)$ 决定），所以 $X$ 本身弱 Hausdorff。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 4.2.12" ] }, { "id": "prop.cond-slice-topos-morphism", "type": "proposition", "label": "Cond/X 到开集拓扑斯的态射", "title": "拓扑斯态射 $c_{X} : \\mathrm{Cond}/X \\rightleftarrows \\mathrm{Open}(X)$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "category" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态数学", "拓扑斯态射", "切片拓扑斯", "开集" ], "statement": "设 $X$ 是拓扑空间。存在拓扑斯态射\n\n$$c_{X} : \\mathrm{Cond}/X \\rightleftarrows \\mathrm{Open}(X),$$\n\n其中 $\\mathrm{Open}(X)$ 是 $X$ 的开集所成的拓扑空间对应的拓扑斯（开集按含入组成的偏序，配上它的标准拓扑）。\n\n**逆像**把 $Y \\in \\mathrm{Cond}/X$ 送到 $U \\mapsto \\operatorname{Hom}_{/X}(\\underline{U}, Y)$；\n**顺像**把 $F \\in \\mathrm{Open}(X)$ 送到 $\\varinjlim_{U \\subseteq X,\\ s \\in F(U)} \\underline{U}$。", "notes": "**在做什么。** $\\mathrm{Cond}/X$ 是「把 $X$ 当成基点、在上面做凝聚态数学」的世界；$\\mathrm{Open}(X)$ 是「$X$ 的开集格」这个世界。这条态射把两边接起来：**两个世界算出来的上同调可以互相换算**。\n\n**逆像的形状怎么读**：$\\operatorname{Hom}_{/X}(\\underline{U}, Y)$ 是「越过 $X$ 的、从 $U$ 到 $Y$ 的映射」。$U$ 越小能给的映射越多 —— 这正是层的「限制」味道。\n\n**顺像的形状怎么读**：$\\varinjlim \\underline{U}$ 是「把所有开集拼起来」的余极限 —— 开集沿含入的余极限就是它们并起来。\n\n⭐ 这条是下面 Dyckhoff 定理那条谱序列的**构造基础**：有了这两个方向，$\\mathrm{Cond}/X$ 上的上同调才能被 $\\mathrm{Open}(X)$ 上的层上同调逼近。\n\n**证明。** 先看两个函子都有定义：逆像把 $Y \\in \\mathrm{Cond}/X$ 送到预层 $U \\mapsto \\operatorname{Hom}_{/X}(\\underline{U}, Y)$，而 $\\mathrm{Open}(X)$ 上的层条件只涉及开集的含入，逐条验即可；顺像 $\\varinjlim_{U \\subseteq X,\\ s \\in F(U)} \\underline{U}$ 取的是**滤过**余极限（开集沿含入滤过），在 $\\mathrm{Cond}$ 里存在。\n**逆像左正合**：$\\varinjlim$ 在 $\\mathrm{Cond}$ 里正合（AB5）。\n**伴随**：逐项算\n$$\\operatorname{Hom}_{/X}\\Bigl(\\varinjlim_{U, s} \\underline{U},\\ Y\\Bigr) = \\varinjlim_{U, s} \\operatorname{Hom}_{/X}(\\underline{U}, Y) = \\operatorname{Hom}(F, Y),$$\n第一式是余极限的泛性质，第二式就是把「从 $F$ 到 $Y$ 的映射」按 $F$ 的定义写成相容族 $\\{F(U) \\to \\operatorname{Hom}_{/X}(\\underline{U}, Y)\\}$ —— 两者是同一件事。于是有伴随 $\\varinjlim \\underline{U} \\dashv \\bigl(U \\mapsto \\operatorname{Hom}_{/X}(\\underline{U}, -)\\bigr)$，逆像左正合，故 $c_{X}$ 是拓扑斯态射。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 8.1.3" ] }, { "id": "prop.stonean-cond-acyclic", "type": "proposition", "label": "Stonean 上凝聚阿贝尔群零调", "title": "Stonean 空间上一切凝聚态阿贝尔群零调", "label_en": "Stonean acyclic", "title_en": "Stonean acyclic", "en_page": "nodes/prop.stonean-cond-acyclic.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态数学", "Stonean", "零调", "上同调" ], "statement": "设 $S$ 是 **Stonean 空间**（极不连通的紧 Hausdorff 空间），$M$ 是凝聚态阿贝尔群。则对一切 $n > 0$\n\n$$H^{n}_{\\mathrm{cond}}(S,\\ M) = 0.$$", "notes": "**一句话**：Stonean 空间对凝聚态上同调是**不可见的** —— 只要系数是凝聚态阿贝尔群，高次上同调一律消失。\n\n**为什么**。截面函子 $\\Gamma(S, -) = \\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}[S], -)$ 在 Stonean 空间上是**正合**的：Stonean 的极不连通性让 $\\mathbb{Z}[S]$ 是投射的，于是 $\\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}[S], -)$ 保满射，而右导出函子在 $n>0$ 上正好量度「保不保满射」。\n\n⭐ **这是整章的起点**：后面每一步「零调」都是把一般空间归约到 Stonean（先 Stone 化，再用 Čech 复杂度量偏差），而 Stonean 这一格已经归零。\n\n⚠️ 注意这条对**任意**凝聚态阿贝尔群 $M$ 成立，不要求 $M$ 来自拓扑群。\n\n**证明。** 截面函子是 $\\Gamma(S, -) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}[S], -)$。\n- **$\\mathbb{Z}[S]$ 在 $S$ Stonean 时是投射对象**：极不连通性给出 $S$ 的闭开集格上的投影性（$S = \\beta I$ 时 $\\mathbb{Z}[S] = \\mathbb{Z}[\\beta I]$ 是自由的，而自由对象投射）；\n- 于是 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}[S], -)$ 把满射送到满射 —— 即**正合**；\n- 右导出函子 $R^{n}\\Gamma(S,-)$ 量的正是「这个函子在第 $n$ 步有多大程度不正合」，函子本身正合故全为 $0$（$n>0$）。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 8.1.1" ] }, { "id": "lem.stone-constant-acyclic", "type": "lemma", "label": "Stone 上常系数零调", "title": "Stone 空间上常值系数的零调", "label_en": "Stone acyclic constant", "title_en": "Stone acyclic constant", "en_page": "nodes/lem.stone-constant-acyclic.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态数学", "Stone 空间", "常系数", "Čech" ], "statement": "设 $S$ 是 **Stone 空间**（紧、Hausdorff、全不连通），$A$ 是普通阿贝尔群（看作常值凝聚态阿贝尔群 $\\underline{A}$）。则对一切 $n > 0$\n\n$$H^{n}_{\\mathrm{cond}}(S,\\ \\underline{A}) = 0.$$", "notes": "**与 Stonean 那条的区别**。Stonean 要求**极**不连通（开集的闭包还开），Stone 只要求**全**不连通（没有非平凡连通分支）。全不连通比极不连通弱，所以这条不能直接由上面那条得到，得另证 —— 但结论形状一样：零调。\n\n**证法**。把 $S$ 与它的一个 Stone 满射 $S_{0} \\twoheadrightarrow S$ 都写成**有限离散空间**的滤过**逆**极限（Stone 空间按定义就是投射有限空间的逆极限）。增广 Čech 复形逐段零调（有限离散情形是好算的），而滤过逆极限沿着正合列取极限仍然正合，于是整体零调。\n\n**为什么值得单列**：常系数是最常用的系数，这条让「Stone 空间上的常系数上同调」这一整类计算直接归零。\n\n**证明（先有限、再取逆极限）。** 由「无环 $\\iff$ Čech 上同调为零」，只需对 Stone 空间之间的**满射** $f : S_{0} \\twoheadrightarrow S$ 证明增广 Čech 复形 $\\check{C}^{\\bullet}\\bigl((S_{0}\\to S)^{+}, M\\bigr)$ 零调（有限**不交**覆盖那情形由「有限不交覆盖的高次 Čech 为零」给出）。\n- **$S, S_{0}$ 有限的情形**：此时它们是有限离散集，$f$ 是有限满射，增广 Čech 复形是**零伦**的（有截面的态射那条），故零调。\n- **一般情形**：Stone 空间是**投射有限空间**的滤过逆极限，写 $S_{0} = \\varprojlim_{k} S_{0,k}$（$S_{0,k}$ 有限），记 $S_{k}$ 为 $S_{0,k}$ 在 $S$ 里的像。$M$ **离散**，于是交叠上的连续函数就是逐块给定的，而逆极限的取值是滤过余极限：\n$$\\check{C}^{\\bullet}\\bigl((S_{0}\\to S)^{+},\\ M\\bigr) = \\varinjlim_{k} \\check{C}^{\\bullet}\\bigl((S_{0,k}\\to S_{k})^{+},\\ M\\bigr).$$\n- **滤过余极限正合**（AB5），所以「每一项都零调」沿这个余极限传下去：整体零调。∎", "refs": [ "Le Stum, Lemma 8.1.2" ] }, { "id": "thm.dyckhoff", "type": "theorem", "label": "局部紧上凝聚态＝层上同调", "title": "Dyckhoff：$H^{n}_{\\mathrm{cond}}(X, M) = H^{n}_{\\mathrm{sheaf}}(X, M)$", "label_en": "Dyckhoff", "title_en": "Dyckhoff", "en_page": "nodes/thm.dyckhoff.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态数学", "层上同调", "局部紧", "Dyckhoff" ], "statement": "设 $X$ 是**局部紧 Hausdorff** 空间，$M$ 是**离散**阿贝尔群（看作常值凝聚态阿贝尔群）。则对一切 $n \\ge 0$\n\n$$H^{n}_{\\mathrm{cond}}(X,\\ M) \\cong H^{n}_{\\mathrm{sheaf}}(X,\\ M).$$", "notes": "⭐ **这条是把两套上同调接起来的桥。** 凝聚态上同调是从「$X$ 上的层」算的；层上同调是从「$X$ 的开集上的层」算的。这条说：只要 $X$ 局部紧、系数离散，两边**一样**。\n\n**怎么证**。用拓扑斯态射 $c_{X} : \\mathrm{Cond}/X \\rightleftarrows \\mathrm{Open}(X)$ 及其导出函子，得到一条谱序列，其 $E_{2}$ 项是 $R^{q}c_{*}$ 作用在 $M$ 上。关键计算是 $R^{q}c_{*}\\underline{M} = 0$（$q > 0$），它由**茎**上的计算给出：茎化之后 $M$ 是离散的，没有高阶信息。谱序列退化，两边同构。\n\n**为什么限定「系数离散」**。系数一旦带上拓扑（比如实 Banach 空间），$R^{q}c_{*}$ 一般不再消失，两边就对不上了 —— §8.2 要处理的就是这种情形。\n\n📌 **用法**：任何**局部紧**空间上的凝聚态上同调，可以**直接**用经典的层上同调来算（开覆盖、Čech、细层消解那一整套老工具全都能用）。\n\n**证明（用 $c_{X}$ 的谱序列，把 $R^{q}c_{X*}$ 算成零）。**\n- 由 $c_{X}^{-1}(X) = X$（$X$ 作为 $\\mathrm{Open}(X)$ 里的对象，逆像取回它自己），得 Grothendieck 谱序列\n$$E^{p,q}_{2} = H^{p}_{\\mathrm{sheaf}}\\bigl(X,\\ R^{q}c_{X*}M\\bigr) \\;\\Longrightarrow\\; H^{p+q}_{\\mathrm{cond}}(X,\\ M).$$\n- 又 $c_{X*}M = M$，所以**只需证 $R^{q}c_{X*}M = 0$（$q > 0$）**。\n- $R^{q}c_{X*}M$ 是预层 $U \\mapsto H^{q}_{\\mathrm{cond}}(U, M)$ 层化得到的层。$X$ **局部紧**，它在 $x$ 处的茎是\n$$(R^{q}c_{X*}M)_{x} = \\varinjlim_{x \\in U} H^{q}_{\\mathrm{cond}}(U, M) = \\varinjlim_{x \\in K} H^{q}_{\\mathrm{cond}}(K, M)$$\n（$U$ 跑 $x$ 的开邻域、$K$ 跑 $x$ 的紧邻域 —— 局部紧让两个滤过系统共尾）。\n- 固定 $x$ 的一个紧邻域 $K$ 与 Stone 空间 $K_{0}$ 连同满射 $K_{0} \\twoheadrightarrow K$；对 $x$ 的每个紧邻域 $S \\subseteq K$，拉回得 $S_{0} \\to S$。**Stone 的积与子空间仍是 Stone**，所以 $S_{n}$ 全是 Stone 空间，于是由「紧 Hausdorff 上 Čech = 层上同调」与上一条「Stone 上常系数零调」\n$$H^{n}_{\\mathrm{cond}}(S, M) = \\check{H}^{n}(S_{\\bullet}, M).$$\n- 滤过余极限正合，于是茎那个余极限化归到 $S = \\{x\\}$ 的情形；而单点的 Čech 复形由「有截面 $\\implies$ 零调」直接给出零。故 $R^{q}c_{X*}M = 0$（$q>0$），谱序列退化，$H^{n}_{\\mathrm{cond}}(X,M) \\cong H^{n}_{\\mathrm{sheaf}}(X,M)$。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 8.1.4" ] }, { "id": "def.semi-normed-ab-group", "type": "definition", "label": "半范数阿贝尔群", "title": "半范数阿贝尔群", "label_en": "semi-normed abelian group", "title_en": "semi-normed abelian group", "en_page": "nodes/def.semi-normed-ab-group.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "analysis" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 7, "tags": [ "凝聚态数学", "半范数", "阿贝尔群" ], "statement": "**半范数阿贝尔群**是一个阿贝尔群 $M$ 配上函数 $\\|\\cdot\\| : M \\to \\mathbb{R}_{\\ge 0}$，满足\n\n- $\\|0\\| = 0$；\n- $\\|s + t\\| \\le \\|s\\| + \\|t\\|$（三角不等式）；\n- $\\|-s\\| = \\|s\\|$（对称性）。", "notes": "⚠️ **不要求 $\\|s\\| = 0 \\implies s = 0$** —— 这正是「半」字的全部含义。范数为 $0$ 的元素组成子群 $M_{0} = \\{\\, s : \\|s\\| = 0 \\,\\}$。\n\n**为什么从半范数开始。** 完备化的过程本身会先经过半范数这个中间站：把一个半范数空间做完备化之前，得先把 $M_{0}$ 商掉。$K$-有界正合在**半范数**层面定义最自然，到 Banach 层面才干净 —— 所以两套概念都留着。", "refs": [ "Le Stum, §8.2" ] }, { "id": "def.banach-ab-group", "type": "definition", "label": "Banach 阿贝尔群", "title": "Banach 阿贝尔群与 Banach 化", "label_en": "Banach abelian group", "title_en": "Banach abelian group", "en_page": "nodes/def.banach-ab-group.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "analysis" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 15, "tags": [ "凝聚态数学", "Banach", "完备化", "Hausdorff 化" ], "statement": "**Banach 阿贝尔群**是半范数阿贝尔群 $M$，且满足\n\n- $\\|s\\| = 0 \\implies s = 0$（**分离性**，即半范数其实是范数）；\n- $M$ 对范数导出的度量**完备**。\n\n任一半范数阿贝尔群 $M$ 都有 **Banach 化**：先 Hausdorff 化、再完备化，\n\n$$M \\longmapsto \\widehat{M/M_{0}},\\qquad M_{0} = \\{\\, s : \\|s\\| = 0 \\,\\}.$$", "notes": "**在凝聚态世界里长什么样**。Banach 阿贝尔群 $M$ 上，截面 $\\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}[S], M)$ 可以配一个「上确界半范数」，于是 $M$ 作为一个凝聚态阿贝尔群本身带着范数信息。§8.2 的所有定量陈述都是在这个半范数上做的。\n\n⚠️ 这里说的是**阿贝尔群**带范数，不是「向量空间」。每个实 Banach 空间当然是 Banach 阿贝尔群（忘掉标量乘法），但反过来不然 —— 第 8 章的很多定理只用到群结构。\n\n⭐ 「Hausdorff 化 + 完备化」这两步是**反射**：它把半范数阿贝尔群的范畴投到 Banach 阿贝尔群的子范畴上，且让 $K$-有界正合这种定量性质**不增不减**地传过去。", "refs": [ "Le Stum, §8.2" ] }, { "id": "def.k-bounded-exact", "type": "definition", "label": "K-有界正合", "title": "$K$-有界正合与 $K$-有界零调", "label_en": "K-bounded exact", "title_en": "K-bounded exact", "en_page": "nodes/def.k-bounded-exact.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 11, "tags": [ "凝聚态数学", "Banach", "正合列", "定量" ], "statement": "设 $M^{\\bullet}$ 是**半范数阿贝尔群**的复形，$K \\in \\mathbb{R}$。称 $M^{\\bullet}$ 在 $M^{n}$ 处 **$K$-有界正合**，如果\n\n$$\\forall s \\in M^{n},\\ \\forall \\varepsilon > 0,\\ \\exists s' \\in M^{n+1} :\\quad \\|s - d^{n+1}s'\\| \\le K\\,\\|d^{n}s\\| + \\varepsilon.$$\n\n若 $M^{\\bullet}$ 在每个 $M^{n}$ 处都 $K$-有界正合，则称它 **$K$-有界零调**。", "notes": "**和普通正合差在哪。** 普通正合只说「每个闭链都是上一边的边界」（存在性）。$K$-有界正合不但要求存在原像 $s'$，还要求这个原像**可以被控制住**：误差不超过 $K\\|ds\\|$，再多给一个任意的 $\\varepsilon$。\n\n**为什么非要这么强。** 在 Banach / 半范数语境里，「闭链是不是边界」这种纯存在性问题**不够用** —— 因为取极限的时候，误差会累积。$K$-有界正合给出的是**可数控制**，让后续构造（几何级数式的 Cauchy 列）能收敛。\n\n**$\\varepsilon$ 项是干嘛的**：所有范数比较都会留一点余量，好让「$\\le$」在取极限后仍然成立。实践上 $\\varepsilon$ 可以随便小。\n\n⭐ 这条是本节所有定理的**公共语言**：把「正合」这个定性条件换成带常数 $K$ 的定量条件，再证明「定量 $\\implies$ 定性」。", "refs": [ "Le Stum, Definition 8.2.1" ] }, { "id": "lem.k-bounded-completion", "type": "lemma", "label": "K-有界正合在完备化下不变", "title": "$K$-有界正合 $\\iff$ 完备化后 $K$-有界正合", "label_en": "k-bounded completion", "title_en": "k-bounded completion", "en_page": "nodes/lem.k-bounded-completion.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态数学", "Banach", "完备化", "K-有界" ], "statement": "设 $M^{\\bullet}$ 是半范数阿贝尔群复形，$\\widehat{M}^{\\bullet}$ 是它的 Banach 化（Hausdorff 化后再完备化）。则 $M^{\\bullet}$ 在 $M^{n}$ 处 $K$-有界正合 $\\iff$ $\\widehat{M}^{\\bullet}$ 在 $\\widehat{M}^{n}$ 处 $K$-有界正合。", "notes": "**作用**：这条把「半范数」的一般情形**归结为 Banach 情形**。于是后面只要在 Banach 层面上证定理，一般情形自动跟着走。\n\n**为什么成立**。完备化把 $M^{n}$ 嵌成一个**稠密**子空间，而 $K$-有界正合只用到范数不等式与「任取 $\\varepsilon > 0$」—— 这类条件在取稠密子空间时**两边都保持**：稠密性保证能在 $M^{n}$ 里找到足够好的逼近，而完备空间的极限点又能落回 $\\widehat{M}^{\\bullet}$。\n\n**证明（两个方向各算一次 $\\varepsilon/2$）。** 先商掉 $M_{0}$（$K$-有界正合在商掉范数为零的元素下不变），于是可设 $M^{\\bullet} \\subseteq \\widehat{M}^{\\bullet}$ 是稠密保范嵌入。\n- **$\\implies$**：给 $s \\in \\widehat{M}^{n}$ 与 $\\varepsilon>0$。由稠密性取 $t \\in M^{n}$ 使 $\\|s - t\\| \\le \\frac{\\varepsilon}{2(1+K\\|d^{n}\\|)}$；由 $M^{\\bullet}$ 的 $K$-有界性取 $s' \\in M^{n+1}$ 使 $\\|t - ds'\\| \\le K\\|dt\\| + \\frac{\\varepsilon}{2}$。于是\n$$\\|s - ds'\\| \\le \\|s-t\\| + K\\|dt\\| + \\frac{\\varepsilon}{2} = K\\|ds\\| + \\Bigl(\\|s-t\\| + K\\|ds - dt\\| + \\frac{\\varepsilon}{2}\\Bigr) \\le K\\|ds\\| + \\varepsilon .$$\n- **$\\Longleftarrow$**：给 $s \\in M^{n} \\subseteq \\widehat{M}^{n}$。由 $\\widehat{M}^{\\bullet}$ 的 $K$-有界性取 $t' \\in \\widehat{M}^{n+1}$ 使 $\\|s - dt'\\| \\le K\\|ds\\| + \\frac{\\varepsilon}{2}$；再由稠密性取 $s' \\in M^{n+1}$ 使 $\\|s' - t'\\| \\le \\frac{\\varepsilon}{2(1+\\|d^{n+1}\\|)}$。于是 $\\|s - ds'\\| \\le K\\|ds\\| + \\varepsilon$。∎", "refs": [ "Le Stum, Lemma 8.2.2" ] }, { "id": "prop.k-bounded-implies-exact", "type": "proposition", "label": "相邻两条 K-有界 推出 正合", "title": "$K$-有界正合（相邻两处）$\\implies$ 通常正合", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态数学", "Banach", "几何级数", "正合列" ], "statement": "设 $M^{\\bullet}$ 是 **Banach** 阿贝尔群复形。若它在 $M^{n-1}$ 与 $M^{n}$ 两处都 $K$-有界正合，则它在 $M^{n}$ 处（通常意义下）**正合**。", "notes": "**这是「定量 $\\implies$ 定性」的核心一步。** 给定闭链 $s \\in M^{n}$（即 $d^{n}s = 0$），要造出 $s' \\in M^{n+1}$ 使 $ds' = s$。\n\n**造法（几何级数）**。由上一条 $K$-有界条件，先取一个几乎的原像 $s'_{1}$，误差 $e_{1} = s - ds'_{1}$ 满足 $\\|e_{1}\\| \\le K\\|ds\\| + \\varepsilon = \\varepsilon$（用了 $ds = 0$）。现在 $e_{1}$ 又是 $M^{n}$ 里的闭链（因为 $de_{1} = ds - d^{2}s'_{1} = 0$），可以对它再取一次几乎的原像，误差 $\\le \\varepsilon/2$，如此迭代。\n\n**关键的第二处 $K$-有界**：为保证迭代出的 $s'_{i}$ 本身**收敛**，每一步都要用 $M^{n-1}$ 处的 $K$-有界正合把「原像之间差了多少」控制住 —— 这样 $\\|s'_{i} - s'_{i+1}\\|$ 被一个几何级数控制，$M^{n+1}$ 完备保证极限存在。\n\n**结论**：$s' = \\sum_{i \\ge 1}(s'_{i+1} - s'_{i})$ 的收敛和的 $d$ 正好是 $s$。于是每个闭链都是边界，即正合。\n\n**严格写法。** 设 $s \\in M^{n}$、$ds = 0$。\n- 由 $M^{n}$ 处 $K$-有界，取 $s'_{1} \\in M^{n+1}$ 使 $\\|s - ds'_{1}\\| \\le \\frac{1}{2^{2}}$；误差 $e_{1} := s - ds'_{1}$ 满足 $de_{1} = 0$，故对 $e_{1}$ 再用一次得 $s'_{2} \\in M^{n+1}$ 使 $\\|e_{1} - d(s'_{2}-s'_{1})\\| \\le \\frac{1}{2^{3}}$，如此递推，得 $s'_{i}$ 与 $e_{i} = s - ds'_{i}$，$\\|e_{i}\\| \\le 2^{-i-1}$。\n- **这一步用到「相邻两处」**：要控制 $\\|s'_{i+1} - s'_{i}\\|$ 本身（而不只是它的边界），得把 $M^{n+1}$ 处的 $K$-有界性用在元素 $s'_{i+1}-s'_{i}$ 上：\n$$\\|s'_{i+1} - s'_{i}\\| \\le K\\,\\|d(s'_{i+1}-s'_{i})\\| + \\frac{1}{2^{i+1}} \\le \\frac{K}{2^{i}} + \\frac{1}{2^{i+1}} .$$\n- 于是 $(s'_{i})$ 是 **Cauchy 列**，$M^{n+1}$ 完备给出极限 $s' := \\lim_{i} s'_{i}$。\n- $d$ 连续，故 $ds' = \\lim_{i} ds'_{i} = \\lim_{i}(s - e_{i}) = s$（因 $\\|e_{i}\\| \\to 0$）。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 8.2.3" ] }, { "id": "cor.k-acyclic-acyclic", "type": "corollary", "label": "K-有界零调 推出 零调", "title": "$K$-有界零调 $\\implies$ 通常零调", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态数学", "Banach", "零调", "推论" ], "statement": "若 Banach 阿贝尔群复形 $M^{\\bullet}$ 是 $K$-有界零调的（对某个 $K$），则它（通常意义下）零调。", "notes": "**直接推论**：把上一条逐层应用 —— 处处相邻两处都 $K$-有界，于是处处正合。\n\n⭐ **这是全章的「转换器」**：所有零调性证明都走同一条路线 —— 先在 Stone / 紧块上证出**有界**零调，再用这条把它换成通常的零调，从而得到上同调消失。", "refs": [ "Le Stum, Corollary 8.2.4" ] }, { "id": "lem.stone-cech-1-bounded", "type": "lemma", "label": "Stone 满射的 Čech 复形 1-有界零调", "title": "Stone 满射的增广 Čech 复形是 $1$-有界零调", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态数学", "Stone 空间", "Čech 复形", "零伦" ], "statement": "设 $M$ 是半范数阿贝尔群，$S_{0} \\twoheadrightarrow S$ 是 **Stone 空间之间的满射**。则增广 Čech 复形\n\n$$\\check{C}^{\\bullet}\\bigl((S_{0} \\to S)^{+},\\ M\\bigr)$$\n\n是 **$1$-有界零调**的。", "notes": "**要做的事**：造一个零伦（contraction），把复形每一项的「闭链」都显式地写成边界，并且**范数不超过原来的 $1$ 倍**。$K = 1$ 是能得到的最好常数。\n\n**怎么造**。先归约到 $S_{0}$、$S$ 都**有限离散**的情形（Stone 空间是投射有限的逆极限，逆极限保持零伦）。有限离散时，满射 $S_{0} \\twoheadrightarrow S$ 允许把一个函数「在 $S$ 的每个纤维内逐点常值化」—— 这一步是线性的、范数不增的，正好给出所需零伦，于是 $|h| \\le 1$。\n\n**为什么只到 Stone / 有限离散为止。** 这一步只处理「Stone 空间之间的满射」。要把结论推到紧 Hausdorff，得先把它 Stone 化，再用 Čech 复形与层上同调的谱序列去比较偏差 —— 那正是下面两条要做的事。\n\n**证明。** 三步归约。\n- **归约到 $M$ 离散**：Stone 空间写 $S_{0} = \\varprojlim_{k} S_{0,k}$（$S_{0,k}$ 有限），$S_{k}$ 为它在 $S$ 里的像，则\n$$\\varinjlim_{k} \\check{C}^{\\bullet}\\bigl((S_{0,k}\\to S_{k})^{+}, M\\bigr) = \\check{C}^{\\bullet}\\bigl((S_{0}\\to S)^{+}, M^{\\mathrm{disc}}\\bigr) \\hookrightarrow \\check{C}^{\\bullet}\\bigl((S_{0}\\to S)^{+}, M\\bigr),$$\n左端的直极限拓扑就是**上确界范数**拓扑；而 $C(S, M^{\\mathrm{disc}})$ 在 $C(S, M)$ 里**稠密**（极不连通性给出有限不交闭开细化，在每块上取常值逼近）。配上「$K$-有界正合在完备化下不变」与「滤过余极限保持 $K$-有界」，只需证**离散那一个**复形 $1$-有界零调（对它自己的拓扑）。\n- **归约到 $S, S_{0}$ 有限**：同一个余极限再把离散情形化归到有限。\n- **有限情形**：由「有截面的态射给出零调」，$\\check{C}^{\\bullet}\\bigl((S_{0}\\to S)^{+}, M\\bigr)$ 是**零伦**的，且零伦有形式 $h^{n} : f \\mapsto f \\circ k_{n}$（逐纤维取一个截面点），于是 $\\|h^{n}\\| \\le 1$。由 $\\mathrm{id} = h\\circ d + d\\circ h$，对任意 $s$：\n$$\\|s - d(hs)\\| = \\|h(ds)\\| \\le \\|ds\\| ,$$\n这正是 $K = 1$ 的 $K$-有界正合。∎", "refs": [ "Le Stum, Lemma 8.2.5" ] }, { "id": "prop.banach-stone-acyclic", "type": "proposition", "label": "Banach 在 Stone 上零调", "title": "Banach 阿贝尔群在 Stone 空间上零调", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "Banach", "Stone 空间", "零调" ], "statement": "设 $M$ 是 Banach 阿贝尔群，$S$ 是 Stone 空间。则对一切 $n > 0$\n\n$$H^{n}_{\\mathrm{cond}}(S,\\ M) = 0.$$", "notes": "**证法三段**。① 取一个 Stone 满射 $S_{0} \\twoheadrightarrow S$，用它算 Čech 复形；② 上一条给出这个复形是 $1$-有界零调的；③ 那条「$K$-有界零调 $\\implies$ 零调」把它换成通常的零调，于是 Čech 上同调消失，而 Stone 空间上 Čech 上同调就是凝聚态上同调。\n\n**和「Stone 上常系数零调」的关系**。常系数那条的系数是**离散**阿贝尔群（本质上是「有离散拓扑」的极端情形）；这条的系数是 **Banach** 阿贝尔群 —— 带完整的范数结构。两条结论形状一样，证明路线完全不同：常系数用的是「投射有限逆极限」，Banach 用的是「$K$-有界 + Čech」。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 8.2.6" ] }, { "id": "thm.tietze-banach", "type": "theorem", "label": "Tietze 延拓（Banach 值）", "title": "Tietze 延拓定理：$C(X, V) \\twoheadrightarrow C(K, V)$", "label_en": "Tietze", "title_en": "Tietze", "en_page": "nodes/thm.tietze-banach.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "topology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 15, "tags": [ "凝聚态数学", "Tietze", "Banach 空间", "延拓", "正规空间" ], "statement": "设 $X$ 是**正规**拓扑空间，$K \\subseteq X$ 是**紧**子集，$V$ 是**实 Banach 空间**。则限制映射\n\n$$C(X,\\ V) \\twoheadrightarrow C(K,\\ V)$$\n\n是**满**的：每个连续映射 $K \\to V$ 都能延拓到 $X$ 上。", "notes": "**分层归约**。① 有限维：$V = \\mathbb{R}^{m}$，逐坐标用经典 Tietze 延拓（正规空间上实值连续函数的延拓，本质是 Urysohn 引理）。② 一般可分 Banach：每个可分 Banach 空间都同构于 $\\ell^{\\infty}$ 的闭子空间，而 $\\ell^{\\infty}$ 是 **Lipschitz 收缩核** —— 于是可以先把映射延拓到 $\\ell^{\\infty}$ 再收缩回来。③ 不可分的情形用「紧像落在某个可分闭子空间里」再归约到 ②。\n\n⭐ **为什么凝聚态数学要用它。** §8.2 的主定理「实 Banach 空间在紧 Hausdorff 空间上零调」走的是「把一般紧 Hausdorff 空间 $S$ 用 Stonean 的 $S_{0}$ 覆盖、再把偏差压回去」的路线；偏差项住在一个函数空间 $C(K, V)$ 里，而**要把它压掉就得靠延拓**，即这条 Tietze。\n\n⚠️ **这条一般拓扑里也有实值版本**（Tietze 延拓定理）；这里的增量是：**取值可以让是任意实 Banach 空间**。\n\n**证明（Dugundji 延拓定理）。** 取值在拓扑向量空间里的 Tietze 是 Dugundji 的定理：设 $X$ **仿紧**（度量空间即可）、$A \\subseteq X$ **闭**、$V$ 是**局部凸**拓扑向量空间，则存在**线性**延拓算子 $C(A, V) \\to C(X, V)$，特别地限制映射满。\n- **构造**：仿紧性给出 $A$ 的一个开邻域系 $\\{U_{i}\\}$ 的局部有限细化与配套的**单位分解** $\\{\\varphi_{i}\\}$（$\\sum \\varphi_{i} = 1$，$\\varphi_{i} \\ge 0$，支集在 $U_{i}$ 里）。每个 $U_{i}$ 上先把 $g|_{A \\cap U_{i}}$ 延拓成一个常值映射 $g_{i}$（取 $A\\cap U_{i}$ 上某点的值）；再令\n$$G := \\sum_{i} \\varphi_{i}\\, g_{i} .$$\n- **为什么良定义**：局部有限 $\\implies$ 每个点附近只有有限个 $\\varphi_{i}$ 非零，和是有限的；$V$ 是**向量空间**，凸组合有意义；$\\varphi_{i}$ 连续，故 $G$ 连续。\n- **为什么是延拓**：若 $x \\in A$，则所有满足 $\\varphi_{i}(x) > 0$ 的 $U_{i}$ 都含 $x$，而每个 $g_{i}$ 在 $A \\cap U_{i}$ 上等于 $g$，于是 $G(x) = \\sum \\varphi_{i}(x) g(x) = g(x)$。\n**应用到这里**：$X$ 正规（度量 / 仿紧空间都正规）、$K \\subseteq X$ 紧故闭，$V$ 实 Banach 空间（局部凸），于是限制映射 $C(X,V) \\twoheadrightarrow C(K,V)$ 满。$V = \\mathbb{R}^{m}$ 是逐坐标用经典 Tietze。∎", "refs": [ "Le Stum, Theorem 8.2.7", "Dugundji, An extension of Tietze's theorem (1951)" ] }, { "id": "thm.real-banach-chaus-acyclic", "type": "theorem", "label": "实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调", "title": "实 Banach 空间在紧 Hausdorff 空间上零调", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态数学", "Banach 空间", "紧 Hausdorff", "零调" ], "statement": "设 $V$ 是**实 Banach 空间**，$S$ 是**紧 Hausdorff** 空间。则对一切 $n > 0$\n\n$$H^{n}_{\\mathrm{cond}}(S,\\ V) = 0.$$", "notes": "⭐ **这是 §8.2 的主定理**，也是整章的枢纽：它把「零调」从 Stone 空间推到了一般紧 Hausdorff 空间，代价是系数必须落在实 Banach 空间里。\n\n**证法**。① 用 Stonean 空间 $S_{0}$ 满射到 $S$（由「紧 Hausdorff 空间沿闭含入的滤过余极限 / Stonean 覆盖」那套技术得到）；② 在 $S_{0}$ 上由「Banach 在 Stone 上零调」知道 Čech 复形零调；③ 比较 $S_{0} \\to S$ 的 Čech 复形与 $S$ 本身的上同调，偏差项住在 $C(K, V)$ 里；④ 用 **Tietze 延拓（Banach 值）** 把偏差压掉，得到 $S$ 上的**有界**零调；⑤ 用「$K$-有界零调 $\\implies$ 零调」转成通常零调。\n\n⚠️ **复 Banach 空间不成立。** 这是「solid 模 / solid 拟凝聚层」那一整套理论出现的直接原因之一 —— 实的情形能用 Tietze 那样的**序结构**（$\\mathbb{R}$ 上的上确界、分割）把它压下来，复的情形没有这套工具，得上完全不同的机器。\n\n📌 与「局部紧上凝聚态＝层上同调」对照：那条处理的是**离散系数**（且空间只需局部紧），这条处理的是 **Banach 系数**（而空间只需紧）—— 两条合起来覆盖了第 8 章大半的计算。\n\n**证明（把偏差用单位分解压掉）。** 由「紧 Hausdorff 上 Čech = 层上同调」、「Banach 在 Stone 上零调」与「$K$-有界零调 $\\implies$ 零调」，只需证：对 Stone 空间的连续满射 $S_{0} \\to S$，增广 Čech 复形 $\\check{C}^{\\bullet}\\bigl((S_{0}\\to S)^{+}, V\\bigr)$ 是 **$1$-有界零调**的。\n固定 $\\varepsilon > 0$ 与 $f \\in \\check{C}^{n}$（即 $S_{n} \\to V$ 连续，$S_{n}$ 是 $S_{0}$ 在 $S$ 上的 $(n{+}1)$ 重纤维积）。记 $\\pi_{n} : S_{n} \\to S$ 与 $f_{x} := f|_{\\pi_{n}^{-1}(x)}$。\n- 对每个 $x \\in S$，对纤维上的满射 $\\pi_{n}^{-1}(x) \\to \\{x\\}$ 用「Stone 满射的 Čech 复形 $1$-有界零调」（逐纤维的版本），得 $g_{x} : \\pi_{n+1}^{-1}(x) \\to V$ 使\n$$\\|f_{x} - d g_{x}\\| \\le \\|d f_{x}\\| + \\frac{\\varepsilon}{2} \\le \\|df\\| + \\frac{\\varepsilon}{2}.$$\n- 由 **Tietze（Banach 值）**，$g_{x}$ 延拓成 $S_{n+1}$ 上的 $G_{x}$；由连续性，$x$ 有邻域 $V_{x}$ 使在 $\\pi_{n+1}^{-1}(V_{x})$ 上 $\\|f - dG_{x}\\| < \\|df\\| + \\varepsilon$。\n- 取有限的 $V_{1}, \\ldots, V_{r}$ 覆盖 $S$（**紧性**），配从属的单位分解 $\\{\\varphi_{i}\\}$，令 $g := \\sum_{i} (\\varphi_{i}\\circ\\pi_{n+1})\\,G_{i}$。由 $\\sum_{i}(\\varphi_{i}\\circ\\pi_{n}) = 1$ 得 $f = \\sum_{i}(\\varphi_{i}\\circ\\pi_{n}) f$，又 $dg = \\sum_{i}(\\varphi_{i}\\circ\\pi_{n})\\, dG_{i}$，两式相减：\n$$\\|f - dg\\| = \\Bigl\\|\\sum_{i} (\\varphi_{i}\\circ\\pi_{n})\\,(f - dG_{i})\\Bigr\\| \\le \\max_{i} \\|f - dG_{i}\\| \\le \\|df\\| + \\varepsilon,$$\n最后一步是「凸组合的范数不超过最大范数」（$\\varphi_{i} \\ge 0$、$\\sum\\varphi_{i} = 1$）。这正是 $K = 1$ 的 $K$-有界正合。∎", "refs": [ "Le Stum, Theorem 8.2.8" ] }, { "id": "lem.ext-stonean-section", "type": "lemma", "label": "Stonean 上 Ext 的截面公式", "title": "$\\operatorname{Ext}^{n}(M, N)(S) \\cong \\operatorname{Ext}^{n}(M \\cdot S,\\ N)$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "Ext", "Stonean", "投射对象" ], "statement": "设 $M, N$ 是凝聚态阿贝尔群，$S$ 是 **Stonean 空间**。记 $M \\cdot S := M \\otimes_{\\mathbb{Z}} \\mathbb{Z}[S]$。则对一切 $n \\ge 0$\n\n$$\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M, N)(S) \\cong \\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M \\cdot S,\\ N).$$", "notes": "**在做什么。** 左边是「Ext 层在 $S$ 上的截面」，右边是「把一个普通 Ext 算出来」。这条把**层的** Ext 换成了**单次**的 Ext —— 于是「算 Ext 层」这件事变成「算一个具体的导出 Hom」。\n\n**为什么 Stonean 可以。** Stonean 空间 $S$ 上，$\\mathbb{Z}[S]$ 是**投射**的，于是 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}[S], -)$ 正合。把这个正合函子搬到自然同构\n\n\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M \\cdot S,\\ N) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}[S],\\ \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)\\bigr)$$\n\n\n\n两边，就得到了结论：右边是「内 Hom 的截面」，左边是「先张量再 Hom」。\n\n⚠️ 关键前提是 **Stonean**（极不连通），不是一般的紧 Hausdorff —— 极不连通性正是 $\\mathbb{Z}[S]$ 投射的来源。\n\n⭐ 这条是下面谱序列的**接线口**：Breen–Deligne 分解把 Ext 展开成若干「自由对象」，而每一项的 Ext 恰好可以用这条把层的计算搬回普通计算。\n\n**证明。** $S$ Stonean $\\implies$ $\\mathbb{Z}[S]$ 是**投射**对象，于是 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}[S], -)$ **正合**。\n对自然同构\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M \\cdot S,\\ N) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}[S],\\ \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)\\bigr)$$\n（这是 $M \\cdot S = M \\otimes_{\\mathbb{Z}} \\mathbb{Z}[S]$ 的伴随形式）两边取右导出：左端给出 $\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M\\cdot S, N)$；右端因为 $\\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}[S],-)$ 正合，可以直接穿过导出函子，得 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}[S], \\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M,N)\\bigr)$，而后者按定义就是 $\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M,N)(S)$。两边一比即得。∎", "refs": [ "Le Stum, Lemma 8.3.1" ] }, { "id": "thm.breen-deligne", "type": "theorem", "label": "Breen–Deligne 分解", "title": "Breen–Deligne 分解：自由阿贝尔群的有限直和消解", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态数学", "Breen-Deligne", "分解", "自由阿贝尔群" ], "statement": "设 $M$ 是拓扑斯中的阿贝尔群（例如 $M \\in \\mathrm{CondAb}$）。则存在**自然的左消解**\n\n$$F(M)^{\\bullet} \\twoheadrightarrow M,$$\n\n其中每一项是「自由阿贝尔群 $\\mathbb{Z} \\cdot M^{s}$」的有限直和：\n\n$$F(M)_{n} = \\bigoplus_{i=1}^{r_{n}} \\mathbb{Z} \\cdot M^{s_{n,i}}.$$", "notes": "**在说什么。** 在一般的拓扑斯里，「自由对象」不是有限的（$M^{s}$ 里的 $s$ 是**集合**，可以是任意大的基数）。这条定理说：不管怎样，总能把任意阿贝尔群 $M$ 用一个**逐项自由**的复形消解掉，而且这个消解是**自然的**（不依赖选择、对 $M$ 的映射函子性）。\n\n**$\\mathbb{Z} \\cdot X$ 是什么**：集合 $X$ 生成的**自由阿贝尔群**（在拓扑斯里就是 $\\mathbb{Z}[X]$）。$M^{s}$ 是「$s$ 个 $M$ 的积」—— 之所以要取幂集，是为了让「$M$ 的元」能作为一个可数的组合被写出来。\n\n**为什么叫 Breen–Deligne 分解**：这个构造由 Deligne 提出，但长期没有完整证明；Scholze 在它的凝聚态数学第四讲附录里补全了证明。所以它是一条**现代**定理。\n\n⭐ **它是 $\\mathrm{CondAb}$ 里一切 Ext 计算的引擎**：有了这个逐项自由的消解，任意 $\\operatorname{Ext}^{n}(M, N)$ 都能展开成自由项上的 Ext，而那些是能算的（见下面的谱序列）。\n\n⚠️ 证明很重，且构造的显式公式（$d_{0}, d_{1}, d_{2}$ 的组合公式）相当技术性 —— 使用时通常只需要知道它**存在且自然**。", "refs": [ "Le Stum, Theorem 8.3.2" ] }, { "id": "lem.breen-deligne-scalar-homotopy", "type": "lemma", "label": "分解上乘 p 与 M 上乘 p 同伦", "title": "标量乘法的同伦提升", "label_en": "scalar homotopy", "title_en": "scalar homotopy", "en_page": "nodes/lem.breen-deligne-scalar-homotopy.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 12, "tags": [ "凝聚态数学", "Breen-Deligne", "同伦", "标量乘法" ], "statement": "设 $F(M)^{\\bullet} \\twoheadrightarrow M$ 是 Breen–Deligne 分解，$p$ 是整数。则「在 $F(M)^{\\bullet}$ 上逐项乘 $p$」与「在 $M$ 上乘 $p$ 再沿分解提升」所诱导的映射 $[p]$ 是**自然同伦**的。", "notes": "**为什么需要这条。** 分解 $F(M)^{\\bullet} \\twoheadrightarrow M$ 是**拟同构**、不是同构 —— 所以「$M$ 上的运算」搬到分解上会有歧义。这条给出**消解歧义**的机制：不管你怎么把乘 $p$ 抬上去，抬出来的结果都同伦，于是「乘 $p$」在导出层面是**良定义**的。\n\n**用在哪**：$\\operatorname{RHom}(M, N)$ 的计算里要处理「除以 $2$」这类操作（把闭链写成收敛的级数），而收敛用的是 $2 - [2]$ 这个操作的**可逆性**。同伦的良定义正是这一步合法的前提。\n\n**证明（两步归约）。**\n- **第一步：投射消解的情形。** 设 $F(M)^{\\bullet}$ 是一个**投射**消解。在导出范畴里「乘 $p$」与 $[p]$ 是同一个态射（两者都诱导 $M$ 上乘 $p$），于是由「投射复形里 Hom 就是导出 Hom」的对偶版本，$[p]$ 与逐项乘 $p$ 在复形层面**同伦**。\n- **第二步：Breen–Deligne 分解是「自然投射消解」。** 在拓扑斯 $\\mathcal{T} = \\widehat{\\mathbf{Ab}^{\\mathrm{op}}}$ 上取 $M := h_{\\mathbb{Z}}$。对预层 $N$，\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot M^{s},\\ N) = \\operatorname{Hom}(M^{s}, N) = \\operatorname{Hom}(h_{\\mathbb{Z}^{s}}, N) = N(\\mathbb{Z}^{s}),$$\n而预层上的极限、余极限逐项计算 —— 于是 $\\mathbb{Z}\\cdot M^{s}$ 是 $\\mathcal{T}$ 里的**投射**对象，第一步适用。\n- 把 $M$ 取成 $h_{\\mathbb{Z}}(M)$ 再层化，就得到任意拓扑斯上的情形。∎", "refs": [ "Le Stum, Lemma 8.3.3" ] }, { "id": "prop.breen-deligne-ss-stonean", "type": "proposition", "label": "Stonean 上 Breen–Deligne 的谱序列", "title": "$E^{p,q}_{1} = \\bigoplus_{i} H^{q}(M^{s_{p,i}} \\times S,\\ N)$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "Breen-Deligne", "谱序列", "Ext" ], "statement": "设 $M, N$ 是凝聚态阿贝尔群，$S$ 是 **Stonean 空间**。则有自然谱序列\n\n$$E^{p,q}_{1} = \\bigoplus_{i=1}^{r_{p}} H^{q}\\bigl(M^{s_{p,i}} \\times S,\\ N\\bigr) \\implies \\operatorname{Ext}^{p+q}_{\\mathbb{Z}}(M, N)(S).$$", "notes": "**构造**。把 Breen–Deligne 分解 $F(M)^{\\bullet}$ 沿 $S$ **基变换**（张量 $\\mathbb{Z}[S]$）。因为 $\\mathbb{Z}[S]$ 平坦，$F(M)^{\\bullet} \\cdot S \\to M \\cdot S$ 仍是拟同构；再套 Stonean 上的截面公式，把 $\\operatorname{Ext}(M \\cdot S, N)$ 换成 $\\operatorname{Ext}(M, N)(S)$。取「对分解的次数过滤」的标准谱序列，$E_{1}$ 项就是逐项自由对象的 Ext。\n\n**$E_{1}$ 项的形状怎么读**：$M^{s_{p,i}}$ 是「$s_{p,i}$ 个 $M$ 的积」，$M^{s_{p,i}} \\times S$ 是它配上测试空间 $S$；$H^{q}(-, N)$ 是那个空间上的凝聚态上同调。也就是：**把 Ext 换算成一批空间的上同调**，而空间的上同调是能靠 §8.1–8.2 的零调性定理打掉的。\n\n⭐ **这就是计算路径**：「要算 Ext，先展成谱序列，再把每一格的上同调按空间的类型（Stone / 紧 Hausdorff / 局部紧）用零调性定理归零」。§8.3 后面的每条计算定理都是这条谱序列的特例。\n\n**证明。** 取 $M$ 的 Breen–Deligne 分解 $F(M)^{\\bullet} \\twoheadrightarrow M$，沿 Stonean 空间 $S$ 基变换（张量 $\\mathbb{Z}[S]$），再对函子 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(-, N)$ 用「先用消解算、再用测试空间算」的标准谱序列：\n$$E^{p,q}_{1} = \\operatorname{Ext}^{q}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(F(M)^{p}\\cdot S,\\ N\\bigr) \\;\\Longrightarrow\\; \\operatorname{Ext}^{p+q}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(F(M)^{\\bullet}\\cdot S,\\ N\\bigr).$$\n- **左端**：$F(M)^{p}\\cdot S = \\bigoplus_{i} \\mathbb{Z}\\cdot M^{s_{p,i}} \\otimes \\mathbb{Z}[S] = \\bigoplus_{i} \\mathbb{Z}\\cdot\\bigl(M^{s_{p,i}}\\times S\\bigr)$，于是由「凝聚态上同调 = 自由对象上的 Ext」得 $\\operatorname{Ext}^{q}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot(M^{s_{p,i}}\\times S), N) = H^{q}\\bigl(M^{s_{p,i}}\\times S,\\ N\\bigr)$。\n- **右端**：$\\mathbb{Z}[S]$ **平坦**，故 $F(M)^{\\bullet}\\cdot S \\to M\\cdot S$ 仍是拟同构；再由 Stonean 上的截面公式（$\\operatorname{Ext}^{n}(M\\cdot S, N) \\cong \\operatorname{Ext}^{n}(M,N)(S)$）得 $\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(F(M)^{\\bullet}\\cdot S, N) \\cong \\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M,N)(S)$。\n两边一合就是所要的谱序列。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 8.3.4" ] }, { "id": "prop.rhom-banach-discrete-zero", "type": "proposition", "label": "有限维 Banach 到离散群全零", "title": "$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, N) = 0$（Banach 到 离散）", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "RHom", "Banach 空间", "离散群" ], "statement": "设 $M$ 是**有限维实 Banach 空间**、$N$ 是**离散**阿贝尔群。则\n\n$$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M,\\ N) = 0.$$\n\n更一般地：若 $V$ 是任意 $\\mathbb{R}$-模、$N$ 离散，则 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(V, N) = 0$。", "notes": "**直觉**：$\\mathbb{R}$ 是**可除**的（$\\mathbb{R}$ 中任何元素都能任意次地开方、任何 $n$ 都除得尽），而离散群里没有这种可除性。**可除性对进离散群的方向会整个塌掉** —— 于是从实向量空间出发的所有高阶（连同 0 阶）Hom 都不剩。\n\n**证法**。用上一条谱序列：$M^{s}$（有限维 $M$ 的幂）是**可缩**的（向量空间都是可缩的），而 $H^{q}(M^{s} \\times S, N) \\cong H^{q}(S, N)$，于是 $E^{p,q}_{1}$ 只与 $S$ 有关，谱序列的极限项与「常数分解」的情形对得上，计算下来一律归零。\n\n⭐ **用法**：任何以实向量空间为源、离散群为靶的 Ext 问题，直接判零 —— 这是后面「局部紧阿贝尔群只剩 $\\operatorname{Ext}^{0}, \\operatorname{Ext}^{1}$」那一步的关键零件之一。\n\n**证明。** 用上一条的谱序列（$S$ 取 Stonean），要证收敛项为零，只需证每一格 $E^{p,q}_{1}$ 为零。\n- $M^{s_{p,i}}$ 是有限维实向量空间的（可能大）幂，**凸 $\\implies$ 可缩**；\n- 而 $M^{s_{p,i}}\\times S \\to S$ 是同伦等价，$M^{s_{p,i}}\\times S$ **局部紧 Hausdorff**、$N$ **离散**，于是由 Dyckhoff（局部紧 + 离散系数：凝聚态 = 层上同调）与「层上同调是同伦不变量」得\n$$H^{q}\\bigl(M^{s_{p,i}}\\times S,\\ N\\bigr) \\cong H^{q}(S,\\ N).$$\n- 右边**完全不含 $M$**。于是这一族 $E_{1}$ 项与 $M$ 无关：把 $M = 0$ 代进去得到同一族 $E_{1}$ 项，而 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(0, N) = 0$，谱序列收敛到 $0$；由谱序列的收敛性（$E_{1}$ 项决定极限），一般 $M$ 的收敛项也为 $0$。∎\n**一般 $\\mathbb{R}$-模的情形**：$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(V, N) = \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{R}}(V, \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{R}, N)) = \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{R}}(V, 0) = 0$（$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{R}, N) = 0$ 由有限维情形取余极限得到）。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 8.3.5" ] }, { "id": "prop.rhom-chaus-banach-zero", "type": "proposition", "label": "紧 Haus 到实 Banach 全零", "title": "$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, N) = 0$（紧 Haus 到 Banach）", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态数学", "RHom", "紧 Hausdorff", "Banach 空间" ], "statement": "设 $M$ 是**紧 Hausdorff 阿贝尔群**、$N$ 是**实 Banach 空间**。则\n\n$$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M,\\ N) = 0.$$", "notes": "**与上一条对偶**：上一条说「实向量空间 $\to$ 离散」全零；这条说「紧 Hausdorff 群 $\to$ 实 Banach」全零。两条合起来正好是后面「分三类归约」时用来掐掉两端的两把剪刀。\n\n**证法里的关键工具**是分解上乘 $p$ 的同伦：紧 Hausdorff 群上有「乘 $2$」这个映射，它在 Banach 空间里**可逆**（除以 $2$）；利用 $2 - [2]$ 的同伦，可以把一个闭链写成 $d$(一个收敛级数)，即每个闭链都是边界。收敛用 Banach 的完备性。\n\n⚠️ 要求 $N$ 是**实** Banach 空间（带 $\\mathbb{R}$-模结构），不是任意 Banach 阿贝尔群 —— 除以 $2$ 那一步要用到标量结构。\n\n**证明（把闭链写成收敛级数）。** 仍用 Breen–Deligne 谱序列 $E^{p,q}_{1} = \\bigoplus_{i} H^{q}(M^{s_{p,i}}\\times S, N) \\implies \\operatorname{Ext}^{p+q}_{\\mathbb{Z}}(M,N)(S)$。\n- 由 **Thm（实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调）**，$M^{s_{p,i}}\\times S$ 是紧 Hausdorff（$M$ 紧、$S$ Stonean 紧），故 $q > 0$ 的整行是 $0$；只剩下 $q = 0$ 那一行，即复形 $K^{\\bullet}$，$K^{n} := \\bigoplus_{i} C\\bigl(M^{s_{n,i}}\\times S,\\ N\\bigr)$（Banach 空间）。只要证 $K^{\\bullet}$ 零调。\n- **关键工具**是「乘 $2$ 与 $[2]$ 同伦」：由 $2 - [2] = dh + hd$，对闭链 $f \\in K^{n}$（$df = 0$）有 $2f - [2]f = dh^{n+1}f$，于是\n$$f = \\tfrac{1}{2}[2]f + d\\Bigl(\\tfrac{1}{2}h^{n+1}f\\Bigr).$$\n- 把这一式对 $f$ 反复代入 $n$ 次：\n$$f = \\frac{1}{2^{n}}[2^{n}]f + d\\Bigl(\\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{2^{k}} h^{n+1}\\bigl([2^{k-1}]f\\bigr)\\Bigr).$$\n- 因为 $\\|[2]\\| \\le 1$、$\\|h^{n+1}\\| \\le \\|h^{n+1}\\| < \\infty$ 且 $N$ 是 Banach（**完备**），级数 $\\sum_{k} \\frac{1}{2^{k}} h^{n+1}([2^{k-1}]f)$ **收敛**；又 $\\frac{1}{2^{n}}[2^{n}]f \\to 0$。令 $n\\to\\infty$：\n$$f = d\\Bigl(\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{2^{k}} h^{n+1}\\bigl([2^{k-1}]f\\bigr)\\Bigr),$$\n即每个闭链都是边界，$K^{\\bullet}$ 零调。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 8.3.6" ] }, { "id": "prop.rhom-dual-tensor", "type": "proposition", "label": "离散对偶的 RHom 与导出张量", "title": "$\\operatorname{RHom}(\\operatorname{RHom}(M, T), N) \\cong M \\otimes^{\\mathbf{L}}_{\\mathbb{Z}} N[-1]$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 19, "tags": [ "凝聚态数学", "RHom", "导出张量", "对偶" ], "statement": "设 $M, N$ 是**离散**阿贝尔群，$T = \\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$。则\n\n$$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, T),\\ N\\bigr) \\cong M \\otimes^{\\mathbf{L}}_{\\mathbb{Z}} N[-1].$$", "notes": "**在说什么。** 把「先取对偶、再对靶算 RHom」这个往返回溯成一个**导出张量积**，并且**降了一次数**（$[-1]$）。于是「算对偶的 Ext」被换成了「算张量积」—— 后者在离散群上可以用自由消解直接做。\n\n**证法**。用短正合列 $0 \\to \\mathbb{Z} \\to \\mathbb{R} \\to T \\to 0$。由前面两条归零定理得 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{R}, N) = 0$，于是 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(T, N) \\cong N[-1]$。代入 $\\operatorname{RHom}(M, T)$ 并逐层展开，再用自由情形的导出张量计算，就得到结论。\n\n⭐ 这条把 $T$ 这个「圆」的角色讲清楚了：$T$ 在导出层面**等价于降一次数**（$\\operatorname{RHom}(-, T)$ 把离散群送到它自己的 $[-1]$）。这正是下一节 Pontryagin 对偶能用 RHom 写出来的原因。\n\n**证明（先造映射，再在自由情形验它是同构）。**\n- **造映射**：串联三个同构\n$$M \\otimes^{\\mathbf{L}}_{\\mathbb{Z}} N[-1] \\;\\cong\\; M \\otimes^{\\mathbf{L}}_{\\mathbb{Z}} \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}[-1], N) \\;\\cong\\; M \\otimes^{\\mathbf{L}}_{\\mathbb{Z}} \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(T, N) \\;\\cong\\; \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, T),\\ N\\bigr),$$\n其中第一式来自「离散群的 $\\operatorname{RHom}(\\mathbb{Z}, N) = N$」，第二式来自短正合列 $0\\to\\mathbb{Z}\\to\\mathbb{R}\\to T\\to 0$（配合 $\\operatorname{RHom}(\\mathbb{R}, N) = 0$，于是 $\\operatorname{RHom}(T,N)\\cong\\operatorname{RHom}(\\mathbb{Z},N)[-1] = N[-1]$），第三式是「张量与内 Hom 的伴随」。\n- **验同构**：只需对 $M = \\mathbb{Z}\\cdot E$（自由）验证。此时由「离散情形的 $\\operatorname{RHom}(\\mathbb{Z}\\cdot E, N) = N^{E}$」得 $\\operatorname{RHom}(M, T) = T^{E}$，而 $M\\otimes^{\\mathbf{L}}N = N\\cdot E$；问题化归为证 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(T^{E}, N) \\cong N\\cdot E[-1]$。\n- $E$ **有限**时：由三角 $\\operatorname{RHom}(\\mathbb{Z},N)\\to\\operatorname{RHom}(\\mathbb{R},N)\\to\\operatorname{RHom}(T,N)\\to$ 与 $\\operatorname{RHom}(\\mathbb{R},N)=0$ 得 $\\operatorname{RHom}(T,N)\\cong N[-1]$，取 $E$ 次幂即可。\n- $E$ **一般**时：写成有限子集的滤过余极限 $E = \\varinjlim E'$，用 Breen–Deligne 谱序列 + 滤过余极限正合把结论传上去，而这一步只需 $H^{q}\\bigl((T^{s})^{E}\\times S, N\\bigr) = \\varinjlim_{E'} H^{q}\\bigl((T^{s})^{E'}\\times S, N\\bigr)$ —— 由 Dyckhoff 与「紧 Hausdorff 的滤过极限上常系数上同调是余极限」给出。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 8.3.7" ] }, { "id": "prop.dual-rhom-characterization", "type": "proposition", "label": "Pontryagin 对偶的 RHom 刻画", "title": "$M^{\\vee} \\cong \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, T)$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态数学", "Pontryagin 对偶", "RHom", "局部紧" ], "statement": "设 $M$ 是**局部紧 Hausdorff 阿贝尔群**，$M^{\\vee}$ 是它的 Pontryagin 对偶。则\n\n- 一般地 $M^{\\vee} \\cong \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, T)$；\n- 若 $M$ **紧**，则 $M^{\\vee} \\cong \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, \\mathbb{Z})[1]$；\n- 若 $M$ 是（有限维实）**Banach 空间**，则 $M^{\\vee} \\cong \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, \\mathbb{R})$。\n\n其中 $T = \\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$。", "notes": "**在说什么。** 经典的 Pontryagin 对偶 $M^{\\vee} = \\operatorname{Hom}_{\\mathrm{cts}}(M, T)$ 说的是「取到圆里的连续同态」。这条给出它在**导出层面**的三种等价写法 —— 于是「取对偶」这个操作可以在导出的世界里做，进而参与 RHom / 张量的计算。\n\n**三条为什么互相相容**。用 $0 \\to \\mathbb{Z} \\to \\mathbb{R} \\to T \\to 0$：对**紧**的 $M$，$\\operatorname{RHom}(M, \\mathbb{R}) = 0$（紧 $\to$ Banach 全零），于是 $\\operatorname{RHom}(M, T) \\cong \\operatorname{RHom}(M, \\mathbb{Z})[1]$，第二条就是这么来的。\n\n**注意三种情形的「位移」不同**：紧的情形多一个 $[1]$、Banach 的情形换成靶 $\\mathbb{R}$。这说明「对偶」在导出层面不是一个统一的操作 —— 具体走哪条，取决于 $M$ 属于哪一类。\n\n📌 **用法**：把「算 Pontryagin 对偶」归约成「算 RHom」，而 RHom 有 Breen–Deligne 谱序列与逐类归零定理可用。\n\n**证明（由结构定理化归到三类）。** 局部紧 Hausdorff 阿贝尔群都是「离散群」被「有限维实 Banach 空间 $\\oplus$ 连通紧 Hausdorff 阿贝尔群」扩张出来的，所以只要对三类分别验证。\n- **$M$ 离散**：取两段自由消解 $0 \\to F' \\to F \\to M \\to 0$（$F, F'$ 自由）。由「离散自由群的 $\\operatorname{RHom}$ 只有 $0$ 次」得长正合列\n$$0 \\to M^{\\vee} \\to F^{\\vee} \\to F'^{\\vee} \\to \\operatorname{Ext}^{1}_{\\mathbb{Z}}(M, T) \\to 0,$$\n这既给出 $M^{\\vee} \\cong \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, T)$，又顺带给出 $\\operatorname{Ext}^{1}$ 的位置。\n- **$M$ 紧**：先把上一段用在 $M^{\\vee}$（对偶又紧）上，得 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M^{\\vee}, T) \\cong M$；再用 8.3.7（把 $M^{\\vee}$ 与 $\\mathbb{Z}$ 代入）与「紧 $\\to$ 实 Banach 全零」得 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, \\mathbb{Z}) \\cong M^{\\vee}[-1]$，即 $M^{\\vee} \\cong \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, \\mathbb{Z})[1]$。\n- **$M$ 有限维 Banach**：由「有限维 Banach 到离散群全零」的三类掐掉只剩 $\\mathbb{R}$ 的靶，逐条比对得 $M^{\\vee} \\cong \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, \\mathbb{R})$。∎", "refs": [ "Le Stum, Proposition 8.3.8" ] }, { "id": "thm.lc-ext-vanishing", "type": "theorem", "label": "局部紧阿贝尔群高次 Ext 消失", "title": "$\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M, N) = 0$（$n \\ne 0, 1$）", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "Ext", "局部紧阿贝尔群", "结构定理" ], "statement": "设 $M, N$ 是**局部紧 Hausdorff 阿贝尔群**。则对一切 $n \\ne 0, 1$\n\n$$\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M, N) = 0.$$", "notes": "⭐ **这是 §8.3 的终点**：局部紧 Hausdorff 阿贝尔群之间的 Ext 只在 $0$ 次和 $1$ 次上可能非零，再高一律消失。凝聚态数学对局部紧阿贝尔群给出的最终结论就是这个。\n\n**证法：先归约、再逐类掐掉**。由局部紧阿贝尔群的**结构定理**（每个这样的群都是「离散群」被「有限维实 Banach 空间 $\\oplus$ 连通紧 Hausdorff 群」扩张出来的），只要对三类源与三类靶交叉验证即可。$M$ 离散时用两段自由消解，$N$ 离散时用那条练习（连通局部紧群对离散群）；$N$ 是 Banach 时用「紧 $\to$ Banach 全零」与「有限维 Banach 之间的 RHom 只有 0 次」。\n\n**为什么是「只剩 $\\operatorname{Ext}^{0}, \\operatorname{Ext}^{1}$」**：$\\operatorname{Ext}^{0}$ 就是 $\\operatorname{Hom}$，$\\operatorname{Ext}^{1}$ 分类扩张 —— 这两项是**代数**上本来就该有的；这条定理说的是**没有更多**，即凝聚态阿贝尔群的范畴在局部紧对象上「同调维数 $\\le 1$」。\n\n⚠️ 结论**不适用于非局部紧**的对象：像 $\\mathbb{R}^{I}$（任意大的积）这类东西，$\\operatorname{RHom}$ 的行为完全是另一回事。\n\n**证明（按结构定理分三类，逐类掐掉）。** 局部紧 Hausdorff 阿贝尔群都是「离散群」被「有限维实 Banach 空间 $\\oplus$ 连通紧 Hausdorff 阿贝尔群」扩张出来的。于是只需对三类源与三类靶交叉处理：\n- **$M$ 离散**：有两段自由消解，长正合列把 $\\operatorname{Ext}^{n}$（$n \\ge 2$）全部掐掉（自由对象只在 $0$ 次有 Ext）。\n- **$N$ 离散**：由连通局部紧群对离散群的那条（Exercises 8.18）同样只剩 $0, 1$ 两格。\n- **$N$ 实 Banach**：由「紧 $\\to$ Banach 全零」与「有限维 Banach 之间的 $\\operatorname{RHom}$ 只有 $0$ 次」把高次掐掉。\n- **$N$ 连通紧 Hausdorff**：有兩段消解 $0 \\to N \\to T^{E} \\to T^{E'} \\to 0$，故只需证 $\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M, T^{E}) = \\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M, T)^{E} = 0$（$n \\ne 0,1$），而这由 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, T) \\cong M^{\\vee}$（上一条 Pontryagin 对偶）集中在次数 $0$ 给出。∎", "refs": [ "Le Stum, Theorem 8.3.9" ] }, { "id": "table.rhom-zrt", "type": "example", "label": "Z/R/T 的 RHom 计算表", "title": "$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)$ 在 $\\mathbb{Z}, \\mathbb{R}, T$ 上的取值", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "RHom", "计算表", "Ex 8.17" ], "statement": "下表列出 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)$（行是 $M$、列是 $N$）：\n\n$$\\begin{array}{c|ccc} & \\mathbb{Z} & \\mathbb{R} & T \\\\ \\hline \\mathbb{Z} & \\mathbb{Z} & \\mathbb{R} & T \\\\ \\mathbb{R} & 0 & \\mathbb{R} & \\mathbb{R} \\\\ T & \\mathbb{Z}[-1] & 0 & \\mathbb{Z} \\end{array}$$", "notes": "**怎么读这张表**（$T = \\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$）：\n\n\n\n- 第一行（源是 $\\mathbb{Z}$）：$\\operatorname{RHom}(\\mathbb{Z}, N) = N$ —— 自由对象上没有高阶，只剩 0 次；\n- 第二行第一列 $0$：**实向量空间 $\to$ 离散**全零（可除性塌掉）；\n- 第二行其余：有限维实 Banach 之间的 RHom 只有 0 次，值为 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{R}}(M, N)$ —— 这里是 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{R}}(\\mathbb{R}, \\mathbb{R}) = \\mathbb{R}$ 与 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{R}}(\\mathbb{R}, T)$；\n- 第三行第二列 $0$：**紧 Hausdorff $\to$ 实 Banach** 全零；\n- 第三行第一列 $\\mathbb{Z}[-1]$：由 $0 \\to \\mathbb{Z} \\to \\mathbb{R} \\to T \\to 0$，中间项是 $0$，只剩下一步降一次的 $\\mathbb{Z}$；\n- 右下角 $\\mathbb{Z}$：同样由 $0 \\to \\mathbb{Z} \\to \\mathbb{R} \\to T \\to 0$ 与 $\\operatorname{RHom}(T, \\mathbb{R}) = 0$ 得到。\n\n\n\n这张表是全章计算的**浓缩总结**：三条归零定理（$\\mathbb{R} \\to$ 离散、紧 $\\to \\mathbb{R}$、以及自由源）加上 $0 \\to \\mathbb{Z} \\to \\mathbb{R} \\to T \\to 0$ 这一条正合列，就能把三类基本对象之间的所有 RHom 全部算出来。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 8.17" ] }, { "id": "ex.finite-banach-rhom", "type": "example", "label": "有限维 Banach 之间的 RHom", "title": "$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, N) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{R}}(M, N)$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "RHom", "Banach 空间", "Ex 8.15" ], "statement": "设 $M, N$ 是有限维实 Banach 空间。则 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M, N) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{R}}(M, N)$，其中右边集中在 **0 次**。", "notes": "**和「实 Banach 在紧 Haus 上零调」是一条链上的**：$\\mathbb{Z}$-线性映射 $M \\to N$ 已经是 $\\mathbb{R}$-线性的（因为 $M$ 是实向量空间，$\\mathbb{Z}$-线性 + 连续 $\\implies$ $\\mathbb{R}$-线性），于是没有高阶修正项。\n\n⚠️ 只在**有限维**时这么干净。无限维的实 Banach 空间之间一般会有高阶项 —— 那正是「实 Banach 在紧 Haus 上零调」那条定理要用到的技术难度所在。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 8.15" ] }, { "id": "ex.chaus-banach-rhom", "type": "example", "label": "紧 S 对实 Banach 的 RHom", "title": "$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z} \\cdot S,\\ N) \\cong C(S, N)$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态数学", "RHom", "紧 Hausdorff", "函数空间", "Ex 8.12" ], "statement": "设 $S$ 是紧 Hausdorff 空间、$N$ 是实 Banach 空间。则 $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z} \\cdot S,\\ N) \\cong C(S, N)$，集中在 **0 次**。", "notes": "**直觉**：$\\mathbb{Z} \\cdot S$ 是 $S$ 生成的自由阿贝尔群；从它到 $N$ 的群同态就是「给 $S$ 的每个点指定一个 $N$ 的元素」。要做成**连续**的话，正好得到连续函数空间 $C(S, N)$。\n\n**为什么只有 0 次**：$\\mathbb{Z} \\cdot S$ 在 $S$ 紧 Hausdorff 时是投射的，投射对象上没有高阶 Ext。\n\n⭐ 这条是「实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调」那一步的**局部计算**：谱序列的每一格都是这种形状。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 8.12" ] }, { "id": "ex.bd-ss", "type": "example", "label": "Breen–Deligne 的一般谱序列", "title": "$E^{p,q}_{1} = \\bigoplus_{i} H^{q}(M^{s_{p,i}},\\ N) \\implies \\operatorname{Ext}^{p+q}_{\\mathbb{Z}}(M, N)$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "Breen-Deligne", "谱序列", "拓扑斯", "Ex 8.14" ], "statement": "设 $M, N$ 是拓扑斯中的阿贝尔群。由 Breen–Deligne 分解得到自然谱序列\n\n$$E^{p,q}_{1} = \\bigoplus_{i=1}^{r_{p}} H^{q}\\bigl(M^{s_{p,i}},\\ N\\bigr) \\implies \\operatorname{Ext}^{p+q}_{\\mathbb{Z}}(M, N).$$", "notes": "**与 Stonean 那条的关系**：这条是**一般拓扑斯**里的版本（不带测试空间 $S$）；Stonean 那条是把两边都沿 $S$ 基变换（乘上 $\\mathbb{Z}[S]$）之后的结果。两者是同一条谱序列的「无参数」与「有参数」两种形状。\n\n**用途**：在没有 Stonean 可用的一般拓扑斯上，仍然能用这条谱序列把 Ext 展成一批 $M^{s_{p,i}}$ 上的上同调 —— 这是「Breen–Deligne 分解是 CondAb 里一切 Ext 计算的引擎」这句话在一般拓扑斯上的版本。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 8.14" ] }, { "id": "ex.connected-lc-ext", "type": "example", "label": "连通局部紧到离散只剩 Ext一次", "title": "$\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M, N) = 0$（$n \\ne 1$，$M$ 连通、$N$ 离散）", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "Ext", "连通群", "离散群", "Ex 8.18" ], "statement": "设 $M$ 是**连通**局部紧 Hausdorff 阿贝尔群、$N$ 是**离散**阿贝尔群。则 $\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M, N) = 0$，对一切 $n \\ne 1$。", "notes": "**和主定理的差别**：主定理（局部紧之间只剩 $\\operatorname{Ext}^{0}, \\operatorname{Ext}^{1}$）对源与靶都要求局部紧；这条把条件收窄到「源连通 + 靶离散」，结论里连 $\\operatorname{Ext}^{0}$ 也没了 —— 因为连通群到离散群的连续同态只能是平凡的（连通像落在离散拓扑里必为单点）。\n\n**证法思路**：连通局部紧阿贝尔群可写成「紧连通部分 $\\oplus$ 实向量空间」；实向量空间那一块用「实向量空间 $\to$ 离散全零」，紧连通那一块用紧群的技术。\n\n⭐ 这条是主定理里「$N$ 离散」那一支的关键零件。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 8.18" ] }, { "id": "ex.nonlc-rhom", "type": "example", "label": "非局部紧情形的 RHom", "title": "$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{R}^{I}, \\mathbb{Z}) = 0$，$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}^{I}, \\mathbb{Z}) = \\mathbb{Z} \\cdot I$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "homology" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "RHom", "非局部紧", "乘积", "Ex 8.19" ], "statement": "记 $I$ 为任意指标集。则\n\n- $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{R}^{I}, \\mathbb{Z}) = 0$；\n- $\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}^{I}, \\mathbb{Z}) = \\mathbb{Z} \\cdot I$，集中在 0 次。", "notes": "**为什么要单列这条**：$\\mathbb{R}^{I}$ 与 $\\mathbb{Z}^{I}$（任意大的积）一般**不是**局部紧的，所以主定理管不着它们。这条给出它们的具体答案，说明**结构定理之外也能处理**。\n\n**第一条**：$\\mathbb{R}^{I}$ 仍是可除的（可除性的积还是可除），于是「可除 $\to$ 离散全零」那一套照样管用，$\\operatorname{RHom}$ 整个归零。\n\n**第二条**：$\\mathbb{Z}^{I}$ 上的同态由 $I$ 上取值决定的那些（有限支撑的）—— 得到自由阿贝尔群 $\\mathbb{Z} \\cdot I$，且没有高阶项。\n\n⚠️ 关键在于这些对象**不是局部紧**的，所以不能靠「局部紧阿贝尔群结构定理」把它们拆成三类；但结论照样干净。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 8.19" ] }, { "id": "thm.lc-structure", "type": "theorem", "label": "局部紧阿贝尔群结构定理", "title": "局部紧 Hausdorff 阿贝尔群的结构：$V \\oplus K$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "topology" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 16, "tags": [ "凝聚态数学", "局部紧阿贝尔群", "结构定理", "紧群" ], "statement": "设 $M$ 是**局部紧 Hausdorff 阿贝尔群**。则 $M$ 含有一个**开**子群，它同构于\n\n$$V \\oplus K,$$\n\n其中 $V$ 是**有限维实向量空间**（看作加法群）、$K$ 是**紧 Hausdorff 阿贝尔群**。\n\n等价地说：存在正合列\n\n$$0 \\longrightarrow V \\oplus K \\longrightarrow M \\longrightarrow D \\longrightarrow 0,$$\n\n其中 $D$ 是**离散**阿贝尔群。", "notes": "**怎么读这条。** 局部紧 Hausdorff 阿贝尔群看着种类繁多，其实只有三种「基本块」：**离散群**、**有限维实向量空间**、**紧 Hausdorff 群**。这条定理说：任意一个这样的群，都是「$V \\oplus K$」被一个离散群扩张出来的。\n\n**为什么 $V$ 必须有限维**：实向量空间的加法群局部紧 $\\iff$ 有限维。无限维的实 Banach 空间（如 $\\ell^{2}$）**不局部紧**，所以不在结构定理的覆盖范围内。\n\n**「开子群」是什么意思**：$V \\oplus K \\subseteq M$ 是一个开子群，于是余核 $D = M/(V\\oplus K)$ 带商拓扑 —— 由于 $V \\oplus K$ 开，商是**离散**的。开性正是让商离散的原因。\n\n⭐ **它是第 8 章的引擎**。「局部紧阿贝尔群之间的高次 Ext 消失」那一步，用的就是这条定理：既然每个对象都是「离散 / 有限维实 Banach / 紧连通」三类扩张出来的，那么只要对这三类交叉验证 Ext 的消失就够了 —— 也就是把无穷多种群的情形归约成 $3 \\times 3$ 种。\n\n**证明（标准路线）。**\n1. **连通部分**：$M^{0}$（单位元的连通分支）是闭子群。$M^0$ 是**连通局部紧阿贝尔群**，而这一类群恰好形如 $\\mathbb{R}^{n}\\times K$（$K$ 紧连通阿贝尔群）—— 这一步是经典理论（用「无小子群」/Lie 理论把 $M^{0}$ 的紧子群部分与向量群部分分开）。\n2. **全不连通商**：$M/M^{0}$ 是**全不连通**的局部紧 Hausdorff 群；这类群必有**开紧子群**（取单位元的紧邻域并取它生成的子群的闭包）。\n3. **拼起来**：取 $M_{1}$ 为某个开紧子群的原像，则 $M_{1}$ 开、$M_{1}/M^{0}$ 紧。于是 $M_{1}$ 是紧群 $K$ 被 $\\mathbb{R}^{n}$ 扩张：$0 \\to K \\to M_{1} \\to \\mathbb{R}^{n} \\to 0$。\n4. **扩张分裂**：$\\mathbb{R}^{n}$ 是**向量群**，而「紧群被向量群扩张必分裂」（对紧方向取平均 / 用局部截面 + 紧性把它整体化），故 $M_{1} \\cong \\mathbb{R}^{n}\\times K$ ✓。\n5. **余商离散**：$M_{1}$ 开 $\\implies$ $D := M/M_{1}$ 带商拓扑是**离散**的 ✓，于是 $0\\to V\\oplus K\\to M\\to D\\to 0$ 正合。∎\n**标准出处**：Morris（同上）。", "refs": [ "Le Stum, Theorem 6.2.5", "Morris, Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups" ] }, { "id": "prop.pontryagin-discrete-compact-duality", "type": "proposition", "label": "离散 与 紧 Hausdorff", "title": "Pontryagin 对偶把离散与紧互换", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "topology" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态数学", "Pontryagin 对偶", "离散群", "紧 Hausdorff" ], "statement": "设 $M$ 是局部紧 Hausdorff 阿贝尔群，$\\widehat{M} = C_{\\mathbb{Z}}(M, \\mathbb{T})$ 是它的 Pontryagin 对偶。则\n\n- $M$ **离散** $\\iff$ $\\widehat{M}$ **紧 Hausdorff**；\n- $M$ **紧 Hausdorff** $\\iff$ $\\widehat{M}$ **离散**。\n\n于是对偶函子把「离散阿贝尔群」与「紧 Hausdorff 阿贝尔群」这两个范畴**互相换过来**。", "notes": "**为什么。** $\\mathbb{T} = \\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$ 是紧的：从**离散**的 $M$ 到紧的 $\\mathbb{T}$ 的连续同态全体，配上紧开拓扑，自然是紧的（乘积 $\\mathbb{T}^{M}$ 紧，闭子集仍紧）；反过来，$\\widehat{M}$ 紧的时候 $M = \\widehat{\\widehat{M}}$ 就离散了。\n\n**两个范例**：$\\widehat{\\mathbb{Z}} \\cong \\mathbb{T}$（离散 $\to$ 紧）、$\\widehat{\\mathbb{T}} \\cong \\mathbb{Z}$（紧 $\to$ 离散）。\n\n⭐ **这里可以看到「用紧 Hausdorff 空间测一切」这套思路的源头**：离散群不能直接谈紧性，但它可以「变成」一个紧 Hausdorff 空间；于是「取离散群的商 / 子」这类操作在那边变成「取紧空间的闭子空间 / 商」，全部变成拓扑问题。\n\n📌 这条是 Pontryagin 那一对字典的**一半**（另一条处理挠与连通）。\n\n**证明。**\n- **$M$ 离散 $\\implies \\widehat M$ 紧**：取满射 $\\mathbb{Z}^{(I)} \\twoheadrightarrow M$；对偶把满射变成**单射**（取值互逆），且像是闭的（$\\widehat M \\hookrightarrow \\mathbb{T}^{I}$ 是闭嵌入）。$\\mathbb{T}$ 紧 Hausdorff、$\\mathbb{T}^{I}$ 紧，闭子集紧 $\\implies$ $\\widehat M$ 紧 ✓。\n- **$\\widehat M$ 紧 $\\implies M$ 离散**：由对偶定理（自等价）$M \\cong \\widehat{\\widehat M}$，而 $\\widehat M$ 紧，用上一方向（把 $M$ 换成 $\\widehat M$）得 $M$ 的对偶的对偶…… 更直接地：紧的 $\\widehat M$ 的对偶 $\\widehat{\\widehat M} = M$ 由前一方向是紧的——不，需要的是「紧的对偶离散」：取上半平面 $U\\subseteq\\mathbb{T}$（$\\operatorname{Im} z > 0$），它不含单位元闭包，于是任何连续同态 $\\widehat M \\to \\mathbb{T}$ 的像落在某个 $\\mathbb{T}$ 的连通分量里，再由 $\\widehat M$ 紧、特征标分离点可得 $\\widehat{\\widehat M}$ 在原点有离散的邻域，故 $M = \\widehat{\\widehat M}$ 离散 ✓。\n- **紧 $\\implies$ 对偶离散**与上一条的第二个方向是同一句话（对偶自等价 + 对偶把「离散」与「紧」互换的两个方向互为逆）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, §6.2", "Le Stum, Exercise 6.9" ] }, { "id": "prop.pontryagin-torsion-stone", "type": "proposition", "label": "挠 与 Stonean，无挠 与 连通", "title": "Pontryagin 对偶下的挠与连通", "label_en": "torsion Stonean", "title_en": "torsion Stonean", "en_page": "nodes/prop.pontryagin-torsion-stone.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed", "topology" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 18, "tags": [ "凝聚态数学", "Pontryagin 对偶", "挠群", "Stonean", "连通" ], "statement": "设 $M$ 是**离散**阿贝尔群，$\\widehat{M} = C_{\\mathbb{Z}}(M, \\mathbb{T})$ 是它的 Pontryagin 对偶（由另一条对偶定理，$\\widehat{M}$ 紧 Hausdorff）。则\n\n- $M$ **挠**（每个元素都有有限阶）$\\iff$ $\\widehat{M}$ 是 **Stonean** 空间（极不连通的紧 Hausdorff 空间）；\n- $M$ **无挠** $\\iff$ $\\widehat{M}$ **连通**。\n\n更一般地：$M$ 的挠子群 $M_{\\mathrm{tors}}$ 对应对偶的连通分支，而 $M/M_{\\mathrm{tors}}$ 对应 $\\widehat{M}$ 的 Stonean 部分。", "notes": "**为什么「挠」对应「极不连通」。** 阶为 $n$ 的元素 $x$ 对应 $\\widehat{M}$ 上一条满足 $n\\chi(x) = 0$ 的取值 —— 取值落在一个有限子群 $\\mathbb{Z}/n \\subseteq \\mathbb{T}$ 里。有限离散的东西在拓扑上是**极不连通**的：整个对偶空间被「整除不到」的性质切成开闭片。\n\n**为什么「无挠」对应「连通」。** 反过来，若 $M$ 无挠（像 $\\mathbb{Z}$ 那样），对偶 $\\widehat{M}$ 就是连通的 —— 例子：$\\widehat{\\mathbb{Z}} = \\mathbb{T}$ 连通，而 $\\widehat{\\mathbb{Z}/n} = \\mathbb{Z}/n$ 是有限离散、极不连通。\n\n⭐ **为什么凝聚态数学特别在意这条**：Stonean 空间恰好是凝聚态上同调**恒为零**的那一类空间，而极不连通性又恰好对应对偶侧的挠性。于是「Stonean 上的零调性」这条 §8.1 的起点定理，在这里有了一个**纯代数**的描述方式。\n\n⚠️ 注意 $M$ 这里要求**离散** —— 一般局部紧群的对偶分析要先把结构定理用上。\n\n**证明。**\n- **挠 $\\iff$ Stonean**：$M$ 挠 $\\iff$ $M = \\varinjlim_{i} M_{i}$（$M_{i}$ **有限**）$\\iff$ $\\widehat M = \\varprojlim_{i} \\widehat{M_{i}}$（每个 $\\widehat{M_{i}}$ 仍有限，对偶把余极限翻成逆极限）$\\iff$ $\\widehat M$ 是**投射有限**空间，即 Stone 空间（紧、Hausdorff、全不连通）；对一般（非挠）离散群，极不连通性对应同样的「有限块的逆极限」结构 ✓。\n- **无挠 $\\iff$ 连通**：等价链逐条走 ——\n$M$ 不是无挠 $\\iff$ 存在非平凡的**有限**子群单射 $M' \\hookrightarrow M$ $\\iff$ 存在非平凡有限商 $\\widehat M \\twoheadrightarrow \\widehat{M'}$（对偶把单射翻成满射）$\\iff$ $\\widehat M$ **不连通** ✓。\n（最后一步：紧 Hausdorff 空间不连通 $\\iff$ 有开闭真子集 $\\iff$ 有到非平凡有限离散空间的满连续映射。）∎\n⭐ 「挠子群 $\\leftrightarrow$ 连通分支」「无挠商 $\\leftrightarrow$ Stonean 部分」两个字典都可以从这两条链逐字读出。", "refs": [ "Le Stum, §6.2", "Le Stum, Exercise 6.9" ] }, { "id": "prop.cond-limits-colimits", "type": "proposition", "label": "Cond 的极限与余极限", "title": "$\\mathrm{Cond}$ 的极限逐点算，余极限要先层化", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "拓扑斯", "极限", "余极限" ], "statement": "$\\mathrm{Cond}$ 有所有（小）极限与余极限。**极限逐点计算**：对每个紧 Hausdorff 空间 $S$，\n\n$$\\Bigl(\\varprojlim_{i} X_{i}\\Bigr)(S) = \\varprojlim_{i} X_{i}(S).$$\n\n**余极限不能这样算** —— 它是「先在预层里逐点取余极限、再**层化**」：\n\n$$\\Bigl(\\varinjlim_{i} X_{i}\\Bigr)(S) = \\Bigl(\\text{层化}\\bigl(S' \\mapsto \\varinjlim_{i} X_{i}(S')\\bigr)\\Bigr)(S).$$", "notes": "**证明极限那一半。** 层范畴 $\\mathrm{Cond}$ 是预层范畴 $\\widehat{\\mathbf{CHaus}}$ 的**反射**满子范畴，含入函子 $i$ 有左伴随（层化）。右伴随保极限，所以 $i$ 保极限：$\\mathrm{Cond}$ 里的极限就是预层里的极限；而预层里的极限是**逐点**算的。∎\n**余极限为什么不行。** 层化只是 $i$ 的**左**伴随，它不保余极限，所以余极限要先在预层里逐点取、再层化一次。\n**一个具体的反例。** 取紧 Hausdorff 的满射 $F \\twoheadrightarrow S$，例如 $S = S^{1}$、$F = S^{1}$、$z \\mapsto z^{2}$。在 $\\mathrm{Cond}$ 里，满射是**有效满**，所以\n$$\\operatorname{coeq}\\bigl(F \\times_{S} F \\rightrightarrows F\\bigr) = h_{S};$$\n但**逐点**看 $T = S^{1}$：$F \\times_{S} F = S^{1} \\times \\{\\pm 1\\}$，两个投影在 $\\mathrm{Hom}(S^{1}, F) = \\mathrm{Hom}(S^{1}, S^{1})$ 上就是 $g \\mapsto g$ 与 $g \\mapsto -g$，于是逐点余等化子把 $\\mathrm{id}$ 与 $-\\mathrm{id}$ 粘了起来，是 $\\mathrm{Hom}(S^{1}, S^{1})$ 的一个**真商**；而 $h_{S}(S^{1}) = \\mathrm{Hom}(S^{1}, S^{1})$ 里这两个元素并不相等。两者不同，故余极限不是逐点算的。\n\n**「逐点」是什么意思**：要算一个凝聚态集，就得知道它在每个 $S$ 上取什么值。极限可以一路拆到每个 $S$ 上算；余极限不行，多一步层化。\n\n⭐ **这条是后面所有计算的技术基础**：凡是遇到 $\\mathrm{Cond}$ 里的极限，都可以拆到每个 $S$ 上去算，而集合的极限是好算的。\n\n⚠️ **有限余积是例外**（它是逐点的）：$h_{S_{1}} \\coprod h_{S_{2}} = h_{S_{1} \\coprod S_{2}}$ —— 因为 $\\coprod$ 正是预标准拓扑的覆盖，「有限余积变有限积」那条层条件直接给出它。", "refs": [ "Le Stum, Corollary 4.1.6", "Le Stum, §4.1" ] }, { "id": "prop.cond-epi-regular", "type": "proposition", "label": "Cond 的满态射都是正则的", "title": "$\\mathrm{Cond}$ 中满态射 $=$ 余等化子", "label_en": "epi regular", "title_en": "epi regular", "en_page": "nodes/prop.cond-epi-regular.en.md", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "拓扑斯", "满态射", "正则", "等价关系" ], "statement": "在 $\\mathrm{Cond}$ 中，每个满态射 $f : X \\to Y$ 都是**正则**的：它是它自己那对投影的余等化子，\n\n$$Y \\cong \\operatorname{coeq}\\bigl(X \\times_{Y} X \\rightrightarrows X\\bigr).$$", "notes": "**在说什么。** 一般的范畴里，「满态射」（右边可消）和「余等化子」（是某对映射的商）是两个不同的概念。拓扑斯里两者**重合** —— 这就是为什么在拓扑斯里可以放心地「取商」：任何满态射都真的在商掉一个等价关系。\n\n**$X \\times_{Y} X \\rightrightarrows X$ 是什么**：$X \\times_{Y} X = \\{\\, (x, x') : f(x) = f(x') \\,\\}$ 是 $f$ 的**核对**；它的两个投影就是那对映射。余等化子就是把「被 $f$ 认同的点」粘起来 —— 粘出来的结果正好是 $Y$。\n\n📌 这条与下一条（等价关系有效）是同一枚硬币的两面：这条说「商是良态的」，下一条说「每个等价关系都能当成某个商来出现」。\n\n**证明。** 一般范畴里「满」与「有效满」是两个概念；拓扑斯里两者重合。\n- 先看「$f$ 有效 $\\implies$ $f$ 满」：有效满按定义是余等化子，而余等化子总是满的。\n- 再看「$f: X \\to Y$ 满 $\\implies$ 有效」：令 $\\bar f : \\operatorname{coeq}(X \\times_{Y} X \\rightrightarrows X) \\to Y$ 为余等化子的泛性质给出的映射，它是满的，且由余等化子的泛性质本身就单 —— 于是只需证 **$\\bar f$ 是满**这一点在层论上「局部能验」。\n- 具体验：满态射的局部判据说 $f$ 在**自由**紧 Hausdorff 对象上逐点满（$X(F) \\to Y(F)$ 是满射）。取 $y \\in Y(F)$，有原像 $x \\in X(F)$；把 $x$ 送到余等化子，再送回来还是 $y$ —— 于是 $\\bar f$ 在 $F$ 上满。$\\bar f$ 单且满，故是同构，$f$ 是它自己核对对的余等化子。∎", "refs": [ "Le Stum, §4.1" ] }, { "id": "prop.cond-equivalence-effective", "type": "proposition", "label": "Cond 的等价关系有效", "title": "$\\mathrm{Cond}$ 中每个等价关系都是有效的", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "凝聚态数学", "拓扑斯", "等价关系", "有效", "Giraud" ], "statement": "在 $\\mathrm{Cond}$ 中，每个等价关系 $R \\rightrightarrows X$（即 $R \\subseteq X \\times X$ 是一个「自反、对称、传递」的子对象）都是**有效的**：\n\n$$R \\cong X \\times_{Y} X,\\qquad Y := \\operatorname{coeq}\\bigl(R \\rightrightarrows X\\bigr).$$\n\n也就是说：等价关系的商存在，而且 $R$ 恰好是那个商的核对。", "notes": "**「有效」是什么意思。** 给定一个等价关系，先取商 $Y = X/R$（这总能做），再把 $Y$ 沿商映射拉回 $X \\times X$。一般范畴里拉回来的东西可能**比 $R$ 大**（多粘了一些东西）。有效等价关系就是**恰好拉回 $R$ 自己**的那些。\n\n**为什么它重要**：只有有效等价关系才能「商了再拉回来还原」，也就是「取商」这个操作**不丢信息**。聚集到 $\\mathrm{Cond}$ 上，这条保证：把两个紧 Hausdorff 块按一个等价关系粘起来，得到的商对象在层论意义上「就是」那个等价关系本身。\n\n⭐ **这三条合起来正好是 Giraud 定理的输入**：一个有所有余极限、余极限万有且有效等价关系有效的范畴就是拓扑斯。反过来说，$\\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯这件事可以从这三条**逐条验证**，不必回到「它是一个 site 上的层范畴」那个定义。\n\n📌 与「Cond 是拓扑斯」那条合起来看：那条给**结论**，这三条给**理由**；有了理由，才知道 $\\mathrm{Cond}$ 的拓扑斯结构具体好在哪里（能做商、能做内部 Hom、能做层上同调）。\n\n**证明。** 给定 $R \\rightrightarrows X$。因为 $\\mathrm{Cond}$ 有余极限，商 $Y := \\operatorname{coeq}(R \\rightrightarrows X)$ 存在，且商映射 $q : X \\to Y$ 满（余等化子总是满）。由**上一条**，$q$ 是有效满：$q$ 是 $X \\times_{Y} X \\rightrightarrows X$ 的余等化子。\n现在比较 $R$ 与 $X\\times_{Y} X$：\n- 两个投影 $R \\rightrightarrows X$ 复合到 $Y$ 相同（余等化子的定义），故 $R \\subseteq X \\times_{Y} X$；\n- 反过来，$X \\times_{Y} X$ 是「被 $q$ 认同的点对」，而层论上「$q$ 在两个点上取同值」这件事可以在**覆盖上逐点验**：取覆盖 $(X_{i} \\to X)$，$X\\times_{Y}X$ 在每块上就是 $R$ 在每块上的值（用 $X$ 与 $R$ 的层条件 + 余等化子的泛性质），于是 $X \\times_{Y} X \\subseteq R$。\n两边互包，$R \\cong X \\times_{Y} X$ —— 这正是有效性，也正是 Giraud 判据里那一条。∎", "refs": [ "Le Stum, §4.1" ] }, { "id": "def.exact-sequence", "type": "definition", "label": "一般正合列", "title": "正合列", "label_en": "exact sequence", "title_en": "exact sequence", "en_page": "nodes/def.exact-sequence.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology", "category" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 16, "tags": [ "同调代数", "正合列", "核", "像" ], "statement": "设\n\n$$\\cdots \\longrightarrow M^{n-1} \\xrightarrow{\\ d^{n-1}\\ } M^{n} \\xrightarrow{\\ d^{n}\\ } M^{n+1} \\longrightarrow \\cdots$$\n\n是阿贝尔范畴中的复形（$d^{n} \\circ d^{n-1} = 0$）。称它在 $M^{n}$ 处**正合**，如果\n\n$$\\operatorname{im}(d^{n-1}) = \\ker(d^{n}).$$\n\n处处正合的复形叫**正合列**。特别地，**短正合列**\n\n$$0 \\longrightarrow M' \\xrightarrow{\\ f\\ } M \\xrightarrow{\\ g\\ } M'' \\longrightarrow 0$$\n\n意思是：$f$ 是单态射、$g$ 是满态射，且 $\\operatorname{im}(f) = \\ker(g)$。", "notes": "**一句话**：正合 = 「进来的东西恰好就是出去会被杀掉的核」—— 没有多、没有少。$\\operatorname{im} \\subseteq \\ker$ 是复形条件自动给的（$d \\circ d = 0$），正合要求的只是**反方向**的包含。\n\n**两端的 $0$ 在做什么**：左端的 $0 \\to M'$ 表示 $\\ker(f) = 0$，即 $f$ 单；右端的 $M'' \\to 0$ 表示 $\\operatorname{im}(g) = M''$，即 $g$ 满。于是「短正合列」把单、满、正合三件事打包成一条。\n\n**同构的另一种写法**：短正合列等价于「$M'$ 是 $M$ 的子对象、且 $M'' \\cong M/M'$」。这就是把「扩张」讲清楚的最短方式。\n\n📌 与「分裂短正合列」相对照：一般正合列**不保证**可以写成直和；能写成 $M \\cong M' \\oplus M''$ 的那些是特殊情形。", "refs": [ "Le Stum, Definition 5.2.3" ] }, { "id": "prop.grothendieck-enough-injectives", "type": "proposition", "label": "Grothendieck 范畴有足够多内射", "title": "Grothendieck 范畴有足够多的内射对象", "label_en": "enough injectives", "title_en": "enough injectives", "en_page": "nodes/prop.grothendieck-enough-injectives.en.md", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 19, "tags": [ "同调代数", "Grothendieck 范畴", "内射对象", "导出函子" ], "statement": "任意 **Grothendieck 范畴**（即带生成元的 AB5 范畴）都有**足够多的内射对象**：\n\n每个对象 $M$ 都能嵌入一个内射对象，等价地，每个对象都有内射消解\n\n$$0 \\longrightarrow M \\longrightarrow I^{0} \\longrightarrow I^{1} \\longrightarrow \\cdots$$", "notes": "⭐ **这是「右导出函子存在」的存在性保障**。右导出函子 $R^{n}F$ 的标准定义是「取内射消解、施 $F$、取上同调」—— 而这个定义只有在**内射消解总是存在**的前提下才有意义。这条定理说：只要范畴是 Grothendieck 的，就不用担心。\n\n**「足够多」是什么意思**：不是「有很多内射对象」，而是「每个对象都能嵌进某个内射对象里」。这个条件是关于**范畴整体**的，不能逐对象验证。\n\n**用在哪**：$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$、$\\operatorname{Ind}(\\mathcal{C})$、拓扑斯上的 $\\mathbf{Ab}(\\mathcal{T})$、$\\mathrm{CondAb}$ —— 都是 Grothendieck 范畴，于是右导出函子、导出范畴、谱序列这一整套在它们上面全部可用。这就是 Grothendieck 那一代人挑出「AB5 + 生成元」这两条的全部理由。\n\n📌 随定义而来的另一条（同章）：Grothendieck 范畴**自动满足 AB3\\***（有所有极限）—— 极限的存在性不用额外假设。\n\n**证明（超限迭代；Baer 判据的范畴版本）。** 记 $\\mathcal{A}$ 是带生成元 $U$ 的 AB5 范畴。\n- **判据**：$I$ 内射 $\\iff$ 对每个单态射 $A\\rightarrowtail B$ 与每个 $A\\to I$，延拓 $B\\to I$ 存在。因为 $U$ 是生成元，只需对**子对象** $A\\rightarrowtail U$ 验证（一般的 $B$ 用一族 $U\\to B$ 铺开、逐块延拓再拼）。\n- **第一步**：$U$ 生成 $\\implies$ 求值映射 $M\\hookrightarrow U^{\\operatorname{Hom}(U,M)}$ 是单态射（两个态射若在所有 $U\\to M$ 上相同则相同），所以 $M$ 总能嵌进 $U$ 的一族积里。\n- **第二步（补全延拓）**：设 $M_{0} := M$。给定 $M_{\\alpha}$，把所有「待延拓数据」$\\bigl(A\\rightarrowtail U,\\ A\\to M_{\\alpha}\\bigr)$ 一次性推出去 —— 令 $M_{\\alpha+1}$ 是 $M_{\\alpha}$ 与 $\\coprod_{(A,\\varphi)}U$ 沿 $\\coprod_{(A,\\varphi)}A$ 的推出。于是每个从 $U$ 的子对象出发的映射都能在 $M_{\\alpha+1}$ 里延拓到整个 $U$ 上。\n- **极限序数**：取 $M_{\\beta} := \\varinjlim_{\\alpha<\\beta}M_{\\alpha}$。$\\mathcal{A}$ 是 **AB5**（滤过余极限正合），这一层层余极限保持单射与正合 ✓。\n- **稳定**：增量只依赖「$U$ 的子对象全体」这一**集合**（生成元 + AB5 保证它小），故足够大的序数之后 $M_{\\alpha}\\to M_{\\alpha+1}$ 已是同构；稳定下来的 $I := M_{\\infty}$ 满足判据，故内射 ✓。对 $M\\hookrightarrow I$ 重复该过程即得内射消解。∎\n**标准出处**：Freyd, *Abelian Categories*；另有一条更短的路线走 Gabriel–Popescu 嵌入（把 $\\mathcal{A}$ 看成 $R\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 的正合反射子范畴，再把 $R\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 的内射对象反射过来）。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 5.2.8（另见 Proposition 5.2.7）" ] }, { "id": "prop.ab5-implications", "type": "proposition", "label": "AB5 与 AB3*/AB4* 的关系", "title": "AB 公理之间的蕴含关系", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 19, "tags": [ "同调代数", "AB 公理", "Grothendieck" ], "statement": "1. **Grothendieck 范畴自动满足 AB3\\***（有所有极限）—— 即 AB5 加上生成元，就免费得到 AB3\\*；\n2. 除零范畴 $\\{0\\}$ 外，**没有范畴能同时满足 AB5 与 AB5\\***；\n3. 拓扑斯上的 $\\mathbf{Ab}(\\mathcal{T})$ 满足 **AB5 与 AB3\\***，但**一般并不满足 AB6 或 AB4\\***。", "notes": "**第 1 条为什么值得单说**：AB3 与 AB3* 是**对偶**的两条（一个有所有余极限、一个有所有极限），一般不能互相推出。「有生成元 + 滤过余极限正合」这两条合起来却把对偶那一条也带出来了 —— 这是 Grothendieck 范畴理论里最不平凡的一条「免费午餐」。\n\n**第 2 条的意思**：AB5（滤过余极限正合）与 AB5*（滤过极限正合）是**互相排斥**的，只能一边倒。零范畴是唯一例外（它什么都没有，两边都满足）。\n\n**第 3 条是「为什么凝聚态数学要用 CondAb 而不是随便一个拓扑斯」的答案**：$\\mathbf{Ab}(\\mathcal{T})$ 只有 AB5 与 AB3*，做一般的同调代数够用；但 $\\mathrm{CondAb}$ 额外满足 **AB6 与 AB4\\*** —— 即「滤过余极限与积交换」「积正合」。有了这两条才能像在 $\\mathbf{Ab}$ 里一样自由地交换极限与余极限。\n\n**三条各自的理由。**\n- **第 1 条**：用 **Freyd 的特殊伴随函子定理**。一个**余完备**范畴若有**小的余生成集**且**余良幂**（每个对象只有一个小集合那么多的商），则它**完备**。Grothendieck 范畴 $\\mathcal{A}$：余完备 ✓（AB5）；余良幂与小的余生成集都来自**生成元** $U$ —— 一个商由它「在 $U$ 上的点」决定，于是 $U$ 的商构成一个集合，而它们的积就是余生成元。SAFT 于是给出所有极限存在 ✓。\n- **第 2 条**：这是 **Roos** 的经典结果。思路：AB5 让 $\\mathbb{N}$ 形状的**余**极限行为良好、AB5\\* 让 $\\mathbb{N}$ 形状的**逆**极限行为良好；两者同时成立时会逼出一条 Milnor 型的正合列（$\\prod$ 与 $\\bigoplus$ 的比较），在阿贝尔范畴里只能对零对象成立 ✓。\n- **第 3 条**：前半 —— $\\mathbf{Ab}(\\mathcal{T})$ 是拓扑斯上的层范畴，是 Grothendieck 范畴，故 AB5 + AB3\\*（第 1 条）✓；后半 —— 「AB6 与 AB4\\* 一般不成立」在一般拓扑斯上有反例（阿贝尔层的积一般不正合、滤过余极限一般不与积交换），这两条**不能白拿** ✓。∎\n⭐ 所以 $\\mathrm{CondAb}$ 的 AB6 / AB4\\* 是**额外**的收获，来自 $\\mathbf{CHaus}$ 这个 site 的具体形状（逐项归约到 $\\mathbf{Ab}$），而不是任何拓扑斯都有的。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 5.2.7", "Freyd, Abelian Categories", "Roos, Derived functors of inverse limits (AB5 与 AB5\\* 互斥)" ] }, { "id": "prop.ab-axioms-examples", "type": "example", "label": "AB 公理的例子表", "title": "哪些范畴满足哪些 AB 公理", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "AB 公理", "例子", "计算表" ], "statement": "- $\\mathbf{Ab}$：**AB6** 与 **AB4\\***；\n- $\\mathbf{AbTop}$（拓扑阿贝尔群）：只满足 **AB1**；\n- $\\mathbf{AbCHaus}$（紧 Hausdorff 阿贝尔群）：只满足 **AB1**（更精确地 $\\mathbf{AbCHaus} \\simeq \\mathbf{Ab}^{\\mathrm{op}}$，故满足 AB4 与 AB6\\*）；\n- $\\mathbf{Ab}^{\\mathcal{C}}$（任意范畴 $\\mathcal{C}$ 上的阿贝尔群预层）：**AB6** 与 **AB4\\***；\n- $\\mathbf{Ab}(\\mathcal{T})$（拓扑斯 $\\mathcal{T}$ 上的阿贝尔群）：**AB5** 与 **AB3\\***；\n- $\\mathrm{CondAb}$：**AB6** 与 **AB4\\***。", "notes": "**怎么读这张表**：从下往上，公理越往上越强（AB1 < AB2 < AB3 < AB4 < AB5 < AB6）。表里最有意思的两个对照：\n\n\n\n- $\\mathbf{AbTop}$ 只到 AB1 —— 连 AB2 都不满足。理由是「态射不必严格」（存在单态射不是核的情形），所以它连阿贝尔范畴都不是，做不了同调代数。这正是要把拓扑群搬进凝聚态那侧的理由。- $\\mathbf{Ab}(\\mathcal{T})$ 停在 AB5，而 $\\mathrm{CondAb}$ 能上到 AB6 —— 多出来的正是「滤过余极限与积交换」与「积正合」。凝聚态数学在一般拓扑斯之上额外拿到的，就是这两条。\n\n⭐ 表里 $\\mathbf{AbCHaus} \\simeq \\mathbf{Ab}^{\\mathrm{op}}$ 那一行是把 Pontryagin 对偶提升成范畴等价的结果：紧 Hausdorff 阿贝尔群的范畴**反等价于**离散阿贝尔群的范畴，于是它的公理等级就是 $\\mathbf{Ab}$ 的**对偶**版本。", "refs": [ "Le Stum, §5.2" ] }, { "id": "method.simplicial-cohomology", "type": "proposition", "label": "单纯方法算层上同调", "title": "用单纯超覆盖计算 $H^{n}(X, M)$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "同调代数", "层上同调", "超覆盖", "单纯对象" ], "statement": "设 $M$ 是 site $\\mathcal{C}$ 上的阿贝尔层，$X \\in \\mathcal{C}$。取 $M$ 的一个**超覆盖**（即一个复形 $F_{\\bullet} \\to M$，其中每个 $F_{n}$ 是若干可表层的直和，且增广后处处正合）。则 $M$ 的上同调等于「逐层取截面」得到的**单纯阿贝尔群**的同伦群：\n\n$$H^{n}(X,\\ M) \\cong \\pi^{n}\\bigl(\\Gamma(X,\\ F_{\\bullet})\\bigr).$$", "notes": "**在说什么。** 层上同调的定义是「取内射消解、取截面、取上同调」，而内射消解**无法计算**（内射对象太大）。这条给出一个**能算的替代品**：把内射消解换成「自由 / 可表对象的消解」，逐层取截面之后得到一个单纯阿贝尔群（或链复形），它的同伦群就是 $H^{n}$。\n\n**为什么可行**：$F_{n}$ 由可表对象组成时，截面 $\\Gamma(X, F_{n})$ 是可以直接写下来的（就是 $F_{n}$ 在该对象上的值）。而两个消解之间的映射给出**链同伦**，所以算出来的同伦群与消解的选取无关。\n\n⭐ **这就是 Godement 分解的现代形式，也是 $\\infty$-范畴方法的入口**：在 $\\infty$-范畴的语言里，「超覆盖」被换成「$X$ 的单纯分解」，而上同调就是那个单纯对象的映射空间的同伦群。整个导出代数几何的层上同调计算都走这条路。\n\n**证明。** 分两步。\n- **超覆盖的每一项在 $\\Gamma(X, -)$ 下零调。** $F_{n}$ 是可表层的直和，而 $\\Gamma(X, h_{U}) = \\operatorname{Hom}(X, U)$ 直接可算；「有截面 $\\implies$ 高阶为零」那套（$\\mathbb{Z}\\cdot h_{X}$ 是投射对象，投射 $\\implies$ 无环）保证 $H^{p}(\\Gamma(X, F_{n})) = 0$（$p > 0$）。\n- **于是 $F_{\\bullet} \\to M$ 就是一个「由 $\\Gamma(X, -)$-零调对象组成的消解」。** 把 Leray 零调性搬过来：$R\\Gamma(X, M)$ 可以直接用 $\\Gamma(X, F_{\\bullet})$ 这个复形算，即 $H^{n}(X, M) = H^{n}\\bigl(\\Gamma(X, F_{\\bullet})\\bigr)$。\n最后把链复形读成单纯阿贝尔群（Dold–Kan：单纯阿贝尔群的同伦群就是归一化链复形的上同调），就得到 $H^{n}(X, M) \\cong \\pi^{n}(\\Gamma(X, F_{\\bullet}))$。两个超覆盖之间的比较给出链同伦（投射性 / 已有的 Ext 论证），所以右边与超覆盖的选取无关。∎\n\n📌 **三个输入**：单纯对象、单纯形范畴的定义（已有），以及 Čech 复形（已有的「便宜算法」）。这条把它们接成一台计算上同调的机器。", "refs": [ "Le Stum, §7.3（配合 Lemma 7.3.2）" ] }, { "id": "lem.cartan-eilenberg", "type": "lemma", "label": "Cartan–Eilenberg 分解", "title": "Cartan–Eilenberg 分解（双复形内射消解）", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 17, "tags": [ "同调代数", "双复形", "内射消解", "谱序列" ], "statement": "设 $K^{\\bullet}$ 是阿贝尔范畴中的**下有界**复形。则存在下有界**双复形** $I^{\\bullet,\\bullet}$（即 $I^{p,q} = 0$ 对 $q < 0$）与复形态射 $K^{\\bullet} \\to I^{\\bullet,0}$，使得\n\n- 每个 $K^{p} \\to I^{p,\\bullet}$ 是**内射消解**；\n- 每个 $H^{p}(K^{\\bullet}) \\to H^{p}(I^{\\bullet,\\bullet})$ 也是**内射消解**。", "notes": "**为什么需要它。** 双复形可以按两种方式过滤（先按列、或先按行），各得一条谱序列。要让这两条谱序列**同时**收敛到同一个总复形的上同调，就必须在构造上保证「行和列都是内射消解」—— 这正是 Cartan–Eilenberg 分解给出的东西。\n\n**「$H^{p}$ 那一层也是内射消解」是关键的额外要求**：只要求每列是内射消解还不够（那样第二条谱序列会退化）；要求上同调层也是内射消解，才能让两条过滤都读到完整信息。\n\n⭐ **用在哪**：推导「两个导出函子的复合 = 谱序列」（Grothendieck 谱序列）、以及导出范畴里「有界下有界复形可以换成分解」的标准论证，都要先有这条。\n\n**构造（归纳 + 马蹄引理）。** 记 $Z^{p} := \\ker d^{p}$、$B^{p} := \\operatorname{im} d^{p-1}$，于是每个 $p$ 有两条短正合列\n$$0 \\to Z^{p} \\to K^{p} \\to B^{p+1} \\to 0, \\qquad 0 \\to B^{p} \\to Z^{p} \\to H^{p}(K^{\\bullet}) \\to 0 .$$\n- 对**大序数/整个复形同时**取内射消解：先取 $K^{p}$ 的内射消解 $I^{p,\\bullet}$，再用**马蹄引理**（horseshoe lemma）把它与 $B^{p+1}$、$Z^{p}$ 的消解拼起来 —— 因为 $B^{p+1}$ 与 $Z^{p}$ 的消解可以从 $K^{p}$ 的消解里「切」出来；\n- 两条正合列各用一次马蹄引理，就能保证**同时**满足两个要求：每个 $K^{p} \\to I^{p,\\bullet}$ 是内射消解，且每个 $H^{p}(K^{\\bullet}) \\to H^{p}(I^{\\bullet,\\bullet})$ 也是内射消解（后者靠第二条正合列与「分次内射」的逐层内射性）；\n- 下有界：从最小的 $p$ 起递推，$q < 0$ 的层取 $0$。∎\n⚠️ 第二条要求是关键：只要求「每列是内射消解」不够，那样按行的过滤会退化；要求**上同调层也是内射消解**，两条过滤才都读到完整信息。", "refs": [ "Le Stum, Lemma 7.2.19" ] }, { "id": "def.boolean-ring", "type": "definition", "label": "布尔环", "title": "布尔环（Boolean Ring）", "label_en": "Boolean ring", "title_en": "Boolean Ring", "en_page": "nodes/def.boolean-ring.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology", "algebra" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 8, "tags": [ "拓扑", "Stone 空间", "布尔环", "幂等" ], "statement": "**布尔环**是一个环 $B$，其中每个元素都**幂等**：\n\n$$\\forall x \\in B,\\qquad x^{2} = x.$$", "notes": "**幂等性把环逼得很紧**。由 $(x + y)^{2} = x + y$ 展开得 $xy + yx = 0$；由 $(x+x)^{2} = x+x$ 得 $2x = 0$。合起来：布尔环**自动是交换环**，而且**特征为 $2$**。所以布尔环里没有「真实」的数，只有「是 / 不是」的代数。\n\n**与布尔代数（带补分配格）是一回事**。格运算翻译成环运算：\n\n\n\n- $a \\wedge b = ab$（交 = 乘法）；\n- $a \\vee b = a + b + ab$（并 = 加法加回重叠部分）；\n- $\\neg a = 1 + a$（补 = 与单位元加和）。\n\n\n\n反过来，$a \\,\\triangle\\, b = a + b$：环加法就是**对称差**。\n\n**最小的例子**：$\\mathbb{F}_{2} = \\{\\, 0, 1 \\,\\}$。**最一般的例子**：集合 $I$ 的幂集 $\\mathcal{P}(I)$，以对称差为加法、以交为乘法。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 2.22" ] }, { "id": "thm.boolean-stone", "type": "theorem", "label": "Boolean 环与 Stone 空间等价", "title": "Stone 表示定理：$\\mathbf{BoolRing}^{\\mathrm{op}} \\simeq \\mathbf{Stone}$", "label_en": "Stone representation", "title_en": "Stone representation", "en_page": "nodes/thm.boolean-stone.en.md", "region": "topology", "regions": [ "topology", "algebra" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 17, "tags": [ "拓扑", "Stone 空间", "布尔环", "表示定理", "对偶等价" ], "statement": "布尔环范畴与 Stone 空间范畴**反等价**：\n\n$$\\mathbf{BoolRing}^{\\mathrm{op}}\\;\\simeq\\;\\mathbf{Stone}.$$\n\n两个方向是\n\n- $B \\mapsto \\operatorname{Spec}(B) := \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Rng}}(B,\\ \\mathbb{F}_{2})$，配上 $\\mathbb{F}_{2}$（取离散拓扑）上的**乘积拓扑**；\n- $S \\mapsto \\operatorname{Clopen}(S)$ —— $S$ 的**开闭子集**全体，**加法取对称差**、**乘法取交**。", "notes": "**为什么 $\\operatorname{Spec}$ 落在 Stone 空间里。** $\\operatorname{Spec}(B) \\subseteq \\mathbb{F}_{2}^{B}$ 是乘积空间的闭子集，而 $\\mathbb{F}_{2}$ 有限离散 —— 于是 $\\operatorname{Spec}(B)$ 紧、Hausdorff、全不连通，正是 Stone 空间。\n\n**为什么只用到 $\\mathbb{F}_{2}$。** 布尔环上，每个素理想都**自动是极大理想**：商 $B/\\mathfrak{p}$ 是整环，而整环里的幂等元只能是 $0$ 或 $1$，于是它就是 $\\mathbb{F}_{2}$。所以 $\\operatorname{Spec}(B) = \\operatorname{MaxSpec}(B)$ —— Zariski 拓扑退化成 Stone 拓扑，没有「非闭点」这种麻烦。\n\n**两个必记的对应**：$B = \\mathbb{F}_{2}$ 对应单点空间；$B = \\mathcal{P}(I)$ 对应 $\\beta I$（$I$ 的 Stone–Čech 紧化）—— 幂集对应的正是「最自由」的紧化。\n\n⭐ **这是「Stone 空间为什么特殊」的代数根源**。Stone 空间的每一个点、每一个开闭集都能用「幂等元」来读：全不连通性 = 元素幂等、紧性 = 环有单位、闭开集 = 幂等元本身。于是 Stone 空间上的计算可以整个翻译成**模 $2$ 的代数**。\n\n📌 与「挠 $\\leftrightarrow$ Stonean」那条对偶字典连起来看：纯代数侧的「挠」、拓扑侧的「极不连通」、环论侧的「幂等」三个词在同一个地方汇合 —— 这正是凝聚态数学反复用到 Stonean 空间的原因。\n\n**证明（两个函子互逆）。**\n- **$S\\mapsto \\operatorname{Clopen}(S)$ 确实是布尔环**：对称差给加法、交是乘法，$S$ 本身是单位元，每个开闭集自带补，而开闭集都是幂等元 ✓；\n- **$B\\mapsto \\operatorname{Spec}(B)$ 是石空间**：$\\operatorname{Spec}(B)\\subseteq \\mathbb{F}_{2}^{B}$ 是乘积空间的**闭**子集（它是「每个 $f$ 是环同态」这组等式的公共解集），$\\mathbb{F}_{2}$ 有限离散故紧 Hausdorff，于是 $\\operatorname{Spec}(B)$ 紧 Hausdorff；而 $\\mathbb{F}_{2}^{B}$ 极不连通、闭子空间仍极不连通 $\\implies$ $\\operatorname{Spec}(B)$ 极不连通，特别地全不连通 ✓；\n- **两个复合是恒等**：$S\\mapsto \\operatorname{Clopen}(S)\\mapsto \\operatorname{Spec}(\\operatorname{Clopen}(S))$ —— 每个 $x\\in S$ 给求值 $\\operatorname{Clopen}(S)\\to\\mathbb{F}_{2}$，这是双射（Stone 空间里点由开闭集分离）；反向 $B\\mapsto \\operatorname{Spec}(B)\\mapsto \\operatorname{Clopen}(\\operatorname{Spec}(B))$ —— 每个 $b\\in B$ 给 $\\{f : f(b) = 1\\}$，它在 $\\operatorname{Spec}(B)$ 里开闭，且这个对应是**环同构**（用「每个素理想都是极大、商为 $\\mathbb{F}_{2}$」）✓；\n- **全忠实**由两个复合是恒等给出 ✓。∎\n⭐ 由此**布尔代数的所有定理都能翻译成 Stone 空间的语言**（反之亦然）—— 具体地：$B$ 中的幂等元（＝元素）对应 $\\operatorname{Spec}(B)$ 的开闭子集，$B$ 的理想对应 $\\operatorname{Spec}(B)$ 的闭子集。", "refs": [ "Le Stum, Exercise 2.22" ] }, { "id": "prop.closed-inclusion-filtered-limit", "type": "proposition", "label": "紧块沿闭含入拼出的空间", "title": "紧 Hausdorff 块沿闭含入的滤过余极限", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 17, "tags": [ "拓扑", "紧 Hausdorff", "滤过余极限", "紧生成", "弱 Hausdorff" ], "statement": "设 $X = \\varinjlim_{i \\in I} X_{i}$ 是**紧 Hausdorff 空间**沿**闭含入**的滤过余极限。则\n\n1. $X$ 紧生成且弱 Hausdorff；\n2. 每个 $X_{i}$ 在 $X$ 中**闭**；\n3. $X$ 的拓扑就是这些紧块的**余极限拓扑**：$U \\subseteq X$ 开 $\\iff$ 每个 $U \\cap X_{i}$ 在 $X_{i}$ 中开。\n\n反过来，每个紧生成的弱 Hausdorff 空间都是它自己的紧 Hausdorff 子空间沿闭含入的滤过余极限。", "notes": "**第 3 条是这条命题的实质**。拓扑空间取余极限时，拓扑可能比「逐块看」的拓扑更粗或更细；这条说在这种情况下两侧**恰好一致** —— 一个集合是开的，当且仅当它在每一块上的迹是开的。于是「$X$ 上的连续函数」= 「一族在每块上连续的、互相相容的函数」，可以逐块处理。\n\n**为什么块要取紧 Hausdorff。** 紧性是「有限子覆盖」这种有限性条件的几何化身；在凝聚态数学里，紧 Hausdorff 空间正是「探测者」。把一个大对象写成紧块的滤过余极限，就等于把它写成「越来越大的有限信息」的极限 —— 一切计算都可以停机在某个块上。\n\n⭐ **用在哪**：证明「拟分离的凝聚态集的底空间弱 Hausdorff」时，先把拟分离的 $X$ 写成紧 Hausdorff 块沿含入的滤过余极限，再对这一串块取底空间 —— 由这条，余极限仍紧生成弱 Hausdorff。\n\n📌 与「$\\mathrm{CGWH}$ 的封闭性」那条分工：那条说的是「一般的 CGWH 空间沿闭含入拼起来还是 CGWH」，这条把块**换成紧 Hausdorff**，并额外给出拓扑的显式刻画与反向分解。", "refs": [ "Le Stum, Proposition 2.3.9" ] }, { "id": "def.kernel-cokernel", "type": "definition", "label": "核与余核", "title": "核 / 余核与左正合、右正合列（Kernel, Cokernel）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 14, "tags": [ "定义", "范畴论", "核", "余核", "正合列" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是（预）加法范畴，$f : M \\to N$。\n\n- $f$ 的**核** $\\ker f := \\ker(f, 0)$ 是 $f$ 与**零态射** $0_{M,N}$ 的**等化子**（若存在）；\n- $f$ 的**余核** $\\operatorname{coker} f$ 是 $f$ 在 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$ 中的核（若存在），也就是 $f$ 与零态射的**余等化子**；\n- 列 $0 \\to M' \\xrightarrow{f} M \\xrightarrow{g} M''$ 叫**左正合的**，如果 $f$ 实现 $\\ker g$（即 $M' \\cong \\ker g$）；对偶地 $M \\xrightarrow{g} M'' \\to 0$ 叫**右正合的**，如果 $g$ 实现 $\\operatorname{coker} g$；\n- 既左正合又右正合的列 $0 \\to M' \\xrightarrow{\\varphi} M \\xrightarrow{\\psi} M'' \\to 0$ 叫**短正合列**，此时称 $M$ 是 $M'$ 被 $M''$ 的**扩张**。", "notes": "**为什么核取「等化子」而不是「原像」**：$f$ 与 $0_{M,N}$ 的等化子是「一切被 $f$ 杀掉的态射」的**泛对象** —— 它比「$f^{-1}(0)$」基本得多，因为一般范畴里根本没有元素可取原像。（在 $\\mathbf{Ab}$ 里两者一致：$\\ker f = f^{-1}(0)$。）\n\n**加法范畴里核与余核的行为是规则的**：$\\ker f \\to M$ 一定是**单态射**、$M \\to \\operatorname{coker} f$ 一定是**满态射**（等化子必单、余等化子必满，这不需要阿贝尔范畴的假设）。\n\n⚠️ 「每个态射都有核与余核」还**不够**：预阿贝尔范畴里 $\\operatorname{coim} f \\to \\operatorname{im} f$ 一般不是同构，阿贝尔范畴正是把这个缺口补上的那一条条件。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1" ] }, { "id": "prop.zero-object-final-criterion", "type": "proposition", "label": "零对象与终对象", "title": "命题：预加性范畴里零对象 $\\iff$ 终对象 $\\iff$ 始对象", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 17, "tags": [ "命题", "范畴论", "零对象", "预加性" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是**预加性范畴**，$M \\in \\mathcal{C}$。则\n\n$$M \\text{ 是零对象} \\iff M \\text{ 是终对象} \\iff M \\text{ 是始对象}.$$", "notes": "**证明。** 预加性给每个 $\\operatorname{Hom}(X,Y)$ 一个阿贝尔群结构，且复合**双线性** —— 于是**零态射**永远存在（它就是群的单位元），并且由双线性把 $0 + h = h$ 展开得\n$$0_{Y,Z}\\circ h = 0_{X,Z}, \\qquad f\\circ 0_{X,Y} = 0_{X,Z} ✓$$\n**终对象 $\\implies$ 零对象**：$M$ 终对象时 $\\operatorname{End}(M) = \\{1_{M}\\}$ 只有一个元素；而它是阿贝尔群，群里的唯一元素必是单位元，故 $1_{M} = 0_{M}$ ✓。\n**零对象 $\\implies$ 终对象**：设 $1_{M} = 0_{M}$。任给 $X$ 与 $f, g : X \\to M$，由双线性\n$$f = 1_{M}\\circ f = 0_{M}\\circ f = 0_{X,M}, \\qquad g = 0_{X,M},$$\n故 $f = g$：$\\operatorname{Hom}(X,M)$ 至多一个元素，而它非空（有零态射），所以 $M$ 是终对象 ✓。\n**始对象**：把整个论证搬到 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$ 即可 ✓。∎\n\n⭐ 于是「零对象」有两条等价说法：$\\operatorname{End}(M) = 1$（$1_{M} = 0_{M}$），以及「既是终对象又是始对象」—— 在预加性范畴里它们完全等价，可以随意挑方便的那条用。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1" ] }, { "id": "prop.biproduct-is-product", "type": "proposition", "label": "直和就是积", "title": "命题：预加性范畴里直和 $\\iff$ 积 $\\iff$ 余积", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 17, "tags": [ "命题", "范畴论", "双积", "直和", "积" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是预加性范畴，$M, M_{1}, M_{2} \\in \\mathcal{C}$。\n\n$$M \\text{ 是} M_{1}, M_{2} \\text{ 的直和} \\iff (M, p_{1}, p_{2}) \\text{ 是} M_{1}, M_{2} \\text{ 的积} \\iff (M, i_{1}, i_{2}) \\text{ 是余积},$$\n\n其中「直和」指存在 $p_{k} : M \\to M_{k}$、$i_{k} : M_{k} \\to M$ 使\n\n$$p_{1}i_{1} = 1_{M_{1}}, \\qquad p_{2}i_{2} = 1_{M_{2}}, \\qquad i_{1}p_{1} + i_{2}p_{2} = 1_{M}.$$", "notes": "**证明。** **① 先推出正交性。** 把 $i_{1}p_{1} + i_{2}p_{2} = 1_{M}$ 夹在 $p_{1}$ 与 $i_{2}$ 之间：\n$$p_{1}i_{2} = p_{1}(i_{1}p_{1} + i_{2}p_{2})i_{2} = (p_{1}i_{1})(p_{1}i_{2}) + (p_{1}i_{2})(p_{2}i_{2}) = p_{1}i_{2} + p_{1}i_{2},$$\n两边在阿贝尔群 $\\operatorname{Hom}(M_{2},M_{1})$ 里减去 $p_{1}i_{2}$，得 $p_{1}i_{2} = 0$ ✓；对称地 $p_{2}i_{1} = 0$。合起来就是 $p_{k}i_{l} = \\delta_{kl}$ ✓。\n**② 直和 $\\implies$ 是积。** 给 $f_{k} : X \\to M_{k}$，令 $f := i_{1}f_{1} + i_{2}f_{2}$。由 ① 得 $p_{k}f = f_{k}$ ✓。唯一性：若 $h$ 也满足 $p_{k}h = f_{k}$，则\n$$h = 1_{M}\\,h = (i_{1}p_{1} + i_{2}p_{2})h = i_{1}f_{1} + i_{2}f_{2} = f ✓$$\n故 $(M,p_{1},p_{2})$ 是积 ✓。\n**③ 是积 $\\implies$ 直和。** 设 $(M,p_{1},p_{2})$ 是积。由积的泛性取**唯一**的 $i_{k} : M_{k} \\to M$ 使 $p_{l}i_{k} = \\delta_{lk}$，于是 $p_{k}i_{k} = 1_{M_{k}}$ ✓；又 $i_{1}p_{1} + i_{2}p_{2}$ 与 $1_{M}$ 的两个投影都是 $p_{l}$，由积的唯一性两者相等 ✓。\n**④ 余积。** 把 ② ③ 搬到 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$（积与余积互换、$i$ 与 $p$ 互换）即得 ✓。∎\n⭐ 这就是**双积**（biproduct）这个名字的来历：积与余积在预加性范畴里重合，所以直和只需要谈一个对象。\n\n**为什么加法范畴一定要有双积**：正因为两者重合，才可以把「加」（$f + g$）与「余积的含入」写在同一套符号里 —— 这是整个同调代数记号的地基。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1" ] }, { "id": "prop.hom-enrichment-unique", "type": "proposition", "label": "预加性结构唯一", "title": "命题：加法范畴里 $\\operatorname{Hom}$ 的阿贝尔群结构唯一", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 17, "tags": [ "命题", "范畴论", "加法范畴", "双积" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是**加法范畴**。则使复合双线性、并与直和结构相容的 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(M,N)$ 的阿贝尔群结构是**唯一**的。", "notes": "**证明。** 记 $\\Delta_{M} : M \\to M \\oplus M$ 是由**积**的泛性给出的「对角线」（$p_{k}\\Delta_{M} = 1_{M}$）、$\\nabla_{N} : N \\oplus N \\to N$ 是由**余积**的泛性给出的「余对角线」（$\\nabla_{N}i_{k} = 1_{N}$）、$f \\oplus g : M \\oplus M \\to N \\oplus N$ 是由四个角 $p_{k}(f\\oplus g)i_{l} = \\delta_{kl}\\,(f \\text{ 或 } g)$ 刻画的映射。这三个映射**只用到直和的对象、投影与含入**，与任何群结构无关 ✓。\n**关键公式**：\n$$f + g = \\nabla_{N}\\circ (f \\oplus g)\\circ \\Delta_{M}.$$\n验证：由 $p_{k}(f\\oplus g) = (\\text{第} k \\text{分量})p_{k}$ 得 $(f\\oplus g)\\Delta_{M}$ 的两个分量恰是 $f$ 与 $g$，即 $(f\\oplus g)\\Delta_{M} = i_{1}f + i_{2}g$；再作用 $\\nabla_{N}$，用 $\\nabla_{N}i_{k} = 1_{N}$ 得 $f + g$ ✓。（这一步的**计算**用到了群结构，但公式右边本身不依赖它。）\n**唯一性**：既然「$f$ 与 $g$ 的和」等于一个只由范畴结构与直和写出的表达式，任何使复合双线性的群结构都必须满足同一公式，故与它逐对一致 ✓。∎\n\n⭐ 一句话：**加法范畴里的「加」不是额外数据，而是双积结构逼出来的。** 这也是为什么「加法函子」可以只要求「保双积」——见「加法函子的刻画」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1" ] }, { "id": "prop.additive-iff-preserves-biproduct", "type": "proposition", "label": "加法函子的刻画", "title": "命题：$F$ 加法 $\\iff$ 保零对象与直和 $\\iff$ 保有限积", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 14, "tags": [ "命题", "范畴论", "加法函子", "双积" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}, \\mathcal{D}$ 是加法范畴，$F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 是函子。则三者等价：\n\n$$F \\text{ 加法} \\iff F \\text{ 保零对象与所有直和} \\iff F \\text{ 保所有有限积} \\iff F \\text{ 保所有有限余积}.$$", "notes": "**证明。** **① 加法 $\\implies$ 保双积。** $F$ 加法意味着每个 $\\operatorname{Hom}(M,N) \\to \\operatorname{Hom}(FM,FN)$ 是群同态。若 $M$ 是 $M_{1},M_{2}$ 的双积，$F$ 把三条等式送到\n$$F(p_{k})F(i_{k}) = 1, \\qquad F(i_{1})F(p_{1}) + F(i_{2})F(p_{2}) = 1_{F(M)},$$\n这正是「$F(M)$ 是 $F(M_{1}), F(M_{2})$ 的双积」的定义 ✓；有限多支同理。零对象：$1_{F(0)} = F(1_{0}) = F(0_{0}) = 0_{F(0)}$（群同态把零元送到零元），故 $F(0)$ 是零对象 ✓。\n**② 保双积与零对象 $\\implies$ 加法。** 用上面的关键公式 $f + g = \\nabla_{N}(f\\oplus g)\\Delta_{M}$。$F$ 保积、保余积，故 $F(\\Delta_{M}) = \\Delta_{FM}$、$F(\\nabla_{N}) = \\nabla_{FN}$（这三个映射都由「与投影 / 含入复合是什么」唯一刻画，而 $F$ 保投影与含入），且 $F(f \\oplus g) = Ff \\oplus Fg$（由四角刻画同样唯一）。于是\n$$F(f+g) = F(\\nabla_{N})F(f\\oplus g)F(\\Delta_{M}) = \\nabla_{FN}(Ff\\oplus Fg)\\Delta_{FM} = Ff + Fg ✓$$\n故 $\\operatorname{Hom}(M,N) \\to \\operatorname{Hom}(FM,FN)$ 保加法；它当然保零，所以是群同态，即 $F$ 加法 ✓。\n**③ 有限积 / 有限余积**：加法范畴里有限积、有限余积、直和三者重合（见「直和就是积」），所以三个条件说的是同一件事；空积是终对象、空余积是始对象，都是零对象 ✓。∎\n\n⭐ 实用价值：验一个函子加法，只需验它**保双积**，不必去碰 $\\operatorname{Hom}$ 上的群结构。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1" ] }, { "id": "prop.adjoint-additive", "type": "proposition", "label": "伴随函子都加法", "title": "命题：加法范畴之间的伴随函子都是加法函子", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 10, "tags": [ "命题", "范畴论", "伴随", "加法函子" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}, \\mathcal{D}$ 是加法范畴，$F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 左伴随 $G : \\mathcal{D} \\to \\mathcal{C}$（记 $F \\dashv G$）。则 $F$ 与 $G$ **都加法**，并且伴随的双射\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(FM, N) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(M, GN)$$\n\n是**阿贝尔群**的同构（对 $M$、$N$ 都自然）。", "notes": "**证明。** 记单位 $\\eta$、余单位 $\\varepsilon$，则双射由 $\\varphi(f) := G(f)\\circ\\eta_{M}$ 给出。\n**① 右伴随保积**：$G$ 保极限，特别保积。于是 $G(f\\oplus g) = Gf \\oplus Gg$（由四角刻画），而 $G(\\Delta_{M}) = \\Delta_{GM}$、$G(\\nabla_{N}) = \\nabla_{GN}$：后一条要点一下 —— $G(N\\oplus N) \\cong GN \\times GN$ 作为**积**，而 $G(i_{k})$ 的两个分量是 $G(p_{l})G(i_{k}) = G(\\delta_{lk}) = \\delta_{lk}$，故 $G(i_{k})$ 就是双积的含入，$G(\\nabla_{N})$ 满足 $G(\\nabla_{N})G(i_{k}) = 1$，即余对角线 ✓。\n**② $G$ 在 $\\operatorname{Hom}$ 上保加法**：把关键公式 $f + g = \\nabla(f\\oplus g)\\Delta$ 作用 $G$，用 ①：\n$$G(f+g) = G(\\nabla_{N})G(f\\oplus g)G(\\Delta_{M}) = \\nabla_{GN}(Gf\\oplus Gg)\\Delta_{GM} = Gf + Gg ✓$$\n**③ 双射是群同态**：由 $\\varphi(f) = G(f)\\eta_{M}$ 与复合的双线性，\n$$\\varphi(f+g) = G(f+g)\\,\\eta_{M} = (Gf + Gg)\\,\\eta_{M} = Gf\\,\\eta_{M} + Gg\\,\\eta_{M} = \\varphi(f) + \\varphi(g) ✓$$\n故 $\\varphi$ 是群同态，从而是群同构 ✓。\n**④ $F$ 也加法**：把整个论证搬到 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}, \\mathcal{D}^{\\mathrm{op}}$（此时伴随反向：$G^{\\mathrm{op}} \\dashv F^{\\mathrm{op}}$，且两个范畴仍是加法范畴 —— 加法范畴的定义对 $\\mathrm{op}$ 对称），得 $F^{\\mathrm{op}}$ 在 $\\operatorname{Hom}$ 上保加法，即 $F$ 也保加法 ✓。∎\n\n⭐ 一句话：**一旦有伴随，加法是白送的。** 所以「加法范畴之间的伴随」永远可以当作加性伴随来用，$\\operatorname{Hom}(FM,N) \\cong \\operatorname{Hom}(M,GN)$ 也就自动升级成群同构。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1" ] }, { "id": "prop.exact-sequence-subcategory", "type": "proposition", "label": "正合列构成子范畴", "title": "命题：左 / 右 / 短正合列构成加法子范畴", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 17, "tags": [ "命题", "范畴论", "正合列", "加法子范畴" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是阿贝尔范畴，$\\mathcal{C}^{3}$ 是**可复合的态射对**构成的范畴（对象是 $M' \\to M \\to M''$，态射是三个分量相容的比较映射）。则左正合列、右正合列、短正合列各自构成 $\\mathcal{C}^{3}$ 的一个**加法子范畴**。", "notes": "**证明。**\n**① 是（全）子范畴。** 正合性是列**本身**的性质，与比较映射无关，所以「对象是左正合列」在恒等与复合下当然封闭 —— 它其实是 $\\mathcal{C}^{3}$ 的全子范畴 ✓。\n**② 对有限双积封闭。** 阿贝尔范畴里核与像都与有限双积交换：\n$$\\ker(f_{1}\\oplus f_{2}) = \\ker f_{1}\\oplus\\ker f_{2}, \\qquad \\operatorname{im}(f_{1}\\oplus f_{2}) = \\operatorname{im}f_{1}\\oplus\\operatorname{im}f_{2} ✓$$\n（两者分别是有限极限与有限余极限，逐分量计算即可。）于是两条左正合列的双积仍左正合：\n$$\\operatorname{im}(d^{n-1}_{1}\\oplus d^{n-1}_{2}) = \\operatorname{im}d^{n-1}_{1}\\oplus\\operatorname{im}d^{n-1}_{2} = \\ker d^{n}_{1}\\oplus\\ker d^{n}_{2} = \\ker(d^{n}_{1}\\oplus d^{n}_{2}) ✓$$\n右正合对偶。短正合列再补一句：$0 \\to M' \\to M \\to M'' \\to 0$ 正合 $\\iff$ 左端映射单、右端映射满、且 $\\operatorname{im} = \\ker$ —— 这三条都被逐分量保持 ✓。零对象（三条零列）显然正合，充当双积的单位元 ✓。\n于是这三族对象各自是 $\\mathcal{C}^{3}$ 的加法子范畴 ✓。∎\n\n⭐ 这条的意义是把「取正合列」当成一个**可以运算的对象**：两个正合列能直和、能取核余核，得到的还在里面 —— 谱序列那一套（过滤复形、双复形）正是靠这种封闭性才写得出来。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1" ] }, { "id": "prop.abhaus-strict-exact", "type": "proposition", "label": "Hausdorff 拓扑阿贝尔群的核与余核", "title": "命题：$\\mathbf{AbHaus}$ 中的核、余核与严格正合列", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 17, "tags": [ "命题", "拓扑阿贝尔群", "核", "余核", "严格正合" ], "statement": "设 $\\mathbf{AbHaus}$ 是 **Hausdorff 拓扑阿贝尔群**（态射取连续同态）的范畴。则\n\n1. 对连续同态 $f : M \\to N$：$\\ker f = f^{-1}(0)$（带子空间拓扑），$\\operatorname{coker} f = N/\\operatorname{cl}\\bigl(f(M)\\bigr)$（带商拓扑）；\n2. 连续同态是核 $\\iff$ 它是**到闭子群上的同胚嵌入**；是余核 $\\iff$ 它是**开满射**；\n3. 列 $0 \\to M' \\xrightarrow{\\varphi} M \\xrightarrow{\\psi} M'' \\to 0$ **严格正合** $\\iff$ 它作为抽象阿贝尔群正合、且 $\\varphi$ 是闭嵌入、$\\psi$ 是开满射。", "notes": "**证明。**\n**1.** 核是 $f$ 与 $0$ 的等化子；在拓扑阿贝尔群里等化子就是 $\\{x : f(x) = 0\\}$ 配**子空间拓扑**（$f$ 连续而 $N$ 是 Hausdorff，所以这个集合闭）✓。余核是余等化子：$\\mathbf{AbHaus}$ 里的商必须仍然 Hausdorff，而 $N/f(M)$ 只有在 $f(M)$ **闭**时才 Hausdorff，故余等化子只能是 $N/\\operatorname{cl}(f(M))$（带商拓扑）✓ —— 一般连续同态的像**不必闭**（$\\mathbb{Z}^{\\mathrm{disc}} \\to \\mathbb{Z}^{\\mathrm{coarse}}$ 的像稠密而不闭），所以闭包不能省；像已经闭时就退化成 $N/f(M)$ ✓。\n**2.** 「核」是带子空间拓扑的那个等化子，所以它作为映射必然是到闭子群上的同胚嵌入 ✓；反过来，闭嵌入 $\\varphi : M' \\to M$ 恰好是 $\\varphi$ 与 $0$ 的等化子（等化子带的就是子空间拓扑，像闭保证商/余核那边也对）✓。余核那条同理：商映射是开满射 ✓，反之开满射正是它自己核的余等化子 ✓ —— 「开」不能省：$\\mathbb{Z}^{\\mathrm{disc}} \\to \\mathbb{Z}^{\\mathrm{coarse}}$ 满，但不是余核。\n**3.** 若列严格正合，则 $\\varphi$ 实现 $\\ker\\psi$、$\\psi$ 实现 $\\operatorname{coker}\\varphi$，由 2 得 $\\varphi$ 闭嵌入、$\\psi$ 开满射 ✓。反过来，若作为抽象群正合、且 $\\varphi$ 闭嵌入、$\\psi$ 开满射，则 $\\varphi$ 与「$\\psi^{-1}(0)$ 带子空间拓扑」一致、$\\psi$ 与「商去 $\\operatorname{cl}\\varphi(M)$」一致，而 $\\varphi(M)$ 闭、故就是商去像 ✓。于是这条列是核-余核列，即严格正合 ✓。∎\n\n⭐ **「严格」不是装饰**：在拓扑阿贝尔群里，「正合」与「严格正合」是实打实的差别 —— 拓扑阿贝尔群**不是**阿贝尔范畴，缺的正是「每个态射都由它的核与余核刻画」这一条。凝聚态数学把这一层补回来的方式，是把拓扑群嵌进 $\\mathrm{CondAb}$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1" ] }, { "id": "prop.cech-section-vanishing", "type": "proposition", "label": "带截面的覆盖上 Čech 零调", "title": "命题：满射有截面时增广 Čech 复形同伦平凡", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 17, "tags": [ "命题", "Čech 上同调", "截面", "同伦" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯，$X_{0} \\xrightarrow{\\ p\\ } X$ 是态射且**有截面** $s$（$p s = 1_{X}$）。记\n\n$$X_{n} := X_{0} \\times_{X} \\cdots \\times_{X} X_{0} \\quad (n+1 \\text{ 个因子}),$$\n\n则对 $\\mathcal{T}$ 中任何阿贝尔群 $M$，增广 Čech 复形 $\\check{C}^{\\bullet}\\bigl((X_{0} \\to X)^{+}, M\\bigr)$ 是**同伦平凡**的；特别地\n\n$$\\check{H}^{n}\\bigl((X_{0} \\to X),\\ M\\bigr) = 0 \\qquad (n > 0).$$\n\n同伦的形状是 $f \\mapsto f \\circ s^{n}$，其中 $s^{n} : X_{n} \\to X_{n+1}$。", "notes": "**证明。** 对每个 $n \\ge -1$ 取\n$$s^{n} := s \\times_{X} 1_{X_{n}} : X_{n} \\longrightarrow X_{n+1}$$\n（$n = -1$ 时它就是 $s$ 本身）。这是「沿截面把次数提高一格」的那一族映射，满足收缩同伦的恒等式\n$$1_{X_{n}} = s^{n+1} d_{n} + d_{n+1} s^{n}, \\qquad d_{n} := \\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i} d^{n}_{i}$$\n（把两边逐项展开成各面映射 $d^{n}_{i}$ 的复合即可验证）✓。把 $s^{n}$ 线性延拓到自由对象上，同一恒等式说明 $\\mathbb{Z}\\cdot X^{+}_{\\bullet}$ 上的恒等映射**同伦于 0** —— 即这个复形同伦平凡 ✓。\n而 $\\check{C}^{\\bullet} = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X^{+}_{\\bullet},\\ M\\bigr)$，Hom 函子把同伦 $(s^{n})$ 送到同伦 $(\\operatorname{Hom}(s^{n}, M))$，故 Čech 复形也同伦平凡，正次数上同调为零 ✓。∎\n\n⭐ **有截面 $\\implies$ 没有高次 Čech 上同调**。于是覆盖族里只要有一支映射带截面，整族的 Čech 复形就收缩掉 —— 「同构映射」「有限不交覆盖」这些情形全部自动零调。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.3" ] }, { "id": "prop.cohomology-of-coproduct", "type": "proposition", "label": "上同调与不交并", "title": "命题：$H^{n}(\\coprod_{i} X_{i}, M) \\cong \\prod_{i} H^{n}(X_{i}, M)$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "命题", "层上同调", "不交并" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯，$(X_{i})_{i \\in I}$ 是一族对象，$M$ 是 $\\mathcal{T}$ 中的阿贝尔群。则对一切 $n \\ge 0$\n\n$$H^{n}\\Bigl(\\coprod_{i \\in I} X_{i},\\ M\\Bigr) \\;\\cong\\; \\prod_{i \\in I} H^{n}(X_{i},\\ M).$$", "notes": "**证明。** 取 $M$ 的**内射消解** $I^{\\bullet}$ ✓。截面函子把不交并送成**积**：\n$$\\Gamma\\Bigl(\\coprod_{i} X_{i},\\ -\\Bigr) \\;=\\; \\prod_{i} \\Gamma(X_{i},\\ -) ✓$$\n（从余积出发的映射恰是一族相容的映射；等价地，$\\Gamma(X, -) = \\operatorname{Hom}(h_{X}, -)$ 而 $h$ 保余积。）于是\n$$\\Gamma\\Bigl(\\coprod_{i} X_{i},\\ I^{\\bullet}\\Bigr) = \\prod_{i} \\Gamma(X_{i},\\ I^{\\bullet}) ✓$$\n在 $\\mathbf{Ab}$ 里**积是正合的**，所以逐项取积不影响上同调的计算：\n$$H^{n}\\Bigl(\\Gamma\\bigl(\\coprod_{i} X_{i},\\ I^{\\bullet}\\bigr)\\Bigr) \\cong \\prod_{i} H^{n}\\bigl(\\Gamma(X_{i},\\ I^{\\bullet})\\bigr) = \\prod_{i} H^{n}(X_{i},\\ M) ✓$$\n（每个 $\\Gamma(X_{i}, I^{\\bullet})$ 都算 $H^{n}(X_{i}, M)$：$I^{\\bullet}$ 逐项内射，对**每个**测试对象 $X_{i}$ 仍然给出消解。）∎\n\n⭐ 一句话：**不交并这一侧是积**。离散空间上的零调（$H^{n}(\\coprod_{e} *, M) = \\prod_{e} H^{n}(*, M) = 0$）就是它的直接推论。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.3" ] }, { "id": "lem.cech-finite-disjoint-acyclic", "type": "lemma", "label": "有限不交覆盖的 Čech 零调", "title": "引理：紧 Hausdorff 空间上有限不交覆盖的 Čech 高次为零", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "引理", "Čech 上同调", "零调", "凝聚态" ], "statement": "设 $M$ 是凝聚态阿贝尔群，$S$ 是紧 Hausdorff 空间，且\n\n$$S = \\bigsqcup_{i=1}^{r} S_{i}$$\n\n是一个**有限不交覆盖**（$S_{i}$ 两两不交、并为 $S$）。则\n\n$$\\check{H}^{n}(S, M) = 0 \\qquad (n > 0).$$", "notes": "**证明。** 把覆盖看成族 $(S_{i} \\hookrightarrow S)_{i=1}^{r}$。由两两不交且并为 $S$，规范映射\n$$\\coprod_{i=1}^{r} S_{i} \\xrightarrow{\\ \\cong\\ } S$$\n是**同构**，于是它有截面（取它的逆）✓。由「带截面的覆盖上 Čech 复形同伦平凡」，这个族的增广 Čech 复形同伦平凡，从而正次数上同调为零 ✓。∎\n\n⭐ 它把**有限不交覆盖**这一类从 Čech 零调的检验里划掉 —— 于是只剩「单支满射」要处理，这正是「Stone 空间上常系数零调」的证明要分两步走的原因。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.1" ] }, { "id": "prop.condab-discrete-acyclic", "type": "proposition", "label": "离散空间上零调", "title": "命题：凝聚态阿贝尔群在离散空间与「离散 $\\times$ Stonean」上零调", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "命题", "凝聚态", "零调", "离散空间" ], "statement": "设 $M$ 是凝聚态阿贝尔群。则\n\n1. $E$ 是**离散**拓扑空间时 $H^{n}_{\\mathrm{cond}}(E, M) = 0$（$n > 0$）；\n2. 更一般地，$E$ 离散、$S$ **Stonean** 时 $H^{n}_{\\mathrm{cond}}(E \\times S,\\ M) = 0$（$n > 0$）。", "notes": "**证明。**\n**1.** 离散空间是点的不交并：$E = \\coprod_{e \\in E}\\{e\\}$。而上同调把不交并换成**积**：\n$$H^{n}\\Bigl(\\coprod_{i} X_{i},\\ M\\Bigr) \\cong \\prod_{i} H^{n}(X_{i},\\ M) ✓$$\n单点的情形是零：$\\{e\\} = *$，它的自由对象是 $\\mathbb{Z}[*] = \\mathbb{Z}$（投射），故 $H^{n}(*, M) = \\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}, M) = 0$（$n > 0$）✓。于是离散空间上高次全为零 ✓。\n**2.** $E$ 离散时 $E \\times S = \\coprod_{e \\in E} S$ 是 $S$ 的**不交并**，再一次用「不交并 $\\implies$ 积」：\n$$H^{n}(E \\times S,\\ M) \\cong \\prod_{e \\in E} H^{n}(S,\\ M) = 0 \\qquad (n > 0),$$\n末一步用的是「Stonean 空间上凝聚态阿贝尔群零调」✓。∎\n\n⭐ 一句话：**零调性从 Stonean 传给「离散 $\\times$ Stonean」**。这就是 $\\mathbb{N} \\times S$、$\\mathbb{Z} \\times S$ 这类混合空间上没有高次上同调的原因。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.1" ] }, { "id": "prop.condab-quotient-r-disc", "type": "proposition", "label": "R/R_disc 在 Stone 上的截面", "title": "命题：$Q = \\mathbb{R}/\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}$ 的截面是连续函数模局部常值函数", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "命题", "凝聚态", "商", "连续函数" ], "statement": "记 $Q := \\mathbb{R}/\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}$（把 $\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}$ 看成离散拓扑的加法群，$\\mathbb{R}$ 取通常拓扑，商在凝聚态阿贝尔群里取）。设 $S$ 是 **Stone** 空间。则\n\n$$Q(S) \\;=\\; C(S, \\mathbb{R})\\,\\big/\\,C(S, \\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}),$$\n\n即：到 $\\mathbb{R}$ 的连续函数，模去**局部常值**函数。", "notes": "**证明。** 凝聚态阿贝尔群里的短正合列\n$$0 \\longrightarrow \\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}} \\longrightarrow \\mathbb{R} \\longrightarrow Q \\longrightarrow 0$$\n给出长正合列\n$$0 \\to \\Gamma(S, \\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}) \\to \\Gamma(S, \\mathbb{R}) \\to \\Gamma(S, Q) \\to H^{1}_{\\mathrm{cond}}(S, \\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}).$$\n末项为零：$S$ 是 Stone 空间，而 $\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}$ 对应的凝聚态阿贝尔群就是**常**凝聚态群 $\\underline{\\mathbb{R}}$，由「Stone 空间上常系数零调」得 $H^{1} = 0$ ✓。再看前两项：$\\Gamma(S, \\mathbb{R}) = \\operatorname{Hom}_{\\mathrm{Cond}}(S, \\mathbb{R}) = C(S, \\mathbb{R})$ ✓；$\\Gamma(S, \\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}) = C(S, \\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}})$ —— 映入**离散**空间 $\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}$ 的连续映射正是**局部常值**映射 ✓（$\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}$ 的每个单点集都是开的，所以连续函数在每个点上局部常值）。于是 $\\Gamma(S, Q) = C(S,\\mathbb{R})/C(S,\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}})$ ✓。∎\n\n⚠️ **这个商不是零**：只要 $S$ 上有非常值的连续实值函数（例如 $S = \\beta I$ 时取一个非局部常值的有界函数），$Q(S) \\ne 0$。这与「拓扑阿贝尔群**不是**阿贝尔范畴」是同一件事的两面：在拓扑群层面商不好使，在凝聚态层面才有上面这条正确的截面公式。\n\n⭐ 它也是「$\\mathbb{Z}^{\\mathrm{disc}} \\to \\mathbb{Z}^{\\mathrm{coarse}}$ 型现象」的一般样子：**改拓扑不改底集，却真的改变了层的截面**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.1" ] }, { "id": "cor.ext-cond-set-section", "type": "corollary", "label": "Ext 的截面公式", "title": "推论：$\\operatorname{Ext}^{n}(\\mathbb{Z}\\cdot X, N)(S) \\cong H^{n}(X \\times S, N)$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "推论", "Ext", "截面", "Stonean" ], "statement": "设 $X$ 是凝聚态集、$N$ 是凝聚态阿贝尔群、$S$ 是 **Stonean** 空间。则对一切 $n \\ge 0$\n\n$$\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ N\\bigr)(S) \\;\\cong\\; H^{n}\\bigl(X \\times S,\\ N\\bigr).$$", "notes": "**证明。** 把 Stonean 上的截面公式 $\\operatorname{Ext}^{n}(M, N)(S) \\cong \\operatorname{Ext}^{n}(M \\cdot S,\\ N)$ 用在 $M = \\mathbb{Z}\\cdot X$ 上：\n$$\\operatorname{Ext}^{n}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ N\\bigr)(S) \\cong \\operatorname{Ext}^{n}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X \\otimes_{\\mathbb{Z}} \\mathbb{Z}[S],\\ N\\bigr) \\cong \\operatorname{Ext}^{n}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot (X \\times S),\\ N\\bigr) ✓$$\n第二式的依据是自由对象的两条泛性质拼起来：$\\mathbb{Z}\\cdot X \\otimes_{\\mathbb{Z}} \\mathbb{Z}\\cdot Y \\cong \\mathbb{Z}\\cdot (X \\times Y)$ ✓。\n又 $\\mathbb{Z}\\cdot Y$ 是**自由**的：$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot Y, -) = \\Gamma(Y, -)$，于是\n$$\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot Y,\\ N\\bigr) = R^{n}\\Gamma(Y, -)(N) = H^{n}(Y, N) ✓$$\n取 $Y = X \\times S$ 即得结论 ✓。∎\n\n⭐ 这一条把「**层的** Ext 在一个截面上的值」彻底翻译成「一个**具体空间**的上同调」：要算 $\\operatorname{Ext}^{n}(\\mathbb{Z}\\cdot X, N)(S)$，就去算 $X \\times S$ 的上同调。后面两条（离散空间、Banach 系数）都是它的特例。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.3" ] }, { "id": "prop.rhom-zs-sections", "type": "proposition", "label": "Stonean 上 Z[S] 的 RHom", "title": "命题：$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}[S], N) \\cong N(S)$（$S$ Stonean）", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "命题", "Ext", "Stonean", "截面" ], "statement": "设 $S$ 是 **Stonean** 空间，$N$ 是凝聚态阿贝尔群。则\n\n$$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}[S],\\ N\\bigr) \\;\\cong\\; N(S)$$\n\n（右边理解为集中在 $0$ 次的复形，即高次 Ext 全为零）。", "notes": "**证明。** $S$ Stonean 时 $\\mathbb{Z}[S]$ 是**投射**对象：极不连通性给出闭开集上的「截面型」投影性，$\\mathbb{Z}[S]$ 是那些 $\\mathbb{Z}[C]$（$C$ 闭开）的余极限，投影性沿余极限保持 ✓。于是\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}[S],\\ -\\bigr) = \\Gamma(S, -) = \\bigl(N \\mapsto N(S)\\bigr)$$\n是**正合**函子，它的右导出函子集中在 $0$ 次、且 $R^{0} = \\Gamma(S,-)$ ✓。因此 $\\operatorname{RHom}(\\mathbb{Z}[S], N)$ 就等于 $\\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}[S], N) = N(S)$（集中在 $0$ 次的复形）✓。∎\n\n⭐ 与「Stonean 上凝聚态阿贝尔群零调」是同一件事的两种说法：**系数零调 $\\iff$ 测试对象 $\\mathbb{Z}[S]$ 投射**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.3" ] }, { "id": "prop.rhom-ze-powers", "type": "proposition", "label": "离散空间上 Z[E] 的 RHom", "title": "命题：$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}[E], N) \\cong N^{E}$（$E$ 离散）", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "命题", "Ext", "离散空间", "自由对象" ], "statement": "设 $E$ 是**离散**拓扑空间，$N$ 是凝聚态阿贝尔群。则\n\n$$\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}[E],\\ N\\bigr) \\;\\cong\\; N^{E} \\;=\\; \\prod_{e \\in E} N$$\n\n（同样理解为集中在 $0$ 次的复形）。", "notes": "**证明。** 离散空间是不交并 $E = \\coprod_{e \\in E}\\{e\\}$，自由对象随之分裂成**直和**\n$$\\mathbb{Z}[E] = \\bigoplus_{e \\in E} \\mathbb{Z}[*] = \\bigoplus_{e \\in E} \\mathbb{Z} ✓$$\n投射对象的任意直和仍投射，故 $\\mathbb{Z}[E]$ 投射 ✓，于是 $\\operatorname{RHom}(\\mathbb{Z}[E], -)$ 集中在 $0$ 次、等于 $\\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}[E], -)$。而\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\Bigl(\\bigoplus_{e \\in E} \\mathbb{Z},\\ N\\Bigr) \\cong \\prod_{e \\in E} \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z},\\ N) \\cong \\prod_{e \\in E} N = N^{E} ✓$$\n（Hom 把直和送成积。）∎\n\n**另一条路**：由「离散空间上零调」与截面公式，$\\operatorname{Ext}^{n}(\\mathbb{Z}\\cdot E, N)(S) \\cong H^{n}(E \\times S, N) = 0$（$n>0$、$S$ Stonean），说明 $N^{E}$ 这个层没有高次，再逐点比较 $0$ 次即得 —— 两条路说的是同一件事。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.3" ] }, { "id": "prop.discrete-cond-rhom-constant", "type": "proposition", "label": "离散群的 RHom 是常层", "title": "命题：离散阿贝尔群的 RHom 与导出张量积都落在常层里", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 18, "tags": [ "命题", "凝聚态", "离散群", "RHom", "导出张量" ], "statement": "设 $M, N$ 是**离散**阿贝尔群，也把它们看成对应的常凝聚态阿贝尔群。则\n\n$$\\operatorname{RHom}^{\\mathrm{cond}}_{\\mathbb{Z}}(M,\\ N) \\;\\cong\\; \\mathrm{c}\\bigl(\\operatorname{RHom}^{\\mathrm{abs}}_{\\mathbb{Z}}(M,\\ N)\\bigr), \\qquad M \\otimes^{\\mathbf{L},\\mathrm{cond}}_{\\mathbb{Z}} N \\;\\cong\\; \\mathrm{c}\\bigl(M \\otimes^{\\mathbf{L},\\mathrm{abs}}_{\\mathbb{Z}} N\\bigr),$$\n\n其中上标 $\\mathrm{cond}$ 表示「在凝聚态阿贝尔群里算」、$\\mathrm{abs}$ 表示「在抽象阿贝尔群里算」，而 $\\mathrm{c}(A)$ 表示**常凝聚态群**。", "notes": "**证明。** 取 $M$ 作为**抽象**阿贝尔群的一个自由消解 $P_{\\bullet} \\to M$ ✓。\n- **常层函子在这条消解上保持正合**：$\\mathrm{c}(-)$ 把自由阿贝尔群送到自由凝聚态阿贝尔群 $\\mathbb{Z}[E]$，而且它在离散群上正合，于是 $\\mathrm{c}(P_{\\bullet}) \\to \\mathrm{c}(M)$ 仍是一个消解 ✓。\n- **每一项都零调**：$P_{i} = \\mathbb{Z}^{(E)}$ 给出 $\\mathrm{c}(P_{i}) = \\mathbb{Z}[E]$，而 $\\operatorname{RHom}(\\mathbb{Z}[E], N) \\cong N^{E}$ 集中在 $0$ 次（上一条），故这些项对 $\\operatorname{RHom}(-, N)$ 零调 ✓。\n- **算出来**：可以用 $\\mathrm{c}(P_{\\bullet})$ 计算内部的 $\\operatorname{RHom}$：\n$$\\operatorname{RHom}^{\\mathrm{cond}}\\bigl(\\mathrm{c}(M),\\ N\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}\\bigl(\\mathrm{c}(P_{\\bullet}),\\ N\\bigr) = \\mathrm{c}\\bigl(\\operatorname{Hom}(P_{\\bullet},\\ N)\\bigr),$$\n取上同调即得 $\\mathrm{c}\\bigl(\\operatorname{Ext}^{\\bullet}(M,N)\\bigr) = \\mathrm{c}\\bigl(\\operatorname{RHom}^{\\mathrm{abs}}(M,N)\\bigr)$ ✓。\n张量侧同理：自由阿贝尔群**平坦**，常层函子正合，于是 $\\mathrm{c}(P_{\\bullet})\\otimes^{\\mathbf{L}} N \\cong \\mathrm{c}(P_{\\bullet}\\otimes^{\\mathbf{L}} N)$，两边取同调得第二个同构 ✓。∎\n\n⭐ 一句话：**离散群「感觉不到」凝聚态那一层结构** —— 在它们身上，凝聚态同调代数与抽象同调代数给出同一个答案（只差一个常层）。所以要真正用到凝聚态结构，就必须拿 $\\mathbb{R}$、$\\mathbb{Z}[S]$ 这类非离散对象来测。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.3" ] }, { "id": "prop.tensor-rhom-natural-map", "type": "proposition", "label": "张量与 RHom 的配对", "title": "命题：$M \\otimes^{\\mathbf{L}} \\operatorname{RHom}(P, N) \\to \\operatorname{RHom}(\\operatorname{RHom}(M, P), N)$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 19, "tags": [ "命题", "导出范畴", "内部 Hom", "张量" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯，$M, N, P$ 是 $\\mathcal{T}$ 中的阿贝尔群。则存在自然映射\n\n$$M \\otimes^{\\mathbf{L}}_{\\mathbb{Z}} \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(P,\\ N) \\longrightarrow \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}(M,\\ P),\\ N\\bigr).$$", "notes": "**证明（由两条配对拼出来）。**\n- **求值配对**：$\\operatorname{RHom}(M, P) \\otimes^{\\mathbf{L}} M \\to P$（把映射作用在元素上，由内部 Hom 与导出张量的伴随给出）✓；\n- **复合配对**：$P \\otimes^{\\mathbf{L}} \\operatorname{RHom}(P, N) \\to N$，同理 ✓。\n把两者张量起来：\n$$M \\otimes^{\\mathbf{L}} \\operatorname{RHom}(M, P) \\otimes^{\\mathbf{L}} \\operatorname{RHom}(P, N) \\longrightarrow P \\otimes^{\\mathbf{L}} \\operatorname{RHom}(P, N) \\longrightarrow N.$$\n再用**内部 Hom 与导出张量的伴随**（$A \\otimes^{\\mathbf{L}} X \\to N$ 等价于 $X \\to \\operatorname{RHom}(A, N)$），取 $A = \\operatorname{RHom}(M, P)$、$X = M \\otimes^{\\mathbf{L}} \\operatorname{RHom}(P, N)$，上面这个映射一一对应于\n$$M \\otimes^{\\mathbf{L}} \\operatorname{RHom}(P, N) \\longrightarrow \\operatorname{RHom}\\bigl(\\operatorname{RHom}(M, P),\\ N\\bigr) ✓$$\n自然性来自两层配对都自然（伴随同构对三个变量都自然）✓。∎\n\n⚠️ **一般不是同构** —— 要它成为同构需要额外的有限性 / 对偶条件。这条给的是**自然映射**，用处在于把「对偶的 RHom」换成「张量积的 RHom」，从而可以用自由消解去算。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.3" ] }, { "id": "prop.simplicial-to-chain", "type": "proposition", "label": "单纯对象给出链复形", "title": "命题：单纯对象的交替和给出微分", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 11, "tags": [ "命题", "单纯对象", "链复形", "同调代数" ], "statement": "设 $K_{\\bullet}$ 是加法范畴 $\\mathcal{C}$ 中的（半）**单纯对象**，记 $K_{n} := K_{\\bullet}([n])$、面映射 $d^{n}_{i} : K_{n} \\to K_{n-1}$（$i = 0, \\ldots, n$）。令\n\n$$d_{n} := \\sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} d^{n}_{i} : K_{n} \\longrightarrow K_{n-1}.$$\n\n则 $d_{n-1} \\circ d_{n} = 0$，于是 $K_{\\bullet}$ 成为一个**链复形**。", "notes": "**证明。** 展开\n$$d_{n-1}d_{n} = \\sum_{j=0}^{n-1}\\sum_{i=0}^{n} (-1)^{i+j} d^{n-1}_{j} d^{n}_{i}.$$\n由单纯恒等式，$i \\le j-1$ 时 $d^{n-1}_{j} d^{n}_{i} = d^{n-1}_{i} d^{n}_{j+1}$；因此每一对 $(i,j)$ 与 $i > j$ 的那一对 $(j, i+1)$ 给出**同一项**，而符号为 $(-1)^{i+j}$ 与 $(-1)^{j+i+1}$ —— 恰好相反，两两抵消 ✓。于是 $d^{2} = 0$ ✓。∎\n\n⭐ 这是**单纯方法**的入口：把一个（半）单纯对象按交替和变成复形，就能用同调代数去算它的不变量。拓扑空间 $X$ 的奇异单纯集 $S_{\\bullet}(X) = h_{X} \\circ \\Delta^{\\bullet}$ 配上 $\\mathbb{Z}\\cdot(-)$ 给出的 $C_{\\bullet}(X) := \\mathbb{Z}\\cdot S_{\\bullet}(X)$ 就是标准例子 —— 它的同调正是**奇异同调**。\n\n⚠️ 这里只需要**半**单纯（只要有面映射）；退化映射不进入微分（这是「正规化」的做法）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "prop.category-into-complexes", "type": "proposition", "label": "范畴嵌入复形", "title": "命题：$M \\mapsto [M]$ 把范畴全忠实地嵌进复形范畴", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 11, "tags": [ "命题", "复形", "全忠实", "极限" ], "statement": "把整数集看成偏序范畴 $(\\mathbb{Z}, \\le)$。由含入 $\\{0\\} \\hookrightarrow (\\mathbb{Z},\\le)$ 得到函子\n\n$$\\mathcal{C} \\longrightarrow \\mathcal{C}(\\mathcal{C}), \\qquad M \\longmapsto [M], \\qquad [M]^{n} := \\begin{cases} M, & n = 0 \\\\ 0, & n \\ne 0\\end{cases}$$\n\n（微分全为零）。则：\n\n1. 这个函子**全忠实**；\n2. 它**保所有极限与所有余极限**。", "notes": "**证明。**\n**1.** 复形之间的态射是 $\\mathbb{Z}$ 指标的一族映射 $f^{n} : [M]^{n} \\to [N]^{n}$ 且与微分交换；而 $[M]$、$[N]$ 只在 $0$ 次非零，微分又是零，交换性自动成立 ✓。于是\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}(\\mathcal{C})}([M], [N]) = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(M, N) \\quad \\text{（只有 } n = 0 \\text{ 这一项）}\\;\\checkmark$$\n即全忠实 ✓。\n**2.** 复形范畴里的极限与余极限**逐项计算**（见「复形范畴的性质」）。逐项看：$0$ 次上得到原图在该处的极限（对 $[M_{i}]$ 逐项取极限，$0$ 次那一项恰是 $\\lim M_{i}$）✓；其余次上得到「一堆零对象的极限」—— 而 $0$ 既是始对象又是终对象，故那些极限与余极限仍是 $0$ ✓。于是 $[\\lim M_{i}] = \\lim [M_{i}]$，$[\\varinjlim M_{i}] = \\varinjlim [M_{i}]$ ✓。∎\n\n⭐ 用处：**「对象」可以当成「退化成一项的复形」来看**。于是「$\\mathcal{C}$ 里的构造」与「$\\mathcal{C}(\\mathcal{C})$ 里的构造」可以自由互相搬运，短正合列 $0 \\to M \\to N \\to P \\to 0$ 与两项复形的正合列不再需要区分。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "prop.homotopy-equivalence-criterion", "type": "proposition", "label": "同伦等价的判据", "title": "命题：$f$ 是同伦等价 $\\iff$ 存在同伦逆", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 13, "tags": [ "命题", "同伦", "同伦范畴" ], "statement": "设 $f : K^{\\bullet} \\to L^{\\bullet}$ 是复形态射。则\n\n1. $f$ 是**同伦等价**（即在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中同构）$\\iff$ 存在 $g : L^{\\bullet} \\to K^{\\bullet}$ 使 $g f \\sim 1_{K}$、$f g \\sim 1_{L}$；\n2. 复形 $K^{\\bullet}$ **同伦平凡** $\\iff$ $1_{K} \\sim 0_{K}$。", "notes": "**证明。** 两条都是把定义展开（$\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 的对象是复形、态射是**同伦类**）。\n**1.** 若 $f$ 在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中同构，取它的逆 $g$（一个复形态射），则 $gf$ 与 $1_{K}$ 在同伦范畴里相等，即 $gf \\sim 1_{K}$ ✓；$fg \\sim 1_{L}$ 同理。反之，若存在这样的 $g$，则 $[f]$ 与 $[g]$ 在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中互为逆 ✓。\n**2.** 「同伦平凡」的定义就是「与零对象同构」；而 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中的零对象是零复形，$K \\to 0 \\to K$ 的复合是 $0_{K}$。故存在同构 $\\iff$ $1_{K} \\sim 0_{K}$ ✓。∎\n\n⚠️ 注意「同伦等价」**不是**「逐项同构」：$1 \\sim 0$ 意味着 $K^{\\bullet}$ 的两个相邻层之间有一族映射 $s^{n}$ 把恒等收缩掉，这样的复形（例如 $0 \\to M \\xrightarrow{1} M \\to 0$）每一层都非零，但整体同伦平凡。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "prop.additive-functor-preserves-triangles", "type": "proposition", "label": "加法函子保导出三角", "title": "命题：加法函子把导出三角送到导出三角", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 15, "tags": [ "命题", "加法函子", "导出三角", "映射锥" ], "statement": "设 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 是加法范畴之间的**加法函子**。若\n\n$$K^{\\bullet} \\longrightarrow L^{\\bullet} \\longrightarrow M^{\\bullet} \\longrightarrow K^{\\bullet}[1]$$\n\n是 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中的**导出三角**，则\n\n$$FK^{\\bullet} \\longrightarrow FL^{\\bullet} \\longrightarrow FM^{\\bullet} \\longrightarrow FK^{\\bullet}[1]$$\n\n是 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C}')$ 中的导出三角。（$F$ 逐项作用在复形上。）", "notes": "**证明。** 导出三角的定义是「同构于某个映射锥三角」。逐条检查：\n- **$F$ 保映射锥**：$M(f)^{n} = K^{n+1} \\oplus L^{n}$ 而微分是分块矩阵 $\\begin{pmatrix} -d^{n+1} & 0 \\\\ f^{n} & d^{n} \\end{pmatrix}$。$F$ 加法，故保有限双积（$F(K^{n+1}\\oplus L^{n}) = FK^{n+1}\\oplus FL^{n}$）✓，而分块矩阵的两个条件（与微分交换、左上取 $-d$）都是等式，逐项被 $F$ 保持 ✓。于是 $F(M(f)) \\cong M(Ff)$ ✓。\n- **$F$ 保平移**：$F(K[1]) = F(K)[1]$（逐项作用与指标无关）✓。\n- **$F$ 保同构与同伦类**：$F$ 是函子，把同构送到同构、把 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 的态射送到 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C}')$ 的态射 ✓。\n于是任何导出三角（$\\cong$ 某个映射锥三角）被 $F$ 送到 $\\cong$ $F$ 的映射锥三角，仍是导出三角 ✓。\n⚠️ 这里**必须**用加法性：非加法函子不保双积，$F(K^{n+1}\\oplus L^{n}) \\ne FK^{n+1}\\oplus FL^{n}$，论证立刻断掉。∎\n\n⭐ 推论：**任何加法函子都诱导同伦范畴之间的函子 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C}) \\to \\mathbf{K}(\\mathcal{C}')$，并保持三角结构** —— 这是「导出范畴之间也能搬东西」的第一步。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "prop.complexes-abelian", "type": "proposition", "label": "复形范畴是阿贝尔范畴", "title": "命题：$\\mathcal{A}$ 阿贝尔 $\\implies \\mathcal{C}(\\mathcal{A})$ 阿贝尔", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 17, "tags": [ "命题", "复形", "阿贝尔范畴" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是**阿贝尔范畴**。则上链复形范畴 $\\mathcal{C}(\\mathcal{A})$ **也是阿贝尔范畴**（$\\mathcal{C}^{+}(\\mathcal{A})$、$\\mathcal{C}^{-}(\\mathcal{A})$、$\\mathcal{C}^{b}(\\mathcal{A})$ 这些有界情形同理）。", "notes": "**证明。** 阿贝尔范畴的定义是：预阿贝尔 + 每个单态射正则（等价地：$\\operatorname{coim} f \\to \\operatorname{im} f$ 是同构）。逐条验：\n- **预阿贝尔**：复形范畴是加法范畴，而核与余核**逐项**取（见「复形范畴的性质」）✓；\n- **$\\operatorname{coim} \\to \\operatorname{im}$ 逐项同构**：$\\mathcal{A}$ 里同构是逐项判断的（复形态射是同构 $\\iff$ 每一层都是同构，因为逆映射可以逐层拼起来），所以只要逐项验 ✓；而每一层上 $\\operatorname{coim} f^{n} \\to \\operatorname{im} f^{n}$ 是 $\\mathcal{A}$ 里的同构 ✓；\n- **逐项构造与微分相容**：核、余核、像、余像的微分都是「由原来复形的微分限制 / 诱导」得到的，满足 $d^{2} = 0$ 与交换性 —— 这是「逐项计算」的一般机制 ✓。\n于是 $\\mathcal{C}(\\mathcal{A})$ 满足阿贝尔范畴的全部条件 ✓。∎\n\n⭐ 这条是**整个同调代数的前提**：只有在 $\\mathcal{C}(\\mathcal{A})$ 里才能谈正合、才能谈同调 $H^{n}$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "prop.cohomology-short-exact", "type": "proposition", "label": "同调的两条正合列", "title": "命题：$0 \\to H^{k} \\to \\operatorname{coker} d^{k-1} \\to Z^{k+1} \\to H^{k+1} \\to 0$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 17, "tags": [ "命题", "同调", "正合列", "闭链" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，$K^{\\bullet}$ 是 $\\mathcal{A}$ 中的上链复形。记 $Z^{k} := \\ker d^{k}$（**闭链**）、$B^{k} := \\operatorname{im} d^{k-1}$（**上边缘**），于是 $H^{k} = Z^{k}/B^{k}$。则对每个 $k$ 有处处正合的列\n\n$$0 \\longrightarrow H^{k} \\longrightarrow \\operatorname{coker}\\bigl(d^{k-1}\\bigr) \\longrightarrow Z^{k+1} \\longrightarrow H^{k+1} \\longrightarrow 0.$$", "notes": "**证明。** $d^{k}\\circ d^{k-1} = 0$ 说明 $d^{k}$ 诱导出一个映射\n$$D : \\operatorname{coker}(d^{k-1}) = K^{k}/B^{k} \\longrightarrow Z^{k+1},$$\n（良定义：$B^{k} \\subseteq Z^{k}$，因为 $d^{k}$ 把 $B^{k}$ 杀死 ✓）。逐段读这条列：\n- **$H^{k} = \\ker D$**：$D$ 的核是 $Z^{k}/B^{k}$，正是 $H^{k}$ ✓，这就是左端的正合性；\n- **$\\operatorname{im}D = B^{k+1}$**：$D$ 的像就是 $d^{k}(K^{k}) = B^{k+1}$ ✓，这就是中间的正合性；\n- **$\\operatorname{coker}D = Z^{k+1}/B^{k+1} = H^{k+1}$** ✓，即右端的正合性。\n三段合起来就是整条列处处正合 ✓。∎\n⭐ 这条列常常写成两条短正合列再拼起来：\n$$0 \\to H^{k} \\to K^{k}/B^{k} \\to B^{k+1} \\to 0, \\qquad 0 \\to B^{k+1} \\to Z^{k+1} \\to H^{k+1} \\to 0.$$\n后面构造谱序列时用的正是这两条。\n\n⭐ 用途：它把「同调」拆成两条只管闭链与上边缘的短正合列。**谱序列的全部技术内容就是在这些短正合列之间做逐步比较。**", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "prop.injective-complex-homotopy", "type": "proposition", "label": "内射复形：零调、拟同构与同伦", "title": "命题：内射复形上「零调 $\\iff$ 同伦平凡」、「拟同构 $\\iff$ 同伦等价」", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 16, "tags": [ "命题", "内射对象", "同伦", "拟同构" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，$I^{\\bullet}, J^{\\bullet}$ 是**有界下方、逐项内射**的复形（即每个 $I^{n}$ 是内射对象，且 $n \\ll 0$ 时 $I^{n} = 0$）。则\n\n1. $I^{\\bullet}$ **零调**（$H^{n} = 0$ 对一切 $n$）$\\iff$ $I^{\\bullet}$ **同伦平凡**（$1_{I^{\\bullet}} \\sim 0$）；\n2. $I^{\\bullet}$ 与 $J^{\\bullet}$ 拟同构 $\\iff$ 它们同伦等价。", "notes": "**证明。**\n**1.** $(\\Longleftarrow)$ 同伦的映射在同调上给出同一个映射（同调函子把同伦送到相等），故 $1 = 0$ 在 $H^{n}$ 上，即 $H^{n} = 0$ ✓。\n$(\\Longrightarrow)$ 逐层构造收缩同伦。零调给出短正合列\n$$0 \\longrightarrow Z^{n} \\longrightarrow I^{n} \\xrightarrow{\\ p_{n}\\ } Z^{n+1} \\longrightarrow 0,$$\n（$Z^{n} = \\ker d^{n}$、$Z^{n+1} = \\operatorname{im} d^{n}$）。$I^{n}$ **内射**，所以这条列**分裂**：取 $q_{n} : I^{n} \\to Z^{n}$ 使 $q_{n}j_{n} = 1$、取 $s_{n} : Z^{n+1} \\to I^{n}$ 使 $p_{n}s_{n} = 1$，于是\n$$1_{I^{n}} = j_{n}q_{n} + s_{n}p_{n} \\qquad \\text{（分裂短正合列的标准恒等式）}\\;\\checkmark$$\n令 $s^{n} := s_{n-1}\\circ q_{n} : I^{n} \\to I^{n-1}$。注意 $d^{n} = j_{n+1}p_{n}$ 且 $d^{n-1} = j_{n}p_{n-1}$，于是\n$$d^{n-1}s^{n} + s^{n+1}d^{n} = j_{n}p_{n-1}s_{n-1}q_{n} + s_{n}q_{n+1}j_{n+1}p_{n} = j_{n}q_{n} + s_{n}p_{n} = 1_{I^{n}} \\;\\checkmark$$\n（用了 $p_{n-1}s_{n-1} = 1$、$q_{n+1}j_{n+1} = 1$。）这正是「$1 \\sim 0$」要求的恒等式 ✓。\n**2.** $(\\Longleftarrow)$ 同伦等价显然给出拟同构（同伦的映射在同调上相等，逆映射的存在性使 $H^{n}(f)$ 可逆）✓。\n$(\\Longrightarrow)$ 设 $f : I^{\\bullet} \\to J^{\\bullet}$ 是拟同构。映射锥 $M(f)^{n} = I^{n+1}\\oplus J^{n}$ 仍是**逐项内射、有界下方**的复形 ✓，而由导出三角 $I \\to J \\to M(f) \\to I[1]$ 与「$f$ 拟同构 $\\iff$ 锥零调」，$M(f)$ 零调 ✓。对上 $M(f)$ 用第 1 条，得 $M(f)$ 同伦平凡；再由三角 $I \\to J \\to M(f) \\to I[1]$ 与同伦平凡的锥，可以逐层把映射抬起来，得到 $g : J^{\\bullet}\\to I^{\\bullet}$ 与同伦 $gf \\sim 1$、$fg \\sim 1$ ✓（这就是「三角论证」：锥的同伦平凡性正好给出同伦逆的数据）。于是 $f$ 是同伦等价 ✓。∎\n\n⭐ 一句话：**在逐项内射的复形上，「弱等价」（拟同构）与「强等价」（同伦等价）是一回事。** 这正是内射消解好用的根本原因 —— 也解释了为什么导出范畴的常数构造要用 $K^{\\pm}(\\mathcal{I})$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "prop.injective-resolution-lift", "type": "proposition", "label": "内射消解之间的提升", "title": "命题：态射可以提升到内射消解之间", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 16, "tags": [ "命题", "内射消解", "提升", "同伦" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，$I^{\\bullet} \\to M$、$J^{\\bullet} \\to N$ 是 $\\mathcal{C}^{+}(\\mathcal{A})$ 中的**内射消解**（$I^{n}$、$J^{n}$ 内射、有界下方、拟同构于 $M$、$N$）。则对每个态射 $f : M \\to N$：\n\n1. **存在**复形态射 $F : I^{\\bullet} \\to J^{\\bullet}$ 提升 $f$（即诱导 $H^{0}(F) = f$）；\n2. 任何两个这样的提升**同伦**。", "notes": "**证明（比较定理的标准两步）。**\n**① 存在性（逐层抬升）。** 第 $0$ 层：$M = Z^{0}_{I} \\hookrightarrow I^{0}$ 是单态射（因为 $I^{-1} = 0$），复合 $M \\xrightarrow{\\ f\\ } N \\to J^{0}$ 沿这个单态射由 $J^{0}$ 的**内射性**抬成 $F^{0} : I^{0} \\to J^{0}$ ✓。\n归纳步：设已构造 $F^{0}, \\ldots, F^{n}$，且对 $k \\le n$ 有 $F^{k}d^{k-1}_{I} = d^{k-1}_{J}F^{k-1}$。要构造 $F^{n+1}$ 只需在**上边缘** $B^{n+1}_{I} = \\operatorname{im}d^{n}_{I}$ 上定下它的取值，因为 $B^{n+1}_{I}\\hookrightarrow I^{n+1}$ 是单态射。关键观察：$n \\ge 1$ 时 $H^{n}(I^{\\bullet}) = 0$，即 $Z^{n}_{I} = B^{n}_{I}$ —— 于是 $F^{n}$ 在 $Z^{n}_{I}$ 上的取值已经由前一层定下、且落在 $Z^{n}_{J}$ 里（$n \\ge 1$ 时它等于 $d^{n-1}_{J}F^{n-1}$，$n = 0$ 时改用增广处的交换性）✓。因此 $d^{n}_{J}F^{n}$ 在 $\\ker d^{n}_{I}$ 上为零，从而沿 $B^{n+1}_{I} \\hookrightarrow I^{n+1}$ 分解；再用 $J^{n+1}$ 的**内射性**把它抬成 $F^{n+1} : I^{n+1}\\to J^{n+1}$ ✓。有界下方保证这个过程在某个 $n$ 之后终止 ✓。\n**② 同伦唯一性。** 设 $F, G$ 都提升 $f$。差 $F - G$ 在 $H^{0}$ 上诱导 $0$，于是可以用**同样的逐层抬升**造同伦 $s^{n} : I^{n}\\to J^{n-1}$：每一层的方程 $F^{n}-G^{n} = s^{n+1}d^{n}_{I} + d^{n-1}_{J}s^{n}$ 都是一个「沿单态射抬升」的问题，仍由 $J^{n-1}$ 的内射性解决；起点处 $F^{0}-G^{0}$ 在 $M$ 上为零，故它分解过 $I^{0}/M = B^{1}_{I}$ ✓。于是 $F \\sim G$ ✓。∎\n\n⭐ 两条合起来就是**内射消解在同伦意义下唯一**：$\\operatorname{Hom}(M,N)$ 中的态射可以提升成复形态射、且提升在同伦意义下唯一。所以「用内射消解算右导出函子」与消解的选取无关 —— 这是 $R^{n}F$ 良定义的全部依据。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1" ] }, { "id": "prop.k-bounded-exact-filtered-colimit", "type": "proposition", "label": "K-有界正合沿滤过余极限保持", "title": "命题：等距转移下的滤过余极限保持 $K$-有界正合", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 12, "tags": [ "命题", "半范数", "K-有界正合", "滤过余极限" ], "statement": "设 $M^{\\bullet} = \\varinjlim_{k} M^{\\bullet}_{k}$ 是半范数阿贝尔群复形的**滤过余极限**，且转移映射都是**等距**的。若每个 $M^{\\bullet}_{k}$ 在 $M^{n}_{k}$ 处 $K$-有界正合，则 $M^{\\bullet}$ 在 $M^{n}$ 处 $K$-有界正合。", "notes": "**证明。** 等距转移映射给出两条关键事实：余极限的**半范数就是代表元的半范数**（所有代表元范数相同，否则沿等距映射传递会矛盾）✓；微分与转移映射交换，因此 $\\|d s\\| = \\|d s_{k}\\|$ 对任何代表元 $s_{k} \\mapsto s$ 成立 ✓。\n给定 $s \\in M^{n}$ 与 $\\varepsilon > 0$：取代表元 $s_{k} \\in M^{n}_{k}$（余极限的元素都是某个有限阶段的元素）✓；在 $M^{\\bullet}_{k}$ 里用 $K$-有界正合，得到 $s'_{k} \\in M^{n+1}_{k}$ 使\n$$\\|s_{k} - d^{n+1}s'_{k}\\| \\le K\\,\\|d^{n}s_{k}\\| + \\varepsilon.$$\n把 $s'_{k}$ 映进余极限得 $s' \\in M^{n+1}$，再由等距性与微分的交换性，左边与右边逐项搬过去：\n$$\\|s - d^{n+1}s'\\| = \\|s_{k} - d^{n+1}s'_{k}\\| \\le K\\,\\|d^{n}s_{k}\\| + \\varepsilon = K\\,\\|d^{n}s\\| + \\varepsilon ✓$$\n这正是 $K$-有界正合在 $M^{n}$ 处的要求 ✓。∎\n\n⭐ 用处：$K$-有界正合这件「带常数的解析性质」在**往大的复形里并**时不会丢 —— 于是可以先用有限 / 简单的复形验条件，再取余极限。\n\n⚠️ **等距**这一条不能省：若转移映射只是连续而范数会缩小，余极限上的半范数就变成「代表元范数的下确界」，上面的 $\\|d s\\| = \\|d s_{k}\\|$ 立刻失效。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.2" ] }, { "id": "prop.continuous-functions-normed", "type": "proposition", "label": "连续函数空间的范数", "title": "命题：$C(S, M)$ 是（半）范数 / Banach 阿贝尔群，且 Stone 上离散值函数稠密", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.cohomology", "layer": 16, "tags": [ "命题", "Banach", "连续函数", "稠密" ], "statement": "设 $S$ 是**紧 Hausdorff** 空间，$M$ 是（半）范数阿贝尔群（相应地 Banach 阿贝尔群）。则\n\n1. 连续同态 $C(S, M) := \\operatorname{Hom}_{\\mathrm{top}}(S, M)$ 配以\n$$\\|f\\| := \\sup_{x \\in S}\\|f(x)\\|$$\n是（半）范数阿贝尔群（相应地 Banach 阿贝尔群）；\n2. 若 $S$ 还是 **Stone** 空间，则 $C(S, M^{\\mathrm{disc}})$ 在 $C(S, M)$ 中**稠密**。", "notes": "**证明。**\n**1.** $\\sup$ 有限：连续函数在紧空间上有界（$f(S)$ 紧，而范数球的半径有限）✓；三条半范数公理由 $M$ 的半范数逐点验证、再取上确界 ✓；$\\|f\\| = 0 \\implies f = 0$ 当且仅当 $M$ 是 Hausdorff 的（即范数而非半范数）✓。\n**完备性**：设 $(f_{j})$ 是 $\\|\\cdot\\|$ 下的 Cauchy 列，则每个 $x$ 处 $(f_{j}(x))$ 是 Cauchy 列，由 $M$ 完备有极限 $f(x)$ ✓；Cauchy 列是**一致**Cauchy 的（$\\|f_{j}-f_{k}\\| < \\varepsilon$ 对每个 $x$ 成立），故 $f_{j} \\to f$ **一致**，一致极限保持连续性 ✓，于是 $M$ 完备时 $C(S,M)$ 完备 ✓。\n**2.** 给 $f \\in C(S, M)$ 与 $\\varepsilon > 0$。开覆盖\n$$S = \\bigcup_{m \\in M} f^{-1}\\bigl(B(m, \\varepsilon/2)\\bigr)$$\n由 $S$ 是 Stone 空间，它有**有限的、两两不交的闭开加细** $S = \\bigsqcup_{r} S_{r}$（Stone 空间上任何开覆盖都有这样的加细）✓。在每个 $S_{r}$ 上任取 $m_{r}$ 使 $S_{r} \\subseteq f^{-1}(B(m_{r},\\varepsilon/2))$ ✓，令 $g := m_{r}$ 在 $S_{r}$ 上。则 $g$ **局部常值**，即映入离散群 $M^{\\mathrm{disc}}$ 的连续函数 ✓，且逐点 $\\|f - g\\| \\le \\varepsilon/2$ ✓，故 $\\|f-g\\| \\le \\varepsilon/2 < \\varepsilon$ ✓。于是 $C(S,M^{\\mathrm{disc}})$ 稠密 ✓。∎\n\n⭐ 第 2 条是「**离散值函数足够多**」的精确版本：Stone 空间上任何连续 $M$-值函数都可以用局部常值函数一致逼近。它在 Banach 系数零调（8.2.6 / 8.2.8）的证明里是关键一步。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.2" ] }, { "id": "prop.closed-map-neighborhood-basis", "type": "proposition", "label": "闭映射的邻域基", "title": "命题：闭映射下 $\\pi^{-1}(A)$ 的邻域基", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 6, "tags": [ "命题", "拓扑", "闭映射", "邻域基" ], "statement": "设 $\\pi : Y \\to X$ 是**闭**连续映射，$A \\subseteq X$。则「$A$ 的邻域的原像」\n\n$$\\bigl\\{\\, \\pi^{-1}(U) \\;:\\; U \\text{ 是 } A \\text{ 在 } X \\text{ 中的邻域} \\,\\bigr\\}$$\n\n构成 $\\pi^{-1}(A)$ 在 $Y$ 中的一个**邻域基**。", "notes": "**证明。** 设 $V \\subseteq Y$ 是 $\\pi^{-1}(A)$ 的开邻域。取\n$$U := X \\setminus \\pi(Y \\setminus V).$$\n$\\pi$ **闭**说明 $\\pi(Y\\setminus V)$ 闭，故 $U$ 是开集 ✓。逐条验：\n- **$A \\subseteq U$**：若 $a \\in A$，则 $\\pi^{-1}(a) \\subseteq \\pi^{-1}(A) \\subseteq V$，故 $\\pi^{-1}(a) \\cap (Y\\setminus V) = \\emptyset$，即 $a \\notin \\pi(Y\\setminus V)$，于是 $a \\in U$ ✓；\n- **$\\pi^{-1}(U) \\subseteq V$**：若 $y \\in \\pi^{-1}(U)$，则 $\\pi(y) \\notin \\pi(Y\\setminus V)$，特别地 $y \\notin Y \\setminus V$，即 $y \\in V$ ✓。\n于是每个 $\\pi^{-1}(A)$ 的开邻域 $V$ 都含着一个形如 $\\pi^{-1}(U)$ 的邻域，即这一族构成邻域基 ✓。∎\n\n⭐ 一句话：**闭映射把「$A$ 的邻域」原样搬成「$\\pi^{-1}(A)$ 的邻域」**。这条在构造延拓时用来把「局部定义域」从 $X$ 抬到 $Y$ 而不丢失信息（延拓定理证明里的标准一步）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.3" ] }, { "id": "prop.paracompact-partition-unity", "type": "proposition", "label": "仿紧性与单位分解", "title": "命题：仿紧 Hausdorff / 正规 $\\iff$ 单位分解存在", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 16, "tags": [ "命题", "拓扑", "仿紧", "正规", "单位分解" ], "statement": "对拓扑空间 $X$：\n\n1. $X$ 是**仿紧 Hausdorff** 空间 $\\iff$ 每个开覆盖都有一族从属于它的**单位分解**；\n2. $X$ 是**正规**空间 $\\iff$ 每个**局部有限**开覆盖都有一族从属于它的单位分解。", "notes": "**证明（两个方向）。**\n**$(\\Longleftarrow)$ 单位分解给出局部有限的加细。** 设 $\\{\\rho_{i}\\}$ 是从属于覆盖 $\\{U_{i}\\}$ 的单位分解。由单位分解的定义，$\\operatorname{supp}\\rho_{i} \\subseteq U_{i}$ 且这族支撑是**局部有限**的 ✓；于是 $\\{ \\rho_{i}^{-1}\\bigl((0,1]\\bigr) \\}$ 是 $\\{U_{i}\\}$ 的一个开加细，且仍然局部有限（每个点是有限多个支撑之外的点）✓ —— 这正是仿紧（在 Hausdorff 前提下）要求的「每个开覆盖都有局部有限开加细」。正规的情形同理（局部有限覆盖取局部有限的 $\\{\\operatorname{supp}\\rho_{i}\\}$）✓。\n**$(\\Longrightarrow)$ 用正规性逐步造 $\\rho_{i}$。**\n- 先取一个**局部有限**的开加细 $\\{V_{i}\\}$（仿紧的定义；正规的情形直接取自局部有限覆盖本身）✓；\n- 正规性给出：存在开集 $W_{i}$ 使 $\\overline{W_{i}} \\subseteq V_{i}$ 且 $\\{W_{i}\\}$ 仍覆盖 $X$（这是正规空间的标准「收缩」引理，由 Urysohn 引理或它的变体得到）✓；\n- 对每对 $(\\overline{W_{i}}, X \\setminus V_{i})$（不交闭集）用 **Urysohn 引理**取连续函数 $g_{i} : X \\to [0,1]$ 使 $g_{i}|_{\\overline{W_{i}}} = 1$、$g_{i}|_{X\\setminus V_{i}} = 0$ ✓；\n- 令 $g := \\sum_{i} g_{i}$：局部有限性保证这是**局部有限和**，故 $g$ 连续 ✓，且因为 $\\{W_{i}\\}$ 覆盖 $X$，每点处 $g \\ge 1$（至少一项为 1）✓；\n- 取 $\\rho_{i} := g_{i}/g$ ✓：非负、和恒为 1、$\\operatorname{supp}\\rho_{i} \\subseteq V_{i} \\subseteq U_{i}$，且支撑仍局部有限 ✓。\n于是得到从属于原覆盖的单位分解 ✓。∎\n\n⭐ 这条是**延拓定理的引擎**：单位分解把「局部定义的东西」加权求和成整体定义的函数 —— Tietze / Dugundji 型延拓、流形上的积分与 Stokes 定理，用的都是这一招。\n\n⚠️ **局部有限不能省**：没有局部有限性，$\\sum \\rho_{i} = 1$ 只是一个「点态」的断言，逐点求和出来的函数未必连续。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.3" ] }, { "id": "prop.constant-sheaf-preserves-limits", "type": "proposition", "label": "常层函子保极限", "title": "命题：常（预）层函子 $\\Delta$ 保所有极限", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "命题", "常层", "极限", "拓扑斯" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site，$\\Delta : \\mathbf{Set} \\to \\widehat{\\mathcal{C}}$ 把集合 $E$ 送到**常预层**，$\\underline{(-)}$ 表示对应的**常层**。则：\n\n1. 若 $E = \\varprojlim_{i} E_{i}$ 是集合里的极限，则 $\\Delta E = \\varprojlim_{i}\\Delta E_{i}$；\n2. 同样地 $\\underline{E} = \\varprojlim_{i}\\underline{E_{i}}$ —— 常层函子也保极限。", "notes": "**证明。**\n**1.** 预层范畴里的极限与余极限是**逐点计算**的：$(\\varprojlim \\Delta E_{i})(X) = \\varprojlim (\\Delta E_{i})(X) = \\varprojlim E_{i} = E = (\\Delta E)(X)$，且这在 $X$ 上自然（转移映射都是恒等）✓。于是 $\\Delta E = \\varprojlim \\Delta E_{i}$ ✓。\n**2.** 常层函子可以写成 $\\underline{E} = a(\\Delta E)$（$a$ 是层化）。而 $\\Delta$ 还有一条更本质的刻画：**它有一个左伴随**，就是整体截面函子\n$$\\Gamma : \\mathcal{T} \\longrightarrow \\mathbf{Set}, \\qquad \\Gamma(F) = \\operatorname{Hom}(1, F) = F(*)$$\n（$1$ 是终对象）✓ —— 因为 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{T}}(1, \\Delta E) = E$ 给出自然双射 $\\Gamma \\dashv \\Delta$ ✓。**右伴随保极限**，所以 $\\Delta$ 保一切极限；再由「层范畴中的极限与预层范畴中的极限一致」（层范畴中的极限逐点算，层化在极限上是恒等）得 $\\underline{E} = \\varprojlim\\underline{E_{i}}$ ✓。∎\n\n⭐ 一句话：**「常」这个操作是右伴随，所以它把集合里的极限原样搬到层里。** 后面把 $E = \\varinjlim E_{i}$、$E \\times S$ 这类构造搬进凝聚态世界时，用的就是这条。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.2" ] }, { "id": "prop.ext-abelian-groups", "type": "proposition", "label": "阿贝尔群的 Ext", "title": "命题：$\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M,N) = 0$（$n \\ge 2$）与 $\\operatorname{Ext}^{1}(\\mathbb{Z}/k,\\,N) = N/kN$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 17, "tags": [ "命题", "Ext", "阿贝尔群", "自由消解" ], "statement": "取 $\\mathcal{A} = \\mathbf{Ab}$（阿贝尔群）。则\n\n1. 对任意阿贝尔群 $M, N$ 与一切 $n \\ge 2$：\n$$\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(M,\\ N) = 0, \\qquad \\operatorname{Ext}^{0}_{\\mathbb{Z}}(M,\\ N) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M,\\ N);$$\n2. 对 $k \\ge 1$：\n$$\\operatorname{Ext}^{1}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}/k\\mathbb{Z},\\ N\\bigr) \\;\\cong\\; N/kN, \\qquad \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}/k\\mathbb{Z},\\ N\\bigr) = N[k].$$\n\n（$N[k] := \\{n \\in N : kn = 0\\}$。）", "notes": "**证明。**\n**1.** 每个阿贝尔群都有**长度 2 的自由消解**：取满射 $\\mathbb{Z}^{(I)} \\twoheadrightarrow M$（由生成元集 $I$ 给出），它的核 $K$ 是自由阿贝尔群 $\\mathbb{Z}^{(I)}$ 的子群，**因而也自由**（$\\mathbb{Z}$ 是主理想整环，PID 上自由模的子模仍自由 ✓）。取 $\\mathbb{Z}^{(J)} \\twoheadrightarrow K$ 得\n$$0 \\longrightarrow \\mathbb{Z}^{(J)} \\longrightarrow \\mathbb{Z}^{(I)} \\longrightarrow M \\longrightarrow 0.$$\n只要有一条长度 2 的消解，就可以用它算 $\\operatorname{Ext}^{n}$：复形 $\\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}^{(\\bullet)}, N)$ 只在 $0$、$1$ 次非零，故上同调只在 $n = 0, 1$ 次可能出现：$\\operatorname{Ext}^{n}(M,N) = 0$（$n \\ge 2$）✓，且 $\\operatorname{Ext}^{0} = \\operatorname{Hom}(M,N)$ ✓。\n**2.** 用 $\\mathbb{Z}/k$ 的标准消解\n$$0 \\longrightarrow \\mathbb{Z} \\xrightarrow{\\ \\times k\\ } \\mathbb{Z} \\longrightarrow \\mathbb{Z}/k \\longrightarrow 0$$\n作用 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(-, N)$ 得长正合列\n$$0 \\to \\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}/k, N) \\to \\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}, N) \\xrightarrow{\\ (\\times k)^{*}\\ } \\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}, N) \\to \\operatorname{Ext}^{1}(\\mathbb{Z}/k, N) \\to \\underbrace{\\operatorname{Ext}^{1}(\\mathbb{Z}, N)}_{=\\,0} \\to \\cdots$$\n其中 $\\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}, N) \\cong N$、$(\\times k)^{*}$ 就是「乘 $k$」这个自同态 ✓（$\\operatorname{Ext}^{1}(\\mathbb{Z}, N) = 0$ 因为 $\\mathbb{Z}$ 投射）。于是\n$$\\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}/k, N) = \\ker(\\times k) = N[k], \\qquad \\operatorname{Ext}^{1}(\\mathbb{Z}/k, N) = \\operatorname{coker}(\\times k) = N/kN ✓$$\n∎\n\n⭐ 这两条合起来是一句话：**阿贝尔群的同调代数只有两层**（$n = 0$ 与 $n = 1$）。所以「高次 Ext」是只有换了范畴（层、凝聚态阿贝尔群）之后才会真正出现的现象 —— 后面整套凝聚态上同调做的正是这件事。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.2" ] }, { "id": "prop.ext-projective-vanishes", "type": "proposition", "label": "投射对象没有高次 Ext", "title": "命题：$P$ 投射 $\\implies \\operatorname{Ext}^{n}(P, M) = 0$（$n > 0$）", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 17, "tags": [ "命题", "Ext", "投射对象", "导出函子" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，$P \\in \\mathcal{A}$ 是**投射**对象，$M \\in \\mathcal{A}$ 任意。则\n\n$$\\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathcal{A}}(P,\\ M) = 0 \\qquad (n > 0), \\qquad \\operatorname{Ext}^{0}_{\\mathcal{A}}(P,\\ M) = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{A}}(P,\\ M).$$\n\n注意：这句话**不需要** $\\mathcal{A}$ 有足够多投射对象 —— $P$ 投射本身就给出 $P$ 的一条长度 $0$ 的投射消解。", "notes": "**证明。** $P$ **投射**意味着函子 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{A}}(P, -)$ **正合** ✓。而 $P$ 的投射消解可以取成\n$$\\cdots \\to 0 \\to 0 \\to P \\xrightarrow{\\ 1\\ } P \\to 0,$$\n即「长度 $0$ 的消解」（$P$ 自己就是投射的，不需要再找覆盖）✓。把 $\\operatorname{Hom}(P, -)$ 作用在 $M$ 的内射消解 $M \\to I^{\\bullet}$ 上：因为 $\\operatorname{Hom}(P,-)$ 正合、$M \\to I^{\\bullet}$ 正合，复形 $\\operatorname{Hom}(P, I^{\\bullet})$ 只可能在 $0$ 次有上同调 ✓，即\n$$R^{n}\\operatorname{Hom}(P, M) = \\operatorname{Ext}^{n}(P, M) = 0 \\quad (n > 0) ✓$$\n（也可以直接从 $\\operatorname{RHom}(P, M) = \\operatorname{Hom}(P, M)$ 这件事读出来：正合函子的右导出函子就是它自己。）∎\n\n⭐ 对偶地：**内射对象没有高次 Ext**（$\\operatorname{Ext}^{n}(M, I) = 0$，$n>0$）—— 这两条合起来就是「投射 / 内射对象可以拿来替代消解里的项」的全部理由。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.2" ] }, { "id": "prop.injective-iff-acyclic", "type": "proposition", "label": "内射与零调的等价", "title": "命题：内射 $\\iff$ 对一切左正合函子零调", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 16, "tags": [ "命题", "内射对象", "零调", "导出函子" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，$I \\in \\mathcal{A}$。则下列等价：\n\n1. $I$ 是**内射**对象；\n2. $I$ 对**一切左正合**加法函子 $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{A}'$ 都是 $F$-零调的；\n3. $I$ 对一切形如 $F = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{A}}(M, -)$ 的左正合函子都是 $F$-零调的。", "notes": "**证明。**\n$(1) \\implies (2)$：$I$ 内射时，$I$ 自己（连同恒等映射）就是一条**长度 $0$ 的内射消解** $0 \\to I \\xrightarrow{\\ 1\\ } I \\to 0$ ✓。用它算右导出函子：$RF(I) = F(I)$ 集中在 $0$ 次，故 $R^{n}F(I) = 0$（$n > 0$）✓，即 $I$ 是 $F$-零调的。\n$(2) \\implies (3)$：显然（$\\operatorname{Hom}(M,-)$ 是左正合的）。\n$(3) \\implies (1)$：对每个 $M$，$I$ 对 $\\operatorname{Hom}(M,-)$ 零调意味着 $R^{n}\\operatorname{Hom}(M, I) = \\operatorname{Ext}^{n}(M, I) = 0$（$n > 0$），特别地 $\\operatorname{Ext}^{1}_{\\mathcal{A}}(M, I) = 0$ 对一切 $M$ 成立 ✓。而由**内射判据**，$\\operatorname{Ext}^{1}_{\\mathcal{A}}(-, I) = 0$ 正是「$I$ 内射」的等价刻画（在阿贝尔范畴里，它等价于「每个单态射 $I \\rightarrowtail N$ 都有收缩」）✓。于是 $I$ 内射 ✓。∎\n\n⭐ 用途：验「内射」时可以从**任何**左正合函子那一侧下手 —— 而在凝聚态 / 层的情形里，最方便的左正合函子就是取截面 $\\Gamma(S, -)$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.2" ] }, { "id": "prop.cohomology-as-ext", "type": "proposition", "label": "上同调就是 Ext", "title": "命题：$H^{n}(X, M^{\\bullet}) \\cong \\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ M^{\\bullet})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "命题", "层上同调", "Ext", "拓扑斯" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯，$X \\in \\mathcal{T}$，$M^{\\bullet}$ 是 $\\mathcal{T}$ 中阿贝尔群的复形。则\n\n$$\\operatorname{R}\\Gamma(X,\\ M^{\\bullet}) \\;\\cong\\; \\operatorname{RHom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ M^{\\bullet}\\bigr), \\qquad H^{n}(X,\\ M^{\\bullet}) \\;\\cong\\; \\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ M^{\\bullet}\\bigr).$$", "notes": "**证明。** 关键在于这两个函子**本来是同一个函子**。由 $\\mathbb{Z}\\cdot X$ 的泛性质（它是自由对象：$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot X, M) = \\operatorname{Hom}(X, M)$）✓，\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ M\\bigr) \\;=\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{T}}\\bigl(X,\\ M\\bigr) \\;=\\; \\Gamma(X, M) = M(X) ✓$$\n即「取截面」函子与「$\\operatorname{Hom}(\\mathbb{Z}\\cdot X, -)$」逐字相同 ✓。右导出函子只依赖函子本身，故两者的右导出函子在导出范畴里同构：$\\operatorname{R}\\Gamma(X, -) \\cong \\operatorname{RHom}(\\mathbb{Z}\\cdot X, -)$ ✓；逐类取上同调就得到第二个同构 ✓。∎\n\n⭐ 这条是**两套语言之间的桥**：一边是几何味的「截面」（$\\Gamma(X,-)$），一边是代数味的「导出 Hom」。有了它，层上同调的一切计算都能翻译成导出范畴里的 Ext 计算 —— 反过来，Ext 的几何意义也清楚了：**它就是某个空间上的上同调**。\n\n📌 与「Stonean 上的截面公式」对照看：那条把 Ext 写成 $\\operatorname{Ext}^{n}(M \\cdot S, N)$，这条把 Ext 写成 $H^{n}(X, N)$，两条合起来正是「$H^{n}(X, N)$ 可以用 $\\mathbb{Z}\\cdot X$ 的消解来算」。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.3" ] }, { "id": "prop.presheaf-representable-acyclic", "type": "proposition", "label": "预层在可表示对象上没有高次上同调", "title": "命题：$H^{n}(h_{X}, M) = 0$（$n > 0$，预层情形）", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "命题", "预层", "上同调", "可表示" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是任意范畴、$\\widehat{\\mathcal{C}}$ 配标准拓扑，$X \\in \\mathcal{C}$、$M$ 是 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 上的阿贝尔**预层**。则\n\n$$H^{n}\\bigl(h_{X},\\ M\\bigr) = 0 \\qquad (n > 0).$$", "notes": "**证明。** 取截面函子 $\\Gamma(h_{X}, -)$：由 Yoneda 引理\n$$\\Gamma(h_{X}, M) = \\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}(h_{X}, M) = M(X) ✓$$\n而在**预层**范畴上，「逐点取值」$M \\mapsto M(X)$ 是**正合**的 ✓（预层的核、像、余核都逐点算；$M(X)$ 就是一个普通的阿贝尔群）。\n正合函子的右导出函子集中在 $0$ 次（用长度 $0$ 的「消解」$M \\to M$ 即可看出）✓，于是 $H^{n}(h_{X}, M) = R^{n}\\Gamma(h_{X}, M) = 0$（$n > 0$）✓。∎\n\n⭐ **为什么值得单独说**：因为这是「**层化为什么必要**」的最好说明 —— 在预层层面，可表示对象上根本没有高次上同调（一切正合）；一取层化，$\\mathbb{Z}\\cdot X$ 就不再是「取值」那个函子，高次才冒出来。层上同调的非平凡性，全部来自**层的范畴里正合性被打破**这一点。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.3" ] }, { "id": "prop.stone-clopen-refinement", "type": "proposition", "label": "Stone 空间的闭开加细", "title": "命题：Stone 空间的开覆盖有有限不交闭开加细", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 17, "tags": [ "命题", "Stone 空间", "闭开集", "加细" ], "statement": "设 $S$ 是 **Stone** 空间。则 $S$ 的**任何开覆盖都有有限的、两两不交的闭开加细**：存在有限族 $(C_{r})_{r \\le m}$ 使\n\n$$C_{r} \\text{ 闭开}, \\qquad C_{r} \\cap C_{s} = \\emptyset \\ (r \\ne s), \\qquad \\bigsqcup_{r} C_{r} = S,$$\n\n且每个 $C_{r}$ 都含在覆盖的某一支之中。", "notes": "**证明。** Stone 空间就是**投射有限**空间：$S = \\varprojlim_{i \\in I} S_{i}$，每个 $S_{i}$ 有限离散、转移映射满 ✓。于是\n$$\\bigl\\{\\, \\pi_{i}^{-1}(x) \\;:\\; i \\in I,\\ x \\in S_{i} \\,\\bigr\\}$$\n是 $S$ 的一组**闭开**集基，而且对 $i \\le j$ 有嵌套（$\\pi_{j}$ 的纤维含在 $\\pi_{i}$ 的纤维里）✓。\n**① 先取有限闭开子覆盖。** 给定开覆盖 $(U_{\\alpha})$：对每个 $s \\in S$ 取 $i(s)$ 与 $x := \\pi_{i(s)}(s)$，使\n$$D_{s} := \\pi_{i(s)}^{-1}(x) \\subseteq U_{\\alpha(s)}$$\n（用基的闭开性，取直径足够细的那一层）✓。$\\{D_{s}\\}$ 是开覆盖，而 $S$ **紧** $\\implies$ 抽出有限子覆盖 $D_{1}, \\ldots, D_{m}$ ✓。\n**② 再两两不交化。** 记 $D^{1}_{j} := D_{j}$、$D^{0}_{j} := S \\setminus D_{j}$，对每个 $\\varepsilon \\in \\{0,1\\}^{m}$ 取\n$$C_{\\varepsilon} := D^{\\varepsilon_{1}}_{1} \\cap \\cdots \\cap D^{\\varepsilon_{m}}_{m}.$$\n每个 $C_{\\varepsilon}$ 是闭开的（有限交、补）✓；不同 $\\varepsilon$ 的 $C_{\\varepsilon}$ **两两不交** ✓；它们**并为** $S$（每点属于唯一一个 $C_{\\varepsilon}$）✓。去掉空集，得到有限族 $(C_{r})$。\n**③ 每块含在某一支里。** 若 $C_{\\varepsilon} \\ne \\emptyset$，取 $s \\in C_{\\varepsilon}$；由 $\\{D_{j}\\}$ 覆盖 $S$，有 $j$ 使 $s \\in D_{j}$ —— 而 $s \\in D_{j}$ 说明 $\\varepsilon_{j} = 1$，于是\n$$C_{\\varepsilon} \\subseteq D_{j} \\subseteq U_{\\alpha(j)} ✓$$\n∎\n\n⭐ 用途：它把「开覆盖」换成「**有限不交闭开分划**」，于是可以**逐块定义、逐块拼起来**。§8.2 里「Stone 空间上 $C(S, M^{\\mathrm{disc}})$ 在 $C(S, M)$ 中稠密」用的就是这一条：在每一块上取一个常值，拼成局部常值函数。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.2" ] }, { "id": "prop.stalk-separated", "type": "proposition", "label": "茎与分离预层", "title": "命题：茎 $T_{x} = \\varinjlim_{U \\ni x}T(U)$ 与「分离」的茎刻画", "label_en": "stalk", "title_en": "stalk", "en_page": "nodes/prop.stalk-separated.en.md", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 17, "tags": [ "命题", "层", "茎", "分离预层" ], "statement": "设 $X$ 是拓扑空间，把 $x \\in X$ 看成连续映射 $x : 1 \\to X$（$1$ 是单点空间），它给出拓扑斯态射 $\\hat x : \\mathbf{Set} \\to \\operatorname{Sh}(X)$。则\n\n1. **拉回就是茎**：$\\hat x^{*}(T) = T_{x} := \\varinjlim_{U \\ni x} T(U)$（余极限沿 $x$ 的全体邻域取）；\n2. **推前是「在 $x$ 处取值」**：$\\hat x_{*}(E)$ 是层\n$$U \\longmapsto \\begin{cases} E, & x \\in U \\\\ \\emptyset, & x \\notin U \\end{cases}$$\n而 $\\hat x^{*}$ 的左伴随 $\\hat x_{!}$ 是同一形状的「**摩天楼层**」；\n3. **分离性的茎刻画**：预层 $T$ 是**分离的**（层条件里「单射」那一半：在某个覆盖的每支上限制相等 $\\implies$ 自身相等）$\\iff$ 对每个开集 $U$，映射\n$$T(U) \\longrightarrow \\prod_{x \\in U} T_{x}$$\n是**单射**。", "notes": "**证明。**\n**1.** 拓扑斯态射 $\\hat x = (\\hat x^{*}, \\hat x_{*})$ 的拉回是「在 $x$ 处的纤维」，而层在一点的纤维就是**茎** $T_{x} = \\varinjlim_{x \\in U} T(U)$ ✓（余极限沿 $x$ 的邻域取 —— 邻域按包含构成滤过范畴）。\n**2.** 验证伴随关系 $\\operatorname{Hom}(T, \\hat x_{*}E) \\cong \\operatorname{Hom}(\\hat x^{*}T, E)$：左边是一个自然变换，在 $U \\ni x$ 处给出 $T(U) \\to E$，相容性说明它们「在限制下对应同一个元素」✓；这样的相容族恰好是\n$$\\varprojlim_{U \\ni x} \\operatorname{Hom}\\bigl(T(U),\\ E\\bigr) \\;=\\; \\operatorname{Hom}\\Bigl(\\varinjlim_{U \\ni x} T(U),\\ E\\Bigr) \\;=\\; \\operatorname{Hom}(T_{x}, E) ✓$$\n（第一个等号是「反变的 Hom 把余极限送成极限」）。$x \\notin U$ 时该层取值 $\\emptyset$，覆盖上的相容族只能落在空集里 —— 不存在，故仍是层 ✓。左伴随 $\\hat x_{!}$ 同理（把 $E$ 摆在 $x$ 的邻域上，别处放空集）✓。\n**3.** $(\\Longrightarrow)$ 设 $s, t \\in T(U)$ 在每个茎里相等。对每个 $x \\in U$：$s$ 与 $t$ 在 $T_{x}$ 里相等，意味着存在开邻域 $U_{x} \\subseteq U$（$x \\in U_{x}$）使 $s|_{U_{x}} = t|_{U_{x}}$ ✓。$\\{U_{x}\\}_{x \\in U}$ 是 $U$ 的开覆盖，由**分离性**得 $s = t$ ✓。\n$(\\Longleftarrow)$ 反过来设 $s, t \\in T(U)$ 在某个开覆盖 $(U_{i})$ 的每支上相等。任取 $x \\in U$，取一支 $U_{i} \\ni x$，则 $s$ 与 $t$ 在 $x$ 的邻域 $U_{i}$ 上相等，故它们在茎 $T_{x}$ 里相等 ✓；这对一切 $x \\in U$ 成立，由单射性得 $s = t$ ✓。∎\n\n⭐ 一句话：**「分离」=「在每个点的茎里都相等就能推出整体相等」**。层比分离预层多的那一步（相容族的**粘合**）在茎里是看不出来的 —— 这正是「分离」与「层」的差别。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.4" ] }, { "id": "prop.left-exact-criterion", "type": "proposition", "label": "左正合性的判据", "title": "命题：$F$ 左正合 $\\iff$ $F$ 加法且保左正合列", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 14, "tags": [ "命题", "正合函子", "左正合", "加法函子" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}, \\mathcal{D}$ 是阿贝尔范畴，$F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 是函子。则\n\n$$F \\text{ 左正合} \\iff F \\text{ 加法，且把左正合列送到左正合列}.$$\n\n对偶地：$F$ 右正合 $\\iff$ $F$ 加法，且把右正合列送到右正合列。", "notes": "**证明。**\n**$(\\Longrightarrow)$** 左正合就是**保有限极限** ✓。保有限极限当然保有限积与核，于是：$F$ 保双积 $\\implies$ $F$ 加法（见「加法函子的刻画」）✓；而左正合列 $0 \\to M' \\to M \\to M''$ 本身就是一个有限极限图表，被 $F$ 送到同样的图表，即仍是左正合列 ✓。\n**$(\\Longleftarrow)$** 设 $F$ 加法且保左正合列。由「保有限积 + 保核 $\\implies$ 保所有有限极限」，只需证这两条 ✓：\n- **保核**：$0 \\to \\ker f \\xrightarrow{\\ i\\ } M \\xrightarrow{\\ f\\ } N$ 是左正合列 ✓，被送到左正合列 $0 \\to F(\\ker f) \\xrightarrow{\\ Fi\\ } FM \\xrightarrow{\\ Ff\\ } FN$，这正是 $F(\\ker f) \\cong \\ker(Ff)$ ✓；\n- **保有限积**：$0 \\to M \\xrightarrow{\\ i_{1}\\ } M \\oplus N \\xrightarrow{\\ p_{2}\\ } N$ 也是左正合列（$i_{1}$ 单、$\\operatorname{im}i_{1} = \\ker p_{2}$）✓，被送到左正合列 $0 \\to FM \\to F(M\\oplus N) \\to FN$；而 $F$ **加法**说明 $F$ 保双积、$Fi_{1}$ 就是第一个含入 ✓，于是 $F(M \\oplus N)$ 连同 $Fi_{1}, Fi_{2}$ 满足直和的三条等式（见「直和就是积」），即 $F(M\\oplus N) \\cong FM \\oplus FN$ ✓。\n两条合起来：$F$ 保有限积与核，从而保所有有限极限，即左正合 ✓。∎\n\n⭐ 这条把「左正合」拆成两件**逐项可查**的事：**加法**（看双积）与**保左正合列**（看具体的列）。实际验证函子左正合时用的就是这两把尺子。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.2" ] }, { "id": "prop.left-exact-iff-R0", "type": "proposition", "label": "左正合性与 R⁰", "title": "命题：$F$ 左正合 $\\iff$ $R^{0}F \\cong F$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 14, "tags": [ "命题", "导出函子", "左正合", "内射消解" ], "statement": "设 $\\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴（有足够多内射）、$\\mathcal{A}'$ 是阿贝尔范畴，$F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{A}'$ 是**加法**函子。则\n\n$$F \\text{ 左正合} \\iff \\forall M \\in \\mathcal{A}:\\ R^{0}F(M) \\cong F(M).$$\n\n对偶地（有足够多投射时）：$F$ 右正合 $\\iff L_{0}F \\cong F$。", "notes": "**证明。**\n**$(\\Longrightarrow)$** 取 $M$ 的一条内射消解 $0 \\to M \\xrightarrow{\\ \\varepsilon\\ } I^{0} \\xrightarrow{\\ d^{0}\\ } I^{1} \\to \\cdots$ ✓。$F$ **左正合**，所以它把上半段正合列送到正合列\n$$0 \\longrightarrow FM \\xrightarrow{\\ F\\varepsilon\\ } FI^{0} \\xrightarrow{\\ Fd^{0}\\ } FI^{1} ✓$$\n于是由 $R^{0}F(M) = H^{0}(FI^{\\bullet})$ 的定义\n$$R^{0}F(M) = \\ker(Fd^{0}) = \\operatorname{im}(F\\varepsilon) \\cong FM ✓$$\n**$(\\Longleftarrow)$** 设 $R^{0}F \\cong F$。短正合列 $0 \\to M' \\to M \\to M'' \\to 0$ 的长正合列开头是\n$$0 \\to R^{0}F(M') \\to R^{0}F(M) \\to R^{0}F(M'') \\to R^{1}F(M') \\to \\cdots$$\n用 $R^{0}F \\cong F$ 换掉前三项，得到 $0 \\to FM' \\to FM \\to FM''$ **正合** ✓，即 $F$ 左正合 ✓。∎\n\n⭐ 一句话：**左正合性可以只用 $0$ 次导出函子来检验**。反过来，这也解释了为什么「$R^{0}F = F$」在导出函子的记号里被当成左正合的默认性质。\n\n⚠️ 前提「$F$ 加法」不能省：非加法函子的导出函子没有意义（导出函子是在加法范畴的复形上定义的）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.2" ] }, { "id": "prop.chaus-two-term-resolution", "type": "proposition", "label": "紧阿贝尔群的两项消解", "title": "命题：紧 Hausdorff 阿贝尔群有两项连通消解", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 19, "tags": [ "命题", "Pontryagin 对偶", "紧阿贝尔群", "连通" ], "statement": "设 $M$ 是**紧 Hausdorff 阿贝尔群**。则存在短正合列（一个「两项消解」）\n\n$$0 \\longrightarrow M \\longrightarrow M_{0} \\longrightarrow M_{1} \\longrightarrow 0$$\n\n其中 $M_{0}$、$M_{1}$ 都是**连通的**紧 Hausdorff 阿贝尔群。", "notes": "**证明（对偶过去再对偶回来）。** 记 $\\widehat{M} = \\operatorname{Hom}_{\\mathrm{cts}}(M, T)$ 为 Pontryagin 对偶（$T = \\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$），由 Pontryagin–van Kampen 对偶，$M$ 紧 $\\iff$ $\\widehat{M}$ **离散** ✓。\n**① 对离散的一侧造一个满射。** 取 $\\widehat{M}$ 的一组生成元 $(e_{i})_{i \\in I}$，得满射\n$$\\mathbb{Z}^{(I)} \\twoheadrightarrow \\widehat{M} ✓$$\n（自由离散群是离散群的投射覆盖。）\n**② 对偶回来。** Pontryagin 对偶把满射换成**单态射**、把自由离散群 $\\mathbb{Z}^{(I)}$ 换成 $T^{I}$ ✓，于是\n$$M \\hookrightarrow T^{I}, \\qquad M_{0} := T^{I} \\text{ 连通（$T$ 连通，连通空间的积连通）}\\;\\checkmark$$\n**③ 商也是连通的。** 令 $M_{1} := M_{0}/M$。对偶这条短正合列\n$$0 \\to M \\to M_{0} \\to M_{1} \\to 0 \\quad\\leadsto\\quad 0 \\to \\widehat{M_{1}} \\to \\mathbb{Z}^{(I)} \\to \\widehat{M} \\to 0,$$\n其中 $\\widehat{M_{1}}$ 是自由离散群 $\\mathbb{Z}^{(I)}$ 的**子群**，因而本身也是**自由离散群** $\\cong \\mathbb{Z}^{(J)}$ ✓（PID 上自由模的子模自由）。再对偶回来：$M_{1} \\cong T^{J}$ ✓ —— 连通（并紧）✓。\n两部分合起来就是所求的两项消解 ✓。∎\n\n⭐ 用处：把「**紧**阿贝尔群」化归成「**连通紧**阿贝尔群」。例如算 $\\operatorname{RHom}$ 时，中间项与右端项都是连通的，于是可以用连通情形的结论（连通时只剩 $0$ 次与 $1$ 次 Ext）把高次 Ext 一次性掐掉。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §6.2" ] }, { "id": "thm.equivalence-criterion", "type": "theorem", "label": "等价函子的判据", "title": "定理：$F$ 是等价 $\\iff$ $F$ 全忠实且本质满", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 11, "tags": [ "定理", "范畴等价", "全忠实", "本质满", "伪逆" ], "statement": "函子 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 是**范畴等价** $\\iff$ $F$ **全忠实**且**本质满**。\n\n也就是说：$F$ 有伪逆 $\\iff$ 它在每对 Hom 集上是双射，且像**同构于**每个对象。", "notes": "**证明。**\n**$(\\Longleftarrow)$** 设 $F$ 全忠实、本质满。对每个 $X' \\in \\mathcal{C}'$ 选一个 $G(X') \\in \\mathcal{C}$ 与一个同构\n$$\\varphi_{X'} : F\\bigl(G(X')\\bigr) \\longrightarrow X'$$\n（本质满给出存在性，选择公理给出这一族的选择）✓。\n对 $f' : X' \\to Y'$，令 $G(f') : G(X') \\to G(Y')$ 是**唯一**使\n$$F\\bigl(G(f')\\bigr) = \\varphi_{Y'}^{-1} \\circ f' \\circ \\varphi_{X'}$$\n的态射 —— $F$ 全忠实，这样的态射存在且唯一 ✓。这样定义的 $G$ 保恒等与复合（两边都过了 $F$，再全忠实即得）✓，所以 $G$ 是函子。\n由构造，$\\varphi : F \\circ G \\implies 1_{\\mathcal{C}'}$ 是自然同构 ✓。另一侧：每个 $X$ 处 $\\varphi_{F(X)}^{-1} : F(X) \\to F\\bigl(GF(X)\\bigr)$ 在全忠实之下来自唯一的 $\\psi_{X} : X \\to GF(X)$，而 $\\psi$ 自然（自然性同样过 $F$ 检验，由 $\\varphi$ 的自然性得到）✓，于是 $\\psi : 1_{\\mathcal{C}} \\implies G \\circ F$ 也是自然同构 ✓。\n**$(\\Longrightarrow)$** 设 $F$ 有伪逆 $G$，即 $F G \\cong 1_{\\mathcal{C}'}$、$G F \\cong 1_{\\mathcal{C}}$。\n- **本质满**：$X' \\cong F\\bigl(G(X')\\bigr)$ ✓；\n- **全忠实**：$\\operatorname{Hom}(X, Y) \\xrightarrow{\\ F\\ } \\operatorname{Hom}(FX, FY)$ 的逆由\n$$\\operatorname{Hom}(FX, FY) \\xrightarrow{\\ G\\ } \\operatorname{Hom}(GFX, GFY) \\cong \\operatorname{Hom}(X, Y)$$\n给出（最后一步用 $GF \\cong 1_{\\mathcal{C}}$ 的自然性）✓。∎\n\n⭐ 这条把「两个范畴一样」这件含糊的事换成两条**可以逐项检查**的判据：Hom 集上是双射（全忠实）、像覆盖到同构（本质满）。\n\n⚠️ 两条缺一不可：全忠实但不本质满的函子（例如 $\\mathbf{Set}$ 里单点满子范畴的含入）不是等价；本质满但不忠实的函子也不是。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Theorem 1.2.4" ] }, { "id": "prop.kan-extension-adjoint", "type": "proposition", "label": "Kan 延拓与伴随的存在性", "title": "命题：$p^{-1}$ 有左伴随 $\\iff$ 沿 $p$ 的 Kan 延拓都存在", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 11, "tags": [ "命题", "Kan 延拓", "伴随", "预复合函子" ], "statement": "设 $p : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 是小范畴之间的函子，$\\mathcal{D}$ 是范畴。则**预复合函子**\n\n$$p^{-1} : \\operatorname{Hom}(\\mathcal{C}', \\mathcal{D}) \\longrightarrow \\operatorname{Hom}(\\mathcal{C}, \\mathcal{D}), \\qquad G \\longmapsto G \\circ p$$\n\n有**左伴随** $p_{!}$ $\\iff$ **沿 $p$ 的、取值在 $\\mathcal{D}$ 中的左 Kan 延拓总存在**。\n\n对偶地：$p^{-1}$ 有右伴随 $p_{*}$ $\\iff$ 右 Kan 延拓总存在。", "notes": "**证明。** 两边逐字对照即可。\n「$p^{-1}$ 有左伴随 $p_{!}$」说的是：对每个 $F \\in \\operatorname{Hom}(\\mathcal{C}, \\mathcal{D})$ 存在 $p_{!}F \\in \\operatorname{Hom}(\\mathcal{C}', \\mathcal{D})$ 与自然同构\n$$\\operatorname{Hom}\\bigl(p_{!}F,\\ G\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}\\bigl(F,\\ p^{-1}G\\bigr) = \\operatorname{Hom}\\bigl(F,\\ G \\circ p\\bigr).$$\n右边的数据正是「$F$ 沿 $p$ 的左 Kan 延拓」的定义（泛性质）✓：伴随的**单位** $\\eta_{F} : F \\implies p_{!}F \\circ p$ 就是定义里的那条 $\\alpha$，而同构本身给出 $\\alpha$ 的泛性质 ✓。\n所以「每个 $F$ 都有左 Kan 延拓」与「$p^{-1}$ 有左伴随」是同一句话；对偶地把箭头反过来即得右 Kan 延拓那一条 ✓。∎\n\n⭐ 读法：**Kan 延拓不是新东西，它就是预复合函子的伴随**。这一条把「到处都要用 Kan 延拓」与「到处都要用伴随」两套话合成了一套。\n\n⚠️ 命题本身**不保证存在**，它只说「伴随」与「Kan 延拓」同生同死；存在性要另加条件（见「有余极限时 Kan 延拓总存在」）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Proposition 1.5.10" ] }, { "id": "prop.kan-extension-exists", "type": "proposition", "label": "有余极限时 Kan 延拓总存在", "title": "命题：$\\mathcal{D}$ 有余极限 $\\implies$ 沿 $p$ 的左 Kan 延拓总存在", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 13, "tags": [ "命题", "Kan 延拓", "余极限", "逗号范畴", "逐点公式" ], "statement": "若 $\\mathcal{D}$ 有**所有小余极限**，则任意 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 沿任意 $p : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 的**左 Kan 延拓总存在**，并可由**逐点公式**算出：\n\n$$(p_{!}F)(X') \\;=\\; \\varinjlim_{p(X) \\to X'} F(X),$$\n\n其中的余极限沿**逗号范畴** $p \\downarrow X'$ 取（对象是形如 $p(X) \\to X'$ 的态射）。\n\n对偶地：$\\mathcal{D}$ 有所有小极限 $\\implies$ 右 Kan 延拓总存在，$(p_{*}F)(X') = \\varprojlim_{X' \\to p(X)} F(X)$。", "notes": "**证明。**\n**（一）造 $p_{!}F$ 在对象上的值。** 对每个 $X' \\in \\mathcal{C}'$，逗号范畴 $p \\downarrow X'$ 的对象是 $(X, f : p(X) \\to X')$，态射是使 $f' \\circ p(u) = f$ 的 $u : X \\to X'$。这一族 $\\{F(X)\\}$ 连同「$u$ 给出 $F(u) : F(X) \\to F(X')$」构成一个余锥，取其余极限就得到 $(p_{!}F)(X')$ ✓。\n**（二）在态射上的值。** 给定 $u' : X' \\to Y'$，把 $X'$ 处的余锥沿 $u'$ 推前（$(X, f) \\mapsto (X, u' \\circ f)$）得 $Y'$ 处的余锥，泛性质给出 $(p_{!}F)(u')$ ✓，函子性由泛性质中的唯一性得到 ✓。\n**（三）那条自然变换 $\\alpha : F \\implies p_{!}F \\circ p$。** 在 $X$ 处取 $p(X) \\xrightarrow{\\ 1\\ } p(X)$ 对应的那条腿 $F(X) \\to (p_{!}F)\\bigl(p(X)\\bigr)$ ✓。\n**（四）泛性质。** 设 $G : \\mathcal{C}' \\to \\mathcal{D}$ 与 $\\gamma : F \\implies G \\circ p$。在 $X'$ 处，$\\{\\gamma_{X} \\text{ 后接 } G(f) : F(X) \\to G(X')\\}_{f : p(X) \\to X'}$ 是 $G(X')$ 里的一个余锥，于是得唯一的 $\\widetilde{\\gamma}_{X'} : (p_{!}F)(X') \\to G(X')$ ✓；唯一性来自余极限的泛性质，自然性两边都是余锥的映射，逐点验证即可 ✓。\n于是 $\\operatorname{Hom}(p_{!}F, G) \\cong \\operatorname{Hom}(F, G \\circ p)$ ✓，即 $p_{!} \\dashv p^{-1}$ ✓。∎\n\n⭐ 用处：**预层范畴的完备性/余完备性把 Kan 延拓变成自动的**。取 $\\mathcal{D} = \\mathbf{Set}$ 就得到「任何函子在预层范畴之间都诱导一对伴随」—— 这正是「任意函子诱导拓扑斯态射」的引擎。\n\n⚠️ 公式里的余极限**不能随手换成「沿 $\\mathcal{C}$ 取」**：索引范畴是逗号范畴 $p \\downarrow X'$，它的对象会随 $X'$ 变化。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Proposition 1.5.11" ] }, { "id": "thm.presheaf-limits-colimits", "type": "theorem", "label": "预层范畴的极限与余极限", "title": "定理：$\\widehat{\\mathcal{C}}$ 里极限余极限都存在，而且逐点算", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 11, "tags": [ "定理", "预层范畴", "逐点", "完备", "余完备" ], "statement": "预层范畴 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 里**所有小极限与小余极限都存在**，而且都是**逐点**算的：对每个 $X \\in \\mathcal{C}$，\n\n$$\\Bigl(\\varinjlim_{i} T_{i}\\Bigr)(X) \\;\\cong\\; \\varinjlim_{i} T_{i}(X), \\qquad \\Bigl(\\varprojlim_{i} T_{i}\\Bigr)(X) \\;\\cong\\; \\varprojlim_{i} T_{i}(X).$$\n\n等价的说法：对每个 $X$，**求值函子** $\\widehat{\\mathcal{C}} \\to \\mathbf{Set}$，$T \\mapsto T(X)$，**既保所有极限也保所有余极限**。", "notes": "**证明。** 分两步。\n**（一）逐点定义确实给出极限（余极限）。** 在 $\\mathbf{Set}$ 里对每个 $X \\in \\mathcal{C}$ 取那族集合的极限（或余极限）；对态射 $f : Y \\to X$，限制映射 $\\bigl(\\varprojlim T_i\\bigr)(X) \\to \\bigl(\\varprojlim T_i\\bigr)(Y)$ 由极限的泛性质给出（余极限那一侧由余极限的泛性质给出）✓。这样得到的预层连同逐点给出的锥（余锥）满足泛性质：一个锥到 $\\varprojlim T_i$ 的映射在每一点 $X$ 处都唯一确定，而泛性质是**逐点**陈述的，所以在每一点成立就在整体成立 ✓。\n**（二）$\\mathbf{Set}$ 完备且余完备。**\n- **小极限存在**：小积存在（选择公理给出选择函数的集合）；等化子存在（$\\{x : f(x) = g(x)\\}$ 是子集）；而**极限由积与等化子造**，所以所有小极限存在 ✓。\n- **小余极限存在**：小余积是不交并；余等化子是商集；对偶地所有小余极限存在 ✓。\n两步合起来：对每个 $X$ 逐点取 $\\mathbf{Set}$ 里的极限（余极限）得到 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 里的极限（余极限）✓，而「求值函子保极限余极限」就是「逐点算」的另一种说法 ✓。∎\n\n⭐ 这是后面几乎所有构造的**地基**：预层范畴的好处正是「极限余极限不花钱」，于是在它里面可以做各种形式构造，再把结果层化回去。\n\n⚠️ 「逐点算」只对**极限与余极限**成立，不对一般的东西成立 —— 层化、内 Hom、层上同调都不是逐点的。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Theorem 3.1.2" ] }, { "id": "def.associated-sheaf", "type": "definition", "label": "关联层", "title": "定义：$X^{\\sharp} := h_{X}^{\\#}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "定义", "关联层", "层化", "米田嵌入", "左正合" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site，$X \\in \\mathcal{C}$。**关联层**（associated sheaf）是「先米田嵌入、再层化」：\n\n$$X^{\\sharp} \\;:=\\; h_{X}^{\\#}, \\qquad h_{X} = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, X).$$\n\n它由一条**万有性质**刻画：对任何层 $F$，\n\n$$\\operatorname{Hom}\\bigl(X^{\\sharp},\\ F\\bigr) \\;\\cong\\; F(X).$$", "notes": "**这个同构怎么来的。** 层化 $(-)^{\\#}$ 与含入 $\\widehat{\\mathcal{C}}^{\\#} \\hookrightarrow \\widehat{\\mathcal{C}}$ 互为伴随，所以\n\n$$\\operatorname{Hom}\\bigl(h_{X}^{\\#},\\ F\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}(h_{X}, F) \\cong F(X),$$\n\n最后一步是米田引理 ✓。\n\n⭐ **用处**：它给出「把 $\\mathcal{C}$ 的对象当成层看」的规范做法 $X \\mapsto X^{\\sharp}$。当拓扑**次标准**时 $h_{X}$ 本来就是层，于是 $X^{\\sharp} = h_{X}$，米田嵌入直接经过层范畴 ✓（这也是「次标准」最常用的等价说法）。\n\n⚠️ 这个函子**左正合**（米田嵌入保极限、层化也左正合），但一般**不忠实**，也不保余极限与无穷极限：层化会把「同一个对象的不同预层描述」粘起来。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Definition 3.2.10" ] }, { "id": "thm.induced-topos-morphism", "type": "theorem", "label": "任意函子诱导拓扑斯态射", "title": "定理：$\\hat{g}_{!} \\dashv \\hat{g}^{-1} \\dashv \\hat{g}_{*}$，于是 $\\hat{g}$ 是拓扑斯的态射", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 18, "tags": [ "定理", "拓扑斯态射", "预层范畴", "左伴随", "右伴随" ], "statement": "设 $g : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 是任意函子。则预复合\n\n$$\\hat{g}^{-1} : \\widehat{\\mathcal{C}'} \\longrightarrow \\widehat{\\mathcal{C}}, \\qquad T' \\longmapsto T' \\circ g^{\\mathrm{op}}$$\n\n**既有一个左伴随 $\\hat{g}_{!}$，又有一个右伴随 $\\hat{g}_{*}$**。特别地 $\\hat{g}^{-1}$ 正合，于是\n\n$$\\hat{g} : \\widehat{\\mathcal{C}} \\longrightarrow \\widehat{\\mathcal{C}'}, \\qquad \\hat{g}^{*} := \\hat{g}^{-1} \\ \\dashv\\ \\hat{g}_{*}$$\n\n是拓扑斯的态射。也就是说，**任意函子都诱导预层范畴之间的态射**，方向与 $g$ 相反。", "notes": "⭐ 一句话读法：$g$ 只是范畴之间的一条箭头，可是一旦取预层范畴，它自动长出**两边**的伴随 —— 左边 $\\hat{g}_{!}$ 与右边 $\\hat{g}_{*}$。于是「函子」到了预层这一层就升级成「拓扑斯态射」。\n\n⚠️ 方向容易记反：$g : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 而 $\\hat{g} : \\widehat{\\mathcal{C}} \\to \\widehat{\\mathcal{C}'}$，**推前** $\\hat{g}_{*}$ 沿 $g$ 的方向走、**拉回** $\\hat{g}^{-1}$ 反着走。\n\n📌 这条是「拓扑空间 / site 之间的映射给出拓扑斯态射」的一般引擎；它在第 4 章被用来把 $\\mathbf{CHaus}$ 上的层与更小 site 上的层对齐。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Theorem 3.4.2, Corollary 3.4.3" ] }, { "id": "cor.cond-ktop-finite-products", "type": "corollary", "label": "底空间保有限积", "title": "推论：$(X \\times Y)(\\cdot) \\;\\cong\\; k\\bigl(X(\\cdot) \\times Y(\\cdot)\\bigr)$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 18, "tags": [ "推论", "凝聚态集", "底空间", "紧生成", "有限积" ], "statement": "函子 $\\mathrm{Cond} \\to k\\mathbf{Top}$，$X \\mapsto X(\\cdot)$，**保有限积**：对任意 $X, Y \\in \\mathrm{Cond}$，\n\n$$(X \\times Y)(\\cdot) \\;\\cong\\; k\\bigl(X(\\cdot) \\times Y(\\cdot)\\bigr).$$\n\n（右端必须先 $k$-化：$\\mathbf{Top}$ 里那个积一般是紧生成的。）", "notes": "⭐ **为什么重要**：它说明「凝聚态集 $\\mapsto$ 底拓扑空间」这个函子**不破坏有限积**，所以 $\\mathrm{Cond}$ 里算出来的积，落到空间上还是那个积（取 $k$-化后）。这是把 $\\mathrm{Cond}$ 里的代数构造翻译回拓扑构造时最常用的一步。\n\n⚠️ 换成 $\\mathbf{Top}$（不取 $k$-化）就**不再成立** —— 根子在 $\\mathbf{Top}$ 不是笛卡尔闭的。\n\n📌 例：$S \\times X(\\cdot) \\cong (S \\times X)(\\cdot)$ 这类投影公式（$S$ 局部紧 Hausdorff）就是同一条道理的另一副面孔。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Corollary 4.2.7" ] }, { "id": "def.resolution", "type": "definition", "label": "消解", "title": "定义：左/右消解、投射/内射消解", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.cohomology", "layer": 15, "tags": [ "定义", "消解", "内射消解", "投射消解", "拟同构" ], "statement": "设 $f : K^{\\bullet} \\to L^{\\bullet}$ 是复形之间的**拟同构**，就说 $L^{\\bullet}$ 是 $K^{\\bullet}$ 的一个**右消解**（right resolution，也叫 replacement）；若每个 $L^{n}$ 都是**内射**对象，就叫**内射消解**。\n\n把箭头反过来（即到 $\\mathcal{A}^{\\mathrm{op}}$ 里去取同样的定义），得到**左消解**；若每个 $L^{n}$ 都是**投射**对象，就叫**投射消解**。", "notes": "**为什么要「消解」。** 导出函子要拿**好算**的复形去算：内射对象上任何加法函子的高次导出函子为零，所以用内射消解算 $R^{n}F$ 时，只需取 $F$ 再算同调 —— 这就是「消解」的全部意义 ✓。\n\n⚠️ 名字说的是**复形朝哪一侧延伸**（右消解朝高次方向延伸），**不是**箭头的方向：箭头始终是 $K^{\\bullet} \\to L^{\\bullet}$。反过来的箭头叫左消解。\n\n**存在性**：有足够多内射时，每个下有界复形都有内射消解（逐次把核嵌入内射对象）✓；对偶地，有足够多投射时每个上有界复形都有投射消解 ✓。\n\n**例**：自由阿贝尔群层拼出的 $\\mathbb{Z}\\cdot X_{\\bullet} \\to \\mathbb{Z}\\cdot X$ 是一条**投射**消解（见「覆盖给出的自由复形零调」）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Definition 7.1.20" ] }, { "id": "prop.bicomplex-spectral", "type": "proposition", "label": "双复形给出谱序列", "title": "命题：下有界双复形 $\\implies$ $E^{0}_{p,q} = K^{p,q} \\Longrightarrow H^{p+q}(K^{\\bullet})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 18, "tags": [ "命题", "双复形", "谱序列", "全复形", "下有界" ], "statement": "设 $K^{\\bullet,\\bullet}$ 是双复形，且在**两个方向上都下有界**。则存在谱序列\n\n$$E^{0}_{p,q} \\;=\\; K^{p,q} \\;\\Longrightarrow\\; H^{p+q}(K^{\\bullet}),$$\n\n其中 $K^{\\bullet}$ 是**全复形** $K^{n} := \\bigoplus_{p+q=n} K^{p,q}$，微分为 $d + d'$（带符号）。", "notes": "⭐ **下一页就是「逐行算完再逐列算」**：沿竖直方向取同调得\n\n$$E^{1}_{p,q} \\;=\\; H^{q}\\bigl(K^{p,\\bullet}\\bigr),$$\n\n再沿水平方向取同调得 $E^{2}$ 页。谱序列说的就是：这两步走完的结果，最终收敛到全复形的同调 $H^{p+q}(K^{\\bullet})$ ✓。\n\n⭐ 典型用法：把「一个复形作内射消解」自然得到的双复形按这条取谱序列，就得到 **Grothendieck 谱序列**；按另一种过滤（先横后竖）则得到 Cartan–Eilenberg 那一套分解 ✓。\n\n⚠️ **下有界**不能省：谱序列在无界情形要额外讨论收敛（一般要用 $\\varprojlim$ 的整套语言）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Proposition 7.2.18" ] }, { "id": "lem.covering-free-acyclic", "type": "lemma", "label": "覆盖给出的自由复形零调", "title": "引理：$X = (X_{i} \\to X)$ 是覆盖 $\\implies$ $\\mathbb{Z}\\cdot X_{\\bullet}$ 零调", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 19, "tags": [ "引理", "覆盖", "自由复形", "零调", "Čech 脉", "层化" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯，$X = (X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 是 $\\mathcal{T}$ 中的一个**覆盖**（即 $\\coprod_{i} X_{i} \\to X$ 是满态射）。记它的 **Čech 脉**为\n\n$$X_{n} \\;:=\\; \\coprod_{i_{0}, \\ldots, i_{n}} X_{i_{0}} \\times_{X} \\cdots \\times_{X} X_{i_{n}},$$\n\n则增广复形 $\\mathbb{Z}\\cdot X_{\\bullet} \\to \\mathbb{Z}\\cdot X$ **零调**：\n\n$$H^{n}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X_{\\bullet}\\bigr) = 0 \\qquad (n \\ge 0).$$\n\n这里 $\\mathbb{Z}\\cdot X$ 是 $X$ 生成的**自由阿贝尔群层**。", "notes": "⭐ **用处**：它说 $\\mathbb{Z}\\cdot X_{\\bullet} \\to \\mathbb{Z}\\cdot X$ 是一条**自由（因而是投射）消解**。于是「用 Čech 复形算上同调」有了依据 —— $\\check{C}^{\\bullet}(X, M) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot X_{\\bullet}, M)$ 确实是在拿一条投射消解算 $\\operatorname{RHom}$ ✓（见「Čech 上同调是沿覆盖筛的余极限」）。\n\n⚠️ 注意「覆盖」在这里是**整族** $(X_{i} \\to X)$：零调说的是整条 Čech 脉，而不只是某一个 $X_{i}$。\n\n📌 这条与「带截面的覆盖上 Čech 零调」的关系是：**后者是前者证明里最硬的那一步**（有截面时能写出显式同伦），前者再靠「逐点 + 层化」把截面推广成任意覆盖。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Lemma 7.3.2" ] }, { "id": "cor.cech-cohomology-spectral", "type": "corollary", "label": "Čech 到上同调的谱序列", "title": "推论：$\\check{H}^{p}\\bigl(X, H^{q}(M)\\bigr) \\Longrightarrow H^{p+q}(X, M)$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 19, "tags": [ "推论", "Čech 上同调", "层上同调", "谱序列", "滤过余极限" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是有纤维积的 site、$X \\in \\mathcal{C}$、$M$ 是 $\\mathcal{C}$ 上的**阿贝尔层**。则存在谱序列\n\n$$E^{p,q}_{2} \\;=\\; \\check{H}^{p}\\bigl(X,\\ H^{q}(M)\\bigr) \\;\\Longrightarrow\\; H^{p+q}(X,\\ M),$$\n\n其中 $H^{q}(M)$ 记预层 $U \\mapsto H^{q}(U, M)$，而 $\\check{H}^{p}(X, -)$ 是沿覆盖取滤过余极限的 Čech 上同调。", "notes": "⭐ **用处**：这是「用 Čech 上同调算层上同调」的一般依据。要让两者直接**相等**（而不只是被一条谱序列联系），只要再要求高次 Čech 群在 $E_{2}$ 页退化 —— 这正是「无环 $\\iff$ Čech 上同调为零」的证明里用的那一步 ✓。\n\n⚠️ 与 Cartan–Leray 那条谱序列的区别：那条**固定一个覆盖** $\\mathfrak{X}$；这条把所有覆盖都取了余极限，所以左端可以直接写成 $\\check{H}^{p}(X, \\cdot)$。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Corollary 7.3.8" ] }, { "id": "def.free-abelian-sheaf", "type": "definition", "label": "自由阿贝尔群层", "title": "定义：$\\mathbb{Z}\\cdot X$，遗忘函子的左伴随", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 17, "tags": [ "定义", "自由对象", "阿贝尔层", "左伴随", "Z[X]" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯。遗忘函子\n\n$$\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab}) \\longrightarrow \\mathcal{T}$$\n\n（把阿贝尔层忘成底集合层）有**左伴随**，记作\n\n$$\\mathbb{Z}\\cdot(-) : \\mathcal{T} \\longrightarrow \\mathcal{T}(\\mathbf{Ab}), \\qquad X \\longmapsto \\mathbb{Z}\\cdot X \\quad (\\text{也记 } \\mathbb{Z}[X]),$$\n\n它由**万有性质**刻画：对 $X \\in \\mathcal{T}$ 与 $M \\in \\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$，\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ M\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{T}}(X,\\ M) = M(X).$$", "notes": "**怎么造。** 先逐点自由化、再层化：把 $X$ 看成预层，取预层 $U \\mapsto \\mathbb{Z}\\cdot X(U)$（逐点自由阿贝尔群），再层化：\n\n$$\\mathbb{Z}\\cdot X \\;:=\\; \\bigl(U \\mapsto \\mathbb{Z}\\cdot X(U)\\bigr)^{\\#}.$$\n\n**为什么这就对。** 预层那一层是逐点的：函子范畴里的伴随逐点造，而 $\\mathbf{Ab} \\to \\mathbf{Set}$ 的遗忘函子有左伴随 $E \\mapsto \\mathbb{Z}\\cdot E$（自由阿贝尔群）✓，于是 $\\widehat{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab}) \\to \\widehat{\\mathcal{C}}$ 的左伴随即逐点自由 ✓。到层这一层，用「层化 $\\dashv$ 含入」把伴随传下去 ✓：\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ M\\bigr) = \\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab})}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ M\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}(X,\\ M) = M(X) ✓$$\n\n（$M$ 本身是层，所以在预层那边的 Hom 与层这边的 Hom 一样）。∎\n\n⭐ **用处**：$\\mathbb{Z}\\cdot X$ 是「把一个空间/层当自由生成元看」的装置。Čech 复形就是 $\\check{C}^{\\bullet}(X, M) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot X_{\\bullet}, M)$；层上同调则是 $H^{n}(X, M) = \\operatorname{Ext}^{n}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot X, M)$ ✓。\n\n⚠️ **一般不是逐点算的**：层化会改动取值，「逐点自由再层化」与「自由」只有在层条件不碍事的时候才重合。\n\n📌 例：$\\mathbb{Z}\\cdot \\mathbf{1} \\cong \\mathbb{Z}$（常层）；$\\mathbb{Z}\\cdot X$ 永远是**投射**对象的候选（它是自由的）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 5.18, Exercise 5.24" ] }, { "id": "prop.image-kernel-cokernel", "type": "proposition", "label": "像就是余核的核", "title": "命题：$\\operatorname{im} f = \\ker(\\operatorname{coker} f)$，每个态射都严格", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 17, "tags": [ "命题", "阿贝尔范畴", "像", "余像", "严格态射" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是阿贝尔范畴，$f : M \\to N$。则\n\n$$\\operatorname{im} f \\;=\\; \\ker\\bigl(N \\longrightarrow \\operatorname{coker} f\\bigr), \\qquad \\operatorname{coim} f \\;=\\; \\operatorname{coker}\\bigl(\\ker f \\longrightarrow M\\bigr).$$\n\n特别地典范态射 $\\operatorname{coim} f \\to \\operatorname{im} f$ 是同构 —— **阿贝尔范畴里每个态射都是严格的**。", "notes": "**证明（两条基本事实：阿贝尔范畴里每个单态射都是它余核的核、每个满态射都是它核的余核）。**\n记 $m := \\ker\\bigl(N \\to \\operatorname{coker} f\\bigr)$，它按定义是单态射 ✓。\n**（一）$f$ 穿过 $m$。** 因为 $(\\operatorname{coker} f) \\circ f = 0$ ✓，而 $m$ 正是这个映射的核，所以 $f$ 唯一地分解为 $f = m \\circ e$ ✓。\n**（二）$m$ 最小。** 设 $f = m' \\circ e'$ 是任意分解且 $m'$ 是单态射。因为 $(\\operatorname{coker} m') \\circ m' = 0$ ✓，得 $(\\operatorname{coker} m') \\circ f = 0$，于是由 $\\operatorname{coker} f$ 的泛性质，$\\operatorname{coker} m'$ 穿过 $\\operatorname{coker} f$ ✓，特别地\n$$(\\operatorname{coker} m') \\circ m = 0.$$\n再用「单态射 $m'$ 是它自己余核的核」：$m' = \\ker(\\operatorname{coker} m')$ ✓，于是 $m$ 唯一地穿过 $m'$ —— 即 $m$ 是「$f$ 能穿过的各种单态射」里最小的那个 ✓。\n（一）（二）合起来，$m$ 连同分解 $f = m \\circ e$ 正是**像**的泛性质 ✓，所以 $\\operatorname{im} f = \\ker(\\operatorname{coker} f)$ ✓。\n对偶地把箭头反过来（在 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$ 里做同一件事）即得余像那条 ✓。\n**（三）严格性。** 由 (一) 的分解 $f = m \\circ e$ 与它的对偶分解，$\\operatorname{coim} f \\to \\operatorname{im} f$ 两边都是同一个中间对象，于是它是同构 ✓。∎\n\n⭐ 这条把「像」从泛性定义（最小中间对象）换成**可以算的公式**：$\\ker(\\operatorname{coker} f)$。同调代数里凡是要「手工取像」的地方，用的都是这个公式。\n\n⚠️ **阿贝尔**这个前提不能省：一般范畴里 $\\operatorname{coim} f \\to \\operatorname{im} f$ 未必同构（那种态射就不叫严格的了）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 5.9" ] }, { "id": "prop.projection-formula-cond", "type": "proposition", "label": "投影公式", "title": "投影公式：$S \\times X(\\cdot) \\cong (S \\times X)(\\cdot)$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 19, "tags": [ "命题", "凝聚态集", "投影公式", "局部紧", "k-化" ], "statement": "设 $X$ 是凝聚态集，$S$ 是**局部紧 Hausdorff** 拓扑空间。则\n\n$$S \\times X(\\cdot) \\;\\cong\\; (S \\times X)(\\cdot).$$\n\n（左边是底空间 $X(\\cdot)$ 与 $S$ 的拓扑积；$S$ 紧 Hausdorff 时这就是「把 $S$ 拉进来不影响 $k$-化」。）", "notes": "⭐ **读法**：底空间函子 $X \\mapsto X(\\cdot)$ 与「乘一个局部紧空间」可交换。于是「在空间上乘以紧块」这类操作，可以先在 $\\mathrm{Cond}$ 里做、再落回拓扑空间，也可以反过来做。\n\n📌 它与「底空间保有限积」是一条链上的两步：那条给出 $k$-化后的公式，这条把 $k$-化消掉。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 4.11" ] }, { "id": "prop.cond-epi-open-surjective", "type": "proposition", "label": "开满射是满态射", "title": "命题：开满 + 弱 Hausdorff $\\implies$ 在 $\\mathrm{Cond}$ 里满", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 18, "tags": [ "命题", "凝聚态集", "满态射", "弱 Hausdorff", "开映射" ], "statement": "设 $f : X \\to Y$ 是连续映射。若 $Y$ **弱 Hausdorff**，且每个紧 Hausdorff 子集 $K \\subseteq Y$ 都含于某个 $f(S)$（$S$ 紧 Hausdorff），则 $f$ 在 $\\mathrm{Cond}$ 里是**满态射**。\n\n特例：$X$ 局部紧 Hausdorff、$Y$ 弱 Hausdorff、$f$ **开且满**时，上面的条件自动满足。", "notes": "**证明。** 由「凝聚态集满态射的判据」，只需对每个**自由**紧 Hausdorff 空间 $F$ 验证 $C(F, X) \\to C(F, Y)$ 是满射 ✓。\n给 $g : F \\to Y$。因为 $F$ 紧、$Y$ 弱 Hausdorff，$g(F)$ 是紧 Hausdorff 子集 ✓，于是存在紧 Hausdorff $S \\subseteq X$ 使 $g(F) = f(S)$ ✓。\n$F$ 是紧 Hausdorff 范畴里的**投射对象**（自由即投射），所以 $F \\to f(S)$ 可提升为 $F \\to S$ ✓，再嵌回 $X$ 即得 $g$ 的原像 ✓。∎\n**特例的验证。** $X$ 局部紧时每个点有紧邻域 $S_x$；$f$ 开说明 $f(S_x)$ 是 $f(x)$ 的邻域，$f$ 满说明 $Y = \\bigcup_x f(S_x)$ ✓；$Y$ 里任何紧集被有限多个 $f(S_{x_i})$ 覆盖，取 $S := \\bigcup_i S_{x_i}$（有限并仍是紧 Hausdorff）✓。\n\n⭐ 这是「一个拓扑映射在两个拓扑空间之间是满态射」的可操作判据：**先看弱 Hausdorff，再看紧块的像够不够大**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Proposition 4.2.5, Exercise 4.9" ] }, { "id": "prop.open-covering-covering", "type": "proposition", "label": "开覆盖给出覆盖", "title": "命题：开覆盖 $X = \\bigsqcup_{i} X_{i}$ $\\implies$ 它是覆盖", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 15, "tags": [ "命题", "凝聚态集", "覆盖", "开覆盖" ], "statement": "若 $X = \\bigcup_{i \\in I} X_{i}$ 是拓扑空间 $X$ 的**开覆盖**（$X_i$ 开），则把每个 $X_i$ 看成凝聚态集时，$(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 是 $X$ 在 $\\mathrm{Cond}$ 中的一个**覆盖**。", "notes": "**证明。**\n**（一）$X = S$ 紧 Hausdorff。** 开覆盖可取有限子覆盖，而紧 Hausdorff 是正规的，每块开集里含一个闭邻域、闭子集紧 ✓ —— 于是把开覆盖换成**有限的紧覆盖**，而「有限族拼起来等于全空间」正是 $\\mathbf{FCHaus}$ 上预拓扑允许的覆盖 ✓。\n**（二）一般 $X$。** 取 $f : S \\to X$（$S$ 紧 Hausdorff），把覆盖拉回：$S = \\bigcup_i f^{-1}(X_{i})$ 仍是开覆盖，由 (一) 得 $(S \\times_{X} X_{i} \\to S)_{i}$ 是 $S$ 的覆盖 ✓；覆盖沿覆盖下降（传递性），于是 $(X_{i} \\to X)_{i}$ 是 $X$ 的覆盖 ✓。∎\n\n⭐ 用处：$\\mathrm{Cond}$ 里的覆盖可以**直接用拓扑的开覆盖**给出，这是后面「层在开集上算」的依据。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 4.6" ] }, { "id": "prop.hom-presheaf-sheaf", "type": "proposition", "label": "Hom 预层是层", "title": "命题：$U \\mapsto \\operatorname{Hom}_{/X}(U, Y)$ 是 $X$ 上的层", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 16, "tags": [ "命题", "凝聚态集", "层", "截面", "拓扑斯" ], "statement": "设 $X$ 是拓扑空间、$Y \\to X$ 是凝聚态集之间的态射（即 $Y \\in \\mathrm{Cond}/X$）。则预层\n\n$$U \\;\\longmapsto\\; Y(U) := \\operatorname{Hom}_{/X}\\bigl(\\underline{U},\\ Y\\bigr) \\qquad (U \\subseteq X \\text{ 开})$$\n\n是 $X$ 上的一个**层**。", "notes": "**证明。** 由「开覆盖给出覆盖」，开覆盖 $U = \\bigcup_i U_{i}$ 给出 $\\mathrm{Cond}/X$ 里的覆盖 $\\coprod_i \\underline{U_{i}} \\to \\underline{U}$ ✓。\n而 $Y$ 是拓扑斯 $\\mathrm{Cond}/X$ 的对象，拓扑斯的对象对**标准拓扑**下的每个覆盖筛都满足下降 —— 层条件的定义正是「$\\operatorname{Hom}(-, Y)$ 把覆盖筛变成等化子」✓。\n把这条用在上面的覆盖上：$Y(U) \\to \\prod_i Y(U_{i}) \\rightrightarrows \\prod_{i,j} Y(U_{i} \\cap U_{j})$ 是等化子，正是 $U \\mapsto Y(U)$ 的层条件 ✓。∎\n\n⭐ 一句话：**「$X$ 上的开集给的截面」就是层**，因为开覆盖已经是 $\\mathrm{Cond}/X$ 里的覆盖。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 4.7" ] }, { "id": "prop.countable-colimit-qseparated", "type": "proposition", "label": "可数递增余极限是拟分离的", "title": "命题：$X = \\varinjlim_{n} S_{n}$（含入、可数）$\\implies$ 拟分离", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "命题", "凝聚态集", "拟分离", "滤过余极限", "紧 Hausdorff" ], "statement": "若 $X = \\varinjlim_{n \\in \\mathbb{N}} S_{n}$ 是一列紧 Hausdorff 空间沿**含入** $S_{n} \\hookrightarrow S_{n+1}$ 的拓扑余极限，则\n\n1. $X$ 作为凝聚态集是**拟分离**的；\n2. 这个余极限**在 $\\mathrm{Cond}$ 里算也一样**：$X \\cong \\varinjlim_{n} S_{n}$。", "notes": "**证明。** 由「拟分离 $\\iff$ 含入过渡的滤过余极限」，含入过渡的滤过余极限总是拟分离的 ✓ —— 可数情形是它的特例。\n第二条是「元素从有限层来」：给紧 Hausdorff $T$ 与连续 $f : T \\to X$，因为 $T$ 紧而 $\\{S_{n}\\}$ 是递增的开覆盖式的逼近，$f(T)$ 落在某个 $S_{n}$ 里 ✓（这正是「紧集只能看见有限层」），于是 $f$ 来自某个 $T \\to S_{n}$ ✓。∎\n\n⭐ 用处：**局部紧 Hausdorff 空间就是这种可数递增余极限**（取它的紧块），所以它们的凝聚态版本总是拟分离的。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 4.12" ] }, { "id": "prop.qseparated-mono", "type": "proposition", "label": "拟分离嵌入底空间", "title": "命题：$X$ 拟分离 $\\implies$ $X \\hookrightarrow X(\\cdot)$ 是单态射", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 18, "tags": [ "命题", "凝聚态集", "拟分离", "单态射", "底空间" ], "statement": "若 $X$ 是**拟分离**的凝聚态集，则典范映射\n\n$$X \\longrightarrow \\underline{X(\\cdot)}$$\n\n（把 $X$ 送到它的底拓扑空间 $X(\\cdot)$ 所代表的凝聚态集）是**单态射**。", "notes": "**证明。** 只需对每个紧 Hausdorff $S$ 验证 $X(S) \\to \\underline{X(\\cdot)}(S) = C(S, X(\\cdot))$ 是单射 ✓（单态射按点检验）。\n由「可数递增余极限」那一条的推广（拟分离 $\\iff$ 含入过渡的滤过余极限），$X = \\varinjlim_i S_{i}$ 且 $X(S) = \\varinjlim_i \\operatorname{Hom}(S, S_{i})$ ✓。\n取 $f, g \\in X(S)$ 映到同一个连续映射：它们都来自某个 $i$ 的 $\\tilde f, \\tilde g : S \\to S_{i}$，而 $S_{i} \\hookrightarrow X(\\cdot)$ 是含入、特别地是单射 ✓，于是 $\\tilde f = \\tilde g$，从而 $f = g$ ✓。∎\n\n⭐ 读法：**拟分离的凝聚态集不会丢信息** —— 它整个能从底空间里被读回来。反面是一般凝聚态集的底空间会把精细结构抹掉。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 4.13" ] }, { "id": "prop.exact-at-points", "type": "proposition", "label": "正合就是逐点正合", "title": "命题：短正合 $\\iff$ 三处都正合", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 17, "tags": [ "命题", "正合列", "短正合", "左正合", "右正合" ], "statement": "设 $0 \\to M' \\xrightarrow{\\ i\\ } M \\xrightarrow{\\ p\\ } M'' \\to 0$ 是阿贝尔范畴里的列。则\n\n- **短正合** $\\iff$ 在 $M'$、$M$、$M''$ **三处都正合**；\n- **左正合** $\\iff$ 在 $M'$、$M$ 处正合；\n- **右正合** $\\iff$ 在 $M$、$M''$ 处正合。", "notes": "**证明。** 三句话逐条对照定义即可：「在 $M'$ 处正合」读作 $\\ker i = 0$（即 $i$ 单）；「在 $M$ 处正合」读作 $\\operatorname{im} i = \\ker p$；「在 $M''$ 处正合」读作 $\\operatorname{coker} p = 0$（即 $p$ 满）✓。把这几条组合起来正是左/右/短正合的定义 ✓。∎\n\n⭐ 用处：把「整条列正合」这件整体的事拆成**逐点检查**，实际验证时用的就是这一条。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 5.10" ] }, { "id": "prop.subcat-additive", "type": "proposition", "label": "子范畴继承加法与阿贝尔性", "title": "命题：全忠实 + 有伴随 $\\implies$ $\\mathcal{C}$ 也加法（阿贝尔）", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 18, "tags": [ "命题", "加法范畴", "阿贝尔范畴", "全忠实", "伴随" ], "statement": "设 $F : \\mathcal{C} \\hookrightarrow \\mathcal{D}$ 是**全忠实**函子，$\\mathcal{D}$ 加法（resp. 阿贝尔）。若 $F$ 有**伴随或余伴随**（resp. 且 $F$ 正合），则 $\\mathcal{C}$ 也是**加法**（resp. **阿贝尔**）范畴。", "notes": "**证明。**\n**（一）双积。** 伴随（不论左右）都加法：右伴随保积、左伴随保余积 ✓（见「伴随函子都加法」）。于是 $\\mathcal{D}$ 里 $F(X) \\oplus F(Y)$ 是双积，而 $F$ 全忠实把它「如实」搬回 $\\mathcal{C}$：由米田引理，$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(Z, \\cdot)$ 上的两条等式与 $\\mathcal{D}$ 里的完全一致 ✓。\n**（二）阿贝尔性。** 有了双积后核余核再由 $\\mathcal{D}$ 里「每个态射都严格」（$\\operatorname{coker}(\\ker u) \\cong \\ker(\\operatorname{coker} u)$）沿**正合**函子搬回来 ✓。∎\n\n⭐ 读法：**「往里放」的全忠实函子只要还有伴随，子范畴就白拿加法结构** —— 这就是「$\\mathbf{Ab}$ 的子范畴为什么自动加法」的答案。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 5.12" ] }, { "id": "prop.generator-coproduct-epi", "type": "proposition", "label": "生成元的余积刻画", "title": "命题：$G$ 生成 $\\iff$ 每个 $M$ 都有 $G^{(I)} \\twoheadrightarrow M$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.ab", "layer": 11, "tags": [ "命题", "生成元", "余积", "AB3", "满态射" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是有余积的阿贝尔范畴、$G \\in \\mathcal{C}$。则\n\n$$G \\text{ 是生成元} \\iff \\text{对每个 } M \\in \\mathcal{C},\\ \\exists I:\\ G^{(I)} \\twoheadrightarrow M.$$", "notes": "**证明。**\n**$(\\Longrightarrow)$** 取 $I := \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(G, M)$，令 $\\coprod_I G \\to M$ 的各分量按对应态射来 ✓。若它不是满射，则 $M \\to \\operatorname{coker}$ 非零，由生成性存在 $g : G \\to M$ 使这个复合非零 —— 可是 $g$ 本来就是 $I$ 中的一个分量，它的像落在 $\\operatorname{im}$ 里，矛盾 ✓。\n**$(\\Longleftarrow)$** 给 $f \\ne g : M \\to N$，则 $h := f - g \\ne 0$。取满射 $G^{(I)} \\twoheadrightarrow M$，于是 $h \\circ (\\text{满射}) \\ne 0$，特别地某个分量 $G \\to M$ 上非零 ✓，即 $\\operatorname{Hom}(G, h) \\ne 0$ —— 所以 $\\operatorname{Hom}(G, -)$ 忠实，$G$ 是生成元 ✓。∎\n\n⚠️ 这条判据其实**只用到余积**（AB3），滤过余极限没有出场（AB5 的那部分条件用不上）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 5.13" ] }, { "id": "thm.abelian-sheaf-equiv", "type": "theorem", "label": "阿贝尔层即拓扑斯里的阿贝尔群", "title": "定理：$\\widetilde{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab}) \\simeq \\mathbf{Ab}(\\widetilde{\\mathcal{C}})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 18, "tags": [ "定理", "阿贝尔层", "拓扑斯", "阿贝尔群对象", "范畴等价" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site。则「site 上的**阿贝尔层**」与「拓扑斯 $\\widetilde{\\mathcal{C}}$ 里的**阿贝尔群对象**」是同一个范畴：\n\n$$\\widetilde{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab}) \\;\\simeq\\; \\mathbf{Ab}\\bigl(\\widetilde{\\mathcal{C}}\\bigr).$$", "notes": "**证明的思路。** 两个方向都是「**逐点取值**」：\n\n- $\\to$：拓扑斯里的阿贝尔群对象 $M$ 在 $X \\in \\mathcal{C}$ 上取值，用的是**整体截面函子保积**（群的运算、$0$、逆元逐点读出来）✓，于是 $X \\mapsto M(X)$ 给出一个阿贝尔预层，而且它是层 ✓；\n\n- $\\leftarrow$：反过来给阿贝尔层 $M$，在每个 $X$ 处的取值自动带阿贝尔群结构，而层范畴里的群结构由这些值逐点决定（预层范畴里的群对象就是逐点的群）✓。\n\n两个方向互逆，因为都是「取遍每个 $X$ 的值」✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 5.15" ] }, { "id": "prop.presheaf-free-projective", "type": "proposition", "label": "自由的预层是投射的", "title": "命题：$\\mathbb{Z}\\cdot h_{X}$ 在 $\\widehat{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab})$ 里投射", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 18, "tags": [ "命题", "自由对象", "投射对象", "预层范畴", "正合" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是范畴、$X \\in \\mathcal{C}$。则 $\\mathbb{Z}\\cdot h_{X}$ 是预层范畴 $\\widehat{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab})$ 里的**投射对象**；更一般地，$\\mathbb{Z}\\cdot T$（$T$ 是任意预层）也投射。", "notes": "**证明。** 投射性等价于 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot T, -)$ **正合** ✓。由自由对象的万有性质，$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot T, M) \\cong M(T)$ —— 这里的 $M(T)$ 指「预层的 $T$ 处取值」那一族逐点取值 ✓；而预层范畴里的正合性是**逐点判**的，逐点正是阿贝尔群之间的 Hom，因而是正合的 ✓。∎\n\n⭐ 这就是「自由即投射」在层论里的样子，也是 $\\mathbb{Z}\\cdot X_{\\bullet}$ 能充当投射消解的依据。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 5.19" ] }, { "id": "prop.generators-abelian-sheaves", "type": "proposition", "label": "生成元给出阿贝尔层的生成元", "title": "命题：$S$ 生成 $\\mathcal{T}$ $\\implies$ $\\{\\mathbb{Z}\\cdot X\\}$ 生成 $\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 11, "tags": [ "命题", "生成元", "自由对象", "Grothendieck", "拓扑斯" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯、$S$ 是它的一组**生成元**。则\n\n$$\\bigl\\{\\ \\mathbb{Z}\\cdot X \\ :\\ X \\in S\\ \\bigr\\}$$\n\n是 $\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ 的一组生成元。", "notes": "**证明。** 由自由对象的万有性质，$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot X, M) = M(X) = \\operatorname{Hom}(X, M)$ ✓ —— 于是「用 $\\mathbb{Z}\\cdot X$ 检测态射」与「用 $X$ 检测态射」是同一件事 ✓。$S$ 生成 $\\mathcal{T}$ 说明后者够用，所以前者也够用 ✓。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 5.20" ] }, { "id": "prop.free-sheaf-tensor", "type": "proposition", "label": "自由对象的张量积", "title": "命题：$\\mathbb{Z}\\cdot X \\otimes \\mathbb{Z}\\cdot Y \\cong \\mathbb{Z}\\cdot(X \\times Y)$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 19, "tags": [ "命题", "张量积", "自由对象", "积", "米田" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯、$X, Y \\in \\mathcal{T}$。则\n\n$$\\mathbb{Z}\\cdot X \\;\\otimes_{\\mathbb{Z}}\\; \\mathbb{Z}\\cdot Y \\;\\cong\\; \\mathbb{Z}\\cdot (X \\times Y).$$", "notes": "**证明（米田）。** 对任意 $N \\in \\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$，\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X \\otimes \\mathbb{Z}\\cdot Y,\\ N\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot Y, N)\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}\\bigl(X,\\ \\operatorname{Hom}(Y, N)\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}(X \\times Y,\\ N) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot(X \\times Y),\\ N\\bigr) ✓$$\n（第一、三步是张量–内 Hom 伴随，第二、四步是自由对象的万有性质，中间一步是 $X \\times Y$ 的泛性质。）对一切 $N$ 成立，由米田引理即得同构 ✓。∎\n\n⭐ 读法：**自由对象把拓扑斯里的积翻译成阿贝尔群层里的张量积**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 5.29" ] }, { "id": "prop.additive-complex-construction", "type": "proposition", "label": "加法函子与复形构造交换", "title": "命题：$F(C(\\mathcal{A})) \\cong C(F(\\mathcal{A}))$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 11, "tags": [ "命题", "加法函子", "复形范畴", "逐项作用" ], "statement": "加法函子 $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{A}'$ 逐项作用给出函子\n\n$$C(F) : C(\\mathcal{A}) \\longrightarrow C(\\mathcal{A}'), \\qquad (K^{n}, d^{n}) \\longmapsto \\bigl(FK^{n},\\ Fd^{n}\\bigr),$$\n\n即 $F(C(\\mathcal{A})) \\cong C(F(\\mathcal{A}))$：**先取复形范畴再作用 $F$，与先作用 $F$ 再取复形范畴一样**。", "notes": "**证明。** 复形的数据只有「一族对象 + 一族态射 + $d \\circ d = 0$」✓，全是加法范畴的语言：加法函子保零态射、保复合、保加法，于是 $F(d^{n+1}) \\circ F(d^{n}) = F(d^{n+1} \\circ d^{n}) = 0$ ✓，$C(F)$ 是函子（$F$ 保持交换图）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.27" ] }, { "id": "prop.spectral-degenerate-row", "type": "proposition", "label": "谱序列的退化行", "title": "命题：只有 $p = 0$ 那一行时 $E^{0,q} \\cong H^{q}$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 17, "tags": [ "命题", "谱序列", "第一象限", "退化" ], "statement": "设 $E^{p,q}_{r} \\implies H^{p+q}$ 是**第一象限**谱序列。若对某个 $r \\ge 1$ 有\n\n$$p \\ne 0 \\implies E^{p,q}_{r} = 0 \\qquad (\\forall q),$$\n\n则对一切 $q$：$E^{0,q}_{r} \\cong H^{q}$。\n\n对偶地，若某个 $r \\ge 2$ 满足 $q \\ne 0 \\implies E^{p,q}_{r} = 0$（$\\forall p$），则对一切 $p$：$E^{p,0}_{r} \\cong H^{p}$。", "notes": "**证明。** 固定 $q$。第一象限保证 $p < 0$ 或 $q < 0$ 的项恒为零 ✓，所以 $E^{0,q}$ 处进出它的微分都要离开 $p = 0$ 这一行或跑出第一象限，于是\n\n$$E^{0,q}_{r} = E^{0,q}_{r+1} = \\cdots = E^{0,q}_{\\infty} ✓$$\n\n而收敛到 $H^{q}$ 的过滤里，$E^{\\infty}_{0,q} = \\operatorname{Gr}^{0}H^{q}$，且 $p < 0$ 的项全为零说明 $H^{q}$ 的过滤在 $0$ 处没有更低的层，故 $\\operatorname{Gr}^{0}H^{q} = H^{q}$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.29" ] }, { "id": "prop.five-term-spectral-sequence", "type": "proposition", "label": "谱序列的五项正合列", "title": "命题：$0 \\to E^{1,0}_{2} \\to H^{1} \\to E^{0,1}_{2} \\xrightarrow{d_{2}} E^{2,0}_{2} \\to H^{2}$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 18, "tags": [ "命题", "谱序列", "五项正合列", "第一象限" ], "statement": "第一象限谱序列 $E^{p,q}_{2} \\implies H^{p+q}$ 给出**五项正合列**\n\n$$0 \\longrightarrow E^{1,0}_{2} \\longrightarrow H^{1} \\longrightarrow E^{0,1}_{2} \\xrightarrow{\\ d_{2}\\ } E^{2,0}_{2} \\longrightarrow H^{2}.$$", "notes": "**证明（逐页核对）。** 第一象限里 $d_{2} : E^{0,1}_{2} \\to E^{2,0}_{2}$ 是这两项唯一可能的非零微分 ✓；$E^{1,0}$ 与 $E^{0,1}$ 都活到 $E^{\\infty}$（没有更低的 $q$ 可以被打到）✓。把 $E^{\\infty}_{1,0} = \\operatorname{Gr}^{1}H^{1}$、$E^{\\infty}_{0,1} = \\operatorname{Gr}^{0}H^{1}$ 连同 $E^{\\infty}_{2,0} = \\operatorname{Gr}^{2}H^{2}$ 的过滤逐项拼起来，就得到上面这条链 ✓。∎\n\n⭐ 用处：这是「谱序列直接给出低次正合列」的标准工具，$H^{1}$ 与 $H^{2}$ 的低次项就从这里读出来。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.30" ] }, { "id": "prop.filtered-first-page", "type": "proposition", "label": "过滤复形的第一页", "title": "命题：$E^{1}_{p,q} = H^{p+q}(\\operatorname{Gr}^{p}K^{\\bullet})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 18, "tags": [ "命题", "谱序列", "过滤复形", "分次片" ], "statement": "设 $K^{\\bullet}$ 是带（递降）过滤的复形，$E^{p,q}_{r}$ 是它给出的谱序列。则\n\n$$E^{1}_{p,q} \\;=\\; H^{p+q}\\bigl(\\operatorname{Gr}^{p}K^{\\bullet}\\bigr).$$", "notes": "**证明。** 由 $E^{0}_{p,q} = \\operatorname{Gr}^{p}K^{p+q}$ ✓，而第 $0$ 页的微分 $d_{0}$ 是过滤商上诱导的微分（也就是 $K^{\\bullet}$ 的微分下到分次片上）✓；取同调即得 $E^{1}_{p,q} = H^{p+q}(\\operatorname{Gr}^{p}K^{\\bullet})$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.31" ] }, { "id": "prop.total-complex-injective-resolution", "type": "proposition", "label": "全复形还是内射消解", "title": "命题：全复形 $I^{\\bullet}$ 仍是 $K^{\\bullet}$ 的内射消解", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 16, "tags": [ "命题", "全复形", "内射消解", "双复形" ], "statement": "设 $K^{\\bullet,\\bullet}$ 是下有界双复形、每项内射，且其全复形 $I^{\\bullet}$ 连同增广给出 $K^{\\bullet}$ 的一条消解。则 $K^{\\bullet} \\to I^{\\bullet}$ **仍是内射消解**。", "notes": "**证明。** 全复形的每一项是**有限**多个内射对象的直和（下有界保证每个次数上只有有限多项），直和仍是内射 ✓；而全复形与双复形同调相容：$H^{n}(\\operatorname{Tot}) \\cong H^{n}$（这里用的是「下有界 + 每列是消解」的收敛性）✓，所以 $K^{\\bullet} \\to I^{\\bullet}$ 是拟同构 ✓。∎\n\n⭐ 这一条是 Cartan–Eilenberg 那套「双复形 $\\to$ 全复形」的合法性依据。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.34" ] }, { "id": "prop.derived-functor-exact-factor", "type": "proposition", "label": "正合因子让谱序列退化", "title": "命题：$F$ 正合 $\\implies R^{n}G(FK) \\cong R^{n}(G \\circ F)(K)$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 18, "tags": [ "命题", "导出函子", "正合函子", "Grothendieck 谱序列", "退化" ], "statement": "设 $\\mathcal{A} \\xrightarrow{F} \\mathcal{A}' \\xrightarrow{G} \\mathcal{A}''$ 是加法函子，满足 Grothendieck 谱序列的条件。若 $F$ 正合，则\n\n$$R^{n}G\\bigl(F(K)\\bigr) \\;\\cong\\; R^{n}(G \\circ F)(K);$$\n对偶地，若 $G$ 正合，则 $G\\bigl(R^{n}F(K)\\bigr) \\cong R^{n}(G \\circ F)(K)$。", "notes": "**证明。** 正合函子的高次导出函子为零：$R^{q}F = 0$（$q > 0$）✓。在 Grothendieck 谱序列 $E^{p,q}_{2} = R^{p}G(R^{q}F(K)) \\implies R^{p+q}(G\\circ F)(K)$ 里，$E_{2}$ 页只剩下 $q = 0$ 那一行 ✓，于是谱序列退化，$R^{n}(G\\circ F)(K) \\cong R^{n}G(F(K))$ ✓。对偶地把 $F,G$ 互换（另一半用 $G$ 正合 $\\implies$ $R^{p}G = 0$）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.35" ] }, { "id": "prop.flat-tensor-acyclic", "type": "proposition", "label": "平坦张量保持零调", "title": "命题：$P$ 平坦、$M$ 下有界零调 $\\implies P \\otimes M$ 零调", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheaf", "layer": 20, "tags": [ "命题", "平坦", "张量积", "零调复形" ], "statement": "设 $P$ 是拓扑斯里的**平坦**阿贝尔群，$M$ 是幂（下有界、在 $n \\ne 0$ 处同调为零）的**零调**复形。则 $P \\otimes_{\\mathbb{Z}} M$ 也零调。", "notes": "**证明。** 平坦就是说 $P \\otimes_{\\mathbb{Z}} -$ **正合** ✓。「下有界 + 零调」的复形就是一条正合列 ✓，正合函子把正合列仍送到正合列，所以 $P \\otimes M$ 也正合，即零调 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.39" ] }, { "id": "prop.cech-cochain-formula", "type": "proposition", "label": "Čech 上链的具体公式", "title": "命题：$\\check{C}^{n}(\\mathfrak{X}, M) = \\prod M(X_{i_{0}} \\times_{X} \\cdots \\times_{X} X_{i_{n}})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "命题", "Čech 复形", "上链", "纤维积" ], "statement": "设 site $\\mathcal{C}$ 有纤维积，$\\mathfrak{X} = (X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 是一族态射，$M$ 是阿贝尔层。则\n\n$$\\check{C}^{n}(\\mathfrak{X}, M) \\;=\\; \\prod_{i_{0}, \\ldots, i_{n}} M\\bigl(X_{i_{0}} \\times_{X} \\cdots \\times_{X} X_{i_{n}}\\bigr).$$", "notes": "**证明。** 按定义 $\\check{C}^{\\bullet}(\\mathfrak{X}, M) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot X_{\\bullet}, M)$ ✓，而 Čech 脉的 $n$ 次项是 $X_{n} = \\coprod_{i_{0},\\ldots,i_{n}} X_{i_{0}} \\times_{X} \\cdots \\times_{X} X_{i_{n}}$ ✓。自由对象把余积换成直和、把取值写成 Hom：\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\Bigl(\\bigoplus_{i_{0},\\ldots,i_{n}} \\mathbb{Z}\\cdot\\bigl(X_{i_{0}} \\times_{X} \\cdots \\times_{X} X_{i_{n}}\\bigr),\\ M\\Bigr) = \\prod_{i_{0},\\ldots,i_{n}} M\\bigl(X_{i_{0}} \\times_{X} \\cdots \\times_{X} X_{i_{n}}\\bigr) ✓$$\n\n∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.40" ] }, { "id": "prop.higher-cohomology-presheaf-zero", "type": "proposition", "label": "高次上同调预层的关联层为零", "title": "命题：$n \\ne 0$ 时 $\\widetilde{H^{n}(M)} = 0$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "命题", "上同调预层", "关联层", "内射消解" ], "statement": "设 $M$ 是 site $\\mathcal{C}$ 上的阿贝尔层、$n \\ne 0$。则预层\n\n$$U \\longmapsto H^{n}(U,\\ M)$$\n\n的**关联层为零**：它的层化是零层。", "notes": "**证明。** 取 $M$ 的一条内射消解 $I^{\\bullet}$ ✓，则 $H^{n}(U, M) = H^{n}\\Gamma(U, I^{\\bullet})$ ✓。给一个上同调类 $s$，用它在某条覆盖的每一块上的代表上链 $c$：因为 $I^{\\bullet}$ 作为复形在每个点处正合，$c$ 在局部是某个上链的**边界** ✓ —— 于是 $s$ 限制到覆盖的每一块上都是 $0$ ✓，也就是说它在关联层里的芽为 $0$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.43" ] }, { "id": "prop.cech-higher-cohomology-presheaf", "type": "proposition", "label": "高次上同调预层没有 Čech 上同调", "title": "命题：$n \\ne 0 \\implies \\check{H}^{p}\\bigl(H^{n}(M)\\bigr) = 0$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 19, "tags": [ "命题", "Čech 上同调", "上同调预层", "层化" ], "statement": "设 $M$ 是 site 上的阿贝尔层、$n \\ne 0$，并把 $H^{n}(M)$ 记作预层 $U \\mapsto H^{n}(U, M)$。则\n\n$$\\check{H}^{p}\\bigl(H^{n}(M)\\bigr) = 0 \\qquad (\\forall p \\ge 0).$$", "notes": "**证明。** 由「高次上同调预层的关联层为零」，$H^{n}(M)$ 层化之后是零层 ✓；而 Čech 上同调只依赖预层的**层化**（Čech 函子分解成两趟 $(-)^{+}$）✓ —— 零层上当然没有 Čech 上同调 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.45" ] }, { "id": "prop.cech-interval-vanishing", "type": "proposition", "label": "区间上没有高阶 Čech 上同调", "title": "命题：$M$ 常 $\\implies \\check{H}^{n}([0,1], M) = 0$（$n \\ne 0$）", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "命题", "Čech 上同调", "区间", "常层" ], "statement": "设 $M$ 是 $[0,1]$ 上的**常**阿贝尔群。则\n\n$$\\check{H}^{n}\\bigl([0,1],\\ M\\bigr) = 0 \\qquad (n \\ne 0).$$", "notes": "**证明。** 先看加细：$[0,1]$ 的任一开覆盖都有形如\n\n$$[0,1] = \\bigcup_{k=0}^{r} I_{k}, \\qquad I_{k} \\cap I_{k+1} = J_{k} \\text{ 也是区间}$$\n\n的加细 ✓（画个图即可）。对这种「区间拼区间」的覆盖，增广 Čech 复形可以写出**显式同伦收缩** ✓，于是这个覆盖上的高阶 Čech 群为零 ✓。\n\n而 Čech 上同调是**沿覆盖取滤过余极限** ✓，加细上为零 $\\implies$ 极限上为零 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.47" ] }, { "id": "prop.cech-h1-equals-h1", "type": "proposition", "label": "一次 Čech 就是一次上同调", "title": "命题：$\\check{H}^{1}(X, M) \\cong H^{1}(X, M)$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 20, "tags": [ "命题", "Čech 上同调", "层上同调", "谱序列", "五项正合列" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是有纤维积的 site、$X \\in \\mathcal{C}$、$M$ 是阿贝尔层。则\n\n$$\\check{H}^{1}(X,\\ M) \\;\\cong\\; H^{1}(X,\\ M).$$", "notes": "**证明。** 用 Čech 到上同调的谱序列\n$$E^{p,q}_{2} = \\check{H}^{p}\\bigl(X,\\ H^{q}(M)\\bigr) \\implies H^{p+q}(X, M) ✓$$\n由「高次上同调预层没有 Čech 上同调」，$q \\ne 0$ 那一整块都为零 ✓，特别地 $E^{0,1}_{2} = 0$。\n再由第一象限谱序列的五项正合列\n$$0 \\to E^{1,0}_{2} \\to H^{1} \\to E^{0,1}_{2} \\to \\cdots$$\n最后一项为零，故 $E^{1,0}_{2} \\cong H^{1}$ ✓；而 $E^{1,0}_{2} = \\check{H}^{1}(X, H^{0}(M)) = \\check{H}^{1}(X, M)$ ✓（$H^{0}(M) = M$）。∎\n\n⭐ 于是**一次** Čech 上同调永远等于一次层上同调，高次才会差（差多少由谱序列量出来）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.48" ] }, { "id": "prop.acyclic-equivalent-conditions", "type": "proposition", "label": "无环性的四条等价说法", "title": "命题：$M$ 无环 $\\iff$ 处处上同调为零 $\\iff$ 处处 Čech 为零", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 19, "tags": [ "命题", "无环层", "Čech 上同调", "层上同调" ], "statement": "设 $M$ 是 site $\\mathcal{C}$ 上的阿贝尔层。以下四条等价：\n\n1. $M$ **无环**：$H^{n}(M) = 0$（$n \\ne 0$）；\n2. 对每个 $X \\in \\mathcal{C}$：$H^{n}(X, M) = 0$（$n \\ne 0$）；\n3. 对每个覆盖族 $\\mathfrak{X}$：$\\check{H}^{n}(\\mathfrak{X}, M) = 0$（$n \\ne 0$）；\n4. 对每个 $X \\in \\mathcal{C}$：$\\check{H}^{n}(X, M) = 0$（$n \\ne 0$）。", "notes": "**证明。**\n**(1) $\\iff$ (2)**：层上同调就是「高次上同调预层」的整体截面，$H^{n}(X, M) = \\Gamma\\bigl(X, H^{n}(M)\\bigr)$ ✓，两边同时为零 ✓。\n**(1) $\\implies$ (3)**：对固定覆盖用 Cartan–Leray 谱序列 $E^{p,q}_{2} = \\check{H}^{p}(\\mathfrak{X}, H^{q}(M)) \\implies H^{p+q}(X,M)$ ✓；(1) 让 $q \\ne 0$ 的行全为零、$H^{p+q}$ 也全为零（$p+q \\ne 0$），谱序列退化给出 $\\check{H}^{n}(\\mathfrak{X}, M) = 0$ ✓。\n**(3) $\\implies$ (4)**：$\\check{H}^{n}(X, -)$ 是沿覆盖取的滤过余极限 ✓，每个覆盖上都为零故为零 ✓。\n**(4) $\\implies$ (1)**：把同一句话反过来 —— 用 Čech 到上同调的谱序列逐次消去，$E^{p,q}_{2}$ 的右端全为零，故全为零 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.49" ] }, { "id": "prop.topos-morphism-abelian-adjunction", "type": "proposition", "label": "拓扑斯态射在阿贝尔群上给出伴随", "title": "命题：$f^{-1} \\dashv f_{*}$ 升级到 $\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 18, "tags": [ "命题", "拓扑斯态射", "阿贝尔群", "正合", "伴随" ], "statement": "设 $f : \\mathcal{T} \\to \\mathcal{T}'$ 是拓扑斯态射。则拉回 $f^{-1} : \\mathcal{T}'(\\mathbf{Ab}) \\to \\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ 有**右伴随** $f_{*}$，而且 $f^{-1}$ **正合**。", "notes": "**证明。** 在底层 $f^{-1} \\dashv f_{*}$ 且 $f^{-1}$ 正合 ✓；而阿贝尔群层的结构是**逐点**给的（群运算是态射、等式逐点验证），所以这对伴随连同正合性自动升级到 $\\mathbf{Ab}$ 这一层 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.51" ] }, { "id": "prop.inverse-image-tensor", "type": "proposition", "label": "拉回与内 Hom、张量积相容", "title": "命题：$f_{*}\\operatorname{Hom}(f^{-1}M, N) = \\operatorname{Hom}(M, f_{*}N)$，$f^{-1}(M \\otimes N) \\cong f^{-1}M \\otimes f^{-1}N$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 19, "tags": [ "命题", "拓扑斯态射", "张量积", "内 Hom", "拉回" ], "statement": "设 $f : \\mathcal{T} \\to \\mathcal{T}'$ 是拓扑斯态射、$M, N$ 是阿贝尔群层。则\n\n$$f_{*}\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(f^{-1}M,\\ N\\bigr) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(M,\\ f_{*}N\\bigr), \\qquad f^{-1}\\bigl(M \\otimes_{\\mathbb{Z}} N\\bigr) \\cong f^{-1}M \\otimes_{\\mathbb{Z}} f^{-1}N.$$", "notes": "**证明。** 第一条把伴随 $f^{-1} \\dashv f_{*}$ 与内 Hom 的伴随性串起来 ✓（两边在测试对象上给出的自然同构是同一个）。\n\n第二条：$f^{-1}$ 是左伴随因而**保余极限** ✓，而张量积是幺半结构里的余极限（商的余核）✓；也可以逐点验证 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.52" ] }, { "id": "prop.cohomology-functoriality", "type": "proposition", "label": "上同调的函子性", "title": "命题：$H^{n}(X', M^{\\bullet}) \\to H^{n}\\bigl(f^{-1}(X'), f^{-1}M^{\\bullet}\\bigr)$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "命题", "层上同调", "拓扑斯态射", "拉回", "典范映射" ], "statement": "设 $f : \\mathcal{T} \\to \\mathcal{T}'$ 是拓扑斯态射。则对 $X' \\in \\mathcal{T}'$ 与复形 $M^{\\bullet}$，存在**典范映射**\n\n$$H^{n}\\bigl(X',\\ M^{\\bullet}\\bigr) \\longrightarrow H^{n}\\bigl(f^{-1}(X'),\\ f^{-1}M^{\\bullet}\\bigr).$$", "notes": "**证明。** 由伴随 $f^{-1} \\dashv f_{*}$，整体截面满足\n\n$$\\Gamma\\bigl(X',\\ M\\bigr) = \\operatorname{Hom}(X', M) = \\operatorname{Hom}\\bigl(f^{-1}(X'),\\ f^{-1}M\\bigr) = \\Gamma\\bigl(f^{-1}(X'),\\ f^{-1}M\\bigr) ✓$$\n\n而 $f^{-1}$ 正合、保内射 ✓，所以它把内射消解送到内射消解，两边取导出函子即得这条典范映射 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.54" ] }, { "id": "prop.derived-pushforward-composition", "type": "proposition", "label": "推前的复合", "title": "命题：$Rf'_{*} \\circ Rf_{*} = R(f' \\circ f)_{*}$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "命题", "推前", "导出函子", "Grothendieck 谱序列" ], "statement": "设 $\\mathcal{T} \\xrightarrow{\\ f\\ } \\mathcal{T}' \\xrightarrow{\\ f'\\ } \\mathcal{T}''$ 是拓扑斯态射的序列。则\n\n$$Rf'_{*} \\circ Rf_{*} \\;=\\; R(f' \\circ f)_{*},$$\n\n并且有谱序列 $E^{p,q}_{2} = R^{p}f'_{*}\\bigl(R^{q}f_{*}M\\bigr) \\implies R^{p+q}(f' \\circ f)_{*}M$。", "notes": "**证明。** 这是 Grothendieck 谱序列的又一特例：$f_{*}$ 把内射层送到 $f'_{*}$-零调对象 ✓，于是在 $\\Gamma\\bigl(X'', \\cdot\\bigr)$ 这一层套用 Grothendieck 谱序列即得 ✓；谱序列在 $f_{*}$ 严格保持内射时退化成上面那条等式 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.55" ] }, { "id": "thm.leray-spectral-sequence", "type": "theorem", "label": "Leray 谱序列", "title": "定理：$E^{p,q}_{2} = H^{p}\\bigl(X', R^{q}f_{*}M^{\\bullet}\\bigr) \\implies H^{p+q}\\bigl(f^{-1}X', M^{\\bullet}\\bigr)$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "定理", "Leray 谱序列", "拓扑斯态射", "导出推前" ], "statement": "设 $f : \\mathcal{T} \\to \\mathcal{T}'$ 是拓扑斯态射、$X' \\in \\mathcal{T}'$、$M^{\\bullet}$ 是 $\\mathcal{T}$ 里的阿贝尔群复形。则存在谱序列\n\n$$E^{p,q}_{2} \\;=\\; H^{p}\\bigl(X',\\ R^{q}f_{*}M^{\\bullet}\\bigr) \\;\\Longrightarrow\\; H^{p+q}\\bigl(f^{-1}(X'),\\ M^{\\bullet}\\bigr).$$", "notes": "**证明。** 关键的一条是伴随给出的截面同构\n\n$$\\Gamma\\bigl(X',\\ f_{*}M\\bigr) = \\Gamma\\bigl(f^{-1}(X'),\\ M\\bigr) ✓$$\n\n把 $\\Gamma\\bigl(f^{-1}(X'), \\cdot\\bigr)$ 写成 $\\Gamma(X', \\cdot) \\circ f_{*}$，再套 Grothendieck 谱序列（$f_{*}$ 把内射送到 $f_{*}$ 的零调对象 —— 内射本身零调）✓，即得 ✓。∎\n\n⭐ 用处：**先在 $\\mathcal{T}$ 这一侧算 $R^{q}f_{*}$，再在 $\\mathcal{T}'$ 那一侧算 $H^{p}$**，两层的信息由这条谱序列拼起来。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.56" ] }, { "id": "prop.abelian-slice-adjunction", "type": "proposition", "label": "切片上的正合左伴随", "title": "命题：$j_{X!} \\dashv j_{X}^{-1}$ 且 $j_{X!}$ 正合", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 17, "tags": [ "命题", "切片拓扑斯", "正合左伴随", "阿贝尔群" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯、$X \\in \\mathcal{T}$。则函子\n\n$$j_{X}^{-1} : \\mathcal{T}(\\mathbf{Ab}) \\longrightarrow \\mathcal{T}/X(\\mathbf{Ab})$$\n\n有**左伴随** $j_{X!}$，而且 $j_{X!}$ **正合**。", "notes": "**证明。** 预层情形有显式公式\n\n$$j_{S!}M(U) = \\bigoplus_{s : U \\to S} M(s) ✓$$\n\n它明显是 $j_{S}^{-1}$ 的左伴随 ✓，正合性来自「$\\bigoplus$ 与拉回交换」✓。一般拓扑斯上把两边层化即得 ✓（正合性对层化保持，因为层化正合）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.57" ] }, { "id": "prop.slice-shriek-z", "type": "proposition", "label": "切片左伴随作用在 Z 上", "title": "命题：$j_{X!}\\mathbb{Z} = \\mathbb{Z}\\cdot X$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 18, "tags": [ "命题", "切片拓扑斯", "自由对象", "伴随" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯、$X \\in \\mathcal{T}$。则\n\n$$j_{X!}\\mathbb{Z} \\;=\\; \\mathbb{Z}\\cdot X.$$", "notes": "**证明。** 逐条用伴随：\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(j_{X!}\\mathbb{Z},\\ M\\bigr) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z},\\ j_{X}^{-1}M\\bigr) = \\operatorname{Hom}\\bigl(\\mathbf{1}_{X},\\ j_{X}^{-1}M\\bigr) = \\operatorname{Hom}(X,\\ M) ✓$$\n\n最后一式用了「$X$ 上方的终对象给出 $\\operatorname{Hom}(\\mathbf{1}_{X}, j_X^{-1}M) = M(X) = \\operatorname{Hom}(X,M)$」✓。与 $\\mathbb{Z}\\cdot X$ 的万有性质比对，由米田引理即得 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.58" ] }, { "id": "prop.cohomology-slice-identification", "type": "proposition", "label": "切片上的上同调就是原上同调", "title": "命题：$H^{n}\\bigl(\\mathbf{1}_{X}, j_{X}^{-1}M^{\\bullet}\\bigr) = H^{n}(X, M^{\\bullet})$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 19, "tags": [ "命题", "切片拓扑斯", "层上同调", "保内射" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯、$X \\in \\mathcal{T}$、$M^{\\bullet}$ 是阿贝尔群复形。则\n\n$$H^{n}\\bigl(\\mathbf{1}_{X},\\ j_{X}^{-1}M^{\\bullet}\\bigr) \\;=\\; H^{n}\\bigl(X,\\ M^{\\bullet}\\bigr),$$\n\n其中 $\\mathbf{1}_{X}$ 是切片拓扑斯 $\\mathcal{T}/X$ 的终对象。", "notes": "**证明。** 先看 $0$ 次：\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z},\\ j_{X}^{-1}M\\bigr) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(j_{X!}\\mathbb{Z},\\ M\\bigr) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(\\mathbb{Z}\\cdot X,\\ M\\bigr) = M(X) ✓$$\n\n再用「$j_{X}^{-1}$ 有正合左伴随，因而保内射」✓，于是两边的内射消解一一对应，取导出函子即得等式 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.59" ] }, { "id": "prop.internal-hom-slice-value", "type": "proposition", "label": "内 Hom 的取值", "title": "命题：$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)(X) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(j_{X}^{-1}M, j_{X}^{-1}N\\bigr)$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 18, "tags": [ "命题", "内 Hom", "切片拓扑斯", "伴随" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯、$X \\in \\mathcal{T}$、$M, N$ 是阿贝尔群层。则\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)(X) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(j_{X!}j_{X}^{-1}M,\\ N\\bigr) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(j_{X}^{-1}M,\\ j_{X}^{-1}N\\bigr) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(M,\\ j_{X*}j_{X}^{-1}N\\bigr).$$\n\n对一个**测试对象** $Z$ 也一样：$\\operatorname{Hom}(X, N)(Z) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(j_{Z}^{-1} X,\\ j_{Z}^{-1}N\\bigr)$（只是把 $X$ 换成 $Z$ 那一对伴随）。", "notes": "**证明。** 每一步都是一次伴随：内 Hom 的取值 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M,N)(X) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(M, N)(\\mathbf{1}_{X})$ 与 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(j_{X}^{-1}M, j_{X}^{-1}N)$ 之间用 $j_{X!} \\dashv j_{X}^{-1}$ 搭桥 ✓，$j_{X}^{-1} \\dashv j_{X*}$ 则把中间的 Hom 换成最后一式 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.60" ] }, { "id": "prop.slice-shriek-projection", "type": "proposition", "label": "切片的投影公式", "title": "命题：$j_{X!}(M \\otimes j_{X}^{-1}N) = j_{X!}M \\otimes N$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 20, "tags": [ "命题", "切片拓扑斯", "投影公式", "张量积", "伴随" ], "statement": "设 $\\mathcal{T}$ 是拓扑斯、$X \\in \\mathcal{T}$、$M, N$ 是阿贝尔群层。则\n\n$$j_{X!}\\bigl(M \\otimes_{\\mathbb{Z}} j_{X}^{-1}N\\bigr) = j_{X!}M \\otimes_{\\mathbb{Z}} N, \\qquad j_{X!}\\bigl(j_{X}^{-1}M \\otimes_{\\mathbb{Z}} N\\bigr) = M \\otimes_{\\mathbb{Z}} j_{X!}N.$$\n\n特别地\n\n$$M\\cdot X \\;:=\\; M \\otimes_{\\mathbb{Z}} \\mathbb{Z}\\cdot X \\;=\\; j_{X!}j_{X}^{-1}M.$$", "notes": "**证明。** 投影公式是「左伴随与封闭幺半结构相容」的一般现象：把两边的 Hom 用 $j_{X!} \\dashv j_{X}^{-1}$ 与张量–内 Hom 伴随对到同一处，由米田引理得同构 ✓。最后一式把 $N = \\mathbb{Z}$ 代入并记住 $j_{X!}\\mathbb{Z} = \\mathbb{Z}\\cdot X$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.61" ] }, { "id": "prop.fully-faithful-injective", "type": "proposition", "label": "全忠实函子本质单射", "title": "命题：$F$ 全忠实 $\\implies$ $F(X) \\cong F(Y)$ 则 $X \\cong Y$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 10, "tags": [ "命题", "全忠实", "本质单射", "同构" ], "statement": "若 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ **全忠实**，则它**本质单射**：\n\n$$F(X) \\cong F(Y) \\implies X \\cong Y.$$", "notes": "**证明。** 给同构 $u : F(X) \\to F(Y)$。由全忠实，$u$ 唯一地来自某个 $f : X \\to Y$，$u^{-1}$ 唯一地来自某个 $g : Y \\to X$ ✓。于是 $F(g f) = u^{-1} u = 1_{F(X)} = F(1_{X})$ ✓，再由全忠实（忠实）得 $g f = 1_{X}$ ✓；对称地 $f g = 1_{Y}$ ✓。∎\n\n⚠️ 反过来不对：本质单射的函子未必全忠实。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.17" ] }, { "id": "prop.preorder-as-category", "type": "proposition", "label": "预序集就是「Hom 至多一元」的小范畴", "title": "命题：预序集 $\\hookrightarrow$ 小范畴，且与其有序商等价", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 11, "tags": [ "命题", "预序集", "小范畴", "全忠实", "范畴等价" ], "statement": "1. 把预序集看成小范畴（$x \\le y$ 给唯一态射）给出一个**全忠实**函子，其本质像恰是「每对对象之间至多一个态射」的小范畴；\n2. 预序集 $X$ 与它的**有序商** $Y$（把 $x \\le y \\le x$ 粘起来）是**等价**的范畴。", "notes": "**证明。** (1) 两个预序集之间的函子就是保序映射 ✓，而 Hom 集至多一个元素让忠实与满自动成立 ✓。(2) 商映射 $X \\to Y$ 保序 ✓；在每个等价类里选一个代表，给出反方向函子 $Y \\to X$ ✓；两个复合都是恒等（在 $Y$ 上）或与恒等自然同构（在 $X$ 上，$x \\le$ 代表 $\\le x$）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.15, Exercise 1.18" ] }, { "id": "prop.slice-fully-faithful-mono", "type": "proposition", "label": "单态射的切片刻画", "title": "命题：$f$ 单 $\\iff$ $\\mathcal{C}/Y \\to \\mathcal{C}/X$ 全忠实", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.structure", "layer": 14, "tags": [ "命题", "单态射", "满态射", "切片范畴", "全忠实" ], "statement": "态射 $f : Y \\to X$ 是**单态射** $\\iff$ 沿 $f$ 的切片函子\n\n$$\\mathcal{C}/Y \\longrightarrow \\mathcal{C}/X, \\qquad (A \\to Y) \\longmapsto (A \\to Y \\to X)$$\n\n是**全忠实**的。对偶地：$f$ 是满态射 $\\iff$ $X\\backslash\\mathcal{C} \\to Y\\backslash\\mathcal{C}$ 全忠实。", "notes": "**证明。** 该函子在 Hom 集上就是包含映射（两边都是 $\\operatorname{Hom}(A, B)$ 的子集），所以**忠实自动成立** ✓，只需看满。\n\n**$(\\Longrightarrow)$** 给 $v : A \\to B$ 与 $b \\circ v = f \\circ a$：由 $f$ 单得 $b \\circ v = a$ ✓，即 $v$ 是 $/Y$ 里的态射 ✓。\n\n**$(\\Longleftarrow)$** 若 $f g = f h$，取 $a = g$、$b = 1_{Y}$：在 $/X$ 里 $h$ 与 $g$ 都是同一对对象之间的态射，由忠实得 $g = h$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.32" ] }, { "id": "prop.projective-universal-epi", "type": "proposition", "label": "投射对象与满态射的截面", "title": "命题：满态射万有时，投射 $\\iff$ 到它的满射都分裂", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 15, "tags": [ "命题", "投射对象", "满态射", "截面", "拉回" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 有纤维积、且**满态射是万有的**（沿任意态射拉回仍是满态射）。则\n\n$$X \\text{ 是投射对象} \\iff \\text{每个满态射 } Y \\twoheadrightarrow X \\text{ 都有截面}.$$", "notes": "**证明。**\n\n**$(\\Longleftarrow)$** 给满态射 $p : Y \\twoheadrightarrow Z$ 与 $f : X \\to Z$。取拉回 $X \\times_{Z} Y \\to X$：由万有性它是满态射 ✓，于是有截面 $s$ ✓；$s$ 与第二条投影复合给出 $X \\to Y$ 使 $p \\circ (\\text{复合}) = f$ ✓，即 $f$ 提升 ✓。\n\n**$(\\Longrightarrow)$** 满态射 $Y \\twoheadrightarrow X$ 本身就是一次提升测试（拿 $1_{X}$ 去提升）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.49" ] }, { "id": "prop.functor-preserves-monoid-objects", "type": "proposition", "label": "保有限积的函子作用于代数对象", "title": "命题：$F$ 保有限积 $\\implies F$ 诱导 $\\mathrm{Mon}(\\mathcal{C}) \\to \\mathrm{Mon}(\\mathcal{D})$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.algebra", "layer": 15, "tags": [ "命题", "幺半群对象", "群对象", "环对象", "保有限积" ], "statement": "若 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ **保有限积**（含终对象），则它把\n\n$$\\text{幺半群对象} \\longmapsto \\text{幺半群对象}, \\qquad \\text{群对象} \\longmapsto \\text{群对象}, \\qquad \\text{环对象} \\longmapsto \\text{环对象},$$\n\n以及 $G$-对象、$A$-模、$k$-代数同理 —— 于是它诱导出 $\\mathrm{Mon}(\\mathcal{C}) \\to \\mathrm{Mon}(\\mathcal{D})$ 等一串函子。", "notes": "**证明。** 一个群对象就是「$m : G \\times G \\to G$、$e : \\mathbf{1} \\to G$、$i : G \\to G$ 加上若干交换图」✓。$F$ 保有限积（特别地保 $G \\times G$ 与 $\\mathbf{1}$），把这些态射与交换图逐条搬过去，得到的仍是群对象 ✓。环对象、模、$G$-对象也一样（它们的数据都只用到有限积）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.53" ] }, { "id": "prop.adjunction-extends-to-diagrams", "type": "proposition", "label": "伴随延拓到图范畴", "title": "命题：$F \\dashv G \\implies F_{I} \\dashv G_{I}$（逐点）", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 14, "tags": [ "命题", "伴随", "图范畴", "逐点", "函子范畴" ], "statement": "若 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 与 $G : \\mathcal{D} \\to \\mathcal{C}$ 互为伴随，则对任意指标范畴 $I$，**逐点作用**给出图范畴之间的伴随\n\n$$F_{I} \\dashv G_{I}, \\qquad F_{I}(D) = F \\circ D,\\quad G_{I}(E) = G \\circ E,$$\n\n即 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}^{I}}\\bigl(F \\circ D,\\ E\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}^{I}}\\bigl(D,\\ G \\circ E\\bigr)$。", "notes": "**证明。** 图范畴里的 Hom 集是**逐点**交出来的：给出自然变换等价于给出一族相容的态射 ✓。在每个 $i \\in I$ 上用 $F \\dashv G$ 得到 $\\operatorname{Hom}(FD_{i}, E_{i}) \\cong \\operatorname{Hom}(D_{i}, GE_{i})$ ✓；这族同构与 $I$ 中的态射相容（因为原来的同构关于 $F,G$ 自然）✓，于是它们拼成两个 Hom 集之间的同构 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.63" ] }, { "id": "prop.kan-extension-fully-faithful", "type": "proposition", "label": "全忠实沿自身的 Kan 延拓", "title": "命题：$p$ 全忠实 $\\implies p_{!}F \\circ p \\cong F$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 14, "tags": [ "命题", "Kan 延拓", "全忠实", "余极限", "逗号范畴" ], "statement": "设 $p : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ **全忠实**、$\\mathcal{D}$ 有余极限。则对每个 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$，左 Kan 延拓满足\n\n$$p_{!}F \\circ p \\;\\cong\\; F.$$", "notes": "**证明。** 用逐点公式 $p_{!}F(X') = \\varinjlim_{p(X) \\to X'} F(X)$ ✓。取 $X' = p(X_{0})$：逗号范畴 $p \\downarrow p(X_{0})$ 以 $1_{p(X_{0})}$ 为**终对象**（$p$ 全忠实说明 $p(X_0)$ 的态射到 $p(X)$ 唯一地来自 $X_0 \\to X$）✓，而沿带终对象的范畴取余极限就是取终对象处的值 ✓，于是 $(p_{!}F)(p(X_{0})) \\cong F(X_{0})$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.74" ] }, { "id": "prop.hausdorff-reflective", "type": "proposition", "label": "Hausdorff 空间是反射子范畴", "title": "命题：$\\mathbf{Haus} \\subset \\mathbf{Top}$ 是反射子范畴", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 11, "tags": [ "命题", "Hausdorff", "反射子范畴", "商" ], "statement": "**Hausdorff 空间**构成 $\\mathbf{Top}$ 的**反射子范畴**：反射是把每个拓扑空间送去它的「Hausdorff 化」$X \\mapsto X/\\!\\sim$。", "notes": "**证明。** 把 $X$ 里「不能被子开集分开」的点粘起来：定义 $x \\sim y$ $\\iff$ $x, y$ 在 $X$ 的每个开覆盖式的分离里都同进同出（等价地：$X$ 到任何 Hausdorff 空间的连续映射都把 $x,y$ 映到同一点）✓。商 $X/\\!\\sim$ 是 Hausdorff ✓，而且任何连续映射 $X \\to H$（$H$ Hausdorff）唯一地穿过它 ✓ —— 这正是反射的泛性质 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.3" ] }, { "id": "prop.normal-locally-closed", "type": "proposition", "label": "正规空间的邻域里有闭邻域", "title": "命题：正规 Hausdorff $\\implies$ 每个邻域含闭邻域", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 7, "tags": [ "命题", "正规空间", "邻域", "闭邻域" ], "statement": "设 $X$ 是**正规** Hausdorff 空间、$x \\in X$。则 $x$ 的每个邻域都含一个**闭**邻域。", "notes": "**证明。** 给邻域 $U \\ni x$。取 $x$ 的闭邻域 $F \\subseteq U$：由正规性造开集 $W$ 使 $x \\in W \\subseteq \\overline{W} \\subseteq U$ ✓（正规 = 不交闭集可被开集分开，把 $\\{x\\}$ 与 $X \\setminus U$ 分开），于是 $\\overline{W}$ 就是所含的闭邻域 ✓。∎\n\n⭐ 用处：紧空间里闭子集紧，所以「邻域含闭邻域」在紧 Hausdorff 里就变成「邻域含紧邻域」—— 这正是局部紧的常见来源。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.5" ] }, { "id": "prop.compact-basic-operations", "type": "proposition", "label": "紧性的基本操作", "title": "命题：闭子集紧、连续像紧、紧 Hausdorff 正规", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 15, "tags": [ "命题", "紧", "闭子空间", "连续像", "正规" ], "statement": "1. 紧空间的**闭子空间**紧；\n2. 紧空间的**连续像**紧；\n3. **紧 Hausdorff** 空间是**正规**的。", "notes": "**证明。** (1) 给闭子集 $F \\subseteq X$（$X$ 紧）与开覆盖，添上 $X \\setminus F$ 得 $X$ 的开覆盖，取有限子覆盖再删掉那一项 ✓。(2) 给 $f : X \\to Y$（$X$ 紧）与 $Y$ 中开覆盖，拉回得 $X$ 的开覆盖、取有限子覆盖再推回去 ✓。\n(3) 给不交闭集 $A, B$：对每个 $a \\in A$ 用 Hausdorff 性造 $a$ 的开邻域 $U_a$ 使 $\\overline{U_a} \\cap B = \\emptyset$ ✓；$A$ 紧，取有限个覆盖 $A$，令 $U := \\bigcup_{i} U_{a_i}$，则 $\\overline{U} \\cap B = \\emptyset$ ✓；对 $B$ 做一次同样的操作，再把两次得到的开集调小一层，就得到分开 $A, B$ 的开集 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.6, Exercise 2.7" ] }, { "id": "prop.quotient-of-compact", "type": "proposition", "label": "紧空间的商紧", "title": "命题：$S$ 紧 $\\implies S/R$ 紧", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 16, "tags": [ "命题", "紧", "商空间", "等价关系" ], "statement": "设 $S$ 是紧拓扑空间、$R$ 是 $S$ 上的等价关系。则商空间 $S/R$ 也是**紧**的。", "notes": "**证明。** 商映射 $\\pi : S \\to S/R$ 连续且满 ✓，而紧空间的连续像是紧的 ✓（见「紧性的基本操作」）。∎\n\n⚠️ 注意：一般 $S$ 紧 Hausdorff 也**不保证** $S/R$ Hausdorff —— 那要额外要求 $R$ 是闭的（这就是弱 Hausdorff / k-闭那一套的出发点）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.8" ] }, { "id": "prop.totally-disconnected-subspace", "type": "proposition", "label": "全不连通对子空间封闭", "title": "命题：全不连通空间的子空间全不连通", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 7, "tags": [ "命题", "全不连通", "子空间", "连通分量" ], "statement": "**全不连通**空间的**子空间**仍全不连通；同样地，闭开集限制到子空间上仍是闭开集。", "notes": "**证明。** 给子空间 $Y \\subseteq X$、$y \\in Y$。$X$ 里每个含 $y$ 的闭开集 $K$ 与 $Y$ 交出的 $K \\cap Y$ 在 $Y$ 里仍闭开 ✓；若 $Y$ 在 $y$ 处连通、含有另一个点 $y'$，则全不连通性给出 $X$ 的闭开集分离 $y, y'$ ✓，把它交到 $Y$ 上就断开 $Y$ —— 矛盾 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.16" ] }, { "id": "prop.profinite-sets-spaces", "type": "proposition", "label": "投射有限集即投射有限空间", "title": "命题：有限集的 pro-对象 $\\simeq$ 投射有限空间", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.stone", "layer": 13, "tags": [ "命题", "profinite", "pro-对象", "范畴等价" ], "statement": "有限集合范畴的 **pro-对象**所成范畴，与**投射有限空间**所成范畴**等价**。", "notes": "**证明。** pro-对象就是一个「按指标范畴取投影极限」的图表 ${E_{i}}$（$E_i$ 有限离散）✓，它照面给出一个投射有限空间 ✓；反过来，投射有限空间是有限离散空间的（滤过）投影极限 ✓（这是「投射有限」的定义读法）。两个方向互为逆 ✓。\n\n⭐ 于是「投射有限集」这个组合名字对得上：它既可以看作 pro-(有限集)，也可以看作紧全不连通空间。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.21" ] }, { "id": "prop.continuous-map-space-metric", "type": "proposition", "label": "紧 Hausdorff 上的函数空间是度量空间", "title": "命题：$S$ 紧 Hausdorff、$X$ （半）度量（完备）$\\implies C(S, X)$ 也是", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 16, "tags": [ "命题", "紧开拓扑", "函数空间", "度量空间", "完备" ], "statement": "设 $S$ 是**紧 Hausdorff** 空间、$X$ 是（半）度量空间（resp. 完备）。则连续函数空间 $C(S, X)$ 的**紧开拓扑**来自一个（半）度量（resp. 并且是完备的），即\n\n$$d(f, g) := \\sup_{s \\in S}\\ d\\bigl(f(s),\\ g(s)\\bigr).$$", "notes": "**证明。** $S$ 紧、$d$ 连续，所以 $s \\mapsto d(f(s), g(s))$ 连续因而**取到上确界** ✓，上式是有限值，给出（半）度量；它诱导的正是紧开拓扑（等度连续/一致收敛就是紧开拓扑在紧空间上的样子）✓。完备性：给 Cauchy 列，由一致收敛取逐点极限 $f$，一致收敛保证 $f$ 连续 ✓，且它在同一度量下收敛 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.29" ] }, { "id": "prop.ind-representable-iff-left-exact", "type": "proposition", "label": "ind-可表示即左正合", "title": "命题：$T$ ind-可表示 $\\iff$ $\\mathcal{C}/T$ 滤过 $\\iff$ $T$ 左正合", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 14, "tags": [ "命题", "ind-可表示", "滤过", "左正合", "预层" ], "statement": "预层 $T \\in \\widehat{\\mathcal{C}}$ 的三条说法等价：\n\n1. $T$ 是 **ind-可表示**的（可表示为滤过的可表示预层余极限）；\n2. 切片范畴 $\\mathcal{C}/T$ 是**滤过**的；\n3. $T$ **左正合**（保有限极限）。", "notes": "**证明。** (2) $\\iff$ (1)：$T = \\varinjlim_{X \\to T} h_{X}$ 总是成立（元素范畴的余极限给出 $T$）✓，而它落在可表示预层上、指标范畴正是 $\\mathcal{C}/T$ ✓，所以「可表示为滤过余极限」与「$\\mathcal{C}/T$ 滤过」是同一句话 ✓。(1) $\\iff$ (3)：滤过余极限保有限极限 ✓，可表示预层左正合 ✓，于是余极限也左正合；反过来左正合的预层由它自己的元素范畴给出的表达是滤过的 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.8" ] }, { "id": "prop.covering-sieves-filter", "type": "proposition", "label": "覆盖筛构成滤子", "title": "命题：$J(X)$ 是筛的序集上的滤子", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 15, "tags": [ "命题", "Grothendieck 拓扑", "覆盖筛", "滤子" ], "statement": "对每个 $X$，$J(X)$（$X$ 上的覆盖筛全体）是筛的序集上的**滤子**：\n\n1. $J(X) \\ne \\emptyset$；\n2. $R, R' \\in J(X) \\implies R \\cap R' \\in J(X)$（即 $J(X)$ 对下界封闭）；\n3. $R \\in J(X)$ 且 $R \\subseteq R' \\implies R' \\in J(X)$（对更大的筛封闭）。", "notes": "**证明。** 三条都是 Grothendieck 拓扑公理的直接改写：公理 (T1) 给出 $h_{X} \\in J(X)$ ✓；公理 (T2)（覆盖沿自身拉回）给出第 3 条 ✓；公理 (T3)（覆盖沿覆盖细化）给出第 2 条 = 「两个覆盖的公共细化仍是覆盖」✓。∎\n\n⭐ 于是「沿越来越大的覆盖取极限」是对一个**滤子**取滤过余极限 —— Čech 函子的定义正是这么写的。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.11" ] }, { "id": "prop.site-covering-families-pretopology", "type": "proposition", "label": "覆盖族构成预拓扑", "title": "命题：site 里所有生成覆盖筛的族构成预拓扑", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 14, "tags": [ "命题", "site", "预拓扑", "覆盖族" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是有纤维积的 site。则全体「生成 $X$ 的覆盖筛」的族 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 构成 $\\mathcal{C}$ 上的一个**预拓扑**，而且它**生成 $\\mathcal{C}$ 原来的拓扑** —— 这个预拓扑叫**极大预拓扑**。\n\n⚠️ 注意：生成覆盖筛的族**未必**是**给定**预拓扑下的覆盖族 —— 「极大」说的是「对给定的拓扑」，不是「对给定的预拓扑」。", "notes": "**证明。** 逐条验证预拓扑公理 ✓：恒等同构是覆盖 ✓；覆盖沿任意态射拉回仍是覆盖（用 (T2) 与纤维积）✓；两个覆盖的公共细化是覆盖（用 (T3)）✓。∎\n\n⭐ 读法：**site 与（带纤维积的）预拓扑是同一份数据的两种写法** —— 用筛写方便讲层，用族写方便实际算。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.14" ] }, { "id": "prop.sheafification-image", "type": "proposition", "label": "层化与像交换", "title": "命题：$\\operatorname{im}(T^{\\#} \\to T'^{\\#}) = \\bigl(\\operatorname{im}(T \\to T')\\bigr)^{\\#}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "命题", "层化", "像", "正合" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site、$u : T \\to T'$ 是预层态射。则\n\n$$\\operatorname{im}\\bigl(T^{\\#} \\to T'^{\\#}\\bigr) \\;=\\; \\Bigl(\\operatorname{im}\\bigl(T \\to T'\\bigr)\\Bigr)^{\\#}.$$", "notes": "**证明。** 层化**正合**（既保有限极限又保余极限）✓，所以它把预层里的像（$\\ker(\\operatorname{coker})$ 形式）逐项送过去；层范畴里的像同样由 $\\operatorname{im} = \\ker(\\operatorname{coker})$ 给出 ✓，两条路走到同一处 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.20" ] }, { "id": "prop.sheafification-slice-colimit", "type": "proposition", "label": "层化是切片上的余极限", "title": "命题：$T^{\\#} \\cong \\varinjlim_{X \\in \\mathcal{C}/T} X$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 17, "tags": [ "命题", "层化", "切片范畴", "余极限", "关联层" ], "statement": "设 $T$ 是 site $\\mathcal{C}$ 上的预层。则它的层化是切片范畴上的余极限\n\n$$T^{\\#} \\;\\cong\\; \\varinjlim_{X \\in \\mathcal{C}/T}\\ X^{\\sharp},$$\n\n这里每个 $X$ 都看成它的关联层 $X^{\\sharp} = h_{X}^{\\#}$。", "notes": "**证明。** $T = \\varinjlim_{(X \\to T)} h_{X}$ ✓（元素范畴给出的余极限），层化保余极限 ✓，而 $h_{X}^{\\#} = X^{\\sharp}$ ✓，于是 $T^{\\#} = \\varinjlim X^{\\sharp}$ ✓。∎\n\n⭐ 读法：**层化就是「把 $T$ 按它的元素拆开、逐个关联层化再拼回去」**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.26" ] }, { "id": "prop.sheaf-hom-computed-in-presheaves", "type": "proposition", "label": "层之间的 Hom 在预层里算", "title": "命题：$\\operatorname{Hom}_{\\widetilde{\\mathcal{C}}}(T^{\\#}, F) = \\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}(T, F)$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 10, "tags": [ "命题", "层化", "伴随", "Hom" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site、$T$ 是预层、$F$ 是**层**。则\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\widetilde{\\mathcal{C}}}\\bigl(T^{\\#},\\ F\\bigr) \\;=\\; \\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}\\bigl(T,\\ F\\bigr).$$", "notes": "**证明。** 层化 $(-)^{\\#}$ 与含入互为一对伴随 ✓，于是\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\widetilde{\\mathcal{C}}}\\bigl(T^{\\#}, F\\bigr) = \\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}\\bigl(T,\\ F\\bigr) ✓$$\n\n（右边把 $F$ 看成预层）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.45" ] }, { "id": "prop.inverse-image-constant-sheaf", "type": "proposition", "label": "常层沿拉回不变", "title": "命题：$f^{-1}\\overline{E} = \\overline{E}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 18, "tags": [ "命题", "常层", "拉回", "拓扑斯态射" ], "statement": "设 $f : \\mathcal{T} \\to \\mathcal{T}'$ 是拓扑斯态射、$\\overline{E}$ 是常层（$E$ 是集合）。则\n\n$$f^{-1}\\bigl(\\overline{E}\\bigr) \\;=\\; \\overline{E}.$$", "notes": "**证明。** 常层由余极限拼出：$\\overline{E} = \\coprod_{e \\in E} \\mathbf{1}$ ✓；而 $f^{-1}$ 是**左伴随**，保余极限，且 $f^{-1}\\mathbf{1} = \\mathbf{1}$ ✓，于是 $f^{-1}\\overline{E} = \\coprod_{e} f^{-1}\\mathbf{1} = \\overline{E}$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.50" ] }, { "id": "prop.stalk-of-sheafification", "type": "proposition", "label": "层化不改变茎", "title": "命题：$(T^{\\#})_{x} = T_{x}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "命题", "茎", "层化", "滤过余极限" ], "statement": "设 $X$ 是拓扑空间、$T$ 是 $X$ 上的预层、$x \\in X$。则层化不改变茎：\n\n$$\\bigl(T^{\\#}\\bigr)_{x} \\;=\\; T_{x}.$$", "notes": "**证明。** 茎是沿 $x$ 的开邻域取的**滤过余极限** ✓，而层化是保滤过余极限的（它是保余极限的左伴随）✓；两侧都归结到 $T$ 在同一批邻域上的取值 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.57" ] }, { "id": "prop.module-tensor-universal", "type": "proposition", "label": "张量积对双线性映射万有", "title": "命题：$\\operatorname{Bil}(M \\times N,\\ P) \\cong \\operatorname{Hom}(M \\otimes N,\\ P)$", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 9, "tags": [ "命题", "张量积", "双线性", "泛性质" ], "statement": "张量积 $M \\otimes_{\\mathbb{Z}} N$（resp. $M \\otimes_{k} N$）对 $\\mathbb{Z}$-双线性（resp. $k$-双线性）映射**万有**：\n\n$$\\operatorname{Bil}_{\\mathbb{Z}}(M \\times N,\\ P) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}\\bigl(M \\otimes_{\\mathbb{Z}} N,\\ P\\bigr),$$\n\n左边的双线性映射与右边的群同态一一对应。", "notes": "**证明。** 先造自由模上的张量积：取 $\\mathbb{Z}\\cdot(M \\times N)$（自由阿贝尔群），商掉「双线性关系」\n\n$$(m + m', n) \\sim (m, n) + (m', n), \\quad (m, n + n') \\sim (m, n) + (m, n'), \\quad (am, n) \\sim a(m,n) \\sim (m, an) ✓$$\n\n一般模由自由模商出（取表现）✓，商上的张量积就是商 ✓。这时 $M \\times N \\to M \\otimes N$ 双线性 ✓，任何双线性映射 $M \\times N \\to P$ 唯一地穿过它 ✓ —— 这正是万有性质 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.21" ] }, { "id": "prop.set-top-ab-complete", "type": "proposition", "label": "Set、Top、Ab 的完备性", "title": "命题：$\\mathbf{Set} / \\mathbf{Top} / \\mathbf{Ab}$ 完备且余完备", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.limit", "layer": 13, "tags": [ "命题", "完备", "余完备", "遗忘函子", "Set" ], "statement": "$\\mathbf{Set}$、$\\mathbf{Top}$、$\\mathbf{Ab}$ 都有**所有小极限与小余极限**。\n\n遗忘函子 $\\mathbf{Top} \\to \\mathbf{Set}$ **既保所有极限又保所有余极限**；而 $\\mathbf{Ab} \\to \\mathbf{Set}$ **保所有极限，但不保余积**。", "notes": "**证明。** $\\mathbf{Set}$：小积与等化子给出所有小极限 ✓，不交并与余等化子给出所有小余极限 ✓。$\\mathbf{Top}$：同样的构造配上相应的拓扑（积拓扑、子空间/等化子拓扑、不交并拓扑、商拓扑）✓。$\\mathbf{Ab}$：用自由阿贝尔群与商群造 ✓。\n\n遗忘函子保极限是因为拓扑与代数结构都是「逐点」定义的 ✓；但 $M \\oplus N$ 的底集合不是 $M \\sqcup N$，所以 $\\mathbf{Ab} \\to \\mathbf{Set}$ 不保余积 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.38, Exercise 1.45" ] }, { "id": "prop.adjunction-composition", "type": "proposition", "label": "伴随的复合", "title": "命题：$F_{1} \\dashv G_{1}$、$F_{2} \\dashv G_{2}$ $\\implies$ $F_{2}F_{1} \\dashv G_{1}G_{2}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 10, "tags": [ "命题", "伴随", "复合" ], "statement": "若 $F_{1} \\dashv G_{1}$（$\\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$）与 $F_{2} \\dashv G_{2}$（$\\mathcal{D} \\to \\mathcal{E}$），则\n\n$$F_{2} \\circ F_{1} \\;\\dashv\\; G_{1} \\circ G_{2}.$$", "notes": "**证明。** 把两个伴随的同构串起来 ✓：对 $X \\in \\mathcal{C}$、$Z \\in \\mathcal{E}$，\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{E}}\\bigl(F_{2}F_{1}X,\\ Z\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F_{1}X,\\ G_{2}Z\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X,\\ G_{1}G_{2}Z\\bigr) ✓$$\n\n两次都用伴随的定义，而这族同构关于 $X, Z$ 自然（两个自然同构的复合仍自然）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.59" ] }, { "id": "prop.coproduct-chaus", "type": "proposition", "label": "不交并是紧 Hausdorff 的余积", "title": "命题：$S \\sqcup T$ 是 $\\mathbf{CHaus}$ 里的余积", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 16, "tags": [ "命题", "紧 Hausdorff", "不相交并", "余积" ], "statement": "在**紧 Hausdorff** 空间范畴里（自由紧 Hausdorff 空间之间也一样），**不交并**是**余积**：\n\n$$\\operatorname{Hom}(S \\sqcup T,\\ Z) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}(S, Z) \\times \\operatorname{Hom}(T, Z).$$", "notes": "**证明。** 一个连续映射 $S \\sqcup T \\to Z$ 由它在两半上的限制决定 ✓；反之给两条连续映射，把它们拼起来仍连续（不交并的拓扑就是两块拓扑的和）✓。于是上面的自然双射成立，即余积的泛性质 ✓。紧 Hausdorff 对有限不交并封闭（两块紧、两块 Hausdorff）✓。∎\n\n⚠️ 无限个不交并一般**不**紧，所以余积只对有限族留在范畴里；这也是后面用预拓扑（有限不交并）而不是一般不交并的原因。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.12" ] }, { "id": "prop.connected-image-closure", "type": "proposition", "label": "连通的像与闭包", "title": "命题：连通空间的像连通；连通子集的闭包连通", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topology.general", "layer": 6, "tags": [ "命题", "连通", "连续像", "闭包" ], "statement": "1. **连通**空间在连续映射下的像是连通的；\n2. 连通子集的**闭包**是连通的。", "notes": "**证明。** (1) 若 $f(X) = U \\sqcup V$ 是两块不交非空开集，则 $X = f^{-1}(U) \\sqcup f^{-1}(V)$ 断开 $X$ ✓。\n(2) 设 $A \\subseteq X$ 连通、$\\overline{A} = U \\sqcup V$（$U, V$ 在 $\\overline{A}$ 中非空开）。则 $A = (A \\cap U) \\sqcup (A \\cap V)$ ✓；由 $A$ 连通，不妨 $A \\cap V = \\emptyset$，于是 $A \\subseteq U$ 且 $V \\cap U = \\emptyset$ 蕴含 $V$ 在 $\\overline{A}$ 中也是闭的 ✓，故 $\\overline{A} \\subseteq U$，与 $V \\ne \\emptyset$ 矛盾 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.13" ] }, { "id": "prop.sieve-generated-by-family", "type": "proposition", "label": "族生成的筛", "title": "命题：$R = \\coprod_{i} \\operatorname{im}(h_{f_{i}})$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 11, "tags": [ "命题", "筛", "生成的筛", "Yoneda" ], "statement": "族 $(f_{i} : X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 生成的筛是\n\n$$R \\;=\\; \\coprod_{i \\in I} \\operatorname{im}\\bigl(h_{f_{i}}\\bigr),$$\n\n其中 $h_{f_{i}} : h_{X_{i}} \\to h_{X}$。也就是说：$g : Y \\to X$ 落在 $R$ 中 $\\iff$ 它在 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 里穿过某个 $f_{i}$。", "notes": "**证明。** 筛就是对每个 $Y$ 给一个 $\\operatorname{Hom}(Y, X)$ 的子集、且对预复合封闭 ✓。按定义，由 ${f_i}$ 生成的筛是**含全体 $f_{i}$ 的那个最小筛** ✓；而 $\\operatorname{im}(h_{f_{i}})$ 的取值正是「穿过 $f_{i}$ 的那些 $g$」，对预复合封闭 ✓，取并（余积）就得到最小的那个 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.10" ] }, { "id": "prop.pontryagin-finite-dim-banach", "type": "proposition", "label": "有限维 Banach 空间的对偶是向量空间对偶", "title": "命题：$V$ 有限维实 Banach $\\implies \\widehat{V} \\cong V^{\\ast}$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.topo", "layer": 18, "tags": [ "命题", "Pontryagin 对偶", "Banach 空间", "有限维" ], "statement": "设 $V$ 是**有限维**实 Banach 空间。则 Pontryagin 对偶就是通常的向量空间对偶：\n\n$$\\widehat{V} \\;\\cong\\; V^{\\ast} = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{R}}(V,\\ \\mathbb{R}).$$", "notes": "**证明。** 因为 $\\mathbb{T} = \\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$，而 $V$ 是有限维实向量空间、特别地**单连通** ✓，连续同态 $V \\to \\mathbb{T}$ 都能唯一地提升为连续同态 $V \\to \\mathbb{R}$ ✓。再注意：**连续的加法映射 $V \\to \\mathbb{R}$ 自动是 $\\mathbb{R}$-线性的** —— 先在有理数上由加性得 $f(qv) = q f(v)$ ✓，再由连续性逼近实数系数 ✓。于是 $\\widehat{V} \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{R}}(V, \\mathbb{R}) = V^{\\ast}$ ✓。∎\n\n📌 前提「有限维」不能去掉：实 Banach 空间**局部紧当且仅当有限维**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 6.8" ] }, { "id": "prop.chaus-quotient-equiv", "type": "proposition", "label": "紧 Hausdorff 上商映射的四种说法", "title": "命题：商映射 $\\iff$ 正则满 $\\iff$ 满态射 $\\iff$ 满射", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.chaus", "layer": 16, "tags": [ "命题", "紧 Hausdorff", "商映射", "正则满态射", "满态射" ], "statement": "设 $\\pi : S \\to T$ 是**紧 Hausdorff** 空间之间的连续映射。以下四条等价：\n\n1. $\\pi$ 是**商映射**；\n2. $\\pi$ 是**正则满态射**；\n3. $\\pi$ 是**满态射**；\n4. $\\pi$ 是**满射**。", "notes": "**证明（循环）。** (1)$\\implies$(2)：商映射是某个余等化子，因而正则满 ✓。(2)$\\implies$(3)：正则满自动是满态射 ✓。(3)$\\implies$(4)：紧 Hausdorff 之间，满态射就是满射（紧 Hausdorff 是「投射对象够多」的范畴，满态射有截面，特别地满）✓。(4)$\\implies$(1)：紧 Hausdorff 的连续满射是商映射（紧空间到 Hausdorff 空间的连续满射诱导同胚于商）✓。∎\n\n⭐ 用处：在紧 Hausdorff 里验「商映射」不必再拿开集去对，**满射就够了** —— 这是后面把「覆盖」读成「满态射」的依据。\n\n📌 「紧 $\\to$ Hausdorff 的连续满射是商映射」这一步用的是：紧空间里闭子集紧、连续像紧，于是 $T$ 里的闭集若拉回来闭就闭。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.9" ] }, { "id": "prop.weak-hausdorff-k-closed", "type": "proposition", "label": "弱 Hausdorff 的对角线与核", "title": "命题：对角线 $k$-闭 $\\iff$ 弱 Hausdorff；$\\ker(f,g)$ 也 $k$-闭", "region": "topology", "regions": [ "topology" ], "cluster": "topo.cg", "layer": 18, "tags": [ "命题", "弱 Hausdorff", "k-闭", "对角线", "紧生成" ], "statement": "1. 若 $X$ 弱 Hausdorff，则对角线 $X \\subseteq X \\times X$ 是 **$k$-闭**的；$X$ 紧生成时反过来也对；\n2. 若 $Y$ 弱 Hausdorff、$f, g : X \\to Y$ 连续，则 $\\ker(f, g) \\subseteq X$ 是 **$k$-闭**的。", "notes": "**证明。** (1) 给紧 Hausdorff 的 $S$ 与连续 $h : S \\to X \\times X$，$S$ 紧 Hausdorff 于是 $h$ 的两个分量把 $S$ 送到紧块；弱 Hausdorff 说紧块的像闭 ✓，于是 $h^{-1}(X)$ 是两块闭集之交的逆像，闭 ✓ —— 即 $X$ 在 $X\\times X$ 里 $k$-闭 ✓。反过来（紧生成时）用「$k$-闭 $\\iff$ 与每个紧块交闭」把弱 Hausdorff 性读出来 ✓。(2) $\\ker(f,g)$ 是对角线沿连续映射 $(f,g) : X \\to Y \\times Y$ 的逆像 ✓，$k$-闭性在逆像下保持 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.36, Exercise 2.37" ] }, { "id": "prop.topology-alternative-axiom", "type": "proposition", "label": "拓扑公理的替代形式", "title": "命题：最后一条公理可换成「放大 + 局部化」", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 15, "tags": [ "命题", "Grothendieck 拓扑", "覆盖筛", "公理" ], "statement": "Grothendieck 拓扑定义里**最后一条公理**可以换成：对一切 $R \\subseteq R' \\subseteq h_{X}$，\n\n$$R \\in J(X) \\implies R' \\in J(X), \\qquad \\bigl(R' \\in J(X) \\text{ 且 } \\forall f \\in R'(Y),\\ f^{-1}(R) \\in J(Y)\\bigr) \\implies R \\in J(X).$$", "notes": "**证明。** 两条正是原公理 (T2)、(T3) 的「筛版本」：第一句说覆盖**对放大封闭**（原来那条是「沿自身拉回仍覆盖」，两者等价）✓；第二句说**局部是覆盖则整体是覆盖**（原来那条是「覆盖沿覆盖细化」）✓。逐条对照即得 ✓。∎\n\n⭐ 读法：这两句把「覆盖」说成一族满足**滤子 + 局部性**的筛，实际验证拓扑时比原公理好写好用。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.12" ] }, { "id": "prop.constant-sheaf-adjunction", "type": "proposition", "label": "常层的伴随", "title": "命题：$\\operatorname{Hom}(\\widetilde{E}_{\\mathcal{C}}, F) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Set}}\\bigl(E, \\operatorname{Hom}(\\mathbf{1}_{\\mathcal{C}}, F)\\bigr)$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "命题", "常层", "伴随", "终对象" ], "statement": "设 $E$ 是集合、$F$ 是 site $\\mathcal{C}$ 上的层。则\n\n$$\\operatorname{Hom}\\bigl(\\widetilde{E}_{\\mathcal{C}},\\ F\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Set}}\\bigl(E,\\ \\operatorname{Hom}(\\mathbf{1}_{\\mathcal{C}}, F)\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}(\\mathbf{1}_{\\mathcal{C}}, F)^{E},$$\n\n其中 $\\mathbf{1}_{\\mathcal{C}}$ 是终对象。", "notes": "**证明。** 常层是「$E$ 份终对象」的余积的层化 ✓，而层化与含入互为伴随、余积的 Hom 是积 ✓，于是\n\n$$\\operatorname{Hom}\\bigl(\\widetilde{E},\\ F\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}\\Bigl(\\coprod_{E} \\mathbf{1}_{\\mathcal{C}},\\ F\\Bigr) \\cong \\operatorname{Hom}(\\mathbf{1}_{\\mathcal{C}}, F)^{E} ✓$$\n\n左端再换成 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Set}}(E, \\operatorname{Hom}(\\mathbf{1}, F))$ 即可 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.22" ] }, { "id": "prop.constant-sheaf-top", "type": "proposition", "label": "拓扑空间上的常层就是离散空间的层", "title": "命题：$\\widetilde{E}_{\\mathbf{Top}} \\cong \\underline{E^{\\mathrm{disc}}}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 17, "tags": [ "命题", "常层", "拓扑空间", "连通", "离散空间" ], "statement": "设 $E$ 是集合。则 $\\mathbf{Top}$ 上的**常层**就是**离散空间** $E$ 所给出的层：\n\n$$\\widetilde{E}_{\\mathbf{Top}} \\;\\cong\\; \\underline{E^{\\mathrm{disc}}},$$\n\n并且 $\\widetilde{E}_{\\mathbf{Top}}(X) = E$ $\\iff$ $X$ **连通**。", "notes": "**证明。** 常层的取值是「$X$ 上的**局部常值** $E$-值映射」✓（层化把常预层换成局部常值映射），而离散空间 $E$ 给出的层取值是连续映射 $X \\to E^{\\mathrm{disc}}$ —— 那正好也是局部常值映射 ✓，两者一致 ✓。而「$X$ 上每个局部常值映射都是常映射」$\\iff$ $X$ 连通 ✓。∎\n\n⭐ 这条把「常」与「离散」接上了：**离散空间的凝聚态集就是常层**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.23" ] }, { "id": "prop.topos-morphism-from-object", "type": "proposition", "label": "对象给出拓扑斯态射", "title": "命题：$X \\in \\mathcal{C}$ 给出 $\\widehat{X} : \\mathbf{Set} \\to \\widehat{\\mathcal{C}}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 19, "tags": [ "命题", "拓扑斯态射", "函子", "预层范畴" ], "statement": "把 $X \\in \\mathcal{C}$ 看成函子 $X : \\mathbf{1} \\to \\mathcal{C}$，它给出拓扑斯态射 $\\widehat{X} : \\mathbf{Set} \\to \\widehat{\\mathcal{C}}$，三个函子在对象上由下式给出：\n\n$$\\widehat{X}^{-1}(T) = T(X), \\qquad \\bigl(\\widehat{X}_{!}(E)\\bigr)(Y) = \\begin{cases} E & \\exists\\, Y \\to X,\\\\ \\emptyset & \\text{否则},\\end{cases} \\qquad \\bigl(\\widehat{X}_{*}(E)\\bigr)(Y) = \\begin{cases} E & \\exists\\, X \\to Y,\\\\ \\{0\\} & \\text{否则}.\\end{cases}$$", "notes": "**证明。** 由「任意函子诱导拓扑斯态射」，$X : \\mathbf{1} \\to \\mathcal{C}$ 诱导出 $\\widehat{X}_{!} \\dashv \\widehat{X}^{-1} \\dashv \\widehat{X}_{*}$ ✓。三条公式分别是：拉回就是取值 ✓；左 Kan 延拓沿 $\\mathbf{1} \\to \\mathcal{C}$ 由逗号范畴的余极限给出，而「$\\exists Y \\to X$」正是那个余极限非空的条件 ✓；右伴对偶 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.52" ] }, { "id": "prop.topos-morphism-final-map", "type": "proposition", "label": "终映射给出的拓扑斯态射", "title": "命题：$p : X \\to \\mathbf{1}$ 给出 $p_{*} = \\Gamma(X, -)$、$p^{-1}E = \\widetilde{E}_{X}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 20, "tags": [ "命题", "拓扑斯态射", "整体截面", "常层" ], "statement": "设 $X$ 是拓扑空间、$p : X \\to \\mathbf{1}$ 是到单点的映射。则它给出的拓扑斯态射满足\n\n$$p_{*}\\mathcal{F} = \\Gamma(X, \\mathcal{F}), \\qquad p^{-1}E = \\widetilde{E}_{X};$$\n\n而且对连续映射 $f : Y \\to X$，有 $\\widetilde{E}_{Y} = f^{-1}\\widetilde{E}_{X}$。", "notes": "**证明。** $p_{*}$ 是「推前」，在单点上的层就是整体截面 ✓；$p^{-1}$ 是「拉回」，把集合 $E$ 送到 $X$ 上的常层 $\\widetilde{E}_{X}$ ✓（它在 $\\mathbf{Top}$ 上的层就是 $\\underline{E^{\\mathrm{disc}}}$）。最后一式：记 $q : Y \\to \\mathbf{1}$，则 $q = p \\circ f$，而推前/拉回关于复合相容 ✓，于是 $\\widetilde{E}_{Y} = q^{-1}E = f^{-1}p^{-1}E = f^{-1}\\widetilde{E}_{X}$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.55" ] }, { "id": "prop.topos-morphism-point", "type": "proposition", "label": "点给出的拓扑斯态射", "title": "命题：$x : \\mathbf{1} \\to X$ 给出 $(x_{*}E)(U) = E$（$x \\in U$）与 $x^{-1}\\mathcal{F} = \\mathcal{F}_{x}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 18, "tags": [ "命题", "拓扑斯态射", "点", "茎" ], "statement": "设 $X$ 是拓扑空间、$x : \\mathbf{1} \\to X$ 是一个点。则它给出的拓扑斯态射满足\n\n$$(x_{*}E)(U) = \\begin{cases} E & x \\in U,\\\\ \\emptyset & x \\notin U,\\end{cases} \\qquad x^{-1}\\mathcal{F} = \\mathcal{F}_{x}.$$\n\n也就是说：**推前是「只看 $x$ 的开邻域」的常层，拉回就是茎**。", "notes": "**证明。** $x_{*}E$ 的取值是「拉回 $x^{-1}(U)$ 的」：$x^{-1}(U)$ 在单点空间里要么是空集要么是全空间 ✓，于是取值如式 ✓。$x^{-1}$ 是 $x_{*}$ 的左伴随，由伴随公式 $\\operatorname{Hom}(x^{-1}\\mathcal{F}, E) = \\operatorname{Hom}(\\mathcal{F}, x_{*}E) = \\mathcal{F}_{x}$-型的计算即得它就是茎 ✓（也可直接用「茎 = 沿 $x$ 的开邻域取滤过余极限」）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.56" ] }, { "id": "prop.slice-topos", "type": "proposition", "label": "切片拓扑斯", "title": "命题：$\\widetilde{\\mathcal{C}/T} \\simeq \\widetilde{\\mathcal{C}}/\\widetilde{T}$，且 $j_{T} : \\widetilde{\\mathcal{C}/T} \\to \\widetilde{\\mathcal{C}}$ 是拓扑斯态射", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 13, "tags": [ "命题", "切片拓扑斯", "余连续", "拓扑斯态射" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site、$T \\in \\widehat{\\mathcal{C}}$。则\n\n1. $j_{T}$ **余连续**，因而给出拓扑斯态射 $j_{T} : \\widetilde{\\mathcal{C}/T} \\to \\widetilde{\\mathcal{C}}$；\n2. $\\widetilde{\\mathcal{C}/T} \\;\\simeq\\; \\widetilde{\\mathcal{C}}/\\widetilde{T}$；\n3. 在这个等价下，$j_{T!}$ 对应遗忘函子 $\\widetilde{\\mathcal{C}}/\\widetilde{T} \\to \\widetilde{\\mathcal{C}}$，$j_{T}^{-1}$ 对应 $\\mathcal{F} \\mapsto (\\mathcal{F} \\times \\widetilde{T} \\to \\widetilde{T})$。", "notes": "**证明。** (1) 余连续说的是「$j_{T}$ 把覆盖送到覆盖」，这由覆盖筛在切片里的定义直接核对 ✓，于是由「余连续函子给出拓扑斯态射」得到 $j_{T}$ ✓。(2) 两个范畴的对象都是「$X \\in \\mathcal{C}$ 加一个截面 $s \\in T(X)$」，层条件也逐字对应 ✓。(3) 把两边的函子按定义写出来即得 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.63, Exercise 3.64" ] }, { "id": "def.crystalline-sheaf", "type": "definition", "label": "晶体层", "title": "定义：所有过渡都是同构的 $\\mathbf{Top}_{/X}$ 上的层", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "定义", "晶体层", "切片拓扑斯", "espace étalé" ], "statement": "给出 $\\mathbf{Top}_{/X}$ 上的一个层 $\\mathcal{F}$，等价于给出所有 $\\mathcal{F}_{Y}$（$Y \\to X$）连同相容的态射\n\n$$\\alpha_{f} : f^{-1}\\mathcal{F}_{Y} \\longrightarrow \\mathcal{F}_{Z} \\qquad (f : Z \\to Y).$$\n\n若所有 $\\alpha_{f}$ 都是**同构**，就叫 $\\mathcal{F}$ 是**晶体层**（crystalline sheaf）。", "notes": "**读法。** $\\mathbf{Top}_{/X}$ 上的层就是「把 $X$ 上每个空间 $Y$ 上的数据 $\\mathcal{F}_{Y}$ 按拉回相容地拼起来」✓；晶体的意思正是「拉回就是同一个东西」—— 数据只依赖 $Y \\to X$ 的**同伦/同胚型**，不依赖 $Y$ 的选取 ✓。\n\n📌 这条是下面「晶体层 $\\simeq$ $X$ 上的层」那条定义的一半。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.67" ] }, { "id": "prop.crystalline-sheaf-equiv", "type": "proposition", "label": "晶体层就是 X 上的层", "title": "命题：实化 $\\mathcal{F} \\mapsto \\mathcal{F}_{X}$ 给出等价；$\\mathbf{Et}(X) \\simeq \\widetilde{\\mathbf{Open}(X)}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.sheaf", "layer": 16, "tags": [ "命题", "晶体层", "espace étalé", "拓扑斯", "拓扑空间上的层" ], "statement": "1. **实化** $\\mathcal{F} \\mapsto \\mathcal{F}_{X}$ 给出 $\\mathbf{Top}_{/X}$ 上的**晶体层**与 $X$ 上的**层**之间的等价；\n2. 于是 $\\mathbf{Et}(X)$（$X$ 上的 étale 空间范畴）$\\simeq$ 晶体层 $\\simeq$ $X$ 上的层 —— 特别地 $\\mathbf{Et}(X)$ 是拓扑斯，因为 $\\mathbf{Et}(X) \\simeq \\widetilde{\\mathbf{Open}(X)}$。", "notes": "**证明的思路。** 从晶体层到 $X$ 上的层是「取 $Y = X$ 那份数据」✓；反方向把 $X$ 上的层 $\\mathcal{F}$ 送到 $\\mathbf{Top}_{/X}$ 上的层 $\\mathcal{F}_{Y} := f^{-1}\\mathcal{F}$（$f : Y \\to X$）✓ —— 这时过渡 $\\alpha_f$ 自动是同构，所以落在晶体层里 ✓。两个方向互逆 ✓。(2) 是 (1) 加上「$X$ 上的层范畴 $\\simeq$ étale 空间范畴」这条标准等价 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.68, Exercise 3.69" ] }, { "id": "prop.qc-sheaf-etale", "type": "proposition", "label": "拟紧层与紧的 étale 空间", "title": "命题：$X$ 上的层拟紧 $\\iff$ 对应 espace étalé 紧", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 16, "tags": [ "命题", "拟紧", "espace étalé", "标准拓扑" ], "statement": "拓扑空间 $X$ 上的层（对**标准拓扑**而言）**拟紧** $\\iff$ 与它对应的 **espace étalé** 是**紧**空间。", "notes": "**证明。** 拟紧的定义是「从余积出发的满态射可以取有限子族仍然满」✓；在 $X$ 上的层这个具体世界里，「$\\coprod_{i} \\mathcal{F}_{i} \\to \\mathcal{G}$ 满」正是 espace étalé 之间的映射在每根纤维上满，于是「有限子族已经满」$\\iff$「相应的紧空间被有限个块覆盖」✓ —— 两边同时成立 ✓。∎\n\n⭐ 读法：**拓扑空间上的「拟紧层」就是几何里那个「紧的 étale 空间」**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.70" ] }, { "id": "prop.discrete-iff-constant", "type": "proposition", "label": "离散即常", "title": "命题：$X$ 离散 $\\iff$ 常 $\\iff$ 只依赖紧 Hausdorff 的离散商", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "命题", "凝聚态集", "离散", "常层", "离散商" ], "statement": "对凝聚态集 $X$，三条等价：\n\n1. $X$ 是**离散的**：存在离散拓扑空间 $E$ 使 $X \\cong \\underline{E}$；\n2. $X$ 是**常的**：存在集合 $E$ 使 $X \\cong \\widetilde{E}$（常层）；\n3. 对任何紧 Hausdorff 空间 $S$，\n$$X(S) \\;\\cong\\; \\varprojlim_{S \\twoheadrightarrow S'} X(S'),$$\n其中 $S'$ 跑遍 $S$ 的**离散商**。", "notes": "**证明。** (1)$\\iff$(2)：离散空间 $E$ 给出的凝聚态集取值是 $\\underline{E}(S) = C(S, E)$，也就是「$S$ 上的局部常值 $E$-值映射」✓；而常层 $\\widetilde{E}$ 的取值按定义正是局部常值映射 ✓ —— 两个函子一致 ✓（见「拓扑空间上的常层就是离散空间的层」）。\n\n(2)$\\iff$(3)：局部常值映射只依赖 $S$ 的连通块结构，而这正是「沿 $S$ 的离散商取投影极限」读出来的信息 ✓；反过来若 $X(S) = \\varprojlim_{S \\twoheadrightarrow S'}X(S')$，则 $X$ 只看得见离散商，等价于常 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 4.5" ] }, { "id": "prop.underlying-preserves-coproduct", "type": "proposition", "label": "底函子保不交并", "title": "命题：$X = \\coprod_{i} X_{i}$ $\\implies$ $\\underline{X} = \\coprod_{i}\\underline{X_{i}}$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.set", "layer": 17, "tags": [ "命题", "凝聚态集", "不交并", "余积", "左伴随" ], "statement": "若拓扑空间 $X$ 是子空间的不交并 $X = \\coprod_{i \\in I} X_{i}$，则它的凝聚态集就是各块的凝聚态集在 $\\mathrm{Cond}$ 里的**余积**：\n\n$$\\underline{X} \\;=\\; \\coprod_{i \\in I} \\underline{X_{i}}.$$", "notes": "**证明。** 函子 $X \\mapsto \\underline{X}$（$\\underline{X}(S) = C(S, X)$）是 $X \\mapsto X(\\cdot)$ 的**左伴随** ✓，左伴随保余极限、特别地保余积 ✓。所以把拓扑空间的不交并送进 $\\mathrm{Cond}$，得到的就是余积 ✓（$\\mathrm{Cond}$ 里的余积是「先取逐点不交并、再层化」，正是 $C(S, \\coprod_i X_i)$ 的层化）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 4.8" ] }, { "id": "prop.discrete-functor-coproduct", "type": "proposition", "label": "离散函子保直和", "title": "命题：$\\bigl(\\bigoplus_{i} M_{i}\\bigr)^{\\mathrm{disc}} \\cong \\bigoplus_{i} M_{i}^{\\mathrm{disc}}$", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.ab", "layer": 18, "tags": [ "命题", "凝聚态阿贝尔群", "离散", "直和", "左伴随" ], "statement": "设 $(M_{i})_{i \\in I}$ 是一族阿贝尔群。则\n\n$$\\Bigl(\\bigoplus_{i \\in I} M_{i}\\Bigr)^{\\mathrm{disc}} \\;\\cong\\; \\bigoplus_{i \\in I} M_{i}^{\\mathrm{disc}},$$\n\n其中 $(-)^{\\mathrm{disc}}$ 是把阿贝尔群看成离散凝聚态阿贝尔群。", "notes": "**证明。** $(-)^{\\mathrm{disc}}$ 是遗忘函子的**左伴随** ✓，左伴随保余极限、特别地保直和 ✓。∎\n\n⚠️ 对**积**不成立：$(-)^{\\mathrm{disc}}$ 是左伴随，一般不保积 —— 这正是「离散化会把无限直积换成直和」的那件事。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 6.3" ] }, { "id": "prop.cond-quotient-topological", "type": "proposition", "label": "商群在凝聚态意义下一致", "title": "命题：$\\underline{M/N} \\cong \\underline{M}/\\underline{N}$（$N$ 闭）", "region": "condensed", "regions": [ "condensed" ], "cluster": "cond.ab", "layer": 18, "tags": [ "命题", "凝聚态阿贝尔群", "商群", "闭子群" ], "statement": "设 $N$ 是局部紧 Hausdorff 阿贝尔群 $M$ 的**闭**子群。则拓扑商群的凝聚态版本与凝聚态商的商一致：\n\n$$\\underline{M/N} \\;\\cong\\; \\underline{M}\\big/\\underline{N}.$$", "notes": "**证明。** 正合列 $0 \\to N \\to M \\to M/N \\to 0$ 里，$N$ 闭保证 $M/N$ 是 Hausdorff 的局部紧群 ✓；而「拓扑阿贝尔群 $\\mapsto$ 凝聚态阿贝尔群」是**保所有极限**的函子 ✓，它把商的余核送到余核 ✓。于是拓扑意义下的商与凝聚态意义下的商对上 ✓。∎\n\n📌 用处：算凝聚态阿贝尔群时，**可以先在拓扑这一侧把商算好再离散化**。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 6.5" ] }, { "id": "prop.derived-functor-kan-extension", "type": "proposition", "label": "导出函子就是 Kan 延拓", "title": "命题：$F$ 左正合 $\\implies RF$ 是沿局部化的左 Kan 延拓", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.complex", "layer": 14, "tags": [ "命题", "导出函子", "Kan 延拓", "局部化" ], "statement": "设 $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{A}'$ 是**左正合**加法函子。则 $RF$ 是复合映射\n\n$$\\mathbf{K}^{+}(\\mathcal{A}) \\xrightarrow{\\ F\\ } \\mathbf{K}^{+}(\\mathcal{A}') \\longrightarrow \\mathbf{D}^{+}(\\mathcal{A}')$$\n\n沿**局部化** $\\mathbf{K}^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathbf{D}^{+}(\\mathcal{A})$ 的（左）**Kan 延拓**（对偶地：右正合函子的 $LF$ 沿另一个局部化）。", "notes": "**证明。** 局部化（把拟同构变成同构）是预复合函子的左伴随 ✓，而左正合函子在拟同构上表现良好，于是「先取 $F$ 再局部化」这个复合函子沿局部化的左 Kan 延拓存在且正是 $RF$ ✓ —— 这就是导出函子的泛性刻画：它是 $F$ 在导出范畴里的**最优扩张** ✓。∎\n\n⭐ 读法：**「导出函子」不是新东西，它是局部化下的 Kan 延拓** —— 与「Kan 延拓就是伴随」配成一对。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.22" ] }, { "id": "prop.cohomology-via-associated-sheaf", "type": "proposition", "label": "用关联层算上同调", "title": "命题：$\\mathrm{R}\\Gamma(X, M^{\\bullet}) = \\mathrm{R}\\Gamma(\\underline{X}, M^{\\bullet})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "命题", "层上同调", "关联层", "整体截面" ], "statement": "设 $X \\in \\mathcal{C}$、$\\underline{X} = h_{X}^{\\#}$ 是它的**关联层**。则\n\n$$\\mathrm{R}\\Gamma\\bigl(X,\\ M^{\\bullet}\\bigr) \\;=\\; \\mathrm{R}\\Gamma\\bigl(\\underline{X},\\ M^{\\bullet}\\bigr), \\qquad \\mathrm{H}^{n}\\bigl(\\underline{X},\\ M^{\\bullet}\\bigr) = \\mathrm{H}^{n}\\bigl(X,\\ M^{\\bullet}\\bigr).$$", "notes": "**证明。** 对任何层 $M$，由关联层的万有性质 $\\operatorname{Hom}(\\underline{X}, M) = M(X) = \\operatorname{Hom}(X, M)$ ✓，即 $\\Gamma(X, M) = \\Gamma(\\underline{X}, M)$。取内射消解 $I^{\\bullet}$，两边逐项相等 ✓，故导出函子相等 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.36" ] }, { "id": "prop.cohomology-presheaf-H", "type": "proposition", "label": "层化不改变导出的整体截面", "title": "命题：$\\Gamma\\bigl(X, R\\mathcal{H}(M^{\\bullet})\\bigr) = R\\Gamma(X, M^{\\bullet})$，从而 $\\Gamma\\bigl(X, \\mathcal{H}^{n}(M^{\\bullet})\\bigr) = H^{n}(X, M^{\\bullet})$", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.sheafcoh", "layer": 18, "tags": [ "命题", "层化", "导出函子", "整体截面", "上同调预层" ], "statement": "设 $X \\in \\mathcal{C}$、$M^{\\bullet}$ 是阿贝尔层复形，$\\mathcal{H}$ 记「把阿贝尔层当预层看」的含入函子。则\n\n$$\\Gamma\\bigl(X,\\ R\\mathcal{H}(M^{\\bullet})\\bigr) \\;=\\; R\\Gamma\\bigl(X,\\ M^{\\bullet}\\bigr), \\qquad \\Gamma\\bigl(X,\\ \\mathcal{H}^{n}(M^{\\bullet})\\bigr) \\;=\\; H^{n}\\bigl(X,\\ M^{\\bullet}\\bigr).$$", "notes": "**证明。** $\\mathcal{H}$ 与**层化**互为伴随，而层化**正合** ✓，所以 $\\mathcal{H}$ 保内射 ✓（左伴随正合的右伴随保内射）。反过来，函子 $M \\mapsto \\Gamma(X, M)$ 在**预层**上是正合的 ✓。两条合起来套用「导出函子与正合因子的复合」那条，即得第一式 ✓；第二式就是对它取 $n$ 次同调并在层那一侧读出取值 ✓。∎\n\n⭐ 用处：**上同调预层 $H^{n}(M)$ 的取值就是上同调** —— 这句在算 Čech 与上同调的关系时反复要用。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.42" ] }, { "id": "prop.free-objects-examples", "type": "proposition", "label": "自由对象的例子", "title": "命题：各代数范畴里的自由对象", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.algebra", "layer": 14, "tags": [ "命题", "自由对象", "幺半群", "群", "环", "模" ], "statement": "「自由」在几个代数范畴里的样子：$\\mathbf{Mon}$ 里是以 $X$ 为生成元的**字幺半群**；$\\mathbf{Gr}$ 里是**字群**（允许消去）；$\\mathbf{Rng}$ 里是非交换多项式环；$G\\text{-}\\mathbf{Set}$ 里是 $G$ 本身（正则作用）；$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 里是 $A^{(X)}$；$k\\text{-}\\mathbf{Alg}$ 里是**张量代数**。", "notes": "**证明。** 逐条核对自由对象的万有性质 $\\operatorname{Hom}(FX, -) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Set}}\\bigl(X, U(-)\\bigr)$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.8" ] }, { "id": "prop.zmod-is-ab", "type": "proposition", "label": "Z-模就是阿贝尔群", "title": "命题：$\\mathbb{Z}\\text{-}\\mathbf{Mod} \\cong \\mathbf{Ab}$、$\\mathbb{Z}\\text{-}\\mathbf{Alg} \\cong \\mathbf{Rng}$", "region": "algebra", "regions": [ "algebra" ], "cluster": "algebra.structures", "layer": 8, "tags": [ "命题", "模", "环", "范畴同构" ], "statement": "$\\mathbb{Z}\\text{-}\\mathbf{Mod} \\cong \\mathbf{Ab}$（范畴**同构**）；$\\mathbb{Z}\\text{-}\\mathbf{Alg} \\cong \\mathbf{Rng}$；更一般地 $k\\text{-}\\mathbf{Alg} \\simeq k\\backslash\\mathbf{Rng}$ 的全子范畴（要求 $k$ 的像落在中心里）。", "notes": "**证明。** $\\mathbb{Z}$-模结构由「$n$ 倍」唯一确定，所以 $\\mathbb{Z}$-模就是阿贝尔群 ✓；$\\mathbb{Z}$-代数就是环 ✓；$k$-代数就是「带一个中心里装着 $k$ 的环」✓，逐条对照公理即得。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.10" ] }, { "id": "prop.functor-preserves-sections", "type": "proposition", "label": "函子保截面与收缩", "title": "命题：函子把截面（收缩、同构）送到同类", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 9, "tags": [ "命题", "截面", "收缩", "同构", "函子" ], "statement": "函子把**截面**（resp. **收缩**、**同构**）送到截面（resp. 收缩、同构）；特别地函子把同构送到同构。", "notes": "**证明。** $f \\circ g = 1$ 与 $g \\circ f = 1$ 在函子下仍是同样的等式（函子保恒等、保复合）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.11" ] }, { "id": "def.mor-domain-codomain", "type": "definition", "label": "态射范畴上的域与余域函子", "title": "定义：$\\operatorname{Mor}(\\mathcal{C}) \\to \\mathcal{C}$ 的两个投影", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 13, "tags": [ "定义", "态射范畴", "域函子", "切片范畴" ], "statement": "$\\operatorname{Mor}(\\mathcal{C})$ 上有**域函子**与**余域函子**到 $\\mathcal{C}$；对固定 $X$，切片 $\\mathcal{C}/X \\to \\mathcal{C}$ 与余切片 $X\\backslash\\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}$ 是遗忘函子。", "notes": "**证明。** $(\\text{域}, \\text{余域})$ 把 $f : X \\to Y$ 送到 $X$（resp. $Y$）✓；切片里把 $(A \\to X)$ 送到 $A$，态射的复合按定义就相容 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.12" ] }, { "id": "prop.op-category-is-modules", "type": "proposition", "label": "带算子的对象就是模", "title": "命题：$\\operatorname{Op}(k\\text{-}\\mathbf{Mod}) \\simeq k[T]\\text{-}\\mathbf{Mod}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.algebra", "layer": 14, "tags": [ "命题", "算子", "模", "自同态" ], "statement": "记 $\\operatorname{Op}(\\mathcal{C}) \\subseteq \\operatorname{Mor}(\\mathcal{C})$ 为由「域 = 余域」的态射组成的**满子范畴**（带算子的对象）。$k$ 交换时 $\\operatorname{Op}(k\\text{-}\\mathbf{Mod}) \\simeq k[T]\\text{-}\\mathbf{Mod}$。", "notes": "**证明。** 「$k$-模 $M$ 带上一个自同态 $T : M \\to M$」与「$k[T]$-模结构」是同一份数据（$T$ 给出 $k[T] \\to \\operatorname{End}(M)$）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.13" ] }, { "id": "prop.forgetful-faithful-not-full", "type": "proposition", "label": "遗忘函子忠实但不满", "title": "命题：$\\mathbf{Top} \\to \\mathbf{Set}$ 与 $\\mathbf{Ab} \\to \\mathbf{Set}$ 忠实不满", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 10, "tags": [ "命题", "遗忘函子", "忠实", "满" ], "statement": "遗忘函子 $\\mathbf{Top} \\to \\mathbf{Set}$ 与 $\\mathbf{Ab} \\to \\mathbf{Set}$ 都是**忠实但不满**的。", "notes": "**证明。** 映射的集合不变，所以忠实 ✓；但两个拓扑空间之间的连续映射只是全体映射的一部分、两个群之间的映射还要求保运算 ✓ —— 所以不满 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.14" ] }, { "id": "prop.nat-iso-invariants", "type": "proposition", "label": "自然同构不改变函子的性质", "title": "命题：$F \\cong F'$ 则两者忠实/满/全忠实/本质满/等价性一致", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.functor", "layer": 11, "tags": [ "命题", "自然同构", "忠实", "本质满", "范畴等价" ], "statement": "若 $F \\cong F'$，则 $F$ 忠实（resp. 满、全忠实、本质满、是等价）$\\iff$ $F'$ 也如此。", "notes": "**证明。** 自然同构在每对 Hom 集上给出一族与复合相容的双射 ✓，于是「$\\operatorname{Hom}(X,Y) \\to \\operatorname{Hom}(FX, FY)$ 是不是双射」这件事两边同时成立 ✓；本质满与等价同理（同构平移对象）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.16" ] }, { "id": "prop.matrix-category", "type": "proposition", "label": "矩阵范畴", "title": "命题：$\\operatorname{Mat}(k)$ 是小范畴，与有限维向量空间等价", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 8, "tags": [ "命题", "矩阵", "小范畴", "有限维向量空间" ], "statement": "$k$ 交换时 $\\operatorname{Mat}(k)$（对象 $\\mathbb{N}$、$\\operatorname{Hom}(m,n) = M_{n \\times m}(k)$、复合是矩阵乘法）是**小范畴**；$k$ 是域时 $\\operatorname{Mat}(k) \\simeq$ 有限维 $k$-向量空间范畴（**等价但不同构**）。", "notes": "**证明。** 矩阵乘法满足结合律与单位律 ✓；取一组基给出到有限维空间的函子，它是全忠实且本质满的 ✓，但没有同构 —— 左边是小范畴、右边是大范畴 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.19" ] }, { "id": "prop.forgetful-representable", "type": "proposition", "label": "遗忘函子可表示", "title": "命题：以集合为值的常见遗忘函子都可表示", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 13, "tags": [ "命题", "可表示", "遗忘函子", "自由对象" ], "statement": "以 $\\mathbf{Set}$ 为值的常见遗忘函子都是**可表示的**，表示对象就是相应的**自由对象**。", "notes": "**证明。** $\\mathbf{Grp} \\to \\mathbf{Set}$ 由 $\\mathbb{Z}$ 表示（同态 $\\mathbb{Z} \\to G$ 就是选一个元素）✓；$\\mathbf{Rng} \\to \\mathbf{Set}$ 由 $\\mathbb{Z}[t]$ 表示 ✓；$\\mathbf{Top} \\to \\mathbf{Set}$ 由单点空间表示 ✓；一般地 $U \\cong \\operatorname{Hom}(F\\mathbf{1}, -)$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.20" ] }, { "id": "prop.solution-functor-representable", "type": "proposition", "label": "解集函子可表示", "title": "命题：$A \\mapsto \\{a \\in A^{n} : f_{i}(a) = 0\\}$ 可表示", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 13, "tags": [ "命题", "可表示", "多项式", "解集" ], "statement": "设 $f_{1}, \\ldots, f_{r} \\in k[t_{1}, \\ldots, t_{n}]$。把交换 $k$-代数 $A$ 送到**解集** $S(A) = \\{(a_{1}, \\ldots, a_{n}) \\in A^{n} : f_{1}(a) = \\cdots = f_{r}(a) = 0\\}$ 的函子**可表示**。", "notes": "**证明。** $k$-代数同态 $k[t_{1},\\ldots,t_{n}]/(f_{1},\\ldots,f_{r}) \\to A$ 完全由 $t_{i}$ 的像决定，而像必须把每个 $f_{i}$ 送到 $0$ ✓ —— 于是这族同态正是 $S(A)$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.22" ] }, { "id": "prop.universal-unique-iso", "type": "proposition", "label": "万有元素唯一到唯一同构", "title": "命题：$(X,s)$ 与 $(X',s')$ 都万有 $\\implies$ 唯一的 $f : X \\cong X'$ 带 $s$ 到 $s'$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.yoneda", "layer": 14, "tags": [ "命题", "万有元素", "表示", "米田引理" ], "statement": "若 $(X, s)$ 与 $(X', s')$ 都是函子 $F$ 的**万有元素**，则存在**唯一的同构** $f : X \\to X'$ 使 $F(f)(s) = s'$。", "notes": "**证明。** 两个万有元素各自给出 $h_{X} \\cong F \\cong h_{X'}$ ✓，由米田引理得唯一的同构 $X \\cong X'$ ✓，而「把 $s$ 送到 $s'$」正是这个同构在元素层的写法 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.23" ] }, { "id": "prop.algebra-categories-limits", "type": "proposition", "label": "代数范畴里的极限与余极限", "title": "命题：极限逐点算，余极限由自由构造加商给出", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.algebra", "layer": 12, "tags": [ "命题", "极限", "余极限", "自由对象", "代数范畴" ], "statement": "$\\mathbf{Mon}$、$\\mathbf{Gr}$、$\\mathbf{Rng}$、$G\\text{-}\\mathbf{Set}$、$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$、$k\\text{-}\\mathbf{Alg}$ 里的**极限逐点算**（忘到底集合就是集合的极限）；**余极限**由「先自由生成、再取商」给出 —— 例如 $\\mathbf{Gr}$ 里的余积是自由积。", "notes": "**证明。** 这些遗忘函子都**保极限** ✓，所以极限 = 底层集合的极限配上由泛性质逐点给出的结构 ✓；余积则先把生成元自由地拼起来、再商掉关系 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.28" ] }, { "id": "prop.cat-final-initial-products", "type": "proposition", "label": "Cat 的终始对象与有限积", "title": "命题：$\\mathbf{Cat}$ 有终对象 $\\mathbf{1}$、始对象 $\\mathbf{0}$ 与积范畴", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 13, "tags": [ "命题", "Cat", "终对象", "始对象", "积范畴" ], "statement": "$\\mathbf{Cat}$ 有**终对象**（单对象范畴 $\\mathbf{1}$）、有**始对象**（空范畴 $\\mathbf{0}$）、有**有限积**（积范畴 $\\mathcal{C} \\times \\mathcal{C}'$）；并且 $\\operatorname{Op}(\\mathcal{C})$ 是域与余域函子 $\\operatorname{Mor}(\\mathcal{C}) \\rightrightarrows \\mathcal{C}$ 的**核**。", "notes": "**证明。** 终/始对象与积范畴的泛性质逐条验证 ✓；「域 = 余域」正是两条函子的等化子 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.31" ] }, { "id": "prop.bialgebra-examples", "type": "proposition", "label": "双代数的例子", "title": "命题：$k[t]$ 与 $k[t,1/t]$ 都是双代数", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.algebra", "layer": 14, "tags": [ "命题", "双代数", "幺半群对象", "余乘" ], "statement": "**双代数** = $k$-代数范畴的反范畴里的**幺半群**。$k[t]$ 带 $t \\mapsto t \\otimes 1 + 1 \\otimes t$、$k[t, 1/t]$ 带 $t \\mapsto t \\otimes t$ 都是双代数。", "notes": "**证明。** 把「反范畴里的幺半群」翻译回 $k$-代数，就是「余乘 $\\Delta : A \\to A \\otimes A$ 是**代数同态**」✓；上面两个 $\\Delta$ 都保乘法 ✓（$k[t,1/t]$ 里 $t$ 可逆，所以只有 $t \\mapsto t \\otimes t$ 这一种选择）✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.50" ] }, { "id": "prop.localization-functor-exact", "type": "proposition", "label": "允许右分式演算时局部化函子正合", "title": "命题：右分式演算 $\\implies$ $Q : \\mathcal{C} \\to \\mathrm{ho}(\\mathcal{C})$ 正合", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.basic", "layer": 11, "tags": [ "命题", "局部化", "分式演算", "正合" ], "statement": "若 $\\mathcal{C}$ 关于 $W$ 容许**右分式演算**，则局部化函子 $Q : \\mathcal{C} \\to \\mathrm{ho}(\\mathcal{C})$ **正合**。", "notes": "**证明。** 右分式演算说 $\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{ho}}(X, Y)$ 是形如 $X \\xleftarrow{\\ w\\ } X' \\xrightarrow{\\ f\\ } Y$（$w \\in W$）的分式的商 ✓，而 $Q$ 在这些 Hom 集上是满的、并与原范畴的映射交换 ✓，于是它保有限极限与有限余极限 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.54" ] }, { "id": "prop.adjunction-naturality", "type": "proposition", "label": "伴随双射的自然性", "title": "命题：$\\Phi$ 自然的显式写法", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 10, "tags": [ "命题", "伴随", "自然性", "单位与余单位" ], "statement": "伴随双射 $\\Phi_{X, X'} : \\operatorname{Hom}\\bigl(F(X), X'\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}\\bigl(X, G(X')\\bigr)$ 的自然性说的是：对 $g : Y \\to X$、$g' : X' \\to Y'$ 与 $f : F(X) \\to X'$，有 $\\Phi\\bigl(g' \\circ f \\circ F(g)\\bigr) = G(g') \\circ \\Phi(f) \\circ g$。", "notes": "**证明。** 代 $\\Phi(f) = G(f) \\circ \\eta_{X}$ 与 $\\Phi^{-1}(h) = \\varepsilon_{X'} \\circ F(h)$ ✓，两边都用单位与余单位的自然性即得那条等式 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.55" ] }, { "id": "prop.forgetful-adjoints-examples", "type": "proposition", "label": "遗忘函子的伴随", "title": "命题：自由 $\\dashv$ 遗忘、层化 $\\dashv$ 含入、$k$-化 $\\dashv$ 含入", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 10, "tags": [ "命题", "伴随", "遗忘函子", "含入", "自由对象" ], "statement": "常见的一对对子：**自由 $\\dashv$ 遗忘**（$\\mathbf{Mon}$、$\\mathbf{Gr}$、$\\mathbf{Ab}$、$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$……）、**层化 $\\dashv$ 含入**（$\\widetilde{\\mathcal{C}} \\hookrightarrow \\widehat{\\mathcal{C}}$）、**$k$-化 $\\dashv$ 含入**（$k\\mathbf{Top} \\hookrightarrow \\mathbf{Top}$）。一般规律：**「忘掉结构 / 放宽结构」的函子是右伴随，其左伴随即「自由地补上结构」**。", "notes": "**证明。** 逐例核对万能性质：$\\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Mon}}(\\text{自由幺半群},\\ G) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Set}}(X, G)$ ✓；$\\operatorname{Hom}(T^{\\#}, F) \\cong \\operatorname{Hom}(T, F)$ ✓；$\\operatorname{Hom}_{k\\mathbf{Top}}(kX, Y) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X, Y)$ ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.56" ] }, { "id": "prop.currying", "type": "proposition", "label": "Currying", "title": "命题：$X \\mapsto X \\times Y \\;\\dashv\\; Z \\mapsto \\mathbf{Set}(Y, Z)$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 10, "tags": [ "命题", "Currying", "笛卡尔闭", "伴随" ], "statement": "在 $\\mathbf{Set}$ 里 $X \\mapsto X \\times Y$ **$\\dashv$** $Z \\mapsto \\mathbf{Set}(Y, Z)$：", "notes": "**证明。** 给 $f : X \\times Y \\to Z$，令 $\\widehat{f}(x)(y) = f(x, y)$ ✓；反过来给 $g$ 令 $f(x,y) = g(x)(y)$ ✓ —— 两个方向互逆且自然 ✓，所以 $\\mathbf{Set}(X \\times Y, Z) \\cong \\mathbf{Set}\\bigl(X, \\mathbf{Set}(Y, Z)\\bigr)$ ✓。$\\mathbf{Cat}$（函子范畴）与 $\\mathbf{Ab}$ 里有同一套伴随 —— 这就是**笛卡尔闭**。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.57" ] }, { "id": "prop.unit-counit-examples", "type": "proposition", "label": "常见伴随的单位与余单位", "title": "命题：从单位/余单位读出忠实性", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 11, "tags": [ "命题", "单位", "余单位", "忠实" ], "statement": "几对常见伴随的单位：**自由 $\\dashv$ 遗忘** 的单位是「把 $x$ 送进生成元」；**层化 $\\dashv$ 含入** 的单位是 $T \\to T^{\\#}$；**$k$-化 $\\dashv$ 含入** 的单位是恒等（$X \\to kX$ 当 $X$ 已紧生成时）。由「余单位满 $\\iff$ 忠实」还能从单位/余单位读出忠实性。", "notes": "**证明。** 逐例用 $\\eta_{X} = \\Phi(1_{FX})$、$\\varepsilon_{Y} = \\Phi^{-1}(1_{GY})$ 算即可 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.61" ] }, { "id": "prop.copowers-give-adjoint", "type": "proposition", "label": "有余幂则可表示函子有伴随", "title": "命题：$\\mathcal{C}$ 有余幂 $\\implies$ $X^{(I)} \\dashv h_{X}$", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 10, "tags": [ "命题", "余幂", "可表示函子", "伴随" ], "statement": "若小范畴 $\\mathcal{C}$ 有**余幂**，则每个可表示函子 $h_{X}$ 都有左伴随：$\\mathbf{Set} \\to \\mathcal{C},\\ I \\mapsto X^{(I)}$ **$\\dashv$** $h_{X} = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, -)$。", "notes": "**证明。** 余幂的泛性质给出 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X^{(I)}, Y\\bigr) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Set}}\\bigl(I, \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y)\\bigr) = \\mathbf{Set}\\bigl(I, h_{X}(Y)\\bigr)$ ✓，正是伴随的定义 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.62" ] }, { "id": "prop.forgetful-preserves-limits", "type": "proposition", "label": "代数遗忘函子保极限", "title": "命题：$\\mathbf{Mon}, \\mathbf{Gr}, \\mathbf{Rng}, \\ldots \\to \\mathbf{Set}$ 保所有极限", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.algebra", "layer": 14, "tags": [ "命题", "遗忘函子", "极限", "代数理论" ], "statement": "$\\mathbf{Mon}$、$\\mathbf{Gr}$、$\\mathbf{Rng}$、$G\\text{-}\\mathbf{Set}$、$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$、$k\\text{-}\\mathbf{Alg}$ 到 $\\mathbf{Set}$ 的遗忘函子都**保所有极限**。", "notes": "**证明。** 这些结构都是「在集合上逐点给出运算 + 逐点验证等式」✓，于是极限图表的泛性质在底层集合上逐点成立，结构自动拼出 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.65" ] }, { "id": "prop.forgetful-exactness", "type": "proposition", "label": "遗忘与含入函子的正合性", "title": "命题：遗忘保极限不保余极限；层化正合", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.algebra", "layer": 14, "tags": [ "命题", "正合性", "遗忘函子", "含入函子", "层化" ], "statement": "代数遗忘函子**保极限但不保余极限**；含入 $\\widetilde{\\mathcal{C}} \\hookrightarrow \\widehat{\\mathcal{C}}$ 保极限不保余极限，而它的左伴随（**层化**）**正合**。", "notes": "**证明。** 保极限见「代数遗忘函子保极限」✓；不保余极限：$M \\oplus N$ 的底集合不是 $M \\sqcup N$ ✓；层化是左伴随又左正合，故正合 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.66" ] }, { "id": "prop.reflection-criterion", "type": "proposition", "label": "反射的判据", "title": "命题：$F$ 是反射 $\\iff$ 存在 $\\alpha_{X} : X \\to F(X)$，在 $\\mathcal{C}'$ 上是同构", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 11, "tags": [ "命题", "反射子范畴", "单位", "全忠实" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}'$ 是 $\\mathcal{C}$ 的**满**子范畴、$F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$。则 $F$ 是**反射** $\\iff$ 存在自然态射 $\\alpha_{X} : X \\to F(X)$（$X \\in \\mathcal{C}$），且 $X \\in \\mathcal{C}'$ 时 $\\alpha_{X}$ 是**同构**。", "notes": "**证明。** ($\\Longrightarrow$) 取单位 $\\alpha = \\eta$ ✓；$X \\in \\mathcal{C}'$ 时含入全忠实使 $\\eta_{X}$ 是同构（三角等式逼出逆）✓。\n($\\Longleftarrow$) 由 $\\alpha$ 的泛性，每个 $X \\to Y$（$Y \\in \\mathcal{C}'$）唯一地穿过 $\\alpha_{X}$ ✓ —— 正是反射的泛性质 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.71" ] }, { "id": "prop.coreflective-monoids-full", "type": "proposition", "label": "余反射子范畴上的幺半群", "title": "命题：$\\mathcal{C}'$ 余反射 $\\implies \\mathrm{Mon}(\\mathcal{C}')$ 是 $\\mathrm{Mon}(\\mathcal{C})$ 的满子范畴", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.adjoint", "layer": 14, "tags": [ "命题", "余反射", "幺半群对象", "满子范畴" ], "statement": "若 $\\mathcal{C}'$ 是 $\\mathcal{C}$ 的**余反射**子范畴，则 $\\mathrm{Mon}(\\mathcal{C}')$ 是 $\\mathrm{Mon}(\\mathcal{C})$ 的**满子范畴**；$\\mathrm{Gr}$、$\\mathbf{Ab}$ 等同样。", "notes": "**证明。** $\\mathcal{C}'$ 是满子范畴，所以 $\\mathrm{Mon}(\\mathcal{C}') \\to \\mathrm{Mon}(\\mathcal{C})$ 自动全忠实 ✓。结构能对上靠**余单位**：含入 $i$ 有右伴随 $r$（这就是余反射），于是 $\\mathcal{C}'$ 里的积是 $G \\times_{\\mathcal{C}'} G' = r(G \\times_{\\mathcal{C}} G')$ ✓，而 $\\varepsilon : i\\,r \\to 1$ 给出 $\\mathcal{C}$ 里的态射 $G \\times_{\\mathcal{C}'} G' \\to G \\times_{\\mathcal{C}} G'$ —— 用它可以把 $\\mathcal{C}'$ 里的乘法搬到 $\\mathcal{C}$ 里，反之亦然 ✓。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.72" ] }, { "id": "prop.slice-covering-sieve", "type": "proposition", "label": "切片里的覆盖筛", "title": "命题：$R$ 在 $\\mathcal{C}/T$ 里覆盖 $\\iff$ $\\hat j_{T!}R$ 在 $\\mathcal{C}$ 里是覆盖筛", "region": "category", "regions": [ "category" ], "cluster": "cat.topos", "layer": 14, "tags": [ "命题", "切片范畴", "覆盖筛", "site 的态射" ], "statement": "设 $\\mathcal{C}$ 是 site、$T \\in \\widehat{\\mathcal{C}}$、$s \\in T(X)$。则 $s$ 上的一个筛 $R$ 在 $\\mathcal{C}/T$ 里是**覆盖** $\\iff$ $\\hat j_{T!}R$ 是 $X$ 在 $\\mathcal{C}$ 里的**覆盖筛**。", "notes": "**证明。** 两边都是「沿 $R$ 的余锥能不能覆盖」这件事的翻译 ✓：$\\mathcal{C}/T$ 里的覆盖由 $\\mathcal{C}$ 的覆盖沿 $j_{T}$ 拉来，而 $j_{T!}$ 正是把 $\\mathcal{C}/T$ 里的筛搬回 $\\mathcal{C}$ 的函子 ✓。\n⚠️ 但 $j_{T!}$ **一般不左正合** —— 所以这条给不出 site 的态射（这正是为什么后面要用 $j_{T}$ 的**余连续性**去造拓扑斯态射）。∎", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.62" ] }, { "id": "prop.spectral-sequence-page-picture", "type": "proposition", "label": "谱序列的页画在 (p,q) 平面上", "title": "命题：$E_{0}, E_{1}, E_{2}$ 都是 $(p,q)$ 平面上的格点族", "region": "homology", "regions": [ "homology" ], "cluster": "hom.spectral", "layer": 17, "tags": [ "命题", "谱序列", "页", "微分" ], "statement": "谱序列的每一页 $E_{r}$ 都可以画成 $(p, q)$ 平面上的**格点族**（每个格点挂一个对象 $E^{p,q}_{r}$），而微分 $d_{r}$ 是从 $(p,q)$ 指向 $(p+r,\\, q-r+1)$ 的**斜向箭头**。于是 $E_{0}, E_{1}, E_{2}$ 只是同一张图上不同的「向量场」。", "notes": "**证明。** 逐项对定义：$E_{0}$ 的箭头是 $(p,q) \\to (p, q+1)$（纵向）✓；$E_{1}$ 的是 $(p,q) \\to (p+1, q)$（横向）✓；$E_{2}$ 的是 $(p,q) \\to (p+2, q-1)$（斜率 $-\\frac{1}{2}$）✓ —— 每翻一页箭头就转一次、同时「吃掉」更多格点 ✓。∎\n\n⭐ 用处：**第一象限**谱序列里，这条图画出来一眼就能看出哪些项会活到 $E_{\\infty}$（比如 $E^{0,q}$ 只可能被从左上来的箭头打到）。", "refs": [ "Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.28" ] } ], "edges": [ { "id": "imp.repl-to-sep", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "ax.repl" ], "target": "ax.sep", "title": "替换公理模式 $\\implies$ 分离公理模式", "proof": "设 $\\varphi (x, p)$ 是不含 $B$ 的公式，$A$ 是任意集合。取公式\n\n$$\\psi(x, y, p) :\\equiv ( x = y \\wedge \\varphi(x, p) )$$\n\n对任意 $x$，至多只有一个 $y$ 使 $\\psi (x, y, p)$ 成立（因为 $x = y$ 已经确定了 $y$）。于是替换公理模式给出一个集合\n\n$$B = \\{ y : \\exists x \\in A, \\psi(x, y, p) \\} = \\{ x \\in A : \\varphi(x, p) \\}$$\n\n这正是分离公理模式所要的 $B$（外延公理保证唯一）。∎", "note": "所以 ZF 里其实只需要「替换 + 一个集合存在」就够了，教材仍保留分离公理是为了方便陈述与使用。" }, { "id": "imp.sep-to-empty", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "ax.sep" ], "target": "thm.empty", "title": "分离公理模式 $\\implies$ 空集存在", "proof": "取任意集合 $a$（一阶逻辑的论域非空，故这样的 $a$ 存在；在 ZF 中也可由无穷公理提供）。\n\n取公式 $\\varphi (x) :\\equiv ( x \\ne x )$，它是矛盾式。分离公理模式给出集合\n\n$$B = \\{ x \\in a : x \\ne x \\}$$\n\n对任意 $x$，$x \\in B \\leftrightarrow ( x \\in a \\wedge x \\ne x )$ 恒为假，故 $B$ 不含任何元素。\n由外延公理，这样的 $B$ 唯一，记作 $\\emptyset$。∎", "note": "严格地说，「论域非空」是一阶逻辑的约定，不属于 ZF 公理。若不喜欢这个约定，也可以先由无穷公理取出一个集合再分离。" }, { "id": "imp.found-to-noself", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "ax.found", "ax.pair" ], "target": "thm.noself", "title": "正则公理 + 配对公理 $\\implies A \\notin A$", "proof": "反设存在集合 $A$ 使 $A \\in A$。由配对公理取 $a = b = A$，得单点集 {A}。\n\n由外延公理 $\\{A\\} \\ne \\emptyset$（它含有 $A$）。对 {A} 用正则公理：存在 $x \\in \\{A\\}$ 使\n\n$$x \\cap \\{ A \\} = \\emptyset$$\n\n而 {A} 只有唯一的元素，故 $x = A$。于是 $A \\cap \\{A\\} = \\emptyset$。\n\n但由假设 $A \\in A$ 且 $A \\in \\{A\\}$，所以 $A \\in A \\cap \\{A\\}$，与 $A \\cap \\{A\\} = \\emptyset$ 矛盾。故 $A \\notin A$。∎", "note": "把同样的论证用在任意有限 $\\in$循环 $A_{0} \\ni A_{1} \\ni \\cdots \\ni A_{n} = A_{0}$ 上，取集合 $\\{A_{0}$ …$A_{n-1}\\}$（可由配对公理反复构造），也能得到矛盾。" }, { "id": "imp.inf-to-omega", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "ax.inf", "ax.power", "ax.sep" ], "target": "thm.omega", "title": "无穷公理 + 幂集公理 + 分离公理模式 $\\implies \\omega$ 存在", "proof": "1. 由无穷公理取一个归纳集 $I$。称 $J \\subseteq I$ 是**归纳的**，若 $\\emptyset \\in J$ 且 $\\forall x (x \\in J \\to x \\cup \\{x\\} \\in J)$。\n2. 由幂集公理，$\\mathcal{P}(I)$ 是集合；再用分离公理模式取\n\n$$S = \\{ J \\in \\mathcal{P}(I) : J\\text{ 是归纳集} \\}$$\n\n$S$ 非空（$I \\in S$）。\n\n3. 再对 $\\mathcal{P}(I)$ 用一次分离公理模式，令\n\n$$\\omega = \\{ x \\in I : \\forall J ( J \\in S \\to x \\in J ) \\}$$\n\n即 $\\omega$ 是所有归纳子集的交。\n\n4. $\\omega$ 是归纳集：$\\emptyset$ 属于每个 $J \\in S$，故 $\\emptyset \\in \\omega$；若 $x \\in \\omega$，则 $x$ 属于每个 $J \\in S$，从而 $x \\cup \\{x\\}$ 属于每个 $J \\in S$，故 $x \\cup \\{x\\} \\in \\omega$。\n5. $\\omega$ 含于一切归纳集：若 $K$ 是归纳集，则 $K \\cap I$ 也是归纳集且 $K \\cap I \\in S$，由 $\\omega$ 的定义 $\\omega \\subseteq K \\cap I \\subseteq K$。\n\n故 $\\omega$ 是最小归纳集，即自然数集。∎", "note": "" }, { "id": "imp.binunion", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "ax.pair", "ax.union" ], "target": "thm.binunion", "title": "配对公理 + 并集公理 $\\implies$ 二元并存在", "proof": "任给 $a$、$b$。\n\n1. 由配对公理，{ a, b } 是集合。\n2. 由并集公理，$\\bigcup \\{ a, b \\}$ 是集合，且\n\n$$x \\in \\bigcup\\{ a, b \\} \\iff \\exists Y ( Y \\in \\{ a, b \\} \\wedge x \\in Y ) \\iff ( x \\in a \\vee x \\in b )$$\n\n取 $A = \\bigcup \\{ a, b \\}$ 即为所求。∎", "note": "" }, { "id": "imp.product", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "ax.power", "ax.pair", "ax.union", "ax.sep" ], "target": "thm.product", "title": "幂集 + 配对 + 并集 + 分离公理模式 $\\implies A \\times B$ 存在", "proof": "任给 $A$、$B$。\n\n1. 由配对公理与并集公理，$A \\cup B$ 是集合。\n2. 对任意 $a \\in A$、$b \\in B$，Kuratowski 有序对 $(a, b) = \\{\\{a\\}, \\{a, b\\}\\}$。其中 $\\{a\\} \\subseteq A \\cup B$，$\\{a, b\\} \\subseteq A \\cup B$，所以 $\\{a\\}, \\{a, b\\} \\in \\mathcal{P}(A \\cup B)$，进而 $(a, b) \\in \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A \\cup B))$。\n3. 由幂集公理，$\\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A \\cup B))$ 是集合。用分离公理模式取\n\n$$C = \\{ z \\in \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A \\cup B)) : \\exists a \\in A, \\exists b \\in B, z = (a, b) \\}$$\n\n则 $C$ 恰是 $A \\times B$：一方面每个 (a, b) 都在 $\\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A \\cup B))$ 中，另一方面 $z$ 是不在 $A$、$B$ 中任意点处取到的有序对时不会被选进来。∎", "note": "这个证明展示了一个典型套路：先用幂集「造一个足够大的容器」，再用分离公理模式「筛出真正想要的东西」。" }, { "id": "eq.ac-wo", "kind": "equivalence", "strength": "strong", "a": "ax.choice", "b": "thm.wellordering", "title": "选择公理 $\\iff$ 良序定理", "note": "这是整张星图里最关键的一条等价链的起点：AC 给「挑选」，良序给「最小」，两者互为表里。", "proofs": [ { "label": "选择公理 ⇒ 良序定理（路线 1⟹4）", "text": "设 $X$ 是集合。$X = \\emptyset$ 时平凡，以下设 $X \\ne \\emptyset$。\n\n1. 由 AC，非空子集族 $\\mathcal{P}(X) \\setminus \\{\\emptyset \\}$ 上有选择函数 $\\varphi$，即 $\\varphi (A) \\in A$ 对每个非空 $A \\subseteq X$ 成立。\n2. 用超限递归往下取元素：对序数 $\\alpha$，只要余集非空就令\n\n$$x(\\alpha) = \\varphi( X \\setminus \\{ x(\\beta) : \\beta < \\alpha \\} )$$\n\n一旦余集为空就停止。\n\n3. **过程一定会停**：取 $X$ 的 **Hartogs 数** $\\aleph (X)$，即最小的不能单射进 $X$ 的序数（见「Hartogs 定理」——它在 ZF 里就能证，不需要 AC）。若对一切 $\\alpha < \\aleph (X)$ 过程都没停，则 $\\alpha \\mapsto x(\\alpha )$ 就是 $\\aleph (X)$ 到 $X$ 的单射，与 $\\aleph (X)$ 的定义矛盾。故存在序数 $\\gamma$ 使 $x : \\gamma \\to X$ 是双射。\n4. 把 $\\gamma$ 上的序经 $x$ 搬到 $X$ 上：\n\n$$a \\preceq b :\\iff x^{-1}(a) \\le x^{-1}(b)$$\n\n因为序数在 $\\in$／$\\le$ 下是良序的，$X$ 上这个序也是良序。∎" }, { "label": "良序定理 ⇒ 选择公理（路线 4⟹1）", "text": "设 $F$ 是一族非空集合（即 $\\emptyset \\notin F$）。\n\n1. 由良序定理，取 $U = \\bigcup F$ 的一个良序 $\\preceq$。\n2. 对每个 $X \\in F$：$X \\ne \\emptyset$ 且 $X \\subseteq U$，所以 $X$ 是 $U$ 的非空子集，有 $\\preceq$最小元 m(X)。\n3. 定义 $f(X) = m(X)$（$X$ 唯一确定 m(X)，故这是一个函数）。则 $\\operatorname{dom} f = F$ 且 $f(X) \\in X$ 对一切 $X \\in F$ 成立，即 $f$ 是 $F$ 的选择函数。\n\n由 $F$ 的任意性，AC 成立。∎" } ] }, { "id": "eq.wo-zorn", "kind": "equivalence", "strength": "strong", "a": "thm.wellordering", "b": "lem.zorn", "title": "良序定理 $\\iff$ 佐恩引理", "note": "", "proofs": [ { "label": "良序定理 ⇒ 佐恩引理", "text": "设 $(P, \\preceq )$ 是非空偏序集，且 $P$ 的每个链都有上界。由良序定理，取 $P$ 上的一个良序 $\\le$（与 $\\preceq$ 无关）。\n\n用超限递归沿 $\\le$ 构造 $P$ 的一个 $\\preceq$链 $C$：\n\n- 记 $U(C) = \\{ u \\in P : u$ 是 $C$ 的 $\\preceq$上界 }。\n- 若 U(C) 中存在元素有 $\\preceq$严格上界，就取其中 $\\le$最小的那个 $v$，令 $C \\leftarrow C \\cup \\{v\\}$；\n- 否则停止。\n\n**为什么必停**：每步都往 $C$ 里加入一个不属于 $C$ 的元素，所以若在任意序数处都不停，就会得到从「全体序数」到 $P$ 的单射。由替换公理模式，全体序数会是一个集合的像，即序数全体构成集合——这与 Burali-Forti 悖论矛盾。故递归在某个序数 $\\beta$ 处停止。\n\n**停止时 $C$ 有上界**：$C$ 是 $\\preceq$链，由题设 $U(C) \\ne \\emptyset$，取 $u \\in U(C)$。\n\n**$u$ 是极大元**：若存在 $w \\in P$ 使 $u \\prec w$，则 $w \\succ u \\succeq c$（$\\forall c \\in C$），故 $w \\in U(C)$ 是有严格上界的元素，与「停止条件」矛盾。\n\n故 $u$ 是 $P$ 的 $\\preceq$极大元。∎" }, { "label": "佐恩引理 ⇒ 良序定理", "text": "设 $X$ 是集合。考虑「$X$ 的部分良序」全体：\n\n$$\\mathcal{W} = \\{ (W, \\preceq_W) : W \\subseteq X, \\preceq_W\\text{ 是} W\\text{ 上的良序} \\}$$\n\n按**初始段延拓**排序：\n\n$(W_{1}, \\preceq _{1}) \\le (W_{2}, \\preceq _{2}) \\iff W_{1} \\subseteq W_{2}$，$\\preceq _{1} = \\preceq _{2}|W_{1}$，且 $W_{1}$ 是 $(W_{2}, \\preceq _{2})$ 的一个前段。\n\n1. $(\\mathcal{W}, \\le )$ 是偏序集（三条性质直接验证）。\n2. **每个链有上界**：设 $\\mathcal{D} \\subseteq \\mathcal{W}$ 是链。令 $W^{*} = \\bigcup \\{ W : (W, \\preceq ) \\in \\mathcal{D} \\}$，在 $W^{*}$ 上定义\n\n$$x \\preceq_* y \\iff\\text{ 存在} (W, \\preceq_W) \\in \\mathcal{D}\\text{ 使} x, y \\in W\\text{ 且} x \\preceq_W y$$\n\n因 $\\mathcal{D}$ 是链，这些良序彼此兼容，$\\preceq_*$ 是 $W^{*}$ 上的良序，且 $(W^{*}, \\preceq_*)\\in \\mathcal{W}$ 是 $\\mathcal{D}$ 的上界。\n\n3. 由佐恩引理，取极大元 $(W, \\preceq )$。\n4. 若 $W \\ne X$，取 $x \\in X \\setminus W$，在 $W \\cup \\{x\\}$ 上定义序：保留 $W$ 上的 $\\preceq$，并令所有 $w \\in W$ 都 $\\preceq x$（把 $x$ 放在最顶端）。这仍是良序，而且是 $(W, \\preceq )$ 的严格延拓，与极大性矛盾。故 $W = X$，即 $X$ 被良序化。∎" } ] }, { "id": "eq.zorn-hausdorff", "kind": "equivalence", "strength": "strong", "a": "lem.zorn", "b": "thm.hausdorff", "title": "佐恩引理 $\\iff$ Hausdorff 极大原理", "note": "", "proofs": [ { "label": "佐恩引理 ⇒ Hausdorff 极大原理（路线 2⟹3）", "text": "设 $(P, \\preceq )$ 是偏序集，$C_{0} \\subseteq P$ 是链。令\n\n$$\\mathcal{C} = \\{ C \\subseteq P : C\\text{ 是链} \\}$$\n\n按包含关系 $\\subseteq$ 排序。给定 $C_{0}$ 时改用 $\\mathcal{C}_{0} = \\{ C \\in \\mathcal{C} : C \\supseteq C_{0} \\}$，它非空（$C_{0} \\in \\mathcal{C}_{0}$）。\n\n1. **$\\mathcal{C}_{0}$ 中每个链有上界**：设 $\\mathcal{D} \\subseteq \\mathcal{C}_{0}$ 是（$\\subseteq$）链，即 $\\mathcal{D}$ 是一族两两可比较的链。令 $U = \\bigcup \\mathcal{D}$。任取 $x, y \\in U$，则有 $D_{1}, D_{2} \\in \\mathcal{D}$ 使 $x \\in D_{1}$、$y \\in D_{2}$；因 $\\mathcal{D}$ 是链，不妨设 $D_{1} \\subseteq D_{2}$，于是 $x, y \\in D_{2}$，而 $D_{2}$ 是链，故 $x$ 与 $y$ 可比。所以 $U$ 是链。又每个 $D \\in \\mathcal{D}$ 都 $\\supseteq C_{0}$，故 $U \\supseteq C_{0}$，即 $U \\in \\mathcal{C}_{0}$，它是 $\\mathcal{D}$ 的上界。\n2. 由佐恩引理，$\\mathcal{C}_{0}$ 有极大元 $M$。$M$ 是包含 $C_{0}$ 的链，且不能再变大，即 $M$ 是包含 $C_{0}$ 的极大链。∎" }, { "label": "Hausdorff 极大原理 ⇒ 佐恩引理（路线 3⟹2）", "text": "设 $(P, \\preceq )$ 是非空偏序集，且 $P$ 的每个链都有上界。\n\n1. 由 Hausdorff 极大原理（取 $C_{0} = \\emptyset$），$P$ 存在极大链 $M$。\n2. M 是链，故由题设有上界 $u \\in P$。\n3. **断言 $u$ 是极大元**：若不然，存在 $v \\in P$ 使 $u \\prec v$。则 $M \\cup \\{v\\}$ 仍是链——任取 $m \\in M$，由 $m \\preceq u \\prec v$ 及传递性得 $m \\preceq v$，故 $m$ 与 $v$ 可比。于是 $M \\subset M \\cup \\{v\\}$ 是一个更大的链，与 $M$ 的极大性矛盾。\n\n故 $u$ 是 $P$ 的极大元。∎" } ] }, { "id": "eq.hausdorff-tukey", "kind": "equivalence", "strength": "strong", "a": "thm.hausdorff", "b": "lem.tukey", "title": "Hausdorff 极大原理 $\\iff$ Tukey 引理", "note": "这一对证明很典型：先看出「链」这个概念本身具有有限特征，就把 Hausdorff 原理换成了用起来更省事的 Tukey 引理。", "proofs": [ { "label": "Tukey 引理 ⇒ Hausdorff 极大原理", "text": "设 $(P, \\preceq )$ 是偏序集，$C_{0} \\subseteq P$ 是链。令 $\\mathcal{C} = \\{ C \\subseteq P : C$ 是链 }。\n\n1. **$\\mathcal{C}$ 具有有限特征**：对任意 $X \\subseteq P$，\n\n$X$ 是链 $\\iff X$ 中任两元素可比 $\\iff X$ 的每个有限子集是链 $\\iff X$ 的每个有限子集属于 $\\mathcal{C}$。\n\n（最后一个 $\\Longleftarrow$ 方向：任取 $x, y \\in X$，则 {x, y} 是 $X$ 的有限子集，属于 $\\mathcal{C}$，故 $x$ 与 $y$ 可比。）\n\n2. $\\mathcal{C}$ 非空（$\\emptyset$ 是链）。由 Tukey 引理，$\\mathcal{C}$ 有极大元 $M$，即 $P$ 的极大链。\n3. 若要包含给定的 $C_{0}$：注意 $\\mathcal{C}_{0} = \\{ C \\in \\mathcal{C} : C \\supseteq C_{0} \\}$ 同样具有有限特征——「$X$ 含 $C_{0}$ 且 $X$ 的每个有限子集是链」正是有限特征的形状（含 $C_{0}$ 是整体性质，不对有限子集设限）。对 $\\mathcal{C}_{0}$ 用 Tukey 引理即得包含 $C_{0}$ 的极大链。∎" }, { "label": "Hausdorff 极大原理 ⇒ Tukey 引理", "text": "设 $\\mathcal{A}$ 是具有有限特征的非空集合族。把 Hausdorff 极大原理用在偏序集 $(\\mathcal{A}, \\subseteq )$ 上，得到 $\\mathcal{A}$ 的一个**极大链** $\\mathcal{C}$（即 $\\mathcal{A}$ 中一族在 $\\subseteq$ 下两两可比较、且不能再扩大成员的子族）。\n\n令\n\n$$U = \\bigcup \\{ A : A \\in \\mathcal{C} \\}$$\n\n1. **$U \\in \\mathcal{A}$**：由有限特征，只需证 $U$ 的每个有限子集属于 $\\mathcal{A}$。设 $S \\subseteq U$ 有限，则每个 $s \\in S$ 落在某个 $A_s \\in \\mathcal{C}$ 中；$\\mathcal{C}$ 是 $\\subseteq$链而 $S$ 有限，故其中必有最大的 $A_{0}$ 包含 $S$（即 $S \\subseteq A_{0}$）。因为 $A_{0} \\in \\mathcal{A}$ 且 $\\mathcal{A}$ 具有有限特征，$A_{0}$ 的每个有限子集都属于 $\\mathcal{A}$，特别地 $S \\in \\mathcal{A}$。故 $U$ 的每个有限子集属于 $\\mathcal{A}$，从而 $U \\in \\mathcal{A}$。\n2. **$U$ 是极大元**：若存在 $B \\in \\mathcal{A}$ 使 $U \\subset B$，则 $\\mathcal{C} \\cup \\{B\\}$ 仍是 $\\subseteq$链（每个 $A \\in \\mathcal{C}$ 满足 $A \\subseteq U \\subseteq B$），与 $\\mathcal{C}$ 的极大性矛盾。\n\n故 $U$ 是 $(\\mathcal{A}, \\subseteq )$ 的极大元。∎" } ] }, { "id": "imp.hartogs-zorn", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "ax.choice", "thm.hartogs" ], "target": "lem.zorn", "title": "选择公理 + Hartogs 定理 $\\implies$ 佐恩引理（路线 $1\\implies2$）", "proof": "设 $(P, \\preceq )$ 是非空偏序集，且 $P$ 的每个链都有上界。目标是造出一个极大元。\n\n**① 一个选择函数**：由 AC，$\\mathcal{P}(P) \\setminus \\{\\emptyset \\}$ 上有选择函数 $\\varphi$，即 $\\varphi (A) \\in A$ 对每个非空 $A \\subseteq P$ 成立。整段证明只挑这一次。\n\n**② 链的严格上界**：对链 $C \\subseteq P$ 记\n\n$$S(C) = \\{ p \\in P : \\forall c \\in C, p \\succ c \\}$$\n\n（约定 $S(\\emptyset ) = P$。）注意「$C$ 有上界」与「$S(C) \\ne \\emptyset$」不是一回事：$S$ 要的是**严格**上界。\n\n**③ 超限递归**：只要 $S$ 非空就往下走 ——\n\n$$p(\\alpha) = \\varphi( S(\\{ p(\\beta) : \\beta < \\alpha \\}) )\\quad \\text{ 只要} S(\\{ p(\\beta) : \\beta < \\alpha \\}) \\ne \\emptyset;\\text{ 一旦} S\\text{ 为空就停}$$\n\n于是得到一列严格递增的 $p(0) \\prec p(1) \\prec p(2) \\prec \\cdots$。第 0 步用 $S(\\emptyset ) = P \\ne \\emptyset$，所以 $p(0) = \\varphi (P)$ 有定义。\n\n**④ 必停**：由 **Hartogs 定理**，$\\aleph (P)$ 是不能单射进 $P$ 的最小序数。把递归的上限取到 $\\aleph (P)$ 就够 —— 若对一切 $\\alpha < \\aleph (P)$ 都不停，则 $\\alpha \\mapsto p(\\alpha )$ 就是一个单射 $\\aleph (P) \\to P$，与 $\\aleph (P)$ 的定义矛盾。故存在 $\\alpha _{0} < \\aleph (P)$ 使 $S(\\{ p(\\beta ) : \\beta < \\alpha _{0} \\}) = \\emptyset$。（这一步只用到 ZF，不用 AC。）\n\n**⑤ 停下来就给极大元**：令 $C = \\{ p(\\beta ) : \\beta < \\alpha _{0} \\}$，它是 $P$ 的一个链（而且是严格递增的），由题设存在上界 $u \\in P$。\n\n**⑥ $u$ 是极大元**：若存在 $v \\in P$ 使 $u \\prec v$，则由 $u \\succeq c$（$\\forall c \\in C$）与传递性得 $v \\succ c$（$\\forall c \\in C$），即 $v \\in S(C)$ —— 与 $S(C) = \\emptyset$ 矛盾。故 $u$ 是 $P$ 的极大元。∎\n\n$>$ 这一路线的分工很干净：**AC 负责「挑」，Hartogs 负责「停」**。对比之下，经由良序定理的证法（见「良序定理 $\\iff$ 佐恩引理」那条黑线）是把「停」交给 Burali–Forti 悖论。", "note": "比走良序定理更直：整段只挑一次元素，终止性由 Hartogs 定理（ZF 可证）兜底。" }, { "id": "imp.zorn-choice", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.zorn" ], "target": "ax.choice", "title": "佐恩引理 $\\implies$ 选择公理（路线 $2\\implies1$）", "proof": "设 $\\{A_i\\}_\\{i \\in I\\}$ 是一族非空集合。要对它造出一个选择函数。\n\n**① 舞台：部分选择函数全体**。令\n\n$$\\mathcal{F} = \\{ f : f\\text{ 是函数}, \\operatorname{dom} f \\subseteq I,\\text{ 且} \\forall i \\in \\operatorname{dom} f, f(i) \\in A_i \\}$$\n\n按包含关系 $\\subseteq$ 排序。$\\mathcal{F} \\ne \\emptyset$（空函数在 $\\mathcal{F}$ 中），且 $(\\mathcal{F}, \\subseteq )$ 是偏序集。\n\n**② 每个链有上界**：设 $\\mathcal{D} \\subseteq \\mathcal{F}$ 是 $\\subseteq$链，令 $f = \\bigcup \\mathcal{D}$。\n\n$f$ 是函数：若 $(i, a), (i, a') \\in f$，则它们分别属于某个 $f_{1}, f_{2} \\in \\mathcal{D}$；$\\mathcal{D}$ 是链，不妨设 $f_{1} \\subseteq f_{2}$，于是 $(i, a), (i, a') \\in f_{2}$，而 $f_{2}$ 是函数，故 $a = a'$。\n$f \\in \\mathcal{F}$：$\\operatorname{dom} f = \\bigcup _\\{g \\in \\mathcal{D}\\} \\operatorname{dom} g \\subseteq I$，且对 $i \\in \\operatorname{dom} f$ 有 $f(i) \\in A_i$。\n$f$ 是 $\\mathcal{D}$ 的上界：$f \\supseteq g$ 对一切 $g \\in \\mathcal{D}$ 成立。\n\n**③ 用佐恩引理**，取 $(\\mathcal{F}, \\subseteq )$ 的极大元 $f$。\n\n**④ 极大元必须「定义在全体 $I$ 上」**：若存在 $i_{0} \\in I \\setminus \\operatorname{dom} f$，由 $A_\\{i_{0}\\} \\ne \\emptyset$ 取 $a \\in A_\\{i_{0}\\}$，则\n\n$$f' = f \\cup \\{ (i_0, a) \\}$$\n\n仍是 $\\mathcal{F}$ 中的元素（$i_{0} \\notin \\operatorname{dom} f$，不破坏函数性），且 $f \\subset f'$ —— 与 $f$ 的极大性矛盾。故 $\\operatorname{dom} f = I$。\n\n**⑤** 于是 $f : I \\to \\bigcup _\\{i \\in I\\} A_i$ 且 $f(i) \\in A_i$ 对一切 $i$ 成立，即 $f$ 是这族集合的选择函数。由族的任意性，AC 成立。∎", "note": "「按包含序取极大元，再证明它已经没法再大」—— 这是用佐恩引理造存在性对象的典型手法。" }, { "id": "imp.zorn-to-basis", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.zorn" ], "target": "thm.vsbasis", "title": "佐恩引理 $\\implies$ 每个向量空间有基", "proof": "设 $V \\ne 0$ 是域 $K$ 上的向量空间，并给定线性无关集 $S_{0} \\subseteq V$。令\n\n$$\\mathcal{A} = \\{ S \\subseteq V : S \\supseteq S_0\\text{ 且} S\\text{ 线性无关} \\}$$\n\n按包含关系 $\\subseteq$ 排序。\n\n1. **$\\mathcal{A} \\ne \\emptyset$**：$S_{0} \\in \\mathcal{A}$。\n2. **每个链有上界**：设 $\\mathcal{D} \\subseteq \\mathcal{A}$ 是 $\\subseteq$链，令 $U = \\bigcup \\mathcal{D}$。要证 $U$ 线性无关，只需证 $U$ 的每个有限子集线性无关：取有限子集 $\\{v_{1}$ …$v_{n}\\} \\subseteq U$，每个 $v_{i}$ 属于某个 $D_{i} \\in \\mathcal{D}$；$\\mathcal{D}$ 是链且只有有限多个 $D_{i}$，故其中有一个最大的 $D$ 包含全部 $v_{i}$，即 $\\{v_{1}$ …$v_{n}\\} \\subseteq D$。而 $D$ 线性无关，故它的子集 $\\{v_{1}$ …$v_{n}\\}$ 也线性无关。因此 $U$ 线性无关，$U \\in \\mathcal{A}$，它是 $\\mathcal{D}$ 的上界。\n3. 由佐恩引理，$\\mathcal{A}$ 有极大元 $B$。$B$ 是含 $S_{0}$ 的线性无关集，且在「含 $S_{0}$ 的线性无关集」中极大。\n4. **$B$ 生成 $V$**：若存在 $v \\in V$ 不在 $B$ 的张成空间 span(B) 中，则 $B \\cup \\{v\\}$ 仍线性无关（否则 $v$ 可写成 $B$ 中有限多个向量的线性组合，与 $v \\notin \\operatorname{span}(B)$ 矛盾），且严格大于 $B$，与 $B$ 的极大性矛盾。故 $\\operatorname{span}(B) = V$，即 $B$ 是 $V$ 的基。取 $S_{0} = \\emptyset$ 得「$V$ 有基」。∎", "note": "同样的套路可以证明：每个环有极大理想、每个域上每个模有极大无关组、每个偏序集有极大反链。" }, { "id": "imp.compact-seqcompact", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.compact" ], "target": "def.sequentially-compact", "title": "紧 $\\implies$ 列紧", "proof": "设 $\\{x_{n}\\}$ 是 $X$ 中的序列。反证：假设它没有收敛的子列。\n\n**① 点集 $\\{x_{n} : n \\in \\mathbb{N}\\}$ 是闭的。** 任取 $y$ 不在这个点集中。若 $y$ 是某个 $x_{n}$，那 $y$ 显然不在余集里；以下设 $y \\notin \\{x_{n}\\}$。由于 $\\{x_{n}\\}$ 没有收敛子列，$\\{x_{n}\\}$ 中任何子列都不趋于 $y$，于是存在 $\\varepsilon > 0$ 使 $B(y, \\varepsilon )$ 中只含**有限个** $x_{n}$（否则可以挑出趋于 $y$ 的子列）。删掉这有限多个点，就得到一个含 $y$ 的开球不碰 $\\{x_{n}\\}$。故余集开，$\\{x_{n}\\}$ 闭。\n\n**② 每个 $x_{n}$ 有一个只含有限多个 $x_{m}$ 的开邻域。** $x_{n}$ 自己也被排除在子列之外，同上可得。\n\n**③ 造一个开覆盖。** 取\n\n$$\\mathcal{U} = \\{ U_n : n \\in \\mathbb{N} \\} \\cup \\{ X \\setminus \\{x_n : n \\in \\mathbb{N}\\} \\}$$\n\n其中 $U_{n}$ 是 ② 中给 $x_{n}$ 的那个邻域（只含有限个 $x_{m}$）。再补上闭集的余集，$\\mathcal{U}$ 就是 $X$ 的开覆盖。\n\n**④ 由紧性取有限子覆盖** $\\mathcal{V} \\subseteq \\mathcal{U}$。若 $\\mathcal{V}$ 包含那个余集，则没盖住任何 $x_{n}$；若只含有限个 $U_{n}$，而每个 $U_{n}$ 只含有限个 $x_{m}$，则 $\\mathcal{V}$ 总共只盖住**有限多个** $x_{m}$ —— 与 $\\{x_{n}\\}$ 是无限集矛盾（没有收敛子列迫使它无限）。\n\n故 $\\{x_{n}\\}$ 必有收敛子列，$X$ 列紧。∎", "note": "只有这一步不需要选择公理。" }, { "id": "imp.seqcompact-totbdd", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.sequentially-compact" ], "target": "def.totally-bounded", "title": "列紧 $\\implies$ 全有界", "proof": "证明逆否：若 $X$ 不全有界，则存在一个没有收敛子列的序列。\n\n**① 不全有界给了我们一个「一致」的正数。** $X$ 不全有界，意思是存在某个 $\\varepsilon _{0} > 0$，使 $X$ **不能**被有限个半径 $\\varepsilon _{0}$ 的球盖住。\n\n**② 递归地挑点。** 取 $x_{1} \\in X$ 任意。已取好 $x_{1}$ …$x_{n}$ 后，有限个球 $B(x_{1}, \\varepsilon _{0})$ …$B(x_{n}, \\varepsilon _{0})$ 盖不住 $X$，所以可再取\n\n$$x_{n+1} \\in X \\setminus \\bigcup_{i=1}^{n} B(x_i, \\varepsilon_0)$$\n\n于是任何两个不同的项都满足 $m \\ne n \\implies d(x_m, x_n) \\ge \\varepsilon_0$\n\n**③ 它没有收敛子列。** 任何子列中任意两项距离都 $\\ge \\varepsilon _{0}$，所以它不是 Cauchy 列；而度量空间里收敛必 Cauchy，故它不收敛。\n\n**④** 于是 $X$ 不列紧。取逆否，得列紧 $\\implies$ 全有界。∎\n\n$>$ ⚠ ② 是「取了一个点才能决定下一个点在哪」的递归选取，用的是**相依选择公理 DC**（比 AC 弱，但仍是选择原理）。这是整段里唯一实质用到选择的地方。", "note": "顺带得到一个常用的推论：**列紧 $\\implies$ 有界**（因为全有界 $\\implies$ 有界）。" }, { "id": "imp.seqcompact-complete", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.sequentially-compact" ], "target": "def.complete", "title": "列紧 $\\implies$ 完备", "proof": "设 $X$ 列紧，$\\{x_{n}\\}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列。\n\n**①** 由列紧，$\\{x_{n}\\}$ 有收敛子列 $x_\\{n_{k}\\} \\to x \\in X$。\n\n**② Cauchy 列只要有收敛子列，就整体收敛到同一个极限**：给定 $\\varepsilon > 0$，取 $N$ 使 $m, n \\ge N$ 时 $d(x_{m}, x_{n}) < \\varepsilon /2$；再取 $K$ 使 $k \\ge K$ 时 $n_{k} \\ge N$ 且 $d(x_\\{n_{k}\\}, x) < \\varepsilon /2$。于是对 $n \\ge N$，取 $k \\ge K$ 使 $n_{k} \\ge N$，得\n\n$$d(x_n, x) \\le d(x_n, x_{n_k}) + d(x_{n_k}, x) < \\varepsilon/2 + \\varepsilon/2 = \\varepsilon$$\n\n故 $x_{n} \\to x$。所以 $X$ 完备。∎", "note": "和「紧 $\\implies$ 完备」是同一个套路，只是把「紧」换成它的直接推论「列紧」。" }, { "id": "imp.seqcompact-compact", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.sequentially-compact" ], "target": "def.compact", "title": "列紧 $\\implies$ 紧", "proof": "用**反证 + 一串不断缩小的「坏球」**。设 $X$ 列紧。\n\n**① $X$ 全有界** —— 用上面那条箭头「列紧 $\\implies$ 全有界」。\n\n**② 造嵌套的坏球。** 设 $\\mathcal{U}$ 是 $X$ 的开覆盖，且它**没有**有限子覆盖。由全有界，$X$ 能被有限个半径 1 的开球盖住；其中必有一个球不能被 $\\mathcal{U}$ 的有限多个成员盖住 —— 否则把每个球各自的有限覆盖并起来，就得到 $\\mathcal{U}$ 的一个有限子覆盖。称这样的球为**坏球**，取一个记作 $B_{1}$。\n\n再把 $B_{1}$ 用有限个半径 1/2 的球盖住（$B_{1} \\subseteq X$，全有界性对它同样管用），其中必有一个坏球 $B_{2} \\subseteq B_{1}$。如此继续，得到\n\n$$B_1 \\supseteq B_2 \\supseteq B_3 \\supseteq \\cdots, \\quad B_k\\text{ 的半径} \\le 1/k, \\quad \\text{ 每个} B_k\\text{ 都是坏的}$$\n\n（每一步都只是在**有限**多个球里挑一个，可以规定「取编号最小的那个」，所以这里不动用选择公理。）\n\n**③ 取点，得到 Cauchy 列。** 取 $x_{k} \\in B_{k}$。由嵌套与半径趋于 0，对 $m \\le n$ 有 $x_{m}, x_{n} \\in B_{m}$ 而 $B_{m}$ 的半径 $\\le 1/m$，于是\n\n$$d(x_m, x_n) \\le 2/m\\quad \\implies\\quad \\{x_k\\}\\text{ 是} Cauchy\\text{ 列}$$\n\n**④** 由列紧它有子列收敛到某点 $x \\in X$；Cauchy 列一旦有收敛子列就整体收敛，故 $x_{k} \\to x$。\n\n**⑤ 收尾。** $x$ 落在某个 $U \\in \\mathcal{U}$ 中。$U$ 开，故存在 $r > 0$ 使 $B(x, r) \\subseteq U$。取 $k$ 充分大，使 $1/k < r/2$ 且 $d(x_{k}, x) < r/2$；则对任意 $y \\in B_{k}$，\n\n$$d(y, x) \\le d(y, x_k) + d(x_k, x) < 1/k + r/2 < r$$\n\n即 $B_{k} \\subseteq B(x, r) \\subseteq U$。于是 $B_{k}$ 被 $\\mathcal{U}$ 的**一个**成员盖住了，与「$B_{k}$ 是坏球」矛盾。\n\n故 $\\mathcal{U}$ 必有有限子覆盖，$X$ 紧。∎", "note": "「坏球」这一招的直觉是：让一串被架空的小球缩到一个极限点，再用极限点的开邻域一口吞掉它。整段只用全有界，没用选择公理。" }, { "id": "imp.compact-complete", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.compact" ], "target": "def.complete", "title": "紧 $\\implies$ 完备", "proof": "设 $X$ 紧，$\\{x_{n}\\}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列。要证它收敛。\n\n**①** 由「紧 $\\implies$ 列紧」（见那条箭头），$\\{x_{n}\\}$ 有收敛子列 $x_\\{n_{k}\\} \\to x \\in X$。\n\n**② Cauchy 列只要有收敛子列就整体收敛到同一个极限**：给定 $\\varepsilon > 0$，取 $N_{1}$ 使 $m, n \\ge N_{1}$ 时 $d(x_{m}, x_{n}) < \\varepsilon /2$；取 $K$ 使 $n_{k} \\ge N_{1}$ 且 $d(x_\\{n_{k}\\}, x) < \\varepsilon /2$ 对 $k \\ge K$ 成立。则对 $n \\ge N_{1}$，取一个 $k \\ge K$ 使 $n_{k} \\ge N_{1}$，得\n\n$$d(x_n, x) \\le d(x_n, x_{n_k}) + d(x_{n_k}, x) < \\varepsilon/2 + \\varepsilon/2 = \\varepsilon$$\n\n故 $x_{n} \\to x \\in X$。所以 $X$ 完备。∎", "note": "关键引理：「Cauchy 列 + 有一个收敛子列 $\\implies$ 收敛」，这在任何度量空间里都对。" }, { "id": "imp.compact-totbdd", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.compact" ], "target": "def.totally-bounded", "title": "紧 $\\implies$ 全有界", "proof": "给定 $\\varepsilon > 0$。考虑开球族\n\n$$\\mathcal{U} = \\{ B(x, \\varepsilon) : x \\in X \\}$$\n\n它显然是 $X$ 的开覆盖（每个 $x$ 都被 $B(x, \\varepsilon )$ 含住）。由 $X$ 紧，存在有限子覆盖：\n\n$$X = B(x_1, \\varepsilon) \\cup \\cdots \\cup B(x_n, \\varepsilon)$$\n\n即 $\\{x_{1}$ …$x_{n}\\}$ 是一个有限的 $\\varepsilon$网。由 $\\varepsilon > 0$ 任意，$X$ 全有界。∎\n\n$>$ 注意这条证明只用了「开球盖住自己」这一点 —— 它说明紧 $\\implies$ 全有界几乎不需要任何技术。真正难的方向是下一条。", "note": "" }, { "id": "imp.complete-totbdd-seqcompact", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.complete", "def.totally-bounded" ], "target": "def.sequentially-compact", "title": "完备 + 全有界 $\\implies$ 列紧（对角线法）", "proof": "设 $X$ 完备且全有界，$\\{x_{n}\\}$ 是 $X$ 中任一序列。要抽出一个收敛子列。\n\n**① 抽一个「直径越来越小」的子列。** 对 $k = 1, 2, 3$ … 依次操作：由全有界，$X$ 能被有限个半径 1/k 的球盖住，于是**其中一个球含有当前子列中的无穷多项**（抽屉原理：有限个球盖住无穷多项，必有一个球含无穷多项）。把子列限制到这个球里。\n\n这样得到一串子列\n\n$$\\{x_n\\} \\supseteq \\{x^{(1)}_n\\} \\supseteq \\{x^{(2)}_n\\} \\supseteq \\cdots$$\n\n其中第 $k$ 个子列的项全部落在某个半径 1/k 的球内，因此它任意两项的距离 $< 2/k$。\n\n**② 对角线。** 取 $y_{k} = x^\\{(k)\\}_{k}$（第 $k$ 个子列的第 $k$ 项）。则 $\\{y_{k}\\}$ 是 $\\{x_{n}\\}$ 的子列；且对 $k, l \\ge K$，$y_{k}$ 与 $y_{l}$ 都是第 $K$ 个子列的项（下标 $\\ge K$ 的项都在里面），故\n\n$$d(y_k, y_l) < 2/K$$\n\n于是 $\\{y_{k}\\}$ 是 Cauchy 列。\n\n**③** 由 $X$ 完备，$\\{y_{k}\\}$ 收敛。于是 $\\{x_{n}\\}$ 有收敛子列，$X$ 列紧。∎", "note": "① 里「无穷多项落进某一个球」用到抽屉原理（有限情形，不需要选择）。② 的对角线抽取也不需要选择 —— 所有选取都由「取第 $k$ 个子列的第 $k$ 项」唯一确定。" }, { "id": "def-link.compact-theorem", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "thm.metric-compact-equiv", "note": "「紧的三个等价刻画」的陈述里用到了「紧」的定义。" }, { "id": "def-link.seqcompact-theorem", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sequentially-compact", "usedBy": "thm.metric-compact-equiv", "note": "同上，用到了「列紧」。" }, { "id": "def-link.complete-theorem", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.complete", "usedBy": "thm.metric-compact-equiv", "note": "同上，用到了「完备」。" }, { "id": "def-link.totbdd-theorem", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.totally-bounded", "usedBy": "thm.metric-compact-equiv", "note": "同上，用到了「全有界」。" }, { "id": "def-link.compact-closed", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "prop.compact-subset-closed", "note": "命题「紧子集是闭的」用到了紧的定义。" }, { "id": "def-link.compact-subset-equiv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "prop.subset-compact-equiv", "note": "子集的紧性刻画用到了紧的定义。" }, { "id": "def-link.totbdd-subset-equiv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.totally-bounded", "usedBy": "prop.subset-compact-equiv", "note": "同上，用到了全有界。" }, { "id": "def-link.complete-subset-equiv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.complete", "usedBy": "prop.subset-compact-equiv", "note": "⚠ 这条命题的**前提**就是「$X$ 完备」，所以它引用完备的定义。" }, { "id": "imp.ring-monotone-sigma", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.set-ring", "def.monotone-class" ], "target": "thm.ring-monotone-sigma", "title": "环 + 单调类 $\\implies$ σ-环", "proof": "设 $\\mathfrak{A}$ 是环，且是单调类。要证它对**可数并**封闭。\n\n**① 先换成不交并。** 给定 $A_{1}, A_{2}$ … $\\in \\mathfrak{A}$，令\n\n$$B_n = A_n \\setminus (A_1 \\cup \\cdots \\cup A_{n-1})$$\n\n因为 $\\mathfrak{A}$ 是环（对有限并、对差封闭），每个 $B_{n} \\in \\mathfrak{A}$；而且 $B_{n}$ 两两不交，并且 $\\bigcup B_{n} = \\bigcup A_{n}$。所以只需证 $\\mathfrak{A}$ 对**可数不交并**封闭。\n\n**② 用单调性。** 若 $B_{n}$ 两两不交，则部分并 $C_n = B_1 \\cup \\cdots \\cup B_n$ 是递增列，且 $C_{n} \\in \\mathfrak{A}$（环对有限并封闭）。由 $\\mathfrak{A}$ 是单调类，\n\n$$\\bigcup_n C_n = \\bigcup_n B_n = \\bigcup_n A_n \\in \\mathfrak{A}$$\n\n故 $\\mathfrak{A}$ 是可数并封闭的 $\\sigma$环。反向（$\\sigma$环 $\\implies$ 单调类）明显，因为递增并、递减交都是可数并/交的特例。∎", "note": "这条定理把「$\\sigma$」这件事等价地翻译成了「对两种单调极限封闭」，单调类定理正是靠它工作的。" }, { "id": "def-link.fundamental-props", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fundamental-class", "usedBy": "prop.set-class-properties", "note": "性质 (1)(5) 用的就是基本类的定义。" }, { "id": "def-link.ring-props", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.set-ring", "usedBy": "prop.set-class-properties", "note": "性质 (2)(3) 是在环 / 代数 $/ \\sigma$代数的定义上做的。" }, { "id": "def-link.ring-monotone-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.set-ring", "usedBy": "thm.ring-monotone-sigma", "note": "定理的前提与结论都用了「环 $/ \\sigma$环」的定义。" }, { "id": "def-link.monotone-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monotone-class", "usedBy": "thm.ring-monotone-sigma", "note": "同上，还用了单调类的定义。" }, { "id": "def-link.generated-monotone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generated-sigma", "usedBy": "thm.monotone-class", "note": "单调类定理的陈述里出现 $\\mathcal{M}(\\mathcal{E})$ 与 $\\mathfrak{m}(\\mathcal{E})$，正是上一条定义。" }, { "id": "def-link.monotone-class-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monotone-class", "usedBy": "thm.monotone-class", "note": "并用到了单调类的定义。" }, { "id": "def-link.generated-borel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generated-sigma", "usedBy": "def.borel", "note": "$Borel \\sigma$代数就是把「由开集生成」用了一遍。" }, { "id": "def-link.generated-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generated-sigma", "usedBy": "def.product-sigma", "note": "积 $\\sigma$代数也是「生成」出来的。" }, { "id": "def-link.product-generated", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-sigma", "usedBy": "prop.product-sigma-generated", "note": "这条命题比较「柱集生成」与「矩形生成」。" }, { "id": "def-link.product-base", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-sigma", "usedBy": "prop.product-sigma-base", "note": "这条命题说的就是把每一维的 $\\mathcal{M}_\\alpha$ 换成生成元后，积 $\\sigma$代数不变。" }, { "id": "def-link.generated-product-base", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generated-sigma", "usedBy": "prop.product-sigma-base", "note": "整条命题就是在操作「生成」。" }, { "id": "def-link.product-borel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-sigma", "usedBy": "cor.borel-product", "note": "推论里左边是积 $\\sigma$代数。" }, { "id": "def-link.borel-borelproduct", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.borel", "usedBy": "cor.borel-product", "note": "推论里右边是 $Borel \\sigma$代数。" }, { "id": "def-link.sigmaring-ring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.set-ring", "usedBy": "def.sigma-ring", "note": "$\\sigma$环就是把「环」里的有限并升级成可数并，其余（对差封闭）照旧。" }, { "id": "def-link.sigmaalgebra-sigmaring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sigma-ring", "usedBy": "def.sigma-algebra", "note": "$\\sigma$代数 $= \\sigma$环 $X \\in \\mathfrak{A}$，只多这一条。" }, { "id": "def-link.sigmaalgebra-ringmonotone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sigma-algebra", "usedBy": "thm.ring-monotone-sigma", "note": "这条判据的结论是「$\\mathfrak{A}$ 是 $\\sigma$环」；若 $\\mathfrak{A}$ 还含 $X$，就一并是 $\\sigma$代数。" }, { "id": "def-link.sigmaalgebra-monotonethm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sigma-algebra", "usedBy": "thm.monotone-class", "note": "单调类定理的两端，一个是由 $\\mathcal{E}$ 生成的 $\\sigma$代数 $\\mathcal{M}(\\mathcal{E})$、一个是单调类 $\\mathfrak{m}(\\mathcal{E})$。" }, { "id": "def-link.sigmaalgebra-generated", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sigma-algebra", "usedBy": "def.generated-sigma", "note": "「生成的 $\\sigma$代数」＝ 一切包含 $\\mathcal{E}$ 的 $\\sigma$代数之交。" }, { "id": "def-link.sigmaalgebra-borel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sigma-algebra", "usedBy": "def.borel", "note": "$Borel \\sigma$代数就是「由开集这个生成元生成的 $\\sigma$代数」。" }, { "id": "def-link.sigmaalgebra-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sigma-algebra", "usedBy": "def.product-sigma", "note": "积 $\\sigma$代数也只是 $\\sigma$代数，生成元换成「矩形」而已。" }, { "id": "imp.measure-props", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.measure" ], "target": "prop.measure-basic", "title": "测度 $\\implies$ 单调 / 次可加 / 上下连续", "proof": "设 $\\mu$ 是测度。\n\n**(a) 单调。** 设 $E \\subseteq F$。则 $F = E \\cup (F \\setminus E)$，两项不交，故 $\\mu (F) = \\mu (E) + \\mu (F \\setminus E) \\ge \\mu (E)$（取值非负）。\n\n**(b) 次可加。** 令 $F_{j} = E_{j} \\setminus (E_{1} \\cup \\cdots \\cup E_\\{j-1\\})$，则 $F_{j}$ 两两不交、$\\bigcup F_{j} = \\bigcup E_{j}$ 且 $F_{j} \\subseteq E_{j}$。由可数可加与 (a)，\n\n$$\\mu(\\bigcup_j E_j) = \\mu(\\bigcup_j F_j) = \\sum_j \\mu(F_j) \\le \\sum_j \\mu(E_j)$$\n\n**(c) 下连续。** 设 $E_{1} \\subseteq E_{2} \\subseteq \\cdots$。令 $A_{1} = E_{1}$，$A_{j} = E_{j} \\setminus E_\\{j-1\\}$（$j \\ge 2$），则 $A_{j}$ 两两不交且 $\\bigcup A_{j} = \\bigcup E_{j}$。由可数可加，\n\n$$\\mu(\\bigcup_j E_j) = \\sum_j \\mu(A_j) = \\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{j=1}^{n} \\mu(A_j) = \\lim_{n\\to\\infty} \\mu(E_n)$$\n\n**(d) 上连续。** 设 $E_{1} \\supseteq E_{2} \\supseteq \\cdots$ 且 $\\mu (E_{1}) < \\infty$。令 $F_{j} = E_{1} \\setminus E_{j}$，则 $F_{1} \\subseteq F_{2} \\subseteq \\cdots$ 且 $\\bigcup F_{j} = E_{1} \\setminus \\bigcap E_{j}$。由 (c) 与 (a)，\n\n$$\\mu(E_1) - \\mu(\\bigcap_j E_j) = \\mu(E_1 \\setminus \\bigcap_j E_j) = \\lim_j \\mu(F_j) = \\lim_j ( \\mu(E_1) - \\mu(E_j) )$$\n\n因为 $\\mu (E_{1}) < \\infty$ 是个有限数，可以从两边同时减掉，得 $\\mu (\\bigcap E_{j}) = \\lim \\mu (E_{j})$。∎\n\n$>$ ⚠ (d) 里的「$\\mu (E_{1}) < \\infty$」正是为了让 $\\mu (E_{1})$ 能被减掉。没有它，等式会退化成 $\\infty = \\infty$。", "note": "" }, { "id": "imp.premeasure-to-outer", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.premeasure" ], "target": "prop.outer-measure-induced", "title": "预测度 $\\implies$ 诱导的外测度", "proof": "设 $\\mathfrak{A}$ 是代数，$\\mu _{0}$ 是 $\\mathfrak{A}$ 上的预测度。对 $A \\subseteq X$ 令\n\n$$\\mu^*(A) = \\inf \\{ \\sum_j \\mu_0(E_j) : E_j \\in \\mathfrak{A}, A \\subseteq \\bigcup_j E_j \\}$$\n\n**① 定义合理**：$A \\subseteq X$ 且 $X \\in \\mathfrak{A}$，所以总有覆盖，inf 是对非空集合取。\n\n**② $\\mu^{*}(\\emptyset ) = 0$**：取 $E_{1} = \\emptyset$、$E_{2} = E_{3} = \\cdots = \\emptyset$，则 $\\sum \\mu _{0}(E_{j}) = 0$，故 $0 \\le \\mu^{*}(\\emptyset ) \\le 0$。\n\n**③ 单调**：$A \\subseteq B$ 时，$B$ 的每个覆盖也是 $A$ 的覆盖，故 $A$ 的下确界集合更大，$\\mu^{*}(A) \\le \\mu^{*}$(B)。\n\n**④ 可数次可加**：设 $A_{j} \\subseteq X$。若某个 $\\mu^{*}(A_{j}) = \\infty$ 则不等式平凡；否则给定 $\\varepsilon > 0$，对每个 $j$ 取 $\\mathfrak{A}$ 中的覆盖 $\\{E_\\{j,k\\}\\}_{k}$ 使\n\n$$\\sum_k \\mu_0(E_{j,k}) < \\mu^*(A_j) + (\\varepsilon/2)^j$$\n\n把 {E_{j,k}}_{j,k} 按 (j, k) 之外再用双射排成一列（可数个可数集之并仍可数），它是 $\\bigcup _{j} A_{j}$ 的一个覆盖，于是\n\n$$\\mu^*(\\bigcup_j A_j) \\le \\sum_{j,k} \\mu_0(E_{j,k}) \\le \\sum_j \\mu^*(A_j) + \\varepsilon$$\n\n令 $\\varepsilon \\to 0$ 即得。∎\n\n$>$ ⚠ ④ 的每一步都只需取**一个**覆盖 —— 这用的是 $\\mathbb{N}$ 上的可数选择（可以从自然数的良序性显式给出），不需要完整的 AC。", "note": "" }, { "id": "imp.outer-carath", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.outer-measure", "def.caratheodory-measurable" ], "target": "thm.caratheodory", "title": "外测度 + 可切集 $\\implies$ σ-代数与完备测度", "proof": "设 $\\mu^{*}$ 是外测度，$\\mathcal{M} = \\{ A : \\forall E, \\mu^{*}(E) = \\mu^{*}(E\\cap A) + \\mu^{*}(E\\cap A^{c}) \\}$。\n\n**① $\\mathcal{M}$ 是代数。** 条件关于 $A$ 与 $A^{c}$ 对称，故 $A \\in \\mathcal{M} \\implies A^{c} \\in \\mathcal{M}$；$\\emptyset$ 与 $X$ 显然在 $\\mathcal{M}$ 中。若 $A, B \\in \\mathcal{M}$，要证 $A \\cup B \\in \\mathcal{M}$：对任意 $E$，把 $E$ 依 $A$ 切开、再依 $B$ 切开，\n\n$$\\mu^*(E) = \\mu^*(E\\cap A) + \\mu^*(E\\cap A^c) = \\mu^*(E\\cap A\\cap B) + \\mu^*(E\\cap A\\cap B^c) + \\mu^*(E\\cap A^c\\cap B) + \\mu^*(E\\cap A^c\\cap B^c)$$\n\n而右边前三项合起来 $\\ge \\mu^{*}(E\\cap (A\\cup B))$（次可加），最后一项 $= \\mu^{*}(E\\cap (A\\cup B)^{c})$。反向不等式由次可加自动成立，故 $A \\cup B \\in \\mathcal{M}$。\n\n**② $\\mathcal{M}$ 是 $\\sigma$代数。** 设 $A_{j} \\in \\mathcal{M}$ 两两不交，$A = \\bigcup A_{j}$。对任意 $E$ 归纳得到\n\n$$\\mu^*(E \\cap \\bigcup_{j\\le n} A_j) = \\sum_{j\\le n} \\mu^*(E \\cap A_j)$$\n\n（每一步用 $A_{n}$ 把 $E$ 切开，丢掉的那块弃掉即可。）令 $n \\to \\infty$，用次可加性与单调性，\n\n$$\\mu^*(E) = \\mu^*(E\\cap A) + \\mu^*(E\\cap A^c)$$\n\n故 $A \\in \\mathcal{M}$。结合 ①，$\\mathcal{M}$ 是可数并封闭的代数，即 $\\sigma$代数（可数不交并由 ②，一般可数并再换成不交并）。\n\n**③ $\\mu^{*}|_\\mathcal{M}$ 可加。** 在 ② 里取 $E = X$、$A$ 换成两两不交的 $A_{j}$，得 $\\mu^{*}(\\bigcup A_{j}) = \\sum \\mu^{*}(A_{j})$，这正是可数可加；$\\mu^{*}(\\emptyset ) = 0$ 由外测度定义给出。\n\n**④ 完备。** 设 $\\mu^{*}(A) = 0$，$B \\subseteq A$。对任意 $E$，由单调性与次可加，\n\n$$\\mu^*(E) \\ge \\mu^*(E \\cap B^c) \\ge \\mu^*(E) - \\mu^*(E \\cap B) \\ge \\mu^*(E) - \\mu^*(A) = \\mu^*(E)$$\n\n故 $\\mu^{*}(E) = \\mu^{*}(E\\cap B) + \\mu^{*}(E\\cap B^{c})$（注意 $\\mu^{*}(E\\cap B) \\le \\mu^{*}(A) = 0$），即 $B \\in \\mathcal{M}$。故 $\\mu^{*}|_\\mathcal{M}$ 完备。∎\n\n$>$ 这一条是纯验证，但要验的东西不少，上面把要点写全了。", "note": "" }, { "id": "imp.carath-extension", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.caratheodory", "prop.outer-measure-induced" ], "target": "prop.caratheodory-extension", "title": "Carathéodory + 预测度 $\\implies$ 原代数上的值不变", "proof": "设 $\\mathfrak{A}$ 是代数，$\\mu _{0}$ 是 $\\mathfrak{A}$ 上的预测度，$\\mu^{*}$ 是由 $\\mu _{0}$ 诱导的外测度，$\\mathcal{M}$ 是全体 $\\mu^{*}$-可测集。\n\n**① $\\mu^{*}|_\\mathfrak{A} \\le \\mu _{0}$。** 取 $A \\in \\mathfrak{A}$，则 $A \\subseteq A$ 是一个（只含一层的）覆盖，故\n\n$$\\mu^*(A) \\le \\mu_0(A) + 0 + 0 + \\cdots = \\mu_0(A)$$\n\n**② $\\mu^{*}|_\\mathfrak{A} \\ge \\mu _{0}$。** 设 $\\{E_{j}\\} \\subseteq \\mathfrak{A}$ 是 $A$ 的覆盖。令 $F_{j} = E_{j} \\setminus (E_{1} \\cup \\cdots \\cup E_\\{j-1\\})$，则 $F_{j} \\in \\mathfrak{A}$ 两两不交且 $\\bigcup F_{j} \\supseteq A$、$F_{j} \\subseteq E_{j}$。于是\n\n$$\\mu_0(A) = \\mu_0( \\bigcup_j (A \\cap F_j) ) = \\sum_j \\mu_0(A \\cap F_j) \\le \\sum_j \\mu_0(F_j) \\le \\sum_j \\mu_0(E_j)$$\n\n（第一个等号用 $A$ 是那些不交集合之并；第二个用 $\\mu _{0}$ 可数可加；不等号用单调性。）对所有覆盖取下确界得 $\\mu _{0}(A) \\le \\mu^{*}$(A)。\n\n**③ $\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathcal{M}$。** 设 $A \\in \\mathfrak{A}$，$E \\subseteq X$，要证 $\\mu^{*}(E) \\ge \\mu^{*}(E\\cap A) + \\mu^{*}(E\\cap A^{c})$。给定 $\\varepsilon > 0$，取 $\\mathfrak{A}$ 中 $\\{E_{j}\\}$ 覆盖 $E$ 使\n\n$$\\sum_j \\mu_0(E_j) < \\mu^*(E) + \\varepsilon$$\n\n由 ②，$\\mu _{0}(E_{j}) = \\mu^{*}(E_{j})$；又 $\\mathfrak{A}$ 是代数，$E_{j} \\cap A$ 与 $E_{j} \\cap A^{c}$ 都在 $\\mathfrak{A}$ 中且不交、并为 $E_{j}$，于是\n\n$$\\mu^*(E \\cap A) + \\mu^*(E \\cap A^c) \\le \\sum_j \\mu_0(E_j \\cap A) + \\sum_j \\mu_0(E_j \\cap A^c) = \\sum_j \\mu_0(E_j) < \\mu^*(E) + \\varepsilon$$\n\n令 $\\varepsilon \\to 0$ 即得。所以 $\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathcal{M}$；而 $\\mathcal{M}$ 是 $\\sigma$代数（Carathéodory），故 $\\mathcal{M}(\\mathfrak{A}) \\subseteq \\mathcal{M}$。∎", "note": "" }, { "id": "imp.carath-unique", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.caratheodory-extension" ], "target": "thm.caratheodory-uniqueness", "title": "扩张的最大性与 σ-有限唯一性", "proof": "沿用上一条的记号，设 $\\nu$ 是 $\\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$ 上另一个扩张 $\\mu _{0}$ 的测度。\n\n**① $\\nu \\le \\mu^{*}$。** 设 $E \\in \\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$，$\\{E_{j}\\} \\subseteq \\mathfrak{A}$ 是 $E$ 的覆盖。由 $\\nu$ 的次可加性与 $\\nu |_\\mathfrak{A} = \\mu _{0}$，\n\n$$\\nu(E) \\le \\sum_j \\nu(E_j) = \\sum_j \\mu_0(E_j)$$\n\n对所有这样的覆盖取下确界，右边给出 $\\mu^{*}(E) = \\mu (E)$。故 $\\nu (E) \\le \\mu (E)$。\n\n**② $\\mu (E) < \\infty$ 时取等。** 此时 $n = \\nu (E)$ 有限（因为 $\\nu (E) \\le \\mu (E) < \\infty$）—— 但要注意 $\\nu \\le \\mu$ 只在一侧，所以直接两边各取补集：$E$ 可测意味着对任意 $F \\subseteq X$ 有 $\\mu (F) = \\mu (F\\cap E) + \\mu (F\\setminus E)$，取 $F = X$ 得 $\\mu (X) = \\mu (E) + \\mu (X\\setminus E)$，**这一步要求 $\\mu (X) < \\infty$** 才好逐项比较。一般情形下改用 $\\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$ 中 $\\mu$ 有限的集合 $E_{n} \\uparrow X$ 作近似（见下）。\n\n**③ $\\sigma$有限时唯一。** 取 $\\mu$有限的可测集 $E_{n} \\uparrow X$（$\\sigma$有限的定义）。对每个 $E_{n}$，用 ② 的论证于 $E_{n} \\cap E$ 上得 $\\nu (E \\cap E_{n}) = \\mu (E \\cap E_{n})$；令 $n \\to \\infty$，两侧分别用下连续性（$\\nu$ 与 $\\mu$ 都是测度）得到 $\\nu (E) = \\mu (E)$。\n\n故 $\\sigma$有限时 $\\nu = \\mu$，扩张唯一。∎\n\n$>$ ⚠ ② 里 $\\mu (E) < \\infty$ 的等号之所以能成立，用的是「在有限测度的集合上 $\\mu - \\nu$ 也是测度」这一点。$\\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$ 上会出现无穷值，所以只能逐块比较 —— 这正是 $\\sigma$有限必不可少的原因。", "note": "" }, { "id": "imp.ls-premeasure-to-measure", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.ls-premeasure", "thm.caratheodory-uniqueness" ], "target": "thm.ls-exists", "title": "F 的预测度 $\\implies \\mathbb{R}$ 上的 Borel 测度", "proof": "设 $F$ 递增右连续。由前一条命题，$\\mu _{0}((a, b]) = F(b) - F(a)$ 扩充成半开区间生成的代数 $\\mathfrak{A}$ 上的**预测度**。\n\n**① 存在性。** 由 Carathéodory 扩张定理，$\\mu _{0}$ 诱导的外测度限制在 $\\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$ 上就是一个测度 $\\mu _F$，且在 $\\mathfrak{A}$ 上还原成 $\\mu _{0}$。特别地 $\\mu _F((a, b]) = F(b) - F(a)$。\n\n**② 它是 Borel 测度。** 每个开区间 (a, b) 是可数个 $(a, b - 1/n]$ 之并，故属于 $\\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$；于是 $\\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$ 包含 $\\mathbb{R}$ 的全体开集（$\\mathbb{R}$ 的开集是可数个开区间之并），从而 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R} \\subseteq \\mathcal{M}(\\mathfrak{A})$。\n\n**③ 唯一性。** $F$ 递增实值 $\\implies \\mu _F((-n, n]) = F(n) - F(-n) < \\infty$，所以 $\\mu _F$ 是 $\\sigma$有限的（$\\mathbb{R} = \\bigcup _{n} (-n, n]$）。由 $\\sigma$有限时的唯一性，扩张唯一。\n\n**④ 「差常数」的来源。** $\\mu _F$ 只看增量：把 $F$ 换成 F + c，对一切 (a, b] 有 $F(b) - F(a)$ 不变，故预测度不变、扩张不变。反过来若 $\\mu _F = \\mu _G$，则对一切 $a < b$，$F(b) - F(a) = G(b) - G(a)$，固定 $a$ 即得 $F - G$ 是常数。∎", "note": "" }, { "id": "imp.completion", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.null-set" ], "target": "thm.completion", "title": "零集 $\\implies$ 完备化", "proof": "设 $(X, \\mathcal{M}, \\mu )$ 是测度空间，$\\bar{\\mathcal{M}} = \\{ E \\cup F : E \\in \\mathcal{M}, F \\subseteq N$ 对某个零集 N }。\n\n**① $\\bar{\\mathcal{M}}$ 是 $\\sigma$代数。** 含 $X$（$X \\in \\mathcal{M}$）。对可数并：$\\bigcup (E_{j} \\cup F_{j}) = (\\bigcup E_{j}) \\cup (\\bigcup F_{j})$，而 $\\bigcup F_{j} \\subseteq \\bigcup N_{j}$ 是零集。对补：$E \\cup F$ 的补是\n\n$$(E \\cup F)^c = (E^c \\cap N^c) \\cup (E^c \\cap N \\setminus F)$$\n\n第一块属于 $\\mathcal{M}$，第二块含在零集 $N$ 里，故属于 $\\bar{\\mathcal{M}}$ 的形状。\n\n**② $\\bar{\\mu}$ 良定义。** 设 $E_{1} \\cup F_{1} = E_{2} \\cup F_{2}$ 且 $F_{i} \\subseteq N_{i}$（零集）。由 $E_{1} \\subseteq E_{2} \\cup N_{2}$ 得 $\\mu (E_{1}) \\le \\mu (E_{2}) + 0$，反向同理，故 $\\mu (E_{1}) = \\mu (E_{2})$。\n\n**③ $\\bar{\\mu}$ 是测度。** 把 $\\mathcal{N}$ 中集合的子集归入「零的一部分」后，可数可加性与 $\\mu$ 上的逐一对应（$E_{j}$ 部分可数可加、$F_{j}$ 部分含于零集）。\n\n**④ 完备。** 若 $\\bar{\\mu}(E \\cup F) = 0$，则 $\\mu (E) = 0$，于是 $E \\cup F \\subseteq E \\cup N$ 是零集的子集 —— 按 $\\bar{\\mathcal{M}}$ 的定义它当然还在 $\\bar{\\mathcal{M}}$ 里，即：**$\\bar{\\mathcal{M}}$ 中每个零集的子集都可测**。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.measure-space", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.measure-space", "note": "有限 $/ \\sigma$有限 / 半有限都是在测度的定义上追加条件。" }, { "id": "def-link.premeasure-outer", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.premeasure", "usedBy": "prop.outer-measure-induced", "note": "诱导外测度的公式里用的就是预测度。" }, { "id": "def-link.outer-carath-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.outer-measure", "usedBy": "thm.caratheodory", "note": "Carathéodory 定理的起点是外测度。" }, { "id": "def-link.carathmeasurable-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.caratheodory-measurable", "usedBy": "thm.caratheodory", "note": "定理里的 $\\mathcal{M}$ 就是 $\\mu^{*}$-可测集全体。" }, { "id": "def-link.measure-completion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "thm.completion", "note": "完备化的构造完全依赖测度与零集。" }, { "id": "def-link.measure-ls", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.lebesgue-stieltjes", "note": "Lebesgue–Stieltjes 测度是一种 Borel 测度。" }, { "id": "def-link.borel-ls", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.borel", "usedBy": "thm.ls-exists", "note": "定理的结论是「Borel 测度」。" }, { "id": "def-link.null-completion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "thm.completion", "note": "完备化定理的定义里整段都在用「零集」。" }, { "id": "def-link.semifinite-measure-space", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure-space", "usedBy": "def.semifinite-part", "note": "半有限部分是针对「半有限」这个概念做的修补。" }, { "id": "def-link.measure-basic-props", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "prop.measure-basic", "note": "这几条性质都是测度定义（可数可加）的直接推论。" }, { "id": "imp.measurable-limit", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.simple-function", "thm.simple-approximation" ], "target": "prop.measurable-closure", "title": "简单函数逼近 $\\implies$ 可测函数在极限下封闭", "proof": "**① 上确界。** 设 $f_j$ 可测。要证 $\\sup_j f_j$ 可测。由判定准则 (2)，只需对生成元 $(a, +\\infty]$（$a \\in \\mathbb{R}$）验证：\n\n$$(\\sup_j f_j)^{-1}((a, +\\infty]) = \\bigcup_j f_j^{-1}((a, +\\infty]) \\in \\mathcal{M}$$\n\n是可数并，故可测。\n\n**② 下确界。** $\\inf_j f_j = -\\sup_j(-f_j)$，而取负保持可测性，故 inf 也可测。\n\n**③ 极限。** $\\liminf_j f_j = \\sup_n \\inf_{j \\ge n} f_j$，由 ①② 可测；同理 $\\limsup$ 可测。当极限存在时两者相等，故极限可测。\n\n**④ 和与积。** 先看 $f + g$：对任意 $a \\in \\mathbb{R}$，\n\n$$\\{f + g > a\\} = \\bigcup_{q \\in \\mathbb{Q}} ( \\{f > q\\} \\cap \\{g > a - q\\} )$$\n\n（左边 $\\subseteq$ 右边：取有理数 $q$ 夹在 $a - g$ 与 $f$ 之间；反向显然。）右边是可数并交，故可测。积 $fg$ 由 $fg = ((f+g)^2 - f^2 - g^2) / 2$ 化归（对非负情形直接验证，一般情形先做正负部分分解）。\n\n**⑤ 与简单函数的关系。** 上面 ①~④ 已经把「可测」做成了一个对极限与代数运算封闭的类；而简单函数逼近定理保证**每个非负可测函数都是一列简单函数的逐点极限**，所以这个类是「刚好够用」的：从简单函数出发，取极限就得到全部可测函数。∎", "note": "这条是把「sup 可测、max 可测、极限可测、和积可测」几条合并成的总纲 —— 单独看每一条都很碎，合起来才是它的分量。" }, { "id": "imp.continuous-borel", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.measurable-criterion" ], "target": "cor.continuous-measurable", "title": "连续 $\\implies$ Borel 可测", "proof": "设 $f : X \\to Y$ 连续，即每个开集的原像是开集。\n\n由定义 $\\mathfrak{B}_Y = \\mathcal{M}(\\{ U \\subseteq Y : U\\text{ 开} \\})$，用判定准则 (2)：只需对生成元（开集）验证原像可测。对开集 $U$，$f^{-1}(U)$ 是 $X$ 中的开集，因而 $\\in \\mathfrak{B}_X$。故 $f$ 可测。∎\n\n$>$ 注意这个坑：**这个论证对 $(\\mathfrak{B}, \\mathfrak{B})$ 成立，但对 $(\\mathcal{L}, \\mathcal{L})$ 不成立** —— 因为 $\\mathcal{L}$ 并不由开集生成，它比 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$ 多了很多非 Borel 的零测集子集。", "note": "" }, { "id": "imp.completion-measurable-function", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.completion" ], "target": "prop.completion-measurable-function", "title": "完备化定理 $\\implies$ 完备空间上的可测函数可改在零集上", "proof": "完备化 $(X, \\bar{\\mathcal{M}}, \\bar{\\mu})$ 相对 $(X, \\mathcal{M}, \\mu)$ 只多做了一件事：**把零集的子集也收进 $\\sigma$代数**。所以两个 $\\sigma$代数只在零集上不同。\n\n先取 $f = \\chi_E$：此时 $E = E' \\cup F$，$E' \\in \\mathcal{M}$、$F$ 含于某个 $\\mathcal{M}$零集，取 $g = \\chi_{E'}$ 即有 $f = g$ a.e.。对 $\\mathcal{M}$可测的简单函数显然成立（有限线性组合）。\n\n一般情形取简单函数列 $\\varphi_n \\to f$，每个 $\\varphi_n$ 在一个 $\\bar{\\mathcal{M}}$零集 $E_n$ 外等于某个 $\\mathcal{M}$可测的 $\\psi_n$。把 $N := \\bigcup_n E_n$ 并起来（可数并仍是零集），令 $g := \\lim_n \\chi_{N^c} \\cdot \\varphi_n$ —— 它在 $N^c$ 上等于 $f$，且作为 $\\mathcal{M}$可测函数的极限仍 $\\mathcal{M}$可测。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.lplus-simple-approx", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.simple-function", "usedBy": "thm.simple-approximation", "note": "逼近定理的结论就是「可测函数是简单函数列的极限」。" }, { "id": "def-link.measurable-simple", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measurable-function", "usedBy": "def.simple-function", "note": "简单函数的定义里带着「可测」。" }, { "id": "def-link.measurable-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measurable-function", "usedBy": "prop.measurable-criterion", "note": "两条准则都是在可测定义上做的。" }, { "id": "def-link.product-sigma-measurable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-sigma", "usedBy": "prop.measurable-product-and-realimag", "note": "这条命题的舞台是积 $\\sigma$代数。" }, { "id": "def-link.lebesgue-measurable-def", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measurable-function", "usedBy": "def.lebesgue-measurable", "note": "Lebesgue / Borel 可测只是把 $(\\mathcal{M}, \\mathcal{N})$ 取成具体的两对。" }, { "id": "def-link.borel-lebesgue-measurable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.borel", "usedBy": "def.lebesgue-measurable", "note": "Borel 可测用的是 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$ 与 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{C}$。" }, { "id": "def-link.nullset-complete-measurable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "prop.complete-measurable", "note": "这条命题说的正是「完备性」这个概念在函数层面等价于什么。" }, { "id": "def-link.completion-measurable-fn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "prop.completion-measurable-function", "note": "证明里全程在用零集。" }, { "id": "def-link.measure-closure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "prop.measurable-closure", "note": "封闭性里的极限都是相对测度 $\\mu$ 而言的。" }, { "id": "imp.mct", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.integral-nonneg", "prop.simple-integral-props" ], "target": "thm.mct", "title": "非负积分的定义 $\\implies$ 单调收敛定理", "proof": "**① 一个方向是免费的。** 由 $f_{n} \\le f$ 与积分的单调性，$\\int f_{n} \\le \\int f$，故\n\n$$\\lim_{n\\to\\infty} \\int f_n \\le \\int f$$\n\n所以只需证另一边。\n\n**② 用一个简单函数从下面逼近 $f$。** 给定 $\\varepsilon > 0$，由 $\\int f$ 的定义（取上确界）存在简单函数 $\\varphi$ 使\n\n$$0 \\le \\varphi \\le f, \\quad \\int \\varphi \\ge \\int f - \\varepsilon$$\n\n**③ 把 $\\varphi$ 搬进 $E_{n}$。** 令 $E_n = \\{x : f_n(x) \\ge \\varphi(x)\\}$。因为 $f_{n} \\uparrow f$ 且 $\\varphi \\le f$，集合列 $E_{n}$ 是递增的、且 $\\bigcup_n E_n = X$。于是\n\n$$\\int f_n \\ge \\int_{E_n} f_n \\ge \\int_{E_n} \\varphi$$\n\n**④ 让 $n \\to \\infty$。** 由简单函数积分的性质 (d)，$A \\mapsto \\int_A \\varphi d\\mu$ 是 $\\mathcal{M}$ 上的一个**测度**；把它用在递增列 $E_{n} \\uparrow X$ 上，用测度的下连续性：\n\n$$\\lim_{n\\to\\infty} \\int_{E_n} \\varphi = \\int_X \\varphi = \\int \\varphi$$\n\n所以存在 $N$ 使 $n > N$ 时 $\\int_{E_n} \\varphi > \\int \\varphi - \\varepsilon$，从而\n\n$$\\int f_n \\ge \\int \\varphi - \\varepsilon \\ge \\int f - 2\\varepsilon$$\n\n**⑤ 收尾。** 对一切 $n > N$ 成立，故 $\\lim_n \\int f_n \\ge \\int f - 2\\varepsilon$；令 $\\varepsilon \\to 0$ 得 $\\lim_n \\int f_n \\ge \\int f$。与 ① 合起来就是等号。∎\n\n$>$ ⭐ 整段证明只用了两样东西：**简单函数积分的 (d)**（把 $A \\mapsto \\int _A \\varphi$ 当作测度）和**积分的单调性**。单调性假设就是用来保证 ③ 里的 $E_{n}$ 递增到 $X$ 的。", "note": "「先拿一个简单函数从下面顶住 $f$，再让 $E_{n}$ 爬上去」—— 这个套路在 Fatou 引理里还会再用一次。" }, { "id": "imp.termwise", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.mct" ], "target": "thm.termwise-integration", "title": "MCT $\\implies$ 逐项积分", "proof": "**① 先看两项。** 由非负性，$\\{f_1 \\wedge n\\}$、$\\{f_2 \\wedge n\\}$ 都是简单函数列的极限（简单函数逼近定理），于是\n\n$$\\int (f_1 + f_2) = \\lim_{n\\to\\infty} \\int (\\varphi_n + \\psi_n) = \\int f_1 + \\int f_2$$\n\n其中用到了 MCT（把 $f_{1} + f_{2}$ 写成极限）与简单函数积分的可加性 (b)。\n\n**② 归纳到有限项。** 逐次用 ① 得到\n\n$$\\int \\sum_{n=1}^{N} f_n = \\sum_{n=1}^{N} \\int f_n$$\n\n**③ 让 $N \\to \\infty$。** 部分和 $\\sum_{n\\le N} f_n$ 是 $L^{+}$ 中的**递增**列，极限正是 $\\sum_{n=1}^{\\infty} f_n$。对部分和列用一次 MCT：\n\n$$\\int \\sum_{n=1}^{\\infty} f_n = \\lim_{N\\to\\infty} \\int \\sum_{n=1}^{N} f_n = \\lim_{N\\to\\infty} \\sum_{n=1}^{N} \\int f_n = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\int f_n$$\n\n∎", "note": "" }, { "id": "imp.fatou", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.mct" ], "target": "lem.fatou", "title": "MCT $\\implies$ Fatou 引理", "proof": "设 $g_n = \\inf_{k \\ge n} f_k$，则\n\n$\\cdot$ $g_n \\le f_k$ 对一切 $k \\ge n$ 成立，故 $\\int g_n \\le \\inf_{k\\ge n} \\int f_k$；\n$\\cdot$ $\\{g_n\\}$ 是 $L^{+}$ 中的**递增**列（下确界取的集合越来越少），且 $\\lim_n g_n = \\liminf_k f_k$。\n\n对递增列 $\\{g_n\\}$ 用 MCT：\n\n$$\\int \\liminf_{n\\to\\infty} f_n = \\int \\lim_{n\\to\\infty} g_n = \\lim_{n\\to\\infty} \\int g_n \\le \\lim_{n\\to\\infty} \\inf_{k \\ge n} \\int f_k = \\liminf_{n\\to\\infty} \\int f_n$$\n\n∎\n\n$>$ 整个证明就是把「liminf 定义成递增列的上确界」这件事翻译一遍 —— MCT 之外什么都没用。", "note": "Fatou 就是 MCT 在「不单调」情形下的残留物：单调性换成了 liminf。" }, { "id": "imp.dct", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.fatou" ], "target": "thm.dct", "title": "Fatou $\\implies$ 控制收敛定理", "proof": "设 $f_n \\to f$ a.e.，$|f_n| \\le g \\in L^1$。\n\n**① $f \\in L^{1}$。** 由 $|f| = \\lim|f_n| \\le g$（a.e.）得 $f$ 可积。\n\n**② 上界方向：$\\limsup_n \\int f_n \\le \\int f$。** 考虑 $g - f_n \\ge 0$（因为 $|f_{n}| \\le g$）。这列非负函数满足\n\n$$g - f_n \\to g - f\\quad \\text{a.e.}$$\n\n对它用 Fatou 引理：\n\n$$\\int (g - f) \\le \\liminf_n \\int (g - f_n) = \\int g - \\limsup_n \\int f_n$$\n\n（最后一步是因为 $\\liminf_{-a_n} = -\\limsup a_n$。）移项即得 $\\limsup_n \\int f_n \\le \\int f$。\n\n**③ 下界方向：$\\liminf_n \\int f_n \\ge \\int f$。** 同样对 $g + f_n \\ge 0$ 用 Fatou：\n\n$$\\int (g + f) \\le \\liminf_n \\int (g + f_n) = \\int g + \\liminf_n \\int f_n$$\n\n移项得 $\\liminf_n \\int f_n \\ge \\int f$。\n\n**④** ②与③合起来 $\\limsup \\le \\int f \\le \\liminf$，故极限存在且等于 $\\int f$。∎\n\n$>$ ⭐ 关键在于**控制函数提供的非负性**：$g \\pm f_n$ 都是非负的，于是 Fatou 可以直接用。没有 $g$，这一步就写不出来。\n$>$ 移项之所以合法，是因为 $g$ 可积（$\\int g < \\infty$）—— 这正是「控制函数必须属于 $L^{1}$」而不能只是「有界」的原因。", "note": "" }, { "id": "imp.differentiate-under-integral", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.dct" ], "target": "thm.differentiate-under-integral", "title": "DCT $\\implies$ 在积分号下求极限与求导", "proof": "**(a)** 取任意 $t_n \\to t_0$，令 $f_n(x) = f(x, t_n)$。由题设 $|f_n| \\le g \\in L^1$、且 $f_n \\to f(x,t_0)$ 逐点，DCT 直接给出\n\n$$F(t_n) = \\int f_n \\to \\int f(\\cdot, t_0) = F(t_0)$$\n\n对一切序列 $t_{n}$ 成立，故 $\\lim_{t\\to t_0} F(t) = F(t_0)$。\n\n**(b)** 取任意 $t_n \\to t_0$，令\n\n$$h_n(x) = (f(x, t_n) - f(x, t_0)) / (t_n - t_0)$$\n\n则 $F'(t_0) = \\lim_n (F(t_n) - F(t_0)) / (t_n - t_0) = \\lim_n \\int h_n$。要把它换成 $\\int \\lim h_{n}$ 就够了，而 DCT 正好提供这个能力：\n\n$\\cdot$ $h_n \\to \\partial f / \\partial t(x, t_0)$ 逐点（这是导数的定义）；\n$\\cdot$ **控制**：由中值定理，$|h_n(x)| \\le \\sup_{t \\in [t_0, t_n]} | \\partial f / \\partial t(x, t) | \\le g(x)$。\n\n于是\n\n$$F'(t_0) = \\lim_n \\int h_n = \\int \\lim_n h_n = \\int \\partial f / \\partial t(x, t_0) d\\mu(x)$$\n\n∎\n\n$>$ ⚠ (b) 里那个「取 sup 的控制」必须提前假定：如果只对**每个** $t$ 假设有控制，是不够的 —— 需要**同一个 $g$** 控制整族偏导数。", "note": "" }, { "id": "imp.termwise-L1", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.termwise-integration", "prop.integral-zero-iff" ], "target": "thm.termwise-L1", "title": "非负逐项积分 + 零集判定 $\\implies L^{1}$ 的逐项积分", "proof": "设 $\\sum_j \\int |f_j| < \\infty$。\n\n**① 绝对收敛 a.e.。** 令 $g = \\sum_j |f_j| \\in L^+$。由非负函数的逐项积分，\n\n$$\\int g = \\sum_j \\int |f_j| < \\infty$$\n\n由「积分有限的后果」，$g < \\infty \\text{a.e.}$，即 $\\sum_j |f_j(x)| < \\infty$ 对 a.e. x 成立。所以 $\\sum_j f_j(x)$ 对 a.e. x **绝对收敛**。\n\n**② 定义 $f$。** 令 $f(x) = \\sum_j f_j(x)$（在收敛的 a.e. 点上），其余点随意取 0。则 $|f| \\le g$，故 $f \\in L^{1}$。\n\n**③ 部分和被控制。** 部分和 $s_N = \\sum_{j\\le N} f_j$ 满足 $|s_N| \\le g \\in L^1$。\n\n**④ 用 DCT。** $s_N \\to f$ a.e.，且被 $g$ 控制，故\n\n$$\\int f = \\lim_{N\\to\\infty} \\int s_N = \\lim_{N\\to\\infty} \\sum_{j\\le N} \\int f_j = \\sum_{j=1}^{\\infty} \\int f_j$$\n\n（中间一步用 $L^{1}$ 的线性。）∎", "note": "" }, { "id": "imp.integrals-equal-iff", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.integral-zero-iff" ], "target": "prop.integrals-equal-iff", "title": "积分为零 $\\implies$ 用积分识别函数", "proof": "记 $h = f - g \\in L^1$。三条之间的等价链条是\n\n$$(i) \\int_E f = \\int_E g\\quad \\forall E \\in \\mathcal{M}\\quad \\iff\\quad \\int_E h = 0\\quad \\forall E$$\n\n**$(i) \\implies (ii)$**：分别取 $E = \\{h \\ge 0\\}$ 与 $E = \\{h < 0\\}$。由 $\\int_E h = 0$ 且 $h$ 在 $E$ 上不变号，得 $\\{h > 0\\}$ 与 $\\{h < 0\\}$ 都是零集（否则积分为正/负），故 $\\mu(\\{h \\ne 0\\}) = 0$，于是 $\\int|h| = 0$。\n\n**$(ii) \\implies (iii)$**：$\\int|h| = 0$ 配合「积分为零 $\\iff$ 几乎处处为零」，直接得到 $h = 0 \\text{a.e.}$。\n\n**$(iii) \\implies (i)$**：$h = 0 \\text{a.e.}$ 时，对任意 $E$，$\\int_E h$ 的简单函数逼近里可以整体避开零集，故积分为 0。∎", "note": "" }, { "id": "imp.fatou-corollary", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.fatou" ], "target": "cor.fatou", "title": "Fatou 引理 $\\implies \\text{a.e.}$ 版本的 Fatou", "proof": "把 Fatou 引理用在 $\\liminf f_n$ 上：a.e. 收敛时 $\\liminf_n f_n = f$，于是 $\\int f = \\int \\liminf f_n \\le \\liminf \\int f_n$。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.simple-integral-def", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.simple-function", "usedBy": "def.integral-simple", "note": "简单函数的积分就是在简单函数的定义上算加权和。" }, { "id": "def-link.nonneg-simple", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integral-simple", "usedBy": "def.integral-nonneg", "note": "非负函数的积分定义成简单函数积分族的上确界。" }, { "id": "def-link.mct-nonneg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integral-nonneg", "usedBy": "thm.mct", "note": "MCT 是绕着这个定义做的。" }, { "id": "def-link.lplus-mct", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lplus", "usedBy": "thm.mct", "note": "MCT 对整列都要求在 $L^{+}$ 里。" }, { "id": "def-link.lplus-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lplus", "usedBy": "def.integral-complex", "note": "复函数的积分就是把正负部丢回 $L^{+}$ 去算。" }, { "id": "def-link.lplus-integrable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lplus", "usedBy": "def.integrable", "note": "可积 $\\iff \\int |f| < \\infty$，而 $|f| \\in L^{+}$。" }, { "id": "def-link.integrable-dct", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "thm.dct", "note": "DCT 的前提与结论都在 $L^{1}$ 里。" }, { "id": "def-link.lplus-dct", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lplus", "usedBy": "thm.dct", "note": "DCT 的证明是正负部各用一次 Fatou —— 又回到 $L^{+}$。" }, { "id": "def-link.nullset-zeromeasure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "prop.integral-zero-iff", "note": "「积分为零 $\\iff$ 几乎处处为零」里的 a.e. 就是相对于零集说的。" }, { "id": "def-link.premeasure-termwise", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "thm.termwise-integration", "note": "逐项积分最终落在测度的可数可加性上。" }, { "id": "def-link.integrable-L1-vectorspace", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "prop.L1-vector-space", "note": "这条命题说 $L^{1}$ 在代数上是个向量空间。" }, { "id": "def-link.integrable-approx", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "thm.approximation-L1", "note": "逼近定理是在 $L^{1}$ 里说的（用的是 $\\int |f - \\varphi |$ 这个量）。" }, { "id": "def-link.simple-approx-L1", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.simple-function", "usedBy": "thm.approximation-L1", "note": "逼近用的正是简单函数。" }, { "id": "def-link.nullset-ae-mct", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "cor.mct-ae", "note": "「a.e. 版本」的意思就是把零集上的例外丢掉。" }, { "id": "imp.cauchy-in-measure", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.cauchy-in-measure" ], "target": "thm.cauchy-in-measure", "title": "依测度 Cauchy $\\implies$ 依测度收敛且有一子列 a.e. 收敛", "proof": "**① 先抽子列，使「坏集合」的总测度有限。** 由 Cauchy 性，对每个 $k$ 存在 $N_k$ 使\n\n$$\\mu(E_k) \\le 2^{-k}, \\quad \\text{ 其中} E_k = \\{x : |f_n(x) - f_{N_k}(x)| \\ge 2^{-k}\\}\\quad (n \\ge N_k)$$\n\n不妨取 $N_1 < N_2 < \\cdots$。记 $g_j = f_{N_j}$。\n\n**② 让坏集合的尾并收敛。** 令\n\n$$F_k = \\bigcup_{j \\ge k} E_j, \\quad \\text{ 则} \\mu(F_k) \\le \\sum_{j\\ge k} 2^{-j} = 2^{1-k} \\to 0$$\n\n**③ 在 $F_k^c$ 上一致 Cauchy。** 若 $x \\notin F_k$，则对一切 $i \\ge j \\ge k$ 有 $x \\notin E_j$，于是\n\n$$|g_i(x) - g_j(x)| \\le 2^{1-j}$$\n\n所以 $\\{g_j\\}$ 在 $F_k^c$ 上**一致收敛**（Cauchy 且界趋于 0）。\n\n**④ 造极限 $f$。** 令 $F = \\bigcap_k F_k^c$，则\n\n$$\\mu(F) = \\mu(X \\setminus \\bigcup_k F_k) \\ge \\mu(X) - \\mu(F_k)\\quad \\forall k\\quad \\implies\\quad \\mu(F^c) = 0$$\n\n在 $F$ 上令 $f(x) = \\lim_j g_j(x)$，在 $F^c$ 上任取 0。$f$ 是可测函数（可测函数的极限）。于是 $g_j \\to f$ **a.e.**\n\n**⑤ 换成依测度。** 取定 $k$，对 $j \\ge k$、$x \\in F_k^c$ 有 $|g_j(x) - f(x)| \\le 2^{1-j}$。于是对任意 $\\delta > 0$，\n\n$$\\mu(\\{|g_j - f| > \\delta\\}) \\le \\mu(F_k) \\le 2^{1-k}\\quad (j\\text{ 充分大})$$\n\n令 $k \\to \\infty$ 得 $g_j \\to f$ 依测度。\n\n**⑥ 把 $f_{n}$ 也拉进来。** 对任意 $\\varepsilon > 0$，\n\n$$\\{|f_n - f| \\ge \\varepsilon\\} \\subseteq \\{|f_n - g_j| \\ge \\varepsilon/2\\} \\cup \\{|g_j - f| \\ge \\varepsilon/2\\}$$\n\n右边第一项由 Cauchy 性（取 $g_j = f_{N_j}$ 足够靠后）任意小，第二项由 ⑤ 任意小。故 $f_n \\to f$ 依测度。∎", "note": "② 里 $\\sum 2^{-k} < \\infty$ 是关键 —— 正是这一条让「坏集合的尾并」趋于零，也就是 Borel–Cantelli 的精神。" }, { "id": "imp.L1-measure", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.integrable" ], "target": "prop.L1-implies-measure", "title": "Markov 不等式 $\\implies L^{1}$ 收敛蕴含依测度收敛", "proof": "**Markov 不等式**：设 $g$ 可测非负，则对任意 $\\varepsilon > 0$，\n\n$$\\mu(\\{g \\ge \\varepsilon\\}) \\le (1/\\varepsilon)\\cdot\\int g d\\mu$$\n\n证明：在 $\\{g \\ge \\varepsilon\\}$ 上有 $\\varepsilon \\le g$，即 $\\varepsilon \\chi_{\\{g \\ge \\varepsilon\\}} \\le g$；两边积分得 $\\varepsilon\\cdot\\mu(\\{g \\ge \\varepsilon\\}) \\le \\int g$。\n\n取 $g = |f_n - f|$。给定 $\\delta > 0$，\n\n$$\\mu(\\{|f_n - f| > \\delta\\}) \\le (1/\\delta)\\cdot\\int |f_n - f| d\\mu \\to 0$$\n\n（最后一步正是 $L^{1}$ 收敛的定义。）再对任意 $\\varepsilon > 0$ 取 $n$ 足够大即可。∎", "note": "" }, { "id": "imp.egorov", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.convergence-modes" ], "target": "thm.egorov", "title": "a.e. 收敛 + 有限测度 $\\implies$ 近一致", "proof": "设 $f_n \\to f$ a.e.，$\\mu(X) < \\infty$。\n\n**① 收敛点集与坏集合。** 令 $F = \\{x : f_n(x) \\to f(x)\\}$，则 $\\mu(F^c) = 0$。对每个固定的 $k \\in \\mathbb{N}$ 令\n\n$$E_n(k) = \\bigcup_{m \\ge n} \\{x : |f_m(x) - f(x)| \\ge k^{-1}\\}$$\n\n（「从第 $n$ 项起还有偏差 $\\ge 1/k$ 的点」）。\n\n**② 对固定 $k$，$E_n(k)$ 随 $n$ 递减，且 $\\bigcap_n E_n(k) = F^c$。**（若 $x$ 最终偏差都 $< 1/k$，就不在任何足够靠后的 $E_n(k)$ 里。）\n\n**③ 用有限测度取极限。** 由 $\\mu(X) < \\infty$ 与测度的上连续性（递减列），\n\n$$\\mu(E_n(k)) \\to \\mu(F^c) = 0\\quad (n \\to \\infty)$$\n\n**④ 挑出「足够快趋于 0」的那些 $n$。** 给定 $\\varepsilon > 0$，对每个 $k$ 选 $n_k$ 使\n\n$$\\mu(E_{n_k}(k)) < \\varepsilon \\cdot 2^{-k}$$\n\n**⑤ 并起来。** 令 $E = \\bigcup_k E_{n_k}(k)$。则\n\n$$\\mu(E) \\le \\sum_k \\mu(E_{n_k}(k)) < \\varepsilon \\cdot \\sum_k 2^{-k} = \\varepsilon$$\n\n**⑥ 在 $E^c$ 上一致收敛。** 取 $x \\notin E$。对任意 $k$，$x \\notin E_{n_k}(k)$，即对一切 $n \\ge n_k$ 有\n\n$$|f_n(x) - f(x)| < k^{-1}$$\n\n这正是「$f_n \\rightrightarrows f$ 在 $E^c$ 上」的定义（给定精度 $k^{-1}$ $\\le \\varepsilon$ 后，取 $N = n_k$）。∎\n\n$>$ ⚠ ③ 是唯一用到 $\\mu(X) < \\infty$ 的地方（递减列的上连续性需要首项有限）。少了它这一步就不成立，反例见节点正文。", "note": "" }, { "id": "imp.lusin", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.approximation-L1", "thm.egorov" ], "target": "cor.lusin", "title": "简单函数逼近 + Egorov $\\implies$ Lusin", "proof": "**① 先用简单函数逼近。** 由「$L^{1}$ 里的逼近」，取简单函数列 $\\{\\varphi_n\\}$ 使 $\\int|f - \\varphi_n| \\to 0$；取子列还可保证 $\\varphi_n \\to f$ a.e.（由 $L^{1}$ 收敛 $\\implies$ 依测度收敛 + 抽 a.e. 子列）。而简单函数是有限个可测集的特征函数之和。\n\n**② 先对「指示函数」办到。** 对可测集 $A \\subseteq [a, b]$ 与任意 $\\varepsilon > 0$，由测度的正则性可找到紧集 $E \\subseteq A$ 使 $\\mu(A \\setminus E) < \\varepsilon$，于是 $\\chi_A|_{E}$ 连续（在 $E$ 上恒为 1）。有限多个这样的紧集取交，就能让一整个简单函数在某个紧集上连续。\n\n**③ 用 Egorov 把「几乎处处」升级成「一致」。** 把 ①② 得到的「在紧集上连续」逐步加细：取一列越来越好的紧集，用 Egorov 保证 $\\varphi_n \\to f$ 在某块丢掉任意小测度的集合后**一致**收敛。一致收敛保持连续性，故 $f$ 限制在剩下的那个紧集上连续。\n\n**④ 收尾。** 每一步丢掉的测度都可以预先取得任意小，全部并起来仍小于 $\\varepsilon$（把 $\\varepsilon$ 预先换成 $\\varepsilon /3$、$\\varepsilon /9$、… 再求和）。于是得到一个紧集 $E \\subseteq [a, b]$，$\\mu(E^c) < \\varepsilon$ 且 $f|_E$ 连续。∎\n\n$>$ ⭐ 核心思想与 Egorov 一样是「**丢掉一小块，换取好性质**」：这次换到的是连续性。", "note": "路线是「Egorov + 简单函数逼近」。" }, { "id": "def-link.modes-counterexamples", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.convergence-modes", "usedBy": "prop.convergence-counterexamples", "note": "四个反例各自击破一种收敛的逆命题。" }, { "id": "def-link.modes-egorov", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.convergence-modes", "usedBy": "thm.egorov", "note": "Egorov 定理说的是其中两种收敛（a.e. 与近一致）的关系。" }, { "id": "def-link.cauchy-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cauchy-in-measure", "usedBy": "thm.cauchy-in-measure", "note": "定理把「依测度 Cauchy」升级成「依测度收敛 + a.e. 子列」。" }, { "id": "def-link.integrable-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "prop.L1-implies-measure", "note": "$L^{1}$ 收敛的定义里用到 $\\int |f_{n} - f|$。" }, { "id": "def-link.modes-L1", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.convergence-modes", "usedBy": "prop.L1-implies-measure", "note": "两种收敛的定义直接对照。" }, { "id": "def-link.measure-egorov", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "thm.egorov", "note": "证明的 ③ 靠测度的上连续性，而那是可数可加性的推论。" }, { "id": "imp.product-measure", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.premeasure", "thm.caratheodory" ], "target": "def.product-measure", "title": "矩形上的预测度 $\\implies$ Carathéodory 扩张得到乘积测度", "proof": "**① $\\mu_{0}$ 是良定义的。** 设 $E$ 有两种矩形不交并的写法。把两边的矩形再交叉细分成最小的那些块（$A_j \\cap A_k'$ $\\times$ $B_j \\cap B_k'$），$\\mu_{0}$ 的值不变 —— 因为 $\\mu$、$\\nu$ 在各自那一侧都是有限可加的。\n\n**② $\\mu_{0}$ 是 $\\mathcal{A}$ 上的预测度。** $\\mathcal{A} =$ 矩形的有限不交并，是代数（矩形的不交并再取差仍是有限个矩形块）。可数可加性由 $\\mu$、$\\nu$ 各自的可数可加性得到：把可数个不交的矩形块按两个方向分别整理成不交并。\n\n**③ 用 Carathéodory 扩张。** 由「预测度 $\\to$ 外测度 $\\to$ 可测集 $\\to$ 扩张测度」那一整套：$\\mu_{0}$ 诱导出 $X \\times Y$ 上的外测度 $\\mu^{*}$，全体 $\\mu^{*}$-可测集构成 $\\sigma$代数，$\\mu^{*}$ 在其上成为测度；而代数 $\\mathcal{A}$ 中每个集合都是 $\\mu^{*}$-可测的，且 $\\mu^{*}|_\\mathcal{A} = \\mu_{0}$。\n\n**④ 落到 $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$ 上。** $\\mathcal{A}$ 含所有矩形，故 $\\mathcal{A}$ 生成 $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N} \\subseteq (\\mu^{*}$-可测集)；把 $\\mu^{*}$ 限制在 $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$ 上，就是所要的测度 $\\mu \\times \\nu$，它在矩形上取值 $\\mu \\times \\nu(A \\times B) = \\mu(A) \\nu(B)$。∎\n\n$>$ ⭐ 这一段没有任何新东西 —— 全是把「测度的构造」那个星团的机器搬过来用一次。这也正是那个星团存在的理由：**它是所有具体测度的生产线**。", "note": "" }, { "id": "imp.section-measurable", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.section" ], "target": "prop.section-measurable", "title": "截口的定义 $\\implies$ 截口保持可测性", "proof": "**(a)** 令 $\\mathcal{R} = \\{E \\subseteq X \\times Y : E_x \\in \\mathcal{N}\\text{ 且} E^y \\in \\mathcal{M}\\quad \\forall(x, y) \\in X \\times Y\\}$。\n\n- **$\\mathcal{R}$ 含所有矩形**：若 $E = A \\times B$，则\n\n$$E_x = B\\quad (x \\in A), \\quad E_x = \\emptyset\\quad (x \\notin A)$$\n\n两边都在 $\\mathcal{N}$ 里（$\\mathcal{N}$ 含 $\\emptyset$）；横截口同理。\n\n- **$\\mathcal{R}$ 是 $\\sigma$代数**：截口运算保持并、交、补 —— 例如 $(\\bigcup_n E^{(n)})_x = \\bigcup_n E^{(n)}_x$、$(E^c)_x = (E_x)^c$（这里用的是 $Y$ 在 $X \\times Y$ 中的「竖条」补集）。故 $\\mathcal{R}$ 对可数并与补封闭。\n\n于是 $\\mathcal{R} \\supseteq \\mathcal{M}($矩形族$) = \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$，(a) 得证。\n\n**(b)** 设 $f$ 是 $\\mathcal{M}\\otimes\\mathcal{N}$可测，$B \\subseteq \\mathbb{C}$ 可测。则\n\n$$f_x^{-1}(B) = \\{y : f(x, y) \\in B\\} = (f^{-1}(B))_x$$\n\n而 $f^{-1}(B) \\in \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$，由 (a) 它的纵截口属于 $\\mathcal{N}$，即 $f_x^{-1}(B) \\in \\mathcal{N}$。所以 $f_x$ 可测。横截口同理。∎", "note": "" }, { "id": "imp.product-sections", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.monotone-class", "prop.section-measurable" ], "target": "thm.product-measure-sections", "title": "单调类定理 $\\implies$ 乘积测度由截口积分给出", "proof": "**① 先设 $\\mu$、$\\nu$ 有限。** 令 $\\mathcal{C} = \\{E \\in \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N} : x \\mapsto \\nu(E_x)\\text{ 可测}, y \\mapsto \\mu(E^y)\\text{ 可测},\\text{ 且} \\mu\\times\\nu(E) = \\int\\nu(E_x)d\\mu = \\int\\mu(E^y)d\\nu\\}$。\n\n**② 矩形在 $\\mathcal{C}$ 里。** 若 $E = A \\times B$，则 $\\nu(E_x) = \\chi_A(x)\\cdot\\nu(B)$，它是可测的（指示函数 $\\times$ 常数），且\n\n$$\\int \\nu(E_x) d\\mu(x) = \\nu(B)\\cdot\\mu(A) = \\mu \\times \\nu(A \\times B)$$\n\n**③ $\\mathcal{C}$ 对递增并封闭。** 若 $E_1 \\subseteq E_2 \\subseteq \\cdots$ 都在 $\\mathcal{C}$ 中、$E = \\bigcup E_n$：则 $\\nu((E_n)_x) \\nearrow \\nu(E_x)$（测度的下连续性），由 MCT 得 $x \\mapsto \\nu(E_x)$ 可测且 $\\int\\nu(E_x)d\\mu = \\lim \\int\\nu((E_n)_x)d\\mu = \\lim \\mu\\times\\nu(E_n) = \\mu\\times\\nu(E)$。\n\n**④ $\\mathcal{C}$ 对递减交封闭。** 若 $E_1 \\supseteq E_2 \\supseteq \\cdots$、$E = \\bigcap E_n$：因为测度有限，可以用 DCT（控制函数是常数 $\\nu(Y) < \\infty$）得到同样的等式。\n\n**⑤ 用单调类定理。** 由 ①②③④，$\\mathcal{C}$ 是含所有矩形的一个**单调类**。矩形族生成的**代数**再由矩形构成，所以 $\\mathcal{C}$ 含这个代数；由单调类定理，$\\mathfrak{m}(\\text{代数}) = \\mathcal{M}(\\text{代数}) = \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$，于是 $\\mathcal{C} = \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$。\n\n**⑥ 推广到 $\\sigma$有限。** 取 $X = \\bigcup_i X_i$、$Y = \\bigcup_i Y_i$（各自测度有限），则 $X \\times Y = \\bigcup_i (X_i \\times Y_i)$。对每个 $i$，把 ⑤ 用在 $E \\cap (X_i \\times Y_i)$ 上（这一步只用到**有限**测度）；再把 $i$ 加起来，用 MCT 对 $i$ 求极限即可。∎\n\n$>$ ⚠ $\\sigma$有限正是在 ⑥ 用掉的：没有它，就没法把无穷测度的空间切成可数块有限块。", "note": "" }, { "id": "imp.tonelli", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.product-measure-sections", "thm.mct" ], "target": "thm.fubini-tonelli", "title": "集合版（截口公式）+ MCT $\\implies$ Tonelli", "proof": "**① 指示函数。** 取 $f = \\chi_E$（$E \\in \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$）。此时\n\n$$\\int_Y f(x, y) d\\nu(y) = \\nu(E_x), \\quad \\int_X f(x, y) d\\mu(x) = \\mu(E^y)$$\n\n于是三重等式正是上一条定理的内容。\n\n**② 简单函数。** 由线性推广到 $f = \\sum_j a_j \\chi_{E_j}$（$a_j \\ge 0$，$E_{j}$ 不交）。\n\n**③ 非负可测函数。** 取简单函数列 $\\{f_n\\} \\nearrow f$（简单函数逼近定理）。令\n\n$$g_n(x) = \\int f_n(x, y) d\\nu(y), \\quad g(x) = \\int f(x, y) d\\nu(y)$$\n\n由 $f_n \\uparrow f$ 与积分的单调性，$\\{g_n\\}$ 递增；由 **MCT**，$g = \\lim_n g_n$ 且\n\n$$\\int g d\\mu = \\lim_n \\int g_n d\\mu$$\n\n再由 ② 对每个 $n$ 的三重等式，\n\n$$\\int g_n d\\mu = \\int f_n d(\\mu \\times \\nu)$$\n\n于是\n\n$$\\int_X ( \\int_Y f d\\nu ) d\\mu = \\lim_n \\int f_n d(\\mu \\times \\nu) = \\int f d(\\mu \\times \\nu)$$\n\n（最后一步又用一次 MCT。）另一边对称。**这就是 Tonelli，全程不需要可积性。**\n\n**④ Fubini。** 设 $f \\in L^1(\\mu \\times \\nu)$。把 $f$ 拆成 $\\operatorname{Re} f^+, \\operatorname{Re} f^-, \\operatorname{Im} f^+, \\operatorname{Im} f^-$ 四个非负部分，对每一部分用 ③。由\n\n$$\\int |f| d(\\mu \\times \\nu) < \\infty$$\n\n和 ③ 的三重等式，得到 $\\int_X (\\int_Y |f| d\\nu) d\\mu < \\infty$，故 $\\int_Y |f(x, \\cdot)| d\\nu < \\infty$ 对 **a.e.** $x$ 成立 —— 即 $f_x \\in L^1(\\nu)$ a.e.；同理 $f^y \\in L^1(\\mu)$ a.e.。既然两个累次积分都已经是有限数，就可以直接相减、不再有 $\\infty - \\infty$ 的危险，三重等式对 $f$ 成立。∎\n\n$>$ ⭐ 分工很干净：**Tonelli 负责非负（无条件），Fubini 用「可积」把四个非负部分的结论拼起来**。", "note": "" }, { "id": "imp.fubini-complete", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.fubini-tonelli", "thm.completion", "prop.product-incomplete" ], "target": "thm.fubini-complete", "title": "乘积测度通常不完备 $\\implies$ 必须补一条完备情形的 F–T", "proof": "**① 先证 $f \\ge 0$ 的情形。** 由于 $\\lambda$ 是 $\\mu \\times \\nu$ 的完备化，$\\mathcal{L}$ 中的集合可以写成\n\n$$E = F \\cup G, \\quad F \\in \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}, \\quad G \\subseteq H, \\quad \\mu \\times \\nu(H) = 0$$\n\n（取不交化后即 $E = F \\sqcup G$，于是 $\\chi_E = \\chi_F + \\chi_G$。）\n\n**② $\\chi_F$ 那一半没问题** —— 直接归 Fubini–Tonelli（$F \\in \\mathcal{M}\\otimes\\mathcal{N}$）。\n\n**③ $\\chi_G$ 那一半也没问题** —— 因为 $G \\subseteq H$ 而 $\\mu \\times \\nu (H) = 0$，所以对**每一个** $x$ 都有 $\\nu(G_x) \\le \\nu(H_x) = 0$（$H$ 的截口是 $\\nu$零集，这一步用截口公式对 $H$ 本身成立），于是\n\n$$\\int \\chi_G d\\lambda = 0 = \\int ( \\int \\chi_G d\\nu ) d\\mu$$\n\n两边都是 0。（对 a.e. 的 $x$，$G_x$ 是 $\\nu$零集。）\n\n**④ 由线性推广到非负简单函数，再用 MCT 推广到一切 $f \\ge 0$。** 关键点：完备化只多出「含在零集里的部分」，而这部分对积分的贡献恒为 0，所以整段论证不会被破坏。\n\n**⑤ 一般情形**：把 $f$ 拆成 $\\operatorname{Re} f^\\pm , \\operatorname{Im} f^\\pm $ 四个非负部分，逐块用 ④ —— 但此时所有断言都退化成「对 a.e. 的 x / y」，因为零集上的截口行为不再逐一可控。∎\n\n$>$ 要点：**核心就是把 $E$ 拆成 $F \\sqcup G$** —— $F$ 归老定理、$G$ 归「截口都是零集」。", "note": "" }, { "id": "imp.product-incomplete", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.product-measure" ], "target": "prop.product-incomplete", "title": "乘积测度通常不完备", "proof": "取 $X = Y = [0, 1]$，$\\mu = \\nu = Lebesgue$ 测度（都是完备的）。令\n\n$$D = \\{(x, x) : x \\in [0, 1]\\}$$\n\n则 $D$ 是闭集，故属于 $\\mathfrak{B}_{[0,1]} \\otimes \\mathfrak{B}_{[0,1]}$；且 $\\mu \\times \\nu(D)$ 可以用截口公式算：对每个 $x$，$\\nu(D_x) = \\nu(\\{x\\}) = 0$，故\n\n$$\\mu \\times \\nu(D) = \\int \\nu(D_x) d\\mu(x) = 0$$\n\n**关键**：取一个 Lebesgue 测度为 0 但**不可测**（不属 $\\mathfrak{B}_\\{[0,1]\\}$）的子集 $N \\subseteq [0,1]$，令\n\n$$G = \\{(x, x) : x \\in N\\} \\subseteq D$$\n\n则 $G \\subseteq D$ 而 $\\mu \\times \\nu (D) = 0$，但 $G$ **不属于** $\\mathfrak{B} \\otimes \\mathfrak{B}$（它的截口给出的正是 $N$ —— 若 $G \\in \\mathfrak{B} \\otimes \\mathfrak{B}$，由截口可测性，对每个 $x$ 都有 $G_x \\in \\mathfrak{B}$，而 $G_x$ 是 {x} 或 $\\emptyset$ …… 需要用「$G$ 的截面沿对角线还原出 $N$」这一论证）。故 $\\mu \\times \\nu$ 不完备。∎\n\n$>$ ⭐ 一句话总结：**完备性可以被「零集的子集」打破，而乘积里零集特别多**。所以实用时必须先完备化 —— 这就是上一条定理存在的理由。", "note": "⚠ 「$G \\notin \\mathfrak{B} \\otimes \\mathfrak{B}$」那一步的细节（如何从截面还原出 $N$）这里只给了骨架；要写严格版，建议改用「对角线论证 + Fubini 定理给矛盾」的路线。" }, { "id": "def-link.productmeasure-premeasure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.premeasure", "usedBy": "def.product-measure", "note": "矩形上的 $\\mu_{0}$ 就是一个预测度。" }, { "id": "def-link.productmeasure-sigma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-sigma", "usedBy": "def.product-measure", "note": "乘积测度定义在积 $\\sigma$代数 $\\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$ 上。" }, { "id": "def-link.section-props", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.section", "usedBy": "prop.section-measurable", "note": "直接验证截口的运算性质。" }, { "id": "def-link.monotoneclass-lemma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monotone-class", "usedBy": "thm.product-measure-sections", "note": "截口公式的证明走的正是单调类定理：先验证矩形成立，再说明「满足它的集合」构成一个单调类。" }, { "id": "def-link.generated-monotone-lemma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generated-sigma", "usedBy": "thm.monotone-class", "note": "定理的陈述里用到 $\\mathfrak{m}(\\mathcal{E})$ 与 $\\mathcal{M}(\\mathcal{E})$ 两个生成记号。" }, { "id": "def-link.productmeasure-sections-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-measure", "usedBy": "thm.product-measure-sections", "note": "定理算的就是乘积测度。" }, { "id": "def-link.section-fubini", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.section", "usedBy": "thm.fubini-tonelli", "note": "Fubini 的整个陈述都是用截口写的。" }, { "id": "def-link.productmeasure-fubini", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-measure", "usedBy": "thm.fubini-tonelli", "note": "重积分就是对 $\\mu \\times \\nu$ 积分。" }, { "id": "def-link.integrable-fubini", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "thm.fubini-tonelli", "note": "Fubini 的 (b) 用的是 $L^{1}(\\mu \\times \\nu )$。" }, { "id": "def-link.productmeasure-complete", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-measure", "usedBy": "thm.fubini-complete", "note": "完备情形下先要把 $\\mu \\times \\nu$ 完备化。" }, { "id": "def-link.completion-fubini", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "thm.fubini-complete", "note": "证明的核心是把集合拆成「属于 $\\mathcal{M}\\otimes\\mathcal{N}$ 的部分」+「含在零集里的部分」。" }, { "id": "def-link.pair-section", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pair", "usedBy": "def.section", "note": "集合构造式 $E_x = \\{ y : (x, y) \\in E \\}$ 里写的就是**有序对** $(x, y)$。" }, { "id": "def-link.function-section", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.section", "note": "截口的第二半是对**函数** $f : X \\times Y \\to \\mathbb{C}$ 定义 $f_x(y) := f(x, y)$。" }, { "id": "imp.product-section", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.product" ], "target": "def.section", "title": "笛卡尔积存在 $\\implies$ 可以谈截口", "proof": "截口是 $X \\times Y$ 的子集 $E$ 的属性，所以先要有 $X \\times Y$ 这个集合本身 —— 这正是笛卡尔积存在定理给的。", "note": "" }, { "id": "def-link.measurable-function-section-measurable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measurable-function", "usedBy": "prop.section-measurable", "note": "**(b)** 说的正是「可测**函数**的截口仍可测」。" }, { "id": "def-link.product-sigma-section-measurable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-sigma", "usedBy": "prop.section-measurable", "note": "前提 $E \\in \\mathcal{M} \\otimes \\mathcal{N}$ 里的 $\\otimes$ 就是**积 $\\sigma$-代数**。" }, { "id": "imp.hahn", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.signed-measure", "prop.positive-set-closure" ], "target": "thm.hahn-decomposition", "title": "符号测度 + 正集的封闭性 $\\implies$ Hahn 分解", "proof": "**① 先把 $\\nu$ 的无穷值甩掉。** 不妨设 $\\nu$ 不取 $\\infty$（若 $\\nu$ 不取 $-\\infty$ 就改证 $-\\nu$）。于是 $\\nu(X) < \\infty$ 中的「上方」是安全的。\n\n**② 挑一个「最大的正集」。** 令\n\n$$m := \\sup\\{ \\nu(E) : E\\text{ 是正集} \\}, $$\n\n则 $m < \\infty$（因为 $\\nu$ 不取 $\\infty$ 而 $\\nu (E) \\le \\nu (X)$ 型估计受控）。取一列正集 $\\{P_j\\}$ 使 $\\nu(P_j) \\to m$，令\n\n$$P = \\bigcup_j P_j$$\n\n由正集的可数并仍是正集，$P$ 是正集；且 $\\nu(P) = m$（正集的不交化 + 可数可加）。\n\n**③ 断言 $N = X \\setminus P$ 是负集。** 反设 $N$ 不含负集，即 $N$ 不是负的。要证它会挤出一个比 $m$ 更大的正集。\n\n**④ 在 $N$ 里挖出正集。** 若 $N$ 不是负集，则存在可测 $A \\subseteq N$ 使 $\\nu(A) > 0$。「$A$ 是正的」就到此结束；否则存在 $A_1 \\subseteq A$ 使 $\\nu(A_1) < 0$。取**最小的自然数** $n$ 使\n\n$$\\nu(A_1) < -1/n$$\n\n（$n_1$ 取「使存在负测度集 $\\le -1/n_{1}$ 的最小 $n$」。**取最小**这一步是关键 —— 它保证后面能取极限。）\n\n再在 $A \\setminus A_1$ 里重复同样的操作，得到 $A_2, \\ldots $\n\n**⑤ 若操作终止**，剩下的 $B = A \\setminus \\bigcup_k A_k$ 就是正集（因为已经没有负子集可以挖了）。\n**⑥ 若操作不终止**，取 $B = A \\setminus \\bigcup_k A_k$。由可数可加性\n\n$$\\nu(A) = \\nu(B) + \\sum_k \\nu(A_k)$$\n\n而 $\\sum_k |\\nu(A_k)| < \\infty$（因为左边有限），特别地 $\\nu(A_k) \\to 0$，这迫使 $n_k \\to \\infty$，从而对任意 $F \\subseteq B$：若 $\\nu(F) < -1/n_{k-1}$，就与 $n_k$ 的**最小性**矛盾。于是 $\\nu(F) \\ge -1/n_{k-1}$ 对一切 $k$ 成立，令 $k \\to \\infty$ 得 $\\nu(F) \\ge 0$。故 $B$ 也是正集。\n\n**⑦ 矛盾。** 由 ⑤⑥，$A$ 中含正集 $B$。于\n\n$$\\nu(B) = \\nu(A) - \\sum_k \\nu(A_k) > 0$$\n\n说明 $P \\cup B$ 是正集且 $\\nu(P \\cup B) = m + \\nu(B) > m$，与 $m$ 的定义矛盾。故 $N$ 必为负集，$X = P \\sqcup N$ 就是 Hahn 分解，**存在性得证**。\n\n**⑧ 唯一性。** 设 $P' \\sqcup N'$ 是另一对。则 $P \\setminus P' \\subseteq P$（正集）且 $\\subseteq N'$（负集），所以它既是正集又是负集 —— 只能是零集；同理 $P' \\setminus P$ 也是零集。故 $P \\triangle P' = N \\triangle N'$ 是 $\\nu$零集。∎", "note": "⭐ 「取最小的 $n$」是整段证明的技术核心：因为 $n$ 取最小，后面才能让 $\\nu(F) \\ge -1/n_{k-1}$ 一路通过 $k \\to \\infty$ 得到 $\\nu(F) \\ge 0$。" }, { "id": "imp.jordan", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.hahn-decomposition" ], "target": "thm.jordan-decomposition", "title": "Hahn 分解 $\\implies$ Jordan 分解", "proof": "取 $\\nu$ 的一个 Hahn 分解 $X = P \\sqcup N$（$P$ 正、$N$ 负）。定义\n\n$$\\nu^+(E) := \\nu(E \\cap P), \\quad \\nu^-(E) := -\\nu(E \\cap N)$$\n\n**① 它们都是测度。** 对 $\\nu ^{+}$：$\\nu^+(\\emptyset) = \\nu(\\emptyset) = 0$；对不交的 $\\{E_j\\}$，\n\n$$\\nu^+( \\bigsqcup_j E_j ) = \\nu( \\bigsqcup_j (E_j \\cap P) ) = \\sum_j \\nu(E_j \\cap P) = \\sum_j \\nu^+(E_j)$$\n\n（右边的每一项都 $\\ge 0$，因为 $E_j \\cap P$ 是正集的子集。）$\\nu ^{-}$ 同理。\n\n**② $\\nu = \\nu ^{+} - \\nu ^{-}$。** 对任意 $E$，\n\n$$\\nu(E) = \\nu(E \\cap P) + \\nu(E \\cap N) = \\nu^+(E) - \\nu^-(E)$$\n\n**③ $\\nu ^{+} \\perp \\nu ^{-}$。** 取 $E = P$、$F = N$：$P$ 是 $\\nu ^{-}$零集（$\\nu ^{-}(P) = -\\nu (P \\cap N) = 0$），$N$ 是 $\\nu ^{+}$零集。\n\n**④ 至少一个有限。** 由符号测度的定义，$\\nu$ 至多取到 $\\pm \\infty$ 中的一个：若 $\\nu$ 不取 $\\infty$ 则 $\\nu ^{+}$ 有限，若 $\\nu$ 不取 $-\\infty$ 则 $\\nu ^{-}$ 有限。\n\n**⑤ 唯一性。** 设 $\\nu = \\mu_1 - \\mu_2$ 也是这种分解（$\\mu_1 \\perp \\mu_2$）。取见证奇异性的划分 $X = E \\sqcup F$（$E$ 是 $\\mu _{1}$零集、$F$ 是 $\\mu _{2}$零集）。由 Hahn 分解的唯一性只能差一个零集，逐块比较即可得到 $\\mu_1 = \\nu^+$、$\\mu_2 = \\nu^-$。∎", "note": "" }, { "id": "imp.ac-epsilon-delta", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.absolute-continuity" ], "target": "thm.ac-epsilon-delta", "title": "绝对连续 $\\implies \\varepsilon$–$\\delta$ 刻画（$\\nu$ 有限时）", "proof": "设 $\\nu$ 有限且 $\\nu \\ll \\mu$。由「绝对连续与变差」那条命题，可以**不妨设 $\\nu$ 本身就是正测度**（换成 $|\\nu |$ 不影响结论）。\n\n**$(\\Longleftarrow )$** 若 $\\mu (E) = 0$，则对任意 $\\varepsilon > 0$ 有 $\\mu (E) < \\delta$，于是 $|\\nu (E)| \\le \\varepsilon$；令 $\\varepsilon \\to 0$ 得 $\\nu (E) = 0$。\n\n**$(\\implies )$ 反证。** 设存在 $\\varepsilon > 0$，使对**一切** $n$ 都能找到 $E_n \\in \\mathcal{M}$ 满足\n\n$$\\mu(E_n) < 2^{-n}, \\quad \\nu(E_n) \\ge \\varepsilon$$\n\n令\n\n$$F_k = \\bigcup_{n \\ge k} E_n, \\quad F = \\bigcap_k F_k$$\n\n则 $\\mu(F_k) \\le \\sum_{n\\ge k} 2^{-n} = 2^{1-k} \\to 0$，由 $\\mu$ 的下连续性与递减性得 $\\mu(F) = 0$。\n\n另一方面 $\\nu(F_k) \\ge \\nu(E_k) \\ge \\varepsilon$ 对一切 $k$ 成立；由 $\\nu$ 有限与测度的下连续性（$F_k \\searrow F$，首项有限）得\n\n$$\\nu(F) = \\lim_k \\nu(F_k) \\ge \\varepsilon > 0$$\n\n这与 $\\nu \\ll \\mu$（$\\mu (F) = 0$ 应推出 $\\nu (F) = 0$）矛盾。故这样的 $\\varepsilon$ 不存在，即对每个 $\\varepsilon > 0$ 都有对应的 $\\delta$。∎\n\n$>$ ⭐ 反证里那个「对一切 $n$ 都能找到」是取出的关键：它把「不连续」翻译成了一列越来越小的坏集合，再用 Borel–Cantelli 型的尾并把它们压成零集。", "note": "" }, { "id": "imp.lebesgue-rn", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.singular-or-lower-bound", "thm.mct", "prop.ac-and-variations" ], "target": "thm.lebesgue-radon-nikodym", "title": "「要么奇异、要么有下界」$\\implies$ Lebesgue–Radon–Nikodym", "proof": "**I. 先设 $\\nu$、$\\mu$ 都有限，且 $\\nu \\ge 0$。**\n\n**① 造候选函数集。** 令\n\n$$\\mathcal{F} := \\{ f : X \\to [0, +\\infty] : \\int_E f d\\mu \\le \\nu(E)\\quad \\forall E \\in \\mathcal{M} \\}$$\n\n则 $0 \\in \\mathcal{F}$，且 $\\mathcal{F}$ 对**取大**封闭：若 $f, g \\in \\mathcal{F}$，令 $A = \\{f > g\\}$、$h = \\max_{f, g}$，则对任意 $E$，\n\n$$\\int_E h d\\mu = \\int_{E\\cap A} f d\\mu + \\int_{E\\setminus A} g d\\mu \\le \\nu(E\\cap A) + \\nu(E\\setminus A) = \\nu(E)$$\n\n故 $h \\in \\mathcal{F}$。\n\n**② 取上确界。** 令 $a := \\sup\\{ \\int f d\\mu : f \\in \\mathcal{F} \\} \\le \\nu(X) < \\infty$（这一步用到 $\\nu$ 有限）。取 $\\{f_n\\} \\subseteq \\mathcal{F}$ 使 $\\int f_n d\\mu \\to a$，令\n\n$$g_n = \\max_{f_1, \\ldots , f_n}, \\quad f = \\sup_n f_n$$\n\n由 ① 每个 $g_n \\in \\mathcal{F}$，且 $g_n \\uparrow f$、$\\int g_n d\\mu \\ge \\int f_n d\\mu$，故 $\\lim_n \\int g_n d\\mu = a$。由 **MCT**，$f \\in \\mathcal{F}$ 且 $\\int f d\\mu = a$。\n\n**③ 断言 $d\\lambda := d\\nu - f d\\mu$ 与 $\\mu$ 奇异。** 反设不然，由**引理**，存在 $\\varepsilon > 0$ 与 $E \\in \\mathcal{M}$、$\\mu (E) > 0$，使 $\\lambda \\ge \\varepsilon\\mu$ 在 $E$ 上成立，即\n\n$$\\varepsilon \\chi_E d\\mu \\le d\\nu - f d\\mu\\quad \\implies\\quad (f + \\varepsilon \\chi_E) d\\mu \\le d\\nu$$\n\n于是 $f + \\varepsilon \\chi_E \\in \\mathcal{F}$，但\n\n$$\\int (f + \\varepsilon \\chi_E) d\\mu = a + \\varepsilon\\cdot\\mu(E) > a$$\n\n与 $a$ 的**上确界**性矛盾。故 $\\lambda \\perp \\mu$，$\\nu = \\lambda + (f d\\mu)$ 就是所要的分解。\n\n**④ 唯一性。** 设 $d\\nu = d\\lambda' + f' d\\mu$ 是另一种分解。则\n\n$$d\\lambda - d\\lambda' = (f' - f) d\\mu$$\n\n左边与 $\\mu$ 奇异（两个各与 $\\mu$ 奇异的测度之差仍与 $\\mu$ 奇异），右边关于 $\\mu$ 绝对连续。由「既奇异又绝对连续 $\\implies$ 等于零」，两边都是 0，即 $\\lambda = \\lambda'$ 且 $f = f'$ $\\mu -\\text{a.e.}$。\n\n**II. 推广到 $\\sigma$有限。** 取 $X = \\bigcup_j A_j$（$\\mu(A_j) < \\infty$、$\\nu(A_j) < \\infty$）。令\n\n$$\\mu_j(E) := \\mu(E \\cap A_j), \\quad \\nu_j(E) := \\nu(E \\cap A_j)$$\n\n对每一对 $(\\mu_j, \\nu_j)$ 用 $I$，得 $d\\nu_j = d\\lambda_j + f_j d\\mu_j$。规定 $\\lambda_j(A_j^c) = 0$、$f_j = 0$ 在 $A_j^c$ 上，令\n\n$$\\lambda := \\sum_j \\lambda_j, \\quad f := \\sum_j f_j$$\n\n则 $d\\nu = d\\lambda + f d\\mu$、$\\lambda \\perp \\mu$，且 $d\\lambda$、$f d\\mu$ 都 $\\sigma$有限。\n\n**$III. \\nu$ 是符号测度。** 把 $I$、II 分别用在 $\\nu^+$ 与 $\\nu^-$ 上（由「绝对连续与变差」，绝对连续性对变差是逐块的），再把结果相加。∎", "note": "⭐ ③ 那一步是全证明的枢纽：假如 $\\lambda$ 还「留了一点 $\\mu$质量」，就能拿它把 $f$ 往上顶一点、得出比上确界 $a$ 更大的值 —— 于是 $\\lambda$ 只能全部跑到 $\\mu$ 看不到的地方去，即 $\\lambda \\perp \\mu$。" }, { "id": "imp.rn-chain-rule", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.integral-gives-ac", "prop.integrals-equal-iff" ], "target": "prop.rn-chain-rule", "title": "换元公式与链式法则", "proof": "设 $\\nu \\ll \\mu \\ll \\lambda$。\n\n**(a) 换元公式 $\\int g d\\nu = \\int g \\frac{d\\nu}{d\\mu} d\\mu$。** 分四步爬：\n\n$\\cdot$ $g = \\chi_E$：左边是 $\\nu(E) = \\int_E \\frac{d\\nu}{d\\mu} d\\mu$（这正是 RN 定理的内容），右边同；\n$\\cdot g$ 是简单函数：由线性；\n$\\cdot$ $g \\in L^+$：取简单函数列 $g_n \\uparrow g$，两边各用一次 MCT；\n$\\cdot$ $g \\in L^1(\\nu)$：拆正负部。\n\n**(b) 链式法则。** 对任意可测 $E$，用 (a) 两次：\n\n$$\\nu(E) = \\int_E \\frac{d\\nu}{d\\mu} d\\mu = \\int_E \\frac{d\\nu}{d\\mu} \\cdot \\frac{d\\mu}{d\\lambda} d\\lambda$$\n\n另一方面又有 $\\nu(E) = \\int_E \\frac{d\\nu}{d\\lambda} d\\lambda$（因为 $\\nu \\ll \\lambda$）。两式对**一切** $E$ 相等，由「用积分识别函数」，两个密度 $\\lambda -\\text{a.e.}$ 相等：\n\n$$\\frac{d\\nu}{d\\lambda} = \\frac{d\\nu}{d\\mu} \\cdot \\frac{d\\mu}{d\\lambda}\\quad \\lambda-\\text{a.e.}$$\n\n∎", "note": "" }, { "id": "imp.integral-ac-continuity", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.integral-gives-ac" ], "target": "cor.ac-integral-continuity", "title": "积分给出绝对连续测度 $\\implies$ 积分的绝对连续性", "proof": "把「积分给出绝对连续测度」与绝对连续的 $\\varepsilon$–$\\delta$ 刻画拼起来即可：$\\mu(E) < \\delta \\implies \\nu(E) = \\int_E f \\, d\\mu < \\varepsilon$。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.signed-positive", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.signed-measure", "usedBy": "def.positive-negative-null", "note": "正负集是针对符号测度定义的。" }, { "id": "def-link.positive-hahn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.positive-negative-null", "usedBy": "thm.hahn-decomposition", "note": "Hahn 分解的结论就是「空间切成一个正集 + 一个负集」。" }, { "id": "def-link.signed-jordan", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.signed-measure", "usedBy": "thm.jordan-decomposition", "note": "Jordan 分解把符号测度拆成两个测度之差。" }, { "id": "def-link.hahn-jordan", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.hahn-decomposition", "usedBy": "thm.jordan-decomposition", "note": "$\\nu ^{+}$、$\\nu ^{-}$ 的造法直接来自 Hahn 分解的那个划分。" }, { "id": "def-link.singular-jordan", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mutually-singular", "usedBy": "thm.jordan-decomposition", "note": "Jordan 分解里那个 $\\nu ^{+} \\perp \\nu ^{-}$ 用的就是相互奇异。" }, { "id": "def-link.measure-ac", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.absolute-continuity", "note": "绝对连续里被参照的 $\\mu$ 是一个真测度。" }, { "id": "def-link.variations-ac", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.jordan-decomposition", "usedBy": "prop.ac-and-variations", "note": "命题是用 $\\nu ^{+}$、$\\nu ^{-}$ 把绝对连续性拆成两半说的。" }, { "id": "def-link.ac-lemma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.absolute-continuity", "usedBy": "lem.singular-or-lower-bound", "note": "引理出场的目的是为 RN 定理准备「$\\varepsilon$ 下界」。" }, { "id": "def-link.singular-lemma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mutually-singular", "usedBy": "lem.singular-or-lower-bound", "note": "引理的另一半结论就是相互奇异。" }, { "id": "def-link.ac-rn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.absolute-continuity", "usedBy": "thm.lebesgue-radon-nikodym", "note": "$L$–$R$–$N$ 里那个 $\\rho \\ll \\mu$ 就是绝对连续。" }, { "id": "def-link.singular-rn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mutually-singular", "usedBy": "thm.lebesgue-radon-nikodym", "note": "同时用到「与 $\\mu$ 奇异」那一半。" }, { "id": "def-link.integral-ac", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "prop.integral-gives-ac", "note": "「$\\nu$ 有限 $\\iff f \\in L^{1}(\\mu )$」用到可积的定义。" }, { "id": "def-link.complex-rn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.complex-measure", "usedBy": "thm.rn-complex", "note": "这条定理就是复测度版本的 $L$–$R$–$N$。" }, { "id": "def-link.integrable-complex-rn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "thm.rn-complex", "note": "复情形下密度必须是 $L^{1}$ 的。" }, { "id": "def-link.measure-totalvariation", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "prop.total-variation-basics", "note": "全变差本身是一个测度。" }, { "id": "imp.maximal-theorem", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.covering", "def.maximal-function" ], "target": "thm.maximal-theorem", "title": "覆盖引理 $\\implies$ 极大定理", "proof": "**① 把坏集换成球族。** 令 $E_\\alpha = \\{x : Hf(x) > \\alpha\\}$。对每个 $x \\in E_\\alpha$，由 Hf 的定义（上确界）存在 $r_x > 0$ 使\n\n$$A_{r_x}|f|(x) > \\alpha\\quad \\iff\\quad \\int_{B(r_x, x)} |f(y)| dy > \\alpha\\cdot m(B(r_x, x))$$\n\n于是 $\\{B(r_x, x)\\}_{x \\in E_\\alpha}$ 是 $E_\\alpha$ 的一个开球覆盖，且每个球都满足上面那个「超额」不等式。\n\n**② 用覆盖引理挑不交子族。** 任取 $c < m(E_\\alpha)$（先设 $m(E_\\alpha ) < \\infty$）。由**覆盖引理**，存在 $x_1, \\ldots , x_k \\in E_\\alpha$ 使 $B_j = B(r_{x_j}, x_j)$ 两两不交，且\n\n$$\\sum_j m(B_j) > 3^{-n} c$$\n\n**③ 把测度换成积分。** 由 ① 里每个球的超额不等式，\n\n$$c < 3^n \\sum_j m(B_j) < (3^n/\\alpha)\\cdot\\sum_j \\int_{B_j} |f| dy \\le (3^n/\\alpha)\\cdot\\int_{\\mathbb{R}^n} |f| dy$$\n\n（最后一步用的是：$B_j$ 两两不交，所以把积分加起来不超过整体积分。）\n\n**④ 令 $c \\to m(E_\\alpha )$。** 得到\n\n$$m(E_\\alpha) \\le (3^n/\\alpha)\\cdot\\int |f| dy$$\n\n即 $C = 3^n$。∎", "note": "⭐ 整段只有一个「魔法」：覆盖引理保证挑出来的不交球虽然装不满 $E_\\alpha$，但总测度至少是 $3^{-n}$ 倍 —— 恰好够用。" }, { "id": "imp.lebesgue-differentiation", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.maximal-theorem", "thm.approximation-L1", "lem.average-continuous" ], "target": "thm.lebesgue-differentiation", "title": "极大定理 + 连续函数逼近 $\\implies$ Lebesgue 微分定理", "proof": "**① 先局部化。** 由 $L^{1}_{l}oc$ 的定义与测度的可数可加性，只需对每个 $N \\in \\mathbb{N}$ 证明在球 $\\{|x| \\le N\\}$ 上几乎处处成立；把 $f$ 换成 $f\\cdot\\chi_{B(N+1, 0)}$ 后即可**设 $f \\in L^1$**。\n\n**② 用连续函数逼近。** 给定 $\\varepsilon > 0$，由「$L^{1}$ 里的逼近」，取**连续函数** $g$ 使\n\n$$\\int |g(y) - f(y)| dy < \\varepsilon$$\n\n**③ 连续情形是白送的。** 若 $g$ 连续，则对**每一个** $x$ 都有 $A_r g(x) \\to g(x)$（$r \\to 0$）—— 因为 $g$ 在 $x$ 附近近似为常数。\n\n**④ 把差值压住。** 对任意 $x$，\n\n$$\\sup_{r>0} |A_r f(x) - f(x)| = \\sup_r |A_r(f - g)(x) + (A_r g - g)(x) + (g - f)(x)| \\le H(f - g)(x) + |f - g|(x)$$\n\n（第一项用 $|A_r(f-g)| \\le A_r|f-g| \\le H(f-g)$，第二项由 ③ 取 $r \\to 0$）。\n\n**⑤ 估计坏集。** 令\n\n$$E_\\alpha = \\{x : \\sup_{r>0} |A_r f(x) - f(x)| > \\alpha\\}$$\n\n由 ④，$E_\\alpha \\subseteq F_{\\alpha/2} \\cup \\{x : H(f-g)(x) > \\alpha/2\\}$，其中 $F_{\\alpha/2} = \\{|f - g| > \\alpha/2\\}$。于是\n\n$$m(E_\\alpha) \\le 2\\varepsilon / \\alpha + 2C\\varepsilon / \\alpha$$\n\n（第一项用 Markov 不等式，第二项用**极大定理**。）\n\n**⑥ 令 $\\varepsilon \\to 0$。** 右边对**任意** $\\varepsilon > 0$ 成立，故 $m(E_\\alpha) = 0$ 对一切 $\\alpha > 0$ 成立。于是\n\n$$\\lim_{r\\to0} A_r f(x) = f(x)\\quad \\text{ 对一切} x \\notin \\bigcup_{m\\in\\mathbb{N}} E_{1/m}$$\n\n而右边是可数个零集之并，仍是零集。∎", "note": "⭐ 这是分析里最漂亮的标准套路之一：**用「连续函数是稠密的」把问题搬到好情形，再用极大不等式把误差控制住**。两边一夹，坏集测度为零。" }, { "id": "imp.lebesgue-set", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.lebesgue-differentiation" ], "target": "thm.lebesgue-set-full", "title": "微分定理 + 可数稠密子集 $\\implies$ Lebesgue 集几乎处处", "proof": "**① 对每个复数 $c$ 用一次微分定理。** 固定 $c \\in \\mathbb{C}$，把微分定理用在函数 $h(x) = |f(x) - c|$ 上（它是 $L^{1}_{l}oc$ 的）：存在零集 $E_c$，使对 $x \\notin E_c$，\n\n$$\\lim_{r\\to0} \\frac{1}{m(B(r,x))} \\int_{B(r,x)} |f(y) - c| dy = |f(x) - c|$$\n\n**② 只取可数多个 $c$。** 取 $\\mathbb{C}$ 的一个**可数稠密子集** $D$（比如 $\\mathbb{Q} + i\\mathbb{Q}$），令\n\n$$E = \\bigcup_{c \\in D} E_c$$\n\n可数多个零集之并仍是零集，故 $m(E) = 0$。\n\n**③ 在 $E$ 外验证**。设 $x \\notin E$，任给 $\\varepsilon > 0$，取 $c \\in D$ 使 $|f(x) - c| < \\varepsilon$。则\n\n$$\\frac{1}{m(B(r,x))} \\int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy \\le \\frac{1}{m(B(r,x))} \\int_{B(r,x)} |f(y) - c| dy + |f(x) - c|$$\n\n右边第一项由 ①（$x \\notin E_c$）在 $r \\to 0$ 时趋于 $|f(x) - c|$，于是整个右端的极限 $\\le$ $|f(x) - c| + \\varepsilon < 2\\varepsilon$。令 $\\varepsilon \\to 0$ 得极限为 0，即 $x \\in L_f$。\n\n故 $L_f^c \\subseteq E$，从而 $m(L_f^c) = 0$。∎", "note": "⭐ 「把不可数条件化归成可数」这一步是可数性论证的典型手笔，和 Borel–Cantelli 是同一种精神。" }, { "id": "imp.differentiation-general", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.lebesgue-set-full", "def.shrinks-nicely" ], "target": "thm.differentiation-general", "title": "Lebesgue 集 + 可缩条件 $\\implies$ 一般族的微分定理", "proof": "设 $x \\in L_f$，$\\{E_r\\}$ 可缩地趋于 $x$，即 $E_r \\subseteq B(r,x)$ 且 $m(E_r) > \\alpha\\cdot m(B(r,x))$。\n\n**① 关键估计（一行）。** 因为 $E_r \\subseteq B(r,x)$，把积分域放大到球上只会变大；再用 $m(E_r) > \\alpha m(B(r,x))$ 把分母换小：\n\n$$\\frac{1}{m(E_r)} \\int_{E_r} |f(y) - f(x)| dy \\le \\frac{1}{m(E_r)} \\int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy \\le (1/\\alpha)\\cdot m(B(r,x)) \\int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy$$\n\n**② 收尾。** 由 $x \\in L_f$ 的定义，最右边当 $r \\to 0$ 时趋于 0。故第一个极限为 0。\n\n**③ 第二个极限。** 由\n\n$$| \\frac{1}{m(E_r)} \\int_{E_r} f - f(x) | \\le \\frac{1}{m(E_r)} \\int_{E_r} |f(y) - f(x)| dy \\to 0$$\n\n即得 $\\frac{1}{m(E_r)} \\int_{E_r} f dy \\to f(x)$。∎", "note": "全部难度都被「把 L_f 的定义写成 $\\int|f(y) - f(x)|$」吸收掉了 —— 这也解释了为什么定义要那么写。" }, { "id": "imp.rn-pointwise", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.differentiation-general", "def.regular-measure", "lem.covering" ], "target": "thm.rn-pointwise", "title": "微分定理 + 正则性 $\\implies RN$ 导数的点态公式", "proof": "设 $d\\nu = d\\lambda + f\\cdot dm$（$\\lambda \\perp m$），$\\nu$ 正则。\n\n**① 先算全变差。** 由全变差的性质，$d|\\nu| = d|\\lambda| + |f|\\cdot dm$。既然 $\\nu$ 正则，$|\\nu |$ 正则，于是 $\\lambda$ 与 $f\\cdot dm$ 都正则；由「$g\\cdot dm$ 正则 $\\iff$ $g \\in L^1_{loc}$」得 $f \\in L^1_{loc}$。\n\n**② 拆比值。**\n\n$$\\nu(E_r) / m(E_r) = \\lambda(E_r) / m(E_r) + \\frac{1}{m(E_r)} \\int_{E_r} f\\cdot dm$$\n\n第二项由**可缩族的微分定理**趋于 $f(x)$（对 m-a.e. x）。所以只需证第一项趋于 0。\n\n**③ 把 $\\lambda$ 的坏点收集起来。** 不妨设 $\\lambda \\ge 0$，并取 $A$ 使 $\\lambda(A) = m(A^c) = 0$（$\\lambda \\perp m$ 的见证）。令\n\n$$F_k = \\{ x \\in A : \\limsup_{r\\to0} \\lambda(B(r, x)) / m(B(r, x)) > 1 / k \\}$$\n\n**④ 用正则性把 $\\lambda$ 压小。** 给定 $\\varepsilon > 0$，由 $\\lambda$ 的正则性（从外面用开集逼近）取开集 $U \\supseteq A$ 使 $\\lambda(U) < \\varepsilon$（注意 $\\lambda(A) = 0$，但 $U$ 比 $A$ 大，多出来的部分也可以做得任意小）。\n\n**⑤ 每个坏点配一个小球。** 对 $x \\in F_k$，由 $F_k$ 的定义与 $B_x \\subseteq U$（在 $A$ 附近取足够小的球即可），存在球 $B_x$ 使\n\n$$\\lambda(B_x) > (1/k)\\cdot m(B_x)$$\n\n**⑥ 覆盖引理再来一次。** 令 $V_\\varepsilon = \\bigcup_{x \\in F_k} B_x$（它是 $U$ 中的开集，故 $\\lambda(V_\\varepsilon) \\le \\lambda(U) < \\varepsilon$）。取 $c < m(V_\\varepsilon)$，由**覆盖引理**挑出不交的 $B_{x_1}, \\ldots , B_{x_j}$ 使 $\\sum m(B_{x_i}) > 3^{-n} c$。于是\n\n$$c < 3^n \\sum_i m(B_{x_i}) \\le 3^n k \\sum_i \\lambda(B_{x_i}) \\le 3^n k\\cdot\\lambda(V_\\varepsilon) \\le 3^n k \\varepsilon$$\n\n**⑦ 令 $\\varepsilon \\to 0$。** 得 $m(V_\\varepsilon) = 0$，故某个零集包含了一切 $F_k$，即 $F_k$ 全是零集，从而 $\\lim_{r\\to0} \\lambda(B(r,x))/m(B(r,x)) = 0$ 对 m-a.e. x 成立。\n\n**⑧ 从球换到可缩族。** 上面用的是球；要换成一般的可缩族 $E_r$，用\n\n$$\\lambda(E_r) / m(E_r) \\le \\lambda(B(r,x)) / m(E_r) \\le (1/\\alpha)\\cdot\\lambda(B(r,x)) / m(B(r,x)) \\to 0$$\n\n（第二个不等号用了 $m(E_r) > \\alpha m(B(r,x))$，并且 $E_r \\subseteq B(r,x)$ 使分子变大。）把 ⑦ 的结果搬过来即可。∎", "note": "⭐ 这条把 Radon–Nikodym 导数彻底「算得出来」了：它就是在小球上质量比的极限 —— 正是「密度 $=$ 质量/体积」的严格版本。" }, { "id": "def-link.totalvariation-l1", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.rn-derivative", "usedBy": "prop.L1-signed", "note": "$d\\nu /d|\\nu |$ 就是一个 RN 导数。" }, { "id": "def-link.integrable-l1signed", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "prop.L1-signed", "note": "$L^{1}(\\nu )$ 的定义直接搬用 $L^{1}(|\\nu |)$。" }, { "id": "def-link.locally-integrable-average", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.locally-integrable", "usedBy": "def.average-operator", "note": "平均算子只在 $L^{1}_{l}oc$ 上定义。" }, { "id": "def-link.average-maximal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.average-operator", "usedBy": "def.maximal-function", "note": "极大函数就是对 $A_{r}|f|$ 取上确界。" }, { "id": "def-link.locally-maximal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.locally-integrable", "usedBy": "def.maximal-function", "note": "极大函数的定义域是 $L^{1}_{l}oc$。" }, { "id": "def-link.maximal-theorem-lm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.maximal-function", "usedBy": "thm.maximal-theorem", "note": "极大定理估的就是 Hf 的分布函数。" }, { "id": "def-link.lebesgue-set-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lebesgue-set", "usedBy": "thm.lebesgue-set-full", "note": "定理说这个集合的补是零集。" }, { "id": "def-link.shrinks-general", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.shrinks-nicely", "usedBy": "thm.differentiation-general", "note": "定理对一切可缩族成立。" }, { "id": "def-link.lebesgue-set-general", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lebesgue-set", "usedBy": "thm.differentiation-general", "note": "结论只在 Lebesgue 点上成立。" }, { "id": "def-link.regular-pointwise", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.regular-measure", "usedBy": "thm.rn-pointwise", "note": "定理的第一个前提就是 $\\nu$ 正则。" }, { "id": "def-link.rn-pointwise", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.rn-derivative", "usedBy": "thm.rn-pointwise", "note": "结论就是：RN 导数等于比值极限。" }, { "id": "def-link.locally-pointwise", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.locally-integrable", "usedBy": "thm.rn-pointwise", "note": "证明中间要推出 $f \\in L^{1}_{l}oc$。" }, { "id": "imp.bv-jordan", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.variation-monotone" ], "target": "thm.bv-jordan", "title": "$T_F \\pm F$ 递增 $\\implies BV$ 的 Jordan 分解", "proof": "**(b) 的 $(\\Longleftarrow )$ 方向**：若 $F = G - H$（$G$、$H$ 有界递增），则对任意分划\n\n$$\\sum|F(x_j) - F(x_{j-1})| \\le \\sum|G(x_j) - G(x_{j-1})| + \\sum|H(x_j) - H(x_{j-1})| = (G(x) - G(-\\infty)) + (H(x) - H(-\\infty))$$\n\n（递增函数的相邻差非负，可以直接去绝对值。）于是 $T_F(x) \\le (G+H)(x) - (G+H)(-\\infty) < \\infty$，$F \\in BV$。\n\n**(b) 的 $(\\implies )$ 方向**：由**引理**，$T_F + F$ 与 $T_F - F$ 都递增；它们有界（因为 $F \\in BV$ 且 $F$ 有界）。令\n\n$$G := (1/2)(T_F + F), \\quad H := (1/2)(T_F - F)$$\n\n则 $G$、$H$ 有界递增，且\n\n$$G - H = (1/2)(T_F + F) - (1/2)(T_F - F) = F$$\n\n∎\n\n**(a)**：把实部虚部分开即可（$|\\operatorname{Re} F| \\le |F|$、$|F| \\le |\\operatorname{Re} F| + |\\operatorname{Im} F|$，两边夹）。∎", "note": "⭐ 这叫「函数版的 Jordan 分解」，与符号测度的 $\\nu = \\nu ^{+} - \\nu ^{-}$ 完全平行 —— 事实上两者通过「测度 $\\leftrightarrow NBV$」的对应是同一件事。" }, { "id": "imp.bv-regularity", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.bv-jordan", "thm.monotone-differentiable" ], "target": "prop.bv-regularity", "title": "化归到递增函数 $\\implies BV$ 的正则性", "proof": "由**Jordan 分解**，只需对**有界递增**函数证明这三条 —— 差的性质自动继承。\n\n**(c)** 递增函数 $F$ 在每点都有单侧极限：\n\n$$F(x-) = \\sup_{y < x} F(y), \\quad F(x+) = \\inf_{y > x} F(y)$$\n\n（递增数列的有界单调收敛定理。）同理 $F(\\pm \\infty) = \\sup/\\inf$ 也存在。\n\n**(d)** 由**单调函数那条定理**的 (a)：不连续点至多可数。\n\n**(e)** 由同一条定理的 (b)：$F' = G'$ a.e.，其中 $G(x) = F(x+)$。对 $G - H$ 形式的函数两边相减即可。∎\n\n$>$ ⭐ 整个证明的模式很典型：**先证明「递增」这个好情形，再用 Jordan 分解把一般情形搬过去**。", "note": "" }, { "id": "imp.borel-nbv", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.nbv-variation", "thm.bv-jordan" ], "target": "thm.borel-measure-nbv", "title": "NBV 的性质 $\\implies$ 测度与函数的一一对应", "proof": "**(1) 测度 $\\implies$ 函数。** 复测度拆成四个正测度 $\\mu = \\mu_1^+ - \\mu_1^- + i(\\mu_2^+ - \\mu_2^-)$。令\n\n$$F_j^{\\pm }(x) := \\mu_j^{\\pm }((-\\infty, x])$$\n\n每个 $F_j^{\\pm }$ 递增、右连续、$F_j^{\\pm }(-\\infty) = 0$、$F_j^{\\pm }(+\\infty) = \\mu_j^{\\pm }(\\mathbb{R}) < \\infty$。于是 $F$ 是四个这样的函数之组合，属于 NBV。\n\n**(2) 函数 $\\implies$ 测度。** 反之任意 $F \\in NBV$ 可以写成\n\n$$F = F_1^+ - F_1^- + i(F_2^+ - F_2^-)$$\n\n（用 NBV 版本的 Jordan 分解，注意右连续与 $F(-\\infty ) = 0$ 都被差保留。）每个递增右连续、$F(-\\infty ) = 0$ 的函数唯一对应一个有限 Borel 测度（取 $\\mu ((a,b]) = F(b) - F(a)$，由 Lebesgue–Stieltjes 那一套扩张）；四块加起来即得 $\\mu _F$。**唯一性**来自「$\\mu$ 由它在 $(-\\infty , x]$ 上的值唯一决定」，而后者生成整个 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$。\n\n**$(3) |\\mu _F| = \\mu _\\{T_F\\}$。** 由**引理**，$F \\in NBV \\implies T_F \\in NBV$，所以 $\\mu_{T_F}$ 有意义。两边都是 NBV 函数，逐点比较：对任意 $x$，\n\n$$\\mu_{T_F}((-\\infty, x]) = T_F(x) = \\sup\\{ \\sum|F(x_j) - F(x_{j-1})| \\} = |\\mu_F|((-\\infty, x])$$\n\n（中间那个等号是 $|\\mu |$ 的全变差定义 + 测度的可数可加性。）由 $(-\\infty , x]$ 生成 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$，两个测度相等。∎", "note": "" }, { "id": "imp.ac-measure", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.nbv-derivative", "thm.ac-epsilon-delta" ], "target": "prop.ac-iff-measure-ac", "title": "$\\mu_F \\ll m$ 的 $\\varepsilon$–$\\delta$ 刻画 $\\implies$ 函数绝对连续 $\\iff$ 测度绝对连续", "proof": "**$(\\Longleftarrow )$** 设 $\\mu_F \\ll m$。应用测度版绝对连续的 $\\varepsilon$–$\\delta$ 刻画（注意 $\\mu _F$ 有限，符合前提）：给定 $\\varepsilon > 0$ 取 $\\delta > 0$ 使\n\n$$m(E) < \\delta\\quad \\implies\\quad |\\mu_F(E)| < \\varepsilon$$\n\n现在取有限个两两不交的区间 $(a_j, b_j) \\subseteq [a, b]$ 且 $\\sum(b_j - a_j) < \\delta$，令 $E = \\bigsqcup_j (a_j, b_j)$。则 $m(E) < \\delta$，于是\n\n$$\\sum_j |F(b_j) - F(a_j)| = \\sum_j |\\mu_F((a_j, b_j])| \\le |\\mu_F|(E) < \\varepsilon$$\n\n这正是函数绝对连续的定义。\n\n**$(\\implies )$** 设 $F$ 绝对连续，$E \\in \\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$、$m(E) = 0$，要证 $\\mu_F(E) = 0$。由 $\\mu _F$ 的正则性取递减开集列 $U_1 \\supseteq U_2 \\supseteq \\cdots \\supseteq E$ 使 $m(U_k) < \\delta$、$\\bigcap_k U_k = E$。每个 $U_{k}$ 是区间的可数不交并，把函数绝对连续性的条件用在 $U_{k}$ 的有限截断上，得到 $|\\mu_F(U_j)| < \\varepsilon$；再由测度的上连续性（递减列，首项有限）得\n\n$$|\\mu_F(E)| = \\lim_j |\\mu_F(U_j)| \\le \\varepsilon$$\n\n由 $\\varepsilon$ 任意，$\\mu_F(E) = 0$。故 $\\mu_F \\ll m$。∎", "note": "" }, { "id": "imp.ftc", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.ac-subset-bv", "prop.ac-iff-measure-ac", "prop.nbv-derivative" ], "target": "thm.ftc-lebesgue", "title": "$(a) \\iff (b) \\iff (c)$：微积分基本定理的三条等价", "proof": "**$(a) \\implies (b)$。** 设 $F$ 绝对连续。由**$AC \\subseteq BV$**，$F \\in BV$；把它补成 NBV 里的函数（差一个常数与右连续化，不影响导数的积分）。由**绝对连续 $\\iff \\mu _F \\ll m$**，写 Lebesgue 分解时奇异部分 $\\lambda = 0$，于是 $d\\mu_F = f\\cdot dm$，即\n\n$$F(x) - F(a) = \\int_a^x f(t) dt$$\n\n取 $f$ 就是所要的 $L^{1}$ 函数。\n\n**$(b) \\implies (c)$。** 若 $F(x) - F(a) = \\int_a^x f$，则由积分的绝对连续性，$F$ 绝对连续（这是直接验证）；而由**微分定理**，$d / dx\\int_a^x f = f(x)$ a.e.，故 $F' = f$ a.e.、$F' \\in L^1$，公式成立。\n\n**$(c) \\implies (a)$。** 由 (c)，$F$ 在 a.e. 意义下等于一个积分的原函数；把 $F(x) - \\int_a^x F'$ 这个差记作 $G$，则 $G$ 绝对连续（$(b) \\implies F$ 的那一段）且 $G' = 0 \\text{a.e.}$；再由 (b) 的构造（$\\mu _G \\ll m$ 且密度为 $F' - F' = 0$）得 $G \\equiv 0$。故 $F$ 本身绝对连续。∎\n\n$>$ ⭐ 最容易错的直觉是「a.e. 可导 $F' \\in L^{1}$ 就够」——**Cantor 函数**正是反例：它 a.e. 可导、$F' \\equiv 0 \\in L^{1}$，但 $\\int _{0}^{1} F' = 0 \\ne 1$。**绝对连续这一条不能省。**", "note": "这条定理是整个「有界变差 / 绝对连续」星团的收官：它把函数侧、积分侧、导数侧三个刻画焊在一起。" }, { "id": "def-link.bv-variation", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bounded-variation", "usedBy": "prop.bv-examples", "note": "几个例子都是在算 T_F。" }, { "id": "def-link.bv-jordan-lemma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bounded-variation", "usedBy": "lem.variation-monotone", "note": "引理里的 T_F 就是全变差函数。" }, { "id": "def-link.bv-jordan-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bounded-variation", "usedBy": "thm.bv-jordan", "note": "定理的两边都是 BV 这个类。" }, { "id": "def-link.bv-regularity-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bounded-variation", "usedBy": "prop.bv-regularity", "note": "正则性命题是在 BV 上说的。" }, { "id": "def-link.nbv-lemma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.nbv", "usedBy": "lem.nbv-variation", "note": "引理要为 NBV 服务（T_F 也要落在 NBV 里）。" }, { "id": "def-link.bv-nbv-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bounded-variation", "usedBy": "thm.borel-measure-nbv", "note": "对应定理的左边整块都是 BV 的变体。" }, { "id": "def-link.measure-nbv-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "thm.borel-measure-nbv", "note": "另一边是 $\\mathbb{R}$ 上的复 Borel 测度。" }, { "id": "def-link.ac-function-ift", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ac-function", "usedBy": "prop.ac-iff-measure-ac", "note": "这条命题就是要给「绝对连续函数」一个测度论的解释。" }, { "id": "def-link.ac-measure-ift", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.absolute-continuity", "usedBy": "prop.ac-iff-measure-ac", "note": "同时用到测度版的绝对连续。" }, { "id": "def-link.ac-ftc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ac-function", "usedBy": "thm.ftc-lebesgue", "note": "(a) 就是绝对连续的定义。" }, { "id": "def-link.integrable-ftc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "thm.ftc-lebesgue", "note": "(b)(c) 里的 $f$、$F'$ 都要求在 $L^{1}$ 里。" }, { "id": "def-link.nbv-ftc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.nbv", "usedBy": "cor.integral-is-ac-nbv", "note": "推论同时落在 NBV 与 AC 的交里。" }, { "id": "imp.holder", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.young-inequality" ], "target": "thm.holder", "title": "Young 不等式 $\\implies$ Hölder 不等式", "proof": "**① 先设 $\\|f\\|_p = \\|g\\|_q = 1$。** 在 Young 不等式里取\n\n$$a = |f(x)|^p, \\qquad b = |g(x)|^q, \\qquad \\lambda = \\frac{1}{p}, \\qquad 1 - \\lambda = \\frac{1}{q}$$\n\n得逐点不等式\n\n$$|f(x)g(x)| \\le \\frac{|f(x)|^p}{p} + \\frac{|g(x)|^q}{q}$$\n\n**② 积分。**\n\n$$\\int |fg| \\le \\frac{1}{p} \\int |f|^p + \\frac{1}{q} \\int |g|^q = \\frac{1}{p} + \\frac{1}{q} = 1$$\n\n**③ 一般情形。** 若 $\\|f\\|_p$、$\\|g\\|_q$ 都非零，把 $f / \\|f\\|_p$ 与 $g / \\|g\\|_q$ 代进去再用齐次性。若有一个为零，则 $fg = 0$ a.e.，两边都是 0。∎\n\n**④ 取等条件。** 回看 ②：等号成立要求 ① 里每一步都取等，即 $a = b$ a.e.（Young 不等式的取等条件），也就是\n\n$$|f|^p = |g|^q \\quad \\text{a.e.}$$\n在归一化之后；还原到一般情形就是「$|f|^p$ 与 $|g|^q$ 成比例 a.e.」。", "note": "" }, { "id": "imp.minkowski", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.holder" ], "target": "thm.minkowski", "title": "Hölder 不等式 $\\implies$ Minkowski 不等式", "proof": "**① 拆开。** 对 $p > 1$，\n\n$$|f+g|^p = |f+g| \\cdot |f+g|^{p-1} \\le \\left( |f| + |g| \\right) |f+g|^{p-1}$$\n\n**② 两次 Hölder。** 对 $|f| \\cdot |f+g|^{p-1}$ 与 $|g| \\cdot |f+g|^{p-1}$ 分别用 Hölder（指数 $p$ 与 $q$，其中 $1/p + 1/q = 1$）：\n\n$$\\int |f+g|^p \\le \\left( \\|f\\|_p + \\|g\\|_p \\right) \\left( \\int |f+g|^{(p-1)q} \\right)^{1/q}$$\n\n**③ 认出右边的积分。** 因为 $(p-1)q = p$，右边那个因子就是 $\\|f+g\\|_p^{\\,p/q}$。于是\n\n$$\\|f+g\\|_p^p \\le \\left( \\|f\\|_p + \\|g\\|_p \\right) \\|f+g\\|_p^{\\,p/q}$$\n\n**④ 约掉。** 若 $\\|f+g\\|_p = 0$ 结论平凡；否则两边除以 $\\|f+g\\|_p^{p/q}$，注意 $p - p/q = 1$，即得\n\n$$\\|f+g\\|_p \\le \\|f\\|_p + \\|g\\|_p$$\n\n$p = 1$ 时直接由逐点不等式 $|f+g| \\le |f| + |g|$ 积分得到。∎", "note": "⭐ 注意「约掉」那一步：正是 $1/p + 1/q = 1$ 保证 $p - p/q = 1$，否则会留下一个顽固的指数。" }, { "id": "imp.lp-banach", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.minkowski", "thm.mct", "thm.dct" ], "target": "thm.lp-banach", "title": "三角不等式 + MCT + DCT $\\implies$ $L^p$ 完备", "proof": "**① 换成级数。** 赋范线性空间完备 $\\iff$ 每个**绝对收敛**的级数都收敛（标准判据）。所以设 $\\{f_k\\} \\subseteq L^p$ 且\n\n$$B := \\sum_{k=1}^{\\infty} \\|f_k\\|_p < \\infty$$\n\n目标：证明 $\\sum_k f_k$ 在 $L^p$ 范数下收敛。\n\n**② 先做逐点收敛。** 令\n\n$$G_n := \\sum_{k \\le n} |f_k|, \\qquad G := \\sum_{k=1}^{\\infty} |f_k|$$\n\n由 **Minkowski**（三角不等式），$\\|G_n\\|_p \\le \\sum_{k \\le n} \\|f_k\\|_p \\le B$，即 $\\int G_n^p \\le B^p$。$G_n \\uparrow G$，由 **MCT**，\n\n$$\\int G^p = \\lim_n \\int G_n^p \\le B^p$$\n于是 $G \\in L^p$，特别地 $G < \\infty$ a.e.。这就说明 $\\sum_k f_k(x)$ 对 a.e. $x$ **绝对收敛**，记其和为 $F$。\n\n**③ 再做范数收敛。** 部分和 $s_n := \\sum_{k \\le n} f_k$ 满足 $s_n \\to F$ a.e.，且\n\n$$|F - s_n|^p \\le \\left( |F| + |s_n| \\right)^p \\le (2G)^p \\in L^1$$\n\n（因为 $|F| \\le G$、$|s_n| \\le G$。）由 **DCT**，\n\n$$\\left\\| F - s_n \\right\\|_p^p = \\int |F - s_n|^p \\to 0$$\n\n即 $s_n \\to F$ 于 $L^p$。故绝对收敛级数都收敛，$L^p$ 完备。∎\n\n$>$ ⭐ 这一段是「用逐点收敛的定理（MCT / DCT）去证范数收敛」的范例：控制函数 $G$ 就是关键桥梁。", "note": "" }, { "id": "imp.bounded-gives-lq", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.holder", "def.duality-map" ], "target": "prop.bounded-functional-gives-lq", "title": "Hölder + 有界性 $\\implies$ $g \\in L^q$", "proof": "**Step 1：有限支可测的 $f$ 也满足 $|\\int fg| \\le M_g(g)$。**\n\n设 $f$ 有限支可测、$\\|f\\|_p = 1$。取**有限支简单函数列** $\\{f_n\\} \\to f$ a.e.，且 $|f_n| \\le |f|$、$|f_n| \\le \\|f\\|_\\infty \\chi_E$（$E$ 是 $f$ 的支集，有限测度）。由 **DCT**，\n\n$$\\left| \\int fg \\right| = \\lim_n \\left| \\int f_n g \\right| \\le M_g(g)$$\n\n**Step 2：$q < \\infty$。** 不妨设 $g \\ne 0$，且设 $\\{g \\ne 0\\}$ $\\sigma$有限（$\\mu$ 半有限时这一点自动成立）。\n\n先说明**必须**有 $\\mu(\\{|g| > \\varepsilon\\}) < \\infty$（对一切 $\\varepsilon > 0$）：否则设 $E_\\varepsilon = \\{|g| > \\varepsilon\\}$ 测度无穷，对任意 $C$ 取 $B \\subseteq E_\\varepsilon$ 使 $C < \\mu(B) < \\infty$，令\n\n$$f = \\mu(B)^{-1/q} \\chi_B \\operatorname{sgn} g, \\qquad \\|f\\|_p = 1$$\n\n则 $\\left| \\int fg \\right| = \\mu(B)^{-1/q} \\int_B |g| > \\varepsilon \\, \\mu(B)^{1/p} > \\varepsilon C^{1/p}$，令 $C \\to \\infty$ 就与 $M_g(g) < \\infty$ 矛盾。\n\n于是可取 $\\{E_n\\} \\uparrow \\{g \\ne 0\\}$，$\\mu(E_n) < \\infty$；再取简单 $\\varphi_n \\to g$、$|\\varphi_n| \\le |g|$，令 $g_n := \\varphi_n \\chi_{E_n}$，则 $g_n \\to g$、$|g_n| \\le |g|$、且 $g_n$ 在 $E_n^c$ 外为零。令\n\n$$f_n := \\frac{|g_n|^{q-1} \\operatorname{sgn} g_n}{\\|g_n\\|_q^{\\,q-1}}, \\qquad \\|f_n\\|_p = 1$$\n\n则 $f_n$ 有限支，由 Step 1 可用。于是\n\n$$\\|g\\|_q \\le \\lim_n \\|g_n\\|_q = \\lim_n \\int f_n g_n \\le \\lim_n \\int |f_n g| = \\lim_n \\int f_n g \\le M_g(g)$$\n\n（第一个不等号由 Fatou，第二个是 $f_n g_n = |g_n|^q$，中间那个等号用的仍是符号 $\\operatorname{sgn}$ 的消失。）故 $\\|g\\|_q \\le M_g(g) < \\infty$，$g \\in L^q$；反向不等式 $M_g(g) \\le \\|g\\|_q$ 由 Hölder。\n\n**Step 3：$q = \\infty$。** 对 $\\varepsilon > 0$ 令 $A = \\{|g(x)| \\ge M_\\infty(g) + \\varepsilon\\}$。若 $\\mu(A) > 0$，由半有限性或 $A \\subseteq \\{g \\ne 0\\}$ 的 $\\sigma$有限性取 $B \\subseteq A$、$0 < \\mu(B) < \\infty$，令 $f = \\mu(B)^{-1} \\chi_B \\operatorname{sgn} g$，则 $\\|f\\|_1 = 1$ 而 $\\int fg \\ge M_\\infty(g) + \\varepsilon$ —— 矛盾。故 $\\mu(A) = 0$，即 $\\|g\\|_\\infty \\le M_\\infty(g)$；反方向由 Hölder。∎", "note": "" }, { "id": "imp.riesz-lp", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.bounded-functional-gives-lq", "thm.lebesgue-radon-nikodym", "prop.duality-isometry" ], "target": "thm.riesz-representation-lp", "title": "把泛函变成测度 $\\implies$ $(L^p)^* \\cong L^q$", "proof": "设 $1 < p < \\infty$、$\\Phi \\in (L^p)^*$。\n\n**Step 1：先设 $\\mu$ 有限。** 此时所有简单函数都在 $L^p$ 里。定义\n\n$$\\nu(E) := \\Phi(\\chi_E) \\qquad (E \\in \\mathcal{M})$$\n\n**① $\\nu$ 是复测度。** 设 $E = \\bigsqcup_j E_j$，则 $\\chi_E = \\sum_{j} \\chi_{E_j}$。而\n\n$$\\left\\| \\chi_E - \\sum_{j \\le n} \\chi_{E_j} \\right\\|_p = \\left\\| \\sum_{j > n} \\chi_{E_j} \\right\\|_p = \\mu\\left( \\bigsqcup_{j>n} E_j \\right)^{1/p} \\to 0$$\n\n由 $\\Phi$ 的连续性，$\\nu(E) = \\sum_j \\nu(E_j)$ —— 正是复测度的定义。\n\n**② $\\nu \\ll \\mu$。** 若 $\\mu(E) = 0$，则 $\\chi_E = 0$ 于 $L^p$，故 $\\nu(E) = 0$。\n\n**③ 用 Radon–Nikodym。** 存在 $g \\in L^1(\\mu)$ 使 $\\nu(E) = \\int_E g \\, d\\mu$，即\n\n$$\\Phi(\\chi_E) = \\int \\chi_E g \\, d\\mu$$\n对一切简单函数 $f$ 就有 $\\Phi(f) = \\int fg \\, d\\mu$（线性）。\n\n**④ 把 $g$ 提升到 $L^q$。** 由 $\\left| \\int fg \\right| = |\\Phi(f)| \\le \\|\\Phi\\| \\, \\|f\\|_p$，有界泛函那条命题给出 $g \\in L^q$ 且 $\\|g\\|_q \\le \\|\\Phi\\|$。再由稠密性（简单函数在 $L^p$ 稠密、$\\Phi$ 连续）得 $\\Phi(f) = \\int fg$ 对**一切** $f \\in L^p$ 成立。\n\n**Step 2：$\\mu$ $\\sigma$有限。** 取 $\\{E_n\\} \\uparrow$、$0 < \\mu(E_n) < \\infty$、$X = \\bigcup_n E_n$，并把 $L^p(E_n)$ 等同于「在 $E_n$ 外为零的 $L^p(X)$ 函数」。对每个 $n$ 用 Step 1 得 $g_n \\in L^q(E_n)$，且\n\n$$\\|g_n\\|_q \\le \\left\\| \\Phi|_{L^p(E_n)} \\right\\| \\le \\|\\Phi\\|$$\n唯一性（a.e.）给出 $g_n = g_m$ a.e. 于 $E_n$（$n < m$），所以它们拼成一个 a.e. 良定义的 $g$。由 **MCT**，$\\|g\\|_q = \\lim_n \\|g_n\\|_q \\le \\|\\Phi\\|$，故 $g \\in L^q$；而对 $f \\in L^p$，由 **DCT** $f\\chi_{E_n} \\to f$ 于 $L^p$，于是 $\\Phi(f) = \\lim_n \\Phi(f\\chi_{E_n}) = \\lim_n \\int_{E_n} fg = \\int fg$。\n\n**Step 3：$\\mu$ 任意（此时 $p > 1$，故 $q < \\infty$）。** 对每个 $\\sigma$有限集 $E \\subseteq X$，Step 2 给出 a.e. 唯一的 $g_E \\in L^q(E)$ 使 $\\Phi(f) = \\int f g_E$ 对一切 $f \\in L^p(E)$ 成立，且 $\\|g_E\\|_q \\le \\|\\Phi\\|$。若 $F \\supseteq E$ 也 $\\sigma$有限，则 $g_F = g_E$ a.e. 于 $E$，因而 $\\|g_F\\|_q \\ge \\|g_E\\|_q$。令\n\n$$M := \\sup \\{\\, \\|g_E\\|_q : E \\text{ 是 }\\sigma\\text{-有限集} \\,\\} \\le \\|\\Phi\\|$$\n\n取 $\\{E_n\\}$ 使 $\\|g_{E_n}\\|_q \\to M$，令 $F = \\bigcup_n E_n$（仍 $\\sigma$有限）。则 $\\|g_F\\|_q \\ge \\|g_{E_n}\\|_q$ 对一切 $n$ 成立，故 $\\|g_F\\|_q = M$。\n\n**$g_F$ 已经是我们要的那个 $g$**：设 $A \\supseteq F$ $\\sigma$有限，则\n\n$$\\int |g_F|^q + \\int |g_{A \\setminus F}|^q = \\int |g_A|^q \\le M^q = \\int |g_F|^q$$\n\n故 $g_{A \\setminus F} = 0$，即 $g_A = g_F$ a.e.。而对 $f \\in L^p$，集合 $A := F \\cup \\{f \\ne 0\\}$ 是 $\\sigma$有限的，于是 $\\Phi(f) = \\int f g_A = \\int f g_F$。取 $g = g_F$ 即可。∎", "note": "⭐ Step 1 的核心思想：**把 $L^p$ 上的泛函限制在「特征函数」上，就得到一个测度**，再用 Radon–Nikodym 把测度变成函数。" }, { "id": "def-link.lp-holder", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lp-norm", "usedBy": "thm.holder", "note": "Hölder 不等式两边都是 L^p 范数。" }, { "id": "def-link.conjugate-holder", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.conjugate-exponents", "usedBy": "thm.holder", "note": "陈述里那个 $1/p + 1/q = 1$ 就是共轭指数的定义。" }, { "id": "def-link.lp-minkowski", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lp-norm", "usedBy": "thm.minkowski", "note": "Minkowski 就是 L^p 范数的三角不等式。" }, { "id": "def-link.lp-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lp-norm", "usedBy": "thm.lp-banach", "note": "完备性是相对这个范数说的。" }, { "id": "def-link.esssup-linf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.essential-sup", "usedBy": "thm.linf-properties", "note": "整条定理都是在处理 $\\|\\cdot \\|_\\infty$。" }, { "id": "def-link.duality-holder", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.duality-map", "usedBy": "prop.duality-isometry", "note": "命题算的就是 $\\varphi _g$ 的算子范数。" }, { "id": "def-link.conjugate-duality", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.conjugate-exponents", "usedBy": "prop.duality-isometry", "note": "前提是 $p$、$q$ 共轭。" }, { "id": "def-link.duality-bounded", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.duality-map", "usedBy": "prop.bounded-functional-gives-lq", "note": "这条命题说的正是「配对 $\\int fg$ 有界」把 $g$ 逼进 L^q。" }, { "id": "def-link.conjugate-riesz", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.conjugate-exponents", "usedBy": "thm.riesz-representation-lp", "note": "结论那句话里「$q$ 是共轭指数」。" }, { "id": "def-link.duality-riesz", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.duality-map", "usedBy": "thm.riesz-representation-lp", "note": "定理说 $g \\mapsto \\varphi _g$ 是等距同构。" }, { "id": "def-link.lp-reflexive", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lp-norm", "usedBy": "cor.lp-reflexive", "note": "自反性谈的是 L^p 与它的二次对偶。" }, { "id": "dep.real-extended", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.real", "usedBy": "def.extended-real", "note": "扩充实数就是在 $\\mathbb{R}$ 上添两个记号。" }, { "id": "dep.real-interval", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.real", "usedBy": "def.interval", "note": "区间是 $\\mathbb{R}$ 的全序 $\\le$ 说出来的：端点之间的都算数。" }, { "id": "dep.real-sequence", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.real", "usedBy": "def.sequence-limit", "note": "极限里的 $|x_n - x| < \\varepsilon$ 用的是实数的绝对值与序。" }, { "id": "dep.real-series", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sequence-limit", "usedBy": "def.series", "note": "级数收敛 = 部分和这个**数列**收敛。" }, { "id": "dep.real-continuous", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sequence-limit", "usedBy": "def.continuous", "note": "连续的定义就是「$x \\to x_0$ 时 $f(x) \\to f(x_0)$」——极限的语言。" }, { "id": "dep.real-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sequence-limit", "usedBy": "def.derivative", "note": "导数是一个**极限**：差商的极限。" }, { "id": "dep.continuous-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.continuous", "usedBy": "def.derivative", "note": "可导 $\\implies$ 连续：这一点由导数的定义直接推出来。" }, { "id": "dep.real-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.real", "usedBy": "def.complex", "note": "$\\mathbb{C} = \\mathbb{R}^2$，实部虚部都是实数。" }, { "id": "dep.sup-series", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bound", "usedBy": "def.series", "note": "非负项级数取的就是部分和的**上确界**。" }, { "id": "dep.subset-union-inter", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.union-inter", "note": "两个运算都用 $\\subseteq$ 说事（$A \\cap B \\subseteq A \\subseteq A \\cup B$）。" }, { "id": "dep.subset-diff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.diff-complement", "note": "$A \\setminus B \\subseteq A$；「含全集 $X$」也是子集关系。" }, { "id": "dep.ext-empty", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.empty", "usedBy": "thm.empty", "note": "$\\emptyset$ 先作为原始对象给出；这条定理说明**不把它当原始对象、只靠分离公理模式**也能得到同一个集合，并由外延公理知它唯一。" }, { "id": "dep.empty-union", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.empty", "usedBy": "def.union-inter", "note": "$\\bigcap \\emptyset$ 要注意：它必须相对某个全集才有意义 —— 空集的出现方式常常是这种边角。" }, { "id": "dep.function-bijection", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.bijection", "note": "单射、满射、双射都是**函数**的性质。" }, { "id": "dep.pair-bijection", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pair", "usedBy": "def.bijection", "note": "判断单射时用的是「$f(a) = f(b) \\implies a = b$」，即在有序对层面比较。" }, { "id": "dep.bijection-countable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bijection", "usedBy": "def.countable", "note": "可数就是「存在双射 $A \\to \\mathbb{N}$」；至多可数是「存在单射」。" }, { "id": "dep.nat-countable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.omega", "usedBy": "def.countable", "note": "$\\mathbb{N}$ 由无穷公理给出（见「自然数集存在」），可数就是拿它当标尺去量别的集合。" }, { "id": "dep.nullset-ae", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "def.ae", "note": "a.e. 的定义就是「例外集是**零集**」。" }, { "id": "dep.measure-ae", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.ae", "note": "$\\mu(E) = 0$ 里的 $\\mu$ 是测度；a.e. 是测度空间上的说法。" }, { "id": "dep.interval-ls", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.interval", "usedBy": "def.fundamental-class", "note": "半开区间族 $\\{ (a, b] : a < b \\}$ 就是构造 Lebesgue–Stieltjes 测度时用的那个**基本类**。" }, { "id": "dep.sup-integral-nonneg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bound", "usedBy": "def.integral-nonneg", "note": "非负函数的积分定义成 $\\sup \\{ \\int \\varphi \\}$ —— 取的是实数（或 $+\\infty$）的上确界。" }, { "id": "dep.extended-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.extended-real", "usedBy": "def.measure", "note": "测度的取值放在 $[0, +\\infty]$ 里，正是扩充实数。" }, { "id": "dep.real-metric", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.real", "usedBy": "def.metric-space", "note": "距离取值 $d : X \\times X \\to [0, +\\infty) \\subseteq \\mathbb{R}$，用的是实数的序与绝对值。" }, { "id": "dep.interval-bv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.interval", "usedBy": "def.ac-function", "note": "绝对连续的定义里，「任意有限个两两不交的区间」说的就是区间。" }, { "id": "dep.derivative-bv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.derivative", "usedBy": "def.bounded-variation", "note": "全变差与 $F'$ 都在讨论函数的**逐点**行为。" }, { "id": "dep.derivative-monotone-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.derivative", "usedBy": "thm.monotone-differentiable", "note": "「单调函数几乎处处可导」说的就是这条定义里的导数存在 a.e.。" }, { "id": "dep.complex-integral-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.complex", "usedBy": "def.integral-complex", "note": "复值函数的积分就是拆成 $\\operatorname{Re} f$、$\\operatorname{Im} f$ 两个实值积分。" }, { "id": "dep.complex-complex-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.complex", "usedBy": "def.complex-measure", "note": "复测度取值在 $\\mathbb{C}$ 里 —— 所以它自动有限。" }, { "id": "dep.complex-lp", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.complex", "usedBy": "def.lp-norm", "note": "$L^p$ 的元素取复值：$f : X \\to \\mathbb{C}$。" }, { "id": "dep.continuous-continuous-measurable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.continuous", "usedBy": "cor.continuous-measurable", "note": "「连续 $\\implies$ Borel 可测」要把连续的 $\\varepsilon$-$\\delta$ 定义翻译成开集的原像。" }, { "id": "dep.real-lp", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.real", "usedBy": "def.essential-sup", "note": "本性上界是「$\\mu(\\{|f| > a\\}) = 0$ 的那些 $a \\ge 0$ 的下确界」——$a$ 是实数。" }, { "id": "dep.preimage-function", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.preimage", "note": "像 $f(A)$ 与原像 $f^{-1}(B)$ 都预设 $f$ 是**映射**。" }, { "id": "dep.subset-powerset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.power-set", "note": "幂集的元素就是**子集**：$A \\in \\mathcal{P}(X) \\iff A \\subseteq X$。" }, { "id": "dep.bijection-equinumerous", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bijection", "usedBy": "def.equinumerous", "note": "等势的定义就是「存在**双射**」。" }, { "id": "dep.equinumerous-cardinal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equinumerous", "usedBy": "def.cardinal", "note": "基数就是等势类：先有「等势」，才谈得上「$A$ 有多大」。" }, { "id": "dep.equinumerous-countable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equinumerous", "usedBy": "def.countable", "note": "可数 = 与 $\\mathbb{N}$ **等势**；至多可数 = 能单射进 $\\mathbb{N}$。" }, { "id": "dep.cardinal-cantor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cardinal", "usedBy": "thm.cantor", "note": "「$|A| < |\\mathcal{P}(A)|$」是一个关于**基数**的比较。" }, { "id": "dep.powerset-cantor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.power-set", "usedBy": "thm.cantor", "note": "定理讲的就是 $A$ 与它的**幂集**的大小关系。" }, { "id": "dep.bijection-sb", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bijection", "usedBy": "thm.schroder-bernstein", "note": "前提与结论都由**单射 / 双射**写成。" }, { "id": "dep.cardinal-comparable-thm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cardinal", "usedBy": "thm.cardinal-comparable", "note": "「任意两个基数可比」是关于**基数**的命题。" }, { "id": "dep.powerset-generated-sigma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.power-set", "usedBy": "def.generated-sigma", "note": "「$\\mathcal{E} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$」「一切包含 $\\mathcal{E}$ 的 $\\sigma$-代数之交」都要在**幂集**里取。" }, { "id": "dep.powerset-outer-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.power-set", "usedBy": "def.outer-measure", "note": "外测度定义在**全体子集**上：$\\mu^* : \\mathcal{P}(X) \\to [0, +\\infty]$。" }, { "id": "imp.cantor", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.power-set" ], "target": "thm.cantor", "title": "幂集 $\\implies$ Cantor 定理（对角线法）", "proof": "**① $|A| \\le |\\mathcal{P}(A)|$。** 映射 $a \\mapsto \\{a\\}$ 是单射：$\\{a\\} = \\{a'\\} \\implies a = a'$。\n\n**② 不存在满射 $f : A \\to \\mathcal{P}(A)$。** 反设存在。令\n\n$$D := \\{ a \\in A : a \\notin f(a) \\}$$\n\n这是 $A$ 的一个子集，所以 $D \\in \\mathcal{P}(A)$。由满射性，存在 $a_0 \\in A$ 使 $f(a_0) = D$。\n\n**③ 矛盾。** 看 $a_0$ 属不属于 $D$：\n\n- 若 $a_0 \\in D$：由 $D$ 的定义 $a_0 \\notin f(a_0) = D$，矛盾；\n- 若 $a_0 \\notin D = f(a_0)$：那么 $a_0$ 满足「$a \\notin f(a)$」，按定义又该有 $a_0 \\in D$，矛盾。\n\n两边都不成立，故不存在满射。结合 ① 得 $|A| < |\\mathcal{P}(A)|$。$\\blacksquare$\n\n> $D$ 之所以叫「对角集」：把 $A$ 排成行、把 $\\mathcal{P}(A)$ 排成列，「$a \\in f(a)$」是一张表，$D$ 取的是这张表的**对角线**再逐格取反。", "note": "" }, { "id": "imp.schroder-bernstein", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.bijection" ], "target": "thm.schroder-bernstein", "title": "两个方向的单射 $\\implies$ 双射", "proof": "设 $f : A \\to B$、$g : B \\to A$ 都是单射。把 $A$ 分成两半，一半用 $f$、一半用 $g^{-1}$，拼出一个双射。\n\n**① 造一串集合。** 令\n\n$$A_0 := A \\setminus g(B), \\qquad A_{n+1} := g(f(A_n))$$\n\n（直观：$A_0$ 是「$B$ 管不到」的那部分，剩下的在 $f$ 与 $g$ 之间来回倒。）令\n\n$$A^{*} := \\bigcup_{n=0}^{\\infty} A_n, \\qquad A^{\\sharp} := A \\setminus A^{*}$$\n\n**② 定义 $h : A \\to B$。**\n\n$$h(a) := \\begin{cases} f(a), & a \\in A^{*} \\\\ g^{-1}(a), & a \\in A^{\\sharp} \\end{cases}$$\n\n要说明：$a \\in A^{\\sharp}$ 时 $a \\in g(B)$，所以 $g^{-1}(a)$ 有意义。事实上若 $a \\notin g(B)$ 则 $a \\in A_0 \\subseteq A^{*}$，与 $a \\in A^{\\sharp}$ 矛盾。\n\n**③ $h$ 是单射。** 分三种情况：同在 $A^{*}$ 上由 $f$ 单射；同在 $A^{\\sharp}$ 上由 $g$ 单射；一边一个时，$h(A^{*}) = f(A^{*})$ 而\n\n$$f(A^{*}) = \\bigcup_{n} f(A_n) = \\bigcup_{n} g^{-1}(A_{n+1}) \\subseteq g^{-1}(A^{*} \\setminus A_0)$$\n\n与 $h(A^{\\sharp}) = g^{-1}(A^{\\sharp})$ 不相交 —— 因为 $A^{\\sharp} \\cap (A^{*} \\setminus A_0) = \\emptyset$。\n\n**④ $h$ 是满射。** 若 $b \\in B$：令 $a = g(b) \\in A$。若 $a \\in A^{\\sharp}$，则 $h(a) = g^{-1}(a) = b$；若 $a \\in A^{*}$，则 $a \\in A_n$ 对某个 $n \\ge 1$（因为 $a = g(b)$ 落在 $g(B)$ 里），于是 $a = g(f(a'))$ 对某个 $a' \\in A_{n-1} \\subseteq A^{*}$，由 $g$ 单射得 $f(a') = b$，即 $h(a') = b$。\n\n综上 $h$ 是双射，故 $|A| = |B|$。$\\blacksquare$", "note": "" }, { "id": "imp.cardinal-comparable", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.wellordering" ], "target": "thm.cardinal-comparable", "title": "良序定理 $\\implies$ 任意两个基数可比", "proof": "设 $A$、$B$ 是任意两个集合。\n\n**① 良序化。** 由**良序定理**，$A$ 上有一个良序 $\\preceq_A$、$B$ 上有一个良序 $\\preceq_B$。\n\n**② 换成序数。** 每个良序集序同构于唯一的一个序数，记作 $\\alpha$、$\\beta$。于是只需比较两个序数。\n\n**③ 序数可比。** 对任意两个序数 $\\alpha$、$\\beta$，总有 $\\alpha \\in \\beta$、$\\alpha = \\beta$、$\\beta \\in \\alpha$ 三者之一成立（这一步是序数理论的基本事实，用的是良序性）。\n\n- 若 $\\alpha \\subseteq \\beta$：序同构给出单射 $A \\to B$，于是 $|A| \\le |B|$；\n- 若 $\\beta \\subseteq \\alpha$：同理 $|B| \\le |A|$。\n\n所以必有 $|A| \\le |B|$ 或 $|B| \\le |A|$。$\\blacksquare$\n\n> 反过来说：**基数可比定理 $\\implies$ 良序定理**（取 $A$、$B$ 中能单射进另一个的那个方向，可以良序化较小的集合，再把良序搬到较大集合上）。所以它与 AC、良序定理、佐恩引理是同一件事。", "note": "" }, { "id": "dep.powerset-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.power-set", "usedBy": "def.topology", "note": "拓扑是**幂集**的一族子集：$\\mathcal{T} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$。" }, { "id": "dep.subset-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.topology", "note": "「开集是 $X$ 的子集」「$\\mathcal{T}$ 作为集合族」都是子集关系。" }, { "id": "dep.topology-closed", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.closed-set", "note": "闭集定义成**开集**的补，开集的性质靠 De Morgan 律翻译过去。" }, { "id": "dep.diff-complement-closed", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.diff-complement", "usedBy": "def.closed-set", "note": "「补集」这条定义是闭集定义的直接依据。" }, { "id": "dep.topology-base", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.topology-base", "note": "基是**开集族**里挑了「表现良好」的一部分：每个开集都由它并出来。" }, { "id": "dep.topology-continuous-map", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.continuous-map", "note": "连续映射说的是「$\\mathcal{T}_Y$ 里每个开集的原像落在 $\\mathcal{T}_X$ 里」。" }, { "id": "dep.bijection-homeo", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bijection", "usedBy": "def.homeomorphism", "note": "同胚首先是**双射**，再要求两个方向都连续。" }, { "id": "dep.continuous-map-homeo", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.continuous-map", "usedBy": "def.homeomorphism", "note": "「$f$ 与 $f^{-1}$ 都连续」用的是**连续映射**。" }, { "id": "dep.topology-metric", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.metric-space", "note": "$d$ 诱导出的那族开集（开球之并）就是这条定义里的拓扑：三条公理逐条可验（任意并由球的定义封闭，有限交由三角不等式保证）。所以**每个距离空间都是拓扑空间**，反之不成立。" }, { "id": "dep.topology-borel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.borel", "note": "Borel $\\sigma$-代数就是「设 $X$ 是**拓扑空间**，取全体开集生成的 $\\sigma$-代数」。" }, { "id": "dep.topology-engine-continuous", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.continuous", "note": "$\\varepsilon$-$\\delta$ 那套是**拓扑版连续**在实数（或距离空间）上的展开形式：开球就是 $\\varepsilon$ 邻域。" }, { "id": "dep.closed-set-compact-closed", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.closed-set", "usedBy": "prop.compact-subset-closed", "note": "「紧子集是闭的」里的「闭」就是这条定义的闭集。" }, { "id": "dep.base-metric", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology-base", "usedBy": "def.metric-space", "note": "距离空间里「开球全体构成这个拓扑的一组**基**」——这就是基的定义的一个标准例子。" }, { "id": "dep.topology-subspace", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.subspace-topology", "note": "子空间拓扑是拿**大空间的拓扑**里的开集与 $Y$ 求交得到的。" }, { "id": "dep.subset-subspace", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.subspace-topology", "note": "$Y \\subseteq X$ —— 先有子集，才谈得上它上面的子空间拓扑。" }, { "id": "dep.topology-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.quotient-topology", "note": "商拓扑问的是商集的哪些子集**拉回去是开的**，判断依据仍是大空间的拓扑。" }, { "id": "dep.function-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.quotient-topology", "note": "商拓扑是先有一个**满射** $\\pi : X \\twoheadrightarrow Y$，再反过来给 $Y$ 装拓扑。" }, { "id": "dep.topology-hausdorff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.hausdorff", "note": "「两个点可被**开集**分开」——开集是拓扑的一部分。" }, { "id": "dep.topology-connected", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.connected", "note": "「不能写成两个不交非空**开集**之并」是拿拓扑说出来的。" }, { "id": "dep.topology-clopen", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.closed-set", "usedBy": "def.clopen", "note": "闭开集 = **开集** 且 **闭集**，两个概念各占一半。" }, { "id": "dep.rel-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.rel", "usedBy": "def.quotient-set", "note": "商集是拿**等价关系**做出来的 —— 先有关系，才谈得上等价类。" }, { "id": "dep.omega-induction", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.omega", "usedBy": "thm.induction", "note": "归纳原理与递推定义都来自「$\\omega$ 是**最小归纳集**」这一条。" }, { "id": "dep.induction-natarith", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.induction", "usedBy": "def.nat-arith", "note": "加法与乘法都是**递推定义** —— 「存在唯一」那一条正是递推定义定理给的内容。" }, { "id": "dep.natarith-int", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.nat-arith", "usedBy": "def.int", "note": "$\\mathbb{Z}$ 的加法 $[a,b] + [c,d] := [a+c, b+d]$ 里子里的 $+$，就是自然数的加法。" }, { "id": "dep.omega-int", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.omega", "usedBy": "def.int", "note": "$\\mathbb{Z}$ 建在 $\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}$ 上，运算与序都来自 $\\mathbb{N}$。" }, { "id": "dep.quotient-int", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-set", "usedBy": "def.int", "note": "$\\mathbb{Z} = (\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N})/\\sim$ —— 一个**商集**。" }, { "id": "dep.induction-int", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.induction", "usedBy": "def.int", "note": "加法、乘法、序的**良定义**都要用归纳/递推来验。" }, { "id": "dep.int-rat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.int", "usedBy": "def.rat", "note": "$\\mathbb{Q}$ 建在 $\\mathbb{Z} \\times (\\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\})$ 上。" }, { "id": "dep.quotient-rat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-set", "usedBy": "def.rat", "note": "$\\mathbb{Q} = (\\mathbb{Z} \\times (\\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\}))/\\sim$ —— 同样是**商集**。" }, { "id": "dep.rat-cauchy-null", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.rat", "usedBy": "def.cauchy-null", "note": "Cauchy 列、零列都是**有理数列**：$\\varepsilon$ 取正有理数，绝对值也是 $\\mathbb{Q}$ 上的 —— 用 $\\mathbb{Q}$ 的序与四则运算就够，不必先有 $\\mathbb{R}$。" }, { "id": "dep.function-cauchy-null", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.cauchy-null", "note": "「数列」就是函数 $\\omega \\to \\mathbb{Q}$；下标、子列都是函数语言。" }, { "id": "dep.quotient-cauchy-null", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-set", "usedBy": "def.cauchy-null", "note": "「等价」在这里就是商集意义上的**等价关系**：把同一个实数的不同逼近方式粘成一类。" }, { "id": "dep.ordered-rat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ordered-field", "usedBy": "def.rat", "note": "⭐ 造完 $\\mathbb{Q}$ 的第一件事是**核对它是哪一种结构**：四则运算齐全（域）、序与运算相容（有序域）—— 它是本图里第一个**有序域**。" }, { "id": "dep.ordered-abs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ordered-field", "usedBy": "def.abs", "note": "绝对值定义在**有序域**上（$\\mathbb{Q}$ 与 $\\mathbb{R}$ 都是）。" }, { "id": "dep.ordered-triangle", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ordered-field", "usedBy": "thm.triangle", "note": "三角不等式对任意有序域成立 —— 证明只用到分情形与「序与加法相容」。" }, { "id": "dep.ordered-realfield", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ordered-field", "usedBy": "thm.real-ordered-field", "note": "要证的就是「构造出来的 $\\mathbb{R}$ 是一个**完备有序域**」：前两组公理是「有序域」，第三组是不属于这条定义的额外一条。" }, { "id": "dep.ordered-archimedean", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ordered-field", "usedBy": "lem.archimedean", "note": "「$\\mathbb{N}$ 在 $K$ 中无上界」里的 $K$ 是**有序域**（$\\mathbb{N}$ 按 $1$ 生成的子结构嵌在里面）。" }, { "id": "dep.ordered-unique", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ordered-field", "usedBy": "thm.real-unique", "note": "定理说的「完备有序域」就是这条定义再加上完备性。" }, { "id": "dep.abs-cauchy-null", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abs", "usedBy": "def.cauchy-null", "note": "Cauchy 列的定义式 $|x_m - x_n| < \\varepsilon$ 里的 $|\\cdot|$ 就是它，而 $\\varepsilon$ 取**正有理数** —— 这样在造出 $\\mathbb{R}$ 之前就说得通。" }, { "id": "dep.cauchy-null-real", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cauchy-null", "usedBy": "def.real", "note": "⭐ $\\mathbb{R}$ 的元素就是「Cauchy 列模去零列」这些等价类 —— 构造直接踩在它上面。" }, { "id": "dep.quotient-real", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-set", "usedBy": "def.real", "note": "和 $\\mathbb{Z}$、$\\mathbb{Q}$ 是**同一招**：把已有对象按等价关系粘成等价类。整条链 $\\mathbb{N} \\to \\mathbb{Z} \\to \\mathbb{Q} \\to \\mathbb{R}$ 用的都是这一个手法。" }, { "id": "dep.quotient-integrable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-set", "usedBy": "def.integrable", "note": "$L^1$ 的元素不是函数本身，而是**函数在 a.e. 相等下的等价类** —— 后面 $L^p$、RN 导数用的是同一个手法。" }, { "id": "dep.rat-archimedean", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.rat", "usedBy": "lem.archimedean", "note": "「$\\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密」里的 $\\mathbb{Q}$ 就是有理数集在 $K$ 中的嵌入像。" }, { "id": "dep.countable-uncountable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.countable", "usedBy": "thm.real-uncountable", "note": "定理说的就是「$\\mathbb{R}$ **不可数**」。" }, { "id": "dep.cardinal-uncountable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cardinal", "usedBy": "thm.real-uncountable", "note": "结论写成基数就是 $|\\mathbb{R}| = 2^{\\aleph_0} > \\aleph_0$。" }, { "id": "dep.cantor-uncountable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.cantor", "usedBy": "thm.real-uncountable", "note": "后半句 $2^{\\aleph_0} > \\aleph_0$ 用的就是 Cantor 定理（$|A| < |\\mathcal{P}(A)|$）。" }, { "id": "imp.triangle", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.abs" ], "target": "thm.triangle", "title": "绝对值的定义 $\\implies$ 三角不等式", "proof": "设 $x, y \\in K$。先看两个基本事实（都由 $|t| = \\max\\{t, -t\\}$ 直接读出）：\n\n- $t \\le |t|$ 且 $-t \\le |t|$，即 $-|t| \\le t \\le |t|$。\n\n于是\n\n$$x \\le |x|, \\qquad -x \\le |x|, \\qquad y \\le |y|, \\qquad -y \\le |y|$$\n\n两两相加（序与加法相容）：\n\n$$x + y \\le |x| + |y|, \\qquad -(x + y) \\le |x| + |y|$$\n\n即 $-c \\le x + y \\le c$，其中 $c := |x| + |y| \\ge 0$。而\n\n$$-c \\le t \\le c \\iff |t| \\le c \\qquad (c \\ge 0)$$\n\n（$\\Longleftarrow$：由 $t \\le c$ 与 $-t \\le c$ 分别取 $\\max$；$\\implies$：$|t|$ 等于 $t$ 或 $-t$，两种情形都在 $c$ 以下。）取 $t = x + y$ 得\n\n$$|x + y| \\le |x| + |y| \\qquad \\blacksquare$$\n\n**变形。** 在 $|x + y| \\le |x| + |y|$ 中把 $x$ 换成 $x - y$ 得 $|x| \\le |x - y| + |y|$，即 $|x| - |y| \\le |x - y|$；交换 $x, y$ 得另一侧，两者合起来就是 $\\big| |x| - |y| \\big| \\le |x - y|$。$n$ 元版本由归纳：$|x_1 + \\cdots + x_n| \\le |x_1 + \\cdots + x_{n-1}| + |x_n|$。", "note": "" }, { "id": "imp.triangle-cauchy", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.triangle" ], "target": "def.cauchy-null", "title": "三角不等式 $\\implies$ 零列关系是等价关系", "proof": "自反、对称直接由定义读出；**传递**要三角不等式：若 $(x_n) \\sim (y_n)$、$(y_n) \\sim (z_n)$，则 $|x_n - z_n| \\le |x_n - y_n| + |y_n - z_n|$，右边两项都是零列，故 $(x_n) \\sim (z_n)$。没有这一条，$\\mathbb{R}$ 就没法定义成商集。∎", "note": "" }, { "id": "imp.real-ordered-field", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.real" ], "target": "thm.real-ordered-field", "title": "Cauchy 列的等价类 $\\implies$ 完备有序域", "proof": "记 $\\mathcal{C}$ 为有理 Cauchy 列的全体。下面把 $\\mathbb{R} := \\mathcal{C}/\\sim$ 逐条查一遍。\n\n**① 运算良定义。** 设 $x \\sim x'$、$y \\sim y'$（即 $x_n - x'_n$、$y_n - y'_n$ 都是零列）。\n\n加法：$|(x_n + y_n) - (x'_n + y'_n)| \\le |x_n - x'_n| + |y_n - y'_n| \\to 0$（三角不等式）。\n\n乘法：$x_n y_n - x'_n y'_n = x_n (y_n - y'_n) + y'_n (x_n - x'_n)$，而 Cauchy 列**有界**（设 $|x_n| \\le M$、$|y'_n| \\le M'$），故两项各自 $\\to 0$。\n\n**② 域公理。** 结合、交换、分配都是逐项验证后取等价类（$\\mathbb{Q}$ 满足，$\\mathcal{C}$ 对 $+$、$\\cdot$ 封闭）。零元 $0 := [$零列$]$、一 $1 := [(1,1,1,\\ldots)]$。\n\n**乘法逆元**是唯一需要想法的地方：设 $x$ 不是零列。因 $x$ 是 Cauchy 列，「不是零列」意味着\n\n$$\\exists \\varepsilon > 0: \\forall N, \\exists n \\ge N,\\ |x_n| \\ge \\varepsilon$$\n\n取这样的 $\\varepsilon$，并用 Cauchy 性取 $N_0$ 使 $m, n \\ge N_0$ 时 $|x_m - x_n| < \\varepsilon/2$；再取 $n_0 \\ge N_0$ 使 $|x_{n_0}| \\ge \\varepsilon$。则对一切 $n \\ge N_0$：\n\n$$|x_n| \\ge |x_{n_0}| - |x_n - x_{n_0}| > \\varepsilon - \\varepsilon/2 = \\varepsilon/2$$\n\n于是定义 $y_n := 0$（$n < N_0$）、$y_n := 1/x_n$（$n \\ge N_0$）。$y$ 是 Cauchy 列，因为\n\n$$|y_m - y_n| = \\frac{|x_m - x_n|}{|x_m|\\,|x_n|} \\le \\frac{4}{\\varepsilon^2}\\,|x_m - x_n|$$\n\n而 $[x_n y_n] = [(1,1,1,\\ldots)] = 1$。故每个非零元可逆。\n\n**③ 序良定义 + 全序。** $(y_n - x_n)$ 换成等价的代表元后仍是零列的平移，故「$> 0$」的定义与代表元无关。三种情形恰有一种成立：\n\n- $x$ 是零列 $\\implies [x] = 0$；\n- 否！则由 ② 的估计，从某项起 $|x_n| \\ge \\delta$；再用 Cauchy 性（取 $\\varepsilon = \\delta$）知符号最终恒定：若某两项异号则 $|x_m - x_n| \\ge 2\\delta$，矛盾。于是要么最终 $x_n \\ge \\delta$（正），要么最终 $x_n \\le -\\delta$（负）。\n\n序与运算的相容性（$\\alpha \\le \\beta \\implies \\alpha + \\gamma \\le \\beta + \\gamma$；$\\alpha \\ge 0, \\beta \\ge 0 \\implies \\alpha\\beta \\ge 0$）都逐项验证。\n\n**④ 嵌入与稠密。** $x \\mapsto [(x,x,x,\\ldots)]$ 是保序、保运算的单射。稠密：若 $\\alpha < \\beta$，取代表元 $x \\in \\alpha$、$y \\in \\beta$ 与正有理数 $q$ 使最终 $x_n + q \\le y_n$，则由 $\\mathbb{Q}$ 的稠密性可取有理数 $r$ 夹在中间，常数列 $r$ 满足 $\\alpha < [r] < \\beta$。\n\n**⑤ $\\mathbb{R}$ 完备（Cauchy 完备）。** 设 $(\\alpha_k)$ 是 $\\mathbb{R}$ 中的 Cauchy 列，$x^{(k)} \\in \\alpha_k$ 是代表元。对每个 $k$，由 $(x^{(k)}_n)_n$ 的 Cauchy 性取 $N_k$，令\n\n$$y_k := x^{(k)}_{N_k}$$\n\n（对角抽取。）断言 $(y_k)$ 是有理 Cauchy 列：给定 $\\varepsilon > 0$，由 $(\\alpha_k)$ 的 Cauchy 性取 $K$，使 $k, j \\ge K$ 时 $|\\alpha_k - \\alpha_j| < \\varepsilon/3$，即\n\n$$\\exists N, \\forall n \\ge N : |x^{(k)}_n - x^{(j)}_n| < \\varepsilon/3$$\n\n再取 $K' \\ge K$ 使 $k \\ge K'$ 时 $1/k < \\varepsilon/3$，并对 $k, j \\ge K'$ 取 $n \\ge \\max(N_k, N_j, N)$：\n\n$$|y_k - y_j| \\le |y_k - x^{(k)}_n| + |x^{(k)}_n - x^{(j)}_n| + |x^{(j)}_n - y_j| < \\tfrac{\\varepsilon}{3} + \\tfrac{\\varepsilon}{3} + \\tfrac{\\varepsilon}{3} = \\varepsilon$$\n\n于是 $\\alpha := [y_k] \\in \\mathbb{R}$。同一组估计给出 $|\\alpha_k - \\alpha| \\le 2\\varepsilon/3$（取 $j$ 充分大），故 $\\alpha_k \\to \\alpha$。**每个 Cauchy 列在 $\\mathbb{R}$ 中收敛。**\n\n**⑥ 由 Cauchy 完备推出确界原理。** 设 $S \\subseteq \\mathbb{R}$ 非空、有上界 $\\beta_0$，取 $\\alpha_0 \\in S$。归纳地造两个数列：已知 $\\alpha_{n-1} \\in S$ 与上界 $\\beta_{n-1}$，取中点 $m_n := (\\alpha_{n-1} + \\beta_{n-1})/2$：\n\n- 若 $m_n$ 是 $S$ 的上界，则置 $\\beta_n := m_n$、$\\alpha_n := \\alpha_{n-1}$；\n- 否则有 $s \\in S$ 使 $s > m_n$，置 $\\alpha_n := s$、$\\beta_n := \\beta_{n-1}$。\n\n于是 $(\\alpha_n)$ 递增、$(\\beta_n)$ 递减，且\n\n$$\\beta_n - \\alpha_n = \\frac{\\beta_0 - \\alpha_0}{2^n} \\xrightarrow{\\ n \\to \\infty\\ } 0$$\n\n两个列都是 Cauchy 列（单调 + 步长趋于 $0$），由 ⑤ 收敛到同一个 $\\alpha \\in \\mathbb{R}$。\n\n**$\\alpha$ 是上界**：若不然，存在 $s \\in S$ 使 $s > \\alpha$。取 $n$ 充分大使 $\\beta_n - \\alpha_n < s - \\alpha$；由 $\\alpha_n \\to \\alpha$ 又有 $\\alpha \\le \\beta_n$ 与 $\\alpha_n \\le \\alpha$，于是 $\\alpha_n + (s - \\alpha) > \\beta_n$，而 $\\alpha_n \\in S$ 且 $s \\in S$ 都是 $\\beta_n$ 下面的元素 —— 与「$\\beta_n$ 是上界」矛盾。\n\n**$\\alpha$ 是最小上界**：任何上界 $\\gamma$ 都满足 $\\gamma \\ge \\alpha_n$（$\\alpha_n \\in S$），取极限得 $\\gamma \\ge \\alpha$。\n\n故 $\\alpha = \\sup S$ 存在，确界原理成立。$\\blacksquare$\n\n> ⭐ 注意 ⑤ 与 ⑥ 的位置：**先有「Cauchy 列收敛」，才有确界原理**。戴德金分割那条路的顺序正好相反（那里完备性是「并」的直接后果），两条路殊途同归。", "note": "" }, { "id": "imp.archimedean", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.real-ordered-field" ], "target": "lem.archimedean", "title": "完备性 $\\implies$ 阿基米德性质 + $\\mathbb{Q}$ 稠密", "proof": "设 $K$ 是完备有序域（把 $\\mathbb{N}$、$\\mathbb{Z}$、$\\mathbb{Q}$ 按 $1$ 生成的子域嵌进去看）。\n\n**(i) 自然数无上界。** 反设 $\\mathbb{N}$ 在 $K$ 中有上界。由**完备性**，$s := \\sup \\mathbb{N}$ 存在。$s - 1 < s$，故 $s - 1$ 不是上界，于是存在 $n \\in \\mathbb{N}$ 使 $n > s - 1$。但那样 $n + 1 > s$，而 $n + 1 \\in \\mathbb{N}$ —— 与 $s$ 是上界矛盾。故\n\n$$\\forall x \\in K, \\exists n \\in \\mathbb{N}: n > x$$\n\n（顺带一句：若 $x > 0$，把 $n$ 换成 $n + 1$ 还能保证 $n \\ge 1$、$1/n < x$。）\n\n**(ii) $\\mathbb{Q}$ 稠密。** 设 $x < y$，则 $y - x > 0$。由 (i)（取 $x$ 换成 $1/(y-x)$ 的用法）可取 $n \\in \\mathbb{N}$，$n \\ge 1$，使\n\n$$n (y - x) > 1, \\qquad \\text{即}\\quad \\frac{1}{n} < y - x$$\n\n再对实数 $nx$ 用一次 (i) 的整数版本：存在 $m \\in \\mathbb{Z}$ 使\n\n$$m \\le nx < m + 1$$\n\n（「整数版本」：先用 (i) 取 $k > nx$，再从 $\\{0, 1, \\ldots, k\\}$ 中取最小的使 $\\ge nx$ 的那个。）令 $q := (m+1)/n \\in \\mathbb{Q}$。则\n\n- $q > x$：由 $nx < m + 1$ 两边除以 $n > 0$；\n- $q < y$：由 $q = \\frac{m+1}{n} \\le \\frac{nx + 1}{n} = x + \\frac{1}{n} < x + (y - x) = y$。\n\n故 $x < q < y$，$\\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密。$\\blacksquare$\n\n> ⭐ 注意 (i) 的证明只用了「$\\mathbb{N}$ 的每个元都有后继」与「上确界存在」这两件事 —— 这就是为什么**完备性蕴含阿基米德性**。", "note": "" }, { "id": "imp.real-unique", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.archimedean", "def.real" ], "target": "thm.real-unique", "title": "$\\mathbb{Q}$ 稠密 $\\implies$ 完备有序域与 $\\mathbb{R}$ 同构", "proof": "设 $K$ 是完备有序域，取 $K' := \\mathbb{R}$（上面构造出来的那个）。分三步造出唯一的同构 $f : K \\to \\mathbb{R}$。\n\n**① $\\mathbb{Q}$ 的部分被唯一确定。** 任何保 $1$ 的域同态都把 $\\mathbb{Z}$ 送到 $\\mathbb{Z}'$：$n \\mapsto n'$（加法与乘法都由 $1$ 递推地定出来），再取分式得 $\\mathbb{Q} \\to \\mathbb{Q}'$，记作 $q \\mapsto q'$。它保序（$q < r \\implies r - q > 0 \\implies (r-q)' > 0 \\implies q' < r'$）。这一步没有选择的余地。\n\n**② 用上确界把 $f$ 推广出去。** 对 $x \\in K$ 定义\n\n$$f(x) := \\sup\\{\\, q' : q \\in \\mathbb{Q},\\ q < x \\,\\} \\in K'$$\n\n这个上确界存在：集合非空（(i) 阿基米德性给出一个 $q < x$）且有上界（取 $r > x$，则所有 $q < x < r$ 满足 $q' < r'$）。于是 $f$ 是**保序**的：\n\n- $x \\le y \\implies f(x) \\le f(y)$：$\\{q : q ⭐ 三步里每一步都在用前面的准备：① 只用到「$1$ 生成 $\\mathbb{Q}$」；② 才真正用**完备性**（两次取上确界）；③ 用的是**$\\mathbb{Q}$ 稠密**。少任何一条，唯一性就不成立。", "note": "" }, { "id": "imp.real-uncountable", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.real-ordered-field" ], "target": "thm.real-uncountable", "title": "完备性（确界原理）$\\implies \\mathbb{R}$ 不可数（闭区间套 + 对角线）", "proof": "反设 $\\mathbb{R} = \\{x_1, x_2, x_3, \\ldots\\}$ 可以排成一个序列。下面造一个不属于这个序列的实数。\n\n**① 二分法造出一串闭区间。** 取 $I_0 := [0, 1]$。已知 $I_{n-1} = [a_{n-1}, b_{n-1}]$ 后，令 $m_n := (a_{n-1} + b_{n-1})/2$，取\n\n$$I_n := \\begin{cases} [a_{n-1}, m_n], & x_n > m_n \\\\ [m_n, b_{n-1}], & x_n \\le m_n \\end{cases}$$\n\n于是 $x_n \\notin I_n$，且 $I_0 \\supseteq I_1 \\supseteq I_2 \\supseteq \\cdots$，长度 $b_n - a_n = 2^{-n} \\to 0$。\n\n**② 完备性给出公共点。** 令 $A := \\{a_n\\}$。$A$ 非空（$a_0 = 0$）且有上界（$1$ 就是上界），故由**确界原理** $a := \\sup A$ 存在。\n\n**$a \\in I_n$ 对每个 $n$ 成立**：一方面 $a \\ge a_n$（上界）；另一方面对 $k \\ge n$ 有 $a_k \\le b_k \\le b_n$，故 $b_n$ 是 $A$ 的上界，于是 $a \\le b_n$。\n\n**③ 矛盾。** 由 ① 知 $x_n \\notin I_n$，由 ② 知 $a \\in I_n$，所以 $a \\ne x_n$ 对**一切** $n$ 成立 —— 但 $a \\in \\mathbb{R} = \\{x_1, x_2, \\ldots\\}$，与序列穷尽了 $\\mathbb{R}$ 矛盾。故 $\\mathbb{R}$ 不可数。$\\blacksquare$\n\n**④ 基数版本。** 把实数写成二进制小数（约定不用最后全 1 的写法以避开歧义）得到 $\\mathbb{R} \\hookrightarrow \\mathcal{P}(\\mathbb{N})$；反过来 $\\mathcal{P}(\\mathbb{N}) \\to \\mathbb{R}$ 用三进制展开即可，两边都有单射，由 Schröder–Bernstein 得 $|\\mathbb{R}| = |\\mathcal{P}(\\mathbb{N})| = 2^{\\aleph_0}$。再由 **Cantor 定理** $|\\mathcal{P}(\\mathbb{N})| > |\\mathbb{N}| = \\aleph_0$，即\n\n$$|\\mathbb{R}| = 2^{\\aleph_0} > \\aleph_0$$", "note": "" }, { "id": "dep.function-field", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.field", "note": "两个运算就是两个**函数** $F \\times F \\to F$（定义域那一步先要用「笛卡尔积」把 $F \\times F$ 造出来）。" }, { "id": "dep.field-ordered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.field", "usedBy": "def.ordered-field", "note": "有序域 = **域** + 一条与运算相容的全序：先有域，再加上序。" }, { "id": "dep.poset-ordered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.poset", "usedBy": "def.ordered-field", "note": "定义里的 $\\le$ 是**全序** —— 偏序再加上可比性。" }, { "id": "dep.field-vs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.field", "usedBy": "def.vs", "note": "「设 $K$ 是域，$V$ 是 $K$ 上的向量空间」—— 向量空间的**系数**取自一个域。（取 $K = \\mathbb{R}$ 就是最常用的实向量空间。）" }, { "id": "dep.poset-order-iso", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.poset", "usedBy": "def.order-iso", "note": "序同构是**偏序集**之间的映射：先有偏序，才谈得上保序。" }, { "id": "dep.wellorder-ordinal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.wellorder", "usedBy": "def.ordinal", "note": "序数的第二条要求是「$\\in$ 在 $\\alpha$ 上是**良序**」—— 先有良序集这个概念，才能说传递集上的 $\\in$ 是不是良序。" }, { "id": "def-link.wellorder-recursion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.wellorder", "usedBy": "thm.recursion-wellorder", "note": "递归定理的舞台是**良序集**：每一步之前的部分必须是有头有尾的，递归才停得下来。" }, { "id": "def-link.ordinal-hartogs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ordinal", "usedBy": "thm.hartogs", "note": "Hartogs 定理陈述里的「不能单射进 $X$ 的序数」直接用到序数。" }, { "id": "def-link.ordinal-cardinal-comparable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ordinal", "usedBy": "thm.cardinal-comparable", "note": "基数可比定理的证明路线是「先良序化 $\\to$ 换成序数 $\\to$ 序数一定可比」，落点正是序数。" }, { "id": "def-link.ordinal-cardinal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ordinal", "usedBy": "def.cardinal", "note": "严格说来「等势类」是真类，通行做法是取每个等势类里最小的**序数**作代表 —— 那个序数才叫基数。（本图的 $|A|$ 只用到单射/双射，所以这条依赖是概念上的，不是定义上的。）" }, { "id": "def-link.recursion-wellordering", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.recursion-wellorder", "usedBy": "thm.wellordering", "note": "证明良序定理时用超限递归沿良序一步步往下取元素。" }, { "id": "imp.recursion-wellorder", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.wellorder" ], "target": "thm.recursion-wellorder", "title": "良序性 $\\implies$ 递归定理", "proof": "设 $(W, \\preceq )$ 是良序集，$G$ 任给。记 $W_{< w} = \\{ v \\in W : v \\prec w \\}$。\n\n**① 初始段上的解至多一个。** 设 $w \\in W$，$f, g$ 都是 $W_{< w}$ 上满足递归式的函数。反设 $f \\ne g$，取最小的 $v \\prec w$ 使 $f(v) \\ne g(v)$（这一步用的是**良序性**：$\\{ u \\prec w : f(u) \\ne g(u) \\}$ 非空故有最小元）。于是在 $W_{< v}$ 上 $f$ 与 $g$ 相同，从而\n\n$$f(v) = G\\big( f \\upharpoonright W_{< v} \\big) = G\\big( g \\upharpoonright W_{< v} \\big) = g(v)$$\n\n矛盾。故 $W_{< w}$ 上至多一个解，且这个解唯一确定。\n\n**② 构造候选关系的集合。** 令\n\n$$R = \\{ (w, y) : \\text{存在函数} f \\text{ 定义在} W_{< w} \\text{ 上、满足递归式，且} y = G(f) \\}$$\n\n它是集合：候选的 $f$ 都是 $W_{< w} \\times V$ 的子集，先由幂集公理拿到 $\\mathcal{P}(W \\times V)$，再用分离公理模式从里面筛出满足条件的那些（$V$ 取一个足够大的集合即可，例如 $G$ 的值域之并的幂集的幂集）。由 ①，对每个 $w$ 至多一个 $y$，所以 $R$ **是单值的**，即 $R$ 是一个函数。\n\n**③ $R$ 的定义域是整个 $W$。** 反设不然，取最小的 $w \\notin \\operatorname{dom}\\, R$。则 $W_{< w} \\subseteq \\operatorname{dom}\\, R$，于是 $f := R \\upharpoonright W_{< w}$ 是 $W_{< w}$ 上满足递归式的函数（若 $v \\prec w$，由 $v \\in \\operatorname{dom}\\, R$ 及单值性得 $f(v) = G(f \\upharpoonright W_{< v})$）。于是 $(w, G(f)) \\in R$，与 $w \\notin \\operatorname{dom}\\, R$ 矛盾。\n\n故 $R$ 就是所求的函数 $F$，由 ① 唯一。\n\n**④ 超限归纳。** 设 $W \\setminus S$ 非空，取它的最小元 $w$。则 $W_{< w} \\subseteq S$，由假设 $w \\in S$，矛盾。故 $S = W$。∎", "note": "① 是唯一性、②③ 是存在性。整个证明里**只用**了良序性、幂集公理和分离公理模式 —— 没有用到选择公理。这是它能在 ZF 里安全使用的原因。" }, { "id": "imp.ordinal-trichotomy", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.ordinal", "ax.found" ], "target": "thm.ordinal-trichotomy", "title": "序数的定义 $\\implies$ 三歧性", "proof": "设 $\\alpha, \\beta$ 是序数。\n\n**① 序数的元素是序数。** 若 $\\gamma \\in \\alpha$：$\\gamma \\subseteq \\alpha$（$\\alpha$ 传递），故 $\\gamma$ 传递（$\\gamma$ 的元素属于 $\\alpha$，而 $\\alpha$ 传递）；又 $\\in$ 在 $\\gamma$ 上继承 $\\alpha$ 上的良序性，故 $\\gamma$ 是序数。\n\n**② 若 $\\beta \\subset \\alpha$ 则 $\\beta \\in \\alpha$。** 取 $b$ 为 $\\alpha \\setminus \\beta$ 的 $\\in$-最小元。断言 $\\beta = b$。\n　$\\subseteq$：设 $x \\in \\beta$。由 $\\beta \\subseteq \\alpha$ 有 $x \\in \\alpha$，故 $x, b \\in \\alpha$；由 $\\in$ 在 $\\alpha$ 上的**三歧性**（良序蕴含全序），$x \\in b$、$x = b$、$b \\in x$ 恰有一个成立。后两种都会给出 $b \\in \\beta$（$x = b$ 直接，$b \\in x$ 用 $\\beta$ 传递），与 $b$ 的取法矛盾。故 $x \\in b$。\n　$\\supseteq$：设 $x \\in b$。由 $\\alpha$ 传递得 $x \\in \\alpha$。若 $x \\in \\alpha \\setminus \\beta$，则 $x \\in b$ 与 $b$ 的最小性矛盾（$x \\in b$ 即 $x$ 比 $b$ 小）。故 $x \\in \\beta$。\n　于是 $\\beta = b$，而 $b \\in \\alpha$，即 $\\beta \\in \\alpha$。\n\n**③ 三歧性。** 若 $\\alpha \\ne \\beta$，则 $\\alpha \\subseteq \\beta$ 与 $\\beta \\subseteq \\alpha$ 不能同时成立。不妨设 $\\beta \\nsubseteq \\alpha$，则 $\\beta \\setminus \\alpha \\ne \\emptyset$，故 $\\beta \\subset \\alpha$ 不成立，由 ② 得 $\\alpha \\in \\beta$。对调 $\\alpha, \\beta$ 同理。\n\n**④ 三者不相容。** 若 $\\alpha \\in \\beta$ 且 $\\beta \\in \\alpha$，则由传递性 $\\alpha \\in \\alpha$，与 $\\in$ 在 $\\alpha$ 上是良序（无 $\\in$-循环）矛盾。又 $\\alpha \\in \\beta$ 与 $\\alpha = \\beta$ 显然不相容。\n\n**⑤ $\\in$ 是良序。** 可比性已得；非空序数集合 $S$ 取 $\\alpha \\in S$，若 $\\alpha$ 不是 $\\in$-最小元，则 $\\alpha \\cap S$ 是集合，由正则公理有 $\\in$-最小元 $m$，而 $m$ 也是 $S$ 的 $\\in$-最小元。∎", "note": "② 是全部关键：「序数之间 $\\subset$ 就是 $\\in$」。它让序数的比较退化成集合的属于关系。" }, { "id": "imp.wellorder-ordinal", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.recursion-wellorder", "ax.repl", "ax.found", "thm.ordinal-trichotomy" ], "target": "thm.wellorder-ordinal", "title": "递归定理 + 替换公理 $\\implies$ 每个良序集有唯一序型", "proof": "设 $(W, \\preceq )$ 是良序集。\n\n**① 造出函数。** 由**递归定理**（取 $G(f) = \\operatorname{ran}\\, f$，即「前面全部取值的值域」）得到唯一的 $F$ 定义在 $W$ 上，使\n\n$$F(w) = \\{ F(v) : v \\prec w \\}, \\qquad \\forall w \\in W$$\n\n每个 $F(w)$ 都是集合 —— 由**替换公理模式**，$\\{ F(v) : v \\prec w \\}$ 是某个集合的像。\n\n**② $F$ 保序。** 若 $v \\prec w$，则 $F(v) \\in \\{ F(u) : u \\prec w \\} = F(w)$。反过来若 $F(v) \\in F(w)$，则 $F(v) = F(u)$ 对某个 $u \\prec w$；再由 ③ 的单射性得 $v = u \\prec w$。\n\n**③ $F$ 是单射。** 反设存在 $v \\ne w$ 使 $F(v) = F(w)$；由于 $\\preceq$ 是全序，不妨 $v \\prec w$。由 ② 得 $F(v) \\in F(w) = F(v)$，即 $F(v) \\in F(v)$ —— 与「任何集合都不属于自身」（正则公理的推论）矛盾。（这一步是真正用到**正则公理**的地方。）\n\n**④ $\\alpha := \\operatorname{ran}\\, F$ 是序数。** 由替换公理模式，$\\alpha = \\{ F(w) : w \\in W \\}$ 是集合。**传递性**：若 $x \\in F(w)$，则 $x = F(v)$ 对某个 $v \\prec w$，故 $x \\in \\alpha$。**$\\in$ 良序**：$\\alpha$ 上的 $\\in$ 经 ②③ 就是 $(W, \\prec)$ 的序（$x \\in y \\iff F^{-1}(x) \\prec F^{-1}(y)$），良序性原样搬过来。\n\n**⑤ 于是 $F$ 是 $(W, \\preceq ) \\to (\\alpha, \\in)$ 的序同构**，故 $W$ 的序型 $\\alpha$ 存在。\n\n**⑥ 唯一性。** 设 $\\alpha, \\beta$ 都是 $W$ 的序型，则 $(\\alpha, \\in) \\cong (\\beta, \\in)$。由**三歧性**，$\\alpha \\in \\beta$、$\\alpha = \\beta$、$\\beta \\in \\alpha$ 恰有一个成立。若 $\\alpha \\in \\beta$：由 $\\beta$ 传递得 $\\alpha \\subseteq \\beta$，且 $\\alpha = \\{ x \\in \\beta : x \\in \\alpha \\}$ 是 $\\beta$ 的**真**初始段。把两个序同构接起来，得到 $(\\alpha, \\in)$ 与自己的真初始段序同构 —— 而**良序集不能与自己的真初始段序同构**（见下），矛盾。故 $\\alpha \\notin \\beta$；交换 $\\alpha, \\beta$ 同理得 $\\beta \\notin \\alpha$。于是只能 $\\alpha = \\beta$。\n\n**引理**（上一步用到）：良序集 $(L, \\prec)$ 不可能与它的真初始段 $L_{< a} = \\{ x \\in L : x \\prec a \\}$ 序同构。\n证：设 $h : L \\to L_{< a}$ 是序同构。对 $x \\prec a$ 用**超限归纳**：若 $\\forall y \\prec x,\\ h(y) = y$，则 $h(x)$ 是 $L_{< a}$ 中大于一切 $h(y) = y\\ (y \\prec x)$ 的最小元，也就是「大于一切 $y \\prec x$ 的最小元」，即 $h(x) = x$（序同构把「小于 $x$ 的全部元素」映成「小于 $h(x)$ 的全部元素」）。故 $h$ 在 $L_{< a}$ 上恒等；于是 $h(a)$ 是 $L_{< a}$ 中大于一切 $y \\prec a$ 的最小元，即 $h(a) = a$ —— 但 $h(a) \\in L_{< a}$ 意为 $h(a) \\prec a$，矛盾。∎", "note": "整个证明只用 **ZF**（递归定理 + 替换公理 + 三歧性），不要选择公理。这正是 Hartogs 定理能在 ZF 里成立的原因之一。" }, { "id": "imp.burali-forti", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.ordinal", "thm.ordinal-trichotomy" ], "target": "thm.burali-forti", "title": "序数的定义 + 三歧性 $\\implies$ 序数全体是真类", "proof": "反设 $\\mathrm{On}$ 是一个集合。\n\n**① $\\mathrm{On}$ 传递。** 若 $x \\in \\mathrm{On}$，则 $x$ 是序数，而序数的元素还是序数（见三歧性的证明 ①），故 $x \\subseteq \\mathrm{On}$。\n\n**② $\\in$ 在 $\\mathrm{On}$ 上良序。** 可比性来自三歧性；$\\mathrm{On}$ 的非空子集 $S$ 取 $\\alpha \\in S$，若 $\\alpha$ 不是 $\\in$-最小元，则由正则公理 $\\alpha \\cap S$ 有 $\\in$-最小元，它也是 $S$ 的 $\\in$-最小元。\n\n**③ 于是 $\\mathrm{On}$ 是序数。** ①② 正是序数定义的两条。\n\n**④ 矛盾。** $\\mathrm{On}$ 是序数故 $\\mathrm{On} \\in \\mathrm{On}$，与 $\\in$ 在 $\\mathrm{On}$ 上良序（无 $\\in$-循环）矛盾。∎", "note": "「序数全体」是**真类**而不是集合 —— 所以分离公理模式不能用在它身上。这正是 ZFC 处理 Russell 悖论、Burali–Forti 悖论的统一办法。" }, { "id": "dep.lang-formula", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.first-order-language", "usedBy": "def.formula", "note": "公式是**某个语言**的公式：先有符号表，才有那三条语法规则。" }, { "id": "dep.formula-substitution", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.formula", "usedBy": "def.substitution", "note": "代入是作用在**公式**上的操作（只换自由出现）。" }, { "id": "dep.lang-satisfaction", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.first-order-language", "usedBy": "def.satisfaction", "note": "满足关系必须相对**一门语言**（决定有哪些符号）和一个结构来说。" }, { "id": "dep.formula-satisfaction", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.formula", "usedBy": "def.satisfaction", "note": "$\\models$ 按**公式的复杂度**递归定义 —— 没有「公式由语法规则生成」这件事，这个递归就没有落脚点。" }, { "id": "def-link.formula-sep", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.formula", "usedBy": "ax.sep", "note": "分离公理模式写的是「对**每个公式** $\\varphi (x, p)$（其中 $B$ 不出现），下面是一条公理」—— 它是公理**模式**而不是单条公理，正在于它要对每个公式都发一条。" }, { "id": "def-link.formula-repl", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.formula", "usedBy": "ax.repl", "note": "替换公理模式同样是「对每个公式一条公理」。" }, { "id": "def-link.substitution-repl", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.substitution", "usedBy": "ax.repl", "note": "替换公理模式把 $A$ 中每个 $x$ 在公式 $\\varphi (x, y, p)$ 下的像收集起来 —— 这一步做的就是**代入**。" }, { "id": "imp.equiv-criterion", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.ff-faithful", "def.essentially-surjective" ], "target": "def.cat-equivalence", "title": "全忠实 $+$ 本质满 $\\implies$ 范畴等价", "proof": "**（$\\Longleftarrow$）** 设 $F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}'$ 全忠实且本质满，要造出 $G$ 与自然同构。\n\n本质满给出：对每个 $X' \\in \\mathcal{C}'$ 都能挑一个 $A \\in \\mathcal{C}$ 与同构 $\\eta_{X'} : F(A) \\to X'$。用选择公理把这些选择一次做完，定义 $G(X') = A$。\n\n再定义 $G$ 在态射上的作用。给定 $f' : X' \\to Y'$，先把它拉回到 $G(X')$ 与 $G(Y')$ 之间：\n\n$$g = \\eta_{Y'}^{-1} \\circ f' \\circ \\eta_{X'} : F(G(X')) \\to F(G(Y'))$$\n\n由 $F$ 全忠实，$\\operatorname{Hom}(G(X'), G(Y')) \\to \\operatorname{Hom}(F G(X'), F G(Y'))$ 是双射，所以存在**唯一**的 $G(f')$ 使 $F(G(f')) = g$。这个唯一性是关键：它让 $G$ 自动保持复合与单位（两边都取 $F$ 之后相等，再用忠实性拉回来）。于是 $G$ 是函子，且 $\\eta : F \\circ G \\implies 1_{\\mathcal{C}'}$ 是自然同构。\n\n另一半 $G \\circ F \\cong 1_{\\mathcal{C}}$ 同法：令 $\\theta = F^{-1}(\\eta_{F(\\cdot)})$，交换性由 $F$ 保持复合、而 $F^{-1}$ 也跟着保持交换图逐块验证。∎\n\n**（$\\Longrightarrow$）** 设 $F$ 是等价，取 $G$ 与自然同构 $\\beta : G \\circ F \\implies 1_{\\mathcal{C}}$。\n\n**忠实**：设 $f, g : A \\to B$ 且 $F(f) = F(g)$。$\\beta$ 的自然是说下面两个方块交换：\n\n$$\\beta_B \\circ G F(f) = f \\circ \\beta_A, \\qquad \\beta_B \\circ G F(g) = g \\circ \\beta_A$$\n\n左边两式相等（因为 $F(f) = F(g)$），于是 $f \\circ \\beta_A = g \\circ \\beta_A$；$\\beta_A$ 可逆，两边右乘 $\\beta_A^{-1}$ 得 $f = g$。\n\n**满**：设 $h : F(A) \\to F(B)$。先把 $h$ 沿 $G$ 送过去，再用 $\\beta$ 接回来，得到 $\\mathcal{C}$ 中的态射\n\n$$f = \\beta_B \\circ G(h) \\circ \\beta_A^{-1} : A \\to B$$\n\n由 $\\beta$ 的交换性，$G F(f) = G(h)$；再用 $F$ 保持复合，把两边送回 $F(A) \\to F(B)$：$F(f) = h$。\n\n**本质满**见「定义」处的注解：等价的两个范畴之间对象差一个同构，这正是 $F$ 本质满。∎", "note": "这条把「范畴等价」这件看起来要靠造函子的事，换成了两个**可以逐点检查**的条件：Hom 集上双射 + 对象层差一个同构。实际用的时候几乎都走这一条。" }, { "id": "imp.yoneda-criterion", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.yoneda" ], "target": "thm.represented-criterion", "title": "米田引理 $\\implies$ 表示的两个定义等价", "proof": "**（$\\Longleftarrow$）** 设 $h^{X} \\cong F$，取一个自然同构 $\\alpha : h^{X} \\implies F$。由米田引理，$\\alpha$ 由元素 $s = \\alpha_{X}(1_{X}) \\in F(X)$ 决定；反过来，给定 $s$ 也能定义出 $\\alpha$。\n\n要证 $(X, s)$ 万有。固定 $Y$，则由 $\\alpha$ 是自然同构，$\\alpha_{Y} : \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y) \\to F(Y)$ 是双射。对任意 $t \\in F(Y)$，记 $f = \\alpha_{Y}^{-1}(t)$，即 $\\alpha_{Y}(f) = t$。\n\n再用 $\\alpha$ 的自然性（取 $f : X \\to Y$）：\n\n$$\\alpha_{Y}(f) = F(f)\\bigl(\\alpha_{X}(1_{X})\\bigr) = F(f)(s)$$\n\n于是 $F(f)(s) = t$，且 $f$ 由 $\\alpha_{Y}^{-1}$ 唯一确定。这就是万有元素的条件。∎\n\n**（$\\Longrightarrow$）** 反过来设 $(X, s)$ 万有。对每个 $Y$ 定义\n\n$$\\alpha_{Y} : \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y) \\to F(Y), \\qquad f \\mapsto F(f)(s)$$\n\n万有性说的正是「对每个 $t \\in F(Y)$ 存在唯一 $f$ 使 $F(f)(s) = t$」，所以每个 $\\alpha_{Y}$ 都是双射。剩下要检查的只有自然性：对 $g : Y \\to Z$，两个复合 $\\alpha_{Z} \\circ \\operatorname{Hom}(X, g)$ 与 $F(g) \\circ \\alpha_{Y}$ 都把那片 $f : X \\to Y$ 送到 $F(g \\circ f)(s)$，所以相等。于是 $\\alpha : h^{X} \\implies F$ 是自然同构，$h^{X} \\cong F$。∎", "note": "这条的意义在于：**要证明一个函子可表示，只要找到那个万有元素**，同构自动就有了。" }, { "id": "imp.yoneda-embedding", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.yoneda" ], "target": "prop.yoneda-embedding", "title": "米田引理 $\\implies$ 米田嵌入全忠实、保极限", "proof": "**全忠实。** 取预层的对偶形式（把 $\\mathcal{C}$ 换成 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$）：对 $T = h_{Y}$ 与 $X \\in \\mathcal{C}$ 有\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}(h_{X}, h_{Y}) \\cong h_{Y}(X) = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y)$$\n\n这恰是 $\\delta$ 在 Hom 集上诱导的映射，所以它逐对是双射，$\\delta$ 全忠实。∎\n\n**保持所有极限。** 设 $D : I \\to \\mathcal{C}$ 有极限。$\\widehat{\\mathcal{C}}$ 是函子范畴，其中的极限**逐点**计算，于是对每个 $Z \\in \\mathcal{C}$，\n\n$$\\Bigl(\\varprojlim_{i} h_{D(i)}\\Bigr)(Z) = \\varprojlim_{i} \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(Z, D(i)) \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\Bigl(Z, \\varprojlim_{i} D(i)\\Bigr) = h_{\\lim D}(Z)$$\n\n中间那一步是「协变 $\\operatorname{Hom}(Z, -)$ 保持极限」。逐点同构即同构，所以 $\\delta(\\lim D) \\cong \\lim \\delta \\circ D$。∎", "note": "两个结论同出一源：**$h_{X}$ 到别处的箭头，就是 $X$ 处的元素**。" }, { "id": "imp.density", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.yoneda", "def.slice-category" ], "target": "thm.density", "title": "米田引理 $\\implies$ 稠密性定理", "proof": "对每个 $(X, s) \\in \\mathcal{C}_{T}$，由 $s \\in T(X)$ 与米田引理的对偶形式，有唯一对应的自然变换\n\n$$\\alpha^{s} : h_{X} \\implies T, \\qquad \\alpha^{s}_{Y} : \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(Y, X) \\to T(Y),\\quad \\psi \\mapsto T(\\psi)(s)$$\n\n切片范畴里的态射恰好是让这些 $\\alpha^{s}$ 彼此相容的那些 $f$，所以 $\\{\\alpha^{s}\\}_{(X,s)}$ 构成一个余锥，诱导出\n\n$$\\Theta : \\varinjlim_{(X, s) \\in \\mathcal{C}_{T}} h_{X} \\longrightarrow T$$\n\n要证 $\\Theta$ 是同构。逐点检验：对 $Y \\in \\mathcal{C}$，\n\n$$\\Bigl(\\varinjlim_{(X,s)} h_{X}\\Bigr)(Y) = \\varinjlim_{(X,s)} \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(Y, X) \\longrightarrow T(Y)$$\n\n而右边这个集合正是「以 $(X, s)$ 为指标、把每个 $\\psi : Y \\to X$ 送到 $T(\\psi)(s) \\in T(Y)$」的余极限。取 $(X, s) = (Y, t)$ 与 $\\psi = 1_{Y}$，这一项的像就是 $t$ 本身；反过来，自然性 $T(\\psi)(s) \\in T(Y)$ 说明每一项都已经落在 $T(Y)$ 里。于是对每个 $t \\in T(Y)$ 都有来源，且不同的 $t$ 给出不同的项 —— 逐点双射。∎", "note": "把这条和米田引理并排看：米田说「$h_{X}$ 到 $T$ 的箭头 = $T$ 在 $X$ 处的元素」，稠密性把它反过来用 —— 既然元素就是箭头，那么全部元素（即 $\\mathcal{C}_{T}$）就决定了 $T$ 自己。" }, { "id": "imp.presheaf-mono", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "lem.yoneda" ], "target": "lem.presheaf-mono-pointwise", "title": "米田引理 $\\implies$ 单态射逐点检验", "proof": "只需做（$\\Longrightarrow$）方向。设 $\\varphi : T \\implies T'$ 是单态射，固定 $X$，设 $a, b \\in T(X)$ 且 $\\varphi_{X}(a) = \\varphi_{X}(b)$。\n\n由米田引理的对偶形式，$a, b$ 各自对应一个自然变换 $f, g : h_{X} \\implies T$，即在每个 $Y$ 处\n\n$$f_{Y}, g_{Y} : \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(Y, X) \\to T(Y), \\qquad \\psi \\mapsto T(\\psi)(a) \\ \\text{或}\\ T(\\psi)(b)$$\n\n对任意 $\\psi : Y \\to X$，用 $\\varphi$ 的自然性：\n\n$$(\\varphi \\circ f)_{Y}(\\psi) = \\varphi_{Y}\\bigl(T(\\psi)(a)\\bigr) = T'(\\psi)\\bigl(\\varphi_{X}(a)\\bigr) = T'(\\psi)\\bigl(\\varphi_{X}(b)\\bigr) = (\\varphi \\circ g)_{Y}(\\psi)$$\n\n所以 $\\varphi \\circ f = \\varphi \\circ g$。又 $\\varphi$ 是单态射，左可消，得 $f = g$。最后取 $Y = X$ 与 $\\psi = 1_{X}$，就是 $a = b$。∎\n\n满态射的情形对偶（把范畴换成 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$）。∎", "note": "这里能看到米田引理的典型用法：**要把「元素层」的问题搬到「箭头层」，就先让元素变成 $h_{X}$ 到 $T$ 的箭头**。" }, { "id": "imp.adjoint-criterion", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.adjoint", "def.representable" ], "target": "thm.right-adjoint-criterion", "title": "伴随 $\\implies$ 右伴随存在的判据", "proof": "**（$\\Longrightarrow$）** 设 $F \\dashv G$。则对每个 $Y \\in \\mathcal{D}$，\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(F(-), Y) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, G(Y))$$\n\n右边是可表示函子，所以左边可表示。∎\n\n**（$\\Longleftarrow$）** 设对每个 $Y$ 都能挑到一个 $G(Y) \\in \\mathcal{C}$ 与自然同构\n\n$$\\alpha_{Y} : \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(F(-), Y) \\longrightarrow \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, G(Y))$$\n\n只在对象层拼出 $G$ 还不够，还要在态射层给出 $G(g)$。给定 $g : Y \\to Z$，考虑复合\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, G(Y)) \\xrightarrow{\\ \\alpha_{Y}^{-1}\\ } \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(F(-), Y) \\xrightarrow{\\ g \\circ -\\ } \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(F(-), Z) \\xrightarrow{\\ \\alpha_{Z}\\ } \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, G(Z))$$\n\n这是一条从可表示函子 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, G(Y))$ 到 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, G(Z))$ 的自然变换。由米田引理，它由唯一的态射\n\n$$G(g) : G(Y) \\to G(Z)$$\n\n给出。于是 $G$ 在态射层也定义好了。\n\n**$G$ 是函子。** 把 $G$ 的定义在 $g = 1_{Y}$ 处取出来：由于 $\\alpha_{Y}^{-1}(1_{Y})$ 就是恒等截面，对应的态射是 $G(1_{Y}) = 1_{G(Y)}$。再取 $g \\circ h$，三段拼接与先拼后作用给出同一个自然变换，用米田引理的双射唯一性得 $G(g \\circ h) = G(g) \\circ G(h)$。\n\n**$\\alpha$ 是自然的。** $G$ 的定义本身就让下面的方块交换（左边取 $g \\circ -$，右边取 $- \\circ G(g)$）：\n\n$$\\begin{array}{ccc} \\operatorname{Hom}(F(-), Y) & \\xrightarrow{\\ \\alpha_{Y}\\ } & \\operatorname{Hom}(-, G(Y)) \\\\ \\downarrow\\scriptstyle{g \\circ -} & & \\downarrow\\scriptstyle{- \\circ G(g)} \\\\ \\operatorname{Hom}(F(-), Z) & \\xrightarrow{\\ \\alpha_{Z}\\ } & \\operatorname{Hom}(-, G(Z)) \\end{array}$$\n\n于是每个 $\\alpha_{Y}$ 都是自然同构，$F \\dashv G$。∎", "note": "这条把「造右伴随」化归成「对每个 $Y$ 找一个表示对象」。米田引理在这里做了关键一步：**态射层的 $G(g)$ 是从自然变换里读出来的**，不用自己拼。" }, { "id": "imp.right-adjoint-limits", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.adjoint", "def.limit" ], "target": "thm.right-adjoint-preserves-limits", "title": "伴随 $\\implies$ 右伴随保极限", "proof": "设 $F \\dashv G$，$D : I \\to \\mathcal{D}$ 有极限。对任意 $X \\in \\mathcal{C}$，把伴随的同构一路用下去：\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X,\\ G(\\lim D)\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F(X),\\ \\lim D\\bigr)$$\n\n再用 $\\lim D$ 的泛性质（锥与射入极限的态射一一对应）：\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F(X),\\ \\lim D\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}^{I}}\\bigl(\\Delta F(X),\\ D\\bigr) \\;\\cong\\; \\varprojlim_{i} \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F(X),\\ D(i)\\bigr)$$\n\n把最后一个同构的每一项再用一次伴随：\n\n$$\\varprojlim_{i} \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(F(X), D(i)) \\;\\cong\\; \\varprojlim_{i} \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X,\\ G D(i)\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X,\\ \\lim (G \\circ D)\\bigr)$$\n\n于是 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, G(\\lim D))$ 与 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(-, \\lim (G \\circ D))$ 是同一个函子的两个表示；由米田引理（表示对象在同构意义下唯一），\n\n$$G(\\lim D) \\;\\cong\\; \\lim (G \\circ D)$$\n\n∎。对偶地左伴随保余极限。", "note": "整个证明只用了两样东西：**伴随的同构**与**极限的泛性质**。这就是为什么这条定理几乎不需要任何额外假设。" }, { "id": "imp.saft", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.limit", "def.comma-category" ], "target": "thm.saft", "title": "保极限 $\\implies$ 有左伴随", "proof": "设 $\\mathcal{D}$ 小且完备，$G : \\mathcal{D} \\to \\mathcal{C}$ 保极限。要造 $F \\dashv G$。\n\n**构造。** 固定 $X \\in \\mathcal{C}$，考虑逗号范畴 $X \\downarrow G$（对象是 $f : X \\to G(Y)$）。它由 $\\mathcal{D}$ 的一个小图指标化，而 $\\mathcal{D}$ 完备，所以下面这个极限存在：\n\n$$F(X) := \\varprojlim_{(Y, f) \\in (X \\downarrow G)} Y$$\n\n**单位。** 投影给出 $\\pi_{(Y,f)} : F(X) \\to Y$。特别地取 $(Y,f) = (G(Y), \\cdot)$ 这一类里的项 —— 更直接地，把 $G$ 作用上去并用 $G$ 保极限：\n\n$$G(F(X)) = G\\Bigl(\\varprojlim_{(Y,f)} Y\\Bigr) \\cong \\varprojlim_{(Y,f)} G(Y)$$\n\n而 $X \\to G(Y)$ 这一族随 $(Y,f)$ 变动是相容的（这正是逗号范畴态射的定义），于是它们拼成一个锥，泛性给出\n\n$$\\eta_{X} : X \\longrightarrow G(F(X))$$\n\n**伴随同构。** 对任意 $Y_{0} \\in \\mathcal{D}$，定义\n\n$$\\varphi : \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F(X), Y_{0}\\bigr) \\longrightarrow \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X,\\ G(Y_{0})\\bigr), \\qquad \\varphi \\mapsto G(\\varphi) \\circ \\eta_{X}$$\n\n**满（造逆）。** 给定 $f : X \\to G(Y_{0})$，则 $(Y_{0}, f)$ 是 $X \\downarrow G$ 的一个对象，于是有投影 $\\pi_{(Y_{0}, f)} : F(X) \\to Y_{0}$。由 $\\eta_{X}$ 的构造，$G(\\pi_{(Y_{0},f)}) \\circ \\eta_{X} = f$，所以 $\\varphi(\\pi_{(Y_{0},f)}) = f$。\n\n**单。** 设 $\\varphi(u) = \\varphi(v)$，其中 $u, v : F(X) \\to Y_{0}$。要证 $u = v$。\n\n由 $\\mathcal{D}$ 有小极限，取 $(Y_{0}, f)$ 处的投影 $\\pi = \\pi_{(Y_{0}, f)}$。由于 $F(X)$ 是那个极限，$u = v$ 当且仅当 $u \\circ \\pi = v \\circ \\pi$。而 $\\pi$ 是 $f$ 处的那一项，$u \\circ \\pi$ 与 $v \\circ \\pi$ 都是 $F(X) \\to Y_{0}$，且\n\n$$G(u \\circ \\pi) \\circ \\eta_{X} = G(u) \\circ G(\\pi) \\circ \\eta_{X} = G(u) \\circ f = G(u) \\circ \\varphi(v) \\circ \\eta_{X}$$\n\n用 $\\varphi$ 沿 $\\eta$ 的互逆性（并用 $G$ 保极限把极限拉回去）得到 $u \\circ \\pi = v \\circ \\pi$，于是 $u = v$。\n\n**自然性**由两边各自对 $Y_{0}$ 的自然性逐项核对，略。这样 $\\varphi$ 是自然同构，$F \\dashv G$。∎\n\n**（$\\Longrightarrow$）** 反方向就是「右伴随保极限」那条定理。∎", "note": "这条定理是前半张图的分水岭：**从「保极限」这个可检验的条件，直接造出一个左伴随**。代价是要求 $\\mathcal{D}$ 小且完备（否则那个极限不一定存在）。" }, { "id": "imp.adjoint-ff", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.adjunction-unit", "def.ff-faithful" ], "target": "prop.adjoint-full-faithful", "title": "单位同构 $\\implies$ 左伴随全忠实", "proof": "设 $F \\dashv G$。对 $X, Y \\in \\mathcal{C}$，串起伴随的同构：\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y) \\xrightarrow{\\ F\\ } \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}\\bigl(F(X), F(Y)\\bigr) \\xrightarrow{\\ \\Phi_{X, F(Y)}\\ } \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X, G F(Y)\\bigr)$$\n\n第二个箭头是双射，且复合把 $f$ 送到 $G F(f) \\circ \\eta_{X}$（这是 $\\Phi$ 的显式公式）。所以第一个箭头（即 $F$ 在 Hom 集上的作用）是双射当且仅当\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y) \\xrightarrow{\\ \\eta_{X} \\ \\circ\\, -\\ } \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}\\bigl(X, G F(Y)\\bigr)$$\n\n是双射，当且仅当 $\\eta_{X}$ 是同构（取 $Y$ 使 $GF(Y)$ 覆盖所需的目标即可）。\n\n$X$ 任意，所以 $F$ 全忠实 $\\iff$ 每个 $\\eta_{X}$ 是同构，即 $\\eta$ 是自然同构。∎\n\n对偶地（把整个论证在 $\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathcal{D}^{\\mathrm{op}}$ 上重做，或直接交换 $F, G$ 与 $\\eta, \\varepsilon$ 的角色）得到 $G$ 全忠实 $\\iff \\varepsilon$ 是同构。∎", "note": "把「函子在 Hom 集上双双是双射」这件事，换成了「一个自然变换处处可逆」—— 后者的检查量小得多。" }, { "id": "imp.kan-unifies", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.kan-extension", "def.limit", "def.adjoint" ], "target": "ex.kan-extension", "title": "Kan 延拓 $\\implies$ 余极限与右伴随都是它的特例", "proof": "**(1)** 取 $p : I \\to \\mathbf{1}$ 为到终范畴的唯一函子。则预复合 $p^{*} : \\mathcal{C}^{\\mathbf{1}} \\to \\mathcal{C}^{I}$ 就是常图函子 $\\Delta$。于是\n\n$$\\operatorname{Hom}(p_{!}D,\\ G) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}(D,\\ G \\circ p) \\;=\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}^{I}}\\bigl(D,\\ \\Delta G(\\ast)\\bigr)$$\n\n右边正是「$D$ 到常图 $G(\\ast)$ 的余锥」的集合。由余极限的泛性质（锥函子被 $\\operatorname{colim} D$ 表示），能表示这个函子的只有一个对象：\n\n$$(p_{!}D)(\\ast) \\;=\\; \\varinjlim_{i \\in I} D(i)$$\n\n所以 $p_{!}D$ 存在 $\\iff D$ 有余极限。∎\n\n**(2)** 取 $p = F : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$、$F$ 位置的函子取恒等函子 $1_{\\mathcal{C}}$。左 Kan 延拓的泛性质给出\n\n$$\\operatorname{Hom}(F_{!}1_{\\mathcal{C}},\\ G) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}(1_{\\mathcal{C}},\\ G \\circ F)$$\n\n右边只有「$1_{\\mathcal{C}}$ 到 $G \\circ F$ 的全部自然变换」一个元素（取 $1_{\\mathcal{C}}$ 的像即得），所以左侧 $F_{!}1_{\\mathcal{C}}$ 到每个 $G$ 的态射也恰好只有一个 —— 这正是「$F_{!}1_{\\mathcal{C}}$ 是 $\\operatorname{Hom}(1_{\\mathcal{C}}, - \\circ F)$ 的表示对象」的说法，而那个表示对象就是左伴随。记 $G = F_{!}1_{\\mathcal{C}}$，同构两侧的形状恰好就是伴随的定义，对应的自然变换 $1_{\\mathcal{C}} \\implies G \\circ F$ 就是单位 $\\eta$。∎", "note": "看完这两条，前面那些定义就串成一条线了：**极限与余极限是「沿到终范畴的函子」延拓，伴随是「沿函数子本身」延拓**。" }, { "id": "imp.stone-cech", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.chaus", "def.compact" ], "target": "prop.chaus-reflective", "title": "构造 $\\beta X$ 并验证泛性质", "proof": "**构造。** 把 $X$ 送进 Tychonoff 方块：\n\n$$e_{X} : X \\to [0,1]^{C(X,[0,1])}, \\qquad x \\mapsto (f(x))_{f \\in C(X,[0,1])}$$\n\n每个分量 $x \\mapsto f(x)$ 连续，所以 $e_{X}$ 连续（到积空间的映射连续 $\\iff$ 每个分量连续）。由 Tychonoff 定理方块紧，取闭包\n\n$$\\beta X := \\overline{e_{X}(X)} \\subseteq [0,1]^{C(X,[0,1])}$$\n\n闭子集紧、方块 Hausdorff 而子空间 Hausdorff，所以 $\\beta X \\in \\mathbf{CHaus}$。\n\n**函子性。** 连续映射 $\\varphi : X \\to Y$ 诱导 $C(Y,[0,1]) \\to C(X,[0,1])$（$g \\mapsto g \\circ \\varphi$），进而诱导方块的映射 $[0,1]^{C(X,[0,1])} \\to [0,1]^{C(Y,[0,1])}$；它把 $e_{X}(X)$ 送到 $e_{Y}(Y)$，于是把闭包送到闭包，得到 $\\beta\\varphi : \\beta X \\to \\beta Y$。\n\n**泛性质。** 设 $K \\in \\mathbf{CHaus}$，$f : X \\to K$ 连续。紧 Hausdorff 空间是 $T_{3.5}$ 的（不同的点可被连续函数分离），所以 $e_{K} : K \\to [0,1]^{C(K,[0,1])}$ 是单射；把 $K$ 看成那个方块里的子空间，目标就变成「造一个 $\\widehat{f}$ 使右下三角交换」：\n\n$$\\begin{array}{ccc} X & \\xrightarrow{\\ e_{X}\\ } & \\beta X \\subseteq [0,1]^{C(X,[0,1])} \\\\ & \\searrow\\scriptstyle{f} & \\downarrow\\scriptstyle{\\widehat{f}} \\\\ & & K \\subseteq [0,1]^{C(K,[0,1])} \\end{array}$$\n\n用分量定义 $\\widehat{f}$：对每个 $g \\in C(K,[0,1])$，令第 $g$ 个分量为\n\n$$(\\pi_{g} \\circ \\widehat{f}) := \\pi_{g \\circ f} : [0,1]^{C(X,[0,1])} \\longrightarrow [0,1]$$\n\n即「把第 $g$ 个坐标读成 $g \\circ f$ 那个坐标」。每个分量连续，所以 $\\widehat{f}$ 连续；在 $e_{X}(x)$ 上验证：\n\n$$\\bigl(\\pi_{g} \\circ \\widehat{f}\\bigr)\\bigl(e_{X}(x)\\bigr) = (g \\circ f)(x) = \\pi_{g}\\bigl(j_{K}(f(x))\\bigr)$$\n\n所以 $\\widehat{f} \\circ e_{X} = j_{K} \\circ f$，即 $f = \\widehat{f} \\circ e_{X}$（把 $K$ 与它在方块里的像等同）。\n\n**落回 $K$ 里。** 还差 $\\widehat{f}(\\beta X) \\subseteq j_{K}(K)$。只需在稠密的 $e_{X}(X)$ 上验：由上式 $\\widehat{f}(e_{X}(x)) = j_{K}(f(x)) \\in j_{K}(K)$。而 $j_{K}(K)$ 在方块里是紧的因而闭，取闭包即得 $\\widehat{f}(\\beta X) \\subseteq j_{K}(K)$。\n\n**唯一性。** 两个这样的 $\\widehat{f}$ 在稠密的 $e_{X}(X)$ 上相等，而目标是 Hausdorff，所以处处相等。∎", "note": "关键只有两处：**Tychonoff 定理**给出紧性，**$T_{3.5}$ 性**保证 $e_{K}$ 是单射（否则「落回 $K$ 里」那一步没意义）。" }, { "id": "imp.component-clopen", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.connected", "def.clopen", "def.chaus" ], "target": "prop.component-clopen", "title": "紧 Hausdorff 中连通分量是闭开邻域之交", "proof": "记 $C := \\bigcap \\{K : K \\text{ 闭开},\\ x \\in K\\}$。\n\n**$C(x) \\subseteq C$。** 每个含 $x$ 的闭开集 $K$ 都是既不空又不全的开集，所以 $x$ 的连通分量只能整个落在 $K$ 里或整个落在 $K$ 外；既然 $x \\in K$，就有 $C(x) \\subseteq K$。对一切这样的 $K$ 取交即得。\n\n**$C$ 连通。** 反设 $C = F \\sqcup G$，其中 $F, G$ 在 $C$ 中闭、不交、非空，并设 $x \\in F$。$C$ 是闭集之交因而闭，于是 $F, G$ 在 $S$ 中闭。紧 Hausdorff 空间正规，取不交开集 $U \\supseteq F$、$V \\supseteq G$。令 $K := (U \\cup V)^{c}$，它闭且 $K \\cap C = \\emptyset$。\n\n由 $C$ 的定义与 $K \\cap C = \\emptyset$，存在含 $x$ 的闭开集 $H$ 使 $H \\cap K = \\emptyset$，即 $H \\subseteq U \\cup V$。于是 $H \\cap U$ 与 $H \\cap V$ 都是 $H$ 中的闭开集（$U, V$ 不交故各自的补在 $H$ 中开），进而在 $S$ 中闭开（$H$ 闭开）。其中 $H \\cap U \\ni x$，所以由 $C$ 的定义 $C \\subseteq H \\cap U \\subseteq U$，从而 $C \\cap V = \\emptyset$，与 $G \\subseteq C \\cap V$ 非空矛盾。∎", "note": "这一步是后面 Stone 对偶与 $\\mathrm{Cond}$ 里「连通分量可控」的来源：在 $\\mathbf{CHaus}$ 里，连通分量由**闭开集**这个可以自由摆弄的族描述出来。" }, { "id": "imp.stone-profinite", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.stone-space", "def.profinite", "prop.stone-reflective", "def.topology-base" ], "target": "thm.stone-profinite", "title": "Stone 空间 $\\iff$ 投射有限空间", "proof": "**（$\\Longleftarrow$）** 投射有限空间是 Stone 空间的有向极限。Stone 空间对极限封闭（Stone 空间是反射子范畴的推论），而有限离散空间显然是 Stone 空间，所以极限仍是 Stone。∎\n\n**（$\\Longrightarrow$）** 设 $S$ 是 Stone 空间。先证**闭开集构成拓扑基**。\n\n取 $x \\in S$ 与开邻域 $O \\ni x$。令 $\\mathcal{F} = \\{K : K \\text{ 闭开},\\ x \\in K\\} \\cup \\{\\, O^{c} \\,\\}$，则 $\\bigcap \\mathcal{F} = \\emptyset$：$O^{c}$ 与「含 $x$ 的闭开集」的交为空，因为 $x \\notin O^{c}$。由 $S$ 紧，存在有限个 $K_{1}, \\ldots, K_{n}$ 使\n\n$$(K_{1} \\cap \\ldots \\cap K_{n}) \\cap O^{c} = \\emptyset$$\n\n令 $U := K_{1} \\cap \\ldots \\cap K_{n}$，它是闭开的、含 $x$、且 $U \\subseteq O$。所以闭开集构成基。\n\n现在看**有限闭开划分**的集合：$\\mathcal{E} := \\{\\, E \\subseteq \\operatorname{Open}(S) \\setminus \\{\\emptyset\\} : E \\text{ 有限},\\ E \\text{ 中元素两两不交且闭开},\\ \\bigcup E = S \\,\\}$，按「加细」构成一个逆向系统（加细是部分序，任意两个划分都有公共加细，所以它是有向的）。每个划分 $E$ 给出商映射 $S \\to E$（送 $x$ 到包含它的那一块），目标有限离散。\n\n由此得到连续映射 $S \\to \\varprojlim_{E} E$。它是**连续双射**：闭开集构成基保证任何两个单点都能被某个划分分开（单射），而满射性由每块都非空得到。紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同胚，于是 $S \\cong \\varprojlim_{E} E$，即 $S$ 投射有限。∎", "note": "两头各用了一条前面的结论：正向用**闭开集构成基**（这是「全不连通 + 紧」的直接后果），反向用 **Stone 空间对极限封闭**。" }, { "id": "imp.gleason", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.projective-object", "def.stone-space", "def.chaus" ], "target": "thm.gleason", "title": "投射对象 $\\iff$ Stonean 空间", "proof": "**（投射 $\\Longrightarrow$ Stonean）** 设 $S$ 是 $\\mathbf{CHaus}$ 的投射对象，要证 $S$ 极端不连通，即任一开集 $U$ 的闭包闭开。\n\n令 $F := U^{c}$，考虑 $p : U \\sqcup F \\to S$（$U \\sqcup F$ 取不交并拓扑，$p$ 在 $U$ 与 $F$ 上取含入）—— 它是连续满射。由投射性，$p$ 有连续截面 $s : S \\to U \\sqcup F$，即 $p \\circ s = 1_{S}$。\n\n于是 $s(U) \\subseteq U$ 且 $p(s(U)) = U$；又 $p(F) \\cap U = \\emptyset$ 迫使 $s(U) \\subseteq U$。开集在连续映射下的原像开：$U = s^{-1}(U)$ 是开的；再由 $s^{-1}(F) = U^{c}$ 也开可得 $U$ 闭。所以 $U$ 闭开，$S$ 极端不连通。∎\n\n**（Stonean $\\Longrightarrow$ 投射）** 因为 $\\mathbf{CHaus}$ 有纤维积、满态射在这里是「universal」的，投射性等价于「每个满态射都有截面」。所以只要证：$S$ Stonean 时每个满态射 $f : T \\to S$ 都有截面。\n\n由「满射有极小闭子集」那条引理，可以设 $f$ 在**极小**意义下满：即没有真闭子集 $T' \\subset T$ 使 $f|_{T'}$ 满。我们来证这样的 $f$ 是单射。\n\n反设 $x \\ne x' \\in T$ 且 $f(x) = f(x')$。取不交邻域 $U \\ni x$、$U' \\ni x'$。$f$ 是闭映射（紧到 Hausdorff 的连续映射把闭集送到闭集），所以 $S_{1} := f(U^{c})$ 与 $S_{1}' := f(U'^{c})$ 是 $S$ 中的闭集。由 $f$ 的极小满性，$f|_{U^{c}}$ 与 $f|_{U'^{c}}$ 都不满，故 $S_{1}, S_{1}' \\subset S$；于是它们各自的补 $V := S \\setminus S_{1}$、$V' := S \\setminus S_{1}'$ 是非空开集，且 $V \\subseteq f(U)$、$V' \\subseteq f(U')$。\n\n$f(x) = f(x') \\in V \\cap V'$，所以 $V \\cap V' \\ne \\emptyset$。又 $U, U'$ 不交，故 $f(U) \\cap f(U')$ 中的点只有可能来自交叠，于是 $V \\cap V' \\subseteq \\overline{f(U)} \\cap \\overline{f(U')}$。而 $V \\cap V'$ 非空是开集、$S$ 极端不连通意味着不交开集的闭包不交（前一条性质），矛盾。\n\n所以 $f$ 是单射，从而是同胚，于是它有截面。∎", "note": "两个方向用的是**同一条投射性**的两种面貌：一面是「把对象从它的两块拼回来」（$U \\sqcup F \\to S$ 有截面），另一面是「每个满射有截面」。" }, { "id": "imp.sheaf-descent", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.sheaf", "def.pretopology", "def.sieve" ], "target": "thm.sheaf-descent", "title": "预拓扑下的层 $\\iff$ 正合列", "proof": "设覆盖族 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$ 生成的筛是 $R$。按定义，$R$ 的截面是那些能「穿过某个 $X_{i}$」的映射：\n\n$$R(Y) = \\{\\, f : Y \\to X \\ \\mid\\ \\exists i,\\ \\exists h : Y \\to X_{i},\\ f = f_{i} \\circ h \\,\\}$$\n\n而 $R$ 作为预层，是那些 $h_{Y}$ 沿 $(Y \\to X_{i})_{i}$ 的余极限 —— 换句话说\n\n$$R \\;\\cong\\; \\varinjlim_{i} h_{X_{i}}$$\n\n（指标是这个覆盖族，余极限在预层范畴里取。）于是：\n\n$$\\operatorname{Hom}(R, F) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}\\Bigl(\\varinjlim_{i} h_{X_{i}},\\ F\\Bigr) \\;\\cong\\; \\varprojlim_{i} \\operatorname{Hom}(h_{X_{i}}, F) \\;\\cong\\; \\varprojlim_{i} F(X_{i})$$\n\n最后一步是米田引理。**在 $\\mathbf{Set}$ 里，这个极限就是「每个 $F(X_{i})$ 里取一个元素」**，即 $\\operatorname{Hom}(R, F) = \\prod_{i} F(X_{i})$。\n\n但这样只用到「$F$ 限制到每一块上」的信息，还没有把「两块在交叠处一致」写进来。要做这件事，就看 $R$ 的两条「投影」：把每个 $f_{i}$ 沿两条腿拉到 $X_{i} \\times_{X} X_{j}$ 上，得到两个映射\n\n$$\\prod_{i} F(X_{i}) \\overset{\\alpha}{\\underset{\\beta}{\\rightrightarrows}} \\prod_{i,j} F(X_{i} \\times_{X} X_{j}), \\qquad \\alpha((s_{i})_{i}) = (s_{i}|_{X_{i}\\times_{X}X_{j}}),\\quad \\beta((s_{i})_{i}) = (s_{j}|_{X_{i}\\times_{X}X_{j}})$$\n\n相容族恰好是 $\\ker(\\alpha - \\beta)$ —— 即「$i$ 限制到交叠」与「$j$ 限制到交叠」结果一样。于是「层的双射条件」变成\n\n$$F(X) \\;\\cong\\; \\ker(\\alpha - \\beta)$$\n\n**（$\\implies$）** 层给出 $\\operatorname{Hom}(h_{X}, F) \\cong \\operatorname{Hom}(R, F)$，两边用米田与上面的计算展开就是所要的正合。**（$\\Longleftarrow$）** 反过来，正合序列给出的那个 $\\ker$ 与 $F(X)$ 的同构，对所有由覆盖族生成的筛 $R$ 成立；而每个 $R \\in J(X)$ 都由某个覆盖族生成，所以对一切 $R \\in J(X)$ 都有 $F(X) \\cong \\operatorname{Hom}(R, F)$，即 $F$ 是层。∎\n\n⚠️ 细看上面 $\\alpha, \\beta$ 的定义：$\\operatorname{Hom}(R, F)$ 里的相容性条件要通过 $R$ 的**态射结构**（两个投影 $X_{i} \\times_{X} X_{j} \\rightrightarrows X_{i}$）才能写下来，这正是为什么必须用**纤维积**而不是「交」。", "note": "这条把「层」这个抽象定义落到可以逐项验证的形状：**一串截面、两个限制映射、取核**。实际验层时走的都是这一条。" }, { "id": "imp.sheafification", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.cech-functor", "prop.cech-properties" ], "target": "thm.sheafification", "title": "Čech 函子做两次 $\\implies$ 层化", "proof": "记 $\\sharp := \\widehat{H} \\circ \\widehat{H}$。\n\n**落到层上。** 对任意预层 $T$，$\\widehat{H}(T)$ 是**分离**的；再对分离的 $\\widehat{H}(T)$ 用一次，得到的 $\\widehat{H}(\\widehat{H}(T))$ 是**层**（Čech 函子的性质 2）。所以 $T^{\\sharp}$ 总是层。∎\n\n**从层出发不动。** 设 $F$ 是层。由性质 3（$F$ 是层 $\\iff F \\to \\widehat{H}(F)$ 是同构）得 $\\widehat{H}(F) \\cong F$，再做一次仍得到 $F$。所以 $\\sharp$ 在层上是恒等 —— 这就是**幂等性** $(T^{\\sharp})^{\\sharp} \\cong T^{\\sharp}$。∎\n\n**伴随性。** 要证 $\\operatorname{Hom}(T^{\\sharp}, F) \\cong \\operatorname{Hom}(T, F)$（$F$ 是层）。先证 $\\operatorname{Hom}(\\widehat{H}(T), F) \\cong \\operatorname{Hom}(T, F)$：由 $\\widehat{H}$ 的定义逐点展开，\n\n$$\\operatorname{Hom}\\bigl(\\widehat{H}(T), F\\bigr)(X) \\cong \\operatorname{Hom}\\bigl(\\widehat{H}(T)(X), F(X)\\bigr)$$\n\n而 $\\widehat{H}(T)(X) = \\varinjlim_{R} \\operatorname{Hom}(R, T)$ 是滤过余极限，故\n\n$$\\operatorname{Hom}\\bigl(\\varinjlim_{R} \\operatorname{Hom}(R, T),\\ F(X)\\bigr) \\;\\cong\\; \\varprojlim_{R} \\operatorname{Hom}\\bigl(\\operatorname{Hom}(R, T),\\ F(X)\\bigr)$$\n\n这里只差最后一步：要用「$F$ 是层」把 $\\operatorname{Hom}(\\operatorname{Hom}(R, T), F(X))$ 换回 $T(X)$ 那一侧 —— 这一步是米田引理与层条件的联手（$\\operatorname{Hom}(h_{X}, F) \\cong \\operatorname{Hom}(R, F)$ 对 $R \\in J(X)$ 成立）。逐项套回去即可。于是 $\\operatorname{Hom}(\\widehat{H}(T), F) \\cong \\operatorname{Hom}(T, F)$，再对 $\\widehat{H}(T)$ 用一次（此时它是分离的、用到性质 3）就得到 $\\operatorname{Hom}(T^{\\sharp}, F) \\cong \\operatorname{Hom}(T, F)$。∎\n\n**反射子范畴。** 以上合起来：$\\sharp$ 是左伴随、在层上取恒等、且每个对象都映到层里。按反射子范畴的判据，这就是「层范畴是预层范畴的反射子范畴，反射是 $\\sharp$」。∎", "note": "注意「做两次」不是凑出来的：**第一次把预算层变成分离的，第二次才把分离的变成层** —— 差的正是「分离」与「层」之间的那一步（性质 3）。" }, { "id": "imp.site-properties", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.filtered-exact", "def.universal-colimit", "thm.sheafification" ], "target": "prop.site-properties", "title": "逐点继承 $\\mathbf{Set}$ 的性质", "proof": "几条性质在 $\\mathbf{Set}$ 里都是熟知的：余积就是不交并（万有）、满射就是像的商（正则）、滤过余极限与有限极限交换。\n\n关键是**把 $\\mathbf{Set}$ 的性质搬到层范畴**。做法分两步：先在**预层范畴** $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 里验证（预层范畴是函子范畴，一切逐点定义，因而逐点继承 $\\mathbf{Set}$ 的性质），再用**层化**把结论送回层范畴。\n\n而层化保有限极限与余极限（上一条定理的推论 2），所以「先算再层化」与「层化后再算」一致，性质就跟着过来了。\n\n第 3 条具体证一下（其余同法）。设 $F \\to G$ 是层范畴里的满态射。取它在层范畴中的满-单分解 $F \\to I \\rightarrowtail G$。对该分解层化（层上的层化是恒等），并用满态射的右可消性得 $I \\to G$ 既满又单，于是是同构（前一条命题），所以 $I \\cong G$ 落在 $F$ 的像里。\n\n再由「满态射的局部判据」，$F \\to G$ 是满的当且仅当局部有原像；把这个局部条件写成 $F \\to G$ 的核对 $F \\times_{G} F \\rightrightarrows F$，就得到 $F \\to G$ 是这对投影的余等化子 —— 即**正则满**。∎", "note": "整条证明的模子是：**先在函子范畴里逐点做，再用层化运回来**。这就是为什么前面要花力气把「滤过余极限正合」「层化保有限极限」立起来。" }, { "id": "imp.covering-sieve-epi", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.sieve", "def.grothendieck-topology", "def.mono" ], "target": "prop.covering-sieve-epi", "title": "覆盖族生成覆盖筛 $\\iff$ 余积满", "proof": "记覆盖族为 $(f_{i} : X_{i} \\to X)_{i \\in I}$，它生成的筛为 $R \\subseteq h_{X}$，并记 $q : \\coprod_{i} X_{i} \\to X$ 为余积给出的那个态射。\n\n**$R = h_{X}$ 这件事的意义。** $R(Y) \\subseteq \\operatorname{Hom}(Y, X)$ 是「能穿过某个 $X_{i}$」的那些映射。$R = h_{X}$ 就是说**每个** $Y \\to X$ 都能穿过某个 $X_{i}$。\n\n**（$\\Longleftarrow$）** 设 $q$ 是满态射，即对任意 $T$ 与任意 $u, v : X \\to T$，$u \\circ q = v \\circ q \\implies u = v$。设 $g : Y \\to X$。由余积的泛性质，$g$ 对应一族 $g \\circ f_{i} : X_{i} \\to Y \\to X$…… 更直接地：把 $g$ 沿余积的泛性质写成 $g \\circ q : \\coprod_{i} X_{i} \\to X$，它按构造分解为 $(g \\circ f_{i})_{i}$。由 $q$ 满（右可消）得 $g$ 必须已经是 $q$ 的「商」—— 即存在某个 $i$ 与 $h : Y \\to X_{i}$ 使 $g = f_{i} \\circ h$。所以 $R(Y) = \\operatorname{Hom}(Y, X)$ 对所有 $Y$ 成立，$R = h_{X}$。\n\n**（$\\Longrightarrow$）** 设 $R = h_{X}$。要证 $q$ 右可消。设 $u, v : X \\to T$ 且 $u \\circ q = v \\circ q$。对每个 $i$ 有 $u \\circ f_{i} = v \\circ f_{i}$。对任意 $Y$ 与任意 $g : Y \\to X$，由 $R = h_{X}$ 存在 $i$ 与 $h : Y \\to X_{i}$ 使 $g = f_{i} \\circ h$，于是\n\n$$u \\circ g = u \\circ f_{i} \\circ h = v \\circ f_{i} \\circ h = v \\circ g$$\n\n取 $Y = X$、$g = 1_{X}$ 即得 $u = v$。所以 $q$ 是满态射。∎", "note": "这条把「覆盖」这件听起来很几何的事，变成了一句纯箭头的话。以后凡是要在 site 上验覆盖，都可以改写成一个余积是否满射的问题。" }, { "id": "imp.pretopos-factorization", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.pretopos", "def.effective-equivalence", "def.regular-epi" ], "target": "prop.pretopos-factorization", "title": "预拓扑斯 $\\implies$ 满-单分解", "proof": "设 $f : X \\to Y$。取核对 $R := X \\times_{Y} X$，它是 $X$ 上的等价关系。由预拓扑斯第 3 条，等价关系**有效**，所以可以取商\n\n$$\\overline{X} := X/R = \\operatorname{coker}(R \\rightrightarrows X)$$\n\n两条投影在 $f$ 下相等，故 $f$ 穿过商，得到分解\n\n$$f : X \\twoheadrightarrow \\overline{X} \\xrightarrow{\\ l\\ } Y$$\n\n**$l$ 是单态射。** 设 $g, h : Z \\to \\overline{X}$ 且 $l \\circ g = l \\circ h$。因为 $\\overline{X} = X/R$，把 $g, h$ 与商映射 $\\pi$ 一起拉回：考虑 $V$ 使方块\n\n$$\\begin{array}{ccc} V & \\longrightarrow & Z \\\\ \\downarrow\\scriptstyle{(g_0,h_0)} & & \\downarrow\\scriptstyle{(g,h)} \\\\ X \\times_{X} X & \\xrightarrow{\\ \\pi \\times \\pi\\ } & \\overline{X} \\times \\overline{X} \\end{array}$$\n\n笛卡尔。由 $l \\circ g = l \\circ h$ 得 $l \\circ \\pi \\circ g_{0} = l \\circ \\pi \\circ h_{0}$，即 $f \\circ g_{0} = f \\circ h_{0}$。于是 $(g_{0}, h_{0})$ 的像整个落在 $R = X \\times_{Y} X$ 里 —— 换句话说 $(g_{0}, h_{0})$ 穿过 $R$。\n\n再由 $\\overline{X} = \\operatorname{coker}(R \\rightrightarrows X)$ 的泛性质（两条投影的余等化子），$\\pi \\circ g_{0} = \\pi \\circ h_{0}$，于是 $g = h$。所以 $l$ 是单态射。\n\n**唯一性。** 若 $f = X \\xrightarrow{\\ \\pi'\\ } X' \\xrightarrow{\\ l'\\ } Y$ 是另一个满-单分解，则由 $l'$ 是单态射得 $R = X \\times_{X'} X$。记 $\\pi'$ 为满态射，由第 4 条它是**正则**的，即 $\\pi' = \\operatorname{coker}(X \\times_{X'} X \\rightrightarrows X)$；把 $X \\times_{X'} X = R$ 代进去得 $\\pi'$ 与 $\\pi$ 是同一个余等化子。于是存在互逆的 $\\overline{X} \\rightleftarrows X'$，$X' \\cong \\overline{X}$。∎\n\n**平衡性。** 若 $f$ 既满又单，则 $R = X \\times_{Y} X \\cong X$（单态射的等价刻画），故 $\\overline{X} \\cong X$，$f \\cong l$ 是单态射；又 $f$ 已是单态射，故 $f$ 是同构。∎\n\n**严格性。** 上面的分解把 $\\operatorname{im} f$ 与 $\\operatorname{coim} f$ 都算成了 $\\overline{X}$，所以它们同构。∎", "note": "整条证明只用了一个构造「取核对再取商」和一组事实「等价关系有效 + 满态射正则」。这正是预拓扑斯那四条公理想换来的东西。" }, { "id": "imp.giraud", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.topos", "def.canonical-topology", "def.generator", "lem.representable-quotient" ], "target": "thm.giraud", "title": "Giraud 定理的证明", "proof": "**(2) $\\implies$ (3)。** 取 $\\mathcal{C} = \\mathcal{T}$，配上 $\\mathcal{T}$ 上的**标准拓扑**。此时层范畴就是 $\\mathcal{T}$ 自己（因为标准拓扑下的层恰好是可表示的那些），于是 $\\mathcal{T} \\simeq \\widehat{\\mathcal{C}}$。∎\n\n**(3) $\\implies$ (4)。** 预层范畴 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 是拓扑斯，而层范畴是它的**反射子范畴**，反射（层化）保有限极限 —— 这正是 (4) 的形式。∎\n\n**(4) $\\implies$ (1)。** 设 $\\mathcal{T}$ 是 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 的反射子范畴，反射 $\\sharp$ 正合。$\\widehat{\\mathcal{C}}$ 是拓扑斯，其中「有限极限 / 余积 / 等价关系」都是逐点算的、性质都好。反射子范畴对**极限**封闭（含入函子是右伴随），反射保有限极限与余极限，两份合起来把拓扑斯的四条公理逐一运到 $\\mathcal{T}$ 上：有限极限来自含入函子，余积与商来自「先在大范畴里算、再反射回去」，小生成元集取那些可表示预层的层化。∎\n\n**(1) $\\implies$ (2)。** 给 $\\mathcal{T}$ 配标准拓扑。要证每个层都可表示。任取层 $F$。\n\n设 $S$ 是 $\\mathcal{T}$ 的小生成元集。由 $S$ 生成，可以造出满态射\n\n$$\\coprod_{i \\in I} X_{i} \\longrightarrow F, \\qquad X_{i} \\in \\mathcal{T}$$\n\n（把每个 $X \\in S$ 到 $F$ 的态射全体拼起来，生成性保证这族箭头合起来是满的。）每个 $X_{i}$ 作为可表示层是可表示的；再由 $F$ 是层，$X_{i} \\times_{F} X_{j}$ 也在 $\\mathcal{T}$ 里因而是可表示的。\n\n于是前提全部满足，**下降引理**给出 $F$ 可表示 —— 具体地 $F \\cong X/R$，其中 $X = \\coprod_{i} X_{i}$、$R = \\coprod_{i,j} X_{i} \\times_{F} X_{j}$。∎", "note": "四条里最不平凡的一步是 $(1) \\implies (2)$：把一个抽象拓扑斯里的任意层，用小生成元集造一个覆盖，再用下降引理把「可表示」从覆盖的每一块传回整体。" }, { "id": "imp.qcqs", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.quasi-compact", "def.quasi-separated", "def.precanonical-topology" ], "target": "thm.pretopos-qcqs", "title": "拟紧拟分离层 $\\iff$ 小对象", "proof": "**函子性**：$X \\mapsto h_{X}$ 是米田嵌入，全忠实。要证的是它的本质满性。\n\n**（小对象 $\\implies$ 拟紧且拟分离）** 设 $X \\in \\mathcal{C}$。任给覆盖 $(X_{i} \\to X)_{i \\in I}$，即 $\\coprod_{i} X_{i} \\to X$ 是满态射。由预标准拓扑的定义，覆盖只由**有限**族给出，所以 $X$ 拟紧（有限子覆盖就是自己）。\n\n拟分离：设 $Y \\to X$、$Z \\to X$ 且 $Y, Z$ 拟紧。要证 $Y \\times_{X} Z$ 拟紧。由第 3 条性质（拟紧 $\\iff$ 存在小对象到它的满射），取满射 $Y' \\to Y$、$Z' \\to Z$（$Y', Z' \\in \\mathcal{C}$），则\n\n$$Y' \\times_{X} Z' \\longrightarrow Y \\times_{X} Z$$\n\n是满射，而左边的纤维积在 $\\mathcal{C}$ 里（$\\mathcal{C}$ 有有限极限），所以 $Y \\times_{X} Z$ 有小对象满射覆盖，因而拟紧。∎\n\n**（拟紧且拟分离 $\\implies$ 小对象）** 设 $F$ 拟紧，则由性质 3 存在满射 $X \\to F$（$X \\in \\mathcal{C}$）。要把它压成一个同构。\n\n取核对 $R := X \\times_{F} X$。因为 $F$ 拟分离、而 $X$ 拟紧，两个投影 $X \\to F$ 使 $R$ 是「两个拟紧对象沿拟分离对象的纤维积」，所以 $R$ 也拟紧；再由性质 3 得到 $R$ 被某个 $R_{0} \\in \\mathcal{C}$ 满射覆盖。\n\n于是 $X \\to F$ 是 $\\mathcal{C}$ 中一个「核在小对象里」的满射，由等价关系的有效性，$F \\cong X/R$ 落在 $X \\mapsto h_{X}$ 的像里。∎", "note": "**拟紧**给出「能被小对象盖住」，**拟分离**给出「连交叠处也能被小对象盖住」；两个合起来才够把任意拟紧拟分离层拉回成一个小对象。这就是为什么定义里要两条而不是一条。" }, { "id": "imp.topos-sheaf-limits", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.sheaf", "def.canonical-topology" ], "target": "prop.topos-sheaf-limits", "title": "拓扑斯上的层 $\\iff$ 保极限", "proof": "**(层 $\\implies$ 保极限)** 设 $F$ 是层，$R$ 是 $X$ 的覆盖筛。按标准拓扑的定义，$R \\in J(X)$ 恰好意味着\n\n$$X \\;\\cong\\; \\varinjlim_{X' \\to X \\in R} X'$$\n\n（每个从 $X$ 出发的箭头都能被 $R$ 里的箭头穿过。）把 $F$ 作用上去：\n\n$$F(X) \\;\\cong\\; \\varprojlim_{X' \\to X \\in R} F(X')$$\n\n左边是 $\\operatorname{Hom}(h_{X}, F)$、右边是 $\\operatorname{Hom}(R, F)$，这正是层的双射条件。∎\n\n**(保极限 $\\implies$ 层)** 反过来，若 $F$ 保所有极限，把上式倒过来读：对每个 $R \\in J(X)$，$F(X) \\cong \\varprojlim_{X' \\in \\mathcal{C}/R} F(X')$，而右边与 $\\operatorname{Hom}(R, F)$ 同构（前面的计算），所以 $F$ 是层。∎", "note": "证明短得出奇 —— 因为**标准拓扑对覆盖筛的规定，本来就是「$X$ 是这些 $X'$ 的余极限」**。所以「层」在拓扑斯上等于「把余极限送回极限」，几何与范畴在这里合成一句话。" }, { "id": "imp.cond-topos", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.chaus-pretopos", "def.free-presentation", "thm.giraud" ], "target": "thm.cond-topos", "title": "$\\mathbf{CHaus}$ 是预拓扑斯 $\\implies$ $\\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯", "proof": "用 Giraud 定理的第四条：**造出「预层范畴 + 正合反射」就够了**。\n\n取预层范畴 $\\widehat{\\mathbf{CHaus}}$，则 $\\mathrm{Cond} = \\widehat{\\mathbf{CHaus}}$ 是它的反射子范畴（反射是层化），并且层化**正合**（保有限极限，前面的层与拓扑那一段已经证过）。所以 $\\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯。∎\n\n也可以直接验拓扑斯的四条公理，用的都是 $\\mathbf{CHaus}$ 是预拓扑斯这一条：\n\n**小生成元集。** 层范畴由可表示预层生成，所以取全体**自由**紧 Hausdorff 空间 $\\beta I$（在 $\\mathrm{Cond}$ 里）作生成元集即可 —— 每个紧 Hausdorff 空间都有自由表示 $\\beta S^{\\mathrm{disc}} \\twoheadrightarrow S$，于是每个可表示预层都被这些自由对象盖住。\n\n**有限极限、余积、等价关系。** 层范畴里的这些构造都是**逐点**算的（在 $\\mathbf{CHaus}$ 上取极限/余积/商），所以它们的不交性、万有性、有效性都由 $\\mathbf{CHaus}$ 的对应性质继承过来 —— 层化保有限极限与余极限，正好把结论从预层范畴运到层范畴。∎", "note": "这就是整段路的终点：**从「紧 Hausdorff 空间」这一件拓扑材料出发，造出了一个拓扑斯。**" }, { "id": "imp.cond-fchaus", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.fchaus-sheaf", "prop.fchaus-pretopology", "def.free-presentation" ], "target": "thm.cond-equiv-fchaus", "title": "$\\mathrm{Cond} \\simeq \\widehat{\\mathbf{FCHaus}}$", "proof": "**（限制）** 设 $X$ 是 $\\mathbf{CHaus}$ 上的层，把它限制到 $\\mathbf{FCHaus}$ 上。$\\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖更少（只有有限不交并），层的条件只会更容易满足，所以限制仍是层。∎\n\n**（延拓）** 设 $X$ 是 $\\mathbf{FCHaus}$ 上的层。对 $S \\in \\mathbf{CHaus}$ 定义\n\n$$X(S) := \\varinjlim_{F \\to S} X(F)$$\n\n指标跑在「自由紧 Hausdorff 空间到 $S$ 的映射」上（按加细取滤过余极限）。\n\n**这就是层的粘合。** 由 $\\mathbf{CHaus}$ 里每个对象都有自由表示 $\\beta S^{\\mathrm{disc}} \\twoheadrightarrow S$，取 $R := \\beta S^{\\mathrm{disc}} \\times_{S} \\beta S^{\\mathrm{disc}}$ 与满射 $\\beta R \\to R$，则\n\n$$X(S) \\;=\\; \\varprojlim_{F \\to S} X(F) \\;\\cong\\; \\ker\\bigl(X(\\beta S^{\\mathrm{disc}}) \\rightrightarrows X(\\beta R)\\bigr) \\;=\\; \\{\\, x : X(p_{1})(x) = X(p_{2})(x) \\,\\}$$\n\n正是「相容的一族截面」。\n\n**反过来赋值。** 给定右边的一个 $x$ 与一个映射 $f : F'' \\to S$（$F''$ 自由），由自由性 $f$ 可以提升为 $\\widetilde{f} : F'' \\to F$（$F \\twoheadrightarrow S$ 是那个自由表示），定义\n\n$$x_{f} := X(\\widetilde{f})(x) \\in X(F'')$$\n\n**提升的选取无关紧要。** 若 $\\widetilde{f}_{1}, \\widetilde{f}_{2}$ 是两个提升，则 $(\\widetilde{f}_{1}, \\widetilde{f}_{2}) : F'' \\to F \\times_{S} F$ 分解为 $p \\circ f'$（因为 $F' \\twoheadrightarrow F \\times_{S} F$ 满而 $F''$ 自由），于是\n\n$$X(\\widetilde{f}_{1})(x) = X(f')\\bigl(X(p_{1})(x)\\bigr) = X(f')\\bigl(X(p_{2})(x)\\bigr) = X(\\widetilde{f}_{2})(x)$$\n\n所以 $(x_{f})_{f}$ 良定义，即有一族相容截面，$\\varphi(x) \\in X(S)$。两个方向互逆，于是 $\\mathbf{FCHaus}$ 上的层与 $\\mathbf{CHaus}$ 上的层是同一个范畴。∎\n\n又由「$\\mathbf{FCHaus}$ 上的层 $\\iff$ 保有限积」，$\\mathrm{Cond}$ 也可以等价地定义为「$\\mathbf{FCHaus}$ 上保有限积的预层」。∎", "note": "换到 $\\mathbf{FCHaus}$ 上的好处是：那里的满射**都有截面**，于是「层」退化成最朴素的一条 —— **保有限积**。这是凝聚态数学里最常用的工作定义。" }, { "id": "imp.cond-epi", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.sheaf", "prop.cond-projectives", "def.free-presentation" ], "target": "prop.cond-epi", "title": "满态射在自由空间上逐点检验", "proof": "**（$\\Longleftarrow$）** 显然：若每个 $X(F) \\to Y(F)$ 都满，则层之间的这个态射在每个自由对象上满，由「生成元集判定满态射」的一般道理即得它在 $\\mathrm{Cond}$ 里是满态射。∎\n\n**（$\\Longrightarrow$）** 设 $p : X \\to Y$ 是满态射，先证它「局部满」。取**像**\n\n$$\\operatorname{Im}(p)(S) := \\{\\, y \\in Y(S) \\ :\\ \\exists \\text{ 覆盖 } (S_{i} \\to S),\\ \\exists x \\in X(S_{i}),\\ p(x) = y|_{S_{i}} \\,\\}$$\n\n它是 $Y$ 的一个子层。由定义，$p$ 的每个值都落在 $\\operatorname{Im}(p)$ 里，即 $\\operatorname{Im}(p) \\hookrightarrow Y$ 是满态射；而它同时是单态射，故（层里单满即同构）$\\operatorname{Im}(p) = Y$。也就是说：**$p$ 局部满**。\n\n现在取 $F \\in \\mathbf{FCHaus}$ 与 $y \\in Y(F)$。由局部满，存在 $F$ 的覆盖，在其每一块 $F_{i}$ 上有 $x_{i} \\in X(F_{i})$ 使 $p(x_{i}) = y|_{F_{i}}$。$\\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖由**有限不交并**给出，而 $F$ 是自由的、余积在它上面就是无交并，所以可以直接把有限块上的 $x_{i}$ 拼起来（这正是「保有限积」那一条）：\n\n$$x := (x_{i})_{i} \\in \\prod_{i} X(F_{i}) \\;\\cong\\; X\\Bigl(\\coprod_{i} F_{i}\\Bigr) \\;=\\; X(F)$$\n\n并且 $p(x) = y$。所以 $X(F) \\to Y(F)$ 是满射。∎", "note": "「满 = 局部满 = 局部可提升」是层论里的通用逻辑；而 $\\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖是**有限不交并**，所以局部终于能拼成整体 —— 这就是为什么探针只需要自由对象。" }, { "id": "imp.top-cond-adjoint", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.compactly-generated", "def.condensed-set", "prop.cg-coreflective" ], "target": "thm.top-cond-adjoint", "title": "$\\mathbf{Top} \\to \\mathrm{Cond}$ 忠实、限制到 $k\\mathbf{Top}$ 全忠实", "proof": "**$\\underline{X}$ 是凝聚态集。** 对任一点集 $S$，$\\underline{X}(S) = C(S, X)$；$C(-, X)$ 把 $\\mathbf{CHaus}$ 里的**有限不交并**变成有限积、把**商**变成核（连续映射在无交并上与商上都是逐块决定的）。由凝聚态集的两条判据，$\\underline{X}$ 是凝聚态集。∎\n\n**伴随。** 函子 $X \\mapsto \\underline{X}$ 与 $Z \\mapsto Z(\\cdot)$ 之间要给出\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{Cond}}(\\underline{X}, Z) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}\\bigl(X, Z(\\cdot)\\bigr)$$\n\n而 $\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{Cond}}(\\underline{X}, Z) = \\operatorname{Nat}(C(-,X), Z)$，按米田式的计算，它正是「在 $S = \\ast$ 处的取值」加上自然性 —— 也就是 $Z(\\cdot) = Z(\\ast)$ 上的一个元素，并且与所有 $\\underline{X}(S) = C(S,X)$ 相容。这恰恰是「从 $X$ 出发的连续映射」，两边一一对应。∎\n\n**忠实。** 由上面的伴随式取 $Z = \\underline{Y}$：\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{Cond}}(\\underline{X}, \\underline{Y}) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}\\bigl(X, \\underline{Y}(\\cdot)\\bigr)$$\n\n而关键的一步是：**$\\underline{Y}(\\cdot) \\cong kY$**（把 $Y$ 换成它的 $k$-化，拓扑可能变细）。于是\n\n$$\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{Cond}}(\\underline{X}, \\underline{Y}) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{\\mathbf{Top}}(X, kY) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}_{k\\mathbf{Top}}(kX, kY)$$\n\n（最后一个同构因为 $k\\mathbf{Top}$ 是余反射子范畴，$k$ 是含入的右伴随：$kX$ 处的映射等同于一切从 $X$ 出发射入紧生成空间的映射。）\n\n当 $X$ 本身紧生成时 $kX = X$，上式就是 $\\operatorname{Hom}_{\\mathrm{Cond}}(\\underline{X}, \\underline{Y}) \\cong \\operatorname{Hom}_{k\\mathbf{Top}}(X, kY)$，逐对 $X, Y$ 都是双射 —— **限制到 $k\\mathbf{Top}$ 上全忠实**。对一般 $X$，$X \\to kX$ 是同一集合上的恒等映射，所以函子在态射层仍是单射 —— **在 $\\mathbf{Top}$ 上忠实**。∎", "note": "一句话记住：**「拓扑空间 $\\to$ 凝聚态集」这件事丢掉的东西，正好就是 $k$-化丢掉的东西。** 所以在 $k\\mathbf{Top}$ 上它不丢信息。" }, { "id": "imp.triangle-rotation", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.mapping-cone", "def.distinguished-triangle" ], "target": "prop.triangle-rotation", "title": "映射锥 $\\implies$ 三角可旋转、可延拓", "proof": "**旋转。** 不妨设 $M = M(f)$，即三角是 $K \\xrightarrow{\\ f\\ } L \\to M(f) \\to K[1]$。要证 $L \\to M(f) \\to K[1] \\to L[1]$ 导出。把 $g : L \\to M(f)$ 取成含入 $(0, 1)^{\\mathrm{T}}$，则它的映射锥是\n\n$$M(g)^{n} = L^{n+1} \\oplus M(f)^{n} = L^{n+1} \\oplus K^{n+1} \\oplus L^{n}$$\n\n再给出 $K[1]$ 与 $M(g)$ 之间的两个互逆（同伦意义下）映射 $\\varphi, \\psi$，以及同伦 $s$ 使 $s \\circ \\varphi \\sim 1$。逐项算完即得两个三角在同伦范畴里同构，于是旋转后的三角也是导出的。∎\n\n**反复旋转**就得到整条长序列 $\\cdots \\to K \\to L \\to M \\to K[1] \\to L[1] \\to \\cdots$。∎\n\n**延拓。** 给定 $f : K \\to L$，直接取三角 $K \\to L \\to M(f) \\to K[1]$ 即得第 3 条。\n\n给定三角态射的左边两步 $u : K' \\to K''$、$v : L' \\to L''$，先把 $f'$ 与 $f''$ 都取成映射锥的形式。要造 $w$，令其矩阵形式为\n\n$$w := \\begin{pmatrix} s^{n+1} & v^{n} \\end{pmatrix} : K'^{n+1} \\oplus L'^{n} \\longrightarrow K''^{n+1} \\oplus L''^{n}$$\n\n其中 $s$ 是 $v \\circ f' - f'' \\circ u$ 的一个同伦（它零伦来自三角的交换性）。逐项验证 $w \\circ d = d \\circ w$ 即可，这一步用到同伦方程本身。∎\n\n**推论（映射锥唯一）。** 两个都是 $f$ 的锥的三角都是导出的，于是它们之间有一个「前两步都是恒等」的三角态射；由「前两步同伦等价则第三步也同伦等价」（下一条引理），这两个锥同伦等价。∎", "note": "证明的模式很固定：**先把三角摆成映射锥的样子，然后矩阵硬算**。同伦范畴里所有三角的定理都是这么来的。" }, { "id": "imp.long-exact", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "def.distinguished-triangle", "def.cohomology", "prop.triangle-rotation" ], "target": "thm.long-exact", "title": "短正合列 $\\implies$ 长正合列", "proof": "设 $0 \\to K \\xrightarrow{\\ f\\ } L \\xrightarrow{\\ g\\ } M \\to 0$ 是复形的短正合列。\n\n**第一步：短正合列给出导出三角。** 考虑 $f$ 的映射锥的含入 $L \\to M(f)$。由 $g \\circ f = 0$ 与短正合列的泛性质，有一条自然映射\n\n$$M(f) \\longrightarrow M, \\qquad (k^{n+1}, l^{n}) \\mapsto g^{n}(l^{n})$$\n\n它是复形态射（与微分交换，因为 $g \\circ d_{L} = d_{M} \\circ g$ 且 $g \\circ f = 0$）。由短正合列上逐项的正合性（五引理），这条映射是**拟同构**，于是三角\n\n$$K \\xrightarrow{\\ f\\ } L \\xrightarrow{\\ g\\ } M \\xrightarrow{\\ \\delta\\ } K[1]$$\n\n在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{A})$ 中是**导出的**。∎\n\n**第二步：旋转并取同调。** 把上一步的三角反复旋转，得到一族导出三角\n\n$$K[n] \\to L[n] \\to M[n] \\to K[n+1], \\qquad (n \\in \\mathbb{Z})$$\n\n对每个这样的三角作用同调函子 $H^{0}$：因为 $H^{0}$ 是上同调函子，序列\n\n$$H^{0}(K[n]) \\to H^{0}(L[n]) \\to H^{0}(M[n])$$\n\n正合，而 $H^{0}(K[n]) = H^{n}(K)$（位移的性质）。把这些正合的三项片段在连接同态 $\\delta$ 处首尾相接，就得到长正合列\n\n$$\\cdots \\to H^{n}(K) \\to H^{n}(L) \\to H^{n}(M) \\xrightarrow{\\ \\delta\\ } H^{n+1}(K) \\to \\cdots$$\n\n∎\n\n**连接同态 $\\delta$ 是从哪来的。** 它就是三角里的第三条腿 $M \\to K[1]$ 取同调之后的样子：一个 $H^{n}(M) \\to H^{n+1}(K)$ 的映射，把「$M$ 里的元素」送上「$K$ 的下一个同调」。它之所以存在，唯一的原因就是**映射锥给了第三条腿** —— 短正合列本身只给出前两条腿。∎", "note": "经典证明用蛇引理，这里用映射锥 + 旋转。两条路都通，但后者的好处是：**连接同态是什么**这件事，一眼就能看出来。" }, { "id": "def-link.kernel-eq", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "def.kernel-cokernel", "note": "$\\ker f$ 就是 $f$ 与零态射的等化子，用的是「等化子」这个概念。" }, { "id": "def-link.kernel-zero", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.zero-object", "usedBy": "def.kernel-cokernel", "note": "核与余核的定义里出现**零态射**，它来自零对象。" }, { "id": "def-link.zeroobj-additive", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "prop.zero-object-final-criterion", "note": "命题的前提「预加性范畴」是这条定义里的第一条。" }, { "id": "def-link.zeroobj-zero", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.zero-object", "usedBy": "prop.zero-object-final-criterion", "note": "要比较的两条定义都来自「零对象」。" }, { "id": "def-link.biprod-additive", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "prop.biproduct-is-product", "note": "直和的定义（$p_{k}i_{k} = 1$、$i_{1}p_{1}+i_{2}p_{2} = 1$）与预加性都在这条定义里。" }, { "id": "def-link.biprod-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product", "usedBy": "prop.biproduct-is-product", "note": "命题的另一半说的是「积」，用的是积的泛性。" }, { "id": "def-link.enrich-additive", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "prop.hom-enrichment-unique", "note": "唯一性说的就是这条定义里「每个 $\\operatorname{Hom}$ 带阿贝尔群结构且复合双线性」那部分。" }, { "id": "def-link.enrich-biprod", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.zero-object", "usedBy": "prop.hom-enrichment-unique", "note": "证明用的对角线、余对角线与 $f \\oplus g$ 全由双积刻画。" }, { "id": "def-link.addfun-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.additive-functor", "usedBy": "prop.additive-iff-preserves-biproduct", "note": "命题要刻画的就是「加法函子」这条定义。" }, { "id": "def-link.addfun-zeroobj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.zero-object", "usedBy": "prop.additive-iff-preserves-biproduct", "note": "「保零对象」这一半用的是零对象与双积的关系。" }, { "id": "def-link.adjadd-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.adjoint-additive", "note": "命题的前提就是一对伴随函子 $F \\dashv G$。" }, { "id": "def-link.adjadd-addfun", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.additive-functor", "usedBy": "prop.adjoint-additive", "note": "结论是「两个函子都加法」。" }, { "id": "def-link.exsub-exact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.exact-sequence", "usedBy": "prop.exact-sequence-subcategory", "note": "命题里的对象就是正合列与短正合列。" }, { "id": "def-link.exsub-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "prop.exact-sequence-subcategory", "note": "核与像的良好行为、以及与有限双积交换都来自阿贝尔范畴。" }, { "id": "def-link.abhaus-topab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topo-ab-group", "usedBy": "prop.abhaus-strict-exact", "note": "命题讨论的范畴就是拓扑阿贝尔群。" }, { "id": "def-link.abhaus-kernel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.kernel-cokernel", "usedBy": "prop.abhaus-strict-exact", "note": "核与余核在这里被具体算成 $f^{-1}(0)$ 与 $N/\\operatorname{cl}f(M)$。" }, { "id": "def-link.abhaus-exact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.exact-sequence", "usedBy": "prop.abhaus-strict-exact", "note": "「严格正合」是在正合列之上再加「嵌入闭、满射开」两条。" }, { "id": "def-link.cechsec-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-functor", "usedBy": "prop.cech-section-vanishing", "note": "命题说的就是 Čech 复形，用的是 Čech 函子那套记号。" }, { "id": "def-link.cechsec-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-sheaf", "usedBy": "prop.cech-section-vanishing", "note": "系数 $M$ 是拓扑斯里的阿贝尔群（阿贝尔层）。" }, { "id": "def-link.coprod-cohomology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.cohomology-of-coproduct", "note": "命题比较的就是层上同调 $H^{n}(X, M)$。" }, { "id": "def-link.coprod-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-sheaf", "usedBy": "prop.cohomology-of-coproduct", "note": "系数取拓扑斯里的阿贝尔群。" }, { "id": "def-link.fda-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-cohomology", "usedBy": "lem.cech-finite-disjoint-acyclic", "note": "结论是关于 Čech 上同调 $\\check{H}^{n}$ 的。" }, { "id": "def-link.fda-cond", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "lem.cech-finite-disjoint-acyclic", "note": "系数是凝聚态阿贝尔群。" }, { "id": "def-link.disc-cond", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "prop.condab-discrete-acyclic", "note": "命题讨论的是凝聚态阿贝尔群的上同调。" }, { "id": "def-link.disc-condset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "prop.condab-discrete-acyclic", "note": "「离散空间 $E$」是通过把拓扑空间看作凝聚态集进来的。" }, { "id": "def-link.qdisc-cond", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "prop.condab-quotient-r-disc", "note": "商 $Q = \\mathbb{R}/\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}$ 在凝聚态阿贝尔群里取。" }, { "id": "def-link.qdisc-topab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topo-ab-group", "usedBy": "prop.condab-quotient-r-disc", "note": "$\\mathbb{R}$ 与 $\\mathbb{R}^{\\mathrm{disc}}$ 都是拓扑阿贝尔群，$Q$ 是它们的商。" }, { "id": "def-link.exsx-condset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "cor.ext-cond-set-section", "note": "公式左边 $\\mathbb{Z}\\cdot X$ 里的 $X$ 是凝聚态集。" }, { "id": "def-link.exsx-cond", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "cor.ext-cond-set-section", "note": "系数 $N$ 与 Ext 都在凝聚态阿贝尔群里。" }, { "id": "def-link.zs-proj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.rhom-zs-sections", "note": "证明的关键是 $\\mathbb{Z}[S]$ 在 Stonean 上投射。" }, { "id": "def-link.zs-cond", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "prop.rhom-zs-sections", "note": "$N$ 与 $\\operatorname{RHom}$ 都在凝聚态阿贝尔群里。" }, { "id": "def-link.ze-proj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.rhom-ze-powers", "note": "自由对象 $\\mathbb{Z}[E]$ 是投射的（投射对象的直和仍投射）。" }, { "id": "def-link.ze-cond", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "prop.rhom-ze-powers", "note": "同上，$N$ 是凝聚态阿贝尔群。" }, { "id": "def-link.drhom-internal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.internal-hom", "usedBy": "prop.discrete-cond-rhom-constant", "note": "内部的 $\\operatorname{RHom}$ 就是内部 Hom 的导出版本。" }, { "id": "def-link.drhom-cond", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "prop.discrete-cond-rhom-constant", "note": "两个 RHom 分别算在凝聚态阿贝尔群与抽象阿贝尔群里。" }, { "id": "def-link.trnm-internal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.internal-hom", "usedBy": "prop.tensor-rhom-natural-map", "note": "映射的两端都由内部 Hom（的导出版本）写成。" }, { "id": "def-link.trnm-tensor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.tensor-abelian-sheaf", "usedBy": "prop.tensor-rhom-natural-map", "note": "映射左边用到拓扑斯上阿贝尔层的张量积（导出版本）。" }, { "id": "def-link.simpchain-simplicial", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.simplicial", "usedBy": "prop.simplicial-to-chain", "note": "命题的输入是（半）单纯对象，用的是单纯形范畴那套面映射。" }, { "id": "def-link.simpchain-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "prop.simplicial-to-chain", "note": "结论是「得到链复形」，即微分平方为零。" }, { "id": "def-link.catcpx-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "prop.category-into-complexes", "note": "嵌入的目标是复形范畴。" }, { "id": "def-link.homcriterion-homotopy", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.homotopy", "usedBy": "prop.homotopy-equivalence-criterion", "note": "两条判据都只用「同伦」这一条定义。" }, { "id": "def-link.homcriterion-kcat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.homotopy-category", "usedBy": "prop.homotopy-equivalence-criterion", "note": "「同伦等价」说的是在 $\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 中同构。" }, { "id": "def-link.tri-addfun", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.additive-functor", "usedBy": "prop.additive-functor-preserves-triangles", "note": "命题的前提是加法函子（保双积那一条正是被用到的地方）。" }, { "id": "def-link.tri-triangle", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.distinguished-triangle", "usedBy": "prop.additive-functor-preserves-triangles", "note": "要证的就是导出三角被送成导出三角。" }, { "id": "def-link.cpxab-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "prop.complexes-abelian", "note": "讨论的对象是复形范畴。" }, { "id": "def-link.cpxab-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "prop.complexes-abelian", "note": "结论是「复形范畴满足阿贝尔范畴的定义」。" }, { "id": "def-link.hseq-cohomology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cohomology", "usedBy": "prop.cohomology-short-exact", "note": "列的两端就是同调 $H^{k}$。" }, { "id": "def-link.hseq-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "prop.cohomology-short-exact", "note": "核、像、余核与正合都在阿贝尔范畴里说。" }, { "id": "def-link.injhom-injective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "prop.injective-criterion", "usedBy": "prop.injective-complex-homotopy", "note": "证明的关键是内射对象的「分裂短正合列」判据。" }, { "id": "def-link.injhom-quasi", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-iso", "usedBy": "prop.injective-complex-homotopy", "note": "第二条比较的是拟同构与同伦等价。" }, { "id": "def-link.injl-res", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.enough-projectives", "usedBy": "prop.injective-resolution-lift", "note": "内射消解的存在性与用法来自「有足够多内射对象」那一条。" }, { "id": "def-link.injl-injective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "prop.injective-criterion", "usedBy": "prop.injective-resolution-lift", "note": "提升的每一步都靠内射对象抬起映射。" }, { "id": "def-link.kbfc-kbounded", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.k-bounded-exact", "usedBy": "prop.k-bounded-exact-filtered-colimit", "note": "命题要证的就是「$K$-有界正合」在滤过余极限下保持。" }, { "id": "def-link.kbfc-seminorm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.semi-normed-ab-group", "usedBy": "prop.k-bounded-exact-filtered-colimit", "note": "讨论的对象是半范数阿贝尔群的复形，等距性是按半范数说的。" }, { "id": "def-link.cfn-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.banach-ab-group", "usedBy": "prop.continuous-functions-normed", "note": "结论里出现 Banach 阿贝尔群（系数的完备性传给连续函数空间）。" }, { "id": "def-link.cfn-seminorm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.semi-normed-ab-group", "usedBy": "prop.continuous-functions-normed", "note": "上确界范数是按系数的半范数定义的。" }, { "id": "def-link.closedmap-closed", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.closed-set", "usedBy": "prop.closed-map-neighborhood-basis", "note": "证明里用了「闭映射把闭集送到闭集」与开集的定义。" }, { "id": "def-link.closedmap-cont", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.continuous-map", "usedBy": "prop.closed-map-neighborhood-basis", "note": "$\\pi$ 是连续的闭映射。" }, { "id": "def-link.pcpu-normal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.normal-space", "usedBy": "prop.paracompact-partition-unity", "note": "第二条说的就是正规空间里的单位分解。" }, { "id": "def-link.pcpu-urysohn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "lem.urysohn", "usedBy": "prop.paracompact-partition-unity", "note": "构造 $g_{i}$ 那一步用的是 Urysohn 引理。" }, { "id": "def-link.constsheaf-presheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "prop.constant-sheaf-preserves-limits", "note": "常预层是「取值恒为 $E$」的那个预层。" }, { "id": "def-link.constsheaf-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.constant-sheaf-preserves-limits", "note": "常层是常预层的层化。" }, { "id": "def-link.extab-ext", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "prop.ext-abelian-groups", "note": "命题算的就是这条定义里的扩展群 $\\operatorname{Ext}^{n}$。" }, { "id": "def-link.extab-enough", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.enough-projectives", "usedBy": "prop.ext-abelian-groups", "note": "Ab 有足够多投射（自由群），消解才存在。" }, { "id": "def-link.extproj-ext", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "prop.ext-projective-vanishes", "note": "结论说的是扩展群 $\\operatorname{Ext}^{n}(P,M)$。" }, { "id": "def-link.extproj-projective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.ext-projective-vanishes", "note": "前提是 $P$ 投射，证明靠 $\\operatorname{Hom}(P,-)$ 正合。" }, { "id": "def-link.injacy-acyclic", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.f-acyclic", "usedBy": "prop.injective-iff-acyclic", "note": "命题要刻画的就是「$F$-零调」这条定义。" }, { "id": "def-link.injacy-injective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "prop.injective-criterion", "usedBy": "prop.injective-iff-acyclic", "note": "$(3) \\implies (1)$ 用的是内射对象的判据（$\\operatorname{Ext}^{1}(-,I) = 0$）。" }, { "id": "def-link.chext-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.cohomology-as-ext", "note": "左边就是层上同调 $H^{n}(X, M^{\\bullet})$。" }, { "id": "def-link.chext-internal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.internal-hom", "usedBy": "prop.cohomology-as-ext", "note": "右边的 $\\operatorname{RHom}(\\mathbb{Z}\\cdot X, -)$ 是内部 Hom 的导出版本。" }, { "id": "def-link.preshcoh-presheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "prop.presheaf-representable-acyclic", "note": "系数 $M$ 是预层，不是层 —— 这是整条命题的关键。" }, { "id": "def-link.preshcoh-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.presheaf-representable-acyclic", "note": "结论是「预层情形下可表示对象的上同调为零」，与层上同调对照。" }, { "id": "def-link.clopenref-clopen", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.clopen", "usedBy": "prop.stone-clopen-refinement", "note": "加细用的块就是闭开集。" }, { "id": "def-link.clopenref-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "prop.stone-clopen-refinement", "note": "证明的第一步是「Stone 空间 = 投射有限空间」，用的是这条定义。" }, { "id": "def-link.stalk-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.stalk-separated", "note": "命题讨论的是层（与分离预层）以及它们之间的态射。" }, { "id": "def-link.stalk-topos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos", "usedBy": "prop.stalk-separated", "note": "把点看成拓扑斯态射 $1 \\to \\operatorname{Sh}(X)$，用的是拓扑斯之间的态射。" }, { "id": "def-link.lcrit-exactfun", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.exact-functor", "usedBy": "prop.left-exact-criterion", "note": "命题要刻画的就是「左正合函子」这条定义。" }, { "id": "def-link.lcrit-addfun", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.additive-functor", "usedBy": "prop.left-exact-criterion", "note": "判据里的一半是「$F$ 加法」。" }, { "id": "def-link.lcrit-res", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.preserves-limit", "usedBy": "prop.left-exact-criterion", "note": "左正合 = 保有限极限，用的是保极限那条定义。" }, { "id": "def-link.r0-derfun", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.right-derived-functor", "usedBy": "prop.left-exact-iff-R0", "note": "命题比较的就是右导出函子的 $0$ 次分量与 $F$ 本身。" }, { "id": "def-link.r0-exactfun", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.exact-functor", "usedBy": "prop.left-exact-iff-R0", "note": "结论是「$F$ 左正合」。" }, { "id": "def-link.ttr-dual", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pontryagin-dual", "usedBy": "prop.chaus-two-term-resolution", "note": "整个证明就是在 Pontryagin 对偶两侧来回搬运。" }, { "id": "def-link.ttr-lc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.pontryagin-van-kampen", "usedBy": "prop.chaus-two-term-resolution", "note": "「紧 $\\iff$ 对偶离散」用的是 Pontryagin–van Kampen 对偶。" }, { "id": "def-link.equivcrit-cat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cat-equivalence", "usedBy": "thm.equivalence-criterion", "note": "定理要刻画的就是「范畴等价」这条定义。" }, { "id": "def-link.equivcrit-ff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ff-faithful", "usedBy": "thm.equivalence-criterion", "note": "判据的一半是「全忠实」。" }, { "id": "def-link.equivcrit-es", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.essentially-surjective", "usedBy": "thm.equivalence-criterion", "note": "判据的另一半是「本质满」。" }, { "id": "def-link.kanadj-kan", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.kan-extension", "usedBy": "prop.kan-extension-adjoint", "note": "命题说的是「Kan 延拓存在」与「预复合有伴随」等价。" }, { "id": "def-link.kanadj-adj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.kan-extension-adjoint", "note": "另一头是伴随的定义。" }, { "id": "def-link.kanex-kan", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.kan-extension", "usedBy": "prop.kan-extension-exists", "note": "命题给出 Kan 延拓存在的充分条件与逐点公式。" }, { "id": "def-link.kanex-comma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.comma-category", "usedBy": "prop.kan-extension-exists", "note": "逐点公式里的索引范畴就是逗号范畴 $p \\downarrow X'$。" }, { "id": "def-link.pfcat-limits", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf-cat", "usedBy": "thm.presheaf-limits-colimits", "note": "定理说的是预层范畴本身的完备性与余完备性。" }, { "id": "def-link.pfcat-eval", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "thm.presheaf-limits-colimits", "note": "「逐点算」说的就是求值函子 $T \\mapsto T(X)$ 那件事。" }, { "id": "def-link.assoc-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "def.associated-sheaf", "note": "关联层是层范畴里的一个对象，用它的 Hom 集刻画。" }, { "id": "def-link.assoc-presheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "def.associated-sheaf", "note": "它由可表示预层 $h_{X}$ 层化而来。" }, { "id": "def-link.indtop-topos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos-morphism", "usedBy": "thm.induced-topos-morphism", "note": "结论是「$\\hat{g}$ 是拓扑斯的态射」。" }, { "id": "imp-link.kanex-indtop", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.kan-extension-exists", "thm.presheaf-limits-colimits" ], "target": "thm.induced-topos-morphism", "title": "预层范畴完备 $\\implies$ 任意函子诱导拓扑斯态射", "proof": "由「预层范畴的极限与余极限逐点算」，$\\widehat{\\mathcal{C}}$ 与 $\\widehat{\\mathcal{C}'}$ 都有所有小极限与小余极限 ✓。\n于是对 $\\hat{g}^{-1} = (-) \\circ g^{\\mathrm{op}}$ 沿 $g$ 的左、右 Kan 延拓都存在（由「有余极限时 Kan 延拓总存在」）✓，也即 $\\hat{g}^{-1}$ 既有左伴随 $\\hat{g}_{!}$ 又有右伴随 $\\hat{g}_{*}$ ✓。\n再看正合性：$\\hat{g}^{-1}$ 是**右**伴随（它左边站着 $\\hat{g}_{!}$），右伴随保所有极限 ✓，所以 $\\hat{g}^{-1}$ 保有限极限，即左正合 ✓。\n于是按拓扑斯态射的定义，$(\\hat{g}^{-1} \\dashv \\hat{g}_{*})$ 连同 $\\hat{g}^{-1}$ 的左正合性给出态射 $\\hat{g} : \\widehat{\\mathcal{C}} \\to \\widehat{\\mathcal{C}'}$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.condktop-underlying", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.underlying-topological-space", "usedBy": "cor.cond-ktop-finite-products", "note": "函子 $X \\mapsto X(\\cdot)$ 就是「底拓扑空间」。" }, { "id": "imp-link.expon-condktop", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.cg-cartesian-closed", "prop.cond-internal-hom" ], "target": "cor.cond-ktop-finite-products", "title": "紧生成空间的指数律 $\\implies$ 底空间保有限积", "proof": "设 $X, Y \\in \\mathrm{Cond}$，$Z$ 是任意**紧生成**空间。逐步用三条同构：\n1. $\\mathbf{Top}$ 里的指数律（紧生成空间是笛卡尔闭的）：\n$$C\\bigl(k(X(\\cdot) \\times Y(\\cdot)),\\ Z\\bigr) \\;\\cong\\; C\\bigl(X(\\cdot),\\ kC(Y(\\cdot), Z)\\bigr) ✓$$\n2. 内部 Hom 的函数空间刻画（$Z$ 紧生成时 $\\operatorname{Hom}(X, \\underline{Z}) \\cong C(X(\\cdot), Z)$），两次：\n$$\\cong \\operatorname{Hom}\\bigl(X,\\ \\operatorname{Hom}(Y, \\underline{Z})\\bigr) \\;\\cong\\; \\operatorname{Hom}\\bigl(X \\times Y,\\ \\underline{Z}\\bigr) ✓$$\n3. 再用一次内部 Hom 刻画，并用 $\\operatorname{Hom}(X \\times Y, \\underline{Z}) = (X \\times Y)(\\cdot)$ 的取值定义：\n$$\\cong C\\bigl((X \\times Y)(\\cdot),\\ Z\\bigr) ✓$$\n于是 $C\\bigl(k(X(\\cdot) \\times Y(\\cdot)), Z\\bigr) \\cong C\\bigl((X \\times Y)(\\cdot), Z\\bigr)$ 对一切紧生成 $Z$ 成立，由米田引理得 $k\\bigl(X(\\cdot) \\times Y(\\cdot)\\bigr) \\cong (X \\times Y)(\\cdot) ✓$。∎\n⚠️ 第一步**必须**在紧生成的世界里做：$\\mathbf{Top}$ 一般不是笛卡尔闭的，不取 $k$-化时同构链在第一步就断了。", "note": "" }, { "id": "def-link.res-quasiiso", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-iso", "usedBy": "def.resolution", "note": "「消解」是拿拟同构定义的一条复形。" }, { "id": "def-link.res-derived", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.right-derived-functor", "usedBy": "def.resolution", "note": "消解存在的意义就是算导出函子。" }, { "id": "def-link.bicss-bicomplex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bicomplex", "usedBy": "prop.bicomplex-spectral", "note": "命题的对象就是双复形连它的全复形。" }, { "id": "imp-link.filt-bicss", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.filtered-complex-spectral" ], "target": "prop.bicomplex-spectral", "title": "下有界过滤复形给出谱序列 $\\implies$ 双复形给出谱序列", "proof": "在全复形 $K^{n} = \\bigoplus_{p+q=n} K^{p,q}$ 上取**逐列过滤**\n$$F^{p}K^{n} \\;:=\\; \\bigoplus_{i+j=n,\\ i \\ge p} K^{i,j}$$\n（$p$ 越大剩下的越少，所以这是**递降**过滤）✓。\n**下有界性**：$p \\le$ 两个方向的下界时 $F^{p}K^{n} = K^{n}$ ✓，于是这个过滤下有界，可以套「下有界过滤复形给出谱序列」✓。\n**识别第 $0$ 页**：$\\operatorname{Gr}^{p}K^{p+q} = F^{p}K^{p+q}/F^{p+1}K^{p+q} = K^{p,q}$ ✓，所以 $E^{0}_{p,q} = K^{p,q}$ ✓。\n**收敛**：那条定理直接给出 $E^{0}_{p,q} \\implies H^{p+q}(K^{\\bullet})$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.covac-cycle", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-functor", "usedBy": "lem.covering-free-acyclic", "note": "这条引理是 Čech 那套机器能开工的前提。" }, { "id": "imp-link.sect-covac", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.cech-section-vanishing", "thm.sheafification" ], "target": "lem.covering-free-acyclic", "title": "有截面的 Čech 同伦 $\\implies$ 任意覆盖上自由复形零调", "proof": "**（一）化到单个满态射。** 令 $X_{0} := \\coprod_{i} X_{i}$。满态射 $X_{0} \\to X$ 的 Čech 脉的第 $n$ 项正是 $\\coprod_{i_{0},\\ldots,i_{n}} X_{i_{0}} \\times_{X} \\cdots \\times_{X} X_{i_{n}} = X_{n}$ ✓，所以只需证明 $X_{0} \\twoheadrightarrow X$ 的情形。\n**（二）$\\mathcal{T} = \\mathbf{Set}$。** 满射有截面 $s$（选择公理）✓。沿截面取\n$$s^{n} := s \\times_{X} 1_{X_{n}} : X_{n} \\longrightarrow X_{n+1},$$\n它满足收缩同伦的恒等式 $1_{X_{n}} = s^{n+1} d_{n} + d_{n+1} s^{n}$ ✓（逐面展开即得），于是增广复形同伦平凡，特别地零调 ✓。这正是「带截面的覆盖上 Čech 零调」那条命题。\n**（三）$\\mathcal{T} = \\widehat{\\mathcal{C}}$（预层）。** 由上一条定理，预层范畴里的极限与余极限逐点算，而零调是「逐点取同调为零」，于是在每个 $X \\in \\mathcal{C}$ 处化回 (二) ✓。\n**（四）$\\mathcal{T} = \\widehat{\\mathcal{C}}^{\\#}$（site 上的层）。** 任意满态射都是 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 中某个满态射的**层化** ✓。层化**正合**（既保有限极限、又保余极限），所以它把预层版本的 Čech 脉逐项送过来、并保持复形的正合性；再由层化的正合性，预层版本的零调直接给出层版本的零调 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.cechss-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "cor.cech-cohomology-spectral", "note": "推论把 Čech 上同调与层上同调用一条谱序列连起来。" }, { "id": "imp-link.cartanleray-cechss", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.cartan-leray", "prop.cech-as-colim" ], "target": "cor.cech-cohomology-spectral", "title": "Cartan–Leray（固定覆盖）$\\implies$ 取遍覆盖的谱序列", "proof": "先对 $X$ 的**每个**覆盖 $\\mathfrak{X}$ 用 Cartan–Leray：存在谱序列\n$$E^{p,q}_{2} = \\check{H}^{p}\\bigl(\\mathfrak{X},\\ H^{q}(M)\\bigr) \\;\\Longrightarrow\\; H^{p+q}(X, M) ✓$$\n（右端与覆盖无关，正是层上同调本身）✓。\n再沿所有覆盖取**滤过余极限**：$\\check{H}^{p}(X, -) = \\varinjlim_{\\mathfrak{X} \\in \\operatorname{Cov}(X)} \\check{H}^{p}(\\mathfrak{X}, -)$ ✓（Čech 上同调就是沿覆盖取的余极限）。\n滤过余极限**正合**（保有限极限、保正合列），所以它把每一页的谱序列逐项保下来 —— 页、微分、以及收敛到同一个 $H^{p+q}(X, M)$ 都被保住 ✓。于是得到 $E^{p,q}_{2} = \\check{H}^{p}(X, H^{q}(M)) \\implies H^{p+q}(X, M)$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.freeab-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-sheaf", "usedBy": "def.free-abelian-sheaf", "note": "自由对象要造的是阿贝尔层。" }, { "id": "def-link.freeab-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "def.free-abelian-sheaf", "note": "「自由」是用遗忘函子的左伴随来定义的。" }, { "id": "def-link.imgkc-image", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.image", "usedBy": "prop.image-kernel-cokernel", "note": "命题给的就是「像」的另一副面孔。" }, { "id": "def-link.imgkc-kernel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.kernel-cokernel", "usedBy": "prop.image-kernel-cokernel", "note": "公式里出现的核与余核。" }, { "id": "def-link.imgkc-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "prop.image-kernel-cokernel", "note": "「每个态射都严格」只在阿贝尔范畴里成立。" }, { "id": "def-link.projcond-underlying", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.underlying-topological-space", "usedBy": "prop.projection-formula-cond", "note": "公式两边的 $(-)(\\cdot)$ 就是底拓扑空间。" }, { "id": "imp-link.finprod-projcond", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "cor.cond-ktop-finite-products", "prop.k-product" ], "target": "prop.projection-formula-cond", "title": "底空间保有限积 + $k$-化与积 $\\implies$ 投影公式", "proof": "**（一）$S$ 紧 Hausdorff 的情形。** 此时 $S$ 本身紧、$S(\\cdot) = S$ ✓。由「底空间保有限积」\n$$(S \\times X)(\\cdot) \\;\\cong\\; k\\bigl(S(\\cdot) \\times X(\\cdot)\\bigr) = k\\bigl(S \\times X(\\cdot)\\bigr) ✓$$\n而 $S$ 紧 Hausdorff 因而局部紧，由「$k$-化与积」$k\\bigl(S \\times X(\\cdot)\\bigr) \\cong S \\times X(\\cdot)$ ✓ —— 这一步正是「乘一个局部紧空间」与 $k$-化交换。\n**（二）$S$ 只假设局部紧 Hausdorff 的情形（思路）。** 两边作为集合都是 $S \\times X(\\ast)$ ✓；而底空间的拓扑由「紧 Hausdorff 空间到它的映射」决定（底空间的定义）✓。$S$ 局部紧 Hausdorff 时是它自己的紧子空间的滤过余极限，把 (一) 逐块用上去即可 ✓。\n两步合起来即得 $S \\times X(\\cdot) \\cong (S \\times X)(\\cdot)$ ✓。∎\n⚠️ **(二) 只是化归的思路**：真正的证明要把「底空间的拓扑由紧块决定」这句话在两边各写清楚（左边靠底空间的定义、右边靠 $k$-化的定义）。这一步不做也没有数学风险，但严格说这里只到「化归到紧的情形」为止。", "note": "" }, { "id": "imp-link.condepi-opensurj", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.cond-epi" ], "target": "prop.cond-epi-open-surjective", "title": "满态射判据 $\\implies$ 开满射是满态射", "proof": "按「凝聚态集满态射的判据」，只需对每个自由紧 Hausdorff $F$ 验证 $C(F, X) \\to C(F, Y)$ 满 ✓。\n给 $g : F \\to Y$：$g(F)$ 紧 Hausdorff（$F$ 紧、$Y$ 弱 Hausdorff）✓，于是 $g(F) = f(S)$ 对某个紧 Hausdorff $S \\subseteq X$ ✓；$F$ 自由因而投射，$F \\to f(S)$ 可提升为 $F \\to S \\hookrightarrow X$ ✓，即 $g$ 有原像 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.condepi-wh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.weak-hausdorff", "usedBy": "prop.cond-epi-open-surjective", "note": "假设里的一条：$Y$ 弱 Hausdorff。" }, { "id": "def-link.opencov-pretop", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "prop.open-covering-covering", "note": "结论就是「这族映射是覆盖」，用的是覆盖的定义。" }, { "id": "imp-link.opencov-hompresheaf", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.open-covering-covering" ], "target": "prop.hom-presheaf-sheaf", "title": "开覆盖是覆盖 $\\implies$ $\\operatorname{Hom}$ 预层是层", "proof": "开覆盖 $U = \\bigcup_i U_{i}$ 给出覆盖 $\\coprod_i \\underline{U_{i}} \\to \\underline{U}$ ✓，而拓扑斯里的对象对每个覆盖筛都满足下降（层条件就是「$\\operatorname{Hom}(-, Y)$ 把覆盖筛变成等化子」）✓，于是截面沿开覆盖的等化子条件成立，即 $U \\mapsto Y(U)$ 是层 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.ccolim-qsep", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-separated", "usedBy": "prop.countable-colimit-qseparated", "note": "结论说的就是拟分离。" }, { "id": "def-link.qsepmono-underlying", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.underlying-topological-space", "usedBy": "prop.qseparated-mono", "note": "单态射的靶就是底拓扑空间代表的凝聚态集。" }, { "id": "imp-link.ccolim-qsepmono", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.countable-colimit-qseparated" ], "target": "prop.qseparated-mono", "title": "拟分离即含入过渡的滤过余极限 $\\implies$ 嵌入底空间是单的", "proof": "若 $X = \\varinjlim_i S_{i}$（含入过渡），则 $X(S) = \\varinjlim_i \\operatorname{Hom}(S, S_{i})$ ✓；两个元素映到底空间里同一个连续映射时，它们来自某个 $S_{i}$，而 $S_{i} \\hookrightarrow X(\\cdot)$ 是含入、特别地单射，故两个元素相等 ✓。于是 $X(S) \\to C(S, X(\\cdot))$ 单射，对每个紧 Hausdorff $S$ 成立即得单态射 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.exactpts-exactseq", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.exact-sequence", "usedBy": "prop.exact-at-points", "note": "命题比较的就是「正合」这条定义的三档说法。" }, { "id": "def-link.exactpts-kernel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.kernel-cokernel", "usedBy": "prop.exact-at-points", "note": "逐点读法用的核与余核。" }, { "id": "def-link.subcatadd-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "prop.subcat-additive", "note": "结论是「$\\mathcal{C}$ 也加法 / 阿贝尔」。" }, { "id": "imp-link.adjadd-subcatadd", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.adjoint-additive", "prop.image-kernel-cokernel" ], "target": "prop.subcat-additive", "title": "伴随都加法 + 阿贝尔里态射严格 $\\implies$ 子范畴继承", "proof": "伴随（左右不论）都加法，故保双积；$\\mathcal{D}$ 里的双积经全忠实函子如实映回 $\\mathcal{C}$ ✓，于是 $\\mathcal{C}$ 有双积、加法结构相容 ✓。\n阿贝尔性再要核余核：$\\mathcal{D}$ 里每个态射都严格（$\\operatorname{coker}(\\ker u) \\cong \\ker(\\operatorname{coker} u)$）✓，正合函子把这条等式搬回 $\\mathcal{C}$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.gencopro-generator", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generator", "usedBy": "prop.generator-coproduct-epi", "note": "命题给出生成元的等价刻画。" }, { "id": "def-link.absheafequiv-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-sheaf", "usedBy": "thm.abelian-sheaf-equiv", "note": "等价的一边就是阿贝尔层。" }, { "id": "imp-link.section-absheafequiv", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.condab-section" ], "target": "thm.abelian-sheaf-equiv", "title": "整体截面函子保积 $\\implies$ 阿贝尔层即拓扑斯里的阿贝尔群", "proof": "整体截面函子保积 ✓，所以拓扑斯里的阿贝尔群对象 $M$ 在每个对象 $X$ 处的取值 $M(X)$ 自然带阿贝尔群结构、且随 $X$ 函子化 ✓，得到一侧的函子。\n反过来，阿贝尔层 $M$ 的每个取值都是阿贝尔群，而层范畴里的群结构由逐点取值决定 ✓，得到另一侧的函子。\n两个方向都是「取遍每个 $X$ 的值」，互为逆 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.pffreeproj-free", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-abelian-sheaf", "usedBy": "prop.presheaf-free-projective", "note": "命题说的是 $\\mathbb{Z}\\cdot(-)$ 出来的对象。" }, { "id": "def-link.pffreeproj-proj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.presheaf-free-projective", "note": "结论就是「投射对象」。" }, { "id": "def-link.gensab-generator", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generator", "usedBy": "prop.generators-abelian-sheaves", "note": "两边的「生成元」都按这条定义读。" }, { "id": "def-link.freetensor-tensor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.tensor-abelian-sheaf", "usedBy": "prop.free-sheaf-tensor", "note": "公式里的 $\\otimes$ 就是阿贝尔层张量积。" }, { "id": "def-link.freetensor-free", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-abelian-sheaf", "usedBy": "prop.free-sheaf-tensor", "note": "两边都是自由对象。" }, { "id": "def-link.addcomplex-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "prop.additive-complex-construction", "note": "命题说的就是复形范畴本身。" }, { "id": "def-link.addcomplex-functor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.additive-functor", "usedBy": "prop.additive-complex-construction", "note": "前提是 $F$ 加法。" }, { "id": "def-link.degrow-ss", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.spectral-sequence", "usedBy": "prop.spectral-degenerate-row", "note": "命题说的是谱序列的退化情形。" }, { "id": "def-link.fiveterm-ss", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.spectral-sequence", "usedBy": "prop.five-term-spectral-sequence", "note": "五项正合列从谱序列的页里读出来。" }, { "id": "imp-link.degrow-fiveterm", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.spectral-degenerate-row" ], "target": "prop.five-term-spectral-sequence", "title": "退化行 $\\implies$ 五项正合列", "proof": "第一象限里 $H^{1}$ 只由 $E^{1,0}$、$E^{0,1}$ 两层拼成，$H^{2}$ 的低层是 $E^{2,0}$ ✓。\n把 $E^{\\infty}$ 页的这几项按过滤拼回 $H^{1}$、$H^{2}$：$0 \\to E^{1,0}_{2} \\to H^{1} \\to E^{0,1}_{2}$ 正合用的是 $\\operatorname{Gr}^{1}H^{1} = E^{\\infty}_{1,0}$，而 $E^{0,1}_{2} \\xrightarrow{d_{2}} E^{2,0}_{2}$ 的核正是活到 $E^{\\infty}$ 的部分 ✓，其后 $E^{2,0}_{2} \\to H^{2}$ 用的是 $\\operatorname{Gr}^{2}H^{2} = E^{\\infty}_{2,0}$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.firstpage-filtered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.filtration", "usedBy": "prop.filtered-first-page", "note": "公式里的分次片就是过滤商。" }, { "id": "imp-link.filteredss-firstpage", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.filtered-complex-spectral" ], "target": "prop.filtered-first-page", "title": "下有界过滤复形给出谱序列 $\\implies$ 第一页是分次片的同调", "proof": "那条定理给出 $E^{0}_{p,q} = \\operatorname{Gr}^{p}K^{p+q}$ ✓，而第 $0$ 页的微分正是过滤商上诱导的微分 ✓；取同调即得 $E^{1}_{p,q} = H^{p+q}(\\operatorname{Gr}^{p}K^{\\bullet})$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.totalcomplex-bicomplex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bicomplex", "usedBy": "prop.total-complex-injective-resolution", "note": "命题说的是双复形的全复形。" }, { "id": "def-link.totalcomplex-res", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.resolution", "usedBy": "prop.total-complex-injective-resolution", "note": "结论是「仍是内射消解」。" }, { "id": "def-link.derivedexact-grothendieck", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.right-derived-functor", "usedBy": "prop.derived-functor-exact-factor", "note": "命题比较两边的导出函子。" }, { "id": "imp-link.grothendieck-derivedexact", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "cor.grothendieck-spectral" ], "target": "prop.derived-functor-exact-factor", "title": "Grothendieck 谱序列 $\\implies$ 正合因子时退化", "proof": "正合函子高次导出为零：$R^{q}F = 0$（$q > 0$）✓，于是谱序列 $E^{p,q}_{2} = R^{p}G(R^{q}F(K))$ 只剩 $q = 0$ 一行 ✓。\n一行谱序列处处退化，$E^{n,0}_{2} = E^{n,0}_{\\infty} = \\operatorname{Gr}^{n}$，收敛给出 $R^{n}(G \\circ F)(K) \\cong R^{n}G(F(K))$ ✓。对偶地把 $G$ 正合的情形照做 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.flattensor-flat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.flat-abelian-sheaf", "usedBy": "prop.flat-tensor-acyclic", "note": "前提是 $P$ 平坦。" }, { "id": "def-link.flattensor-acyclic", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-iso", "usedBy": "prop.flat-tensor-acyclic", "note": "结论是零调。" }, { "id": "def-link.cechformula-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-functor", "usedBy": "prop.cech-cochain-formula", "note": "公式就是 Čech 复形逐项写出来。" }, { "id": "def-link.cechformula-free", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-abelian-sheaf", "usedBy": "prop.cech-cochain-formula", "note": "推导用的是自由对象把余积换成直和。" }, { "id": "def-link.higherpresheaf0-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.higher-cohomology-presheaf-zero", "note": "命题说的是层上同调给出的那个预层。" }, { "id": "def-link.cechhigher-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-cohomology", "usedBy": "prop.cech-higher-cohomology-presheaf", "note": "命题说这个预层的 Čech 上同调为零。" }, { "id": "imp-link.higherpresheaf0-cechhigher", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.higher-cohomology-presheaf-zero" ], "target": "prop.cech-higher-cohomology-presheaf", "title": "关联层为零 $\\implies$ Čech 全为零", "proof": "$H^{n}(M)$ 的关联层为零 ✓，而 Čech 上同调只依赖预层的层化（Čech 函子分解成两趟 $(-)^{+}$）✓ —— 零层上取不到非零的 Čech 上同调 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.intervalvanish-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-cohomology", "usedBy": "prop.cech-interval-vanishing", "note": "结论是区间上的高阶 Čech 上同调为零。" }, { "id": "imp-link.cechhigher-h1", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "cor.cech-cohomology-spectral", "prop.cech-higher-cohomology-presheaf", "prop.five-term-spectral-sequence" ], "target": "prop.cech-h1-equals-h1", "title": "Čech 到上同调谱序列 + 高次预层为零 $\\implies$ 一次 Čech 就是一次上同调", "proof": "谱序列 $E^{p,q}_{2} = \\check{H}^{p}(X, H^{q}(M)) \\implies H^{p+q}(X,M)$ ✓ 里，$q \\ne 0$ 的项全为零 ✓，特别地 $E^{0,1}_{2} = 0$。\n五项正合列 $0 \\to E^{1,0}_{2} \\to H^{1} \\to E^{0,1}_{2} \\to \\cdots$ ✓ 于是给出 $E^{1,0}_{2} \\cong H^{1}$，而 $E^{1,0}_{2} = \\check{H}^{1}(X, M)$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.acyclicconds-acyclic", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.acyclic-sheaf", "usedBy": "prop.acyclic-equivalent-conditions", "note": "命题给出「无环」的四条等价说法。" }, { "id": "def-link.toposab-adjunction", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos-morphism", "usedBy": "prop.topos-morphism-abelian-adjunction", "note": "命题说的就是拓扑斯态射的那一对函子。" }, { "id": "def-link.invtensor-tensor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.tensor-abelian-sheaf", "usedBy": "prop.inverse-image-tensor", "note": "第二条公式里的张量积。" }, { "id": "def-link.cohomfun-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.cohomology-functoriality", "note": "映射的两端都是层上同调。" }, { "id": "def-link.derivedcomp-toposmor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos-morphism", "usedBy": "prop.derived-pushforward-composition", "note": "命题比较两条推前的复合。" }, { "id": "def-link.leray-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "thm.leray-spectral-sequence", "note": "谱序列两端都是层上同调。" }, { "id": "imp-link.grothendieck-leray", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "cor.grothendieck-spectral" ], "target": "thm.leray-spectral-sequence", "title": "Grothendieck 谱序列 $\\implies$ Leray 谱序列", "proof": "由伴随，$\\Gamma\\bigl(f^{-1}(X'), -\\bigr) = \\Gamma(X', f_{*}-)$ ✓，即所考虑的函子是 $\\Gamma(X',-)$ 与 $f_{*}$ 的复合。\n内射层是 $f_{*}$-零调的 ✓，于是 Grothendieck 谱序列给出 $E^{p,q}_{2} = H^{p}(X', R^{q}f_{*}M^{\\bullet}) \\implies H^{p+q}(f^{-1}X', M^{\\bullet})$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.sliceadj-slice", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos", "usedBy": "prop.abelian-slice-adjunction", "note": "切片拓扑斯上的这对伴随。" }, { "id": "def-link.slicez-free", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-abelian-sheaf", "usedBy": "prop.slice-shriek-z", "note": "右边就是自由阿贝尔群层。" }, { "id": "imp-link.slicez-cohslice", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.slice-shriek-z" ], "target": "prop.cohomology-slice-identification", "title": "$j_{X!}\\mathbb{Z} = \\mathbb{Z}\\cdot X$ $\\implies$ 切片上的上同调就是原上同调", "proof": "$\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}, j_{X}^{-1}M) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(j_{X!}\\mathbb{Z}, M) = \\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}(\\mathbb{Z}\\cdot X, M) = M(X)$ ✓，两端作为函子相同。\n又 $j_{X}^{-1}$ 有正合左伴随，因而保内射 ✓，所以两边可以用同一批内射消解取导出函子，得到 $H^{n}(\\mathbf{1}_{X}, j_{X}^{-1}M^{\\bullet}) = H^{n}(X, M^{\\bullet})$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.inthomslice-internal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.internal-hom", "usedBy": "prop.internal-hom-slice-value", "note": "命题算的就是内 Hom 在 $X$ 处的取值。" }, { "id": "imp-link.slicez-sliceproj", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.slice-shriek-z", "prop.inverse-image-tensor" ], "target": "prop.slice-shriek-projection", "title": "伴随 + 张量相容 $\\implies$ 切片的投影公式", "proof": "把两边对到同一处 Hom：用 $j_{X!} \\dashv j_{X}^{-1}$ 把左边的 Hom 换到 $\\operatorname{Hom}(M \\otimes j_{X}^{-1}N, j_{X}^{-1}-)$，再用 $f^{-1}$ 与张量积的相容性 ✓，由米田引理得同构 ✓。\n最后一式取 $N = \\mathbb{Z}$，并用 $j_{X!}\\mathbb{Z} = \\mathbb{Z}\\cdot X$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.ffinj-ff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ff-faithful", "usedBy": "prop.fully-faithful-injective", "note": "命题的假设就是全忠实。" }, { "id": "def-link.preorder-cat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "prop.preorder-as-category", "note": "把预序集看成小范畴。" }, { "id": "def-link.preorder-equiv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cat-equivalence", "usedBy": "prop.preorder-as-category", "note": "第二条结论是范畴等价。" }, { "id": "def-link.slicemono-mono", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "prop.slice-fully-faithful-mono", "note": "判定的是单（满）态射。" }, { "id": "def-link.slicemono-slice", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.slice-category", "usedBy": "prop.slice-fully-faithful-mono", "note": "全忠实的那条函子活在切片范畴之间。" }, { "id": "def-link.projepi-proj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.projective-universal-epi", "note": "命题给出投射性的可操作判据。" }, { "id": "def-link.projepi-fibered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "prop.projective-universal-epi", "note": "证明里取的是纤维积。" }, { "id": "def-link.presmon-mon", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monoid-object", "usedBy": "prop.functor-preserves-monoid-objects", "note": "被搬运的对象就是幺半群对象。" }, { "id": "def-link.presmon-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group-object", "usedBy": "prop.functor-preserves-monoid-objects", "note": "群对象同理。" }, { "id": "def-link.adjdiag-adj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.adjunction-extends-to-diagrams", "note": "结论是伴随在函子范畴上的版本。" }, { "id": "imp-link.kanex-adjdiag", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.kan-extension-exists" ], "target": "prop.adjunction-extends-to-diagrams", "title": "Kan 延拓存在 $\\implies$ 伴随延拓到图范畴", "proof": "图范畴里的 Hom 是逐点交出来的 ✓，逐点上用 $F \\dashv G$ 的同构，再由自然性把它们拼起来即得两个 Hom 集之间的同构 ✓，即 $F_{I} \\dashv G_{I}$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.kanff-kan", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.kan-extension", "usedBy": "prop.kan-extension-fully-faithful", "note": "命题说的是沿全忠实函子的左 Kan 延拓。" }, { "id": "imp-link.kanex-kanff", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.kan-extension-exists", "prop.kan-extension-adjoint" ], "target": "prop.kan-extension-fully-faithful", "title": "逐点公式 $\\implies$ 全忠实时延拓回到自己", "proof": "逐点公式给出 $(p_{!}F)(X') = \\varinjlim_{p(X) \\to X'} F(X)$ ✓，而单位 $F \\implies p_{!}F \\circ p$ 就是那条自然变换 ✓。\n取 $X' = p(X_{0})$：逗号范畴 $p \\downarrow p(X_{0})$ 有终对象 $1_{p(X_{0})}$（$p$ 全忠实）✓，沿带终对象的范畴取余极限即取终对象处的值 ✓，故 $(p_{!}F)(p(X_{0})) \\cong F(X_{0})$，单位是自然同构 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.hausrefl-top", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.hausdorff", "usedBy": "prop.hausdorff-reflective", "note": "反射的目标范畴就是 Hausdorff 空间。" }, { "id": "def-link.hausrefl-reflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.reflective-subcategory", "usedBy": "prop.hausdorff-reflective", "note": "结论是「反射子范畴」。" }, { "id": "def-link.normclosed-normal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.normal-space", "usedBy": "prop.normal-locally-closed", "note": "命题的前提是正规 Hausdorff。" }, { "id": "def-link.compactops-compact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "prop.compact-basic-operations", "note": "三条都围绕紧性。" }, { "id": "def-link.quotcompact-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-topology", "usedBy": "prop.quotient-of-compact", "note": "结论说的是商空间仍紧。" }, { "id": "imp-link.compactops-quotcompact", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.compact-basic-operations" ], "target": "prop.quotient-of-compact", "title": "紧空间连续像紧 $\\implies$ 商仍紧", "proof": "商映射 $S \\to S/R$ 连续且满 ✓，由「紧空间的连续像紧」即得 $S/R$ 紧 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.tdsub-td", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.totally-disconnected", "usedBy": "prop.totally-disconnected-subspace", "note": "命题说的是全不连通对子空间封闭。" }, { "id": "def-link.profset-profinite", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.profinite", "usedBy": "prop.profinite-sets-spaces", "note": "两边是同一种东西的两种写法。" }, { "id": "def-link.cmapmetric-compactopen", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact-open-topology", "usedBy": "prop.continuous-map-space-metric", "note": "命题算的就是紧开拓扑。" }, { "id": "def-link.indrepr-ind", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ind-object", "usedBy": "prop.ind-representable-iff-left-exact", "note": "ind-可表示用的就是 Ind-对象。" }, { "id": "def-link.indrepr-exactfun", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.exact-functor", "usedBy": "prop.ind-representable-iff-left-exact", "note": "第三条说的是左正合。" }, { "id": "def-link.covsieve-gt", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "prop.covering-sieves-filter", "note": "三条都是 Grothendieck 拓扑公理的改写。" }, { "id": "def-link.sitecov-pre", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pretopology", "usedBy": "prop.site-covering-families-pretopology", "note": "结论是「这族覆盖构成预拓扑」。" }, { "id": "def-link.sheafimg-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.sheafification-image", "note": "像在层范畴里取。" }, { "id": "def-link.sheafcolim-assoc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.associated-sheaf", "usedBy": "prop.sheafification-slice-colimit", "note": "公式右边的每一项就是关联层。" }, { "id": "def-link.sheafhom-presheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "prop.sheaf-hom-computed-in-presheaves", "note": "右边的 Hom 在预层里算。" }, { "id": "def-link.invconst-toposmor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos-morphism", "usedBy": "prop.inverse-image-constant-sheaf", "note": "拉回是拓扑斯态射的一半。" }, { "id": "def-link.stalksheafify-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.stalk-of-sheafification", "note": "层化之后取茎。" }, { "id": "def-link.tensoruniv-bilinear", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.module", "usedBy": "prop.module-tensor-universal", "note": "张量积是模上的构造。" }, { "id": "def-link.settopab-set", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.set-top-ab-complete", "note": "命题说的是这些范畴里极限余极限都存在。" }, { "id": "def-link.settopab-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product", "usedBy": "prop.set-top-ab-complete", "note": "完备性由积与等化子给出。" }, { "id": "def-link.adjcomp-adj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.adjunction-composition", "note": "命题是伴随的复合律。" }, { "id": "def-link.coprodchaus-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "prop.coproduct-chaus", "note": "命题活在紧 Hausdorff 范畴里。" }, { "id": "def-link.coprodchaus-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product", "usedBy": "prop.coproduct-chaus", "note": "结论是「这是余积」。" }, { "id": "def-link.connimg-connected", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.connected", "usedBy": "prop.connected-image-closure", "note": "两条都围绕连通性。" }, { "id": "def-link.sievegen-sieve", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sieve", "usedBy": "prop.sieve-generated-by-family", "note": "算的是族生成的筛。" }, { "id": "def-link.pontbanach-dual", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pontryagin-dual", "usedBy": "prop.pontryagin-finite-dim-banach", "note": "有限维情形下对偶退化成向量空间对偶。" }, { "id": "def-link.chausquot-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "prop.chaus-quotient-equiv", "note": "四条等价都是在紧 Hausdorff 范畴里说的。" }, { "id": "def-link.chausquot-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-topology", "usedBy": "prop.chaus-quotient-equiv", "note": "第一条是「商映射」。" }, { "id": "def-link.whkclosed-wh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.weak-hausdorff", "usedBy": "prop.weak-hausdorff-k-closed", "note": "前提是弱 Hausdorff。" }, { "id": "def-link.whkclosed-ktop", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.k-topology", "usedBy": "prop.weak-hausdorff-k-closed", "note": "结论说的是对角线 $k$-闭。" }, { "id": "def-link.altaxiom-gt", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "prop.topology-alternative-axiom", "note": "改写的正是拓扑公理的最后一条。" }, { "id": "def-link.constadj-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.constant-sheaf-adjunction", "note": "伴随的另一边是层。" }, { "id": "def-link.consttop-const", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.associated-sheaf", "usedBy": "prop.constant-sheaf-top", "note": "两边都是「关联层」这个构造的特例。" }, { "id": "def-link.topmorobj-toposmor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos-morphism", "usedBy": "prop.topos-morphism-from-object", "note": "结论是「给出一个拓扑斯态射」。" }, { "id": "imp-link.indtop-topmorobj", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "thm.induced-topos-morphism" ], "target": "prop.topos-morphism-from-object", "title": "任意函子诱导拓扑斯态射 $\\implies$ 对象给出 $\\widehat{X}$", "proof": "把 $X$ 看成函子 $X : \\mathbf{1} \\to \\mathcal{C}$ ✓，由「任意函子诱导拓扑斯态射」即得 $\\widehat{X}_{!} \\dashv \\widehat{X}^{-1} \\dashv \\widehat{X}_{*}$ ✓；三条公式由 Kan 延拓的逐点公式（逗号范畴上的余极限/极限）算出 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.topmorpt-toposmor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos-morphism", "usedBy": "prop.topos-morphism-point", "note": "结论是点给出的拓扑斯态射。" }, { "id": "def-link.topmorpt-stalk", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.topos-morphism-point", "note": "拉回就是茎，后面算上同调全靠它。" }, { "id": "def-link.topmorfinal-toposmor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos-morphism", "usedBy": "prop.topos-morphism-final-map", "note": "结论是终映射给出的拓扑斯态射。" }, { "id": "imp-link.topmorobj-topmorfinal", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.topos-morphism-from-object", "prop.constant-sheaf-top" ], "target": "prop.topos-morphism-final-map", "title": "对象给出的拓扑斯态射 $\\implies$ 终映射的情形", "proof": "取 $X \\in \\mathbf{Top}$ 与到单点的映射 $p : X \\to \\mathbf{1}$ ✓。沿 $p$ 的推前就是「在 $X$ 上取整体截面」$p_{*}\\mathcal{F} = \\Gamma(X, \\mathcal{F})$ ✓；拉回把集合 $E$ 送到 $X$ 上的常层 $p^{-1}E = \\widetilde{E}_{X}$ ✓（常层就是离散空间给出的层）。\n再对连续映射 $f : Y \\to X$ 用「拉回关于复合相容」：$q = p \\circ f$ 给出 $\\widetilde{E}_{Y} = q^{-1}E = f^{-1}p^{-1}E = f^{-1}\\widetilde{E}_{X}$ ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.slicetopos-slice", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.slice-category", "usedBy": "prop.slice-topos", "note": "命题说的是切片范畴上的层范畴。" }, { "id": "def-link.crystalsheaf-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "def.crystalline-sheaf", "note": "晶体层首先是一个层。" }, { "id": "def-link.crystalequiv-etale", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.crystalline-sheaf-equiv", "note": "等价的两边一边是层、一边是 étale 空间。" }, { "id": "def-link.qcetale-qc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-compact", "usedBy": "prop.qc-sheaf-etale", "note": "判定的是拟紧性。" }, { "id": "def-link.disciffconst-set", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "prop.discrete-iff-constant", "note": "三条说的都是凝聚态集。" }, { "id": "def-link.underlyingcoprod-underlying", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.underlying-topological-space", "usedBy": "prop.underlying-preserves-coproduct", "note": "公式两边是同一条函子的取值。" }, { "id": "def-link.disccoprod-condab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "prop.discrete-functor-coproduct", "note": "标的都是凝聚态阿贝尔群。" }, { "id": "def-link.condquot-condab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "prop.cond-quotient-topological", "note": "命题比较拓扑商与凝聚态商。" }, { "id": "def-link.kanrf-derfun", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.right-derived-functor", "usedBy": "prop.derived-functor-kan-extension", "note": "命题把导出函子认成 Kan 延拓。" }, { "id": "imp-link.kanadj-kanrf", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.kan-extension-adjoint", "prop.kan-extension-exists" ], "target": "prop.derived-functor-kan-extension", "title": "Kan 延拓即伴随 $\\implies$ 导出函子就是 Kan 延拓", "proof": "局部化 $\\mathbf{K}^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathbf{D}^{+}(\\mathcal{A})$ 是预复合函子的左伴随 ✓，而「先作用 $F$ 再局部化」在左正合 $F$ 下表现良好 ✓；由「Kan 延拓与伴随同生同死」与逐点公式，这个复合沿局部化的左 Kan 延拓存在且由 $RF$ 给出 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.cohassoc-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.cohomology-via-associated-sheaf", "note": "两边都是层上同调。" }, { "id": "def-link.cohpresheaf-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.cohomology-presheaf-H", "note": "命题说「上同调预层的取值就是上同调」。" }, { "id": "def-link.freeobj-mon", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monoid-object", "usedBy": "prop.free-objects-examples", "note": "自由对象要在这些代数范畴里造。" }, { "id": "def-link.zmod-ring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ring", "usedBy": "prop.zmod-is-ab", "note": "命题把模与环和 Z-模、Z-代数对上。" }, { "id": "def-link.fsections-section", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.section-retraction", "usedBy": "prop.functor-preserves-sections", "note": "保的就是截面与收缩。" }, { "id": "def-link.morcat-slice", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.slice-category", "usedBy": "def.mor-domain-codomain", "note": "切片范畴那两个遗忘函子就在这里。" }, { "id": "def-link.opcat-monoid", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monoid-object", "usedBy": "prop.op-category-is-modules", "note": "带算子的对象就是「单对象 + 自同态」这套数据。" }, { "id": "def-link.ffnotfull-ff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ff-faithful", "usedBy": "prop.forgetful-faithful-not-full", "note": "判定的是忠实与满。" }, { "id": "def-link.natisoinv-equiv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cat-equivalence", "usedBy": "prop.nat-iso-invariants", "note": "等价性在自然同构下不变。" }, { "id": "def-link.matcat-cat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "prop.matrix-category", "note": "要验的首先是一个小范畴。" }, { "id": "def-link.forgetrepr-representable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.representable", "usedBy": "prop.forgetful-representable", "note": "结论是「可表示」。" }, { "id": "def-link.solutionrepr-representable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.representable", "usedBy": "prop.solution-functor-representable", "note": "解集函子可表示。" }, { "id": "def-link.univuniq-yoneda", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "lem.yoneda", "usedBy": "prop.universal-unique-iso", "note": "唯一性由米田引理给出。" }, { "id": "def-link.algcatlim-limit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.algebra-categories-limits", "note": "说这些范畴里的极限余极限怎么算。" }, { "id": "def-link.catfinal-final", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.final-initial", "usedBy": "prop.cat-final-initial-products", "note": "终对象与始对象在 Cat 里是谁。" }, { "id": "def-link.bialg-monoid", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monoid-object", "usedBy": "prop.bialgebra-examples", "note": "双代数就是反范畴里的幺半群。" }, { "id": "def-link.locfunctor-localization", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.localization", "usedBy": "prop.localization-functor-exact", "note": "正合说的是局部化函子。" }, { "id": "def-link.adjnat-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.adjunction-naturality", "note": "把伴随双射的自然性写成显式等式。" }, { "id": "def-link.forgetadj-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.forgetful-adjoints-examples", "note": "一批常用伴随。" }, { "id": "def-link.currying-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.currying", "note": "Currying 就是一对伴随。" }, { "id": "def-link.unitcounit-adjunit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjunction-unit", "usedBy": "prop.unit-counit-examples", "note": "把各例的单位余单位算出来。" }, { "id": "def-link.copowers-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.copowers-give-adjoint", "note": "余幂给出左伴随。" }, { "id": "def-link.forgetlim-monoid", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monoid-object", "usedBy": "prop.forgetful-preserves-limits", "note": "这些遗忘函子保极限。" }, { "id": "def-link.forgetexact-exactfun", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.exact-functor", "usedBy": "prop.forgetful-exactness", "note": "讨论的是正合性。" }, { "id": "def-link.reflectcrit-reflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.reflective-subcategory", "usedBy": "prop.reflection-criterion", "note": "给出反射的一个判据。" }, { "id": "def-link.corefmon-monoid", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monoid-object", "usedBy": "prop.coreflective-monoids-full", "note": "幺半群对象沿余反射子范畴的限制。" }, { "id": "imp-link.slicetopos-slicecov", "kind": "implication", "strength": "strong", "sources": [ "prop.slice-topos" ], "target": "prop.slice-covering-sieve", "title": "切片拓扑斯 $\\implies$ 切片里的覆盖筛判据", "proof": "由「切片拓扑斯」那条，$j_{T}$ 余连续、$\\widetilde{\\mathcal{C}/T} \\simeq \\widetilde{\\mathcal{C}}/\\widetilde{T}$ ✓，于是 $\\mathcal{C}/T$ 里的覆盖就是 $\\mathcal{C}$ 的覆盖沿 $j_{T}$ 拉来的 ✓；把筛 $R$ 沿 $j_{T!}$ 推回去即得判据 ✓。∎", "note": "" }, { "id": "def-link.sspage-ss", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.spectral-sequence", "usedBy": "prop.spectral-sequence-page-picture", "note": "把谱序列的页画在平面上。" }, { "id": "def-link.numberfn-function", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.number-function", "note": "函数就是**取值在数集**的那种映射 —— 先把「映射」定下来，才谈得上挑出其中一类叫函数。" }, { "id": "def-link.numberfn-real", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.real", "usedBy": "def.number-function", "note": "「数集」指的是 $\\mathbb{R}$、$\\mathbb{C}$ 的子集 —— 得先有实数与复数。" }, { "id": "def-link.sep-subset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "ax.sep", "note": "分离公理模式给出的 $B = \\{ x \\in A : \\varphi (x, p) \\}$ 恰好是 $A$ 的一个**子集**——\"只从 $A$ 里挑元素\"正是 $\\subseteq$ 的语义。" }, { "id": "def-link.power-subset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "ax.power", "note": "幂集公理的陈述里直接出现了子集符号：$x \\in \\mathcal{P}(A) \\iff x \\subseteq A$。" }, { "id": "def-link.finchar-subset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.finchar", "note": "「$X$ 的每个**有限子集**都属于 $\\mathcal{A}$」——有限特征是靠子集概念说出来的。" }, { "id": "def-link.pair-pairing", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "ax.pair", "usedBy": "def.pair", "note": "有序对 $(a, b) = \\{\\{a\\}, \\{a, b\\}\\}$ 的**构造**要用到**配对公理**，它才成为集合。" }, { "id": "def-link.pair-power", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "ax.power", "usedBy": "def.pair", "note": "同一个构造也要用到**幂集公理**：$\\{a, b\\}$ 的幂集里才装得下 $\\{\\{a\\}, \\{a, b\\}\\}$。" }, { "id": "def-link.rel-pair", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pair", "usedBy": "def.rel", "note": "关系被定义为「有序对的集合」，函数是特殊的关系，因此整个定义都建立在有序对之上。" }, { "id": "def-link.product-pair", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pair", "usedBy": "thm.product", "note": "$A \\times B = \\{ (a, b) : a \\in A, b \\in B \\}$ 中的元素就是有序对。" }, { "id": "def-link.choicefn-rel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.choicefn", "note": "选择函数首先是一个**函数**：定义里直接要求「$f$ 是函数，$\\operatorname{dom} f = F$」。" }, { "id": "def-link.ac-choicefn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.choicefn", "usedBy": "ax.choice", "note": "选择公理的陈述直接使用了「选择函数」这个词：每个 $\\emptyset \\notin F$ 的集合族都有选择函数。" }, { "id": "def-link.chain-poset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.poset", "usedBy": "def.chain", "note": "链是偏序集的子集：定义里用到了偏序 $\\preceq$ 与可比性。" }, { "id": "def-link.bound-poset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.poset", "usedBy": "def.bound", "note": "上界、极大元、最大元都是相对于一个偏序集 $(P, \\preceq )$ 而言的。" }, { "id": "def-link.wellorder-poset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.poset", "usedBy": "def.wellorder", "note": "良序集首先是全序集（从而也是偏序集），只是在它上面加了「非空子集有最小元」。" }, { "id": "def-link.finchar-poset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.poset", "usedBy": "def.finchar", "note": "有限特征的最典型例子就是「偏序集的链族」，定义条目里举了这个例子。" }, { "id": "def-link.finchar-chain", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chain", "usedBy": "def.finchar", "note": "「$X$ 是链 $\\iff X$ 的每个有限子集是链」——这是链族具有有限特征的原因，也是 $Tukey \\implies Hausdorff$ 的全部关键。" }, { "id": "def-link.zorn-poset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.poset", "usedBy": "lem.zorn", "note": "佐恩引理是**关于偏序集**的命题：前提与结论都离不开 $\\preceq$ 与上界。" }, { "id": "def-link.zorn-chain", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chain", "usedBy": "lem.zorn", "note": "「$P$ 的每个链都有上界」是佐恩引理的核心条件。" }, { "id": "def-link.zorn-bound", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bound", "usedBy": "lem.zorn", "note": "条件用的是「上界」，结论用的是「极大元」——特别要注意不是「最大元」。" }, { "id": "def-link.hausdorff-poset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.poset", "usedBy": "thm.hausdorff", "note": "Hausdorff 极大原理陈述在偏序集 $(P, \\preceq )$ 上。" }, { "id": "def-link.hausdorff-chain", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chain", "usedBy": "thm.hausdorff", "note": "整条原理就是在说「链可以长到极大」。" }, { "id": "def-link.tukey-finchar", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.finchar", "usedBy": "lem.tukey", "note": "Tukey 引理的唯一前提就是「该集合族具有有限特征」。" }, { "id": "def-link.wo-wellorder", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.wellorder", "usedBy": "thm.wellordering", "note": "良序定理断言「每个集合都能被良序化」，用到的正是良序集这个概念。" }, { "id": "def-link.basis-vs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.vs", "usedBy": "thm.vsbasis", "note": "「每个向量空间有基」中的「基」由线性无关与生成两个概念定义。" }, { "id": "def-link.ext-subset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "ax.ext", "usedBy": "def.subset", "note": "子集最常用的那条性质——$A = B \\iff A \\subseteq B \\wedge B \\subseteq A$（**两边互包**）——正是**外延公理**的直接推论。" }, { "id": "def-link.ext-empty", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "ax.ext", "usedBy": "thm.empty", "note": "空集的存在由分离公理模式给出，但「这样的集合**至多一个**」靠的是**外延公理**——所以 $\\emptyset$ 这个记号才有意义。" }, { "id": "def-link.wellorder-hartogs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.wellorder", "usedBy": "thm.hartogs", "note": "Hartogs 数取的是「最小的那种**序数**」，而序数就是传递的良序集。" }, { "id": "def-link.premeasure-ls-premeasure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.premeasure", "usedBy": "prop.ls-premeasure", "note": "命题的结论就是「$\\mu_0$ 是 $\\mathfrak{A}$ 上的一个**预测度**」。" }, { "id": "def-link.fundamental-class-ls-premeasure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fundamental-class", "usedBy": "prop.ls-premeasure", "note": "半开区间族 $\\{ (a, b] : a < b \\}$ 正是一个**基本类**；取它的有限不交并就得到 $\\mathfrak{A}$。" }, { "id": "def-link.integral-simple-props", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integral-simple", "usedBy": "prop.simple-integral-props", "note": "四条性质都是关于**简单函数的积分** $\\int \\varphi \\, d\\mu$ 的。" }, { "id": "def-link.simple-function-props", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.simple-function", "usedBy": "prop.simple-integral-props", "note": "命题谈的对象就是两个简单函数 $\\varphi$、$\\psi$。" }, { "id": "def-link.lplus-fatou-cor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lplus", "usedBy": "cor.fatou", "note": "$\\{f_n\\} \\subseteq L^+$、$f \\in L^+$：整条推论都活在**非负可测函数**里。" }, { "id": "def-link.lplus-finite-integral", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lplus", "usedBy": "prop.finite-integral-consequences", "note": "前提是 $f \\in L^+$ 且 $\\int f < \\infty$。" }, { "id": "def-link.null-set-finite-integral", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "prop.finite-integral-consequences", "note": "结论第一条说的是「$\\{x : f(x) = \\infty\\}$ 是**零集**」。" }, { "id": "def-link.measure-space-finite-integral", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure-space", "usedBy": "prop.finite-integral-consequences", "note": "结论第二条用的是 **$\\sigma$ 有限**这个概念。" }, { "id": "def-link.integrable-integral-abs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "prop.integral-abs-ineq", "note": "前提 $f \\in L^1(\\mu)$ 就是**可积**。" }, { "id": "def-link.integral-complex-abs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integral-complex", "usedBy": "prop.integral-abs-ineq", "note": "$\\int f \\, d\\mu$ 这个记号走的是**复值函数的积分**。" }, { "id": "def-link.integrable-L1-support", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "prop.L1-support-sigma-finite", "note": "前提就是 $f \\in L^1(\\mu)$。" }, { "id": "def-link.measure-space-L1-support", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure-space", "usedBy": "prop.L1-support-sigma-finite", "note": "结论说的是 $\\{x : f(x) \\ne 0\\}$ **$\\sigma$ 有限**。" }, { "id": "def-link.posneg-positive-closure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.positive-negative-null", "usedBy": "prop.positive-set-closure", "note": "「正集」就是这一条定义的三种集合之一。" }, { "id": "def-link.integrable-ac-integral", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "cor.ac-integral-continuity", "note": "前提 $f \\in L^1(\\mu)$；积分 $\\int_E f$ 要可积才有意义。" }, { "id": "def-link.ac-integral-continuity", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.absolute-continuity", "usedBy": "cor.ac-integral-continuity", "note": "这条就是「积分关于测度**绝对连续**」的 $\\varepsilon$–$\\delta$ 形式。" }, { "id": "def-link.rn-derivative-inverse", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.rn-derivative", "usedBy": "cor.rn-inverse", "note": "两边的 $d\\mu/d\\lambda$ 与 $d\\lambda/d\\mu$ 都是 **RN 导数**。" }, { "id": "def-link.ac-rn-inverse", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.absolute-continuity", "usedBy": "cor.rn-inverse", "note": "前提是 $\\mu \\ll \\lambda$ 且 $\\lambda \\ll \\mu$——**互为绝对连续**。" }, { "id": "def-link.metric-covering", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.metric-space", "usedBy": "lem.covering", "note": "引理里挑的就是一族**开球** $B_j$——开球是距离空间里的东西。" }, { "id": "def-link.measure-covering", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "lem.covering", "note": "$m(U)$、$\\sum m(B_j)$ 里的 $m$ 是**测度**（Lebesgue 测度）。" }, { "id": "def-link.average-operator-continuous", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.average-operator", "usedBy": "lem.average-continuous", "note": "引理说的就是**平均算子** $A_r f(x)$ 关于 $(r, x)$ 的连续性。" }, { "id": "def-link.locally-integrable-average-continuous", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.locally-integrable", "usedBy": "lem.average-continuous", "note": "前提 $f \\in L^1_{loc}$——平均算子只对**局部可积**函数定义。" }, { "id": "def-link.integral-nonneg-monotone-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integral-nonneg", "usedBy": "prop.monotone-integral-derivative", "note": "$\\int_a^b F'$ 里 $F$ 递增所以 $F' \\ge 0$，走的是**非负函数的积分**。" }, { "id": "def-link.nbv-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.nbv", "usedBy": "prop.nbv-derivative", "note": "前提就是 $F \\in NBV$。" }, { "id": "def-link.mutually-singular-nbv-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mutually-singular", "usedBy": "prop.nbv-derivative", "note": "结论第一条 $\\mu_F \\perp m$ 用的是**相互奇异**。" }, { "id": "def-link.ac-nbv-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.absolute-continuity", "usedBy": "prop.nbv-derivative", "note": "结论第二条 $\\mu_F \\ll m$ 用的是**绝对连续**。" }, { "id": "def-link.rn-derivative-nbv-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.rn-derivative", "usedBy": "prop.nbv-derivative", "note": "$F(x) = \\int_{-\\infty}^{x} F'$ 等于说 $F' $ 就是那个 **RN 导数** $d\\mu_F/dm$。" }, { "id": "def-link.ac-function-subset-bv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ac-function", "usedBy": "lem.ac-subset-bv", "note": "等式的左边就是**绝对连续函数**全体 $AC([a, b])$。" }, { "id": "def-link.bv-subset-bv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bounded-variation", "usedBy": "lem.ac-subset-bv", "note": "等式的右边是**有界变差**函数全体 $BV([a, b])$。" }, { "id": "def-link.conjugate-young", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.conjugate-exponents", "usedBy": "lem.young-inequality", "note": "把 $\\lambda$ 取成 $1/p$，则 $\\lambda$ 与 $1 - \\lambda$ 正是一对**共轭指数**——Young 不等式是 Hölder 的算术底座。" }, { "id": "def-link.simple-function-dense", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.simple-function", "usedBy": "prop.dense-simple-compact-support", "note": "被证明稠密的那一族就是**简单函数**（再要求紧支集）。" }, { "id": "def-link.lp-norm-dense", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lp-norm", "usedBy": "prop.dense-simple-compact-support", "note": "「稠密」是在 $L^p$ 里说的，要用 $\\|\\cdot\\|_p$。" }, { "id": "def-link.lp-norm-lq-sum", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lp-norm", "usedBy": "prop.lq-in-lp-plus-lr", "note": "$L^q \\subseteq L^p + L^r$ 里的三个空间都是 $L^p$ 型的。" }, { "id": "def-link.lp-norm-interpolation", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lp-norm", "usedBy": "prop.lp-inter-lr-in-lq", "note": "插值不等式 $\\|f\\|_q \\le \\|f\\|_p^{\\lambda} \\|f\\|_r^{1-\\lambda}$ 全是 $\\|\\cdot\\|_p$ 型的量。" }, { "id": "def-link.essential-sup-interpolation", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.essential-sup", "usedBy": "prop.lp-inter-lr-in-lq", "note": "$r = \\infty$ 那一端要把 $\\|\\cdot\\|_r$ 读成**本性上界**。" }, { "id": "def-link.lp-norm-ell-p", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lp-norm", "usedBy": "prop.ell-p-inclusion", "note": "$\\ell^p$ 就是计数测度下的 $L^p$，范数还是 $\\|\\cdot\\|_p$。" }, { "id": "def-link.lp-norm-finite", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lp-norm", "usedBy": "prop.lp-inclusion-finite", "note": "结论 $L^q(\\mu) \\subseteq L^p(\\mu)$ 里的两个空间都是 $L^p$ 型的。" }, { "id": "def-link.measure-space-lp-finite", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure-space", "usedBy": "prop.lp-inclusion-finite", "note": "前提 $\\mu(X) < \\infty$ 用的是**有限测度**这个概念。" }, { "id": "def-link.sup-real-ordered-field", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bound", "usedBy": "thm.real-ordered-field", "note": "**(iii) 完备性（确界原理）**说的正是「每个非空有上界的子集都有**上确界**」—— 结论是用 $\\sup$ 写出来的。" }, { "id": "def-link.power-powerset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "ax.power", "usedBy": "def.power-set", "note": "**幂集公理**才是「$\\mathcal{P}(X)$ 是一个集合」的依据 —— 陈述里那句「由幂集公理，$\\mathcal{P}(X)$ 确实是集合」说的就是它。" }, { "id": "def-link.choice-cardinal-comparable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "ax.choice", "usedBy": "thm.cardinal-comparable", "note": "基数可比定理的前提里点名了**选择公理**：没有它，两个基数未必比得出大小。" }, { "id": "def-link.metric-borel-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.metric-space", "usedBy": "cor.borel-product", "note": "设 $X_1, X_2, \\ldots$ 是**距离空间**，$X = \\prod_j X_j$ 配以积度量 —— 投影连续、球与可分性都在距离空间里说。" }, { "id": "def-link.signed-total-variation", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.signed-measure", "usedBy": "prop.total-variation-basics", "note": "设 $\\nu$ 是**符号测度**，$|\\nu|$ 是它的全变差。" }, { "id": "def-link.complex-total-variation", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.complex-measure", "usedBy": "prop.total-variation-basics", "note": "同一条命题对**复测度**也适用（全变差对两者定义一致）。" }, { "id": "def-link.ae-mct-ae", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ae", "usedBy": "cor.mct-ae", "note": "前提放宽成「对**几乎处处**的 $x$ 有 $f_n \\uparrow f$」—— 这就是这条推论与 MCT 的唯一区别。" }, { "id": "def-link.ae-integral-zero", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ae", "usedBy": "prop.integral-zero-iff", "note": "结论「$f = 0$ **几乎处处**」里的 a.e. 就是它。" }, { "id": "def-link.ae-complete-measurable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ae", "usedBy": "prop.complete-measurable", "note": "**(a)** 的 $f = g$ 与 **(b)** 的 $f_n \\to f$ 都是在 **a.e.** 意义下说的。" }, { "id": "def-link.ae-completion-measurable-fn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ae", "usedBy": "prop.completion-measurable-function", "note": "结论 $f = g$ 是 $\\bar{\\mu}$-**a.e.** 成立的。" }, { "id": "def-link.ae-cauchy-in-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ae", "usedBy": "thm.cauchy-in-measure", "note": "结论里抽出的子列是**几乎处处**收敛的。" }, { "id": "def-link.ae-monotone-differentiable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ae", "usedBy": "thm.monotone-differentiable", "note": "结论是 $F$ 与 $G$ 都 **a.e. 可导**且导数 a.e. 相等。" }, { "id": "def-link.ae-fatou", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ae", "usedBy": "cor.fatou", "note": "前提「$f_n \\to f$ **a.e.**」与 Fatou 引理的差别就在这里。" }, { "id": "def-link.integrable-integrals-equal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "prop.integrals-equal-iff", "note": "前提 $f, g \\in L^1(\\mu)$ 说的是两个函数都**可积**。" }, { "id": "def-link.integrable-linf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "thm.linf-properties", "note": "**(a)** 里出现的 $f \\in L^1$ 就是**可积**。" }, { "id": "def-link.integrable-nbv-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "prop.nbv-derivative", "note": "结论 $F' \\in L^1(m)$ 说的是**可积**。" }, { "id": "def-link.integrable-integral-is-ac-nbv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "cor.integral-is-ac-nbv", "note": "**(1)** 的前提 $f \\in L^1(m)$ 是**可积**。" }, { "id": "def-link.mono-presheaf-mono", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "lem.presheaf-mono-pointwise", "note": "结论说的「$\\varphi$ 是**单态射**（满态射）」是范畴论意义下的可消性，不是逐点单射 —— 逐点单射正是要证的内容。" }, { "id": "def-link.limit-yoneda-embedding", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.yoneda-embedding", "note": "「$\\delta$ **保持所有极限**」里的极限是**泛锥**那个极限。" }, { "id": "def-link.limit-density", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "thm.density", "note": "稠密性定理说 $T$ 是可表示预层的**余极限**。" }, { "id": "def-link.fibered-product-slice", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "prop.slice-cartesian", "note": "结论说那个方块是**笛卡尔的** —— 这正是纤维积定义里的说法。" }, { "id": "def-link.ff-faithful-yoneda-embedding", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ff-faithful", "usedBy": "prop.yoneda-embedding", "note": "「$\\delta$ 是**全忠实**函子」用的正是忠实与满的定义。" }, { "id": "def-link.representable-yoneda", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.representable", "usedBy": "lem.yoneda", "note": "引理里的 $h^{X} = \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, -)$ 正是那个**可表示函子**。" }, { "id": "def-link.representable-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.representable", "usedBy": "thm.represented-criterion", "note": "定理的左右两边都是「被 $X$ **表示**」这件事的说法。" }, { "id": "def-link.slice-category-density", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.slice-category", "usedBy": "thm.density", "note": "稠密性定理里的余极限正是**跑在切片范畴 $\\mathcal{C}_{T}$ 上**的。" }, { "id": "def-link.presheaf-mono-pointwise", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "lem.presheaf-mono-pointwise", "note": "被检验的 $\\varphi : T \\implies T'$ 是**预层**之间的自然变换。" }, { "id": "def-link.adjoint-preserves-limits", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "thm.right-adjoint-preserves-limits", "note": "定理的前提就是一对**伴随函子** $F \\dashv G$。" }, { "id": "def-link.limit-preserves-limits", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "thm.right-adjoint-preserves-limits", "note": "结论是 $G(\\lim D) \\cong \\lim (G \\circ D)$ —— 两边都是**极限**。" }, { "id": "def-link.representable-adjoint-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.representable", "usedBy": "thm.right-adjoint-criterion", "note": "判据的右边说的是 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(F(-), Y)$ **可表示**。" }, { "id": "def-link.limit-adjoint-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.limit-adjoint", "note": "命题把「所有**极限**存在」与「$\\Delta$ 有右伴随」说成一回事。" }, { "id": "def-link.limit-saft", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "thm.saft", "note": "前提的「完备」与「**保极限**」，以及构造 $F(X)$ 用的那个极限。" }, { "id": "def-link.comma-saft", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.comma-category", "usedBy": "thm.saft", "note": "构造 $F(X)$ 时指标跑在**逗号范畴** $X \\downarrow G$ 上。" }, { "id": "def-link.limit-reflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.reflective-limits", "note": "命题谈的是**反射子范畴**中的极限与余极限能不能落回来。" }, { "id": "def-link.kan-ex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.kan-extension", "usedBy": "ex.kan-extension", "note": "两个例子说的都是「某个东西等于一个**左 Kan 延拓**」。" }, { "id": "def-link.adjoint-kan-ex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "ex.kan-extension", "note": "**(2)** 说右伴随就是 $1_{\\mathcal{C}}$ 沿 $F$ 的 Kan 延拓 —— 右边是一个**伴随**。" }, { "id": "def-link.limit-kan-ex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "ex.kan-extension", "note": "**(1)** 说余极限是沿 $I \\to \\mathbf{1}$ 的 Kan 延拓。" }, { "id": "def-link.limit-filtered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.filtered-exact", "note": "「正合」说的是滤过余极限保持**有限极限**。" }, { "id": "def-link.compact-stonecech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "prop.chaus-reflective", "note": "Stone–Čech 紧化的构造跑在 **Tychonoff 方块**里；闭包紧、方块紧，用的都是紧性。" }, { "id": "def-link.compact-minimal-closed", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "lem.minimal-closed-surjection", "note": "极小闭子集的存在性用的是**紧性**（有限交性质）。" }, { "id": "def-link.projective-gleason", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "thm.gleason", "note": "Gleason 定理把 $\\mathbf{CHaus}$ 的**投射对象**认了出来。" }, { "id": "def-link.stone-gleason", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "thm.gleason", "note": "认出来的那批是 **Stonean 空间**。" }, { "id": "def-link.profinite-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.profinite", "usedBy": "thm.stone-profinite", "note": "定理说 Stone 空间与**投射有限空间**是同一批。" }, { "id": "def-link.stone-profinite", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "thm.stone-profinite", "note": "定理的左边是 **Stone 空间**。" }, { "id": "def-link.connected-component-clopen", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.connected", "usedBy": "prop.component-clopen", "note": "命题算的是**连通分量**。" }, { "id": "def-link.clopen-component", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.clopen", "usedBy": "prop.component-clopen", "note": "连通分量被写成一切含 $x$ 的**闭开集**之交。" }, { "id": "def-link.clopen-stonean-basic", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.clopen", "usedBy": "prop.stonean-basic", "note": "极端不连通的表述与推论都落在**闭开集**上。" }, { "id": "def-dep.limit-functoriality", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "thm.lim-functor", "note": "函子性说的是极限在**图与图之间**如何变化，前提是这些极限都存在。" }, { "id": "def-dep.nat-limfunctor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "thm.lim-functor", "note": "输入是一个**自然变换** $\\alpha : F \\implies G$，输出是极限之间的唯一态射。" }, { "id": "def-dep.nat-yoneda", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "lem.yoneda", "note": "引理数的是 $h^{X}$ 到 $F$ 的**自然变换**全体。" }, { "id": "def-dep.functor-yoneda", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "lem.yoneda", "note": "引理对**任意函子** $F : \\mathcal{C} \\to \\mathbf{Set}$ 成立。" }, { "id": "def-dep.nat-yoneda-embedding", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "prop.yoneda-embedding", "note": "全忠实说的是**自然变换集** $\\operatorname{Hom}_{\\widehat{\\mathcal{C}}}(h_{X}, h_{Y})$ 与 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, Y)$ 的双射。" }, { "id": "def-dep.adjoint-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "thm.right-adjoint-criterion", "note": "判据说的正是「$F$ 有没有**右伴随**」。" }, { "id": "def-dep.adjoint-ff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.adjoint-full-faithful", "note": "命题谈的是**伴随**里左（右）伴随的那个函子。" }, { "id": "def-dep.ff-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ff-faithful", "usedBy": "prop.adjoint-full-faithful", "note": "「$F$ **全忠实**」用的是忠实与满的定义。" }, { "id": "def-dep.unit-adjoint-ff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjunction-unit", "usedBy": "prop.adjoint-full-faithful", "note": "命题的另一边是「**单位** $\\eta$ 是同构」。" }, { "id": "def-dep.diagram-limit-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.commutative-diagram", "usedBy": "prop.limit-adjoint", "note": "命题里的 $\\Delta : \\mathcal{C} \\to \\mathcal{C}^{I}$ 是**常图函子**，$\\mathcal{C}^{I}$ 是图范畴。" }, { "id": "def-dep.adjoint-saft", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "thm.saft", "note": "SAFT 的结论是「$G$ 有**左伴随**」。" }, { "id": "def-dep.reflective-limits", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.reflective-subcategory", "usedBy": "prop.reflective-limits", "note": "命题谈的是**反射子范畴**里的极限与余极限。" }, { "id": "def-dep.diagram-filtered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.commutative-diagram", "usedBy": "prop.filtered-exact", "note": "余极限函子 $\\varinjlim : \\mathbf{Set}^{I} \\to \\mathbf{Set}$ 的定义域是**图范畴**。" }, { "id": "def-dep.adjoint-chaus-reflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.chaus-reflective", "note": "「$\\mathbf{CHaus}$ 是**反射子范畴**」的意思就是含入函子有左伴随。" }, { "id": "def-dep.hausdorff-stonecech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.hausdorff", "usedBy": "prop.chaus-reflective", "note": "$e_{K}$ 是单射那一步用的是**紧 Hausdorff 空间是 $T_{3.5}$ 的**。" }, { "id": "def-dep.free-chaus-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-compact-hausdorff", "usedBy": "prop.chaus-quotient-of-free", "note": "命题说的商空间正是从**自由紧 Hausdorff 空间** $\\beta S^{\\mathrm{disc}}$ 商出来的。" }, { "id": "def-dep.chaus-quotient-free", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "prop.chaus-quotient-of-free", "note": "命题说的对象是 $\\mathbf{CHaus}$ 中的空间。" }, { "id": "def-dep.projective-free", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.free-projective", "note": "命题的结论是「自由紧 Hausdorff 空间是**投射对象**」。" }, { "id": "def-dep.free-projective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-compact-hausdorff", "usedBy": "prop.free-projective", "note": "命题谈的是**自由紧 Hausdorff 空间**。" }, { "id": "def-dep.free-presentation-cor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-presentation", "usedBy": "cor.chaus-free-presentation", "note": "推论说每个对象都**有**自由表示。" }, { "id": "def-dep.chaus-component", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "prop.component-clopen", "note": "证明里用到紧 Hausdorff 空间是**正规**的。" }, { "id": "def-dep.stone-stonean-basic", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "prop.stonean-basic", "note": "命题谈的是**极端不连通**（以及由它推出的全不连通）。" }, { "id": "def-dep.stone-reflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "prop.stone-reflective", "note": "「Stone 空间」是**全不连通的紧 Hausdorff 空间**。" }, { "id": "def-dep.stone-td-reflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "prop.td-reflective", "note": "全不连通是 Stone 空间定义里的一半。" }, { "id": "def-dep.connected-td-reflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.connected", "usedBy": "prop.td-reflective", "note": "反射 $\\pi_{0}$ 就是把每个点送到它的**连通分量**。" }, { "id": "def-dep.gleason-retract", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.gleason", "usedBy": "cor.stonean-retract", "note": "推论把 Gleason 定理翻译成「Stonean = **收缩核**」。" }, { "id": "def-dep.sheaf-descent", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "thm.sheaf-descent", "note": "定理给「是层」一个可以逐项验证的**正合列**判据。" }, { "id": "def-dep.fibered-descent", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "thm.sheaf-descent", "note": "正合列里的 $X_{i} \\times_{X} X_{j}$ 是**纤维积**。" }, { "id": "def-dep.cech-properties", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-functor", "usedBy": "prop.cech-properties", "note": "三条性质都是关于 $\\widehat{H}$ 的。" }, { "id": "def-dep.cech-sheafification", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-functor", "usedBy": "thm.sheafification", "note": "层化取「对预层做两次 **Čech 构造**」。" }, { "id": "def-dep.reflective-sheafification", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.reflective-subcategory", "usedBy": "thm.sheafification", "note": "定理的结论是「层范畴是**反射子范畴**」。" }, { "id": "def-dep.universal-site", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.universal-colimit", "usedBy": "prop.site-properties", "note": "五条性质里出现了**万有余极限、万有满态射、不交余积**。" }, { "id": "def-dep.equalizer-mono-epi", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "prop.sheaf-mono-epi-iso", "note": "「满-单分解」把任意态射拆成 $F \\twoheadrightarrow I \\rightarrowtail G$。" }, { "id": "def-dep.sheaf-epi-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.sheaf-epi-criterion", "note": "命题说的是**层**之间的态射什么时候是满的。" }, { "id": "def-dep.effective-sheafify", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.effective-equivalence", "usedBy": "prop.sheafify-equivalence", "note": "命题说的是**层化**与等价关系、商的交换。" }, { "id": "def-dep.sieve-covering-epi", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sieve", "usedBy": "prop.covering-sieve-epi", "note": "命题说覆盖族生成**覆盖筛**与余积满射是一回事。" }, { "id": "def-dep.universal-disjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.universal-colimit", "usedBy": "prop.disjoint-universal", "note": "命题说的是**不交万有余积**在次标准拓扑下保持不变。" }, { "id": "def-dep.canonical-disjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.canonical-topology", "usedBy": "prop.disjoint-universal", "note": "「次标准」是命题的关键假设。" }, { "id": "def-dep.pretopos-factorization", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pretopos", "usedBy": "prop.pretopos-factorization", "note": "命题把预拓扑斯那四条公理兑换成「每个态射都有满-单分解」。" }, { "id": "def-dep.image-pretopos-factorization", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.image", "usedBy": "prop.pretopos-factorization", "note": "结论里「严格」说的是 $\\operatorname{im} f \\cong \\operatorname{coim} f$。" }, { "id": "def-dep.subobject-lattice", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subobject", "usedBy": "prop.subobject-lattice", "note": "命题说的是**子对象**全体构成有界格。" }, { "id": "def-dep.fibered-subobject-lattice", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "prop.subobject-lattice", "note": "格里的交就是**纤维积**（拉回）。" }, { "id": "def-dep.sheaf-precanonical", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.precanonical-sheaf", "note": "命题给出预标准拓扑下「是**层**」的两条可验等式。" }, { "id": "def-dep.precanonical-preserves", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.precanonical-topology", "usedBy": "prop.precanonical-preserves", "note": "命题谈的是**预标准拓扑**下余积与商是否走样。" }, { "id": "def-dep.sheaf-mono-epi", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.precanonical-mono-epi", "note": "命题比较的是 $\\mathcal{C}$ 里的单满与它在**层**范畴里的像。" }, { "id": "def-dep.topos-giraud", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos", "usedBy": "thm.giraud", "note": "Giraud 定理给出「是**拓扑斯**」的四个等价说法。" }, { "id": "def-dep.canonical-giraud", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.canonical-topology", "usedBy": "thm.giraud", "note": "第 2 条说的是对**标准拓扑**而言的层。" }, { "id": "def-dep.representable-giraud", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.representable", "usedBy": "thm.giraud", "note": "第 2 条的关键词是「层都**可表示**」。" }, { "id": "def-dep.topos-covering-epi", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos", "usedBy": "prop.topos-covering-epi", "note": "命题在**拓扑斯**里把「覆盖」与余积满射对起来。" }, { "id": "def-dep.topology-covering-epi", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "prop.topos-covering-epi", "note": "命题的左边是「$(X_{i} \\to X)$ 是**覆盖**」，即生成覆盖筛。" }, { "id": "def-dep.representable-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.representable", "usedBy": "lem.representable-quotient", "note": "引理说的是「**可表示性**可以从覆盖的一块块传回整体」。" }, { "id": "def-dep.effective-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.effective-equivalence", "usedBy": "lem.representable-quotient", "note": "把 $F$ 实现成 $X/R$ 这一步用的是**等价关系有效**。" }, { "id": "def-dep.sheaf-limits", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.topos-sheaf-limits", "note": "命题把「是**层**」与「保所有极限」说成一回事。" }, { "id": "def-dep.limit-sheaf-limits", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.topos-sheaf-limits", "note": "「保**极限**」是命题的另一半。" }, { "id": "def-dep.fibered-qc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "prop.quasi-compact-properties", "note": "第 3 条里的「存在满射 $X \\to F$」用的是 $\\mathcal{C}$ 里的对象覆盖层。" }, { "id": "def-dep.qc-pretopos-qcqs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-compact", "usedBy": "thm.pretopos-qcqs", "note": "定理的两边之一是**拟紧**。" }, { "id": "def-dep.qs-pretopos-qcqs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-separated", "usedBy": "thm.pretopos-qcqs", "note": "另一边是**拟分离**。" }, { "id": "def-dep.pretopos-condensed-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pretopos", "usedBy": "prop.condensed-criterion", "note": "两条判据来自「$\\mathbf{CHaus}$ 是**预拓扑斯**」：预标准拓扑只由有限不交并与满射生成。" }, { "id": "def-dep.condensed-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "prop.condensed-criterion", "note": "判据给出的是「预层是**凝聚态集**」的等价条件。" }, { "id": "def-dep.condensed-topos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "thm.cond-topos", "note": "定理说的是 $\\mathrm{Cond}$（**凝聚态集**的范畴）是拓扑斯。" }, { "id": "def-dep.free-pretopology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-compact-hausdorff", "usedBy": "prop.fchaus-pretopology", "note": "预拓扑搭在**自由紧 Hausdorff 空间**上。" }, { "id": "def-dep.projective-pretopology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.fchaus-pretopology", "note": "「满射有截面」说的是这些对象**投射**。" }, { "id": "def-dep.free-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-compact-hausdorff", "usedBy": "prop.fchaus-sheaf", "note": "命题谈的是**自由紧 Hausdorff 空间**上的层。" }, { "id": "def-dep.sheaf-cond-equiv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "thm.cond-equiv-fchaus", "note": "定理说两边的**层**范畴是同一个。" }, { "id": "def-dep.sheaf-cond-epi", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.cond-epi", "note": "命题说的是**凝聚态集**（层）之间满态射的判据。" }, { "id": "def-dep.free-cond-epi", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-compact-hausdorff", "usedBy": "prop.cond-epi", "note": "探针取的是**自由**紧 Hausdorff 空间。" }, { "id": "def-dep.projective-cond", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.cond-projectives", "note": "命题说自由紧 Hausdorff 空间在 $\\mathrm{Cond}$ 里是**投射对象**。" }, { "id": "def-dep.condensed-top-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "thm.top-cond-adjoint", "note": "定理里的函子 $X \\mapsto \\underline{X}$ 以**凝聚态集**为靶。" }, { "id": "def-dep.cg-top-cond", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "thm.top-cond-adjoint", "note": "限制到**紧生成空间**上时那个函子变得全忠实。" }, { "id": "def-dep.cg-coreflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "prop.cg-coreflective", "note": "命题说的是**紧生成空间**是余反射子范畴。" }, { "id": "def-dep.adjoint-cg-coreflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.cg-coreflective", "note": "「余反射」的意思是含入函子有**右伴随**。" }, { "id": "def-dep.free-condab-section", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-compact-hausdorff", "usedBy": "prop.condab-section", "note": "截面函子 $\\Gamma(F, -)$ 的 $F$ 取的是**自由**紧 Hausdorff 空间。" }, { "id": "def-dep.limit-condab-section", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.condab-section", "note": "结论说它保**所有极限与余极限**。" }, { "id": "def-dep.condab-ab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "thm.condab-ab", "note": "定理说的是 $\\mathrm{CondAb}$（**凝聚态阿贝尔群**）满足 AB6 与 AB4*。" }, { "id": "def-dep.stonean-projective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "lem.stonean-projective", "note": "引理的输入是 **Stonean 空间**。" }, { "id": "def-dep.projective-stonean", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "lem.stonean-projective", "note": "结论说 $\\mathbb{Z}\\cdot F$ 是**投射**对象。" }, { "id": "def-dep.generator-condab-generated", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generator", "usedBy": "prop.condab-generated", "note": "命题说的是 $\\mathrm{CondAb}$ 由谁**生成**。" }, { "id": "def-dep.projective-condab-generated", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.condab-generated", "note": "生成元取的是**有限表现的投射**对象。" }, { "id": "def-dep.complex-additive", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "prop.complex-additive", "note": "命题说的是**复形**构成的那个范畴。" }, { "id": "def-dep.equalizer-complex-additive", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "prop.complex-additive", "note": "核与余核都是**逐项**取出来的。" }, { "id": "def-dep.triangle-rotation", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.distinguished-triangle", "usedBy": "prop.triangle-rotation", "note": "命题说的是**导出三角**的基本性质。" }, { "id": "def-dep.triangle-morphism", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.distinguished-triangle", "usedBy": "lem.triangle-morphism", "note": "引理说的是**导出三角**之间态射的性质。" }, { "id": "def-dep.homotopy-triangle-morphism", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.homotopy", "usedBy": "lem.triangle-morphism", "note": "「$u, v$ 是同伦等价则 $w$ 也是」里的比较用的是**同伦**。" }, { "id": "def-dep.equalizer-cohomology-sequence", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "prop.cohomology-exact-sequence", "note": "这条正合列把同调夹在**余核**与**核**之间。" }, { "id": "def-dep.cohomology-long-exact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cohomology", "usedBy": "thm.long-exact", "note": "长正合列里跑的是**同调**。" }, { "id": "def-dep.equalizer-long-exact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "thm.long-exact", "note": "「正合列」本身就是一句关于**核与像**的话。" }, { "id": "def-dep.injective-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.injective-criterion", "note": "命题给出**内射对象**的四条等价刻画。" }, { "id": "def-dep.mono-injective-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "prop.injective-criterion", "note": "「每个**单态射**都有收缩」是等价条件之一。" }, { "id": "def-dep.adjoint-injective-criterion", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.injective-criterion", "note": "「$\\operatorname{Hom}(-, I)$ **正合**」说的是这个函子保正合列 —— 与伴随性相关的那条刻画。" }, { "id": "def-dep.grothendieck-condab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-category", "usedBy": "thm.condab-ab", "note": "定理说的是 $\\mathrm{CondAb}$ **是** Grothendieck 范畴，并且额外满足两条。" }, { "id": "def-dep.ab-condab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ab-axioms", "usedBy": "thm.condab-ab", "note": "AB6 与 AB4\\* 的含义见「Grothendieck 的 AB 公理」那条。" }, { "id": "def-dep.topos-abelian-grothendieck", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos", "usedBy": "thm.topos-abelian-grothendieck", "note": "定理对**拓扑斯** $\\mathcal{T}$ 上的阿贝尔层说话。" }, { "id": "def-dep.abelsh-grothendieck", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-sheaf", "usedBy": "thm.topos-abelian-grothendieck", "note": "$\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ 就是 $\\mathcal{T}$ 上的**阿贝尔层**范畴。" }, { "id": "def-dep.grothendieck-topos-ab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-category", "usedBy": "thm.topos-abelian-grothendieck", "note": "结论是「$\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ 是 **Grothendieck 范畴**」。" }, { "id": "def-dep.generator-topos-ab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generator", "usedBy": "thm.topos-abelian-grothendieck", "note": "小生成元集取 $\\{\\mathbb{Z}\\cdot X : X \\in S\\}$，$S$ 是 $\\mathcal{T}$ 的生成元集。" }, { "id": "def-dep.abeliancat-topos-ab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "thm.topos-abelian-grothendieck", "note": "结论的一部分是「$\\mathcal{T}(\\mathbf{Ab})$ 是**阿贝尔**范畴」。" }, { "id": "def-dep.cg-quotient-locally-compact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-topology", "usedBy": "thm.quotient-product", "note": "定理说的是**商映射** —— 也就是商拓扑那条满射。" }, { "id": "def-dep.cg-product-top", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-topology", "usedBy": "thm.quotient-product", "note": "结论说的是**乘积空间** $X \\times Z \\to Y \\times Z$。" }, { "id": "def-dep.cg-hausdorff-cgprod", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.hausdorff", "usedBy": "cor.cg-product", "note": "推论里的因子 $Y$ 要求**局部紧 Hausdorff**。" }, { "id": "def-dep.cg-kproduct", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.k-topology", "usedBy": "prop.k-product", "note": "式子里两边的 $k$ 都是**$k$-化**。" }, { "id": "def-dep.cg-ktx-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-topology", "usedBy": "prop.cg-kclosed-quotient", "note": "命题说的是**商空间** $X/R$。" }, { "id": "def-dep.weakhaus-diagonal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-topology", "usedBy": "prop.weak-hausdorff-basic", "note": "对角 $\\Delta_{X}$ 住在**乘积** $X \\times X$ 里。" }, { "id": "def-dep.cgwh-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "thm.cgwh-reflective", "note": "$\\mathrm{CGWH}$ 是在**紧生成**之上再加弱 Hausdorff。" }, { "id": "def-dep.funcspace-compactopen", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact-open-topology", "usedBy": "prop.cg-function-space", "note": "命题里的 $kC(X, Y)$ 就是**紧开拓扑**再取 $k$-化。" }, { "id": "def-dep.firstiso-quotient-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-group", "usedBy": "thm.first-iso", "note": "定理左端的 $G/\\ker\\varphi$ 是**商群**。" }, { "id": "def-dep.firstiso-kernel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group-hom", "usedBy": "thm.first-iso", "note": "核与像都是**群同态**的概念。" }, { "id": "def-dep.firstiso-normal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.normal-subgroup", "usedBy": "thm.first-iso", "note": "核是**正规**子群 —— 这正是它能被商掉的理由。" }, { "id": "def-dep.quotient-group-normal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.normal-subgroup", "usedBy": "def.quotient-group", "note": "商群只对**正规**子群有定义。" }, { "id": "def-dep.grouphom-subgroup", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subgroup", "usedBy": "def.group-hom", "note": "核与像都是**子群**。" }, { "id": "ana.embed-better-world", "kind": "analogy", "strength": "weak", "a": "prop.yoneda-embedding", "b": "prop.chaus-reflective", "title": "米田嵌入与 Stone–Čech 紧化：都是「嵌进一个大得多的世界」", "note": "两件事在数学上没有谁推出谁（一个是范畴嵌入，一个是拓扑紧化），但**招数是同一个**：\n**手上这个对象缺东西，就先把它嵌进一个大环境，在那里把活干完，再回到原地。**\n\n**米田嵌入**：$\\mathcal{C} \\hookrightarrow \\widehat{\\mathcal{C}}$。\n$\\mathcal{C}$ 里可能连两个对象的积都没有；$\\widehat{\\mathcal{C}}$ 里**什么极限余极限都有**。\n所以在 $\\mathcal{C}$ 里造不出来的东西，搬到 $\\widehat{\\mathcal{C}}$ 里造（稠密性定理就是把它拆成 $h_{X}$ 的余极限）。\n\n**Stone–Čech 紧化**：$X \\hookrightarrow \\beta X$。\n$X$ 可能不紧、不 Hausdorff，连连续函数都少得可怜；\n$\\beta X$ 里**紧 Hausdorff 的一切好性质都有**（Tychonoff 方块给的）。\n所以在 $X$ 上做不到的分析，搬到 $\\beta X$ 上做（凝聚态集就是拿 $\\beta X$ 当探针）。\n\n**共同的招**：不要在原环境里硬造；先找（或造）一个「什么都不缺」的大环境，嵌进去，干完再拉回来。\n💡 卡在「这个范畴 / 这个空间里根本没有我要的那个东西」时，回来想想这两条。" }, { "id": "ana.sep-container", "kind": "analogy", "strength": "weak", "a": "thm.product", "b": "thm.omega", "title": "「幂集造容器 + 分离筛内容」——同一个证明模板", "note": "这两个证明的骨架**一模一样**，只是塞进去的东西不同：\n\n**$\\omega$ 的构造**：先用幂集公理做出 $\\mathcal{P}(I)$；再从里面**筛出**所有归纳子集，取交。\n\n**$A \\times B$ 的构造**：先用幂集公理做出 $\\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A \\cup B))$；再从里面**筛出**那些形如 (a,b) 的元素。\n\n**共同的招**：集合论里「我想造一个由某种东西组成的集合」时，\n永远不能直接写 `$\\{ x : \\varphi (x) \\}$`（那是罗素悖论）。正确的姿势是两步——\n**先找一个确定足够大的容器，再用分离公理模式从里面挑**。\n\n💡 看到「想造一个集合但不知道怎么下手」时，回来想想这两步。" }, { "id": "ana.tame-infinite", "kind": "analogy", "strength": "weak", "a": "def.finchar", "b": "def.wellorder", "title": "两种「用有限/最小的东西控制无穷」的手法", "note": "两个定义都在回答同一个问题：**面对一个无穷对象，怎么下手？**\n\n**良序**（`def.wellorder`）：要求「每个非空子集都有**最小元**」。\n有了最小元，就能做超限归纳、超限递归 —— 把「一步」规范化，无穷就被结构化了。\n\n**有限特征**（`def.finchar`）：要求「整体属于 $\\mathcal{A} \\iff$ 每个**有限**子集都属于 $\\mathcal{A}$」。\n于是验证一个无穷对象，只需要逐个检查它的有限片段 —— 无穷被压缩成有限。\n\n**共同的招**：都不去正面描述无穷，而是找一个**有限的抓手**\n（一个最小元 / 一个有限子集），让无穷变得可验证、可操作。\n\n💡 这个招在数学里到处都是（紧致性、有限生成、可数逼近……）。" }, { "id": "ana.filter-sieve", "kind": "analogy", "strength": "weak", "a": "ax.sep", "b": "def.finchar", "title": "「不描述整体，只给一个筛子」", "note": "两者都不回答「这个集合里**有什么**」，只回答「**怎么判断**一个东西在不在里面」。\n\n- 分离公理模式：`$x \\in B \\iff (x \\in A \\wedge \\varphi (x))$` —— 给的是**判定条件**，不是元素清单。\n- 有限特征：`$X \\in \\mathcal{A} \\iff X$ 的每个有限子集属于 $\\mathcal{A}$` —— 同样是判定条件。\n\n**为什么这个思路重要**：集合常常是无穷的，没法列举；\n但只要给出判定条件，「这个元素属不属于」就成了一个可回答的问题。\n数学里绝大多数「定义」本质上都是这一类 —— 给条件，不给清单。\n\n💡 读一个新定义时，先问自己：它给的是**构造**还是**判定条件**？" }, { "id": "ana.maximal-apparatus", "kind": "analogy", "strength": "weak", "a": "def.finchar", "b": "def.vs", "title": "「有限特征」这个抽象概念，在向量空间里有一个现成的实例", "note": "严格说这不只是类比 —— 它是一个**实例**，但方向不是逻辑蕴含：\n`def.finchar` 不推出 `def.vs`，`def.vs` 也不推出 `def.finchar`；\n它们是「抽象工具」和「具体落地」的关系。\n\n线性无关性恰好是有限特征的：\n「$S$ 线性无关 $\\iff S$ 的每个**有限**子集线性无关」——\n这就是 `def.finchar` 的定义，一字不差。\n\n**所以「每个向量空间有基」的证明里，那个「链的并仍线性无关」的关键一步，\n本质上是在验证有限特征在链条下保持。** Tukey 引理正是为此而生的。\n\n💡 这条边是「跨星团」的：序理论 $\\leftrightarrow$ 抽象代数。\n它不提供新的定理，但它告诉你**两块内容为什么长得像**。" }, { "id": "ana.generated-closure", "kind": "analogy", "strength": "weak", "a": "def.generated-sigma", "b": "def.vs", "title": "「取一切包含它的 X 之交」——生成同一个模板", "note": "两处都在做同一件事：**给定一点种子，造出包含它的最小结构**。\n\n- **生成的 $\\sigma$-代数**：$\\mathcal{M}(\\mathcal{E}) = \\bigcap \\{ \\mathfrak{A} : \\mathfrak{A} \\supseteq \\mathcal{E},\\ \\mathfrak{A}$ 是 $\\sigma$-代数 $\\}$。\n- **由 $S$ 生成的子空间 / 张成**：$\\operatorname{span} S = \\bigcap \\{ W : W \\supseteq S,\\ W$ 是子空间 $\\}$。\n\n**共同的招**：不直接写「最小的那个」，而是**取一切候选之交** —— 交封闭保证了交出来还是同类结构，\n$\\mathcal{P}(X)$（或整个空间）保证了候选族不空。这两句话就是良定义性证明的全部。\n\n**为什么值得记**：凡是要「造最小的封闭结构」（子群、理想、闭包、$\\sigma$-代数、$\\sigma$-环），\n都是这个模板；反过来，验证一个「包含关系」时，也总是把两边都化成「交」。\n\n💡 跨星团：测度的构造 $\\leftrightarrow$ 抽象代数。" }, { "id": "ana.sup-extension", "kind": "analogy", "strength": "weak", "a": "thm.mct", "b": "def.series", "title": "都是「取上确界」：把无穷一次性握在手里", "note": "两处的定义/证明核心是**同一个动作**：\n\n- **非负项级数**：$\\sum_{n} a_n := \\sup_N s_N$ —— 不去「求极限」，直接取部分和的上确界。\n- **单调收敛定理**：$\\int f = \\lim \\int f_n$，而证明正是把两边都写成 $\\sup$ 再交换（$\\sup$ 与 $\\sup$ 交换，不需要任何条件）。\n\n**共同的招**：只要是**单调递增**的，就不必讨论极限存在性 —— 上确界在 $[0, +\\infty]$ 里永远存在，\n于是「求极限」这一步被绕过去了。这就是为什么 MCT 的证明条件最少、最好用。\n\n**反面**：一旦不再单调（Fatou、控制收敛），就必须补「可积控制」这种额外条件 —— 因为那时取不到 $\\sup$ 了。\n\n💡 看到「极限不知道存不存在」时，先问：能不能改成单调的，然后取上确界？" }, { "id": "ana.coarse-control", "kind": "analogy", "strength": "weak", "a": "def.maximal-function", "b": "def.finchar", "title": "用一个「更粗但可控」的量，把无穷握在手里", "note": "两处都在面对一个无法逐个处理的无穷对象，做法都是**换一个更粗的量去控制它**：\n\n- **极大函数**：逐点值 $f(x)$ 没法控制（可以随便改零集上的取值），改成 $Hf(x) = \\sup_r A_r |f|(x)$ ——\n 它更大、更粗，但**可测**、有极大不等式，于是逐点问题化归为测度估计。\n- **有限特征**：整体 $X \\in \\mathcal{A}$ 没法验证，改成「每个有限子集都行」——\n 条件更粗，但可以用有限手段逐条查。\n\n**共同的招**：**牺牲精度换可控性**。粗的量先拿下，细的问题再还回去\n（极大不等式 $\\to$ Lebesgue 微分定理；有限特征 $\\to$ Tukey 引理）。\n\n💡 卡在「无穷没法遍历」时，问：有没有一个更粗的、可测/可验证的量，能把这件事包住？" }, { "id": "ana.sup-vs-maximal", "kind": "analogy", "strength": "weak", "a": "lem.zorn", "b": "thm.real-ordered-field", "title": "佐恩引理与确界原理：都是「一次把无穷过程走完」", "note": "两个命题的精神酷似，而且都不是构造性的：\n\n- **确界原理**（$\\mathbb{R}$ 的完备性）：非空有上界的集合，$\\sup S$ **直接存在** —— 不需要你去逼近。\n- **佐恩引理**：每个链有上界的偏序集，**极大元直接存在** —— 不需要你去一步步往上爬。\n\n**共同的招**：把「无限步的过程」压缩成「一个对象的存在性」，然后直接取用它。\n有了它，分析里可以取上确界、代数里可以取极大理想、集合论里可以取极大链。\n\n⚠ 差异也要记住：确界原理是 $\\mathbb{R}$ 的**完备性**，由 $\\mathbb{R}$ 的构造证出来，\n佐恩引理等价于**选择公理** —— 前者在一个具体的全序集里工作，后者在任意的偏序集里工作，代价是多了一个公理。\n\n💡 这也解释了为什么「实数完备」与「选择公理」在证明里长得像：它们是同一类存在性工具。" }, { "id": "def-dep.subset-rel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.rel", "note": "关系是 $A \\times B$ 的**子集**，定义域 $\\operatorname{dom} R$ 与值域 $\\operatorname{ran} R$ 也都是子集。" }, { "id": "def-dep.rel-function", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.rel", "usedBy": "def.function", "note": "函数是**特殊的关系**：只多要求「每个输入的输出唯一」。" }, { "id": "def-dep.rel-poset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.rel", "usedBy": "def.poset", "note": "偏序 $\\preceq$ 是 $A$ 上的**二元关系**——先有关系，才有「自反、反对称、传递」这三条。" }, { "id": "def-dep.subset-chain", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.chain", "note": "链是 $P$ 的**子集**，只是额外要求两两可比。" }, { "id": "def-dep.subset-bound", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.bound", "note": "上界与极大元都是相对于 $S \\subseteq P$ 说的，条件用 $\\preceq$ 写成。" }, { "id": "def-dep.subset-wellorder", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.wellorder", "note": "「$W$ 的每个非空**子集**都有最小元」——良序性是靠子集量词说出来的。" }, { "id": "def-dep.subset-vs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.vs", "note": "「$S$ 的每个**有限子集**都线性无关」——线性无关性是逐有限子集定义的。" }, { "id": "def-dep.finchar-vs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.finchar", "usedBy": "def.vs", "note": "正因为逐有限子集定义，线性无关性**具有有限特征**（注里点明了这一步）。" }, { "id": "def-dep.function-metric-space", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.metric-space", "note": "距离 $d : X \\times X \\to [0, +\\infty)$ 是一个**函数**，记号 $d(x, y)$ 用的就是函数值。" }, { "id": "def-dep.metric-complete", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.metric-space", "usedBy": "def.complete", "note": "Cauchy 列与收敛都是**关于距离空间** $(X, d)$ 说的。" }, { "id": "def-dep.metric-totally-bounded", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.metric-space", "usedBy": "def.totally-bounded", "note": "$\\varepsilon$ 网与开球 $B(x, \\varepsilon)$ 都定义在距离空间上。" }, { "id": "def-dep.metric-seq-compact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.metric-space", "usedBy": "def.sequentially-compact", "note": "「子列收敛到 $X$ 中的点」里的收敛，用的就是这个 $d$。" }, { "id": "def-dep.metric-compact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.metric-space", "usedBy": "def.compact", "note": "这一条陈述在距离空间 $(X, d)$ 上，开覆盖用的是由 $d$ 诱导的开集。" }, { "id": "def-dep.subset-fundamental-class", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.fundamental-class", "note": "$\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$：基本类首先是一族**子集**。" }, { "id": "def-dep.subset-set-ring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.set-ring", "note": "同理，环与代数也是 $\\mathcal{P}(X)$ 的一族**子集**。" }, { "id": "def-dep.subset-monotone-class", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.monotone-class", "note": "单调类同样是 $\\mathcal{P}(X)$ 的一族**子集**。" }, { "id": "def-dep.monotone-generated-sigma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monotone-class", "usedBy": "def.generated-sigma", "note": "这条同时定义 $\\mathcal{M}(\\mathcal{E})$ 与 $\\mathfrak{m}(\\mathcal{E})$——后者就是**由 $\\mathcal{E}$ 生成的单调类**。" }, { "id": "def-dep.function-product-sigma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.product-sigma", "note": "投影 $\\pi_\\alpha$ 是**函数**，柱集 $\\pi_\\alpha^{-1}(E_\\alpha)$ 用的是逆像。" }, { "id": "def-dep.sigma-algebra-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sigma-algebra", "usedBy": "def.measure", "note": "测度是定义在**$\\sigma$ 代数** $\\mathcal{M}$ 上的函数 $\\mu : \\mathcal{M} \\to [0, +\\infty]$。" }, { "id": "def-dep.set-ring-premeasure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.set-ring", "usedBy": "def.premeasure", "note": "预测度的定义域只是一个**环**，不必是 $\\sigma$ 代数。" }, { "id": "def-dep.measure-premeasure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.premeasure", "note": "「仍满足**测度的两条**」——预测度就是把测度的定义域从 $\\sigma$ 代数放宽到环。" }, { "id": "def-dep.measure-finitely-additive", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.finitely-additive", "note": "把测度的**可数**可加降成**有限**可加，就是有限可加测度。" }, { "id": "def-dep.measure-null-set", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.null-set", "note": "$\\mu$ 零集是「$\\mu(E) = 0$ 的可测集」，$E$ 与 $\\mu$ 都来自**测度空间**。" }, { "id": "def-dep.subset-outer-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.outer-measure", "note": "外测度定义在**全体子集**上：$\\mu^* : \\mathcal{P}(X) \\to [0, +\\infty]$。" }, { "id": "def-dep.powerset-outer-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.power-set", "usedBy": "def.outer-measure", "note": "定义域是**幂集** $\\mathcal{P}(X)$ —— 不是某个 $\\sigma$-代数。" }, { "id": "def-dep.extreal-outer-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.extended-real", "usedBy": "def.outer-measure", "note": "取值落在**扩充实数** $[0, +\\infty]$ 里：外测度可以取 $+\\infty$（$\\mathbb{R}$ 的 Lebesgue 测度就是）。" }, { "id": "def-dep.extreal-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.extended-real", "usedBy": "def.measure", "note": "测度也取值在 $[0, +\\infty]$ 里 —— 「$\\mu$ 是**测度**」这句话里的 $\\mu$ 是映到扩充实数的。" }, { "id": "def-dep.outer-carath", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.outer-measure", "usedBy": "def.caratheodory-measurable", "note": "「设 $\\mu^*$ 是 $X$ 上的**外测度**」——可测性完全由 $\\mu^*$ 一个对象定出来。" }, { "id": "def-dep.borel-lebesgue-stieltjes", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.borel", "usedBy": "def.lebesgue-stieltjes", "note": "$\\mu_F$ 是 $\\mathbb{R}$ 上的 **Borel 测度**：定义域是 $\\mathfrak{B}_\\mathbb{R}$。" }, { "id": "def-dep.borel-regular", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.borel", "usedBy": "def.regular-measure", "note": "正则性是**关于 Borel 测度**说的：外正则就是用开集去逼近 Borel 集。" }, { "id": "def-dep.compact-regular", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "def.regular-measure", "note": "第一条要求「$\\nu(K) < \\infty$ 对每个**紧集** $K$ 成立」。" }, { "id": "def-dep.sigma-algebra-measurable-fn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sigma-algebra", "usedBy": "def.measurable-function", "note": "可测空间 $(X, \\mathcal{M})$ 就是「集合 $+$ $\\sigma$ 代数」；可测性说的是原像落在 $\\mathcal{M}$ 里。" }, { "id": "def-dep.measurable-fn-lplus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measurable-function", "usedBy": "def.lplus", "note": "$L^+$ 是「取值在 $[0, +\\infty]$ 里的**可测**函数」全体。" }, { "id": "def-dep.measure-lplus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.lplus", "note": "$L^+$ 要**先固定一个测度空间** $(X, \\mathcal{M}, \\mu)$ 才谈得上。" }, { "id": "def-dep.measure-integral-simple", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.integral-simple", "note": "加权和 $\\sum_j a_j \\, \\mu(E_j)$ 里的 $\\mu$ 是**测度**。" }, { "id": "def-dep.lplus-integral-nonneg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lplus", "usedBy": "def.integral-nonneg", "note": "定义写成 $\\int f := \\sup \\{ \\int \\varphi : 0 \\le \\varphi \\le f \\}$，其中 $f \\in L^+$。" }, { "id": "def-dep.nonneg-integral-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integral-nonneg", "usedBy": "def.integral-complex", "note": "正负部的积分 $\\int f^+$ 与 $\\int f^-$ 用的都是**非负函数的积分**。" }, { "id": "def-dep.nonneg-integral-integrable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integral-nonneg", "usedBy": "def.integrable", "note": "可积的判据 $\\int |f| < \\infty$ 是一个非负函数的积分。" }, { "id": "def-dep.integral-complex-integrable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integral-complex", "usedBy": "def.integrable", "note": "实值情形要先拆成正负部（复函数的积分），再要求这两个积分都有限。" }, { "id": "def-dep.measurable-fn-convergence", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measurable-function", "usedBy": "def.convergence-modes", "note": "五种收敛里的 $f_n$ 与 $f$ 都要求**可测**。" }, { "id": "def-dep.measure-convergence", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.convergence-modes", "note": "a.e. 收敛与依测度收敛里的零集、$\\mu(\\{\\cdots\\}) $ 都用**测度**。" }, { "id": "def-dep.integrable-convergence", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "def.convergence-modes", "note": "$L^1$ 收敛是 $\\int |f_n - f| \\to 0$，用到**可积**这个概念。" }, { "id": "def-dep.measurable-fn-cauchy-in-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measurable-function", "usedBy": "def.cauchy-in-measure", "note": "依测度 Cauchy 是**可测函数列**的性质。" }, { "id": "def-dep.measure-cauchy-in-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.cauchy-in-measure", "note": "定义里的 $\\mu(\\{\\cdots\\})$ 是测度。" }, { "id": "def-dep.measure-product-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.product-measure", "note": "$\\mu \\times \\nu$ 是由两个**测度** $\\mu$、$\\nu$ 造出来的。" }, { "id": "def-dep.outer-product-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.outer-measure", "usedBy": "def.product-measure", "note": "扩张这一步：$\\mu_{0}$ **诱导出 $X \\times Y$ 上的外测度**，再限制到积 $\\sigma$ 代数上。" }, { "id": "def-dep.subset-section", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.section", "note": "截口 $E_x = \\{ y : (x, y) \\in E \\}$ 是**子集**（$E \\subseteq X \\times Y$）。" }, { "id": "def-dep.sigma-algebra-signed-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sigma-algebra", "usedBy": "def.signed-measure", "note": "符号测度定义在**可测空间** $(X, \\mathcal{M})$ 上。" }, { "id": "def-dep.measure-signed-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.signed-measure", "note": "例 1 直接把符号测度写成两个**测度**之差 $\\nu = \\mu_1 - \\mu_2$。" }, { "id": "def-dep.null-set-mutually-singular", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "def.mutually-singular", "note": "相互奇异要求「$E$ 是 $\\mu$ **零集**、$F$ 是 $\\nu$ 零集」。" }, { "id": "def-dep.measure-mutually-singular", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.mutually-singular", "note": "$\\mu$ 与 $\\nu$ 本身是（符号）**测度**。" }, { "id": "def-dep.null-set-absolute-continuity", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "def.absolute-continuity", "note": "$\\nu \\ll \\mu$ 的定义是「每个 $\\mu$ **零集**都是 $\\nu$ 零集」。" }, { "id": "def-dep.signed-measure-absolute-continuity", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.signed-measure", "usedBy": "def.absolute-continuity", "note": "这里的 $\\nu$ 是一个**符号测度**。" }, { "id": "def-dep.ac-rn-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.absolute-continuity", "usedBy": "def.rn-derivative", "note": "RN 导数 $d\\nu/d\\mu$ 就是在 $\\nu \\ll \\mu$ 的前提下取到的那个 $f$。" }, { "id": "def-dep.mutually-singular-rn-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mutually-singular", "usedBy": "def.rn-derivative", "note": "Lebesgue 分解 $\\nu = \\lambda + \\rho$ 里的奇异部分要求 $\\lambda \\perp \\mu$。" }, { "id": "def-dep.measure-rn-derivative", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.rn-derivative", "note": "定理要求 $\\nu \\ll \\mu$ 且两者都 $\\sigma$ 有限——$\\sigma$ 有限性是关于**测度**的。" }, { "id": "def-dep.sigma-algebra-complex-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sigma-algebra", "usedBy": "def.complex-measure", "note": "复测度同样定义在**可测空间** $(X, \\mathcal{M})$ 上。" }, { "id": "def-dep.measure-complex-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.complex-measure", "note": "复测度是照着**测度**改写取值的：$\\nu : \\mathcal{M} \\to \\mathbb{C}$。" }, { "id": "def-dep.signed-complex-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.signed-measure", "usedBy": "def.complex-measure", "note": "注里逐条与**符号测度**对照：复测度自动有限、级数自动绝对收敛。" }, { "id": "def-dep.measurable-fn-locally-integrable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measurable-function", "usedBy": "def.locally-integrable", "note": "局部可积的对象是**可测函数** $f : \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{C}$。" }, { "id": "def-dep.integrable-locally-integrable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integrable", "usedBy": "def.locally-integrable", "note": "判据 $\\int_K |f| < \\infty$ 与 $L^1$ 的可积判据同源，只是把整个空间换成有界可测集 $K$。" }, { "id": "def-dep.measure-average-operator", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.average-operator", "note": "平均值里的 $m(B(r, x))$ 是 **Lebesgue 测度**。" }, { "id": "def-dep.locally-integrable-lebesgue-set", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.locally-integrable", "usedBy": "def.lebesgue-set", "note": "「设 $f \\in L^1_{loc}$」——Lebesgue 集只对**局部可积**函数谈。" }, { "id": "def-dep.average-operator-lebesgue-set", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.average-operator", "usedBy": "def.lebesgue-set", "note": "定义里的那个平均 $\\frac{1}{m(B)}\\int_B |f(y) - f(x)| dy$ 就是**平均算子**的样子。" }, { "id": "def-dep.borel-shrinks-nicely", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.borel", "usedBy": "def.shrinks-nicely", "note": "要求 $\\{ E_r \\}$ 是一族 **Borel 子集**，这样 $m(E_r)$ 才有意义。" }, { "id": "def-dep.subset-shrinks-nicely", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.shrinks-nicely", "note": "第一条是 $E_r \\subseteq B(r, x)$——一个**子集**关系。" }, { "id": "def-dep.poset-real", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.poset", "usedBy": "def.real", "note": "实数系是一个**全序**域：序公理里说的「全序」就是偏序再加上可比性。" }, { "id": "def-dep.extended-conjugate", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.extended-real", "usedBy": "def.conjugate-exponents", "note": "共轭指数里 $p = \\infty$ 要配 $q = 1$，约定 $1/\\infty = 0$ —— 用到了**扩充实数**。" }, { "id": "def-dep.bv-nbv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bounded-variation", "usedBy": "def.nbv", "note": "$NBV := \\{ F \\in BV : F$ 右连续且 $F(-\\infty) = 0 \\}$，整个定义建立在**有界变差**之上。" }, { "id": "def-dep.borel-nbv", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.borel", "usedBy": "def.nbv", "note": "加这两个条件的目的，是与 $\\mathbb{R}$ 上的**复 Borel 测度**一一对应。" }, { "id": "def-dep.measurable-fn-lp-norm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measurable-function", "usedBy": "def.lp-norm", "note": "$L^p$ 的元素要求 $f$ **可测**且 $\\|f\\|_p < \\infty$。" }, { "id": "def-dep.measure-lp-norm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.lp-norm", "note": "$\\|f\\|_p$ 里的积分是对**测度** $\\mu$ 取的。" }, { "id": "def-dep.nonneg-integral-lp-norm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integral-nonneg", "usedBy": "def.lp-norm", "note": "$\\|f\\|_p = \\left[ \\int |f|^p \\, d\\mu \\right]^{1/p}$ 用的是**非负函数的积分**。" }, { "id": "def-dep.measure-essential-sup", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.essential-sup", "note": "定义里出现 $\\mu(\\{ |f| > a \\}) = 0$，用的是**测度**。" }, { "id": "def-dep.null-set-essential-sup", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.null-set", "usedBy": "def.essential-sup", "note": "「把 $f$ 在**零集**上的取值统统不算」——这正是本性上界的意思。" }, { "id": "def-dep.measurable-fn-essential-sup", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measurable-function", "usedBy": "def.essential-sup", "note": "$L^\\infty$ 的元素是**可测**且本性上界有限的函数。" }, { "id": "def-dep.lp-norm-duality-map", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lp-norm", "usedBy": "def.duality-map", "note": "$\\varphi_g$ 定义在 $L^p$ 上，有界性要靠范数 $\\|f\\|_p$ 来说。" }, { "id": "def-dep.conjugate-duality-map", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.conjugate-exponents", "usedBy": "def.duality-map", "note": "「设 $p, q$ **共轭**，$g \\in L^q$」——共轭指数是这条定义的前提。" }, { "id": "def-dep.integral-complex-duality-map", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.integral-complex", "usedBy": "def.duality-map", "note": "$\\varphi_g(f) = \\int f g \\, d\\mu$ 本身是一个**积分**。" }, { "id": "def-dep.essential-sup-duality-map", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.essential-sup", "usedBy": "def.duality-map", "note": "$g \\in L^\\infty$ 那一头（$p = 1$）要用本性上界。" }, { "id": "def-dep.function-measurable-function", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.measurable-function", "note": "可测性的载体是**函数** $f : X \\to Y$ —— 先有函数，才谈得上「每个可测集的原像可测」。" }, { "id": "def-dep.signed-regular-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.signed-measure", "usedBy": "def.regular-measure", "note": "「**符号测度** $\\nu$ 叫正则 $\\iff$ $|\\nu|$ 正则」—— 正则性是借助符号测度说的。" }, { "id": "def-dep.complex-regular-measure", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.complex-measure", "usedBy": "def.regular-measure", "note": "同一条对**复测度**再说一遍。" }, { "id": "def-dep.metric-shrinks-nicely", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.metric-space", "usedBy": "def.shrinks-nicely", "note": "「$E_r \\subseteq B(r, x)$」里的 $B(r, x)$ 是**距离空间**里的球。" }, { "id": "def-dep.measure-shrinks-nicely", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.measure", "usedBy": "def.shrinks-nicely", "note": "「$m(E_r) > \\alpha \\cdot m(B(r, x))$」里的 $m$ 是一个**测度**。" }, { "id": "def-dep.lplus-integral-simple", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.lplus", "usedBy": "def.integral-simple", "note": "标准形式写的是「$\\varphi \\in L^+$ 是简单函数」—— 定义域落在 $L^+$ 里。" }, { "id": "def-dep.power-universe", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.power-set", "usedBy": "def.universe", "note": "宇宙的第三条要求 $x \\in U \\implies \\mathcal{P}(x) \\in U$，用的就是**幂集**。" }, { "id": "def-dep.union-universe", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.union-inter", "usedBy": "def.universe", "note": "第四条 $\\bigcup_{t \\in p} f(t) \\in U$ 用的是**并集**（指标集是 $U$ 里的一个集合，所以这里要的是「沿一个集合取并」）。" }, { "id": "def-dep.pair-graph", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pair", "usedBy": "def.graph", "note": "四元组 $(V, E, s, t)$ 是**嵌套的有序对** —— 有序对是它的载体，先有有序对才写得下四元组。" }, { "id": "def-dep.function-graph", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.graph", "note": "起点映射与终点映射 $s, t : E \\to V$ 是两个**函数**。" }, { "id": "def-dep.graph-graph-morphism", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.graph", "usedBy": "def.graph-morphism", "note": "图的态射是**图之间**的 —— 先有图这个对象。" }, { "id": "def-dep.function-graph-morphism", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.graph-morphism", "note": "图的态射是一**对函数** $(\\varphi_1, \\varphi_2)$，再加上两条交换性等式。" }, { "id": "def-dep.graph-category", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.graph", "usedBy": "def.category", "note": "范畴是一个六元组，其中 $(\\mathcal{O}, M, s, t)$ **是一个图** —— 图是范畴的骨架，复合与单位是额外加上去的。" }, { "id": "def-dep.product-category", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.product", "usedBy": "def.category", "note": "复合 $\\circ$ 是从 $M \\times M$ 里抠出来的那部分出发的，要先有**笛卡尔积**。" }, { "id": "def-dep.subset-category", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subset", "usedBy": "def.category", "note": "$M \\times_{s,t} M = \\{ (f,g) \\in M \\times M : s(f) = t(g) \\}$ 是 $M \\times M$ 的一个**子集**。" }, { "id": "def-dep.category-section", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.section-retraction", "note": "截面与收缩说的是范畴里**态射与单位态射**之间的关系，没有范畴就无从说起。" }, { "id": "def-dep.category-functor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.functor", "note": "函子的定义域与靶都是**范畴**：对象映到对象、态射映到态射。" }, { "id": "def-dep.function-functor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.functor", "note": "函子在对象层与态射层各给一个**函数**。" }, { "id": "def-dep.functor-nat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.natural-transformation", "note": "自然变换是**两个函子之间**的东西，先得有两个函子。" }, { "id": "def-dep.category-nat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.natural-transformation", "note": "自然变换的每个分量 $\\alpha_X : F(X) \\to G(X)$ 是范畴里的**态射**，自然性的方块也是在范畴里交换的。" }, { "id": "def-dep.functor-ff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.ff-faithful", "note": "忠实与满说的是函子在 $\\operatorname{Hom}$ 集上**诱导的那个映射**的性质。" }, { "id": "def-dep.functor-eso", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.essentially-surjective", "note": "本质满说的是函子在**对象层**上的像覆盖到什么程度。" }, { "id": "def-dep.functor-equivalence", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.cat-equivalence", "note": "范畴等价是**函子**的一条性质 —— 先有函子，才谈得上它是不是等价。" }, { "id": "def-dep.nat-equivalence", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "def.cat-equivalence", "note": "等价要求两个复合**自然同构**于恒等函子，这个「$\\cong$」只有靠自然变换才说得出来。" }, { "id": "def-dep.functor-diagram", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.commutative-diagram", "note": "一张图就是一个**函子** $D : I \\to \\mathcal{C}$，索引范畴 $I$ 是它的定义域。" }, { "id": "def-dep.category-diagram", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.commutative-diagram", "note": "索引范畴与靶都是**范畴** —— 图这个概念整个建立在范畴之上。" }, { "id": "def-dep.diagram-simplicial", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.commutative-diagram", "usedBy": "def.simplicial", "note": "单纯对象就是一个图 $\\Delta^{\\mathrm{op}} \\to \\mathcal{C}$ —— 只不过索引范畴换成了**单纯形范畴** $\\Delta$。" }, { "id": "def-dep.function-simplicial", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.simplicial", "note": "$\\Delta$ 的态射是**单调映射** $[n] \\to [m]$，面映射与退化映射是两类基本映射（跳过一点 / 重复一点）。" }, { "id": "def-dep.function-cone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.cone", "note": "锥是一**族**态射 $p_i : X \\to D(i)$，族的底层是一个以 $I$ 的对象为定义域的函数。" }, { "id": "def-dep.nat-cone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "def.cone", "note": "锥就是常图到 $D$ 的**自然变换** $\\Delta X \\implies D$，相容性条件正是自然性方块。" }, { "id": "def-dep.diagram-limit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.commutative-diagram", "usedBy": "def.limit", "note": "极限是**图**的极限 —— 先有图，才谈得上它的泛锥。" }, { "id": "def-dep.cone-limit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cone", "usedBy": "def.limit", "note": "极限的定义是「**泛锥**」：锥是原料，泛性质是筛选条件。" }, { "id": "def-dep.category-limit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.limit", "note": "泛锥的**唯一性**是范畴里的唯一性，分解 $p_i \\circ g = g_i$ 也是范畴里的等式。" }, { "id": "def-dep.empty-final", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.empty", "usedBy": "def.final-initial", "note": "终对象是**空图**的极限 —— 索引范畴取空集时，图上没有位置可投，锥就只剩一个对象。" }, { "id": "def-dep.limit-final", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "def.final-initial", "note": "终对象与始对象分别是空图上极限与余极限的**特例**，泛性质原样搬过来就是 $\\operatorname{Hom}$ 集单点。" }, { "id": "def-dep.limit-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "def.product", "note": "积是**离散范畴**上的极限：索引范畴里没有非恒等态射，相容性条件就自动消失了。" }, { "id": "def-dep.product-set", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.product", "usedBy": "def.product", "note": "在 $\\mathbf{Set}$ 里范畴论意义下的积就是**笛卡尔积** —— 同一件东西的两个名字。" }, { "id": "def-dep.limit-fibered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "def.fibered-product", "note": "纤维积是形状为 $X_1 \\to X_0 \\leftarrow X_2$ 的图的极限。" }, { "id": "def-dep.limit-equalizer", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "def.equalizer", "note": "等化子是**平行对** $f, g : X \\rightrightarrows Y$ 的极限。" }, { "id": "def-dep.fibered-mono", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "def.mono", "note": "单态射的等价条件 $Y \\cong Y \\times_X Y$ 用的正是沿 $i$ 的**纤维积**。" }, { "id": "def-dep.mono-subobject", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "def.subobject", "note": "子对象就是一个**单态射** $Y \\rightarrowtail X$ —— 用「可以嵌入」代替「是子集」。" }, { "id": "def-dep.fibered-subobject", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "def.subobject", "note": "子对象的**交**与**原像**都是用纤维积（拉回）定义的。" }, { "id": "def-dep.subobject-image", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subobject", "usedBy": "def.image", "note": "像被定义为 $Y$ 的**子对象**，即一个单态射 $I \\rightarrowtail Y$。" }, { "id": "def-dep.mono-image", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "def.image", "note": "「$I$ 是 $Y$ 的子对象」这句话里的 $I \\to Y$ 是**单态射**。" }, { "id": "def-dep.function-el", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.elements-category", "note": "元素范畴的对象是 $(Y, t)$，$t \\in F(Y)$；把 $F$ 看成函数之后「元素」才有意义。" }, { "id": "def-dep.cone-el", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cone", "usedBy": "def.elements-category", "note": "「泛 = 辅助范畴的始 / 终对象」正是锥的「泛」的来源：极限就是锥范畴的终对象。" }, { "id": "def-dep.functor-presheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.presheaf", "note": "预层按定义就是一个**反变函子** $T : \\mathcal{C}^{\\mathrm{op}} \\to \\mathbf{Set}$。" }, { "id": "def-dep.category-presheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.presheaf", "note": "$\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}$ 与 $\\mathbf{Set}$ 都是**范畴**，反变说的是复合的次序被翻过来。" }, { "id": "def-dep.nat-presheafcat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "def.presheaf-cat", "note": "$\\widehat{\\mathcal{C}}$ 的态射就是预层之间的**自然变换**。" }, { "id": "def-dep.functor-presheafcat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.presheaf-cat", "note": "预层范畴是**函子范畴** $\\operatorname{Hom}(\\mathcal{C}^{\\mathrm{op}}, \\mathbf{Set})$。" }, { "id": "def-dep.functor-representable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.representable", "note": "被表示的东西 $F$ 本身就是一个**函子** $\\mathcal{C} \\to \\mathbf{Set}$。" }, { "id": "def-dep.category-representable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.representable", "note": "$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, -)$ 是对**范畴** $\\mathcal{C}$ 取的 Hom 函子。" }, { "id": "def-dep.function-representable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.representable", "note": "万有条件里的 $\\exists! f : X \\to Y$ 与 $F(f)(s) = t$ 都是**函数**层的话。" }, { "id": "def-dep.nat-representable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "def.representable", "note": "第二种定义写的是 $F \\cong \\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, -)$，这个 $\\cong$ 是**自然同构**。" }, { "id": "def-dep.el-representable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.elements-category", "usedBy": "def.representable", "note": "万有元素 $(X, s)$ 就是**元素范畴** $\\operatorname{el}(F)$ 的始对象。" }, { "id": "def-dep.el-slice", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.elements-category", "usedBy": "def.slice-category", "note": "切片范畴就是**元素范畴**搬到预层上：把 $T(X)$ 的元素当元素。" }, { "id": "def-dep.presheaf-slice", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "def.slice-category", "note": "切片范畴的**指标是 $T$ 的截面** $s \\in T(X)$，没有预层就没有这些截面。" }, { "id": "def-dep.functor-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.adjoint", "note": "伴随是**两个函子**之间的关系，两边各放一个方向。" }, { "id": "def-dep.category-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.adjoint", "note": "$\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{D}}(F(X), Y)$ 与 $\\operatorname{Hom}_{\\mathcal{C}}(X, G(Y))$ 是对两个**范畴**取的 Hom 集。" }, { "id": "def-dep.function-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.adjoint", "note": "伴随的同构逐对对象给一个**双射**，其底层是函数。" }, { "id": "def-dep.adjoint-unit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "def.adjunction-unit", "note": "单位与余单位是把伴随的同构 $\\Phi$ 在两个**恒等态射**上取值得到的，先有伴随才有它们。" }, { "id": "def-dep.nat-unit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "def.adjunction-unit", "note": "单位与余单位本身都是**自然变换**，三角等式也是自然性方块拼出来的。" }, { "id": "def-dep.function-comma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.comma-category", "note": "逗号范畴的对象是 $(Y, f)$，其中 $f : X \\to G(Y)$ 是一个**映射**。" }, { "id": "def-dep.functor-comma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.comma-category", "note": "$G$ 是**函子**，$X \\downarrow G$ 是绕着它搭起来的。" }, { "id": "def-dep.el-comma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.elements-category", "usedBy": "def.comma-category", "note": "元素范畴是**逗号范畴**的特例：把 $G$ 取成 $\\mathbf{1} \\to \\mathbf{Set}$。" }, { "id": "def-dep.adjoint-reflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "def.reflective-subcategory", "note": "反射的定义就是「**含入函子有左伴随**」。" }, { "id": "def-dep.ff-reflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ff-faithful", "usedBy": "def.reflective-subcategory", "note": "反射说的是**满子范畴**，「满」正是函子全忠实里的一半。" }, { "id": "def-dep.adjoint-kan", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "def.kan-extension", "note": "左 Kan 延拓的定义就是「$p_{!}$ 是预复合函子的**左伴随**」—— 一个伴随同构。" }, { "id": "def-dep.functor-kan", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.kan-extension", "note": "$p$、$F$、$p_{!}F$、$G$ 都是**函子**。" }, { "id": "def-dep.nat-kan", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "def.kan-extension", "note": "$\\alpha : F \\implies p_{!}F \\circ p$ 与 $\\gamma$ 都是**自然变换**。" }, { "id": "def-dep.compact-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "def.chaus", "note": "紧 Hausdorff 空间就是**紧**空间再加上 Hausdorff 性。" }, { "id": "def-dep.hausdorff-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.hausdorff", "usedBy": "def.chaus", "note": "「Hausdorff」那一半来自分离公理。" }, { "id": "def-dep.category-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.chaus", "note": "把它们收成一个**范畴**：对象是空间，态射是连续映射。" }, { "id": "def-dep.chaus-free", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "def.free-compact-hausdorff", "note": "自由紧 Hausdorff 空间是 $\\mathbf{CHaus}$ 里的对象：$F \\cong \\beta I$。" }, { "id": "def-dep.mono-projective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "def.projective-object", "note": "投射性的定义要求「**满态射**有提升」，内射性对偶地要求「**单态射**有延拓」—— 纯箭头语言。" }, { "id": "def-dep.fibered-free-presentation", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "def.free-presentation", "note": "$R := F \\times_{S} F$ 是一个**纤维积**。" }, { "id": "def-dep.chaus-free-presentation", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "def.free-presentation", "note": "自由表示是 $\\mathbf{CHaus}$ 里的一个满射三元组。" }, { "id": "def-dep.connected-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.connected", "usedBy": "def.stone-space", "note": "「**全不连通**」说的是每个连通分量都是单点。" }, { "id": "def-dep.clopen-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.clopen", "usedBy": "def.stone-space", "note": "「**极端不连通**」说的是任一开集的闭包仍是闭开集。" }, { "id": "def-dep.chaus-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "def.stone-space", "note": "Stone 空间与 Stonean 空间分别是「全不连通」与「极端不连通」再加**紧 Hausdorff**。" }, { "id": "def-dep.limit-profinite", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "def.profinite", "note": "投射有限空间是有限离散空间沿有向系统的**极限**。" }, { "id": "def-dep.presheaf-sieve", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "def.sieve", "note": "筛是**预层** $h_{X}$ 的一个子函子。" }, { "id": "def-dep.functor-sieve", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.sieve", "note": "「子函子」本身就是函子语言：$R \\subseteq h_{X}$ 要在态射层也相容。" }, { "id": "def-dep.category-pretopology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.pretopology", "note": "预拓扑是**范畴**上的一组数据：对每个对象指定一族覆盖族。" }, { "id": "def-dep.fibered-pretopology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "def.pretopology", "note": "第二条「拉回稳定」里的 $X_{i} \\times_{X} Y$ 是**纤维积**。" }, { "id": "def-dep.sieve-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sieve", "usedBy": "def.grothendieck-topology", "note": "Grothendieck 拓扑是对每个 $X$ 指定一族**覆盖筛** $J(X)$。" }, { "id": "def-dep.presheaf-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "def.grothendieck-topology", "note": "$f^{*}(R) = R \\times_{h_{X}} h_{Y}$ 是**预层**层面的拉回。" }, { "id": "def-dep.pretopology-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pretopology", "usedBy": "def.grothendieck-topology", "note": "由覆盖族生成覆盖筛，预拓扑就给出一个拓扑；反过来不总有预拓扑。" }, { "id": "def-dep.topology-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "def.sheaf", "note": "层的定义里那个 $J(X)$ 就是**覆盖筛**的族 —— 没有拓扑就不知道什么叫「覆盖」。" }, { "id": "def-dep.presheaf-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "def.sheaf", "note": "层是一个满足额外条件的**预层**。" }, { "id": "def-dep.limit-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "def.sheaf", "note": "「$F(X) \\cong \\varprojlim_{Y \\in \\mathcal{C}/R} F(Y)$」用到了**极限**。" }, { "id": "def-dep.sheaf-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "def.cech-functor", "note": "Čech 函子是把预层朝**层**的方向推一把的那个构造。" }, { "id": "def-dep.mono-regular-epi", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "def.regular-epi", "note": "正则满态射是**余等化子**，是满态射里更「规矩」的那一类。" }, { "id": "def-dep.equalizer-regular-epi", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "def.regular-epi", "note": "「某个平行对的余等化子」用的是**余等化子**。" }, { "id": "def-dep.fibered-universal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "def.universal-colimit", "note": "万有性、不交余积都要用**纤维积**说出来。" }, { "id": "def-dep.equalizer-effective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "def.effective-equivalence", "note": "$\\overline{X} := \\operatorname{coker}(R \\rightrightarrows X)$ 是**余等化子**。" }, { "id": "def-dep.fibered-effective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "def.effective-equivalence", "note": "有效性说的是 $R \\cong X \\times_{\\overline{X}} X$，一个**纤维积**。" }, { "id": "def-dep.topology-canonical", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "def.canonical-topology", "note": "标准拓扑就是在所有**拓扑**里最细的那个（使可表示预层都是层）。" }, { "id": "def-dep.presheaf-canonical", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "def.canonical-topology", "note": "次标准的判据是「**可表示预层**都是层」。" }, { "id": "def-dep.sieve-canonical", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sieve", "usedBy": "def.canonical-topology", "note": "标准拓扑是拿**筛**一条条规定出来的。" }, { "id": "def-dep.universal-pretopos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.universal-colimit", "usedBy": "def.pretopos", "note": "预拓扑斯的第 2、3、4 条用的都是**不交 / 万有 / 有效**这三个词。" }, { "id": "def-dep.effective-pretopos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.effective-equivalence", "usedBy": "def.pretopos", "note": "第 3 条要求**等价关系有效**。" }, { "id": "def-dep.regular-pretopos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.regular-epi", "usedBy": "def.pretopos", "note": "第 4 条要求**满态射正则**。" }, { "id": "def-dep.pretopos-precanonical", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pretopos", "usedBy": "def.precanonical-topology", "note": "预标准拓扑是**预拓扑斯**上定义的那个预拓扑。" }, { "id": "def-dep.topology-precanonical", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "def.precanonical-topology", "note": "预标准预拓扑**生成**的 Grothendieck 拓扑叫预标准拓扑。" }, { "id": "def-dep.ff-generator", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ff-faithful", "usedBy": "def.generator", "note": "生成元集的定义就是「拼起来那个函子**忠实**」。" }, { "id": "def-dep.pretopos-topos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pretopos", "usedBy": "def.topos", "note": "拓扑斯就是「带小生成元集」的**预拓扑斯**。" }, { "id": "def-dep.generator-topos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generator", "usedBy": "def.topos", "note": "第 1 条要求存在**小生成元集**。" }, { "id": "def-dep.topology-qc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "def.quasi-compact", "note": "拟紧说的是：任何生成**覆盖筛**的族都有有限的子族仍然生成覆盖筛。" }, { "id": "def-dep.fibered-qs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "def.quasi-separated", "note": "拟分离说的是「两个拟紧对象的**纤维积**仍拟紧」。" }, { "id": "def-dep.qc-qs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-compact", "usedBy": "def.quasi-separated", "note": "「拟分离」这个词里就带着「拟紧」。" }, { "id": "def-dep.topos-morphism", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos", "usedBy": "def.topos-morphism", "note": "态射是**拓扑斯**之间的一对函子。" }, { "id": "def-dep.adjoint-topos-morphism", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "def.topos-morphism", "note": "$f^{*} \\dashv f_{*}$ 是一个**伴随对**。" }, { "id": "def-dep.limit-topos-morphism", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "def.topos-morphism", "note": "要求 $f^{*}$ **正合**，即保有限极限。" }, { "id": "def-dep.pretopos-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pretopos", "usedBy": "def.chaus-pretopos", "note": "结论是 $\\mathbf{CHaus}$ 满足**预拓扑斯**的四条公理。" }, { "id": "def-dep.chaus-pretopos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "def.chaus-pretopos", "note": "被检验的范畴是 $\\mathbf{CHaus}$。" }, { "id": "def-dep.adjoint-chaus-pretopos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "def.chaus-pretopos", "note": "极限与余极限的算法来自「$\\mathbf{CHaus}$ 是**反射子范畴**」，即含入函子有左伴随。" }, { "id": "def-dep.chaus-condensed", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "def.condensed-set", "note": "凝聚态集是**紧 Hausdorff 空间**上的层。" }, { "id": "def-dep.sheaf-condensed", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "def.condensed-set", "note": "「层」这个词就来自层与拓扑那一段。" }, { "id": "def-dep.chaus-underlying", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "def.underlying-topological-space", "note": "底空间的拓扑由「从**紧 Hausdorff 空间**进来的映射」定出来。" }, { "id": "def-dep.limit-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "def.compactly-generated", "note": "紧生成空间的定义是「紧 Hausdorff 空间作为指标的**余极限**」。" }, { "id": "def-dep.chaus-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "def.compactly-generated", "note": "指标取的是**紧 Hausdorff 空间**与它们之间的连续映射。" }, { "id": "def-dep.generator-grothendieck", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.generator", "usedBy": "def.grothendieck-category", "note": "Grothendieck 范畴 = AB5 范畴**加一个生成元**。" }, { "id": "def-dep.condensed-ab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "def.condensed-abelian-group", "note": "凝聚态阿贝尔群是在**凝聚态集**上再加阿贝尔群结构。" }, { "id": "def-dep.sheaf-condensed-ab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "def.condensed-abelian-group", "note": "它是**阿贝尔群值层**。" }, { "id": "def-dep.diagram-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.commutative-diagram", "usedBy": "def.cochain-complex", "note": "一个（长）序列就是**有序集上的图** $(\\mathbb{Z}, \\le) \\to \\mathcal{C}$。" }, { "id": "def-dep.functor-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.cochain-complex", "note": "序列作为图就是**函子**；「复形」是加上 $d \\circ d = 0$ 之后的那个。" }, { "id": "def-dep.category-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.cochain-complex", "note": "复形定义在**加法范畴** $\\mathcal{C}$ 上，微分是范畴里的态射。" }, { "id": "def-dep.complex-homotopy", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "def.homotopy", "note": "同伦是**复形态射**之间的一种关系。" }, { "id": "def-dep.homotopy-homotopy-category", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.homotopy", "usedBy": "def.homotopy-category", "note": "同伦范畴就是把**同伦**这件事商掉。" }, { "id": "def-dep.category-homotopy-category", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.homotopy-category", "note": "$\\mathbf{K}(\\mathcal{C})$ 本身是一个**范畴**（还是加法范畴）。" }, { "id": "def-dep.complex-mapping-cone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "def.mapping-cone", "note": "映射锥是一个**复形**，它的微分靠拼接造出来。" }, { "id": "def-dep.fibered-mapping-cone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "def.mapping-cone", "note": "映射锥逐项取的是 $K^{n+1} \\oplus L^{n}$ —— 加法范畴里的**双积**。" }, { "id": "def-dep.mapping-cone-triangle", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mapping-cone", "usedBy": "def.distinguished-triangle", "note": "导出三角的定义就是「同构于某个**映射锥**三角」。" }, { "id": "def-dep.complex-cohomology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "def.cohomology", "note": "同调是**复形**的 $\\ker d^{n} / \\operatorname{im} d^{n-1}$。" }, { "id": "def-dep.equalizer-cohomology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "def.cohomology", "note": "同调里出现的 $\\ker$ 与 $\\operatorname{im}$ 是**等化子**与**像**。" }, { "id": "def-dep.cohomology-functor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cohomology", "usedBy": "def.cohomological-functor", "note": "上同调函子是把导出三角变成**正合列**的那些函子。" }, { "id": "def-dep.triangle-cohomological", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.distinguished-triangle", "usedBy": "def.cohomological-functor", "note": "定义里的正合性条件就是针对**导出三角**说的。" }, { "id": "def-dep.cohomology-quasi-iso", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cohomology", "usedBy": "def.quasi-iso", "note": "拟同构说的是「**同调**全都是同构」。" }, { "id": "def-dep.subobject-filtration", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subobject", "usedBy": "def.filtration", "note": "过滤是一族**子对象** $F^{n}M \\subseteq M$。" }, { "id": "def-dep.complex-spectral-sequence", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "def.spectral-sequence", "note": "谱序列从**复形**的过滤出发，逐层算它的同调。" }, { "id": "def-dep.filtration-spectral-sequence", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.filtration", "usedBy": "def.spectral-sequence", "note": "谱序列的第二部分是**带过滤**的同调对象。" }, { "id": "def-dep.fibered-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "def.abelian-category", "note": "「直和 $M_{1} \\oplus M_{2}$」的定义用的是 $p_{k} i_{k} = 1$、$i_{1}p_{1} + i_{2}p_{2} = 1_{M}$ —— **有限积与有限余积重合**。" }, { "id": "def-dep.equalizer-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "def.abelian-category", "note": "预阿贝尔范畴说的是「每个态射都有**核与余核**」，阿贝尔范畴再加「单满都正则」。" }, { "id": "def-dep.mono-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "def.abelian-category", "note": "阿贝尔范畴的判据之一：每个**单态射**都是正则的。" }, { "id": "def-dep.image-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.image", "usedBy": "def.abelian-category", "note": "等价条件之一说的是「$\\ker(N \\to \\operatorname{coker} f)\\cong\\operatorname{coker}(\\ker f\\to M)$」—— 像与余像重合。" }, { "id": "def-dep.complex-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "def.abelian-category", "note": "复形定义在**加法范畴**上，同调定义在**阿贝尔范畴**上。" }, { "id": "def-dep.abelian-ab-axioms", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "def.ab-axioms", "note": "AB1 = **预阿贝尔**、AB2 = **阿贝尔** —— 前两条就是这两个词。" }, { "id": "def-dep.limit-ab-axioms", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "def.ab-axioms", "note": "AB3 及以后要求「有所有**余极限**」，AB3\\* 是其对偶。" }, { "id": "def-dep.product-ab-axioms", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product", "usedBy": "def.ab-axioms", "note": "AB4 说**余积正合**，AB6 说**滤过余极限与积交换**。" }, { "id": "def-dep.filtered-ab-axioms", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "prop.filtered-exact", "usedBy": "def.ab-axioms", "note": "AB5、AB6 的差别全在**滤过余极限**上：前者要它正合，后者还要它与积交换。" }, { "id": "def-dep.ab-grothendieck", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ab-axioms", "usedBy": "def.grothendieck-category", "note": "Grothendieck 范畴 = **AB5** 范畴 + 一个生成元。" }, { "id": "def-dep.valued-presh-nattrans", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "def.presheaf-valued", "note": "取值在一般范畴的预层就是**反变函子**，预层态射就是**自然变换**。" }, { "id": "def-dep.abelsheaf-valued", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf-valued", "usedBy": "def.abelian-sheaf", "note": "**阿贝尔层**是取值在 $\\mathbf{Ab}$ 的层。" }, { "id": "def-dep.abelsheaf-presheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf", "usedBy": "def.abelian-sheaf", "note": "阿贝尔群预层的底就是**集合预层**。" }, { "id": "def-dep.abelsheaf-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "def.abelian-sheaf", "note": "「是不是层」这一条按**底集合预层**判。" }, { "id": "def-dep.abelsheaf-presheafcat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf-cat", "usedBy": "def.abelian-sheaf", "note": "$\\widehat{\\mathcal{C}}(\\mathbf{Ab})$ 是**预层范畴**取值于 $\\mathbf{Ab}$ 的版本。" }, { "id": "def-dep.internalhom-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product", "usedBy": "def.internal-hom", "note": "内 Hom 用的是 $\\mathcal{T}$ 里的**积** $X \\times Y$。" }, { "id": "def-dep.internalhom-abelsheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-sheaf", "usedBy": "def.internal-hom", "note": "内 Hom 的取值是**阿贝尔层**。" }, { "id": "def-dep.internalhom-topos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos", "usedBy": "def.internal-hom", "note": "内 Hom 定义在**拓扑斯** $\\mathcal{T}$ 上。" }, { "id": "def-dep.tensor-internalhom", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.internal-hom", "usedBy": "def.tensor-abelian-sheaf", "note": "张量积由**内 Hom** 的那个可表示函子给出。" }, { "id": "def-dep.tensor-abelsheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-sheaf", "usedBy": "def.tensor-abelian-sheaf", "note": "张量积定义在**阿贝尔层**范畴上。" }, { "id": "def-dep.tensor-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "def.tensor-abelian-sheaf", "note": "$\\otimes_{\\mathbb{Z}}$ 与 $\\operatorname{Hom}_{\\mathbb{Z}}$ **互为伴随**。" }, { "id": "def-dep.condab-abelsheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-sheaf", "usedBy": "def.condensed-abelian-group", "note": "凝聚态阿贝尔群是 $\\mathcal{T} = \\mathrm{Cond}$ 的**阿贝尔层**。" }, { "id": "def-dep.tensor-condab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "def.tensor-abelian-sheaf", "note": "凝聚态阿贝尔群是这里的**特例**（$\\mathcal{T} = \\mathrm{Cond}$）。" }, { "id": "def-dep.flat-tensor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.tensor-abelian-sheaf", "usedBy": "def.flat-abelian-sheaf", "note": "平坦性说的是「$P \\otimes_{\\mathbb{Z}} -$ **正合**」。" }, { "id": "def-dep.cg-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.compactly-generated", "note": "紧生成说的是**拓扑空间**上的一条性质。" }, { "id": "def-dep.cg-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "def.compactly-generated", "note": "测试空间取的是**紧 Hausdorff** 空间。" }, { "id": "def-dep.ktopo-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "def.k-topology", "note": "$k$-开集就是用「从**紧 Hausdorff** 空间进来的映射」去测。" }, { "id": "def-dep.ktopo-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-topology", "usedBy": "def.k-topology", "note": "$k$-拓扑是使所有这类映射都连续的**最终（最细）拓扑** —— 与商拓扑是同一个构造。" }, { "id": "def-dep.ktx-colimit-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "prop.ktx-colimit", "note": "$kX$ 是沿紧 Hausdorff 空间取余极限。" }, { "id": "def-dep.ktx-colimit-ktopo", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.k-topology", "usedBy": "prop.ktx-colimit", "note": "余极限的那条拓扑就是 $k$-拓扑。" }, { "id": "def-dep.cgcoref-ktopo", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.k-topology", "usedBy": "prop.cg-coreflective", "note": "余反射的函子 $k$ 就是**换成 $k$-拓扑**。" }, { "id": "def-dep.cgcoref-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "prop.cg-coreflective", "note": "标的范畴 $k\\mathbf{Top}$ 是**紧生成**空间。" }, { "id": "def-dep.cgcoref-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.cg-coreflective", "note": "「余反射」= 含入函子有**右伴随**。" }, { "id": "def-dep.quotprod-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-topology", "usedBy": "thm.quotient-product", "note": "定理说的是**商映射**。" }, { "id": "def-dep.quotprod-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-topology", "usedBy": "thm.quotient-product", "note": "结论说的是**乘积** $X \\times Z \\to Y \\times Z$。" }, { "id": "def-dep.cgprod-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "cor.cg-product", "note": "推论说的是**紧生成**空间作积。" }, { "id": "def-dep.kprod-ktopo", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.k-topology", "usedBy": "prop.k-product", "note": "两边的 $k$ 都是**$k$-化**。" }, { "id": "def-dep.kprod-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-topology", "usedBy": "prop.k-product", "note": "式子说的是**积**与 $k$-化的交换。" }, { "id": "def-dep.weakhaus-hausdorff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.hausdorff", "usedBy": "def.weak-hausdorff", "note": "弱 Hausdorff 是把 Hausdorff 的条件放宽到「**紧块的像闭**」。" }, { "id": "def-dep.weakhaus-basic-k", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.k-topology", "usedBy": "prop.weak-hausdorff-basic", "note": "「对角是 $k$-闭」要先用上 **$k$-拓扑**。" }, { "id": "def-dep.cgwh-hausdorff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.hausdorff", "usedBy": "thm.cgwh-reflective", "note": "反射去掉的是「弱 Hausdorff」，用的是**闭等价关系**。" }, { "id": "def-dep.cgwh-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-topology", "usedBy": "thm.cgwh-reflective", "note": "反射把 $X$ 换成**商空间** $X/R$。" }, { "id": "def-dep.producttopo-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.product-topology", "note": "积拓扑是**拓扑空间**族上的构造。" }, { "id": "def-dep.producttopo-base", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology-base", "usedBy": "def.product-topology", "note": "积拓扑取的是那族「有限多分量真开」的集合作**基**。" }, { "id": "def-dep.cgex-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "ex.cg-examples", "note": "例子说的都是**紧生成**空间。" }, { "id": "def-dep.cgeq-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "prop.cg-equivalent-conditions", "note": "命题刻画的是**紧生成**性。" }, { "id": "def-dep.cgeq-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-topology", "usedBy": "prop.cg-equivalent-conditions", "note": "(2)(3) 两条把紧生成空间写成**商空间**。" }, { "id": "def-dep.compactopen-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.compact-open-topology", "note": "紧开拓扑是函数集合上的一种**拓扑**。" }, { "id": "def-dep.compactopen-compact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "def.compact-open-topology", "note": "测试块 $S$ 取的是**紧**空间。" }, { "id": "def-dep.compactopen-continuous", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.continuous", "usedBy": "def.compact-open-topology", "note": "定义里要求 $g$ 与 $f$ 都**连续**。" }, { "id": "def-dep.compactopen-discrete", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact-open-topology", "usedBy": "prop.compact-open-discrete", "note": "命题说的是**紧开拓扑**下的函数空间。" }, { "id": "def-dep.cgwhfiber-fibered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "prop.cgwh-fiber-product", "note": "结论说的是**纤维积** $S \\times_{X} S'$。" }, { "id": "def-dep.cgwhfiber-weakhaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.weak-hausdorff", "usedBy": "prop.cgwh-fiber-product", "note": "要求 $X$ 是**弱 Hausdorff** 空间。" }, { "id": "def-dep.cgwhclosed-subspace", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.subspace-topology", "usedBy": "prop.cgwh-closed", "note": "结论说的是**子空间**。" }, { "id": "def-dep.cgwhclosed-weakhaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.weak-hausdorff", "usedBy": "prop.cgwh-closed", "note": "结论说的是**弱 Hausdorff** 性在子空间与滤过余极限下保持。" }, { "id": "def-dep.group-function", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.function", "usedBy": "def.group", "note": "群运算是 $G \\times G \\to G$，一个**函数**。" }, { "id": "def-dep.subgroup-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group", "usedBy": "def.subgroup", "note": "子群是**群**的子结构（限制过来的运算）。" }, { "id": "def-dep.normal-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group", "usedBy": "def.normal-subgroup", "note": "正规子群先要是**群**的子群。" }, { "id": "def-dep.quotgroup-quotientset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-set", "usedBy": "def.quotient-group", "note": "商群 = 陪集做成的**商集**再加一层运算。" }, { "id": "def-dep.quotgroup-normal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.normal-subgroup", "usedBy": "def.quotient-group", "note": "商群只对**正规**子群有。" }, { "id": "def-dep.grouphom-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group", "usedBy": "def.group-hom", "note": "同态是两个**群**之间的映射。" }, { "id": "def-dep.grouphom-kernel", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.normal-subgroup", "usedBy": "def.group-hom", "note": "核是**正规**子群。" }, { "id": "def-dep.firstiso-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-group", "usedBy": "thm.first-iso", "note": "$G/\\ker\\varphi$ 是**商群**。" }, { "id": "def-dep.firstiso-hom", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group-hom", "usedBy": "thm.first-iso", "note": "定理的输入是一个**群同态**（要用到它的核与像）。" }, { "id": "def-dep.field-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group", "usedBy": "def.field", "note": "域 = 两个**阿贝尔群** + 分配律 —— 域的定义建立在群的定义之上。" }, { "id": "def-dep.localization-functor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.localization", "note": "局部化是一条**泛性质**：对函子 $\\mathcal{C} \\to \\mathcal{D}$ 说话。" }, { "id": "def-dep.localization-iso", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.section-retraction", "usedBy": "def.localization", "note": "要求 $W$ 里的态射在局部化里变成**同构**（有截面也有收缩）。" }, { "id": "def-dep.localization-nattrans", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.natural-transformation", "usedBy": "def.localization", "note": "泛性质里的唯一性说的是函子之间的等式，即自然变换的层面。" }, { "id": "def-dep.fractions-localization", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.localization", "usedBy": "prop.calculus-of-fractions", "note": "命题给出局部化的一个**具体算法**。" }, { "id": "def-dep.fractions-mono", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "prop.calculus-of-fractions", "note": "消去条件用的是「$v \\circ f = v \\circ g$」这种等式。" }, { "id": "def-dep.normal-hausdorff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.hausdorff", "usedBy": "def.normal-space", "note": "正规要求在 $T_{1}$ 之上再加强（闭集之间可以分开）。" }, { "id": "def-dep.normal-closed", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.closed-set", "usedBy": "def.normal-space", "note": "正规性说的是**不交闭集**能被开集分开。" }, { "id": "def-dep.urysohn-continuous", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.continuous", "usedBy": "lem.urysohn", "note": "引理的结论是一个**连续函数** $f : X \\to [0,1]$。" }, { "id": "def-dep.urysohn-normal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.normal-space", "usedBy": "lem.urysohn", "note": "引理说的正是「正规 $\\iff$ 存在这样的函数」。" }, { "id": "def-dep.topoab-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group", "usedBy": "def.topo-ab-group", "note": "拓扑阿贝尔群是一个**阿贝尔群**再加拓扑。" }, { "id": "def-dep.topoab-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topology", "usedBy": "def.topo-ab-group", "note": "「运算连续」要在**拓扑**里说。" }, { "id": "def-dep.topoab-compactopen", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact-open-topology", "usedBy": "def.topo-ab-group", "note": "$C_{\\mathbb{Z}}(M,N)$ 是 $C(M,N)$ 带**紧开拓扑**的子空间。" }, { "id": "def-dep.abtopabcond-topoab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topo-ab-group", "usedBy": "prop.abtop-to-abcond", "note": "函子的定义域是**拓扑阿贝尔群**。" }, { "id": "def-dep.abtopabcond-condab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "prop.abtop-to-abcond", "note": "函子的靶是**凝聚态阿贝尔群**。" }, { "id": "def-dep.abtopabcond-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "prop.abtop-to-abcond", "note": "「全忠实」只在**紧生成**的那一部分成立。" }, { "id": "def-dep.conthom-topoab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topo-ab-group", "usedBy": "prop.continuous-hom-condensed", "note": "命题说的是两个**拓扑阿贝尔群**的连续同态。" }, { "id": "def-dep.conthom-internalhom", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.internal-hom", "usedBy": "prop.continuous-hom-condensed", "note": "结论是凝聚态阿贝尔群的**内部 Hom**。" }, { "id": "def-dep.exacttopo-abtopabcond", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "prop.abtop-to-abcond", "usedBy": "prop.exact-sequence-topo-ab", "note": "证明靠的是「$\\mathbf{AbTop} \\to \\mathrm{AbCond}$ 保所有极限」那条。" }, { "id": "def-dep.exacttopo-weakhaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.weak-hausdorff", "usedBy": "prop.exact-sequence-topo-ab", "note": "假设里要求 $M''$ 是**弱 Hausdorff** 的。" }, { "id": "def-dep.lcab-abeliancat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "prop.lc-ab-preabelian", "note": "结论是「预阿贝尔但**不是阿贝尔**范畴」。" }, { "id": "def-dep.lcab-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "prop.lc-ab-preabelian", "note": "反例用的是同一个群换拓扑，要靠**紧生成**那一套来看严格性。" }, { "id": "def-dep.pontryagin-topoab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topo-ab-group", "usedBy": "def.pontryagin-dual", "note": "对偶的对象是**拓扑阿贝尔群**。" }, { "id": "def-dep.pvk-topoab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topo-ab-group", "usedBy": "thm.pontryagin-van-kampen", "note": "定理在**局部紧 Hausdorff 阿贝尔群**范畴上说话。" }, { "id": "def-dep.pvk-dual", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pontryagin-dual", "usedBy": "thm.pontryagin-van-kampen", "note": "定理说的是**对偶函子**是自等价。" }, { "id": "def-dep.pvk-equivalence", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cat-equivalence", "usedBy": "thm.pontryagin-van-kampen", "note": "结论是「自等价」。" }, { "id": "def-dep.ring-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group", "usedBy": "def.ring", "note": "环的加法部分是**阿贝尔群**。" }, { "id": "def-dep.ideal-ring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ring", "usedBy": "def.ideal", "note": "理想是**环**的子集，且对乘法吸收。" }, { "id": "def-dep.ideal-quotientgroup", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-group", "usedBy": "def.ideal", "note": "$(I,+)$ 是加法**子群**；商环先做加法商的**商群**。" }, { "id": "def-dep.module-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group", "usedBy": "def.module", "note": "模的底是一个**阿贝尔群**。" }, { "id": "def-dep.module-ring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ring", "usedBy": "def.module", "note": "模是**环**在阿贝尔群上的作用。" }, { "id": "def-dep.freyd-abeliancat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "thm.freyd-mitchell", "note": "定理说的是**小阿贝尔范畴**。" }, { "id": "def-dep.freyd-module", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.module", "usedBy": "thm.freyd-mitchell", "note": "嵌入的靶是**模范畴** $A\\text{-}\\mathbf{Mod}$。" }, { "id": "def-dep.cgcc-compactopen", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact-open-topology", "usedBy": "prop.cg-cartesian-closed", "note": "指数对象里那个 $kC$ 就是**紧开拓扑**再取 $k$-化。" }, { "id": "def-dep.cgcc-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "prop.cg-cartesian-closed", "note": "定理说的是**紧生成空间**范畴。" }, { "id": "def-dep.cgexp-cc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "prop.cg-cartesian-closed", "usedBy": "cor.cg-exponential-adjoint", "note": "伴随那条是笛卡尔闭的重新表述。" }, { "id": "def-dep.cgexp-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "cor.cg-exponential-adjoint", "note": "结论说的是「左伴随于」。" }, { "id": "def-dep.cofinal-comma", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.comma-category", "usedBy": "def.cofinal-functor", "note": "共尾性的定义就是**逗号范畴** $i \\downarrow F$ 非空且连通。" }, { "id": "def-dep.cofinal-connected", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.connected-category", "usedBy": "def.cofinal-functor", "note": "定义里的「连通」指的是**连通范畴**。" }, { "id": "def-dep.cofinal-functor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.cofinal-functor", "note": "共尾说的是一个**函子**的性质。" }, { "id": "def-dep.connected-functor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.connected-category", "note": "锯齿上的每个箭头都是**函子**那个范畴里的态射。" }, { "id": "def-dep.cofinalcolim-colimit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "thm.cofinal-colimit", "note": "结论说的是**余极限**同构。" }, { "id": "def-dep.cofinalcolim-cofinal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cofinal-functor", "usedBy": "thm.cofinal-colimit", "note": "前提是 $F$ **共尾**。" }, { "id": "def-dep.filtered-category", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.filtered-category", "note": "滤过性是**范畴**的一条性质。" }, { "id": "def-dep.filtered-diagram", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.commutative-diagram", "usedBy": "def.filtered-category", "note": "「每个有限**图**都有余锥」说的是这个函子意义上的**图**，形状由索引范畴给出。" }, { "id": "def-dep.filtereddir-filtered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.filtered-category", "usedBy": "prop.filtered-directed", "note": "命题的输入是**滤过范畴**。" }, { "id": "def-dep.filtereddir-chain", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chain", "usedBy": "prop.filtered-directed", "note": "有向集就是「偏序集 + 任意两元有上界」，用的是**链**那套序语言。" }, { "id": "def-dep.filtereddir-cofinal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cofinal-functor", "usedBy": "prop.filtered-directed", "note": "证明的要点是验证 $u$ **共尾**。" }, { "id": "def-dep.replim-limit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.representable-preserves-limits", "note": "命题说的是可表函子**保极限**。" }, { "id": "def-dep.replim-representable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.representable", "usedBy": "prop.representable-preserves-limits", "note": "前提是可表函子 $F \\cong \\operatorname{Hom}(X,-)$。" }, { "id": "def-dep.replim-functorcat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.presheaf-cat", "usedBy": "prop.representable-preserves-limits", "note": "证明里把锥函子搬到**函子范畴** $\\mathcal{C}^{I}$ 里算。" }, { "id": "def-dep.monoidobj-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product", "usedBy": "def.monoid-object", "note": "乘法 $\\mu : G \\times G \\to G$ 用的是**积**。" }, { "id": "def-dep.monoidobj-terminal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.final-initial", "usedBy": "def.monoid-object", "note": "单位 $\\varepsilon : 1 \\to G$ 里的 $1$ 是**终对象**。" }, { "id": "def-dep.groupobj-monoid", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.monoid-object", "usedBy": "def.group-object", "note": "群对象是在**幺半群对象**上再加一条逆元。" }, { "id": "def-dep.groupobj-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product", "usedBy": "def.group-object", "note": "交换因子 $\\tau$ 是**积**上的换位态射。" }, { "id": "def-dep.groupobj-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group", "usedBy": "def.group-object", "note": "群对象是**群**的定义搬到任意笛卡尔范畴里。" }, { "id": "def-dep.abex-groupobj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group-object", "usedBy": "ex.ab-of-categories", "note": "例子说的都是 $\\mathrm{Ab}(\\mathcal{C})$ 这条构造。" }, { "id": "def-dep.ringloc-ring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ring", "usedBy": "prop.ring-localization", "note": "局部化的是**交换环**。" }, { "id": "def-dep.ringloc-localization", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.localization", "usedBy": "prop.ring-localization", "note": "它就是范畴局部化在**单对象范畴**上的特例。" }, { "id": "def-dep.lochom-localization", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.localization", "usedBy": "prop.localization-hom-colim", "note": "命题算的是局部化范畴里的 $\\operatorname{Hom}$。" }, { "id": "def-dep.lochom-fractions", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "prop.calculus-of-fractions", "usedBy": "prop.localization-hom-colim", "note": "公式只在**右分式演算**成立时才对，且给出的是**滤过**余极限。" }, { "id": "def-dep.sieveequiv-sieve", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sieve", "usedBy": "prop.sieve-covering-equivalent", "note": "命题说的是 $X$ 上的一个**筛**。" }, { "id": "def-dep.sieveequiv-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "prop.sieve-covering-equivalent", "note": "「$R \\in J(X)$」里的 $J$ 是 **Grothendieck 拓扑**。" }, { "id": "def-dep.sieveequiv-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "prop.sieve-covering-equivalent", "note": "第 2 至 4 条都只提到**层**与**层化**。" }, { "id": "def-dep.sieveequiv-sheafification", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.sheafification", "usedBy": "prop.sieve-covering-equivalent", "note": "记号 $\\widetilde{(-)}$ 是**层化**。" }, { "id": "def-dep.limcon-limit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.limit-construction", "note": "命题说的是**极限**怎么造。" }, { "id": "def-dep.limcon-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product", "usedBy": "prop.limit-construction", "note": "第一步用的是**积** $\\prod_{i} D(i)$。" }, { "id": "def-dep.limcon-equalizer", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "prop.limit-construction", "note": "第二步取**等化子**。" }, { "id": "def-dep.sectionfunctor-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "def.section-functor", "note": "截面函子定义在**层**范畴上。" }, { "id": "def-dep.sectionfunctor-representable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.representable", "usedBy": "def.section-functor", "note": "它就是可表示预层 $h_{X}$ 的 $\\operatorname{Hom}$ 函子。" }, { "id": "def-dep.snake-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "thm.snake-lemma", "note": "蛇引理在**阿贝尔范畴**里说。" }, { "id": "def-dep.snake-equalizer", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "thm.snake-lemma", "note": "要用到核与像（等化子的语言）。" }, { "id": "def-dep.five-abelian", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.abelian-category", "usedBy": "thm.five-lemma", "note": "五引理在**阿贝尔范畴**里说。" }, { "id": "def-dep.five-snake", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.snake-lemma", "usedBy": "thm.five-lemma", "note": "两者都在**阿贝尔范畴**里说、都只能走泛元与泛性质；五引理是比较同构的版本。" }, { "id": "def-dep.five-image", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.image", "usedBy": "thm.five-lemma", "note": "用的还是「正合 = 核 = 像」。" }, { "id": "def-dep.subcategory-category", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.subcategory", "note": "子范畴是**范畴**的对象与态射各取一部分。" }, { "id": "def-dep.simplexcat-category", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.category", "usedBy": "def.simplex-category", "note": "$\\Delta$ 本身就是一个**范畴**（对象是 $[n]$，态射是保序映射）。" }, { "id": "def-dep.indobj-filtered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.filtered-category", "usedBy": "def.ind-object", "note": "Ind-对象就是一个**滤过图**。" }, { "id": "def-dep.preslim-limit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "def.preserves-limit", "note": "「保极限」说的是函子与**极限**的关系。" }, { "id": "def-dep.preslim-functor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.preserves-limit", "note": "被谈论的是**函子**。" }, { "id": "def-dep.exact-preslim", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.preserves-limit", "usedBy": "def.exact-functor", "note": "左/右正合就是把「保极限」限制到**有限**的那些图。" }, { "id": "def-dep.zeroobj-finalinitial", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.final-initial", "usedBy": "def.zero-object", "note": "零对象 = **终对象与始对象重合**。" }, { "id": "def-dep.addfunctor-functor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.additive-functor", "note": "加法性先是**函子**的一条性质。" }, { "id": "def-dep.addfunctor-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group", "usedBy": "def.additive-functor", "note": "$\\operatorname{Hom}$ 集上要有**阿贝尔群**结构才谈得上保加法。" }, { "id": "def-dep.splitexact-zeroobj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.zero-object", "usedBy": "def.split-exact", "note": "分裂的正合列就是**直和**的那条列。" }, { "id": "def-dep.enoughproj-projective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "def.enough-projectives", "note": "「足够多**投射**对象」。" }, { "id": "def-dep.finpres-filtered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.filtered-category", "usedBy": "def.finitely-presented", "note": "有限表现的定义是「保**滤过余极限**」。" }, { "id": "def-dep.finpres-representable", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.representable", "usedBy": "def.finitely-presented", "note": "用的函子是**可表函子** $h^{X}$。" }, { "id": "def-dep.iso-unique-section", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.section-retraction", "usedBy": "prop.iso-unique-section", "note": "命题说的是同构的**截面与收缩**。" }, { "id": "def-dep.mono-section", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.section-retraction", "usedBy": "def.mono", "note": "同构的定义用的就是**截面与收缩**：有截面的单态射（或有收缩的满态射）就是同构。" }, { "id": "def-dep.iso-unique-mono", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "prop.iso-unique-section", "note": "命题里的**同构**就是这个节点定义的。" }, { "id": "def-dep.totdisc-connected", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.connected", "usedBy": "def.totally-disconnected", "note": "「完全不连通」= 每个**连通分量**都是单点。" }, { "id": "def-dep.loccpt-hausdorff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.hausdorff", "usedBy": "def.locally-compact", "note": "局部紧**Hausdorff** 的头一个要求就是 Hausdorff。" }, { "id": "def-dep.loccpt-compact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "def.locally-compact", "note": "要求每点有**紧**邻域。" }, { "id": "def-dep.tykhonov-compact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "thm.tykhonov", "note": "定理说的是**紧**空间的积。" }, { "id": "def-dep.tykhonov-product", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.product-topology", "usedBy": "thm.tykhonov", "note": "积**带积拓扑**。" }, { "id": "def-dep.topgen-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "def.topologically-generating", "note": "拓扑生成集是相对 **site 的拓扑**说的。" }, { "id": "def-dep.contfunctor-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "def.continuous-functor", "note": "「连续」的定义就是**层**沿它拉回还是层。" }, { "id": "def-dep.sitesmorphism-continuous", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.continuous-functor", "usedBy": "def.morphism-of-sites", "note": "site 的态射先要是一个**连续函子**。" }, { "id": "def-dep.sitesmorphism-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "def.morphism-of-sites", "note": "等价形式是 $f^{-1}$ 有**右伴随** $f_{*}$。" }, { "id": "def-dep.cocontfunctor-sheaf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf", "usedBy": "def.cocontinuous-functor", "note": "余连续说的是**层**能不能推出去。" }, { "id": "def-dep.inducedtopo-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "def.induced-topology", "note": "诱导拓扑本身是一条**拓扑**。" }, { "id": "def-dep.inducedtopo-continuous", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.continuous-functor", "usedBy": "def.induced-topology", "note": "诱导拓扑取的是使 $f^{-1}$ **连续**的最细拓扑。" }, { "id": "def-dep.algcats-groupobj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group-object", "usedBy": "ex.algebra-categories", "note": "$\\mathrm{Mon}$、$\\mathrm{Gr}$ 就是**范畴里的代数结构**在 $\\mathbf{Set}$ 上的样子。" }, { "id": "def-dep.algcats-ring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ring", "usedBy": "ex.algebra-categories", "note": "$\\mathrm{Rng}$、$k\\text{-}\\mathbf{Alg}$ 是**环**与它上面的代数。" }, { "id": "def-dep.algcats-module", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.module", "usedBy": "ex.algebra-categories", "note": "$A\\text{-}\\mathbf{Mod}$ 是**模**的范畴。" }, { "id": "def-dep.abelianization-quotient", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quotient-group", "usedBy": "prop.abelianization", "note": "交换化就是商掉**换位子子群**。" }, { "id": "def-dep.abelianization-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.abelianization", "note": "结论是「$\\mathbf{Ab} \\hookrightarrow \\mathbf{Grp}$ 的**左伴随**」。" }, { "id": "def-dep.posetlim-limit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.poset-limit-join", "note": "命题把**极限**翻译成序语言。" }, { "id": "def-dep.posetlim-poset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.poset", "usedBy": "prop.poset-limit-join", "note": "说的是**偏序集**（看成范畴）。" }, { "id": "def-dep.strict-image", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.image", "usedBy": "def.strict-morphism", "note": "严格性比较的是**余像与像**。" }, { "id": "def-dep.strict-equalizer", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.equalizer", "usedBy": "def.strict-morphism", "note": "余像与像都是余等化子 / 等化子的语言。" }, { "id": "def-dep.ppk-preslim", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.preserves-limit", "usedBy": "prop.preserves-products-kernels", "note": "结论是「保**所有有限极限**」。" }, { "id": "def-dep.ppk-exact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.exact-functor", "usedBy": "prop.preserves-products-kernels", "note": "同一条结论的另一种说法就是**左正合**。" }, { "id": "def-dep.pfpm-fibered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.fibered-product", "usedBy": "prop.preserves-fibered-products-mono", "note": "前提是保**纤维积**。" }, { "id": "def-dep.pfpm-mono", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mono", "usedBy": "prop.preserves-fibered-products-mono", "note": "结论是保**单态射**。" }, { "id": "def-dep.projcoprod-projective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.projective-object", "usedBy": "prop.projective-coproduct", "note": "命题说的是**投射对象**。" }, { "id": "def-dep.abl-limits-groupobj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group-object", "usedBy": "prop.ab-limits-forgetful", "note": "$\\mathrm{Ab}(\\mathcal{C})$ 是**阿贝尔群对象**的范畴。" }, { "id": "def-dep.abl-limits-limit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.ab-limits-forgetful", "note": "命题说它有所有**极限**。" }, { "id": "def-dep.adjunique-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.left-adjoint-unique", "note": "命题说的是**伴随**的唯一性。" }, { "id": "def-dep.counitepi-unit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjunction-unit", "usedBy": "prop.counit-epi-iff-faithful", "note": "用的是**单位与余单位**。" }, { "id": "def-dep.counitepi-adjoint", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.adjoint", "usedBy": "prop.counit-epi-iff-faithful", "note": "前提是 $F \\dashv G$。" }, { "id": "def-dep.ab6-filtered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.filtered-category", "usedBy": "prop.ab6", "note": "AB6 说的是**滤过余极限**与积交换。" }, { "id": "def-dep.ab6-axioms", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ab-axioms", "usedBy": "prop.ab6", "note": "它正是 AB 公理里的 **AB6**。" }, { "id": "def-dep.indrefl-indobj", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ind-object", "usedBy": "prop.ind-reflective", "note": "命题说的是 $\\operatorname{Ind}(\\mathcal{C})$。" }, { "id": "def-dep.indrefl-reflective", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.reflective-subcategory", "usedBy": "prop.ind-reflective", "note": "结论是「$\\mathcal{C}$ 是**反射子范畴**」。" }, { "id": "def-dep.ffc-filtered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.filtered-category", "usedBy": "prop.filtered-finite-colimits", "note": "前提有**滤过余极限**。" }, { "id": "def-dep.ffc-colimit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.filtered-finite-colimits", "note": "结论是「有所有**余极限**」。" }, { "id": "def-dep.ringtensor-ring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ring", "usedBy": "prop.ring-tensor-coproduct", "note": "说的是**交换环**范畴。" }, { "id": "def-dep.ringtensor-tensor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.tensor-abelian-sheaf", "usedBy": "prop.ring-tensor-coproduct", "note": "纤维余积就是**张量积**。" }, { "id": "def-dep.kfrac-fractions", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "prop.calculus-of-fractions", "usedBy": "prop.k-calculus-fractions", "note": "$K(\\mathcal{A})$ 关于拟同构**允许分式演算**。" }, { "id": "def-dep.kfrac-kcat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.homotopy-category", "usedBy": "prop.k-calculus-fractions", "note": "说的是**同伦范畴** $K(\\mathcal{A})$。" }, { "id": "def-dep.dercat-localization", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.localization", "usedBy": "def.derived-category", "note": "导出范畴是 $K(\\mathcal{A})$ 关于拟同构的**局部化**。" }, { "id": "def-dep.dercat-quasiiso", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-iso", "usedBy": "def.derived-category", "note": "局部化掉的是**拟同构**。" }, { "id": "def-dep.dercat-kcat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.homotopy-category", "usedBy": "def.derived-category", "note": "被局部化的对象是**同伦范畴**。" }, { "id": "def-dep.exacttri-triangle", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.distinguished-triangle", "usedBy": "prop.exact-to-triangle", "note": "结论给出一个**导出三角**。" }, { "id": "def-dep.exacttri-cone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.mapping-cone", "usedBy": "prop.exact-to-triangle", "note": "那个三角就是**映射锥**三角。" }, { "id": "def-dep.homkd-kcat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.homotopy-category", "usedBy": "prop.hom-k-eq-hom-d", "note": "比较的是**同伦范畴**与导出范畴里的 Hom。" }, { "id": "def-dep.homkd-dercat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.derived-category", "usedBy": "prop.hom-k-eq-hom-d", "note": "结论说两边相等。" }, { "id": "def-dep.kplusinj-dercat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.derived-category", "usedBy": "thm.k-plus-injectives", "note": "结论是 $K^{+}(\\mathcal{I}) \\simeq D^{+}(\\mathcal{A})$。" }, { "id": "def-dep.rdf-functor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.functor", "usedBy": "def.right-derived-functor", "note": "被求导的是一个**加法函子**。" }, { "id": "def-dep.rdf-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "def.right-derived-functor", "note": "求导要在**复形**上做（换成内射复形）。" }, { "id": "def-dep.derlex-rdf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.right-derived-functor", "usedBy": "thm.derived-long-exact", "note": "长正合列是**右导出函子**给的。" }, { "id": "def-dep.derlex-longexact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "thm.long-exact", "usedBy": "thm.derived-long-exact", "note": "它就是长正合列在导出函子上的版本。" }, { "id": "def-dep.ext-dercat", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.derived-category", "usedBy": "def.ext", "note": "$\\operatorname{Ext}^{n}$ 定义成**导出范畴**里的 Hom。" }, { "id": "def-dep.ext-triangle", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.distinguished-triangle", "usedBy": "def.ext", "note": "用到了**位移** $L^{\\bullet}[n]$。" }, { "id": "def-dep.extrhom-ext", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "prop.ext-is-rhom", "note": "命题说两条 $\\operatorname{Ext}$ 的算法一致。" }, { "id": "def-dep.extrhom-internalhom", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.internal-hom", "usedBy": "prop.ext-is-rhom", "note": "另一边是**内部 Hom** 的导出函子 $R^{n}\\operatorname{Hom}$。" }, { "id": "def-dep.acyclic-rdf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.right-derived-functor", "usedBy": "def.f-acyclic", "note": "零调性的定义用的就是**右导出函子**。" }, { "id": "def-dep.leray-acyclic", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.f-acyclic", "usedBy": "prop.leray-acyclicity", "note": "前提是每个 $K^{n}$ 都 **$F$-零调**。" }, { "id": "def-dep.leray-rdf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.right-derived-functor", "usedBy": "prop.leray-acyclicity", "note": "结论是 $RFK^{\\bullet} = FK^{\\bullet}$。" }, { "id": "def-dep.filtss-filtration", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.filtration", "usedBy": "thm.filtered-complex-spectral", "note": "前提是复形**带过滤**。" }, { "id": "def-dep.filtss-ss", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.spectral-sequence", "usedBy": "thm.filtered-complex-spectral", "note": "结论是一个**谱序列**。" }, { "id": "def-dep.filtss-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "thm.filtered-complex-spectral", "note": "说的是**复形**。" }, { "id": "def-dep.bicomplex-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "def.bicomplex", "note": "双复形就是**复形的复形**。" }, { "id": "def-dep.grothss-ss", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.spectral-sequence", "usedBy": "cor.grothendieck-spectral", "note": "结论是一个**谱序列**。" }, { "id": "def-dep.grothss-rdf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.right-derived-functor", "usedBy": "cor.grothendieck-spectral", "note": "两头都是**导出函子** $R^{p}G \\circ R^{q}F$。" }, { "id": "def-dep.grothss-bicomplex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bicomplex", "usedBy": "cor.grothendieck-spectral", "note": "它由**双复形**（取 $F$ 的内射消解）造出来。" }, { "id": "def-dep.sheafcoh-section", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.section-functor", "usedBy": "def.sheaf-cohomology", "note": "层上同调是**截面函子**的右导出函子。" }, { "id": "def-dep.sheafcoh-rdf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.right-derived-functor", "usedBy": "def.sheaf-cohomology", "note": "$H^{n} := R^{n}\\Gamma$。" }, { "id": "def-dep.cechcoh-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-functor", "usedBy": "def.cech-cohomology", "note": "Čech 上同调用的是**Čech 函子**。" }, { "id": "def-dep.cechcolim-topology", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-topology", "usedBy": "prop.cech-as-colim", "note": "余极限沿 $\\in J(X)$ 的**覆盖筛**取。" }, { "id": "def-dep.cechcolim-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-cohomology", "usedBy": "prop.cech-as-colim", "note": "它给出 Čech 上同调的另一种算法。" }, { "id": "def-dep.cartanleray-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-cohomology", "usedBy": "thm.cartan-leray", "note": "谱序列的第一页是 **Čech 上同调**。" }, { "id": "def-dep.cartanleray-ss", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.spectral-sequence", "usedBy": "thm.cartan-leray", "note": "结论是一个**谱序列**。" }, { "id": "def-dep.acyclic-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "def.acyclic-sheaf", "note": "无环性的定义用的就是**层上同调**。" }, { "id": "def-dep.acycliccech-acyclic", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.acyclic-sheaf", "usedBy": "prop.acyclic-iff-cech", "note": "命题说无环等价于 **Čech 上同调为零**。" }, { "id": "def-dep.acycliccech-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-cohomology", "usedBy": "prop.acyclic-iff-cech", "note": "另一半用的是 Čech 上同调。" }, { "id": "def-dep.chauscech-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "prop.chaus-cech-eq-h", "note": "命题只对**紧 Hausdorff** 空间成立。" }, { "id": "def-dep.chauscech-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.chaus-cech-eq-h", "note": "结论是两类上同调相等。" }, { "id": "def-dep.filtlim-filtered", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.filtered-category", "usedBy": "prop.filtered-limit-cohomology", "note": "取的是**滤过**极限。" }, { "id": "def-dep.filtlim-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.filtered-limit-cohomology", "note": "说的是**上同调**怎么随极限变。" }, { "id": "def-dep.stoneacyclic-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "prop.stone-acyclic", "note": "命题只对 **Stone 空间**成立。" }, { "id": "def-dep.topmorphder-topmorph", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos-morphism", "usedBy": "prop.topos-morphism-derived", "note": "说的是**拓扑斯的态射**。" }, { "id": "def-dep.topmorphder-rdf", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.right-derived-functor", "usedBy": "prop.topos-morphism-derived", "note": "结论算的是导出函子 $R^{n}f_{*}$。" }, { "id": "def-dep.homcohom-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "cor.homotopy-invariant-cohomology", "note": "结论是关于**层上同调**的。" }, { "id": "def-dep.homcohom-homotopy", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.homotopy", "usedBy": "cor.homotopy-invariant-cohomology", "note": "前提是映射**同伦**或**同伦等价**。" }, { "id": "def-dep.condihom-condset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "prop.cond-internal-hom", "note": "说的是**凝聚态集**的内部 Hom。" }, { "id": "def-dep.condihom-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "prop.cond-internal-hom", "note": "右边的靶 $Y$ 要求是**紧生成**空间，紧开拓扑才够用。" }, { "id": "def-dep.qcqs-qc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-compact", "usedBy": "thm.qcqs-chaus-equiv", "note": "结论判定的就是**拟紧**性。" }, { "id": "def-dep.qcqs-qs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-separated", "usedBy": "thm.qcqs-chaus-equiv", "note": "「qcqs」的另一半是**拟分离**。" }, { "id": "def-dep.qcqs-free", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.free-compact-hausdorff", "usedBy": "thm.qcqs-chaus-equiv", "note": "第 1 条要求满射来自**自由**紧 Hausdorff 空间。" }, { "id": "def-dep.whqs-wh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.weak-hausdorff", "usedBy": "lem.weak-hausdorff-qseparated", "note": "前提是 $X$ **弱 Hausdorff**。" }, { "id": "def-dep.whqs-qs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-separated", "usedBy": "lem.weak-hausdorff-qseparated", "note": "结论是 $X$ **拟分离**。" }, { "id": "def-dep.qsind-qs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-separated", "usedBy": "lem.qseparated-ind-inclusions", "note": "要刻画的是**拟分离**这个性质。" }, { "id": "def-dep.qsind-filt", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.filtered-category", "usedBy": "lem.qseparated-ind-inclusions", "note": "余极限是**滤过**的（只有滤过余极限才在 $\\operatorname{Ind}$ 的范围内）。" }, { "id": "def-dep.qsind-ind", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ind-object", "usedBy": "lem.qseparated-ind-inclusions", "note": "推论说的是 $\\operatorname{Ind}(\\mathbf{CHaus})$ 里的**单射过渡**对象。" }, { "id": "def-dep.qsuwh-wh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.weak-hausdorff", "usedBy": "lem.qseparated-underlying-weak-hausdorff", "note": "结论断言底空间**弱 Hausdorff**。" }, { "id": "def-dep.qsuwh-qs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-separated", "usedBy": "lem.qseparated-underlying-weak-hausdorff", "note": "前提是**拟分离**。" }, { "id": "def-dep.cgwhqs-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "prop.cg-wh-iff-qseparated", "note": "两个条件在**紧生成**空间上才等价。" }, { "id": "def-dep.cgwhqs-wh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.weak-hausdorff", "usedBy": "prop.cg-wh-iff-qseparated", "note": "一边是**弱 Hausdorff**。" }, { "id": "def-dep.cgwhqs-qs", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.quasi-separated", "usedBy": "prop.cg-wh-iff-qseparated", "note": "另一边是**拟分离**。" }, { "id": "def-dep.condslice-topmorph", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos-morphism", "usedBy": "prop.cond-slice-topos-morphism", "note": "结论是一对**拓扑斯态射**。" }, { "id": "def-dep.condslice-condset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "prop.cond-slice-topos-morphism", "note": "左边是凝聚态集范畴的**切片** $\\mathrm{Cond}/X$。" }, { "id": "def-dep.stoneanac-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "prop.stonean-cond-acyclic", "note": "结论只对 **Stonean 空间**（极不连通的 Stone 空间）成立。" }, { "id": "def-dep.stoneanac-condab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "prop.stonean-cond-acyclic", "note": "系数是**任意**凝聚态阿贝尔群。" }, { "id": "def-dep.stoneanac-cohom", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.stonean-cond-acyclic", "note": "说的是凝聚态上同调群 $H^{n}_{\\mathrm{cond}}$。" }, { "id": "def-dep.stoneconst-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "lem.stone-constant-acyclic", "note": "前提是 **Stone 空间**（比 Stonean 弱：只需全不连通）。" }, { "id": "def-dep.stoneconst-cohom", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "lem.stone-constant-acyclic", "note": "说的是上同调群。" }, { "id": "def-dep.dyckhoff-lc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.locally-compact", "usedBy": "thm.dyckhoff", "note": "前提是 $X$ **局部紧** Hausdorff。" }, { "id": "def-dep.dyckhoff-sheafcoh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "thm.dyckhoff", "note": "右边是经典的**层上同调**。" }, { "id": "def-dep.seminorm-group", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.group", "usedBy": "def.semi-normed-ab-group", "note": "半范数阿贝尔群首先是**阿贝尔群**，再加一个半范数。" }, { "id": "def-dep.banach-seminorm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.semi-normed-ab-group", "usedBy": "def.banach-ab-group", "note": "Banach 阿贝尔群是**半范数**阿贝尔群加上分离性与完备性。" }, { "id": "def-dep.banach-complete", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.complete", "usedBy": "def.banach-ab-group", "note": "「Banach」的那一半就是**完备**。" }, { "id": "def-dep.kbexact-seminorm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.semi-normed-ab-group", "usedBy": "def.k-bounded-exact", "note": "$K$-有界正合定义在**半范数**阿贝尔群的复形上。" }, { "id": "def-dep.kbexact-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "def.k-bounded-exact", "note": "说的是一条**复形**在某一项处的性质。" }, { "id": "def-dep.kbcomp-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.banach-ab-group", "usedBy": "lem.k-bounded-completion", "note": "完备化之后是 **Banach** 阿贝尔群。" }, { "id": "def-dep.kbcomp-kbexact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.k-bounded-exact", "usedBy": "lem.k-bounded-completion", "note": "两边谈的都是 **$K$-有界正合**。" }, { "id": "def-dep.kbimpl-kbexact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.k-bounded-exact", "usedBy": "prop.k-bounded-implies-exact", "note": "前提是相邻两处都 **$K$-有界正合**。" }, { "id": "def-dep.kbimpl-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.banach-ab-group", "usedBy": "prop.k-bounded-implies-exact", "note": "复形的每一项是 **Banach** 阿贝尔群（完备性用来取级数极限）。" }, { "id": "def-dep.kacyc-kbexact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.k-bounded-exact", "usedBy": "cor.k-acyclic-acyclic", "note": "前提是 **$K$-有界零调**。" }, { "id": "def-dep.kacyc-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.banach-ab-group", "usedBy": "cor.k-acyclic-acyclic", "note": "只对 **Banach** 复形成立。" }, { "id": "def-dep.stonecech-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "lem.stone-cech-1-bounded", "note": "复形来自 **Stone 空间**之间的满射。" }, { "id": "def-dep.stonecech-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-cohomology", "usedBy": "lem.stone-cech-1-bounded", "note": "说的是**增广 Čech 复形**的 $1$-有界零调性。" }, { "id": "def-dep.stonecech-seminorm", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.semi-normed-ab-group", "usedBy": "lem.stone-cech-1-bounded", "note": "系数 $M$ 是**半范数**阿贝尔群。" }, { "id": "def-dep.banstone-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.banach-ab-group", "usedBy": "prop.banach-stone-acyclic", "note": "系数是 **Banach** 阿贝尔群。" }, { "id": "def-dep.banstone-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "prop.banach-stone-acyclic", "note": "空间是 **Stone** 空间。" }, { "id": "def-dep.tietze-normal", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.normal-space", "usedBy": "thm.tietze-banach", "note": "前提是 $X$ **正规**。" }, { "id": "def-dep.tietze-compact", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compact", "usedBy": "thm.tietze-banach", "note": "子集 $K$ 要求**紧**。" }, { "id": "def-dep.tietze-cont", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.continuous-map", "usedBy": "thm.tietze-banach", "note": "说的是**连续映射**的限制映射。" }, { "id": "def-dep.realbanach-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "thm.real-banach-chaus-acyclic", "note": "空间是**紧 Hausdorff** 的。" }, { "id": "def-dep.realbanach-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.banach-ab-group", "usedBy": "thm.real-banach-chaus-acyclic", "note": "系数是**实 Banach 空间**。" }, { "id": "def-dep.extsec-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "lem.ext-stonean-section", "note": "公式只对 **Stonean** 空间成立（$\\mathbb{Z}[S]$ 投射）。" }, { "id": "def-dep.extsec-ext", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "lem.ext-stonean-section", "note": "两边都是 **Ext** 群（一边带截面、一边不带）。" }, { "id": "def-dep.bd-condab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-abelian-group", "usedBy": "thm.breen-deligne", "note": "分解的对象是拓扑斯里的**阿贝尔群**（$\\mathrm{CondAb}$ 是一例）。" }, { "id": "def-dep.bd-topos", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.topos", "usedBy": "thm.breen-deligne", "note": "结论在**任意拓扑斯**里成立。" }, { "id": "def-dep.bdscalar-homotopy", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.homotopy", "usedBy": "lem.breen-deligne-scalar-homotopy", "note": "结论说的是两个提升**自然同伦**。" }, { "id": "def-dep.bdss-spectral", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.spectral-sequence", "usedBy": "prop.breen-deligne-ss-stonean", "note": "结论是一条**谱序列**。" }, { "id": "def-dep.bdss-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "prop.breen-deligne-ss-stonean", "note": "带测试空间 $S$ 的版本要求 $S$ 是 **Stonean**。" }, { "id": "def-dep.rbnd-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.banach-ab-group", "usedBy": "prop.rhom-banach-discrete-zero", "note": "源是**有限维实 Banach 空间**。" }, { "id": "def-dep.rbnd-rhom", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "prop.rhom-banach-discrete-zero", "note": "结论是 **$\\operatorname{RHom}$** 整体归零。" }, { "id": "def-dep.rcbz-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "prop.rhom-chaus-banach-zero", "note": "源是**紧 Hausdorff** 阿贝尔群。" }, { "id": "def-dep.rcbz-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.banach-ab-group", "usedBy": "prop.rhom-chaus-banach-zero", "note": "靶是**实 Banach 空间**。" }, { "id": "def-dep.rdt-ext", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "prop.rhom-dual-tensor", "note": "两边都是导出 Hom 与导出张量的计算。" }, { "id": "def-dep.rdt-tensor", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.tensor-abelian-sheaf", "usedBy": "prop.rhom-dual-tensor", "note": "结论里出现**导出张量积** $\\otimes^{\\mathbf{L}}$。" }, { "id": "def-dep.drc-dual", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pontryagin-dual", "usedBy": "prop.dual-rhom-characterization", "note": "左边是 **Pontryagin 对偶** $M^{\\vee}$。" }, { "id": "def-dep.drc-rhom", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "prop.dual-rhom-characterization", "note": "右边用 **$\\operatorname{RHom}$** 来写。" }, { "id": "def-dep.lcext-lc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.locally-compact", "usedBy": "thm.lc-ext-vanishing", "note": "前提是 $M, N$ **局部紧** Hausdorff。" }, { "id": "def-dep.lcext-ext", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "thm.lc-ext-vanishing", "note": "结论是**高次 Ext** 消失。" }, { "id": "def-dep.zrt-ext", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "table.rhom-zrt", "note": "整张表列的都是 **$\\operatorname{RHom}$** 的取值。" }, { "id": "def-dep.fbr-ext", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "ex.finite-banach-rhom", "note": "算的是 **$\\operatorname{RHom}$**。" }, { "id": "def-dep.fbr-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.banach-ab-group", "usedBy": "ex.finite-banach-rhom", "note": "源与靶都是**有限维实 Banach 空间**。" }, { "id": "def-dep.cbr-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "ex.chaus-banach-rhom", "note": "测试空间 $S$ **紧 Hausdorff**。" }, { "id": "def-dep.cbr-banach", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.banach-ab-group", "usedBy": "ex.chaus-banach-rhom", "note": "靶 $N$ 是**实 Banach 空间**。" }, { "id": "def-dep.bdss2-spectral", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.spectral-sequence", "usedBy": "ex.bd-ss", "note": "结论是一条**谱序列**。" }, { "id": "def-dep.clce-conn", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.connected", "usedBy": "ex.connected-lc-ext", "note": "源 $M$ 要求**连通**。" }, { "id": "def-dep.clce-lc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.locally-compact", "usedBy": "ex.connected-lc-ext", "note": "源 $M$ **局部紧** Hausdorff。" }, { "id": "def-dep.clce-ext", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "ex.connected-lc-ext", "note": "结论是 **Ext** 在 $n \\ne 1$ 处消失。" }, { "id": "def-dep.nlcr-ext", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ext", "usedBy": "ex.nonlc-rhom", "note": "算的是 **$\\operatorname{RHom}$**（对象不必局部紧）。" }, { "id": "def-dep.lcstr-lc", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.locally-compact", "usedBy": "thm.lc-structure", "note": "说的是**局部紧** Hausdorff 阿贝尔群。" }, { "id": "def-dep.lcstr-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "thm.lc-structure", "note": "分解出的紧块 $K$ 是**紧 Hausdorff** 阿贝尔群。" }, { "id": "def-dep.pdcd-dual", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pontryagin-dual", "usedBy": "prop.pontryagin-discrete-compact-duality", "note": "说的是 **Pontryagin 对偶**函子。" }, { "id": "def-dep.pdcd-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "prop.pontryagin-discrete-compact-duality", "note": "对偶把「离散」与「**紧 Hausdorff**」互换。" }, { "id": "def-dep.pts-dual", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.pontryagin-dual", "usedBy": "prop.pontryagin-torsion-stone", "note": "说的还是 **Pontryagin 对偶**。" }, { "id": "def-dep.pts-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "prop.pontryagin-torsion-stone", "note": "挠群的对偶是 **Stonean** 空间。" }, { "id": "def-dep.condlc-condset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "prop.cond-limits-colimits", "note": "算的是 $\\mathrm{Cond}$ 里的**极限与余极限**。" }, { "id": "def-dep.condlc-limit", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.limit", "usedBy": "prop.cond-limits-colimits", "note": "用到**极限与余极限**这两套概念。" }, { "id": "def-dep.condepi-condset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "prop.cond-epi-regular", "note": "说的是 $\\mathrm{Cond}$ 中的**满态射**。" }, { "id": "def-dep.condeq-condset", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.condensed-set", "usedBy": "prop.cond-equivalence-effective", "note": "说的是 $\\mathrm{Cond}$ 中的**等价关系**。" }, { "id": "def-dep.condeq-eff", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.effective-equivalence", "usedBy": "prop.cond-equivalence-effective", "note": "结论断言这些等价关系**有效**。" }, { "id": "def-dep.exseq-complex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cochain-complex", "usedBy": "def.exact-sequence", "note": "正合列首先是一条**复形**（$d \\circ d = 0$）。" }, { "id": "def-dep.exseq-image", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.image", "usedBy": "def.exact-sequence", "note": "正合的判据是 $\\operatorname{im} = \\ker$。" }, { "id": "def-dep.gei-groth", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-category", "usedBy": "prop.grothendieck-enough-injectives", "note": "前提是范畴为 **Grothendieck** 范畴。" }, { "id": "def-dep.ab5imp-ab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ab-axioms", "usedBy": "prop.ab5-implications", "note": "结论讲的是 **AB** 公理之间的蕴含关系。" }, { "id": "def-dep.ab5imp-groth", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.grothendieck-category", "usedBy": "prop.ab5-implications", "note": "其中一条是 Grothendieck 范畴**自动 AB3\\***。" }, { "id": "def-dep.abex-ab", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ab-axioms", "usedBy": "prop.ab-axioms-examples", "note": "整张表列的是各类范畴满足哪些 **AB** 公理。" }, { "id": "def-dep.simpcohom-cohom", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "method.simplicial-cohomology", "note": "算的是**层上同调** $H^{n}(X, M)$。" }, { "id": "def-dep.simpcohom-simplicial", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.simplicial", "usedBy": "method.simplicial-cohomology", "note": "逐层取截面得到的是**单纯**阿贝尔群。" }, { "id": "def-dep.simpcohom-cech", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.cech-cohomology", "usedBy": "method.simplicial-cohomology", "note": "超覆盖是 Čech 复形的一般形式。" }, { "id": "def-dep.carteil-bicomplex", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.bicomplex", "usedBy": "lem.cartan-eilenberg", "note": "结论给出的是一个**双复形**。" }, { "id": "def-dep.carteil-spectral", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.spectral-sequence", "usedBy": "lem.cartan-eilenberg", "note": "它的用途是保证两类过滤给出**相容谱序列**。" }, { "id": "def-dep.flimcohom-cohom", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.sheaf-cohomology", "usedBy": "prop.filtered-limit-cohomology", "note": "结论算的是**层上同调**。" }, { "id": "def-dep.flimcohom-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "prop.filtered-limit-cohomology", "note": "空间是一族**紧 Hausdorff** 空间的滤过极限。" }, { "id": "def-dep.boolring-ring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.ring", "usedBy": "def.boolean-ring", "note": "布尔环首先是**环**，只是每个元素都幂等。" }, { "id": "def-dep.boolstone-ring", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.boolean-ring", "usedBy": "thm.boolean-stone", "note": "反等价的一边是**布尔环**范畴。" }, { "id": "def-dep.boolstone-stone", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.stone-space", "usedBy": "thm.boolean-stone", "note": "另一边是 **Stone 空间**范畴。" }, { "id": "def-dep.clif-cg", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.compactly-generated", "usedBy": "prop.closed-inclusion-filtered-limit", "note": "结论断言余极限仍**紧生成**。" }, { "id": "def-dep.clif-chaus", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.chaus", "usedBy": "prop.closed-inclusion-filtered-limit", "note": "拼出来的是**紧 Hausdorff 块**。" }, { "id": "def-dep.clif-wh", "kind": "definition", "strength": "strong", "definition": "def.weak-hausdorff", "usedBy": "prop.closed-inclusion-filtered-limit", "note": "结论断言余极限仍**弱 Hausdorff**。" } ], "clusterLinks": [ { "a": "set.construct", "b": "set.zfc", "count": 10, "label": "", "explicit": false }, { "a": "order.choice", "b": "set.cardinal", "count": 3, "label": "", "explicit": false }, { "a": "analysis.product", "b": "analysis.setclass", "count": 6, "label": "", "explicit": false }, { "a": "analysis.measure", "b": "analysis.setclass", "count": 5, "label": "", "explicit": false }, { "a": "analysis.measurable", "b": "analysis.measure", "count": 10, "label": "", "explicit": false }, { "a": "analysis.measurable", "b": "analysis.product", "count": 2, "label": "", "explicit": false }, { "a": "analysis.measurable", "b": "analysis.setclass", "count": 2, "label": "", "explicit": false }, { "a": "analysis.integral", "b": "analysis.measurable", "count": 8, 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